Lineární binární bezpečnostní kódy

Transkript

1 Lineární binární bezečnostní kódy Linear binary saety codes Jakub Kučík Bakalářská ráce 27

2

3

4 Předkládaná bakalářská ráce sadá tématicky do oblasti lineárních binárních bezečnostních kódů a zároveň do multimediální odory výuky. Konkrétně se ráce věnuje zejména Hammingovým a Reed Mullerovým kódům. Práce se nejrve zabývá oisem využití internetových omůcek ři výuce technických ředmětů, dále ak obsahuje obecný ois lineárních binárních bezečnostních kódů. Podstatou ráce je úrava a dolnění existující webové elektronické učební omůcky. Hlavní řínos sočívá ak v návrhu a vytvoření rogramů v rostředí WebMathematica, které mohou studenti využívat on-line. Tyto rogramy kódují oříadě dekódují zadaná kódová slova odle zvolené metody bezečnostního kódu. Klíčová slova: lineární binární kódy, WebMathematica, kódování, dekódování, internet ve výuce, Hammingovy kódy, Reed Mullerovy kódy The bachelor thesis, that was tabled, alls thematical to the linear binary saety codes area and at the same time to the multimedia esousal o teaching. Concretely rimary the comosition attends to Hamming and Reed Muller codes. First the comosition describes the using o the internet assistant during the studying technical subjects and then includes contains common describe o the linear binary saety codes. The main art o this work is the modiication and the comletion o an exist internet teaching assistant. The main contribution bears in the design and ormation o rograms in the acies WebMathematica, which are or the students on-line. These rograms code eventually decode desired code words ater choice method o saety code. Keywords: linear binary code, WebMathematica, coding, decoding, internet in the teaching, Hamming codes, Reed Muller codes.

5 Děkuji anu ing. Bronislavu Chramcovovi, Ph.D. za vedení, omoc ři tvorbě této ráce, cenné řiomínky a za oskytnutí otřebných materiálů. Prohlašuji, že jsem na bakalářské ráci racoval samostatně a oužitou literaturu jsem citoval. V říadě ublikace výsledků, je-li to uvolněno na základě licenční smlouvy, budu uveden jako soluautor. Ve Zlíně. Podis dilomanta

6 . POČÍTAČOVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY...! # ".2 WEBMATHEMATICA Výroba vlastních MSP (Mathematica Server Pages) LINEÁRNÍ BINÁRNÍ KÓDY Hammingovy kódy Rozšířený Hammingův kód Reedovy Mullerovy kódy Cyklické kódy BCH kódy Reed Salomonovy kódy Golayův kód STRUKTURA STRÁNEK PROVÁDĚNÉ ÚPRAVY KÓDOVÁNÍ HAMMINGOVA KÓDU Pois rogramu Postu rogramu DEKÓDOVÁNÍ HAMMINGOVA KÓDU Pois rogramu Postu rogramu: KÓDOVÁNÍ ROZŠÍŘENÉHO HAMMINGOVA KÓDU Pois rogramu Postu rogramu: DEKÓDOVÁNÍ ROZŠÍŘENÉHO HAMMINGOVA KÓDU Pois rogramu Postu rogramu: KÓDOVÁNÍ REEDOVA MULLEROVA KÓDU Pois rogramu Postu rogramu DEKÓDOVÁNÍ REEDOVA MULLEROVA KÓDU...42

7 "!! #!!! #

8 V dnešní době jsou komunikace a řenos inormace tak důležité činnosti, že už bychom si bez nich ani nedokázali ředstavit svůj běžný život. Vždyť všechny inormace vířící kolem nás, ať už v odobě očítačových, mobilních sítí, televizního signálu a rostě řenosu všeho druhu, musí mít tvar oužitelný ro řenos nejrůznějšími inormačními kanály, a rávě k tomu slouží kódování. Na škodu také není oužít takových kódů, které nám umožní detekovat, říadně i oravovat možné chyby. Každá řijatá inormace, která k nám doutuje řes inormační kanál, je s určitou ravděodobnostní zatížena chybou. Jednou z možností jak naše inormace zakódovat je oužití lineárních binárních bezečnostních kódů. A rávě o nich se dozvíte víc v následujících kaitolách. Kromě toho zde také naleznete ár inormací o využití internetových omůcek ři výuce technických ředmětů. Důvodem roč ráce obsahuje i tuto kaitolu je využití rostředí WebMathematica v raktické části. Dozvíte se zde o možnostech, které máme ři tvorbě raktických ukázkových rogramů, omocí nichž se student mnohdy naučí mnohem víc než ři čtení několika stránek textu teorie. Zjistíte, že v tomto rostředí lze vytvářet alikace, které si student může vyzkoušet bez seciálního sotwaru on-line a ředevším i bez zvláštních znalostí roblematiky. Stačí mu v ohodlí domova navštívit stránky daného ředmětu a nenásilnou ormou se mnohé řiučit. Koho taková možnost výuky zajímá, najde v raktické části této ráce ukázku takto vytvořených alikací a jejich ois. Všechno se samozřejmě týká oblasti LINEÁRNÍCH BINÁRNÍCH BEZPEČNOSTNÍCH KÓDŮ.

9

10 Internet je beze soru enoménem naší doby a ostuem času a díky zdokonalovaní technologií se objevují stále nové a nové možnosti jeho využití. Ne jinak je tomu také ve školách. Internet se stal nezbytnou součástí studentů na všech vysokých školách a ostuně se robojovává i do výuky a života studentů středoškolských. Z očátku se ulatňoval ředevším ři hledání inormací, dnes už je jeho role odstatně někde jinde. Ať už jde o řihlašování na zkoušky nebo získávání aktualit ze školy, ale ředevším se internet stává součástí výuky vlastní. Tyickým říkladem je výuka cizích jazyků, kdy student nemusí tahat do školy těžký slovník, rotože využije některý z internetových, může zkoušet nejrůznější testy římo na webu nebo třeba internetové výukové lekce. Internet ale nemusí sloužit ve výuce ouze studentovi, může také velmi zjednodušit ráci učitele. Většina škol rovozuje své vlastní webové stránky. Avšak také velká část učitelů dnes tvoří ro svůj ředmět internetové stránky. Nejenže sem může vkládat cenné inormace ro studenty, ale také odevzdávání úkolů omocí webových ormulářů je velkou výhodou a to jak ro studenty, tak ro učitele. Zaměřme se ale na využití internetu ve výuce technických ředmětů, kterých se bude následující text ředevším týkat. Díky tomu že dnes již internetové stránky nejsou ouze statické je možné stále větší využití ro raktické ukázky řešení nejrůznějších roblémů. Naříklad dnes není roblém aby se student řiojil řes web na řístroj v laboratoři a změřil omocí něj hodnoty do svého rotokolu. Velkou výhodou jsou však také Počítačové algebraické systémy (PAS), které umožňují velké usnadnění ráce v technických a matematických oborech. Příkladem jsou AXIOM, MAPLE, MATHEMATICA, MATLAB, MATHCAD.. Problematika očítačových algebraických systému je složitá v tom, že je mnoho systémů a dají se velmi šatně mezi sebou orovnávat. Pro zvládnutí každého systému je otřeba dost času a zjistíte, že se systémem umíte toho čím dál více jen okud s ním ravidelně a soustavně racujete. Pokud zvládáte dobře jeden systém, není roblém se naučit základy nějakého jiného, ale oravdu umět lně využít možnosti systémů jako je Mathematica a Matlab není jednoduché a možná ani v možnostech jediného člověka. Prakticky většinou školy využívají toho sotwaru, na který získají nejvýhodněji licence.

