Katedra matematiky OPERAČNÍ VÝZKUM Mgr. Andrea Kubišová

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky OPERAČNÍ VÝZKUM Mgr Andrea Kubišová 214

2 ÚVOD Tato skripta jsou základním studijním materiálem pro volitelný předmět Operační výzkum určený převážně pro studenty ekonomických oborů VŠPJ Povinnou prerekvizitou jsou vybrané kapitoly z předmětu Matematika I, týkající se základů lineární algebry, zejména pojmů aritmetický vektor a matice a jejich vlastností a vztahů V textu jsou hojně využívané a je třeba je znát Úvodní část na tyto základy lineární algebry přímo navazuje teoretickými kapitolami o řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic, především je kladen důraz na Jordanovu eliminační metodu, která je základem algoritmů využívaných při řešení úloh lineárního programování a rozhodovacích procesů ve druhé části zaměřené na praktické řešení konkrétních jednoduchých i složitějších ekonomických problémů Student se zde seznámí s různými typy úloh jedno- i vícekriteriálního lineárního programování a se základními optimalizačními metodami Každá kapitola obsahuje teoretický výklad, doplněný vzorově vyřešenými typovými příklady, přičemž velký prostor je věnován průvodním komentářům pro případné zájemce o samostudium, algebraické řešení je často navíc ilustrováno grafickým řešením pro lepší představu o významu mezivýsledků v jednotlivých krocích algoritmizovaných výpočtů Vždy je také proveden rozbor a diskuse výsledků, zásadní důraz je kladen na precizní slovní interpretaci získaných výsledků Jelikož výpočetní technika nachází v operační analýze velké uplatnění, budou cvičení k tomuto předmětu vedena v počítačových učebnách S využitím jednoduchého dostupného softwaru, zejména programů MS Excel a LinPro, které jsou nyní k dispozici ve všech učebnách, tak bude možné rychle řešit více než jen triviální vzorové úlohy, což by při ručních výpočtech nebylo časově možné Důraz tak může být přenesen na sestavování matematických modelů pro reálné ekonomické problémy, výběr vhodné metody, úpravu matematického modelu pro využití softwaru a finální interpretaci výsledků Přesto je třeba se seznámit se všemi algoritmizovanými postupy, čehož se využívá při následné postoptimalizační analýze Tato skripta tak nabízejí ucelený teoreticky i prakticky zaměřený přehled základů operačního výzkumu 2

3 OBSAH 1 kapitola SOUSTAVA LINEÁRNÍCH ROVNIC 7 11 Algebraické řešení Inverzní matice Cramerovo pravidlo Gaussova metoda Jordanova metoda Grafické řešení 18 2 kapitola SOUSTAVA LINEÁRNÍCH NEROVNIC 2 21 Grafické řešení 2 22 Algebraické řešení 22 3 kapitola OPERAČNÍ VÝZKUM Matematický model úloh Lineární programování Úlohy výrobního plánování Úlohy finančního plánování Plánování reklamy Nutriční problém Směšovací úlohy Úlohy o dělení materiálu Dopravní problém Vícekriteriální rozhodování Vícekriteriální hodnocení variant Vícekriteriální lineární programování 44 4 kapitola GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ÚLOH LP Grafické znázornění množiny přípustných řešení Grafické nalezení optimálního řešení úlohy Žádné optimální řešení Jediné optimální řešení Alternativní řešení Neomezená hodnota účelové funkce 53 5 kapitola ALGEBRAICKÉ ŘEŠENÍ ÚLOH LP Úprava matematického modelu úloh LP Základní řešení úlohy LP SIMPLEXOVÁ METODA 56 3

4 6 kapitola PRIMÁRNĚ SIMPLEXOVÁ METODA Jednofázová primárně simplexová metoda Simplexová tabulka Výchozí základní řešení Optimalizace Zakončení výpočtu Interpretace výsledku Dvoufázová primárně simplexová metoda Výchozí základní řešení Vlastní optimalizace Zakončení výpočtu Interpretace výsledku Shrnutí 84 7 kapitola DUALITA ÚLOH LP Symetrická dualita Smíšená dualita Nesymetrická dualita Řešení duálně sdružených úloh Věty o řešitelnosti dvojice sdružených úloh LP Věta o dualitě Věta o rovnováze Interpretace duálních neznámých úlohy LP 95 8 kapitola DUÁLNĚ SIMPLEXOVÁ METODA Výchozí základní řešení Simplexová tabulka Optimalizace Zakončení výpočtu Shrnutí 14 9 kapitola CELOČÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ Grafické řešení celočíselné úlohy LP Kombinatorické metody Metoda větvení a mezí Metody sečných nadrovin Gomoryho metoda sečných nadrovin kapitola POSTOPTIMALIZAČNÍ ANALÝZA Obecný tvar simplexové tabulky 115 4

5 111 Obecný maticový zápis výchozí simplexové tabulky Obecný maticový zápis výsledné simplexové tabulky Analýza citlivosti pravých stran Změna jedné kapacity Intervaly stability pro kapacity Analýza citlivosti cenových indexů Změna jedné ceny Intervaly stability pro ceny Slovní interpretace intervalů stability Intervaly stability kapacit Intervaly stability cenových indexů kapitola DOPRAVNÍ ÚLOHA Matematický model Obecné vlastnosti matematického modelu Vlastnosti dopravního problému I fáze nalezení VZŘ Metoda SZR Indexní metoda (vzestupná) Metoda VAM Porovnání metod nalezení VZŘ II fáze optimalizace Duální úloha k dopravnímu problému Dopravní tabulka Optimalizace Transformace dopravní tabulky Zakončení výpočtu Degenerace v dopravní tabulce Interpretace Shrnutí kapitola VÍCEKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ VARIANT Úlohy vícekriteriálního hodnocení variant Cíle úloh VHV Výběr jediné varianty Uspořádání variant Třídění variant Vztahy mezi dvojicemi variant 153 5

6 124 Metody odhadu vah kriterií Metoda pořadí Bodovací metoda Fullerův trojúhelník Saatyho metoda Metody vícekriteriálního hodnocení variant Metoda váženého součtu Metoda TOPSIS Metoda AHP kapitola VÍCEKRITERIÁLNÍ LP Úlohy vícekriteriálního lineárního programování Vztahy mezi dvojicemi variant Metody řešení úloh VLP Agregace účelových funkcí Kompromisní řešení podle minimální komponenty Minimalizace relativní vzdálenosti od ideálních hodnot Cílové programování 173 6

7 1 kapitola SOUSTAVA LINEÁRNÍCH ROVNIC 1 Definice 11 Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých, kde m, n N, rozumíme soustavu ve tvaru (11) Reálná čísla x j, kde j = 1, 2,, n, nazýváme neznámé či proměnné, reálná čísla a ij, kde i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n, nazýváme koeficienty (v i-té rovnici u j-té neznámé), reálná čísla b i, kde i = 1, 2,, m, nazýváme absolutní členy či pravé strany (i-té rovnice) Poznámka: V dalším textu může být pro pojem soustava lineárních rovnic použita také zkratka SLR Na střední škole jste se naučili se soustavami lineárních rovnic pracovat a pomocí úprav rovnic řešit soustavu lineárních rovnic dosazovací či sčítací metodou Tyto metody ovšem nebudeme v dalším textu používat 11 Algebraické řešení Další možnost, jak se soustavami lineárních rovnic pracovat, nám dávají algebraické objekty (aritmetický) vektor a matice Dále byly zavedeny operace s nimi, a také pojmy lineární kombinace, závislost a nezávislost vektorů, hodnost matice, determinant, regulární a singulární matice, inverzní matice Pro následné algebraické řešení doplňme ještě odpovídající maticové vyjádření soustav lineárních rovnic: Definice 12 Maticí soustavy (11) nazýváme obdélníkové schéma, (12) rozšířenou maticí soustavy (11) nazýváme obdélníkové schéma (13) 7

8 Vektorem neznámých (vektorem proměnných) soustavy (11) nazýváme vektor, (14) vektorem pravých stran soustavy (11)nazýváme vektor (15) Poznámka: Při tomto označení můžeme soustavu (11) zapsat stručně jako maticovou rovnicí, (16) Platnost vztahu můžeme ověřit rozepsáním této rovnosti s využitím operace součinu matic Tento způsob zápisu SLR nám v dalším často umožní přehlednější a stručnější vyjadřování Definice 13 Řešit SLR (11) znamená nalézt všechny vektory neznámých které vyhovují každé rovnici soustavy (11) Tyto vektory nazýváme vektory řešení soustavy (11), dohromady tvoří množinu řešení soustavy (11) Ze střední školy dále víme, že při řešení SLR může nastat jedna ze tří variant výsledku: 1) SLR nemá řešení, 2) SLR má právě jedno řešení, 3) SLR má nekonečně mnoho řešení 1 Věta 11 (Frobeniova věta): Soustava (11) má alespoň jedno řešení, právě když je hodnost matice soustavy rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tj h(ar) = h(a) Poznámka: V případě, že se hodnosti obou zmíněných matic rovnají, hovoří tato věta pouze o existenci řešení, nikoliv o jejich počtu Pomocí Frobeniovy věty tedy rozhodujeme pouze o řešitelnosti SLR Věta 12 Předpokládejme, že soustava (11) má řešení, h je hodnost matice této soustavy a n je počet neznámých Potom platí: 1) Jestliže h = n, potom má soustava (11) právě jedno řešení, 2) Jestliže h < n, potom má soustava (11) nekonečně mnoho řešení, k zápisu obecného řešení je potřeba n h volných neznámých 8,

9 Pojmem volné neznámé rozumíme těch n h vybraných neznámých, za které volíme libovolná reálná čísla, čímž je ostatních h neznámých určeno jednoznačně Tyto neznámé někdy nazýváme základní neznámé, pro volné neznámé se proto také někdy používá pojem nezákladní neznámé V dalším textu této kapitoly se budeme věnovat čtyřem základním algebraickým metodám řešení SLR: 111 Inverzní matice Úpravou maticové rovnice (16) můžeme získat explicitní vyjádření vektoru neznámých soustavy (11), které využívá další věta: Věta 13 Jestliže je matice soustavy lineárních rovnic (11) regulární, má tato soustava právě jedno řešení (17) Tuto metodu lze tedy dle předpokladu použít pouze pro soustavy, jejichž matice jsou regulární Pokud matice soustavy není čtvercová, je třeba rovnou zvolit jinou metodu řešení Pokud má SLR regulární čtvercovou matici, z předchozího studia víte, že k ní existuje jediná inverzní matice Potom SLR má jediné řešení, získané pomocí předpisu (17) Pokud má SLR čtvercovou matici, která není regulární, prakticky to znamená, že v průběhu úprav zjistíme, že k její matici neexistuje matice inverzní a SLR potom buď nemá žádné řešení, nebo má nekonečně mnoho řešení O kterou z variant výsledku se jedná, přitom touto metodou nemohu rozhodnout 1 Příklad 11: Pomocí inverzní matice nalezněte řešení SLR Řešení Hledejme tedy nejprve inverzní matici k matici této SLR Inverzní matice v tomto případě existuje, po dosazení do (17) dostaneme soustava má jediné řešení, které můžeme zapsat jako vektor 9

10 112 Cramerovo pravidlo Při hledání řešení SLR můžeme využít také determinantů Věta 14 (Cramerovo pravidlo): Jestliže je matice soustavy (11) regulární matice řádu n, potom má soustava (11) právě jedno řešení pro (18) kde A j je matice, která vznikne z matice A nahrazením j-tého sloupce sloupcem pravých stran rovnic soustavy (11) Příklad 12: Pomocí determinantů nalezněte řešení SLR Řešení Určeme nejprve determinant matice této SLR Jelikož je různý od nuly, má podle předpokladu věty 14 smysl pokračovat touto metodou, soustava má jediné řešení Pro výpočet hodnoty první neznámé určeme ještě determinant matice A 1, ve které je první sloupec matice A nahrazen sloupcem pravých stran zadané soustavy Podíl (s nenulovým jmenovatelem) je hledanou hodnotou první neznámé zadané soustavy Po analogickém výpočtu pro zbývající dvě neznámé můžeme její jediné řešení zapsat jako vektor Z předpokladu regulárnosti u vět 13 a 14 vyplývá, že pomocí předcházejících dvou metod má smysl řešit pouze soustavy lineárních rovnic, které mají právě jedno řešení Tuto vlastnost ověříme v průběhu řešení při aplikaci algoritmu hledání A -1 resp určování deta Pokud zjistíme, že inverzní matice k matici soustavy neexistuje, resp determinant matice soustavy je nulový, zjistíme pouze, že zde nastává jiný typ výsledku (žádné řešení nebo nekonečně mnoho řešení) a je nutné použít metodu jinou Zde jsou další univerzálnější metody řešení 1

11 113 Gaussova metoda V první fázi hledání řešení soustavy lineárních rovnic (11) jsme porovnali hodnost matice soustavy a rozšířené matice soustavy, v algoritmu určování hodnosti jsme používali úpravy neměnící hodnost matice Jeho obdobu využijeme nyní při hledání řešení SLR Definice 14 Řekneme, že dvě SLR jsou navzájem ekvivalentní, pokud se jejich množiny všech řešení rovnají Věta 15 Mezi úpravy neměnící množinu všech řešení soustavy (11) patří: 1) záměna pořadí rovnic, 2) vynásobení libovolné rovnice soustavy libovolným nenulovým reálným číslem, 3) přičtení k libovolné rovnici soustavy libovolných násobků ostatních rovnic soustavy, 4) vynechání rovnice, která je lineární kombinací ostatních rovnic soustavy Poznámka: Tyto úpravy budeme nazývat ekvivalentní úpravy SLR Pokud soustavu (11) reprezentujeme maticovým zápisem ve tvaru (16), můžeme tvrzení předchozí věty zapsat analogicky: Věta 16 Mezi úpravy neměnící množinu všech řešení soustavy (11) patří: 1) záměna pořadí řádků, 2) vynásobení libovolného řádku matice libovolným nenulovým reálným číslem, 3) přičtení k libovolnému řádku matice libovolných násobků řádků ostatních, 4) vynechání řádku matice, který je lineární kombinací řádků ostatních Poznámka: Tyto úpravy budeme nazývat ekvivalentní řádkové úpravy matice SLR Definice 15 Matice, jejíž každý další řádek začíná alespoň o jedničku větším počtem nul než řádek předcházející, se nazývá matice ve schodovitém (odstupňovaném) tvaru Definice 16 Matice, jejíž každý další řádek začíná právě o 1 větším počtem nul než řádek předcházející, se nazývá matice v lichoběžníkovém tvaru Je-li navíc tato matice čtvercová, nazývá se matice v trojúhelníkovém tvaru ALGORITMUS: Podstatou algoritmu Gaussovy metody neúplné eliminace je převedení rozšířené matice soustavy pomocí konečného počtu ekvivalentních řádkových úprav do odstupňovaného tvaru, ze kterého pak vyjádříme řešení soustavy (11) jednodušším způsobem než z rozšířené matice (13) 1 Sestavíme rozšířenou matici dané soustavy lineárních rovnic 2 Pouze pomocí ekvivalentních řádkových úprav převedeme na matici ve schodovitém tvaru V prvním kroku zapíšeme na první místo řádek začínající na první pozici nenulovým prvkem a ve všech následujících řádcích eliminujeme vhodným násobením řádku prvního všechny prvky pod tímto nenulovým prvkem V i-tém kroku zapíšeme na i-té místo řádek, začínající co největším, ale alespoň o 1 větším počtem nul než řádek předchozí, pod nenulovým prvkem s nejnižším sloupcovým indexem ve všech následujících řádcích eliminujeme vhodným násobením řádku i-tého všechny prvky Nulové řádky vzniklé při tomto procesu vynecháme Zřejmě počet řádků této matice je roven číslu h 11

12 Opakování úprav končí, dosáhneme-li požadované vlastnosti i v posledním řádku Zřejmě k tomu vždy postačí konečný počet ekvivalentních řádkových úprav 3 Pomocí Frobeniovy věty (věta 11) rozhodneme o řešitelnosti soustavy Soustava lineárních rovnic (11) nemá žádné řešení, pokud jsou v matici z posledního kroku všechny koeficienty posledního řádku nulové a pravá strana je nenulové číslo a hledání množiny všech řešení soustavy, úloha nemá žádné řešení 4 Podle věty 12 rozhodneme o počtu řešení Soustava (11) má jediné řešení, pokud je matice soustavy z posledního kroku trojúhelníková, jinak má nekonečně mnoho řešení V tom případě je matice soustavy z posledního kroku odstupňovaná, nikoli však trojúhelníková 5 Z výsledného tvaru matice reprezentující soustavu lineárních rovnic s původní soustavou lineárních rovnic získáme zápis řešení metodou zpětného dosazování: Má-li úloha jediné řešení, od posledního řádku směrem nahoru postupně vyjadřujeme první neznámou s nenulovým koeficientem pomocí ostatních, které jsme již v předchozích řádcích vyjádřili Zápis řešení je nejnáročnější v případě, že má úloha nekonečně mnoho řešení Ve výsledném tvaru matice jsme dostali h lineárně nezávislých řádků pro původních n neznámých Z těchto n neznámých je tedy těmito podmínkami h z nich přesně určeno v případě, že si zbylých n h zvolíme Tyto neznámé proto nazýváme příznačně volné neznámé Je-li výsledná matice lichoběžníková, vybereme jako volné neznámé n h posledních Jinak je třeba zaměnit (alespoň v duchu ) pořadí sloupců, matici do lichoběžníkového tvaru převést a poté vybrat jako volné neznámé n h posledních Od posledního řádku směrem nahoru postupně vyjadřujeme první neznámou s nenulovým koeficientem pomocí ostatních, které jsme již v předchozích řádcích zvolili nebo vyjádřili Poznámka: V případě nekonečně mnoha řešení není zápis řešení dán jednoznačně stejně tak jako už předchozí výsledná matice, jelikož jsme mohli mít v jednotlivých krocích bodu 2 na výběr z několika řádků začínajících požadovaným počtem nul Příklad 13: Pomocí Gaussovy metody neúplné eliminace nalezněte řešení SLR Řešení Pro danou SLR zapišme rozšířenou matici soustavy a pomocí úprav neměnících množinu řešení soustavy upravujme do odstupňovaného tvaru Jelikož h(a) = h(a r ), má podle Frobeniovy věty soustava řešení Jelikož toto h = 3 a počet neznámých soustavy je n = 3, má soustava podle věty 12 právě jedno řešení Ze soustavy odpovídající tvaru výsledné matice 12

13 získáme pomocí metody zpětného dosazování z posledního řádku z druhého řádku, a odtud po dosazení a odtud po dosazení jediné řešení soustavy opět můžeme zapsat jako vektor Příklad 14: Pomocí inverzní matice nalezněte řešení SLR Řešení Pro danou SLR zapišme rozšířenou matici soustavy a pomocí úprav neměnících množinu řešení soustavy upravujme do odstupňovaného tvaru Jelikož h(a) = 2 a h(a r ) = 3, podle Frobeniovy věty soustava nemá řešení Příklad 15: Pomocí Gaussovy metody neúplné eliminace nalezněte řešení SLR Řešení Pro danou SLR zapišme rozšířenou matici soustavy a pomocí úprav neměnících množinu řešení soustavy upravujme do odstupňovaného tvaru 13