11 Všechny tyto rogramy nacházejí využití ředevším tam, kde je otřeba řešení složitějších matematických výočtů a ředevším jejich následné graické zobrazení. Obrovským řínosem těchto alikací je ředevším možnost roojit je rávě s internetem. Student tím získá možnost vyzkoušet si na vlastní kůži říklady robírané v hodinách. Webmasteři ovládající technologie Java Scrit, PHP, Java a odobně by ravděodobně dokázali většinu z výše jmenovaných roblémů zvládnout i bez PAS. Ale třeba jen maticové násobení není v PHP nebo Java Scritu říliš jednoduché. Pomocí dvourozměrných olí se sice k výsledku dostaneme, ale rogram bude mít hodně řádků a slabší rogramátor si s tím třeba neoradí vůbec. Při oužití PAS není roblém násobit matice na jednom řádku. Na internetové stránky se umístí ormuláře, které odešlou data do seciálních orem výše zmíněných rogramů. Ty jsou zracovány na serveru, kde je rogram nainstalován a výsledky jsou odeslány zět na stránku, která se zobrazí studentovi. Příklady těchto orem PAS jsou:,! - který umožňuje oužívat výočetní možnosti Male "na dálku" ouze omocí webového rozhraní. je webový nástroj ro vytváření testů a říkladů, které mohou sloužit nejen ke zkoušení a hodnocení, ale i domácí ráci studentů. - je nástroj, který umožňuje vytváření alikací rezentací v Matlabu. Vstuní arametry simulace nebo regulační smyčky se zadávají rostřednictvím internetu omocí HTML stránek, řičemž vlastní vyočet, res. regulační roces, běží na vzdáleném očítači serveru. Další z orem PAS. Jelikož byla WebMathematica oužita v raktické části bakalářské ráce, odívejme se na ni odrobněji. WebMathematica je jednoduchý zůsob jak vytvářet interaktivní výočty na webu. Tato technologie umožňuje vytvářet webové stránky, kde jsou využity výočetní, vizualizační schonosti Mathematicy v celé její šíři. Každému uživateli stačí standardní internetový rohlížeč (browser) ro zadávaní výočtů i vizualizaci výsledků. WebMathematica a Mathematica jsou založené na stejné technologii, ale úlně jiném uživatelském rozhraní a jiné cílové skuině uživatelů. Webmathematica nabízí řístu do Mathematicy řes browser. Používá vše z Mathematicy.

12 WebMathematica dává známé webové rostředí, které otřebuje ale trochu tréninku, aby se dalo eektivně oužívat. Uživatelé nemusí znát rostředí Mathematici. Mathematica je jako vývojové rostředí ro webmathematicu. Naříklad, analytici mohou v Mathematice vytvářet modely a inženýři si je mohou souštět řes webmathematicu. WebMathematica je založena na dvou standardních Java technologiích: Servlety jsou seciální rogramy v Javě, které se souštějí řes webový server, obvykle se nazývají"servlet container" někdy "servlet engine". Při oužití JSP se odobně jako v ASP nebo v PHP římo do HTML kódu zaisují říkazy. Ty jsou nyní zaisovány v jazyce Java. Seciální servlet se stará o to, aby byla JSP stránka vždy o své modiikaci automaticky řeložena do byte-code. Obr.. Postu zracování ožadavku WebMathematicou. webový rohlížeč osílá ožadavek na webmathematica server 2. webmathematica server si rezervuje Mathematica kernel 3. Mathematica kernel je nastaven, rovede kalkulace a vrací výsledky 4. webmathematica server vrací Mathematica kernel do bazénu 5. webmathematica server vrací výsledky webovému rohlížeči

13 - Statické stránky #! a) nahrání balíčku b) deklarace roměnných z c) unkce a hlavní kód z z Příklad kódu: Get["Grahics`ContourPlot3D`"]; xmin-3; xmax3; ymin-2; ymax2; zmin-3; zmax3; ContourPlot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2 + z^2]], {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}, {z, zmin, zmax},

14 Boxed-> False] [3] - Dynamické stránky Obr. 2. Výsledek statického kódu Tvorba dynamické stránky robíhá obdobně jako tvorba stránky dynamické. Rozdíl je v tom, že uživatel může měnit hodnoty roměnných omocí webových ormulářů. Ty ak naříklad ovlivní vlastnosti zobrazovaných graů, roto tedy dynamické stránky. Jediným roblém je srávné ředávání hodnot z ormulářů do roměnných kódu Mathematicy. Naříklad: Formulář: <inut tye text name x > V Mathematice bude hodnota roměnné: $$x

15 Kód je množina symbolů, kterými vyjadřujeme jednotlivé stavy systému. Množina symbolů může být vyjádřena buď omocí tabulky nebo dohodnutým systémem ravidel (algoritmem). Mějme nař. systém, který je určen olohou hrací kostky (krychle). Poloha kostky je nejčastěji vyjadřována omocí množiny tečkových symbolů. Padne li určitý očet teček, ak si jistě tento stav neoznačíme v tečkovém kódu, ale omocí arabských číslic až 6, které tvoří jinou množinu symbolů ro vyjádření stavu systému (kostky). Jiným říkladem množiny symbolů jsou nař. různé jednoduché obrázky, které umožní hrát dětem ředškolního věku Člověče, nezlob se, aniž by uměli očítat, neboť mohou osouvat své igurky na odovídající obrázky hrací desky. Kódování je činnost, během které řevádíme jeden kód na druhý, a to buď omocí tabulky nebo vhodným algoritmem. Kód lze libovolně řevádět jeden na druhý, aniž by se změnila velikost inormace. Při řechodu z jednoho kódu na druhý se mění množství znaků (nemusí být vždy stejné) a mění se i ravděodobnost výskytu jednotlivých symbolů, řičemž dochází ke změně redundance. Lze najít takový kód, který bude mít největší entroii na symbol, tj. nejmenší očet z symbolů na dané množství inormace. Takový kód bude nejvýhodnější z hlediska ideálního řenosu (bez rušení), neboť bude vyžadovat nejmenší očet symbolů a nejkratší dobu řenosu. Protože reálné kanály jsou vždy s rušením, je nutné oužívat kódy, u kterých se zavádí záměrně redundance umožňující detekci, říadně korekci chyb. Kódy dělíme odle různých hledisek. Nař. kódy můžeme rozdělit na rovnoměrné a nerovnoměrné. Rovnoměrné kódy mají všechny znaky (symboly) tvořené stejným očtem rvků. Nerovnoměrné naoak různým. Význam v souvislosti s řenosem inormace mají ředevším kódy bezečnostní, které se dělí na detekční a korekční (nař. cyklický kód, Hammingův kód,..).[]

16 Obr. 3. Rozdělení bezečnostních kódů Patří mezi kódy systematické. Binární kód je lineární, jestliže výsledkem součtu dvou kódových slov je oět kódové slovo. Při oužití systematického binárního blokového kódu je možné rozlišit, která část je ůvodním inormačním slovem (inormační bity) a která část jsou řidané bity z důvodu kontroly nebo zabezečení (kontrolní nebo zabezečovací bity). Zůsob vytváření slov je možné vyjádřit následovně: inormační slovo o délce k bitů u u 2...u k je kódováním řeměněno na kódové slovo o délce u u 2...u k u k+ u k+2...u n. " Předis ro kódování může G být vždy osán jako soustava rovnic, ve kterých jsou oužity oerace sčítání a násobení binárních čísel. Pro sčítání binárních čísel zde latí: +. Lineární kódy se vyznačují také tím, že libovolná lineární kombinace kódových slov je oět kódovým slovem. je tvořena kódovými slovy tzv. báze kódu (jsou lineárně nezávislá). Chceme-li nalézt kódová slova lineárního binárního kódu, stačí když zjistíme jeho bázi. Ostatní slova lineárního kódu mohou být získána sčítáním libovolných dvou slov báze kódu. Matice G tyu (k, n) je generující maticí lineárního kódu jestliže: - každý její řádek je kódovým slovem - každé kódové slovo je lineární kombinací řádků - řádky jsou lineárně nezávislé

17 Báze je tvořena všemi kombinacemi kódových slov které jsou lineárně nezávislá. (Mohou být sečtena i 2 stejná slova, výsledek je však vždy nulové kódové slovo. To tedy vždy atří do lineárního kódu, ze stejného důvodu se však nemůže být obsaženo v generující matici.) Zabezečující bitová slova vytváříme odle algoritmu daného kódování. Seřadíme li takto vytvořená kódová slova do řádků a uzavřeme je do matice, získáme tzv. generující matici systematického kódu: G [ E B] () Součinem inormačního slova s generující maticí získáme kódové slovo. Tento ostu se nazývá kódování nebo zakódování. Oačný ostu nazýváme dekódování. Dochází k němu o řijetí kódového slova řes, inormační kanál. K tomu využijeme kterou násobíme řijaté slovo. Pokud nedošlo ři řenosu k chybám, měl by výsledek vyadat následovně: v v2 H.... (2).... v n Vztah mezi generující a kontrolní maticí: T H [ B E ] # (3), kde E je jednotková matice. [] Jeho kódová vzdálenost je d min 3. (Vznikají tedy výběrem jedné osminy slov z řirozeného binárního kódu.) Kód s minimální vzdáleností 3 detekuje dvojnásobnou chybu a oravuje jednonásobnou. Hammingovy kódy se snadno dekódují a jsou erektní (mají nejmenší myslitelnou redundanci). Jestliže očet kontrolních bitů m roste o jedné, je celková délka Hammingových kódů n 2 m (4)

18 , takže nař. (3,2)-kód, (7,4)-kód, (5,)-kód,... Tab.. Konigurace Hammingových kódů m n k Pro kontrolní matici u Hammingova kódu latí: - slouce musí být nenulové (zaručuje detekci jednoduché chyby) - součet dvou slouců musí být nenulový (detekce dvojnásobné chyby) - žádný slouec se neoakuje Příklad usořádání ro (7,4)-kód: z # H (5) Jedná se o lineární binární kódy se schoností oravy chyb. Tyto bezečnostní kódy již nemají nejmenší možnou redundanci nejsou erektní. # z d min (detekuje 3-násobnou chybu a oravuje jednu chybu) K K K m má Rozšířený Hammingův binární kód s m kontrolními znaky délku m., kódového slova Takže vzniká kód atd.

19 Tab. 2. Rozšířený Hammingův kód m n k Kontrolní matici tohoto kódu získáme z kontrolní matice Hammingova kódu tak, že ke každému řádku řidáme aritní bit sudé arity a do kontrolní matice dolníme řádek jedniček. Byli objevené v roku 954 a v orovnaní s BCH kódy mají slabší arametry. Jsou rakticky významné Naříklad kód RM (,5) oužil kosmický koráb Mariner 9 ři vysílání otograií z Marsu. Jsou lineární to kódy, které mohou být dekódovány jednoduchou technikou majoritního rozhodování. Z těchto důvodů jsou Reedovy Mullerovy kódy důležité i řesto, že někdy neslňují nejmenší kódovou vzdálenost. Délka kódové kombinace je m 2 n [bit]. (6) Počet nezabezečených bitů které vstuují do kódovacího rocesu je dán vztahem: k + k + k k z (7), kde n n n k, k 2,..., k z (8) 2 z Minimální Hammingova vzdálenost RM kódu je d min 2 n-z. (9) - n 3... je libovolné celé kladné číslo

20 - z... je tzv. řád kódu. Platí nerovnost z < n Kódování a dekódování těchto kódů bude ukázáno v raktické části, nyní si alesoň naznačme vytváření generující matice, rotože RM kód je určen generující maticí [G] R(z; n). Naříklad ro kódy s n 4 bychom generující matici vytvářeli takto: Tab. 3. Tvorba generující matice Reedova Mullerova kódu bod Čísla slouců První řádek je tvořen m 2 n jedničkami v 2 Následuje k 4 řádků, kde do slouců zaisujeme dvojkové vyjádření čísla slouce - bráno odshora v v 2 v 3 v 4 3 Následuje k 2 6 řádků, které vzniknou vynásobením všech možných dvojic řádků z bodu 2. (a, a 2..., a n ). (b, b 2,..., b n ) (a.b, a 2.b 2,...,a n.b n ) v.v 2 v.v 3 v.v 4 v 2.v 3 v 2.v 4 v 3.v 4 4 Následuje k 4 řádků, které vzniknou vynásobením všech možných trojic z bodu 2. v.v 2.v 3 v.v 2.v 4 v.v 3.v 4 v 2.v 3.v 4 Bod, 2 tvoří matici kódu rvního řádu, tj. kód R(;4)

21 G(z) Bod, 2, 3 tvoří matici kódu druhého řádu, tj. kód R(2;4) Bod, 2, 3, 4 tvoří matici kódu třetího řádu, tj. kód R(3;4). [2] Cyklický kód můžeme deinovat omocí generujícího olynomu g(z). Generující olynom cyklického kódu K(m,k) je olynom stuně m - k r () zm-, který Cyklickým osunem koeicientů generujícího olynomu vzniká g. G( z).. g g g g g g m k m k g g m k g g g m k () Řádky tvoří olynomy: g(z) z.g(z).. zk-.g(z) U cyklických kódů můžeme kontrolní matici nahradit kontrolním olynomem: z m h( z) (2) g( z) Kontrolní matici cyklického kódu K(m,k) získáme cyklickými osuvy koeicientů kontrolního olynomu čteného od nejvyšší mocniny. Kontrolní matice má m-k řádků

22 ... hk hk hk 2... h h... hk hk hk 2... h h h. H ( z) (3). #. hk hk... h2 h h... z Jsou to obecné kódy s dobrými arametry. Je to nejdůležitější třída cyklických bezečnostních kódů. velká volitelnost arametrů jednoduchý vztah mezi očtem inormačních znaků a očtem oravených chyb detailně vyracované dekódovací metody. BCH kódy oravují dvojnásobné a vícenásobné chyby. V orovnání s REED- MULLERovými kódy mají BCH kódy o něco náročnější dekódování, ale za to mají leší arametry. " Jsou seciálním říadem BCH kódů. Mají největší myslitelnou vzdálenost a dají se omocí nich sestrojit dobré binární kódy. Je to jediný erektní kód ro trojnásobné oravy.