14 Jelikož h(a) = h(a r ), má podle Frobeniovy věty soustava řešení Jelikož toto h = 2 a počet neznámých soustavy je n = 4, má soustava podle Věty 12 nekonečně mnoho řešení, pro jehož zápis bude potřeba n h = 2 volných neznámých, jelikož je matice v lichoběžníkovém tvaru, nabízí se vybrat x 3 a x 4 Ze soustavy odpovídající tvaru výsledné matice vyjádříme a z druhé rovnice vyjádříme x 2 které dosadíme do první, čímž získáme Pouze pomocí volných neznámých x 3 a x 4 se nám podařilo vyjádřit všechny ostatní neznámé, můžeme je nyní uspořádat v zápise vektoru řešení soustavy kde V následujících definicích zavedeme pojmy, které se týkají řešení soustav lineárních rovnic, které mají nekonečně mnoho řešení Definice 17 Vztah, kterým jsou explicitně vyjádřena všechna řešení soustavy, která má nekonečně mnoho řešení, se nazývá obecné řešení soustavy Výběrem n h volných neznámých, za které volíme při zápisu řešení soustavy libovolná reálná čísla, je ostatních h neznámých určeno jednoznačně Pro jejich rozlišení budeme používat následující pojmy: Definice 18 Proměnné (neznámé), pomocí nichž je obecné řešení soustavy vyjádřeno, nazýváme nezákladní proměnné, zbývající proměnné nazýváme základní proměnné Definice 19 Dosazením konkrétních reálných čísel za nezákladní proměnné do obecného řešení soustavy, která má nekonečně mnoho řešení, získáme jedno řešení soustavy, které nazýváme partikulární řešení soustavy Definice 11 Partikulární řešení soustavy, ve kterém jsou všechny základní proměnné rovny nule, nazýváme základní řešení soustavy Definice 111 Základní řešení soustavy, ve kterém je alespoň jedna základní proměnná rovna nule, nazýváme degenerované základní řešení 14

15 Příklad 16: Nalezněte obecné, dvě partikulární (ale ne základní) řešení a základní řešení SLR z předchozího příkladu Řešení Obecně vyjádřené vektory kde explicitně popisují všechna řešení zadané SLR, jedná se tedy o zápisy obecného řešení Pro získání partikulárního řešení zvolme za základní neznámé libovolná reálná čísla, pro splnění požadavku v závorce nesmí být obě zároveň nulová, např pro x 1 = 1, x 2 = 1: kde nebo pro x 1 =, x 2 = 1: Stejným způsobem bychom dostali všech nekonečně mnoho dalších řešení soustavy Základní řešení soustavy získáme dosazením nul za všechny (tedy obě) základní neznámé Pro x 1 = x 2 = tedy dostaneme Poznámka: Zřejmě bude možné zapsat i jiná základní řešení, záleží na tom, které neznámé vybereme za základní neznámé V zadaném příkladě mohu ze čtyř neznámých úlohy vybrat i jiné dvojice než x 3 a x 4 Počet všech různých dvojic bez opakování ze čtyř prvků můžeme zapsat kombinačním číslem Některá základní řešení se ovšem mohou rovnat a pozor, ne vždy je možné vybrané neznámé pomocí ostatních neznámých vyjádřit, Každému obecnému řešení odpovídá maximálně jedno základní řešení, nemusí proto vůbec existovat Platí tedy následující věta: Věta 17 Má-li soustava (11) nekonečně mnoho řešení, potom existuje maximálně základních řešení 15

16 114 Jordanova metoda Jordanova metoda vychází ze stejných úvah jako Gaussova metoda, výslednou matici získanou předcházející metodou ovšem ještě dále upravujeme Definice 112 Matice, z jejíchž sloupců lze sestavit jednotkovou matici, se nazývá matice v kanonickém tvaru Algoritmus metody úplné eliminace Podstatou tohoto algoritmu je převedení rozšířené matice soustavy pomocí konečného počtu ekvivalentních řádkových úprav do kanonického tvaru, ze kterého pak rovnou vyjádříme řešení soustavy (11) 1 Sestavíme rozšířenou matici dané soustavy lineárních rovnic 2 Pouze pomocí ekvivalentních řádkových úprav nejprve převedeme na matici ve schodovitém tvaru (viz bod 2 v kapitole 113) Dále postupujeme v úpravách od posledního řádku V i-tém kroku vydělíme i-tý řádek jeho prvním nenulovým prvkem, čímž na jeho místě získáme 1 a ve všech jemu předcházejících řádcích eliminujeme vhodným násobením tohoto řádku všechny prvky nad tímto prvkem 1 Opakování úprav končí, dosáhneme-li požadované vlastnosti i v prvním řádku Zřejmě k tomu vždy postačí konečný počet ekvivalentních řádkových úprav Počet řádků takto vzniklé matice je stále roven číslu h 3 O řešitelnosti opět rozhodneme pomocí Frobeniovy věty 4 O počtu řešení opět rozhodněme pomocí Věty 12 5 Z výsledného kanonického tvaru získáme rovnou zápis řešení Má-li úloha jediné řešení, je v řádku pouze jedna neznámá s koeficientem 1, ostatní koeficienty jsou nulové, pravé strany jsou tedy přímo hodnoty hledaných neznámých V případě, že úloha má nekonečně mnoho řešení, neznámé, jejichž sloupce tvoří jednotkovou matici kanonického tvaru, jsou základní, ostatní jsou nezákladní Z každého řádku můžeme přímo vyjádřit příslušnou základní neznámou pomocí neznámých nezákladních, jiné základní neznámé se v řádku vůbec nevyskytují a není třeba dalších úprav rovnic Vektor řešení soustavy tak můžeme zapsat z výsledné matice v kanonickém tvaru zpaměti Právě Jordanova metoda je díky průzračnosti výsledné tabulky a eleganci zápisu obecného i základního řešení metodou v tomto kurzu preferovanou Nebude-li určeno jinak, vždy ji používejte k řešení SLR Je základem simplexového algoritmu, který budeme v druhé části Operačního výzkumu používat, je třeba se s ní důkladně seznámit Příklad 17: Pomocí Jordanovy metody úplné eliminace nalezněte řešení SLR 16

17 Řešení Využijeme výsledné matice získané Gaussovou metodou v předcházejícím příkladě, která je ve schodovitém (lichoběžníkovém) tvaru Na tomto místě se provádí diskuse o řešitelnosti a počtu řešení soustavy, která už byla zapsána v předchozím způsobu řešení Je třeba získat 1 z prvních nenulových prvků všech řádků a eliminovat všechny prvky nad nimi Zde jsou všechny první nenulové prvky v každém řádku 1, druhý řádek zcela vyhovuje požadavku kanonického tvaru, stačí tedy pouze eliminovat prvek nad prvkem a 22, postačí vynásobit druhý řádek číslem -1 a přičíst k řádku druhému Z výsledné matice v kanonickém tvaru vyjádříme (což můžeme udělat zpaměti) a rovnou zapíšeme vektor obecného řešení soustavy a kde Odpovídající základní řešení bychom také mohli zapsat rovnou z kanonického tvaru matice 17

18 12 Grafické řešení Kromě původního a maticového způsobu zápisu je možné jednotlivé rovnice soustavy vyjádřit též graficky v kartézské souřadné soustavě I tímto způsobem je potom možné řešit jednoduché SLR Při zobrazování souřadnic v rovině jsme ovšem omezeni dimenzí vektoru řešení, dvojici neznámých můžeme vynášet přímo na dvojici kolmých souřadných os, případně pomocí nějaké metody deskriptivní geometrie do roviny zobrazit prostor trojrozměrný V našem kurzu se v grafickém řešení omezíme pouze na objekty o dvou neznámých zobrazované ve dvourozměrné KSS Věta 18 Grafem i-té rovnice soustavy (11) ve tvaru je přímka, kterou můžeme vydělením pravou stranou b i převést do tzv úsekového tvaru ze kterého jsou přímo patrné úseky, které tato přímka vytíná na jednotlivých osách: osu x 1 protíná v bodě a osu x 2 protíná Grafické řešení soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých prakticky obnáší určení geometrického místa bodů, které splňují všechny rovnice současně, a leží tedy ve společném průniku všech přímek soustavy Z diskuse o vzájemné poloze (několika) přímek v rovině vyplývá, že mohou nastat tři různé možnosti: 1) Přímky nemají žádný společný průnik 2) Všechny přímky procházejí jediným společným bodem 3) Všechny přímky splývají, průnikem je celá přímka Toto odpovídá dříve popsaným variantám výsledku při početním řešení známým ze střední školy Příklad 18: Vyřešte graficky soustavu tří lineárních rovnic o dvou neznámých, Řešení Pro lepší orientaci mezi objekty grafu zavedeme označení přímek po řadě a, b, c První rovnici, která reprezentuje přímku a, převedeme na úsekový tvar vydělením číslem 6, 18

19 Druhou rovnici nelze do úsekového tvaru převést, jelikož prochází počátkem souřadné soustavy, postačí tedy určit druhý bod, kterým přímka b prochází Třetí rovnici převedeme na úsekový tvar, ze kterého vyplývá, že přímka c neprotíná osu x 2 Sestrojíme odpovídající přímky a nakonec vyhodnotíme jejich vzájemnou polohu Obrázek 11 Grafické řešení SLR Vzhledem k možným nepřesnostem rýsování je vhodné prověřit výpočtem, zda se všechny tři přímky protínají v bodě A Určeme nejprve souřadnice průsečíku přímek a a b: musí ležet na obou přímkách zároveň, řešíme tedy soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Bod o souřadnicích [4;2] zřejmě leží také na přímce c, jde tedy o společný průnik všech tří přímek Zjistili jsme, že zadaná soustava má právě jedno řešení, které mohu zapsat vektorem řešení 19

20 2 kapitola SOUSTAVA LINEÁRNÍCH NEROVNIC 2 Definice 21 Soustavou m lineárních nerovnic o n neznámých, kde m, n soustavu ve tvaru, rozumíme (21) Reálná čísla x j, kde j = 1, 2,, n, nazýváme neznámé či proměnné, reálná čísla a ij, kde i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n, nazýváme koeficienty (v i-té nerovnici u j-té neznámé), reálná čísla b i, kde i = 1, 2,, m, nazýváme absolutní členy či pravé strany (i-té nerovnice) V dalším textu může být pro pojem soustava lineárních nerovnic použita také zkratka SLN Poznámka: Při zachování značení z (12), (14) a (15) můžeme soustavu (21) zapsat stručně jako maticovou nerovnicí (22) V (21) jsou všechny nerovnice typu, obecněji můžeme připustit, že nerovnice mohou být také typu <, nebo > Na střední škole se obecné metody řešení soustav lineárních nerovnic nevyučují, proto pro názornost začněme grafickým způsobem řešení 21 Grafické řešení Kromě původního zápisu je možné jednotlivé nerovnice soustavy vyjádřit též graficky v kartézské souřadné soustavě a tímto způsobem je potom možné řešit jednoduché SLN Při zobrazování souřadnic v rovině jsme ovšem omezeni dimenzí vektoru řešení, dvojici neznámých můžeme vynášet přímo na dvojici kolmých souřadných os, případně pomocí nějaké metody deskriptivní geometrie do roviny zobrazit prostor trojrozměrný V našem kurzu se v grafickém řešení omezíme pouze na objekty o dvou neznámých zobrazované ve dvourozměrné KSS 2 Věta 21 Grafem i-té nerovnice soustavy (11) ve tvaru je polorovina s hraniční přímkou, 2

21 kterou opět převedeme do tzv úsekového tvaru a zobrazíme v grafu Grafické řešení soustavy lineárních nerovnic o dvou neznámých prakticky obnáší určení geometrického místa bodů, které splňují všechny nerovnice současně, a leží tedy ve společném průniku všech polorovin soustavy Z diskuse o vzájemné poloze (několika) polorovin v rovině vyplývá, že mohou nastat tři různé možnosti: 4) Poloroviny nemají žádný společný průnik 5) Všechny poloroviny mají společný jediný bod 6) Všechny poloroviny mají společných nekonečně mnoho bodů (konvexní polygon) Promyslete si všechny možnosti vzájemných poloh m polorovin v rovině 2 Příklad 21 Vyřešte graficky soustavu tří lineárních nerovnic o dvou neznámých Řešení Pro lepší orientaci mezi objekty grafu zavedeme označení hraničních přímek po řadě a, b, c První rovnici, která reprezentuje přímku a, převedeme na úsekový tvar vydělením číslem 3, Dosazením např bodu [;] do původní nerovnice zjistíme, že nerovnost je splněna, proto zvolený bod a také celá polorovina s hraniční přímkou a, ve které leží, je hledanou polorovinou Tuto skutečnost naznačíme dvěma čárkami blízko popisu hraniční přímky vedoucí od hraniční přímky směrem do této poloroviny V případě, že by šlo o nerovnost ostrou, byla by hraniční přímka vyznačena pouze čárkovaně Druhou rovnici nelze do úsekového tvaru převést, jelikož prochází počátkem KSS, postačí tedy určit druhý bod, kterým přímka b prochází Dosazením např bodu [2;] do původní nerovnice zjistíme, nerovnost splněna není, proto je hledanou polorovinou ta část roviny rozdělené hraniční přímkou b, ve které zvolený bod neleží Třetí rovnici převedeme na úsekový tvar, ze kterého vyplývá, že přímka c neprotíná osu x 2 21

22 Dosazením např bodu [;] do původní nerovnice zjistíme, nerovnost splněna není, proto je hledanou polorovinou ta část roviny rozdělené hraniční přímkou c, ve které zvolený bod neleží Sestrojíme odpovídající poloroviny a nakonec vyhodnotíme jejich vzájemnou polohu Obrázek 21 Grafické řešení SLN Vzhledem k možným nepřesnostem rýsování je vhodné souřadnice vrcholů nalezené oblasti opět přesně dopočítat Bod A je průsečíkem hraničních přímek a a b, budeme řešit SLR Bod B je průsečíkem hraničních přímek a a c, jeho souřadnice jsou řešením SLR Bod C je průsečíkem hraničních přímek b a c, jeho souřadnice jsou řešením SLR Řešením soustavy lineárních nerovnic je trojúhelník ABC (tedy konvexní mnohoúhelník), jehož vrcholy mají souřadnice A[4;2], B[2;4], C[2;1], zadaná soustava lineárních nerovnic má tedy nekonečně mnoho řešení 22 Algebraické řešení SLN budeme řešit převedením na SLR Každou nerovnici soustavy (21) upravíme (vyrovnáme) na rovnici tak, že k její levé straně, jejíž hodnota je menší nebo rovna pravé, přičteme další proměnnou, která tento vztah doplní na rovnost Je zřejmé, že tato nová proměnná bude určitě nezáporná V případě, že by původní nerovnice byla typu <, musí být 22

23 tato nová proměnná kladná Nerovnosti zbývajících typů lze vynásobením číslem -1 na tyto převést Pro i-tou nerovnici soustavy (21) ve tvaru (23) nahradíme rovnicí kde (24) Definice 22 Soustavu m lineárních nerovnic o (m + n) neznámých x 1, x 2,,x n R, x n+1, x n+2,, x n+m, R kde m, n N (25) nazýváme adjungovaná (přidružená) soustava rovnic k soustavě (21) Proměnné x n+i, kde i = 1, 2,, m, nazýváme přídatné proměnné Příklad 22 Vyřešte graficky soustavu tří lineárních nerovnic o dvou neznámých Řešení Nejprve upravíme všechny nerovnosti na nerovnosti typu, poslední dvě vynásobíme číslem -1 a sestavíme přidruženou soustavu lineárních rovnic včetně podmínek pro nově zavedené přídatné neznámé x 3,4,5 Pomocí Jordanovy metody úplné eliminace upravíme 23

24 Odkud můžeme zapsat vektor obecného řešení adjungované soustavy lineárních rovnic, a vektor obecného řešení zadané soustavy lineárních nerovnic kde kde Poznámka: Jak už víme, existuje až různých způsobů vyjádření obecného řešení adjungované soustavy, záleží na volbě základních neznámých Přirozeně se snažíme, aby mezi nimi byly spíše původní proměnné Pro nezákladní neznámé je vždy nutné uvést obor jejich hodnot, pro původní neznámé je to obvykle množina reálných čísel, pro přídatné neznámé množina nezáporných, resp kladných čísel (podle toho, zda jsou nerovnosti v zadané soustavě (21) neostré nebo ostré) U základních řešení, která mají v dalším textu velký význam, je nutné ještě ověřit, zda jsou všechny podmínky splněny Definice 23 Mějme soustavu lineárních rovnic, která má nekonečně mnoho řešení Přípustným řešením soustavy nazýváme takové řešení, ve kterém jsou všechny složky z daného oboru hodnot příslušné proměnné Příklad 23 Určete počet všech základních řešení adjungované soustavy rovnic, nalezněte je a rozhodněte o jejich přípustnosti, popř degeneraci Řešení Podle vztahu z věty 17 má tato SLR nejvýše základních řešení Pro přehlednost zápisu použijme tentokrát k rozlišení základních řešení dvojí index složený z indexů vybrané dvojice nezákladních neznámých Ze zapsaného obecného řešení získáme první základní řešení Jeho přípustnost ověříme pohledem, přídatné neznámé, tedy poslední tři složky vektoru řešení, musí být nezáporná čísla, což je splněno, základní řešení x z45 je přípustné 24

25 Všimněte si, že i předchozí tři tvary ekvivalentních matic jsou kanonické, můžeme z nich také rovnou zapsat odpovídající základní řešení, po řadě dostáváme Přičemž x z12 a x z25 přípustné nejsou, a x z35 je druhým přípustným základním řešením soustavy Je třeba sestavit ještě dalších šest matic v kanonickém tvaru Chyba! Odkaz není platný Rozmyslete si, proč nelze pomocí řádkových úprav matice dosáhnout kanonického tvaru pro nezákladní neznámé x 1 a x 5 a tak vyplnit zvýrazněná pole Pro nalezené matice zapíšeme postupně odpovídající základní řešení včetně určení jejich přípustnosti je nepřípustné, neexistuje je nepřípustné, je nepřípustné, je nepřípustné, je přípustné, je tedy třetím přípustným základním řešením adjungované soustavy lineárních rovnic Základní řešení ve tvaru je navíc degenerované, obsahuje více nulových složek než je počet nezákladních neznámých První dvě souřadnice uvedených vektorů odpovídají souřadnicím průsečíků v Obrázku Obrázek 21 z grafického řešení zadané soustavy Zbylé tři souřadnice nejsou v grafu zobrazeny, ukazují, o kolik je v odpovídající nerovnici levá strana menší než pravá Záporné číslo znamená, že je levá strana větší než pravá, příslušná nerovnost není splněna a takovéto řešení je tedy nepřípustné 25

26 Ještě jednou se vraťte ke grafu a vyznačte v něm všechny body odpovídající jednotlivým základním řešením Přípustná řešení v grafu vyznačte symbolem a nepřípustná Všímejte si také případné násobnosti těchto bodů Je vidět, že body odpovídající všem základním řešením leží na průsečíku nějaké dvojice přímek I zde můžeme určit maximální počet takto nalezených bodů Počet různých možností výběru dvou přímek ze všech (hraničních i os) k určení jednoho průsečíku vyjadřuje kombinační číslo, přičemž některé body mohou splývat (viz násobnost bodu [;] a některé nemusí existovat (zde nemají žádný průsečík rovnoběžné přímky c a x 2, symbolicky je zde slabě naznačen jako jejich nereálný průsečík) Obecněji bychom mohli tvrdit, že dříve odvozené kombinační číslo (v rovině navíc pouze pro n = 2) vyjadřuje maximální možný počet všech průsečíků v grafu Obrázek 22 Grafické řešení SLN Průsečíky se souřadnými osami však vznikly uměle, nemají v diskusi o vzájemné poloze polorovin daných nerovnicemi žádný význam, Jim odpovídají základní řešení, kde byla alespoň jednou základní neznámou neznámá přídatná, je tedy zřejmé, že sestavovat takovéto kanonické tvary je pro vymezení množiny všech řešení soustavy zbytečné To se samozřejmě změní, pokud jedna z hraničních přímek bude ležet přímo na jedné ze souřadných os 26