23

24 K ředmětu Základy inormatiky byla vytvořena internetová učební omůcka, která má za úkol usnadnit studium tohoto ředmětu. Jedná se o www stránky dolněné o řešené říklady a ukázkové rogramy týkající se robírané látky. Hlavní části stránek jsou: - Úvod - Vznik a vývoj inormace : vysvětlení ojmu inormace, hledání její yzikální kvantiikace, vznik teorie inormace... - Matematický aarát v teorii inormace: základy ravděodobnosti a teorie číselných soustav. - Inormace: základní ojmy, entroie, zdroje zráv, řenos inormace - Kódování: elementární teorie kódování, rovnoměrné kódy, nerovnoměrné kódy, eektivní kódy - Bezečnostní kódy: systematické kódy (aritní, iterační, lineární, Hammingovy, rozšířené Hammingovy, Reedovy Mullerovy, BCH, Reed Solomonovy, nelineární, Golayův kód), nesystematické kódy - Otázky ke zkoušce - Přihlášení ke zkoušce: zde je odkaz na inormační systém STAG, kde se studenti mohou řihlásit ke zkoušce - Zadání seminární ráce: studenti musí na konci semestru vyracovat seminární ráci v rostředí Mathematica - Přenášky: možnost stažení řednášek ve ormátu Power Point - Odkazy: odkazy na stránky s říbuznou tematikou

25 Mým úkolem bylo uravit kaitolu týkající se Lineárních binárních bezečnostních kódů (konkrétně Hammingových a Reedových Mullerových kódů) a ředevším vytvoření rogramů ro kódování a dekódování zráv rostřednictvím těchto kódů v rostředí WebMathematica. Obr. 4. Základní vzhled webové omůcky V obsahu kaitol o Hammingových a rozšířených Hammingových kódech jsem rováděl ouze menší změny. Jednalo se zejména o dolnění vlastností těchto kódů, vytvoření tabulky s říklady kódových slov a celkovou kontrolu již vytvořeného textu. V kaitole o Hammingových kódech je nejrve obecný ois těchto kódů, dále je zde osána tvorba kontrolní a generující matice a je zde rezentován na řešených říkladech ostu kódování a dekódování. Tyto rinciy budou odrobněji osány v textu o tvorbě vlastních rogramů. U rozšířeného Hammingova kódu je na říkladu naznačen rozdíl od ředchozích kódů a taktéž osán rinci dekódování. Obě kaitoly obsahují odkazy na vytvořené rogramy ve WebMathematice.

26 Obr. 5. Ukázka změn v kaitole o Hammingových kódech Kaitolu o Reedových Mullerových kódech jsem vytvářel v odstatě celou znovu. Na začátku jsou oět osány základní vlastnosti tohoto kódu. Jelikož Reedových Mullerových kódů je velké množství a volíme je v závislosti na ožadavcích, je teorie kódování a dekódování vysvětlena na konkrétním říkladě, kde je naznačeno dekódování omocí většinového rozhodování. U této kaitoly jsou oět odkazy na ukázkové on-line rogramy v rostředí WebMathematica. Kromě obsahu těchto kaitol byl také uraven jejich vzhled kvůli zvýšení řehlednosti. Jedná se ředevším o oddělení říkladů do samostatných stránek. V kaitole je ak odkaz zvýrazněn omocí modrého rámečku a ro řehled je na tomto místě uvedeno i zadání říkladu nasané kurzívou a modrou barvou. Celkem jsem vytvořil ět nových stránek, které obsahují říklady. Také odkazy na rogramy ve WebMathematice jsou zvýrazněny modrým rámečkem a dolněny o stručný ois. Vzhled stránek samotných říkladů byl ak také vytvářen s ohledem na vzhled odkazů umístěných na hlavní stránce.

27 Obr. 6. Vzhled vytvořené stránky s říkladem Vzhled a zvýraznění odkazů byl volen tak, aby říliš nenarušoval ůvodní graickou odobu stránek, ale na druhou stranu aby je student neřehlédl ři rychlejším rocházení textu.

28 Obr. 7. Zvýraznění odkazů na říklady a vytvořené říklady

29 Při ráci s rostředím WebMathematica bylo nejroblematičtější najít srávné ostuy ři sojování kódu rogramu Mathematica, webmathematica tagů a klasických html tagů. Objevovaly se různé roblémy, naříklad ři ráci se vstuy a výstuy. Díky jednoduchosti ráce s maticemi v tomto rostředí nebyl větší roblém narogramovat samotné kódování a dekódování. Až na dekódování Reedova Mullerova kódu šlo o ráci se srávnými generujícími a kontrolními maticemi. V následujícím textu jsou osány rinciy a ostuy jednotlivých roblémů. Pro kódování a dekódování Hammingova kódu je důležité nejdříve srávně usořádat kontrolní a tím také generující matici. Je roto výhodné usořádat slouce kontrolní matice H tak, aby v i-tém slouci bylo dvojkové vyjádření čísla i. Binární kód se nazývá Hammingův jestliže má kontrolní matici, jejíž slouce jsou všechna nenulová slova dané délky a žádné z nich se neoakuje.(oužívá se binární rozvoj čísel, 2, 3,, 2 r -) Pro r 2 dostáváme kód K(3,) s kontrolní matici ve tvaru: H (4) Taková matice je kontrolní maticí oakovacího kódu délky 3. Ten skutečně oravuje jednoduché chyby Pro r 3 dostáváme kód K(7,4) s kontrolní matici ve tvaru: Abychom našli generující matici, Tzn. H (5) H [ R r] T E (6)

30 H (7) Došlo k řehození slouců: -7, 2-6, 4-5 Generující matici G dostaneme ze vzorce: [ ] R E G k (8) G (9) Zětným řeházením slouců dostaneme generující matici ůvodního Hammingova kódu: G (2) Došlo k řehození slouců: -7, 2-6, 4-5 Zabezečené kódové slovo nyní získáme rostým vynásobením nezabezečeného kódového slova generující maticí. Tohoto ostuu kódování jsem využil ři tvorbě rogramu na kódování Hammingova kódu ve WebMathematice. Po kliknutí na odkaz v říslušné kaitole se studentovi objeví webový ormulář na zadávání nezabezečeného kódového slova. Pro kód (3,) jednomístné, ro (7,4) čtyřmístné a ro (5,) jedenáctimístné. Po odeslání tohoto slova se na obrazovku vyíše zadané kódové slovo, říslušná generující matice a ředevším výsledné zakódované slovo.

31 - Nejdříve řevede zadané slovo na textový řetězec z důvodu zabezečení srávného řijetí slova (ři ráci s čísly docházelo ke šatnému řečtení kódových slov začínajících nulou, nař. bylo čteno jako ) - Tento řetězec je naormátován do tvaru oužitelného ro maticové násobení v rogramu Mathematica (nař. na {,,,}). - Následuje samotné vynásobení generující maticí odovídající délce vstuu. - Dále úrava výsledku (sudá čísla nahrazena, lichá ). - Pokud nebyl zadán srávný tvar kódového slova (šatná délka nebo znaky), je vysána chybová hláška, v oačném říadě se vyíšou výsledky. - Zdrojový kód je k nahlédnutí v říloze P I Obr. 8. Ukázka ráce rogramu na kódování Hammingova kódu

32 Pro dekódování Hammingova kódu se využívá syndromu s, ro který latí: ( ) T T T T T T H c H c H c H z H c z H s + + (2) - ři jednonásobné chybě vektor chyb - c ouze jednu jedničku. Z toho vylývá, že syndrom s bude roven řádku matice H T, který odovídá jedničce v chybovém vektoru c a bude udávat ořadové číslo místa chybného znaku. Příklad: Které z řijatých kódových slov,, je chybné ři oužití Hammingova kódu K(7,4). V říadě chyby určete místo výskytu chyby. Pro kód K(7,4) dostáváme kontrolní matici ve tvaru rovnice (5). Syndrom řijatého kódového slova je ak dán: [ ] H s T (22) Pro syndrom jednotlivých řijatých kódových slov ak latí: [ ] () T H s (23) Chybný řenos (oslední místo) [ ] () T H s (24)