27 3 kapitola OPERAČNÍ VÝZKUM Operační výzkum (operační analýza, operational research nebo management science) je soubor vědních disciplín zaměřených na analýzu různých typů rozhodovacích problémů a koordinaci provádění dílčích operací v rámci nějakého systému s využitím kvantitativních matematických metod a modelů tak, aby bylo zajištěno jeho co nejlepší fungování posuzované podle předem stanovených kriterií při dodržení všech omezení, která mají na chod tohoto systému vliv Jednou z mnoha oblastí, kde nachází své praktické uplatnění je oblast ekonomie a managementu Počátky budování metod operačního výzkumu ovšem sahají už do období 3 let minulého století, později byl jeho vývoj motivován potřebou řešit komplexní problémy během válečných operací a výrazného praktického uplatnění a dalšího prudkého rozvoje doznal tento vědecký směr během poválečných 5 let, kdy dochází v USA i v Evropě k bouřlivému ekonomickému rozvoji Historie operačního výzkumu a především lineárního programování je úzce spjata se jmény jako George B Dantzig, který v roce 1947 vyvinul simplexovou metodu, John von Neumann, který v témže roce přišel s teorií duality a později také Leonid Kantorovič, kterému byla v roce 1975 udělena Nobelova cena za ekonomii Velkou roli v operační analýze sehrává také rozmach výpočetní techniky V dnešní době je operační výzkum vědou intenzivně aplikovanou a živě se rozvíjející Jeho metody nacházejí stále častější uplatnění v řadě odvětví lidské činnosti, kde je třeba komplexně analyzovat problémy a efektivně koordinovat prováděné operace 31 Matematický model úloh Na počátku vždy stojí reálný systém, který je obvykle velmi složitý, zahrnuje velké množství procesů či operací a různorodých omezení Úkolem dobrého manažera je vybrat v reálném systému problém, který je třeba analyzovat, a ten zcela přesně formulovat Ekonomický model systému Úkolem managementu je tedy sestavit zjednodušený model reálného ekonomického systému, který bude zahrnovat pouze nutné prvky popisující formulovaný problém Je nezbytné stanovit cíl analýzy a následné optimalizace, popsat všechny operace či procesy (např vyrábění výrobků, dělení materiálu, sestavování směsí, ), které mají na tento cíl vliv, popsat všechny činitele (např spotřeba omezených kapacit zdrojů, dodržení stanovených požadavků) a slovně výstižně formulovat vztahy mezi vytyčeným cílem a zmíněnými procesy a činiteli Matematický model systému Úkolem řešitele je následně tento problém převést do řeči matematiky, zvolit vhodné analytické metody, nalézt řešení a provést jeho slovní interpretaci Pro skutečný výpočet je nutné formulovat model systému formálním matematickým způsobem, aby jej bylo možné vyřešit standardními postupy Jde o čistě matematickou syntaxi analyzovaného systému Cíl analýzy je obvykle vyjádřen jako funkce n proměnných (neznámých), kterou nazýváme účelová funkce, ozn z = f(x), jejíž hodnotu máme obecně optimalizovat (buď maximalizovat, nebo minimalizovat), tedy nalézt vázaný extrém funkce více proměnných Jednotlivým procesům odpovídá těchto n zavedených strukturních proměnných (neznámých) značených obvykle x 1, x 2,, x n, zapsaných zpravidla pomocí vektoru x = (x 1, x 2,, x n ) T 27

28 Nazýváme je strukturní neznámé (proměnné) Po řadě zachycují počty realizací jednotlivých procesů či operací (např počty jednotlivých druhů výrobků), je tedy hned zřejmé, že v reálném procesu nemohou nabývat záporných hodnot, hovoříme o podmínkách nezápornosti Při řešení úloh LP hledáme takové hodnoty neznámých x = (x 1, x 2,, x n ) T, které zaručí nejlepší (buď maximální, nebo minimální) hodnotu účelové funkce Při jejich zavedení je třeba důsledně dbát na jejich formulaci, včetně stanovení vhodné jednotky, což je důležité pro zápis v samotném výpočtu, dodržení konzistence modelu, stejně jako pro výslednou korektní interpretaci Velikosti jednotlivých složek ovlivňují další podmínky Omezení jednotlivými činiteli bývá nejčastěji vyjádřeno ve formě rovnic či nerovnic, kde zmíněná intenzita a ij je koeficientem u proměnné odpovídající vybranému procesu a disponibilní množství b i (požadavek či kapacita) je pravou stranou ne/rovnice Zápisy těchto omezení nazýváme vlastní omezení úlohy Podle nerovnostního znaménka je rozdělujeme na omezení kapacitní (typ, např omezení množstvím suroviny ve skladu potřebných k výrobě), požadavková (typ, např požadavek minimální denní dávky nějaké výživové komponenty jídelníčku) a určení (typ =, např vyjádření potřeby expedice veškerého vyrobeného zboží), kterým se, můžeme-li, vyhýbáme, jelikož příliš omezují množinu přípustných řešení Omezující podmínky chápeme ve vztahu konjunkce, vymezují přípustné kombinace hodnot proměnných Matematický model tedy obsahuje čtyři základní komponenty: zavedení strukturních neznámých, jejich podmínky nezápornosti, soustavu vlastních omezení a jednu či více účelových funkcí Postačí-li v matematickém modelu nějakého ekonomického systému k vyjádření účelové funkce a všech vlastních omezení pouze lineárních rovnic a nerovnic, hovoříme o lineárním programování V ekonomické praxi se s těmito úlohami setkáváme nejčastěji V našem kurzu se budeme zabývat pouze takovýmito procesy Podle toho, kolik účelových funkcí je třeba zároveň analyzovat, rozdělíme následující témata do dvou oblastí: 32 Lineární programování Jednou z nejrozšířenějších oblastí operačního výzkumu v praxi je lineární programování Matematický model úloh lineárního programování (LP) má jedinou lineární účelovou funkci a vlastní omezení úlohy jsou popsána pouze lineárními rovnicemi a nerovnicemi 3 Definice 31 Matematickým modelem úlohy lineárního programování s n neznámými a m vlastními omezeními, kde m, n, rozumíme úlohu nalézt extrém (maximalizovat nebo minimalizovat) (31) za podmínek (32) a 28

29 a pro (33) Reálná čísla x j, kde j = 1, 2,, n, nazýváme strukturní neznámé či proměnné, reálná čísla a ij, kde i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n, nazýváme strukturní koeficienty (v i-tém vlastním omezení u j-té strukturní neznámé), reálná čísla b i, kde i = 1, 2,, m, nazýváme požadavková čísla či pravé strany (i-tého vlastního omezení), reálná čísla c j, kde j = 1, 2,, n, nazýváme ceny či cenové koeficienty (j-tého procesu) V dalším textu může být pro úlohu lineárního programování použita také zkratka úloha LP Poznámka: Při zachování dříve zavedeného značení můžeme úlohu nalézt extrém (31) za podmínek (32) zapsat stručně jako (34) za podmínek, (35) kde c T = (c 1, c 2,, c n ) je vektor cenových koeficientů, x = (x 1, x 2,, x n ) T je vektor strukturních neznámých, b = (b 1, b 2,, b m ) T je vektor pravých stran, x = (; ; ;) T je nulový vektor (n složkový), A = (a ij ) je matice strukturních koeficientů typu mxn V (32) jsou všechna vlastní omezení typu, obecněji můžeme připustit, že mohou být také typu <,, > nebo = Poznámka: Pro přehlednost zaveďme úmluvu, že všechny vektory zapisujeme jako sloupcové Chceme-li vyjádřit vektor řádkový, použijeme pro zápis transponovanou formu vektoru Naopak: je-li v maticovém zápise u značky vektoru také horní index T, znamená to, že je ve výpočtu použit jako vektor řádkový (ze sloupcového transponovaný), ostatní jsou použity jako sloupcové (bez transponování) Metody lineárního programování na základě teorie řešení soustav lineárních nerovnic a algoritmu Jordanovy metody úplné eliminace umožňují řešit celou škálu speciálních optimalizačních úloh lineárního programování V dalších kapitolách se seznámíme s několika metodami řešení úloh LP: s primárně simplexovou a duálně simplexovou Výhodnějšího zápisu potom využijeme při optimalizaci v dopravní tabulce Pro ilustraci nyní uveďme několik základních typů ekonomických úloh a speciálních tvarů jejich matematických modelů 29

30 321 Úlohy výrobního plánování V úlohách výrobního plánování je obvykle cílem určit strukturu výrobního programu tak, aby bylo dosaženo maximálního zisku či minimálních nákladů Proměnné v modelu úlohy výrobního plánování představují nejčastěji objem produkce určitého druhu výrobku a omezující podmínky vycházejí z limitovaných výrobních kapacit, technologických podmínek, požadavků odběratelů apod Úlohy tedy mohou být maximalizační i minimalizační, omezující podmínky mohou být kapacitní (omezené množství vstupních surovin), požadavkové (je-li stanoven minimální objem produkce) i podmínky určení (je-li stanoven přesný objem produkce, částka k proinvestování atd) Uvedeme tři příklady úloh výrobního plánování, v prvním půjde o jednoduchou úlohu výrobního plánová, ve druhém mohou být některé produkované výrobky použity jako polotovary pro výrobky další, ve třetím půjde o plánování výroby na více období 3 Příklad 31 Sestavte matematický model slovně zadané ekonomické úlohy: Ve sklářské dílně se vyrábí zdobené vázy a broušené mísy Na výrobu jedné vázy je potřeba 1kg skla, 2 balení zlatých ozdob a její následné ruční broušení trvá 1 hodinu Na výrobu jedné mísy je potřeba 1kg skla a její broušení trvá 5 hodin Zásoba skla činí 8 tun, je k dispozici 14 balení zlatých ozdob a časová kapacita brusek je 2 hodin Cena hotových výrobků je 5 Euro za vázu a 3 Euro za mísu Předpokládejme, že se prodají všechny vyrobené vázy i mísy Navrhněte takový výrobní program, při kterém bude celková cena této produkce maximální Řešení: 1 Zavedení strukturních neznámých matematického modelu úlohy: Úkolem je zjistit počty váz a mís, reprezentovat je budou dvě proměnné x 1 počet vyrobených váz, x 2 počet vyrobených mís, u obou jsou jednotkou kusy Nadále postačí uvádět je v hranaté závorce 2 Zřejmé jsou jak podmínky nezápornosti (neboť nelze v reálném výrobním procesu produkovat záporná množství výrobků) tak požadavek celočíselnosti (neboť nemá smysl v reálném výrobním procesu produkovat zlomky výrobků), 3 Vlastní omezení úlohy vycházejí z disponibilních množství jednotlivých výrobních činitelů Nemůže být spotřebováno více než 8 tun skla, nemůže být spotřebováno více balení zlatých ozdob, než je na skladě a nemůže být překročena kapacita brusek 3

31 4 Cílem je analýza celkové ceny produkce, kterou určíme sečtením částek utržených za prodej jednotlivých typů výrobků Požadujeme nalezení maximální hodnoty účelové funkce za předpokladu, že budou dodrženy všechny uvedené podmínky Takto jsme sestavili úplný matematický model úlohy lineárního programování Příklad 32 Sestavte matematický model slovně zadané ekonomické úlohy: Čokolatérie vyrábí čtyři druhy bonbónů K, L, M, N, a prodává je jednotlivě se zavedenou cenou 5 Kč, 8 Kč, 6 Kč, 1 Kč za kus Může je také kompletovat do bonboniér Ráj (1 ks K a 1 ks L), Sen (12 ks M a 12 ks N) a Touha (5 ks od každého druhu), které úspěšně prodává se zavedenou cenou 13 Kč, 18 Kč, 16 Kč Bylo rozhodnuto, že bude vyrobeno alespoň 5 kusů bonboniér Na výrobu jednoho bonbonu K se spotřebuje 5 g mléčné čokolády a 1 g náplně, na výrobu jednoho bonbonu L 1 g mléčné čokolády a 5 g oříšků, na výrobu jednoho bonbonu M padne 5 g hořké čokolády, 5 g náplně a 5 g oříšků a na výrobu jednoho bonbonu N 1 g hořké čokolády a 5 g oříšků Před Vánoci má čokolatérie k dispozici ještě 1 kg mléčné čokolády, 6 kg hořké čokolády, 7 kg náplně a 3 kg oříšků, a tak hledá optimální rozvržení své produkce a prodeje, přičemž předpokládá, že se všechny výrobky jako obvykle prodají Řešení: 1 Strukturní neznámé pro sestavení matematického modelu úlohy zavedeme následovně: x 1 počet vyrobených bonbonů druhu K [ks], x 2 počet vyrobených bonbonů druhu L [ks], x 3 počet vyrobených bonbonů druhu M [ks], x 4 počet vyrobených bonbonů druhu N [ks], x 5 počet vyrobených bonboniér Ráj [ks], x 6 počet vyrobených bonboniér Sen [ks], x 7 počet vyrobených bonboniér Touha [ks] 2 Vlastní omezení úlohy: K dispozici je 1 kg mléčné čokolády, její spotřeba při výrobě bonbonů je shora omezená Poznamenejme, že je nutné všechny údaje vyjádřit ve stejné jednotce Analogicky zapíšeme také kapacitní podmínku pro spotřebu ostatních surovin Spotřeba bonbonů jako polotovarů pro kompletování bonboniér nemůže být vyšší, než kolik jich bude nejprve vyrobeno Bonboniéry Ráj mohu vyrobit nejvýše v takovém počtu, na jaký mi již vyrobené bonbony vystačí Analogicky zapíšeme také vztahy pro omezenou kapacitu při výrobě bonboniér Sen a Touha 31

32 Požadavek, aby bylo vyrobeno nejméně 5 kusů bonboniér, formulujeme jako nerovnici 3 Podmínky nezápornosti jsou v úloze LP samozřejmostí: z definice strukturních proměnných vyplývá, že bychom měli požadovat produkování celých bonbonů a kompletních sad bonboniér, je tedy na místě spíše požadavek celočíselného řešení 4 Při sestavování účelové funkce sledujeme cíl maximalizovat tržbu z prodeje jednotlivých druhů zboží: a) tržby z prodeje jednotlivých druhů bonbonů (nemohu počítat ty, které použiji do bonboniér) budou postupně:, b) tržby z prodeje jednotlivých druhů bonboniér Účelovou funkci z získáme jako jejich součet Po úpravě výrazů dostaneme přehledný matematický model,, 32

33 Příklad 33 Truhlářská firma zabývající se výrobou nábytku se zákazníkem uzavřela smlouvu na dodání 3 trojdílných a 6 dvoudílných skříní, které mají být připraveny k expedici za dva měsíce Na trojdílnou skříň je potřeba 12 m 2 dřeva a 5 hodin práce, na dvoudílnou skříň 9 m 2 a 4 hodiny práce V lednu má firma k dispozici 5 m 2 materiálu a 4 hodin práce zaměstnanců, v únoru bude mít k dispozici 4 m 2 materiálu a 2 hodin práce zaměstnanců Materiál, který firma v lednu nebude potřebovat, může uložit v sousedově skladovacím prostoru za 5 Kč za 1 m 2 uloženého materiálu na dobu 1 měsíce Skříně vyrobené v lednu může uložit do termínu expedice tamtéž, každou trojdílnou skříň za 8 Kč, každou dvojdílnou skříň za 6 Kč na měsíc Lednové výrobní náklady na zhotovení jedné trojdílné skříně jsou 25 Kč, na zhotovení dvojdílné skříně pak 18Kč Vzhledem k plánovanému zdražení energií budou ale tyto výrobní náklady v únoru už o 2% vyšší Naplánujte výrobu skříní tak, aby byly minimalizovány veškeré náklady související s touto zakázkou Řešení: 1 Strukturní neznámé pro sestavení matematického modelu úlohy zavedeme následovně: x 1 počet trojdílných skříní vyrobených v lednu [ks], x 2 počet trojdílných skříní vyrobených v únoru [ks], x 3 počet dvojdílných skříní vyrobených v lednu [ks], x 4 počet dvojdílných skříní vyrobených v únoru [ks] 2 Vlastní omezení úlohy: Čas spotřebovaný při výrobě nemůže přesáhnout v lednu dostupných 4 hodin a v únoru dostupných 2 hodin práce: Spotřeba dřeva nemůže přesáhnout v lednu 5 m2, které jsou k dispozici, v únoru pak lze spotřebovat maximálně 4 m2 a zbytek z lednových zásob: Musí být dodržen požadavek zákazníka na přesný počet objednaných skříní: 3 Podmínky nezápornosti jsou v úloze LP samozřejmostí: z definice strukturních proměnných vyplývá, že bychom měli požadovat produkování kompletních skříní, je tedy na místě spíše požadavek celočíselného řešení 4 Při sestavování účelové funkce sledujeme cíl minimalizovat celkové náklady, a to:, 33

34 a) přímé výrobní náklady (v únoru ovlivněné zdražováním energií o 2%): b) náklady spojené s uskladněním hotových výrobků c) náklady spojené s uskladněním v lednu nevyužitého materiálu Účelovou funkcí získáme jako jejich součet Po úpravě výrazů dostaneme přehledný matematický model,, 322 Úlohy finančního plánování Mezi standardní úlohy LP patří také tzv optimalizace finančního portfolia Cílem je určit objem investic do jednotlivých investičních variant tak, aby bylo dosaženo maximálního očekávaného výnosu či minimálního rizika Proměnné v modelu úlohy finančního plánování představují objem investic (v absolutních či relativních číslech) a omezující podmínky vycházejí z investiční strategie investora limitující výše investic do jednotlivých investičních variant Úlohy tedy mohou být maximalizační i minimalizační, omezující podmínky mohou být kapacitní (minimální hranice očekávaného výnosu), požadavkové (maximální hranice podstupovaného rizika) i podmínky určení (je-li stanovena částka k proinvestování) Příklad 34 Navrhněte optimální skladbu investičního portfolia, chcete-li investovat jeden milion Kč a máte-li na výběr z pěti druhů cenných papírů, u kterých je znám očekávaný roční výnos (v %) a též byla odhadnuta jejich rizikovost (koeficient z celočíselné stupnice 1 od nejnižší k nejvyšší rizikovosti), jak popisuje následující tabulka: Tabulka 31 parametry cenných papírů Cenný papír Očekávaný roční výnos Koeficient rizikovosti (%) ( 1) CP1 6,5 1 CP2 7 3 CP3 9 5 CP CP

35 Přitom investor požaduje, aby CP1 nebo CP2 byly nakoupeny alespoň v hodnotě 4 Kč, CP5 nejvýše v hodnotě 3 Kč a celková míra rizika portfolia, definovaná jako vážený průměr koeficientů rizikovosti jednotlivých variant, nesmí přesáhnout 4 Řešení: 1 Strukturní neznámé pro sestavení matematického modelu úlohy zavedeme následovně: x 1 částka investovaná do CP1 [Kč], x 2 částka investovaná do CP2 [Kč], x 3 částka investovaná do CP3 [Kč], 2 Vlastní omezení úlohy: Má být proinvestován právě 1 milion Kč: Cenné papíry CP1 nebo CP2 musí být nakoupeny alespoň v hodnotě 4 Kč: Cenné papíry CP5 musí být nakoupeny nejvýše v hodnotě 3 Kč: Celková míra rizika nesmí přesáhnout 4 Vztahy vyplývající z investiční strategie nejprve upravme Např požadavek pro vážený průměr koeficientů rizikovosti zapíšeme x 2x x x 5x 2 3 x 3 7x x 4 4 1x x 5 5 4, po úpravě: x x 5x 7x 1x 4( x x x x ) x5 3 Podmínky nezápornosti pro výše dílčích investovaných částek: 4 Při sestavování účelové funkce sledujeme cíl maximalizovat očekávaný roční výnos: Po úpravě výrazů dostaneme přehledný matematický model 35

36 323 Plánování reklamy V oblasti marketingu se s úlohou LP setkáváme při výběru vhodných typů médií pro umístění reklamy Cílem je určit optimální počet uvedení reklamy v médiích jednotlivých typů tak, aby bylo dosaženo maximálního účinku reklamy (počet osob oslovených reklamou v dané cílové skupině např dospívající mládež nebo hodnoty v marketingu definované charakteristiky sledovanosti v cílové skupině) Proměnné v modelu úlohy plánování reklamy představují počet uvedení reklamy v jednotlivých typech médií a omezující podmínky vycházejí z marketingové strategie limitované počty opakování reklamy Tyto úlohy jsou obvykle maximalizační, omezující podmínky mohou být kapacitní (omezení výší rozpočtu reklamní kampaně) i požadavková (vymezení primární cílové skupiny) apod Příklad 35 Reklamní agentura dostala zakázku na zpracování měsíční reklamní kampaně penzijního připojištění Celkový objem prostředků uvolněný na tuto kampaň je 1 milionů Kč Reklama může být umístěna do pěti médií: televize, rozhlas, časopisy, denní tisk a billboardy Odhaduje se, že v přepočtu na vynaložených 1Kč osloví reklama v televizi 75 klientů, reklama v rozhlase 42 klientů, skrze časopisy 3 a skrze denní tisk 36 klientů, a pomocí billboardů 18 klientů Do televize a rozhlasu se plánuje investovat maximálně polovinu plánovaných finančních prostředků, do každého z médií ale nejméně 1% a nejvýše 3% těchto prostředků Je také známa struktura věku, příjmů a vzdělání osob jednotlivými médii oslovovaná (opět vyjádřená počtem oslovených osob v přepočtu na vynaložených 1Kč), viz tabulka: Tabulka 32 Počet oslovených osob na každých investovaných 1 Kč Média televize rozhlas časopis denní tisk billboard Věk Příjem nad 15 Kč Alespoň SŠ vzdělání Reklamu je třeba rozvrhnout tak, aby bylo osloveno alespoň 2,5 milionu osob ve věku 3 5 let,,8 milionu osob s příjmy nad 15 Kč a alespoň 1,5 milionu osob s minimálně středoškolským vzděláním a přitom aby bylo dosaženo maximálního možného počtu oslovených klientů Řešení: 1 Strukturní neznámé pro sestavení matematického modelu úlohy zavedeme následovně: x 1 objem finančních prostředků investovaných do reklamy v televizi [miliony Kč], x 2 objem finančních prostředků investovaných do reklamy v rozhlase [miliony Kč], x 3 objem finančních prostředků investovaných do reklamy v časopisech [miliony Kč], x 4 objem finančních prostředků investovaných do reklamy v denním tisku [miliony Kč], x 5 objem finančních prostředků investovaných do reklamy na billboardech [miliony Kč], 2 Vlastní omezení úlohy: Celkový rozpočet investice do reklamy nesmí překročit 1 milionů Kč: Do televize a rozhlasu má být investováno maximálně 5% vynaložených finančních prostředků: 36

37 a do každého z médií nejméně 1% a nejvýše 3% těchto prostředků poznamenejme, že tento zápis reprezentuje 1 vlastních omezení úlohy Podmínky počty klientů podle struktury osob oslovených jednotlivými médii zapíšeme jako:, 3 Podmínky nezápornosti pro výše dílčích investovaných částek: 4 Při sestavování účelové funkce sledujeme cíl maximalizovat počet reklamou oslovených potenciálních klientů: Dostáváme přehledný matematický model 324 Nutriční problém V oblasti dietologie je často formulován problém vhodných nutričních komponent (potravin) k zařazení do jídelníčku Cílem je určit optimální složení denní dávky výživy pacienta tak, aby bylo dosaženo minimální ceny potravin či maximálního přísunu naordinované látky Proměnné v modelu úlohy nutričního problému představují množství daných nutričních komponent zařazených do jídelníčku a omezující podmínky vycházejí z pokynů dietologa Tyto úlohy jsou obvykle minimalizační (co nejnižší náklady) i maximalizační (co nejvyšší přísun vápníku), omezující podmínky mohou být kapacitní (maximální hranice pro přísun tuků), požadavková (minimální hranice pro přísun bílkovin) i podmínky určení (dodržení přesně stanovené denní dávky vápníku) Příklad 36 Je třeba sestavit vyvážený jídelníček pro štěně z pěti druhů granulí G1, G2, G3, G4 a G5, které se prodávají ve 1gramových baleních za cenu 56Kč, 32Kč, 8Kč, 15Kč a 6 Kč Složení jednotlivých balení granulí je uvedeno v tabulce 37

38 Podle doporučení veterináře musí štěně přijmout celkem pět 1gramových dávek denně Doporučená celková denní energetická hodnota je minimálně 8 kcal, obsah bílkovin minimálně 25 gramů, obsah tuků nejméně 5 gramů a maximálně 25 gramů, vápníku alespoň 5 mg a fosforu mezi 2 mg a 3 mg Štěněti je třeba podat také 2 litry vody denně Tabulka 33 Složení 1g porce jednotlivých druhů granulí Druh granulí G1 G2 G3 G4 G5 Omezení Energie [kcal] alespoň 8 kcal Bílkoviny [g] alespoň 25 g Tuky [g] min 5 g a max 25 g Vápník [g] alespoň 5 mg Fosfor [mg] mezi 2 a 3 mg Cena [mg] co nejnižší Jídelníček je třeba rozvrhnout tak, aby byl co nejlevnější, při požadavku na pestrost stravy, kdy žádný druh granulí nesmí být podán štěněti více než dvakrát za jeden den Řešení: 1 Strukturní neznámé pro sestavení matematického modelu úlohy zavedeme následovně: x 1 počet podaných dávek granulí G1 [ks], x 2 počet podaných dávek granulí G2 [ks], x 3 počet podaných dávek granulí G3 [ks], x 4 počet podaných dávek granulí G4 [ks], x 5 počet podaných dávek granulí G5 [ks] 2 Vlastní omezení úlohy: Denně má být štěněti podáno právě pět 1gramových dávek Kapacitní podmínky pro obsah energie, bílkovin, tuků, vápníku a fosforu a požadavková podmínka pro obsah tuku a fosforu: Požadavek na pestrost stravy vyjadřují podmínky: 3 Podmínky nezápornosti pro počty podaných dávek:, 38

39 z definice strukturních proměnných ovšem vyplývá, že budeme podávat celé dávky, je tedy na místě spíše požadavek celočíselného řešení 4 Při sestavování účelové funkce sledujeme cíl minimalizovat náklady na sestavení denního jídelníčku: Dostáváme přehledný matematický model 325 Směšovací úlohy Směšovací problém má obecnější využití Cílem je vytvořit směs optimálního složení z jednotlivých dostupných komponent tak, aby bylo dosaženo maximálního zisku či minimálních nákladů Proměnné v modelu směšovací úlohy představují množství jednotlivých komponent (v absolutních či relativních číslech) a omezující podmínky vycházejí z požadovaných vlastností připravované směsi Úlohy mohou být jak maximalizační, tak minimalizační, vlastní omezení mohou být všech tří zmíněných typů Jako speciální směšovací úlohy mohou být chápány nutriční problém (návrh výživy), optimalizace finančního portfolia (směs finančních investic) i strategie reklamy (směs reklamních médií) Příklad 37 Rafinérie vyprodukovala dva základní druhy surového benzínu v množstvích 3hl SB1 a 7hl SB2 SB1 má oktanové číslo 14 a tlak par 5kPa a SB2 má oktanové číslo 94 a tlak par 9kPa Z nich je možné vhodným smísením vyrobit motorový benzín nebo letecký benzín : motorový benzín s požadovaným oktanovým číslem alespoň 96 a tlakem par nejvýš 8kPa a letecký benzín s požadovaným oktanovým číslem alespoň 12 a tlakem par nejvýše 6kPa Přitom leteckého benzínu se neprodá více než 2hl Výsledné oktanové číslo (výsledný tlak par) směsi se určí jako vážený aritmetický průměr hodnot oktanových čísel (tlaků par) obou dílčích komponent, kde vahou je objem těchto komponent Navrhněte optimální způsob míchání obou směsí, aby bylo dosaženo maximální 39

40 tržby, pokud cena motorového benzínu je 37,2Kč a cena leteckého benzínu je 48,5Kč za litr Řešení: 1 Strukturní neznámé pro sestavení matematického modelu úlohy zavedeme následovně: x 1 množství SB1 použitého na výrobu motorového benzínu [litry], x 2 množství SB2 použitého na výrobu motorového benzínu [litry], x 3 množství SB1 použitého na výrobu leteckého benzínu [litry], x 4 množství SB2 použitého na výrobu leteckého benzínu [litry] 2 Vlastní omezení úlohy: K dispozici jsou pouze omezená množství obou druhů surového benzínu SB1 a SB2: Leteckého benzínu nemá být vyprodukováno více než 2hl: Dále je třeba namíchat směsi s požadovanými parametry: motorový benzín s požadovaným oktanovým číslem alespoň 96:, odkud po převedení proměnných na levou stranu dostaneme, letecký benzín s požadovaným oktanovým číslem alespoň 12: motorový benzín s požadovaným tlakem par nejvýš 8kPa:, a letecký benzín s požadovaným tlakem par nejvýše 6kPa:, 3 Podmínky nezápornosti pro výše dílčích investovaných částek: 4 Při sestavování účelové funkce sledujeme cíl maximalizovat celkový zisk z prodeje směsí: 4

41 Po úpravě všech lomených výrazů dostaneme přehledný matematický model 326 Úlohy o dělení materiálu Při důkladnějším promyšlení problému stanovení optimálního řezného plánu popisujícího dělení větších standardizovaných celků na menší části požadovaných rozměrů lze též sestavit matematický model úlohy LP Musí jít ovšem vždy o dělení jednorozměrné (rozřezání 2metrových tyčí, ne vyřezávání z desky) Cílem je určit optimální počet celků rozdělených jednotlivými způsoby řezu tak, aby bylo dosaženo minimálního odpadu, počtu řezů či spotřeby celků Obvykle je ovšem celá řada způsobů, jak standardizovaný celek rozdělit na části požadovaných rozměrů Navíc je na řešiteli úlohy odhalit všechny tyto způsoby k následné analýze, případně a priori vyřadit nevhodné (s příliš velkým odpadem), aby zbytečně nezvětšovaly rozměry soustavy nerovnic vlastních omezení Proměnné v modelu úloh o dělení materiálu představují počty realizací (použití) jednotlivých způsobů a omezující podmínky vycházejí z požadavků na množství částí jednotlivých poptávaných rozměrů Tyto úlohy jsou typicky minimalizační, omezující podmínky obvykle požadavkové Příklad 38 Na dřevěné obložení místnosti budou použita čtyřmetrová prkna o šířce 1 cm Je třeba obložit 8 metrů stěny svisle kladenými prkny o délce 12 cm, v oblasti oken budou obloženy celkem 4 m prkny o délce 8 cm a na šikmé stropní podhledy bude potřeba položit 4 m prken o délce 24 cm Kolik prken je třeba koupit, má-li být dosaženo minimálního odpadu? Řešení: Nejprve je třeba určit všechny možnosti rozřezání čtyřmetrových prken na kratší části požadovaných délek Za odpad je považován takový kus prkna, ze kterého již nelze získat část použitelné délky Všechny varianty označené V1, V2, zapišme do tabulky Tabulka 34 - Způsoby rozřezání čtyřmetrových prken na části požadovaných délek Délka prkna V1 V2 V3 V4 V5 V6 Požadováno [cm] 8 cm cm cm Odpad [cm] min 1 Strukturní neznámé pro sestavení matematického modelu úlohy zavedeme následovně: x 1 počet čtyřmetrových prken rozřezaných podle plánu V1 [ks], 41

42 x 2 počet čtyřmetrových prken rozřezaných podle plánu V2 [ks], x 3 počet čtyřmetrových prken rozřezaných podle plánu V3 [ks], x 4 počet čtyřmetrových prken rozřezaných podle plánu V4 [ks], x 5 počet čtyřmetrových prken rozřezaných podle plánu V5 [ks], x 6 počet čtyřmetrových prken rozřezaných podle plánu V6 [ks] 2 Vlastní omezení úlohy: Požadavky na počty prken jednotlivých délek: 3 Podmínky nezápornosti pro počty rozřezaných čtyřmetrových prken: z definice strukturních proměnných ovšem vyplývá, že je na místě spíše požadavek celočíselného řešení 4 Při sestavování účelové funkce sledujeme cíl minimalizovat celkový odpad:, Dostáváme přehledný matematický model 327 Dopravní problém V oblasti distribuce nějaké komodity od m dodavatelů k n odběratelům je často formulován problém stanovit optimální způsob přepravy, jsou-li známy náklady na přepravu jednotky komodity mezi jednotlivými místy a kapacity jednotlivých dodavatelů a požadavky jednotlivých odběratelů Cílem je naplánovat rozvezení komodity tak, aby bylo dosaženo minimálního rozsahu přepravy Proměnné v modelu úlohy dopravního problému představují množství komodity přepravené od i-tého dodavatele k j-tému odběrateli Tyto úlohy jsou minimalizační, omezující podmínky tvoří výhradně rovnice Tento specifický tvar matematického modelu vyžaduje také speciální způsob řešení úlohy, jemuž je věnována jedna celá kapitola Příklad 39Ve třech sadech bylo postupně sklizeno 18, 8 a 4 tun jablek, která mají být dopravena ke čtyřem zelinářům, kteří postupně požadují 1, 5, 6 a 9 tun 42

43 Přitom vzdálenosti (v km) z jednotlivých sadů k jednotlivým zelinářům ukazuje Tabulka 35 Určete optimální způsob přepravy jablek ze sadů k zelinářům tak, aby bylo dosaženo minimálního rozsahu přepravy (skalární součin množství jablek a ujetých kilometrů) [tkm] Tabulka 35 vzdálenost ze sadů k zelinářům Vzdálenosti [km] Z1 Z2 Z3 Z4 SI SII SIII Řešení: 1 U dopravního problému je praktické zavést dvojí indexování strukturních neznámých: x 11 množství přepravených jablek z I sadu k prvnímu zelináři [t], x 12 množství přepravených jablek z I sadu ke druhému zelináři [t], x 34 množství přepravených jablek ze III sadu ke čtvrtému zelináři [t] 2 Vlastní omezení úlohy: tři pro kapacity jednotlivých sadů: a čtyři pro požadavky jednotlivých zelinářů: 3 Podmínky nezápornosti pro přepravovaná množství: pro i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n 4 Při sestavování účelové funkce sledujeme cíl minimalizovat celkový rozsah přepravy: Dostáváme přehledný matematický model 43

44 33 Vícekriteriální rozhodování Na rozdíl od předcházející kapitoly, kdy bylo řešení úloh LP posuzováno podle jediného optimalizačního kritéria, při řešení úloh vícekriteriálního rozhodování hledáme optimální hodnoty neznámých x = (x 1, x 2,, x n ) T, které posuzujeme zároveň podle několika navzájem často rozporuplných kriterií (varianta hodnocená podle jednoho kriteria jako nejlepší nemusí být jako nejlepší hodnocena podle kriteria dalšího) Matematický model úloh vícekriteriálního rozhodování tedy obsahuje několik účelových funkcí Cílem úlohy může být jak nalezení jedné nejlepší varianty, popř několika nejlepších variant, tak např uspořádání všech variant sestupně od těch nejlepších nebo rozdělení variant na efektivní a neefektivní I nadále se v našem textu věnujeme pouze matematickým modelům založeným na vztazích popsatelných lineární funkcí Podle toho, jak jsou definovány množiny rozhodovacích variant, rozdělujeme úlohy vícekriteriálního rozhodování do dvou skupin: 331 Vícekriteriální hodnocení variant Pokud je množina posuzovaných variant popsána explicitně konkrétním výčtem všech prvků, hovoříme o úlohách vícekriteriálního hodnocení variant V dalším textu může být pro úlohu vícekriteriálního hodnocení variant použita také zkratka úloha VHV, popř VAV jako vícekriteriální analýza variant Může jít třeba o seznam účastníků výběrového řízení, seznam uchazečů o studium, výčet nabízených produktů apod 332 Vícekriteriální lineární programování Je-li množina všech posuzovaných variant popsána implicitně, tedy soustavou omezujících podmínek, hovoříme o úlohách vícekriteriálního programování, pokud jsou navíc tato vlastní omezení popsána lineární funkcí stejně jako v modelu úloh LP, hovoříme o úlohách vícekriteriálního lineárního programování V dalším textu může být pro úlohu vícekriteriálního lineárního programování použita také zkratka úloha VLP Definice 32 Matematickým modelem úlohy vícekriteriálního lineárního programování s n neznámými, m vlastními omezeními a k rozhodovacími kritérii, kde k, m, n N, rozumíme úlohu nalézt optimum (36) za podmínek a pro 44

45 Reálná čísla x j, kde j = 1, 2,, n, nazýváme strukturní neznámé či proměnné, reálná čísla a ij, kde i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n, nazýváme strukturní koeficienty (v i-tém vlastním omezení u j-té strukturní neznámé), reálná čísla b i, kde i = 1, 2,, m, nazýváme požadavková čísla či pravé strany (i-tého vlastního omezení), reálná čísla c hj, kde j = 1, 2,, n a h = 1, 2,, k, nazýváme ceny či cenové koeficienty (h-tého hodnotícího kriteria u j-tého procesu) Poznámka: Při zachování dříve zavedeného značení můžeme matematický model z (36) zapsat stručně jako (37) za podmínek, (38) kde c h = (c h1, c h2,, c hn ) T je vektor cenových koeficientů h-tého kriteria, x = (x 1, x 2,, x n ) T je vektor strukturních neznámých, b = (b 1, b 2,, b m ) T je vektor pravých stran, x = (; ; ;) T je nulový vektor (n složkový), A = (a ij ) je matice strukturních koeficientů typu mxn V (38) jsou všechna vlastní omezení typu, obecněji můžeme připustit, že mohou být také typu <,, > nebo = 3 Metodám vícekriteriálního rozhodování se budeme věnovat v závěrečných kapitolách textu Využijeme v nich vědomosti z kapitol o metodách řešení úloh LP 45