33 Chybný řenos (třetí místo) Bezchybný řenos T s () [ ] H (25) Do úvodního ormuláře tohoto rogramu student zadává řijaté kódové slovo, které chce zkontrolovat. Pro kód (3,) trojmístné, ro (7,4) sedmimístné a ro (5,) atnáctimístné. Po odeslání vstuních inormací je vysána oužitá kontrolní matice říslušného kódu, vyočítaný syndrom a v říadě chyby místo v kódovém slově, které je chybné. - Nejdříve řevede zadané slovo na textový řetězec z důvodu zabezečení srávného řijetí slova (ři ráci s čísly docházelo ke šatnému řečtení kódových slov začínajících nulou, nař. bylo čteno jako ) - Tento řetězec je naormátován do tvaru oužitelného ro maticové násobení v rogramu Mathematica (nař. na {,,,}). - Následuje vynásobení kontrolní maticí. - Dále úrava výsledného syndromu (sudá čísla nahrazena, lichá ). - Zjištěný syndrom je orovnán se slouci kontrolní matice. - Pokud bylo řijaté slovo srávně zadané, dochází k výisu výsledků (okud má srávnou délku a tvar). - Pokud byl syndrom nulový, je vysána hláška že řijaté slovo neobsahuje chyby. Pokud se syndrom shoduje s některým sloucem, vyíše se zráva, že řijaté slovo obsahuje chybu na říslušném místě. Pokud syndrom není nulový a řesto se neshoduje s žádným sloucem kontrolní matice, znamená to že řijaté kódové slovo obsahuje více chyb a není jej roto možné oravit. - zdrojový kód je k nahlédnutí v říloze P II

34 Obr. 9. Program na dekódování Hammingova kódu Kontrolní matici tohoto kódu získáme z kontrolní matice Hammingova kódu tak, že ke každému řádku řidáme aritní bit sudé arity a do kontrolní matice dolníme řádek jedniček. Pro generující matici je ak dolněn slouec tak aby očet jedniček v řádku byl sudý (sudá arita). Zabezečené kódové slovo získáme oět vynásobením nezabezečené oslounosti generující maticí. Student stejně jako u Hammingova kódu zadává do ormuláře nezabezečené kódové slovo. Pro kód (4,) jednomístné, ro (8,4) čtyřmístné a ro (6,) jedenáctimístné! Po odeslání dat rogram vyíše zadané slovo, zabezečené slovo a generující matici která byla oužita ro říslušný kód. Od rogramu na kódování Hammingova kódu se tento liší ředevším rávě generujícími maticemi, které jsou uraveny odle výše uvedeného textu.

35 - Nejdříve řevede zadané slovo na textový řetězec z důvodu zabezečení srávného řijetí slova (ři ráci s čísly docházelo ke šatnému řečtení kódových slov začínajících nulou, nař. bylo čteno jako ) - Tento řetězec je naormátován do tvaru oužitelného ro maticové násobení v rogramu Mathematica (nař. na {,,,}). - Následuje samotné vynásobení generující maticí. V kódu jsou uloženy generující matice ro 3 říslušné rozšířené Hammingovy kódy. Program tedy vybírá jednu z těchto matic. - Dále úrava výsledku (sudá čísla nahrazena, lichá ). - Pokud nebyl zadán srávný tvar kódového slova (šatná délka nebo znaky), je vysána chybová hláška, v oačném říadě se vyíšou výsledky. - Zdrojový kód obsahuje říloha P III

36 Obr.. Kódování rozšířeného Hammingova kódu Dekódování rozšířeného Hammingova kódu se rovádí stejným zůsobem jako u Hammingova kódu omocí syndromu s Ten nás uozorní na říadné chyby a jejich ozici. Postu je nejlée vidět z říkladu. Příklad: Sestrojte kontrolní matici rozšířeného Hammingova kódu K(8,4). Které z řijatých kódových slov,, je chybné? V říadě jedné chyby určete místo výskytu chyby. Pokuste se sestrojit celý kód. Pro kód K(8,4) dostáváme kontrolní matici ve tvaru:

37 H (26) Syndrom řijatého kódového slova je ak dán: [ ] H s T (27) Pro syndrom jednotlivých řijatých kódových slov ak latí: [ ] () T H s (28) Chybný řenos (rvní místo) [ ] () T H s (29) Chybný řenos s více jak jednou chybou [ ] () T H s (3) Bezchybný řenos

38 Zadává se řijatá zabezečená oslounost u které chceme zkontrolovat srávnost řenosu. Pro kód (4,) slovo čtyřmístné, ro (8,4) osmimístné a ro (6,) šestnáctimístné. Jako výsledek se zobrazí zadané slovo, oužitá kontrolní matice, vyočítaný syndrom s a místo chyby, okud slovo obsahovalo chybu. Od rogramu na dekódování Hammingova kódu se tento liší ředevším oužitím jiných kontrolních matic. - Nejdříve řevede zadané slovo na textový řetězec z důvodu zabezečení srávného řijetí slova (ři ráci s čísly docházelo ke šatnému řečtení kódových slov začínajících nulou, nař. bylo čteno jako ) - Tento řetězec je naormátován do tvaru oužitelného ro maticové násobení v rogramu Mathematica (nař. na {,,,}). - Následuje vynásobení kontrolní maticí. Pro říslušné kódy jsou v rogramu uloženy kontrolní matice. Program vybere tu srávnou ro výočet syndromu. - Dále úrava výsledného syndromu (sudá čísla nahrazena, lichá ). - Zjištěný syndrom je orovnán se slouci kontrolní matice. - Pokud bylo řijaté slovo srávně zadané, dochází k výisu výsledků (okud má srávnou délku a tvar). - Pokud byl syndrom nulový, je vysána hláška že řijaté slovo neobsahuje chyby. Jestliže se syndrom shoduje s některým sloucem, vyíše se zráva, že řijaté slovo obsahuje chybu na říslušném místě. Pokud syndrom není nulový a řesto se neshoduje s žádným sloucem kontrolní matice, znamená to že řijaté kódové slovo obsahuje více chyb a není jej roto možné oravit. - Zdrojový kód je oět k disozici v říloze P IV.

39 Obr.. Dekódování rozšířeného Hammingova kódu V teoretické části byl osán ostu tvorby generující matice. Bity zabezečené oslounosti ak můžeme získat maticovým násobením nezabezečeného kódového slova říslušnou generující maticí nebo omocí vytvářecích rovnic které lze z generující matice odvodit. Příklad: Vytvořte soustavu rovnic ro výočet bitů oslounosti [F] kódu R(2;4). Generující matice má tvar:

40 G (3) Z ní získáváme rovnice ( odovídá součtu těch, ro které je v daném slouci ): (32) (33) 2 2 (34) (35) 3 4 (36) (37) (38) (39) 4 8 (4) (4) 5 2 (42) (43) (44) (45)

41 Pomocí nich dostaneme zabezečenou oslounost F. (46) (47) Jelikož teorie je na webových stránkách vysvětlována na kódech s n 4 (ředevším R(2;4)), je i rogram vytvořen ro raktickou ukázku těchto kódů. Student zadává nezabezečenou oslounost, ro kód R(;4) ětimístnou a ro R(2;4) jedenáctimístnou. Po zakódování omocí říslušné matice se vyíše zadané kódové slovo, vybraná generující matice a ředevším zabezečená oslounost. - Nejdříve řevede zadané slovo získané z webového ormuláře na textový řetězec z důvodu zabezečení srávného řijetí slova (ři ráci s čísly docházelo ke šatnému řečtení kódových slov začínajících nulou, nař. bylo čteno jako ) - Tento řetězec je naormátován do tvaru oužitelného ro maticové násobení v rogramu Mathematica (nař. na {,,,}). - Následuje výběr srávné generující matice a samotné vynásobení. - Dále úrava výsledku (sudá čísla nahrazena, lichá ). - Provádí se kontrola srávného zadání na vstuu a okud bylo zadané kódové slovo ve srávném tvaru, vyíšou se výsled. V oačném říadě se objeví chybová hláška uozorňující na roblém. Zdrojový kód je k nahlédnutí v říloze P V.