46 4 kapitola GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ÚLOH LP Nejprve zaveďme dva důležité pojmy: 4 Definice 41 Řešení úlohy LP, které vyhovuje všem podmínkám úlohy (všem podmínkám nezápornosti a zároveň všem vlastním omezením), nazýváme přípustné řešení úlohy Definice 42 Přípustné řešení úlohy LP, pro nějž nabývá účelová funkce své nejlepší hodnoty (při maximalizaci hodnoty maximální, při minimalizaci hodnoty minimální), nazýváme optimální řešení úlohy Definice 43 Řešit úlohu LP znamená najít její optimální řešení Ke grafickému zobrazení lineárních rovnic a nerovnic matematického modelu o dvou strukturních neznámých postačí dvourozměrný prostor, tedy rovina, všechny objekty zobrazíme v KSS Pro tři strukturní neznámé bychom mohli využít k převodu trojrozměrného prostoru do roviny základních zobrazovacích metod deskriptivní geometrie, což ovšem není náplní tohoto kurzu V praxi jde většinou o úlohy složité, obsahující velké množství strukturních neznámých, pro více než tři strukturní neznámé již grafické řešení využít nelze Pro ilustraci přesto tento velmi názorný způsob řešení popišme Vyjděme tedy z matematického modelu úlohy LP, všechny objekty nejprve geometricky zobrazme v kartézské souřadné soustavě 1) Pro vynášení hodnot strukturních neznámých x 1 a x 2 využijeme dvě kolmé osy dvojrozměrné KSS, označíme je po řadě x 1 a x 2 Jednotka byla zvolena již při formulaci matematického modelu 2) Z podmínek nezápornosti vyplývá, že přípustná řešení úlohy postačí hledat pouze v I kvadrantu 3) Vlastní omezení úlohy jsou buď lineární rovnice, nebo lineární nerovnice, jejich grafické interpretaci jsme se věnovali v předcházejících kapitolách 4) Komplikovanější je zobrazení účelové funkce, jelikož její optimální hodnotu teprve hledáme a hodnota pravé strany rovnice z je neznámou Obecně zatím můžeme poznamenat, že pro různé hodnoty z bychom dostávali přímky, které tvoří síť tzv izokvant navzájem rovnoběžných přímek procházejících body se stejnou hodnotou účelové funkce, jakousi obdobou vrstevnic v mapě Zvolme tedy nějaké vhodné z, potom odpovídající izokvanta (zobrazená čárkovaně) bude nositelkou směru celé sítě Z praktických důvodů zvolíme takové číslo, které je výhodné pro úpravu rovnice do úsekového tvaru (tedy násobek cenových koeficientů) a pro vynesení do grafu vzhledem k měřítku obou os (úseky ani příliš velké, nevešly by se na papír, ani příliš malé, čím bližší jsou při rýsování dva spojované body, tím je větší pravděpodobnost zkreslení směru jejich spojnice) Někdy bývá zobrazována tzv nultá izokvanta c 1 x 1 + c 2 x 2 =, která prochází počátkem KSS [;] a ještě např bodem [c 2 ; -c 1 ] Je třeba také šipkou vyznačit směr rovnoběžného posouvání izokvant, ve kterém se hodnota účelové funkce zlepšuje K tomu postačí zvolit jeden bod mimo již vyznačenou izokvantu se známou hladinou z a zjistit, je-li hodnota účelové funkce v tomto bodě lepší? Pokud ano, směřuje šipka k němu, pokud ne, směřuje na druhou stranu 46

47 41 Grafické znázornění množiny přípustných řešení Body splňující podmínky nezápornosti tvoří celý I kvadrant, všechna vlastní omezení jsou reprezentována přímkami nebo polorovinami Jelikož všechny podmínky nezápornosti a všechna vlastní omezení musí platit současně - v konjunkci, je množina přípustných řešení průnikem I kvadrantu a všech zmíněných přímek a polorovin Tento průnik vždy tvoří konvexní polygon, přičemž nemusí jít o omezenou množinu 4 Příklad 41 Mějme zadanou ekonomickou úlohu: V dílně firmy specializované na stavební materiály je možné vyrábět čtvercové a obdélníkové pláty Na čtvercový je potřeba 2 kg speciální hmoty, na obdélníkový 1 kg hmoty, ve skladu je k dispozici celkem 6 kg této hmoty Na odlití a opracování čtvercového i obdélníkové plátu je třeba 1 hodina práce zaměstnance, celkem je k dispozici 4 hodin Jistý obchodník se stavebninami poptává alespoň 5 čtvercových plátů a je také ochoten odebrat nějaké obdélníkové pláty, ne však více než 3 kusů Pokud dílna prodá všechny vyrobené pláty za smluvené ceny, má z výroby jednoho čtvercového plátu zisk 4 Kč a z jednoho obdélníkového plátu 6 Kč Pomocí grafického zobrazení rozhodněte, zda jsou navržená řešení přípustná: a) 3 čtvercových a 5 obdélníkových izolačních plátů, b) 2 čtvercových a 1 obdélníkových izolačních plátů Řešení Nejprve sestavme matematický model úlohy LP: Opět využijeme zobrazení všech lineárních objektů o dvou neznámých do dvojrozměrné KSS Výhodné bude vzhledem k hodnotám, kterých x 1 a x 2 nabývají, vynášet vše na obou v tisících jednotek Z podmínek nezápornosti vyplývá, že má smysl hledat řešení pouze v I kvadrantu Množinu všech přípustných řešení nalezneme jako grafické řešení soustavy lineárních nerovnic všech vlastních omezení, pro lepší orientaci pojmenujme po řadě a, b, c, d hraniční přímky těchto čtyř polorovin (Zápis jejich úsekových tvarů a rozhodnutí o směru polorovin ponechme na čtenáři) Množinu všech přípustných řešení tvoří pětiúhelník ABCDE Nyní postačí zjistit, zda body F [3; 5] a G [2; 1] do množiny přípustných řešení patří Situace je vyznačena v obrázku 14 Přípustný je pouze druhý z navrhovaných výrobních programů, bod G náleží pětiúhelníku ABCDE Z grafu Obrázek 41 lze také vyčíst, které nebo která z omezení byla u nepřípustných řešení porušena Bod F náleží I kvadrantu, podmínky nezápornosti jsou splněny, náleží také všem polorovinám reprezentujícím vlastní omezení úlohy, kromě prvního Při takto navrženém výrobním plánu by nevystačilo disponibilní množství speciální hmoty, ze které se pláty odlévají 47

48 Obrázek 41 - přípustná a nepřípustná řešení 42 Grafické nalezení optimálního řešení úlohy Máme-li nyní vyznačenou množinu přípustných řešení, je nyní nezbytné zkusmo zobrazit jednu izokvantu, nesoucí informaci o směru zlepšování účelové funkce Poté vyhodnotíme vzájemnou polohu odpovídajícího polygonu a sítě izokvant Posuneme zvolenou izokvantu ve směru šipky co nejdál tak, aby měla s polygonem přípustných řešení neprázdný průnik Příklad 42 Pro úlohu z předchozího příkladu pomocí grafického zobrazení rozhodněte, zda je dosažitelný zisk a) 1 2 Kč, b) 3 6 Kč Řešení a) Hledejme množinu všech bodů, pro něž je hodnota účelové funkce rovna právě 1,2 milionu Kč, tedy body splňující rovnici Jedná se o izokvantu pro z = 1 2, i tuto přímku vyznačíme do grafu Obrázek 42 Tato přímka má s množinou přípustných řešení dokonce nekonečně mnoho společných bodů, je to úsečka AX Každý bod reprezentuje jednu z přípustných variant výrobního programu, kdy bude dosaženo požadovaného zisku 1,2 mil Kč, např bod A [3;] reprezentuje výrobu 3 ks čtvercových plátů Dosazením do účelové funkce ověříme výši odpovídajícího zisku 48

49 Obrázek 42 izokvanty účelové funkce b) Analogicky hledejme také množinu všech bodů, pro něž je hodnota účelové funkce rovna právě 3,6 milionu Kč, tedy body splňující rovnici Jedná se o izokvantu pro z = 3 6, tuto přímku vyznačíme do grafu Jelikož nemá s množinou přípustných řešení žádný společný bod, není v našem případě možné dosáhnout zisku 3,6 mil Kč Formálně také vyznačme tzv nultou izokvantu pro z = a opatřeme ji šipkou naznačující směr, ve kterém se hodnota účelové funkce zlepšuje (zde při maximalizaci roste) Z porovnání hladin izokvant z příkladů a) a b) je zřejmé, že je třeba posunovat v I kvadrantu co nejdál od počátku KSS Příklad 43Pro předcházející příklad navrhněte pomocí grafického řešení optimální rozvržení výroby, aby byly dodrženy všechny podmínky odběratele a výrobce přitom dosáhl maximálního možného zisku Řešení K nalezení optimálního řešení využijme grafu z předcházejících dvou příkladů Máme již vyznačenou množinu přípustných řešení a vyznačenou nultou izokvantu včetně šipky naznačující směr optimalizace Nyní stačí izokvantu tímto směrem posunout co nejdál, aby ovšem měla neprázdný průnik s množinou přípustných řešení Nejzazším bodem je v tomto případě vrchol polygonu bod C, který reprezentuje optimální řešení zadané úlohy Takto nalezený bod reprezentuje optimální řešení úlohy, a proto jej budeme nadále označovat O 49

50 Obrázek 43 Jediné optimální řešení - maximalizace Obecně není radno odečíst souřadnice nalezeného optima z grafu, sami početně prověřte souřadnice průsečíku přímek b a d, bodu O [1; 3] Všimněme si v grafu skutečnosti, že vlastní omezení s hraničními přímkami b a d jsou splněna ve smyslu rovnosti, zbylé dvě podmínky ve smyslu ostré nerovnosti (bod O neleží na hraničních přímkách a a c) Nakonec zbývá dopočítat optimální hodnotu účelové funkce, kterou právem označíme z max Nakonec nezbytná slovní interpretace nalezeného řešení: Výrobce dosáhne nejvyššího možného zisku 2,2 milionu Kč jediným možným způsobem: když vyrobí a odběrateli prodá 1 čtvercových a 3 obdélníkových plátů Čas opracování na stroji byl zcela vyčerpán, nabídka maximálního odběru obdélníkových plátů byla plně využita Naopak zbude část výrobní hmoty a čtvercových plátů bude vyrobeno dokonce více, než bylo požadované minimum Pozn: V Obr 43 byly všechny vrcholy polygonu přípustných řešení úlohy LP vyznačeny symbolem Připomeňme také, průnikem polorovin, resp přímek (odpovídajícím nerovnicím resp rovnicím vlastních omezení), je vždy konvexní množina Z úplné diskuse vzájemné polohy množiny přípustných řešení a systému izokvant účelové funkce vyplývá následující tvrzení: 421 Žádné optimální řešení V triviálním případě je množina přípustných řešení prázdná, potom zřejmě neexistuje ani žádné optimální řešení 5

51 V praxi to ovšem obvykle znamená, že byly nadiktovány příliš přísné, nesplnitelné, podmínky Obrázek 44 - Žádné optimální řešení 422 Jediné optimální řešení Nejzazší izokvanta se dotýká obecného polygonu přípustných řešení v jediném vrcholu O Hovoříme o jediném optimálním řešení, jeho souřadnice zapisujeme pomocí vektoru řešení x opt = (x 1 ; x 2 ) Obrázek 45 - Jediné optimální řešení - minimalizace 51

52 423 Alternativní řešení Ve speciálním případě, kdy směr izokvant rovnoběžný s nejzazší stranou polygonu přípustných řešení, dotýká se nejzazší izokvanta polygonu přípustných řešení podél celé této jeho strany Je-li polygon omezená množina, je tato strana tvořena úsečkou, jejíž vrcholy označíme O 1, O 2 Souřadnicím těchto vrcholů odpovídají vektory řešení x opt1, x opt2 Každý bod X této úsečky je také optimálním řešením dané úlohy, získáme je jako konvexní kombinaci krajních bodů, k vyjádření použijeme obecný zápis vektoru řešení x opt = k x opt1 + (1-k) x opt2, k <; 1> (41) Tímto zápisem je popsáno nekonečně mnoho různých vektorů optimálních řešení pro různé volby parametru k, hovoříme o alternativním řešení Teoreticky jsou všechny alternativy srovnatelné, je až úkolem manažera pro jednu z nich se rozhodnout Obrázek 46 - Alternativní optimální řešení omezená množina Je-li polygon přípustných řešení neomezená množina (např úhel) a směr izokvant je rovnoběžný právě s hraniční polopřímkou (např rameno úhlu K jejímu určení je třeba zvolit kromě vrcholu O 1 ještě jeden bod této polopřímky, ozn O 2 Souřadnicím těchto bodů odpovídají vektory řešení x opt1, x opt2 Každý bod X této polopřímky je také optimálním řešením dané úlohy a k vyjádření opět použijeme obecný zápis vektoru řešení: x opt = k x opt1 + (1-k) x opt2, k <; ) (42) Tímto zápisem je popsáno nekonečně mnoho různých vektorů optimálních řešení pro různé volby parametru k, který tentokrát může nabývat i hodnot větších než jedna Takovéto řešení je ovšem obvykle opět spíše důsledkem špatné formulace omezujících podmínek 52

53 Obrázek 47 - Alternativní optimální řešení neomezená množina 424 Neomezená hodnota účelové funkce Množina přípustných řešení je neomezená množina právě v tom směru, kterým posouvám izokvantu a zlepšuji hodnotu účelové funkce Může jít např o úhel apod K jakékoli zvolené izokvantě pak mohu sestrojit izokvantu s lepší hodnotou z, hovoříme o neomezené hodnotě účelové funkce Viz Obrázek 48 Obrázek 48 - Neomezená hodnota účelové funkce - ilustrace 53

54 Poznámka: Pozor, ne vždy neomezená množina přípustných řešení znamená neomezenou hodnotu účelové funkce, záleží na tom, jakým směrem je třeba izokvantu při optimalizaci posunout Obrázek 49 - Neomezená množina přípustných řešení a konečné optimální řešení Předchozí úvahy shrneme v následující větě 4 Věta 41 Při řešení úloh LP může nastat jedna ze tří variant výsledku: 1) úloha LP nemá žádné řešení, 2) úloha LP má právě jedno optimální řešení, 3) úloha LP má alternativní optimální řešení, 4) úloha LP má neomezenou hodnotu účelové funkce Poznámka: Z 2 kapitoly o řešení SLN víme, že vrcholy množiny přípustných řešení při grafickém způsobu řešení odpovídají přípustným základním řešením vzešlým z algebraického způsobu řešení Kvůli větší názornosti doporučujeme čtenáři sledovat vzájemnou analogii s řešením početním, které nalezne v následující kapitole 54

55 5 kapitola ALGEBRAICKÉ ŘEŠENÍ ÚLOH LP 51 Úprava matematického modelu úloh LP Vraťme se nyní k algebraickému vyjádření úlohy LP jejím matematickým modelem Množinu všech přípustných řešení zřejmě tvoří řešení soustavy všech vlastních omezení a podmínek nezápornosti Podmínky nezápornosti strukturních neznámých ovšem zapisovat nebudeme, nezápornost všech souřadnic vektorů řešení nakonec vždy lehce ověříme Soustavu vlastních omezení nejprve buď (pro potřeby primárně simplexové metody) upravíme tak, aby všechny pravé strany byly nezáporné, nebo (pro potřeby duálně simplexové metody) tak, aby soustava byla tvořena pouze nerovnicemi typu K těmto úpravám stačí využít vynásobení nerovnice číslem 1, popř nahrazením rovnice ekvivalentní dvojicí nerovnic Takto získanou soustavu převedeme nejprve na adjungovanou soustavu lineárních rovnic tak, že všechny nerovnice vyrovnáme pomocí zavedení nezáporných přídatných neznámých 5 Definice 51 Soustavu lineárních rovnic získanou postupem popsaným výše nazveme ekvivalentní soustavou rovnic k soustavě vlastních omezení úlohy LP Pokud potom tato adjungovaná soustava ještě není v kanonickém tvaru, zavedeme další, tzv pomocné neznámé tak, abychom v matici doplnili chybějící sloupce jednotkové matice Při sestavování ekvivalentní soustavy v kanonickém tvaru se tedy vyskytují neznámé tří typů, podle důvodu zavedení: Strukturní neznámé Neznámé x 1, x 2,, x n zavedené při sestavování matematického modelu nazýváme strukturní neznámé Vyjadřují počet realizací jednotlivých typů procesů Přípustné jsou proto vždy jen jejich nezáporné hodnoty Ekonomická interpretace: vyjadřují množství jednotlivých výrobků či procesů, při kterých bude dosaženo optimálního fungování analyzovaného procesu Přídatné neznámé Neznámé, které jsme ve výše uvedeném postupu využili k vyrovnání nerovnic na rovnice, nazýváme přídatné neznámé Zavádíme je vždy jako nezáporné, skutečnost že je třeba na levé straně nerovnice jisté množství přidat resp odebrat, vyjádříme při vyrovnávání znaménkem + resp Označujeme je obvykle x n+1, x n+2, Vyjadřují tedy rozdíl mezi oběma stranami vlastního omezení ve tvaru nerovnice, jejich záporná hodnota signalizuje nedodržení příslušného vlastního omezení, a tedy nepřípustnost posuzovaného řešení Ekonomická interpretace: vyjadřují nevyužitou kapacitu (nespotřebovaná surovina apod) či nadlimitní splnění požadavku (překročení požadované minimální denní dávky apod) u příslušného výrobního činitele Umělé neznámé Neznámé, které jsme ve výše uvedeném postupu využili k doplnění adjungované soustavy lineárních rovnic k původní soustavě vlastních omezení na kanonický tvar, nazýváme umělé neznámé Označujeme je obvykle y 1, y 2, Jelikož jejich přičtením do rovnice máme získat opět rovnici, nabízí se logický požadavek na rovnost číslu Ověření, je-li možné toho v konkrétních příkladech vůbec dosáhnout, je vždy 55

56 první fází řešení takové úlohy Umělé neznámé nemají v rámci ekonomické interpretace řešení reálný význam, slouží pouze k umělému dosažení kanonického tvaru a je-li první fáze úspěšná, další význam nemají a do druhé fáze už nevstupují 52 Základní řešení úlohy LP Jak jsme mohli nahlédnout při grafickém způsobu řešení v rovině, kde jsou přípustná základní řešení reprezentovaná vrcholy polygonu přípustných řešení, pro nalezení optimálního řešení jsou právě tyto body velmi důležité Pro početní způsob řešení nejprve zaveďme praktické stručnější názvosloví pro nejčastěji skloňovaný pojem: Definice 52 Základní přípustné řešení ekvivalentní soustavy rovnic k soustavě vlastních omezení úlohy LP budeme stručně nazývat základní řešení úlohy LP Pro algebraické řešení úloh LP má zásadní význam následující věta: 5 Věta 51 (Základní věta lineárního programování): Má-li úloha LP optimální řešení, potom má také základní optimální řešení Tato věta říká, že má-li úloha LP jediné optimální řešení, je toto řešení základní, má-li více optimálních řešení, alespoň jedno z nich musí být základní Při hledání optimálního řešení tedy postačí soustředit se pouze na hledání základních řešení Jednou z možností by bylo najít všechna základní řešení úlohy LP, vypočítat odpovídající hodnoty účelové funkce a z nich vybrat tu nejlepší, což je ovšem v matematických modelech s vyšším počtem strukturních neznámých a vlastních omezení zbytečně pracné 53 SIMPLEXOVÁ METODA Efektivnější způsob prohledávání množiny přípustných řešení nabízí algoritmus simplexové metody, který sleduje vliv změny množiny základních neznámých na změnu hodnoty účelové funkce Důležité je na počátku práce mít k dispozici jakékoli základní řešení úlohy LP Proto zaveďme následující dva pojmy Definice 53 Množinu všech základních neznámých daného základního řešení úlohy LP budeme nazývat báze základního řešení úlohy LP, nebo stručněji jen báze Definice 54 První nalezené základní řešení úlohy LP budeme nazývat výchozí základní řešení úlohy LP, stručně také zn VZŘ 5 Množinu základních řešení nebudeme procházet náhodně, ale u konkrétního základního řešení budeme brát v úvahu jednotkové změny hodnoty účelové funkce při přechodu k novým bázím, lišícím se od původní v jediné základní neznámé Vybereme variantu přinášející největší zlepšení Takto budu postupovat, dokud bude k aktuálnímu základnímu řešení existovat základní řešení s lepší hodnotou účelové funkce Na konečné množině základních řešení postačí konečný počet kroků Změnám, vedoucím ke zhoršení hodnoty účelové funkce se tímto postupem vyhneme, nebude třeba procházet všechna základní řešení Metoda, založená na tomto principu se nazývá simplexová metoda Podrobněji se jí věnují následující kapitoly 6 56

57 6 kapitola PRIMÁRNĚ SIMPLEXOVÁ METODA 61 Jednofázová primárně simplexová metoda Uvažujme nejprve takovou úlohu LP, jejíž všechna vlastní omezení jsou typu tvořící obecně soustavu m lineárních nerovnic o n neznámých s obecným zápisem (61) Každou nerovnici soustavy vyrovnáme přičtením nezáporné přídatné neznámé, i-tou nerovnici soustavy ve tvaru nahradíme rovnicí kde (62) Věta 61 Soustava m lineárních nerovnic o (m + n) neznámých x 1, x 2,,x n, x n+1, x n+2,, x n+m R kde m, n N (63) je ekvivalentní soustavou rovnic k soustavě vlastních omezení úlohy LP ve tvaru (61) Věta 62 Hodnost matice soustavy (52) je rovna m Důkaz: Matice soustavy (63) je v kanonickém tvaru, její řádky jsou proto lineárně nezávislé Věta 63 Soustava (63) má nekonečně mnoho řešení K zápisu obecného řešení je třeba n nezákladních (volných) a m základních neznámých Důkaz: Z předchozího tvrzení vyplývá, že také hodnost matice rozšířené k soustavě (62) je rovna m Podle Frobeniovy věty je tedy soustava (63) je řešitelná Protože má m + n neznámých a hodnost m, potom jsou čísla m, n N, a podle věty 12 tvrzení platí Věta 64 Soustava (63) má nejvýše (64) základních řešení 57

58 Poznámka: Připomeňme, že základní řešení soustavy (63) získáme z obecného řešení dosazením čísla za všechny nezákladní neznámé, proto základní řešení musí mít alespoň m nulových složek Pokud všechny základní neznámé nabývají nenulových hodnot a tedy počet nulových složek vektoru řešení je právě m, hovoříme o nedegenerovaném řešení, je-li některá ze základních neznámých také rovna nule a počet nulových složek vektoru řešení je tedy větší než m, hovoříme o degenerovaném řešení 611 Simplexová tabulka Zápis rozšířené matice soustavy (62) a 11 a 12 a 1n 1 b 1 a 21 a 22 a 2n 1 b 2 a m1 a m2 a mn 1 b m (65) budeme z praktických důvodů nadále nahrazovat zápisem do tabulky, kterou doplníme o další údaje důležité pro následující úvahy a výpočty Pro přehlednost v prvním řádku tabulky nadepíšeme sloupce názvy jednotlivých neznámých, ve sloupci báze si před každý řádek poznamenáme, kterou základní neznámou reprezentuje, Tabulka 61 - Obecná simplexová tabulka báze x 1 x 2 x n x n+1 x n+2 x n+m b i x n+1 a 11 a 12 a 1n 1 b 1 x n+2 a 21 a 22 a 2n 1 b 2 x n+m a m1 a m2 a mn 1 b m z c 1 c 2 c n a pod tabulku připojíme ještě řádek obsahující koeficienty účelové funkce upravené do tzv anulovaného tvaru, kdy jsou všechny proměnné převedeny na levou stranu rovnice a na pravé straně je pouze absolutní člen, tedy ve tvaru který se při zápisu rovnic do SLR obvykle používá 6 Definice 61 Koeficienty c 1, c 2,, c n nazýváme indexní čísla, poslední řádek simplexové tabulky obsahující indexní čísla nazýváme indexní řádek Protože soustava (63) je v kanonickém tvaru, její matice o m řádcích obsahuje m sloupcových jednotkových vektorů, ze kterých lze sestavit jednotkovou matici řádu m Totéž budeme požadovat i při sestavování dalších ekvivalentních matic reprezentujících další základní řešení dané úlohy LP v průběhu celého řešení Využívat budeme Jordanovy metody úplné eliminace, pro přehlednost provedených úprav při transformaci matic nebudeme nikdy měnit pořadí řádků, 58

59 612 Výchozí základní řešení Nalezení výchozího základního řešení se týká I fáze řešení úloh LP U úloh řešitelných jednofázovou primárně simplexovou metodou můžeme díky jednoduchosti matematického modelu rovnou VZŘ zapsat Věta 65 Vektor řešení odpovídající této tabulce x = (; ; ; ; b 1 ; b 2 ; ; b m ) T je výchozím základním řešením zadané úlohy LP Toto řešení můžeme slovně interpretovat jako zavedení výrobního programu, ve kterém se nevyrábí žádný z n výrobků a všech m výrobních činitelů zůstane nedotčeno (zbudou v původním množství) Je tak dosaženo nulového zisku U úloh, kde jsou veškeré výrobní zdroje omezeny pouze shora, je tento způsob výroby triviálním základním řešením, obvykle ovšem ne tím nejlepším K vyřešení úlohy tedy postačí věnovat se pouze II fázi řešení úloh LP 613 Optimalizace II fáze řešení úloh LP se týká samotné optimalizace, tedy ověřování optimality nalezeného základního řešení a případné algoritmizované nalezení základního řešení s lepší hodnotou účelové funkce Věta 66 (Test optimality): V maximalizačních úlohách LP je hodnota účelové funkce z optimální, jestliže jsou všechna indexní čísla nezáporná V minimalizačních úlohách LP je hodnota účelové funkce z optimální, jestliže jsou všechna indexní čísla nekladná Pokud dosažené řešení není optimální, přejdeme pomocí Jordanovy metody úplné eliminace k základnímu řešení s výhodnou volbou nové báze Jedna ze základních neznámých původní báze se stane nezákladní, nahradí ji proměnná, která byla v předchozím řešení nezákladní Definice 62 Sloupec proměnné vstupující do báze se nazývá klíčový sloupec, řádek proměnné vystupující z báze se nazývá klíčový řádek Prvek ležící v průsečíku klíčového sloupce a klíčového řádku se nazývá klíčový prvek Věta 67 V maximalizačních úlohách LP do báze základního řešení vstoupí proměnná, která má v indexním řádku nejnižší záporné číslo V minimalizačních úlohách LP do báze základního řešení vstoupí proměnná, která má v indexním řádku nejvyšší kladné číslo Do báze je tak zařazena proměnná, která zajistí nejvyšší přírůstek, resp největší pokles optimalizované účelové funkce Např v maximalizační úloze v prvním kroku algoritmu můžeme tuto úvahu interpretovat tak, že zcela prvoplánově uvažujeme, že nejvyššího nárůstu zisku dosáhneme v případě, že se zaměříme na výrobek s nejvyšší cenou Význam indexního čísla můžeme interpretovat tak, že vyjadřuje, o kolik jednotek se změní hodnota účelové funkce při zařazení jednoho kusu odpovídajícího výrobku do výroby 59

60 Věta 68 V (maximalizačních i minimalizačních) úlohách LP z báze základního řešení vystoupí proměnná s nejmenším podílem pravé strany rovnice a odpovídajících kladných koeficientů ve sloupci vstupující proměnné Poznámka: Pro zápis těchto podílů doplníme simplexovou tabulku vpravo ještě o sloupec podíly Z báze vystoupí ta proměnná, jejíž pravá strana nejvíce omezuje množství vstupující proměnné Předpokládejme, že je již určen klíčový výrobek, na jehož zařazení do výroby se chceme specializovat V prvním kroku algoritmu je třeba zjistit, na kolik takových výrobků nám vystačí jednotlivé výrobní činitele (množství surovin apod), je-li známa spotřeba na jeden kus tohoto výrobku, což udávají čísla spočtená jako podíly zmíněných hodnot, nejmenší z nich potom ukazuje na výrobního činitele s nejpřísnějším omezením Pokud bychom uvažovali i záporné podíly případně nevybrali nejmenší z nezáporných podílů, ve sloupci pravých stran by se objevilo záporné číslo, záporné hodnoty základních neznámých jsou ovšem v úlohách LP nepřípustné Poznámka: Klíčový prvek při použití jednofázové primárně simplexové metody je vždy kladné číslo Transformace simplexové tabulky Po určení vstupující a vystupující proměnné přepočítáme pomocí ekvivalentních řádkových úprav Jordanovy metody úplné eliminace do tvaru odpovídajícímu nové bázi Klíčový sloupec je třeba převést na jednotkový vektor s 1 na pozici klíčového prvku Zřejmě postačí nejprve dělit klíčový řádek klíčovým prvkem a transformovaný klíčový prvek 1 poté využít k eliminaci ostatních prvků klíčového sloupce Uvedený postup opakujeme tak dlouho, dokud není dosaženo jednoho z možných zakončení výpočtu 614 Zakončení výpočtu Věta 69 Při řešení úloh LP s množinou vlastních omezení (63) může nastat jedna ze tří variant výsledku 1) jediné optimální řešení, 2) alternativní řešení, 3) neomezená hodnota účelové funkce Jinými slovy: úloha LP řešitelná jednofázovou primárně simplexovou metodou má vždy řešení Množina všech přípustných řešení obsahuje alespoň triviální VZŘ sestavené z nulových strukturních proměnných, a pokud nebude existovat lepší základní řešení, bude rovnou také optimálním řešením této úlohy LP Věta 61 Optimální řešení úlohy LP je jediné, pokud jsou všechna indexní čísla ve sloupcích nezákladních neznámých nenulová 6 Příklad 61 V dílně firmy specializované na stavební materiály je možné vyrábět čtvercové a obdélníkové pláty Na čtvercový je potřeba 2 kg speciální hmoty, na obdélníkový 1 kg hmoty, ve skladu je 6

61 k dispozici celkem 6 kg této hmoty Na odlití a opracování čtvercového i obdélníkové plátu je třeba 1 hodina práce zaměstnance, celkem je k dispozici 4 hodin Odběratel se zaručil odebrat až 3 kusů obdélníkových plátů, s odbytem čtvercových plátů není problém Pokud dílna prodá všechny vyrobené pláty za smluvené ceny, má z výroby jednoho čtvercového plátu zisk 4 Kč a z jednoho obdélníkového plátu 6 Kč Stanovte výrobní program, který zaručí za daných podmínek nejvyšší možný zisk Řešení Sestavme matematický model úlohy Všechna vlastní omezení jsou typu, k úpravám vlastních omezení postačí v každém doplnit přídatnou neznámou K soustavě vlastních omezení získáváme ekvivalentní soustavu lineárních rovnic a anulovaný tvar účelové funkce pro zápis do simplexové tabulky: báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i podíly x x x z -4-6 Začněme testem optimality výchozího základního řešení Protože maximalizujeme, požadujeme v indexním řádku pouze čísla nezáporná, což ještě není splněno a je třeba hledat lepší základní řešení Nejnižší záporné indexní číslo určí klíčový sloupec, do báze bude nově zařazena proměnná x 2, nejnižší nezáporný podíl určí klíčový řádek, z báze naopak vystoupí proměnná x 5 Přistupme k transformaci simplexové tabulky Beze změny pořadí řádků nejprve opišme klíčový řádek (klíčový prvek už je totiž roven 1), poté jeho -1 násobek postupně přičtěme k prvnímu a druhému řádku a jeho 6násobek přičtěme k indexnímu řádku Dostáváme tabulku 61

62 báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i podíly x x x z Proveďme nejprve test optimality získaného základního řešení: indexní řádek stále obsahuje záporná čísla, řešení není optimální Přistupme k určení nové báze Nejnižší záporné indexní číslo určí klíčový sloupec, do báze bude nově zařazena proměnná x 1, nejnižší nezáporný podíl určí klíčový řádek, z báze naopak vystoupí proměnná x 4 Přistupme dále k transformaci simplexové tabulky Beze změny pořadí řádků nejprve opišme klíčový řádek (klíčový prvek už je totiž roven 1), poté jeho -2 násobek přičtěme k řádku a jeho 4násobek přičtěme k indexnímu řádku Třetí řádek nebylo třeba upravovat Máme: báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z Proveďme nejprve test optimality získaného základního řešení: indexní řádek již obsahuje pouze nezáporná čísla, bylo dosaženo optimálního řešení Indexní čísla ve sloupcích nezákladních neznámých x 4, x 5 jsou nenulová, toto optimální je tedy podle věty 51 jediné Můžeme zapsat vektor optimálního řešení x opt = (1 ; 3 ; 1 ; ; ) T a odpovídající nejlepší dosažitelnou hodnotu účelové funkce z max = 2 2 Kč Poznámka: Má-li úloha LP jediné optimální řešení, můžeme dosáhnout jak řešení degenerovaného tak nedegenerovaného Věta 611 Pro nedegenerované úlohy je simplexový algoritmus konečný U úloh LP, které mají jediné degenerované řešení, může dojít k zacyklení popsaného algoritmu, této problematice se ovšem v kurzu věnovat nebudeme Čtenáře můžeme odkázat na studium metod, které problém zacyklení univerzálně řeší Mezi ně patří perturbační metoda, lexikografická metoda a metoda nejmenších indexů Věta 612 Optimální řešení úlohy LP je alternativní, pokud je některé indexní číslo pod nezákladní proměnnou rovno Příklad 62 V dílně firmy specializované na stavební materiály je možné vyrábět čtvercové a obdélníkové pláty Na čtvercový je potřeba 2 kg speciální hmoty, na obdélníkový 1 kg hmoty, ve skladu je k dispozici celkem 6 kg této hmoty Na odlití a opracování čtvercového i obdélníkové plátu je třeba 1 hodina práce zaměstnance, celkem je k dispozici 4 hodin Odběratel se zaručil odebrat až 3 kusů obdélníkových plátů, s odbytem čtvercových plátů není problém Předpokládejme, že dílna prodá všechny vyrobené pláty, oba typy se prodávají po 4 Kč za kus Stanovte výrobní program, který zaručí za daných podmínek nejvyšší možný zisk 62

63 Řešení Sestavme matematický model úlohy Všechna vlastní omezení jsou typu, k úpravám vlastních omezení postačí v každém doplnit přídatnou neznámou K soustavě vlastních omezení získáváme ekvivalentní soustavu lineárních rovnic a anulovaný tvar účelové funkce pro zápis do simplexové tabulky: báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i podíly x x x z -4-4 Začněme testem optimality výchozího základního řešení Protože maximalizujeme, požadujeme v indexním řádku pouze čísla nezáporná, což ještě není splněno a je třeba hledat lepší základní řešení Nejmenší záporné hodnoty nabývají dvě redukované ceny, klíčový sloupec není určen jednoznačně, vyberme první v pořadí, do báze bude nově zařazena proměnná x 1, nejnižší nezáporný podíl určí klíčový řádek, z báze naopak vystoupí proměnná x 3 Přistupme k transformaci simplexové tabulky Beze změny pořadí řádků nejprve opišme klíčový řádek (klíčový prvek už je totiž roven 1), poté jeho -1 násobek postupně přičtěme k prvnímu a druhému řádku a jeho 4násobek přičtěme k indexnímu řádku Dostáváme: báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i podíly x 1 1,5,5 3 6 x 4,5 -, x z Proveďme nejprve test optimality získaného základního řešení: indexní řádek stále obsahuje záporná čísla, řešení není optimální Přistupme k určení nové báze 63

64 Nejnižší záporné indexní číslo určí klíčový sloupec, do báze bude nově zařazena proměnná x 2, nejnižší nezáporný podíl určí klíčový řádek, z báze naopak vystoupí proměnná x 4 Přistupme dále k transformaci simplexové tabulky Beze změny pořadí řádků nejprve vynásobíme klíčový řádek číslem 2 (dle obecného pokynu dělíme klíčový řádek klíčovým prvkem), poté -1/2násobek upraveného klíčového řádku přičtěme k prvnímu řádku, 1násobek upraveného klíčového řádku přičtěme ke třetímu řádku a nakonec ještě 2násobek upraveného klíčového řádku přičtěme k indexnímu řádku báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i podíly x x x z Proveďme nejprve test optimality získaného základního řešení: indexní řádek již obsahuje pouze nezáporná čísla, dosažené základní řešení je optimálním řešením zadané úlohy Můžeme zapsat vektor optimálního řešení x opt1 = (2 ; 2 ; ; ; 1 ) T a odpovídající nejlepší dosažitelnou hodnotu účelové funkce z max = 1 6 Kč Je třeba si všimnout, že ve sloupci nezákladní neznámé x 3 je, toto optimální řešení je tedy podle věty 52 alternativní a existuje jiná, srovnatelná varianta, se stejnou hodnotou účelové funkce Hledejme tedy ještě další základní řešení Do báze zařadíme tu nezákladní neznámou, jejíž zařazení nezmění hodnotu účelové funkce, což signalizuje nulové indexní číslo a tak určuje klíčový sloupec, do báze bude nově zařazena proměnná x 3 Nejnižší nezáporný podíl určí klíčový řádek, z báze naopak vystoupí proměnná x 5 Přistupme naposledy k transformaci simplexové tabulky Beze změny pořadí řádků nejprve opišme klíčový řádek, poté jeho -1 násobek přičtěme k prvnímu řádku a jeho 1násobek přičtěme ke druhému řádku Indexní řádek není třeba upravovat Dostáváme báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z Test optimality je totožný s testem u předchozí tabulky Můžeme zapsat vektor optimálního řešení x opt2 = (1 ; 3 ; 1 ; ; ) T a odpovídající nejlepší dosažitelnou hodnotu účelové funkce z max = 1 6 Kč, jejíž hodnotu jsme zjistili již v předcházejícím kroku Všechna alternativní řešení zadané úlohy (při zanedbání požadavku celočíselnosti) jsou popsána obecným zápisem: x opt = k(2 ; 2 ; ; ; 1 ) T + (1-k)(1 ; 3 ; 1 ; ; ) T, k <;1> Poznámka: Na tomto místě by bylo vhodné celý průchod algebraickým řešením porovnat s jeho grafickou obdobou Jakým bodům v grafu odpovídají základní řešení dosažená v jednotlivých krocích? 64