42 Obr. 2. Kódování Reedova Mullerova kódu Reedovy Mullerovy kódy atří mezi kódy lineární. Mohli bychom tedy ro dekódování odobně jako u Hammingových kódů oužít kontrolní matice a syndromu s. U těchto kódů se ale oužívá síše majoritního rozhodování ři dekódování. Nezískáme tak konkrétní chybnou ozici v řijatém slově, ale získáme hledané nezabezečené slovo bez chyb i řes šatný řenos. Princi tohoto zůsobu je nejlée ochoitelný u konkrétního říkladu který je oužit také ro rogram. Nejmenší Hammingova vzdálenost ro kód R(2;4) je d min nezabezečený bit otřebujeme tedy nalézt čtyři nezávislé rovnice. 4. Pro každý Jsou to: (48)

43 (49) (5) (5) (52) (53) (54) (55) (56) (57) O bitu se rozhodne jinak. Obsahuje-li řijatá kódová kombinace s > d min jedniček, bude tento bit. Obsahuje-li řijatá kódová kombinace s < d min jedniček, bude. Bez roblémů jsou realizovatelné součty ro bity až 5, tedy ty, které odovídají řádkům vyššího řádu (vznikly součinem řádků x i. x j nižšího řádu), rotože ty vzájemně zaojují všechny řenesené bity i do kontrolních oerací a chyba jednoho či dvou se v některé kontrolní oeraci rojeví (ro každou jedničku v řádku hledáme takový součet 4 slouců, který ve výsledku dá jedničku ouze na její ozici). To nelatí ro bity 4 až. Problém se řeší řevedením řijaté oslounosti do olohy "slučitelné" se zabezečením kódem rvního řádu (oté hledáme odobným zůsobem součet 2 slouců ro zbylé bity). Dekódování tedy robíhá ve dvou etaách. Nařed se oraví část, která obsahuje bity až 5. Tato část je ak oužita k řeočítání řijaté oslounosti tak, aby v druhé etaě dekódování byly oravovány ouze bity 4 až. Pro oravu se oužije očet jedniček v řijaté oslounosti tak, jak je naznačeno v ředcházejícím textu. Příklad: Naznačte dekódování řijaté oslounosti kódu R(2;4):

44 Tab. 4. Přijatá oslounost Bit 6 byl řijat chybně a my si na tomto říkladu ukážeme jak dojde k oravě ři dekódování. Vyočítají se hodnoty všech čtyř kontrolních rovnic, které byly získány z generující matice a hodnota, která se vyskytuje víckrát, je většinová. Z rovnice (48): Z rovnice (49): 9 Z rovnice (5): 8

45 Stejně ostuujeme u bitů 7 5 Tab. Tab. 5. Dekódované bity Přeočítání oslounosti ro druhou etau... řijatá oslounost 5.(v.v 2 )... rotože 5 6.(v.v 3 ) 7.(v.v 4 ) 8.(v 2.v 3 )... rotože 8 9.(v 2.v 4 ).(v 3.v 4 )... řeočítaná oslounost Přeočítanou oslounost nyní oužijeme do rovnic ro Z rovnic vyočteme většinové výsledky stejně jako u horních šesti bitů. Konečný výsledek tedy má tvar: Tab. 7. Výsledek dekódování Došlo tedy k získání srávného výsledku i řesto že řijatý oslounost byla chybná. Kód R(2;4) má d min 4, je tedy schoný oravit chybu. Kdyby obsahovala chyby 2, výsledky

46 dekódovacích rovnic by nebyl jednoznačný a nebylo by tedy možné jednoznačně rozhodnout o výsledku. Oba ředchozí rogramy na dekódování byly v odstatě odobné a lišili se ředevším oužitím kontrolních matic. Program na dekódování Reedova Mullerova kódu využívá algoritmu majoritního dekódování, je tedy od základu jiný. Vzhledově je odobný. Student zadává šestnáctimístnou zabezečenou oslounost kódu R(2;4). Program byl vytvořen ouze k tomuto kódu, rotože na webových stránkách je teorie vysvětlena ředevším na něm a algoritmus oravuje každý bit oslounosti zvlášť, roto by bylo složité tvořit rogram ro víc kódů zároveň. Po odeslání ormuláře se vyíše zadané slovo, dále hlášení jestli rogram rováděl oravu chyby a ředevším výsledné kódové slovo. Pokud by řijatá oslounost obsahovala 2 chyby, bylo by vysáno, že jej nelze jednoznačně dekódovat. Ve zdrojovém kódu lze najít na rvní ohled nesmyslné řádky. Jsou tam většinou kvůli rvnímu suštění rogramu. Bez nich docházelo k nesmyslným výisům. - Nejdříve řevede zadané slovo získané z webového ormuláře na textový řetězec z důvodu zabezečení srávného řijetí slova (ři ráci s čísly docházelo ke šatnému řečtení kódových slov začínajících nulou, nař. bylo čteno jako ). V rogramu je navíc ošetřen rvní výočet o suštění rogramu nastavením roměnných na očáteční hodnoty. Jinak rogram neracoval srávně. - Tento řetězec je naormátován do tvaru oužitelného ro ráci s listy a maticemi v rogramu Mathematica (nař. na {,,,}). - Nejdříve se dekódují od bity 5 od osledního. Pro každý bit se oužívají 4 odvozené dekódovací rovnice. Na základě nich ( většinové rozhodnutí) je určena výsledná hodnota bitu (výsledky rovnic se sečtou a okud je výsledek menší než 2, bit bude, okud je rovný 2 nelze rozhodnout a jsou zjištěny 2 chyby a okud větší než 2 je bude bit. Takto rozhodneme o všech šesti bitech. - Na základě získaných výsledků je řeočítána oslounost ro kontrolu zbývajících bitů. Jedná se maticový součet a sudé výsledky jsou označeny za, liché za.

47 - Oět oužijeme odvozené rovnice ro zbylé bity a ostu je stejný jako u šesti horních bitů - Nakonec rozhodneme o bitu. Sečteme jedničky v řijaté oslounosti a okud je výsledek větší jak d min, označíme bit za, jinak za. - Dále rogram kontroluje zda byla oslounost zadána ve srávné délce a tvaru. Pokud ano, vyíše výsledek. Jestliže řijatá oslounost obsahovala chybu, rogram ři dekódování chybu odstraní. Pokud byli chyby 2 rogram nemůže o bitech rozhodnou a vyíše chybovou hlášku. U třech chyb by rogram sice chybu detekoval a nahlásil okus o oravu, nemohl by však slovo oravit srávně (d min 4). - Zdrojový kód je k nahlédnutí v říloze P VI. Obr. 3. Dekódování Reedova Mullerova kódu

48 Podstatou ředkládané bakalářské ráce, která sadá tematicky do oblasti lineárních binárních bezečnostních kódů a zároveň do oblasti multimediální odory výuky, byla úrava a dolnění existující webové elektronické učební omůcky. Jedním z dílčích cílů bylo uravit a zejména dolnit kaitoly o Hammingových a Reedových Mullerových kódech. Graický vzhled rogramů, kaitol i ukázkových říkladů byl volen tak, aby se říliš nelišil od ůvodního návrhu stránek. Podrobnější ois úrav, které byli rovedeny, je nální kaitoly 3. Hlavním cílem ráce bylo dolnit říručku o rogramy v rostředí WebMathematica. Během řešení bakalářské ráce bylo třeba nastudovat základy využití rostředí WebMathematica, které je na Univerzitě Tomáše Bati ve Zlíně řístuné ro studenty. Poté bylo vytvořeno celkem šest rogramů z oblasti kódování a dekódování zadaného kódového slova odle zvolené metody bezečnostního kódu. Tyto rogramy by měly řisět ke zřehlednění a lešímu ochoení daného roblému. Pois jednotlivých rogramů lze najít v kaitole 4. Je nutné zdůraznit, že rostředí WebMathematica je velmi vhodným nástrojem ro vytváření raktických říkladů, se kterými mohou studenti komunikovat on-line. Mezi nevýhody tohoto systému lze zařadit naříklad obtížné hledání chyby ve zdrojovém kódu, jelikož říkazy se veisují do zdrojového kódu html stránky a není roto možné zobrazovat chybové hlášky jako u samotného rogramu Mathematica. Celá ráce je dolněna o teorii lineárních binárních bezečnostních kódů, která solečně s říklady ukazuje rinciy rogramů na kódování a dekódování. Věřím že výsledky mé ráce alesoň trochu omohou studentům ři skládání zkoušek.

49 The essence o the tabled comosition, which alls thematical to the linear binary saety codes area and at the same time to the multimedia esousal o teaching, was the modiication and the comletion o an exist internet teaching assistant. One o the artial goals was to modiy and irst o all to comlete chaters about Hamming and Reed Muller codes. The grahics wiev o rograms, chaters and examles was chosen same as the wiev o original ages. More detailed descrition o adatations, wich were made, contains the chater 3. The main goal o the work was to comlete the internet teaching assistant by rograms in acies WebMathematica. During the making this bachelor thesis it has been the occasion to learn basic alications o acies WebMathematica., which is avaliable or the students at the Thomas Bata University in Zlín. Ater it were made six rograms o the coding and decoding desired code words area ater choice method o saety code. These rograms should have been assistant to make easier and to better understanding the roblem. Descrition o these rograms contains the chater 4. It is necessary to accent that the using o the systems like the WebMathematica is an big advantage to make the ractical examles, which are on-line or the students. A disavantage is a diicult searching errors in the source code, because commands are written in the source code o html ages and it is not ossible to show errors like in the rogram Mathematica. The whole work is comleted by the theory o linear binary saety codes, which together with examles shows rinciles o rograms or coding and decoding. I hoe that results o my work will hel other students during assing the exams.

50 [] VLČEK, Karel. Komrese a kódová zabezečení v multimediálních komunikacích. 2. vyd. Praha : BEN - TECHNICKÁ LITERATURA, s. ISBN [2] NĚMEC, Karel. Majoritní dekódování blokových kódů [online] [cit ]. Dostuný z WWW: < htt:// /clanky/44/>. [3] PRSKAVEC, Ladislav. WebMathematica 2 [online] [cit ]. Dostuný z WWW: < htt://k35.eld.cvut.cz/vyuka/webmathematica/>. [4] PROKOPOVÁ, Z. Zaklady inormatiky. Skritum VUT Brno. Brno: FAKULTA TECHNOLOGICKÁ, 99. [5] POPELKOVÁ, Kateřina. Současná česká graická úrava knih, možnosti roagace literatury. Elektronická kniha. Bakalářská ráce. FT UTB Zlín, 2.

51 PAS Počítačové algebraické systémy. JSP Java server ages.

52 Obr.. Postu zracování ožadavku WebMathematicou... 2 Obr. 2. Výsledek statického kódu... 4 Obr. 3. Rozdělení bezečnostních kódů... 6 Obr. 4. Základní vzhled webové omůcky Obr. 5. Ukázka změn v kaitole o Hammingových kódech Obr. 6. Vzhled vytvořené stránky s říkladem Obr. 7. Zvýraznění odkazů na říklady a vytvořené říklady Obr. 8. Ukázka ráce rogramu na kódování Hammingova kódu... 3 Obr. 9. Program na dekódování Hammingova kódu Obr.. Kódování rozšířeného Hammingova kódu Obr.. Dekódování rozšířeného Hammingova kódu Obr. 2. Kódování Reedova Mullerova kódu Obr. 3. Dekódování Reedova Mullerova kódu... 47

53 Tab.. Konigurace Hammingových kódů... 8 Tab. 2. Rozšířený Hammingův kód... 9 Tab. 3. Tvorba generující matice Reedova Mullerova kódu... 2 Tab. 4. Přijatá oslounost Tab. 5. Dekódované bity Tab. 6. Přeočítání oslounosti ro druhou etau Tab. 7. Výsledek dekódování... 45

54 P I Zdrojový kód P II Zdrojový kód 2 P III Zdrojový kód 3 P IV Zdrojový kód 4 P V Zdrojový kód 5 P VI Zdrojový kód 6

55 <!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4. Transitional//EN" "htt:// tagliburi"/webmathematica-taglib" reix"ms" %> <html> <head> <meta HTTP-EQUIV"Content-tye" Content"text/html; charsetwindows(cp 25)"> <title>hammingovy kódy - kódování</title> <meta name"generator" content"tsw WebCoder"> </head> <ms:allocatekernel> <body> <table border bordercolor"#57a"> <tr> <ont color"#57a"> <h><center>hammingovy kódy - kódování</center></h> <center><h4>zadejte kódové slovo, které chcete zakódovat. Pro kód (3,) jednomístné, ro (7,4) čtyřmístné a ro (5,) jedenáctimístné! </ont><hr></center> <orm method"ost" action"hamming2.js"> <inut tye"text" size"" name"vstu"> <inut tye"submit" value"zakóduj"> </orm> <> <b> <table border bgcolor"#ecc5d"> <tr> <b>zadané kódové slovo:</b> </td> <ms:evaluate> vstutostring[$$vstu] </ms:evaluate> </td></tr> <ms:evaluate> a ""; aa ""; For[i,i<StringLength[vstu],i++; aa<>stringtake[vstu,{i}]<>",";]; For[i,i<StringLength[a]-,i++;aaaa<>StringTake[a,{i}];]; aa "{" <> aa <> "}"; atoexression[aa,traditionalform]; I[StringLength[vstu], g {{,, }};]; I[StringLength[vstu] 4, g {{,,,,,, }, {,,,,,, }, {,,,,,, }, {,,,,,, }};]; I[StringLength[vstu], g{{,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,}}; ]; xa.g; xtoexression[stringrelace[tostring[x],{"2"->"","3"->"","4"->"","5"->"","6"->"","7"- >""}],TraditionalForm]; </ms:evaluate> <tr> <b>generující matice:</b> </td> <ms:evaluate>

56 MSPFormat[MatrixForm[g]] </ms:evaluate> </td></tr> <tr> <b>zakódované slovo:</b> </td> <ms:evaluate> rozhod; For[i,i<StringLength[vstu],i++; I[StringTake[vstu,{i}]"" \[Or] StringTake[vstu,{i}]"", rozhod2, rozhod];]; I[rozhod, I[StringLength[vstu] \[Or] StringLength[vstu]4 \[Or] StringLength[vstu], MSPFormat[MatrixForm[{x}]], MSPFormat[MatrixForm["Šatná délka zadaného slova"]]],mspformat[matrixform["zadané slovo obsahuje neovolené znaky"]]] </ms:evaluate> </td></tr></table></b> </td></tr></table> </body> </ms:allocatekernel> </html>