65 Věta 613 Nechť x opt1 a x opt2 jsou optimální řešení úlohy LP Potom každý vektor ve tvaru je také optimálním řešením dané úlohy LP x opt = k x opt1 + (1-k) x opt2, k <; 1> (66) V grafickém řešení úloh LP pro dvě strukturní neznámé v rovině jsme se s tímto zápisem setkali při obecném zápisu strany polygonu přípustných řešení Obecně tato situace může být mnohem komplikovanější, už pro tři strukturní neznámé v trojrozměrném prostoru tvoří množina přípustných řešení obecně polyedr, izokvantová rovina se jej může dotýkat podél celé stěny, základních optimálních řešení může být více, než dvě Právě uvedené tvrzení pouze říká, že jakákoli spojnice dvou optimálních řešení je tvořena optimálními řešeními Nepopisuje ovšem obecně celou množinu všech optimálních řešení Věta 614 Úloha LP má neomezenou hodnotu účelové funkce, pokud jsou všechny koeficienty klíčového sloupce nekladné Příklad 63 Mějme tři zařízení na výrobu elektrické energie, která při výrobě také elektrickou energii spotřebovávají tak, jak je vidět v tabulce: Tabulka 62 - Výroba a spotřeba elektrické energie na zařízení za hodinu kw Produkce Spotřeba Z1 2 1 Z2 2 4 Z3 5 3 První dvě zařízení jsou bezobslužná, obsluha třetího zařízení vyjde na 5 Kč za hodinu, na tento účel je možné využít maximálně 4 Kč Vyrobenou elektrickou energii lze prodat do veřejné sítě za cenu, za kterou ji odtud lze v případě potřeby také nakoupit, za jednotkovou cenu 4 Kč za 1 kwh Z veřejné sítě je možné za tuto cenu odebrat maximálně 6 kwh Určete optimální doby spuštění jednotlivých zařízení, aby bylo dosaženo optimální tržby za prodanou elektrickou energii Řešení: Zaveďme strukturní neznámé x i doba, po kterou je spuštěno zařízení Zi [h], i = 1, 2, 3 Vlastní omezení se týkají celkové produkce elektrické energie spuštěných zařízení a doby obsluhy běžících zařízení Účelová funkce maximalizuje zisk z odprodeje přebytku z produkce elektrické energie Sestavme matematický model a k němu simplexovou tabulku 65

66 báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i podíly x x z Nejmenší záporné hodnoty nabývají hned tři redukované ceny, klíčový sloupec není určen jednoznačně, vyberme první v pořadí Nulou nelze dělit, je zde jediný nezáporný podíl, který určí klíčový řádek Po transformaci dostáváme báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i podíly x ,1 6 x z Základní řešení ještě není optimální, jediné nezáporné indexní číslo určuje klíčový sloupec, který ovšem obsahuje číslo záporné a číslo, ani v jednom řádku tedy neexistuje nezáporný podíl Podle výše uvedené věty má tato úloha neomezenou hodnotu účelové funkce Bude-li stanoven jakýkoli výrobní plán, vždy bude možné najít výrobní plán s lepší hodnotou účelové funkce Hodnota účelové funkce může stoupat nade všechny meze Poznámka: Neomezená hodnota účelové funkce obvykle znamená špatně sestavená vlastní omezení v matematickém modelu, spíše než nalezení reálné varianty neomezených zisků apod V tomto příkladě je možné nechat stroje běžet po nekonečnou dobu, odtud vyplývá možnost neomezeného zisku z odprodeje energie Zřejmě by bylo vhodnější ptát se na optimální zapojení zařízení za stanovenou jednotku času (hodinu, den, měsíc) Promyslete si, jaké vlastní omezení přidat do matematického modelu a jaké by potom bylo optimální řešení nové úlohy 615 Interpretace výsledku Po dosažení výsledného tvaru simplexové tabulky obsahujícího optimální řešení úlohy je třeba interpretovat jednotlivé získané hodnoty Hodnoty pravých stran obecně vyjadřují hodnoty základních proměnných, hodnoty zde neobsažených nezákladních proměnných jsou nulové Hodnoty strukturních proměnných Hodnoty strukturních základních proměnných vyjadřují počty či množství výrobků odpovídajících typů zařazených do optimálního výrobního programu V degenerovaném řešení jsou některá z těchto množství také nulová, optimální výrobní program potom není tak různorodý Nulová množství strukturních základních neznámých upozorňují na hraniční případ zařaditelnosti těchto výrobků do výrobního programu, postačila by drobná změna v zadání Více se touto problematikou zabývá kapitola věnovaná postoptimalizační analýze Hodnoty strukturních nezákladních proměnných jsou nulové, v optimálním výrobním programu se výrobky odpovídajících typů neuplatní Hodnoty přídatných proměnných Hodnoty přídatných proměnných vyjadřují způsob dodržení stanovených podmínek vlastních omezení, ukazují, byl-li disponibilní výrobní činitel vyčerpán přesně na stanovenou hranici či s rezervou Hodnoty přídatných základních proměnných vyjadřují nevyčerpané množství příslušného výrobního činitele (např nevyčerpané množství suroviny či překročení 66

67 požadované minimální denní dávky nějaké výživové komponenty) V degenerovaném řešení mohou být některé z těchto rezerv také rovny nule, upozorňují na hraniční případ momentálního vyčerpání daného výrobního činitele, u nějž by k úplnému vyčerpání došlo při drobné změně v zadání Více se touto problematikou zabývá opět kapitola věnovaná postoptimalizační analýze Hodnoty přídatných nezákladních proměnných jsou nulové, v optimálním výrobním programu jsou odpovídající výrobní činitele zcela vyčerpány Odpovídající vlastní omezení již nedovolí zlepšovat hodnotu účelové funkce Hodnota účelové funkce Hodnota v posledním poli indexního řádku udává aktuální hodnotu účelové funkce příslušnou nalezenému optimálnímu řešení Na tomto místě můžeme během výpočtu také sledovat průběžné zlepšování dosažené hodnoty účelové funkce u jednotlivých procházených základních řešení Hodnoty indexních čísel Věta 615 Indexní číslo c j u nezákladních proměnných vyjadřuje, o kolik jednotek se změní hodnota účelové funkce z, pokud se odpovídající proměnná x j zvýší o jednotku Indexní čísla u základních proměnných jsou rovna Hodnoty redukovaných cen Hodnoty indexních čísel ve sloupcích strukturních neznámých nazýváme redukované ceny Hodnota redukovaných cen ve sloupcích strukturních nezákladních neznámých vyjadřuje, o kolik jednotek by se zlepšila hodnota účelové funkce, při zařazení jednoho odpovídajícího výrobku do výrobního programu Této skutečnosti využívá test optimality (v maximalizačních úlohách jsou kladné hodnoty příslibem žádoucího zvýšení hodnoty účelové funkce, největší z nich znamená nejrychlejší nárůst, u minimalizačních úloh je tomu naopak) Hodnota redukovaných cen ve sloupcích strukturních základních neznámých je nulová, jim odpovídající výrobky jsou totiž už ve výrobním programu zahrnuty, triviálně je úvaha o vlivu jejich zařazení bezvýznamná Hodnoty stínových cen Hodnoty indexních čísel ve sloupcích přídatných neznámých nazýváme stínové ceny, někdy také duální ceny Hodnota stínových cen ve sloupcích přídatných nezákladních neznámých vyjadřuje, o kolik jednotek by se zlepšila hodnota účelové funkce, při zmírnění odpovídajícího vlastního omezení (např doplnění suroviny o jednotku, snížení dolního limitu pro denní dávku výživové komponenty) o příslušnou jednotku Zmírňování tohoto vlastního omezení a zlepšování hodnoty účelové funkce má smysl provádět pouze tak dlouho, dokud nedojde k dosažní stanoveného limitu u jiného výrobního činitele (např dokud mezitím nedojde nějaká jiná surovina) Hodnota stínových cen ve sloupcích přídatných základních neznámých je nulová, jim odpovídající suroviny totiž při dosažení optimálního řešení ještě nebyly úplně vyčerpány, triviálně je úvaha o vlivu navýšení jejich množství bezvýznamná Příklad 64 V dílně firmy specializované na stavební materiály je možné vyrábět čtvercové a obdélníkové pláty Na čtvercový je potřeba 2 kg speciální hmoty, na obdélníkový 1 kg hmoty, ve skladu je k dispozici celkem 6 kg této hmoty Na odlití a opracování čtvercového i obdélníkové plátu je třeba 1 hodina práce zaměstnance, celkem je k dispozici 4 hodin Odběratel se zaručil odebrat až 2 5 kusů čtvercových plátů, s odbytem obdélníkových plátů není problém Pokud dílna prodá všechny vyrobené pláty za smluvené ceny, má z výroby jednoho 67

68 čtvercového plátu zisk 4 Kč a z jednoho obdélníkového plátu 6 Kč Stanovte výrobní program, který zaručí za daných podmínek nejvyšší možný zisk Vyřešte a proveďte slovní interpretaci výsledků Řešení Kvůli následné slovní interpretaci je velmi důležité precizně zavést strukturní neznámé: x 1 počet vyrobených čtvercových plátů [ks], x 2 počet vyrobených obdélníkových plátů [ks] Sestavíme matematický model úlohy Při převodu soustavy nerovnic vlastních omezení opět věnujme pozornost zavedení přídatných neznámých: x 3 množství nespotřebované speciální hmoty [kg], x 4 množství nevyužitého časového fondu zaměstnanců [h], x 5 rezerva při dodržení limitu maximálního odběru čtvercových plátů [ks] Rovnou sestavme simplexovou tabulku: báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i podíly x x x z -4-6 a pomocí jednofázové primárně simplexové metody přejdeme k optimálnímu řešení: báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z Jediné optimální řešení úlohy LP můžeme zapsat jako x opt = (; 4 ; 2 ; ; 2 5) T Odpovídající hodnota účelové funkce z max = 2 4 Kč (K lepší orientaci podtrhněme v závěru této kapitoly ve všech zapsaných vektorech složky odpovídající strukturním neznámým (a tedy i redukovaným cenám), bez podtržení ponechme složky odpovídající přídatným neznámým (a tedy i stínovým cenám)) Optimálního výrobního programu může být dosaženo jediným možným způsobem, bude-li vyrobeno pouze 4 kusů obdélníkových plátů 68

69 Přitom zbude 2 kg speciální hmoty, bude zcela vyčerpán fond hodin práce zaměstnanců a limit maximálního odběru čtvercových plátů bude dodržen s rezervou 2 5 kusů Z vektoru (2; ; ; 6; ) redukovaných (podtržených) cen a stínových cen získáme doplňující informace o získaném optimálním řešení Zavedením čtvercových plátů do výrobního programu by s jedním vyrobeným kusem klesla tržba o 2Kč (Změna optimálního způsobu výroby může znamenat jedině jeho zhoršení) Zavedení obdélníkových plátů do výroby triviálně nemá žádný vliv, obdélníkové pláty už se přece vyrábějí Navýšení množství speciální hmoty by na hodnotu účelové funkce nemělo vliv, surovina totiž zatím nedošla (což potvrzuje hodnota příslušné přídatné neznámé) Naopak navýšení časového fondu, který již byl vyčerpán, by vedlo ke zlepšení hodnoty účelové funkce o 4Kč s každou hodinou času zaměstnanců navíc Zmírnění limitu maximálního odkupu čtvercových plátů by na hodnotu účelové funkce nemělo vliv, limit byl v optimálním řešení dodržen s rezervou Příklad 65Interpretujte také výsledky Příkladu 62 Řešení Připomeňme alternativní řešení výše zadané úlohy LP zápisem vektorů řešení x opt1 = (2 ; 2 ; ; ; 1 ) T a x opt2 = (1 ; 3 ; 1 ; ; ) T, obecným zápisem všech optimálních řešení x opt = kx opt1 + (1-k)x opt2, k <; 1>, zápisem hodnoty účelové funkce z max = 1 6 Kč a vektorem redukovaných a stínových cen (; ; ; 4 ;) pro všechna optimální řešení Při dodržení všech zadaných podmínek může být dosaženo maximální možné tržby ve výši 1,6 milionu Kč Optimálním výrobním programem je například výroba 2 kusů čtvercových a 2 kusů obdélníkových plátů, přičemž je zcela spotřebována speciální hmota i celý časový fond zaměstnanců, a limit maximálního odběru čtvercových plátů bude dodržen s rezervou 1 kusů Další alternativou optimálního výrobního programu je výroba 1 kusů čtvercových a 3 kusů obdélníkových plátů, přičemž zbude 1 kg nespotřebované speciální hmoty, časový fond zaměstnanců bude celý vyčerpán a limit maximálního odběru čtvercových plátů bude přesně splněn (bez rezervy) Existuje dalších nekonečně mnoho optimálních alternativ, které získáme dalšími volbami čísla kz intervalu <; 1> Nejde pak už ovšem o řešení základní Sami výpočtem ověřte a slovně interpretujte řešení x opt3 = (1 4; 2 6; ; 6; 4) T získané pro volbu k = 2/5 K diskusi ponechme také možnost požadavku na celočíselnost řešení, kterému se budeme podrobněji věnovat v 9 kapitole Z vektoru (; ; ; 4; ) redukovaných (podtržených) cen a stínových cen získáme doplňující informace o získaném optimálním řešení: Zavedení čtvercových ani obdélníkových plátů do výroby triviálně nemá žádný vliv, oba druhy plátů už se vyrábějí Tolik k redukovaným cenám Na zlepšení hodnoty účelové funkce by mělo v obou zmíněných alternativách zmírnění druhé podmínky pro časový fond zaměstnanců: s každou hodinou času zaměstnanců navíc by došlo ke zlepšení hodnoty účelové funkce, tedy zvýšení tržby o 4 Kč 69

70 U první alternativy si povšimněme, že navýšení disponibilního množství speciální hmoty má nulový vliv na hodnotu účelové funkce, ale tato hmota už je zcela vyčerpána Jedná se tedy o limitní případ, kdy se ještě toto množství jeví jako dostatečné, ale záhy by tento nedostatek zastavil další výrobu Stínová cena zmírnění limitu pro odkup čtvercových plátů je rovněž nulová, ale hodnota příslušné přídatné proměnné ještě není, je zde ještě 1 kusů rezerva U druhé alternativy si naopak povšimněme, že zdánlivě nemá na hodnotu účelové funkce vliv zmírnění limitu pro odkup čtvercových plátů, ale odpovídající přídatná neznámá dokazuje, že již bylo dosaženo hranice tohoto limitu a záhy by tato podmínka zastavila další výrobu Stínová cena spotřeby speciální hmoty je rovněž nulová, přičemž víme, že speciální hmoty zbylo ještě 1 kg, proto navýšení jejího množství by skutečně na zlepšení hodnoty účelové funkce zatím nemělo 7

71 62 Dvoufázová primárně simplexová metoda Vstupním požadavkem pro použití primárně simplexové metody je nahrazení soustavy všech vlastních omezení úlohy LP ekvivalentní soustavou rovnic v kanonickém tvaru s nezápornými pravými stranami Ne vždy je ovšem množina vlastních omezení úlohy LP tvořena výhradně nerovnicemi typu jako v (61), kdy k tomuto nahrazení postačí každou nerovnici soustavy vyrovnat na rovnici pouze přičtením přídatné proměnné, která v každém řádku zároveň rovnou hraje roli základní proměnné V případě, že je některé vlastní omezení typu nebo =, je jeho nahrazení komplikovanější Každou nerovnici typu v soustavě vlastních omezení vyrovnáme odečtením nezáporné přídatné proměnné, i-tou nerovnici soustavy ve tvaru nahradíme rovnicí, kde, která ovšem neodpovídá požadavku kanonického tvaru sestavované SLR Tuto rovnost proto ještě doplníme na levé straně o přičtenou umělou neznámou y i, kde (67) Rovnice v soustavě vlastních omezení úlohy LP není třeba vyrovnávat, i-tá rovnice soustavy je ve tvaru který ovšem neodpovídá požadavku kanonického tvaru sestavované SLR Tuto rovnost proto ještě doplníme na levé straně o přičtenou umělou neznámou y i,, kde (68) Umělé neznámé jsou zavedeny čistě z formálních důvodů, abychom dosáhli kanonického tvaru ekvivalentní soustavy s původní soustavou vlastních omezení, nemají žádnou reálnou slovní interpretaci Je zřejmé, že rovnice rozšířená o umělou proměnnou je s původní rovnicí ekvivalentní, právě když je tato doplněná umělá proměnná rovna nule 71

72 Definice 63 Funkci z, která vznikne jako součet všech zavedených pomocných proměnných (69) budeme nazývat umělá účelová funkce Možnost vynulování všech zavedených umělých proměnných lze ověřit předem Ještě než přistoupíme k samotné optimalizaci účelové funkce z, pokusíme se minimalizovat umělou účelovou funkci z 621 Výchozí základní řešení V I fázi řešení je třeba minimalizovat umělou účelovou funkci z přesně tak, jak bylo popsáno v kapitole Jednofázová primárně simplexová metoda Věta 616 Úloha LP nemá přípustné řešení, pokud je minimum umělé účelové funkce kladné Pokud má úloha LP přípustné řešení, je produktem minimalizace umělé účelové funkce z dosažení VZŘ U úloh řešitelných jednofázovou metodou bylo zaručeno, že množina přípustných řešení je neprázdná a obsahuje alespoň základní řešení, kde jsou všechny strukturní proměnné rovny, které bylo použito jako VZŘ (což je triviální obdobou I fáze) U úloh, kde je třeba použít dvoufázovou simplexovou metodu totiž základní řešení, kde jsou všechny strukturní proměnné rovny, obvykle není prvkem množiny přípustných řešení Obrázek 61 počátek souřadnic jako VZŘ v grafu úloh LP Tento rozdíl můžeme ilustrovat grafickým znázorněním situace v Obrázek 61 V levém obrázku je úloha LP, která má všechna vlastní omezení kapacitní, polygon přípustných řešení 72

73 obsahuje počátek souřadné soustavy, v pravém obrázku má úloha LP také požadavková vlastní omezení, která způsobila, že počátek souřadné soustavy není součástí množiny přípustných řešení a proto nemůže být vybrán jako VZŘ Pokud z >, nepodaří se vynulovat současně všechny zavedené umělé proměnné a zadaná úloha nemá žádné přípustné řešení, optimální řešení tedy neexistuje V opačném případě přistoupíme ke II fázi řešení úloh LP Dále už nemají umělé neznámé ani umělá účelová funkce žádné opodstatnění a příslušné sloupce a řádek z mohou být z tabulky vypuštěny 622 Vlastní optimalizace II fáze řešení úloh LP se týká samotné optimalizace, tedy algoritmizovanému testování optimality nalezeného základního řešení a případnému nalezení základního řešení s lepší hodnotou účelové funkce přesně tak, jak bylo popsáno v kapitole Jednofázová primárně simplexová metoda Příklad 66 V dílně firmy specializované na stavební materiály je možné vyrábět čtvercové a obdélníkové pláty Na čtvercový je potřeba 2 kg speciální hmoty, na obdélníkový 1 kg hmoty, ve skladu je k dispozici celkem 6 kg této hmoty Na odlití a opracování čtvercového i obdélníkové plátu je třeba 1 hodina práce zaměstnance, celkem je k dispozici 4 hodin Odběratel požaduje alespoň 5 kusů čtvercových plátů a alespoň 1 kusů obdélníkových plátů, pak se zaručuje odebrat jakékoli množství čtvercových plátů a až 3 obdélníkových plátů Pokud dílna odběrateli prodá všechny vyrobené pláty za smluvené ceny, má z výroby jednoho čtvercového plátu zisk 4 Kč a z jednoho obdélníkového plátu 6 Kč Stanovte výrobní program, který zaručí za daných podmínek nejvyšší možný zisk Řešení Sestavme matematický model úlohy a všechny nerovnosti vyrovnejme pomocí pěti přídatných proměnných Získáváme ekvivalentní soustavu lineárních rovnic k soustavě nerovnic vlastních omezení, 73