57 <!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4. Transitional//EN" "htt:// tagliburi"/webmathematica-taglib" reix"ms" %> <html> <head> <meta htt-equiv"content-tye" content"text/html; charsetwindows-25"> <title> Hammingovy kódy - dekódování</title> <meta name"generator" content"tsw WebCoder"> </head> <ms:allocatekernel> <body> <table border bordercolor"#57a"> <tr> <ont color"#57a"> <h><center>hammingovy kódy - dekódování</center></h> <center><h4>zadejte kódové slovo, bylo řijato. Pro kód (3,) trojmístné, ro (7,4) sedmimístné a ro (5,) atnáctimístné </ont> <hr> </center> <orm method"ost" action"hamdek.js"> <inut tye"text" size"2" name"vstu"> <inut tye"submit" value"dekóduj"> </orm> <> <b> <table border bgcolor"#ecc5d"> <tr> <b>zadané kódové slovo:</b> </td> <ms:evaluate> vstutostring[$$vstu] </ms:evaluate> </td></tr> <ms:evaluate> v ""; vv ""; For[i,i<StringLength[vstu],i++; vv<>stringtake[vstu,{i}]<>",";]; For[i,i<StringLength[v]-,i++;vvvv<>StringTake[v,{i}];]; vv "{" <> vv <> "}"; vtoexression[vv,traditionalform]; I[StringLength[vstu] 3, h {{,, },{,,}};]; I[StringLength[vstu] 7, h {{,,,,,, }, {,,,,,, }, {,,,,,, }}; ]; I[StringLength[vstu]5, h{{,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,}}; ]; sh.v; stoexression[stringrelace[tostring[s],{"2"->"","3"->"","4"->"","5"->"","6"->"","7"->"","8"->"","9"- >"",""->"",""->""}],TraditionalForm]; </ms:evaluate> <tr> <b>kontrolní matice:</b> </td>

58 <ms:evaluate> MSPFormat[MatrixForm[h]] </ms:evaluate> </td></tr> <tr> <b>dekódovaný syndrom:</b> </td> <ms:evaluate> MSPFormat[MatrixForm[s]] </ms:evaluate> </td></tr> <tr> <b>přijaté slovo obsahuje chybu na místě:</b> </td> <ms:evaluate> a; rozhod; For[ i,i<stringlength[vstu],i++; I [StringTake[vstu,{i}]"" \[Or] StringTake[vstu,{i}]"", rozhod2, rozhod ]; ]; I [rozhod, I[StringLength[vstu] 3 \[Or] StringLength[vstu]7 \[Or] StringLength[vstu]5, I [s{,} \[Or] s{,,} \[Or] s{,,,}, MSPFormat["Přijaté slovo neobsahuje chyby"], For [i, i < Length[Part[h, ]], i++; x h[[all, i]]; I[x s, a i] ]; I[a,MSPFormat[Přijaté slovo obsahuje více chyb],mspformat[a]] ],MSPFormat[MatrixForm["Zadané slovo má šatnou délku"]]], MSPFormat[MatrixForm["Zadané slovo obsahuje neovolené znaky"]] ] </ms:evaluate> </td> </tr></table></b> </td></tr></table> </body> </ms:allocatekernel> </html>

59 <!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4. Transitional//EN" "htt:// tagliburi"/webmathematica-taglib" reix"ms" %> <html> <head> <meta htt-equiv"content-tye" content"text/html; charsetwindows-25"> <title>rozšířené Hammingovy kódy - kódování</title> <meta name"generator" content"tsw WebCoder"> </head> <ms:allocatekernel> <body> <table border bordercolor"#57a"> <tr> <ont color"#57a"> <h><center>rozšířené Hammingovy kódy - kódování</center></h> <center><h4>zadejte kódové slovo, které chcete zakódovat. Pro kód (4,) jednomístné, ro (8,4) ctyřmístné a ro (6,) jedenáctimístné! </ont> <hr></center> <orm method"ost" action"hammingroz.js"> <inut tye"text" size"" name"vstu"> <inut tye"submit" value"zakóduj"> </orm> <> <b> <table border bgcolor"#ecc5d"> <tr> <b>zadané kódové slovo:</b> </td> <ms:evaluate> vstutostring[$$vstu] </ms:evaluate> </td></tr> <ms:evaluate> a ""; aa ""; For[i,i<StringLength[vstu],i++; aa<>stringtake[vstu,{i}]<>",";]; For[i,i<StringLength[a]-,i++;aaaa<>StringTake[a,{i}];]; aa "{" <> aa <> "}"; atoexression[aa,traditionalform]; I[StringLength[vstu], g {{,,,}};]; I[StringLength[vstu] 4, g {{,,,,,,, }, {,,,,,,, }, {,,,,,,, }, {,,,,,,, }}; ]; I[StringLength[vstu], g{{,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,}} ; ]; xa.g; xtoexression[stringrelace[tostring[x],{"2"->"","3"->"","4"->"","5"->"","6"->"","7"- >""}],TraditionalForm]; </ms:evaluate> <tr> <b>generující matice:</b>

60 </td> <ms:evaluate> MSPFormat[MatrixForm[g]] </ms:evaluate> </td></tr> <tr> <b>zakódované slovo:</b> </td> <ms:evaluate> rozhod; For[i,i<StringLength[vstu],i++; I[StringTake[vstu,{i}]"" \[Or] StringTake[vstu,{i}]"", rozhod2, rozhod];]; I[rozhod, I[StringLength[vstu] \[Or] StringLength[vstu]4 \[Or] StringLength[vstu], MSPFormat[MatrixForm[{x}]], MSPFormat[MatrixForm["Šatná délka zadaného slova"]]],mspformat[matrixform["zadané slovo obsahuje neovolené znaky"]]] </ms:evaluate> </td></tr></table></b> </td></tr></table> </body> </ms:allocatekernel> </html>

61 <!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4. Transitional//EN" "htt:// tagliburi"/webmathematica-taglib" reix"ms" %> <html> <head> <meta htt-equiv"content-tye" content"text/html; charsetwindows-25"> <title> Hammingovy rozšířené kódy - dekódování</title> <meta name"generator" content"tsw WebCoder"> </head> <ms:allocatekernel> <body> <table border bordercolor"#57a"> <tr> <ont color"#57a"> <h><center>hammingovy rozšířené kódy - dekódování</center></h> <center><h4>zadejte kódové slovo,které bylo řijato. Pro kód (4,) čtyř, ro (8,4) osmi a ro (6,) šestnáctimístné </ont><hr></center> <orm method"ost" action"hamdekroz.js"> <inut tye"text" size"" name"vstu"> <inut tye"submit" value"dekóduj"> </orm> <> <b> <table border bgcolor"#ecc5d"> <tr> <b>zadané kódové slovo:</b> </td> <ms:evaluate> vstutostring[$$vstu] </ms:evaluate> </td></tr> <ms:evaluate> v ""; vv ""; For[i,i<StringLength[vstu],i++; vv<>stringtake[vstu,{i}]<>",";]; For[i,i<StringLength[v]-,i++;vvvv<>StringTake[v,{i}];]; vv "{" <> vv <> "}"; vtoexression[vv,traditionalform]; I[StringLength[vstu] 4, h {{,,,},{,,,},{,,,}};]; I[StringLength[vstu] 8, h {{,,,,,,, }, {,,,,,,, }, {,,,,,,, }, {,,,,,,,}}; ]; I[StringLength[vstu]6, h{{,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,},{,,,,,,,,,,,,,,,}}; ]; sh.v; stoexression[stringrelace[tostring[s],{"2"->"","3"->"","4"->"","5"->"","6"->"","7"->"","8"->"","9"- >"",""->"",""->""}],TraditionalForm]; </ms:evaluate> <tr> <b>kontrolní matice:</b> </td> <ms:evaluate> MSPFormat[MatrixForm[h]] </ms:evaluate> </td></tr>