74 která ovšem není v kanonickém tvaru Proto ještě doplníme dvě umělé proměnné v řádcích, ke kterým dosud neexistují příslušné jednotkové sloupce (přídatné proměnné x 5 a x 7 vystupují s koeficientem -1), čímž získáme kompletní bázi: Účelovou funkci z zapišme v anulovaném tvaru: Umělou účelovou funkci z sestavme jako součet obou umělých proměnných, které nejprve vyjádříme z odpovídajících rovnic: Po sečtení už dostáváme zápis umělé účelové funkce, který také ještě převedeme do anulovaného tvaru pro zápis do simplexové tabulky Sestavování pomocné účelové funkce z lze obejít a zápis indexního řádku pomocné účelové funkce z lze zmechanizovat, indexní čísla jsou součtem koeficientů v řádcích umělých proměnných Ještě než se pustíme do algebraického řešení, doporučujeme čtenáři vyřešit tento příklad graficky a poté paralelně sledovat, kterým bodům v grafu odpovídají základní řešení dosažená postupně v jednotlivých iteracích simplexového algoritmu Nejprve sestavme simplexovou tabulku, připravme sloupce pro dvě strukturní, pět přídatných a nakonec také 2 umělé proměnné Pod indexní řádek účelové funkce z ještě doplníme indexní řádek pomocné účelové funkce z, od ostatních řádků jsou v tabulce pro přehlednost odděleny dvojitou čarou, funkci, jejíž optimalizaci se budeme věnovat dříve, zapíšeme níže Hodnoty umělých proměnných zvýrazněme v následujícím textu světlejší barvou, které také evokuje, že nemá žádný reálný význam, její zavedení je pouze technickou záležitostí Jakmile to bude možné, umělou účelovou funkci a umělé proměnné vynecháme 74

75 báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 y 1 y 2 b i podíly x x y x y z -4-6 z I fáze dvoufázové primárně simplexové metody spočívá v minimalizaci umělé účelové funkce z V rámci testu optimality (zatím pouze vzhledem k z, hledáme nejnižší dosažitelnou hodnotu součtu umělých neznámých) všech dosažených základních řešení proto požadujeme v odpovídajícím indexním řádku z pouze čísla nekladná V aktuálním základním řešení x 1 = (; ; 3 ; 4 ; ; 3 ; ; 5; 1 ) T jsou ještě dvě indexní čísla kladná, je tedy možné aktuální hodnotu umělé účelové funkce 1 5 zlepšit (snížit) Ze dvou stejných indexních čísel vyberme to první v pořadí, určí klíčový sloupec, do báze bude nově zařazena proměnná x 1, nejnižší nezáporný podíl určí klíčový řádek, z báze naopak vystoupí proměnná y 1 Po transformaci simplexové tabulky dostáváme další základní řešení: báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 y 1 y 2 b i podíly x x x x y z z V aktuálním základním řešení x 2 = (5; ; 5 ; 3 5; ; 3 ; ; ; 1 ) T je ještě jedno indexní číslo kladné, je tedy možné aktuální hodnotu umělé účelové funkce 1 zlepšit (snížit) Toto kladné indexní číslo určí klíčový sloupec, do báze bude nově zařazena proměnná x 2, nejnižší nezáporný podíl určí klíčový řádek, z báze naopak vystoupí proměnná y 2 Po transformaci simplexové tabulky dostáváme další základní řešení: báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 y 1 y 2 b i podíly x x x x x z z

76 V aktuálním základním řešení x 3 = (5; 1 ; 4 ; 2 5; ; 2 ; ; ; ) T jsou všechna indexní čísla nekladná, bylo tedy dosaženo minimální hodnoty umělé účelové funkce z Jelikož platí z min =, byla I fáze primárně simplexové metody úspěšná, podařilo se vynulovat umělé proměnné (jak je také vidět z přepsání posledního řádku matice do rovnice i z hodnot posledních dvou souřadnic zapsaného vektoru) Až nyní je možné přistoupit k II fázi řešení Umělé neznámé ani umělá účelová funkce nemají dále žádné opodstatnění a příslušné sloupce a řádek z mohou být z tabulky vypuštěny a nadále píšeme pouze báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i podíly x x x x x z II fáze dvoufázové primárně simplexové metody spočívá v tomto příkladě v maximalizaci (typ optimalizace z matematického modelu) vlastní účelové funkce z V rámci testu optimality (nyní již vzhledem k z) všech dosažených základních řešení proto požadujeme v odpovídajícím indexním řádku z pouze čísla nezáporná Ve všech předcházejících krocích zpětně konstatujme, že v indexním řádku vlastní účelové funkce z se doposud vyskytovala i čísla záporná, ani jedno z těchto základních řešení nebylo optimálním řešením zadané úlohy LP V aktuálním základním řešení x 3 = (5; 1 ; 4 ; 2 5; ; 2 ; ) T jsou ještě dvě indexní čísla záporná, je tedy možné aktuální hodnotu vlastní účelové funkce 8 zlepšit (zvýšit) Nejnižší záporné indexní číslo určí klíčový sloupec, do báze bude nově zařazena proměnná x 7, nejnižší nezáporný podíl určí klíčový řádek, z báze naopak vystoupí proměnná x 6 Po transformaci simplexové tabulky dostáváme další základní řešení: báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i podíly x x x x x z V aktuálním základním řešení x 4 = (5; 3 ; 2 ; 5; ; 2 ; ) T je ještě jedno indexní číslo záporné, je tedy možné aktuální hodnotu vlastní účelové funkce 2 zlepšit (zvýšit) 76

77 Nejnižší záporné indexní číslo určí klíčový sloupec, do báze bude nově zařazena proměnná x 5, nejnižší nezáporný podíl určí klíčový řádek, z báze naopak vystoupí proměnná x 4 Po transformaci simplexové tabulky dostáváme další základní řešení: báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i podíly x x x x x z V aktuálním základním řešení již nejsou žádná záporná indexní čísla, dosáhli jsme optimálního řešení, navíc ve sloupcích nezákladních neznámých x 4 a x 6 nejsou v indexním řádku, toto optimální řešení je jediné, zapišme odpovídající vektor řešení x opt = (1 ; 3 ; 5; ;1 ; ; 2 ) T a odpovídající optimální hodnotu účelové funkce z max = Zakončení výpočtu Věta 617 Při řešení úloh LP může nastat jedna ze tří variant výsledku 1) jediné optimální řešení, 2) alternativní řešení, 3) neomezená hodnota účelové funkce, 4) žádné optimální řešení U úloh řešitelných jednofázovou metodou bylo zaručeno, že množina přípustných řešení je neprázdná a obsahuje alespoň základní řešení, kde jsou všechny strukturní proměnné rovny U úloh, kde je třeba použít dvoufázovou simplexovou metodu toto triviální základní řešení obvykle není prvkem množiny přípustných řešení Navíc může tedy nastat i taková varianta, že úloha nemá žádné přípustné a tudíž také žádné optimální řešení, což zjistíme právě na konci I fáze primárně simplexové metody Tuto situaci můžeme také názorně ilustrovat graficky V Obr 3 jsou zobrazena vlastní omezení jako poloroviny, jejich průnik je prázdný Příklad 67 V keramické dílně je k dispozici 12 kg keramické hlíny, ze které je možné vyrábět hrnečky a podšálky Na jeden hrneček je potřeba,4 kg a na jeden podšálek,6 kg keramické hlíny, jeden hrneček se vyrábí 3 minut, jeden podšálek 2 minut Podšálky se nemohou prodávat samostatně, hrnečky ano Talířků je potřeba vyrobit alespoň 15 kusů Určete optimální výrobní plán, aby byla výroba dokončena co nejrychleji 77

78 Řešení Sestavme matematický model úlohy a všechny nerovnosti vyrovnejme pomocí tří přídatných proměnných Získáváme ekvivalentní soustavu lineárních rovnic k soustavě nerovnic vlastních omezení která ovšem není v kanonickém tvaru Proto ještě doplníme jednu umělou proměnnou ve třetím řádku, ke kterému dosud neexistuje příslušný jednotkový sloupec (přídatná proměnná x 5 vystupuje s koeficientem -1), čímž získáme kompletní bázi:, Účelovou funkci z zapíšeme v anulovaném tvaru: Umělou účelovou funkci z sestavíme jako součet všech umělých proměnných, zde je jediná, vyjádříme jí z odpovídajícího řádku: Zápis umělé účelové funkce ještě převedeme do anulovaného tvaru pro zápis do simplexové tabulky I tuto úlohu můžete vyřešit též graficky a porovnat oba výsledky Sestavíme simplexovou tabulku 78

79 báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 y 1 b i podíly x 3,4, x y z -3-2 z I fáze dvoufázové primárně simplexové metody spočívá v minimalizaci umělé účelové funkce z V aktuálním (degenerovaném) základním řešení x 1 = (; ; 12; ; ; 15) T je ještě jedno indexní číslo kladné, je tedy možné aktuální hodnotu umělé účelové funkce 15 zlepšit (snížit) Nejvyšší kladné indexní číslo určí klíčový sloupec, do báze bude nově zařazena proměnná x 2, nejnižší nezáporný podíl určí klíčový řádek, z báze naopak vystoupí proměnná x 4 Po transformaci simplexové tabulky dostáváme další základní řešení: báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 y 1 b i podíly x , x y z -5 2 z V aktuálním (opět degenerovaném) základním řešení x 2 = (; ; 12; ; ; 15) T je ještě jedno indexní číslo kladné, je tedy možné aktuální hodnotu umělé účelové funkce 15 zlepšit (snížit) Všimněme si, že v tomto kroku došlo pouze ke změně báze, vzhledem k degeneraci nedošlo k viditelné změně ve vektoru řešení úlohy, změnil se pouze vektor redukovaných a stínových cen Obecně totiž pouze platí, že nedojde ke zhoršení hodnoty právě optimalizované účelové funkce Nejvyšší kladné indexní číslo určí klíčový sloupec, do báze bude nově zařazena proměnná x 1, nejnižší nezáporný podíl určí klíčový řádek, z báze naopak vystoupí proměnná x 3 Po transformaci simplexové tabulky dostáváme další základní řešení: báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 y 1 b i podíly x ,6 12 x 2 1 1,4 12 y 1-1 -, z z -1 -,4-1 3 V aktuálním (tentokrát nedegenerovaném) základním řešení x 3 = (12; 12; ; ; ; 3) T jsou již všechna indexní čísla umělé účelové funkce nekladná, bylo dosaženo minima z min = 3 V této úloze se nepodaří vynulovat současně všechny umělé proměnné, I fáze končí neúspěšně, neexistuje žádné přípustné základní řešení Proto tato úloha nemá optimální řešení 79

80 Pozor, aktuální hodnota vlastní účelové funkce z 3 = 6 odpovídá nepřípustnému řešení Tuto skutečnost ilustrujte samostatně vyznačením odpovídajícího bodu v grafickém řešení zadané úlohy Které podmínky nesplňuje? Příklad 68 Podnik na výrobu železných konstrukcí potřebuje z 35 kusů dvoumetrových tyčí nařezat alespoň 52 tyčí délky 5 cm a alespoň 18 tyčí délky 8 cm Jakým způsobem má tyče rozřezat, aby získal požadovaný počet kratších tyčí a) s minimálním odpadem; b) při minimálním počtu řezů; c) při minimální spotřebě výchozích dvoumetrových tyčí? Uvažujme pouze ty způsoby řezání dvoumetrových tyčí, u kterých není odpad větší než 2 cm Řešení Před sestavením matematického modelu pro určení optimálního řezného plánu je nutné stanovit všechny možné varianty řezání dvoumetrových tyčí na tyče délky 5 cm a 8 cm s odpadem kratším než 2 cm Tyto možnosti zachycuje Tabulka 31 Nejprve je třeba určit všechny možnosti rozřezání dvoumetrových tyčí na kratší části požadovaných délek Všechny varianty označené V1, V2 zapišme do tabulky včetně příslušného odpadu, počtu řezů a spotřeby tyčí Tabulka 63 - Způsoby rozřezání dvoumetrových tyčí na části požadovaných délek Délka prkna V1 V2 Kapacita resp omezení [ks] 2 cm cm cm 1 18 a) Odpad [cm] 2 min b) Počet řezů [ks] 3 3 min c) Spotřeba tyčí [ks] 1 1 min 1 Strukturní neznámé pro sestavení matematického modelu úlohy zavedeme následovně: x 1 počet dvoumetrových tyčí rozřezaných podle plánu V1 [ks], x 2 počet dvoumetrových tyčí rozřezaných podle plánu V2 [ks] Sestavme matematický model úlohy pro variantu a) kterou následně vyřešíme, pro varianty b) a c) uveďme pouze tvar příslušných účelových funkcí: 8

81 I tyto úlohy můžete vzhledem k počtu neznámých řešit graficky a porovnávat s průběžnými algebraickými výsledky Nejprve všechny nerovnosti vyrovnejme pomocí tří přídatných proměnných Získáváme ekvivalentní soustavu lineárních rovnic k soustavě nerovnic vlastních omezení která ovšem není v kanonickém tvaru Z toho důvodu ještě doplníme dvě umělé proměnné v řádcích, ke kterým dosud neexistují příslušné jednotkové sloupce (přídatné proměnné x 4 a x 5 vystupují s koeficientem -1), čímž získáme kompletní bázi:, Účelovou funkci z a umělou účelovou funkci z zapišme rovnou v anulovaném tvaru, potřebném pro zápis do simplexové tabulky Sestavíme simplexovou tabulku báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 y 1 y 2 b i podíly x y y z -2 z I fáze dvoufázové primárně simplexové metody spočívá v minimalizaci umělé účelové funkce z V aktuálním základním řešení x 1 = (; ; 35; ; ; 52; 18) T jsou ještě kladná indexní čísla, je tedy možné aktuální hodnotu umělé účelové funkce 7 zlepšit (snížit) Toto řešení je tedy nepřípustné Nejvyšší kladné indexní číslo určí klíčový sloupec, do báze bude nově zařazena proměnná x 2, nejnižší nezáporný podíl určí klíčový řádek, z báze naopak vystoupí proměnná y 1 Po transformaci simplexové tabulky dostáváme další základní řešení: 81

82 báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 y 1 y 2 b i podíly x 3 ½ 1 ¼ -¼ x 2 ½ 1 -¼ ¼ y z -2 z V aktuálním základním řešení x 2 = (; 13; 22; ; ; ; 18) T je ještě jedno indexní číslo kladné, je tedy možné aktuální hodnotu umělé účelové funkce 18 zlepšit (snížit) Toto řešení je stále nepřípustné Nejvyšší kladné indexní číslo určí klíčový sloupec, do báze bude nově zařazena proměnná x 1, nejnižší nezáporný podíl určí klíčový řádek, z báze naopak vystoupí proměnná y 2 Po transformaci simplexové tabulky dostáváme další základní řešení: báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 y 1 y 2 b i podíly x 3 1 ¼ ½ -¼ -½ 13 x 2 1 -¼ ½ ¼ -½ 4 x z z -1-1 V aktuálním základním řešení x 3 = (18; 4; 13; ; ; ; 18) T již není žádné indexní číslo kladné, aktuální hodnotu umělé účelové funkce již nelze zlepšit (snížit) Jelikož je tato hodnota z min =, nalezli jsme přípustné základní řešení, čímž jsme získali výchozí základní řešení a I fáze úspěšně končí II fáze dvoufázové primárně simplexové metody spočívá v tomto příkladě opět v minimalizaci (typ optimalizace z matematického modelu) vlastní účelové funkce z V rámci testu optimality (nyní již vzhledem k z) všech dosažených základních řešení proto požadujeme v odpovídajícím indexním řádku z pouze čísla nezáporná, což právě nalezené řešení tentokrát rovnou splňuje Dosáhli jsme optimálního řešení, zapišme vektor řešení x opt1 = (18; 4; 13; ; ) T a odpovídající optimální hodnotu účelové funkce z min = 36 Pod nezákladní neznámou x 4 je navíc v indexním řádku, toto optimální řešení je alternativní, Po transformaci simplexové tabulky, ze které jsme již vynechali řádek umělé účelové funkce a sloupce umělých neznámých, dostáváme další základní řešení (vypočtěte samostatně, lze zkontrolovat na v Příkladu 83) zapišme odpovídající vektor řešení x opt2 = (18; 17; ; 52; ) T, 82

83 odpovídající hodnota účelové funkce se samozřejmě nezměnila Všechny alternativy optimálních řešení lze zapsat obecným způsobem x opt = k(18; 4; 13; ; ) T + (1-k)(18; 17; ; 52; ) T, k <;1> 624 Interpretace výsledku Interpretace hodnot strukturních a přídatných proměnných a redukovaných a stínových cen je stejná u obou variant primárně simplexové metody, znovu zopakujme, že hodnoty umělých proměnných nemají vzhledem k slovnímu zadání úlohy LP žádnou reálnou interpretaci Příklad 69 Interpretujte také výsledky Příkladu 66 Řešení Jediné optimální řešení úlohy LP bylo zapsáno jako x opt = (1 ; 3 ; 5; ;1 ; ; 2 ) T a odpovídající optimální hodnota účelové funkce z max = 2 2 Na tomto místě je vhodné si připomenout formulace, které odpovídají zavedení jednotlivých strukturních neznámých: x 1 počet vyrobených čtvercových plátů [ks], x 2 počet vyrobených obdélníkových plátů [ks] a jednotlivých přídatných neznámých: x 3 množství nespotřebované speciální hmoty [kg], x 4 množství nevyužitého časového fondu zaměstnanců [h], x 5 rezerva při dodržení limitu minimálního odběru čtvercových plátů [ks], x 6 rezerva při dodržení limitu maximálního odběru obdélníkových plátů [ks], x 7 rezerva při dodržení limitu minimálního odběru obdélníkových plátů [ks] Optimálního výrobního programu může být dosaženo jediným možným způsobem, bude-li vyrobeno 5 kusů čtvercových a 4 kusů obdélníkových plátů Přitom zbude 4 kg speciální hmoty, bude zcela vyčerpán fond hodin práce zaměstnanců Limit minimálního odběru čtvercových plátů bude překročen o 2 5 kusů Dodržení horního limitu odběru obdélníkových plátů bude právě na hranici, což koresponduje s překročením dolního limitu o 2 kusů Z vektoru (; ; ; 4; ; 2; ) redukovaných (podtržených) cen a stínových cen získáme doplňující informace o získaném optimálním řešení Oba typy plátů jsou již ve výrobním programu zahrnuty, úvahy o vlivu jejich zavedení do výroby na změnu hodnoty účelové funkce triviálně nemají žádný smysl (nulový vliv) Navýšení množství speciální hmoty by na hodnotu účelové funkce nemělo vliv, suroviny je stále dostatek Navýšení časového fondu zaměstnanců o 1 hodinu by přineslo možnost zvýšení hodnoty účelové funkce o 4 Kč Zmírnění (snížení) dolního limitu odběru čtvercových plátů ani dolního limitu odběru obdélníkových plátů by na hodnotu účelové 83

84 funkce nemělo vliv, obě podmínky jsou splněny s rezervou (což potvrzují hodnoty příslušných přídatných neznámých) Naopak zmírnění (zvýšení) horního limitu odběru obdélníkových plátů by vedlo ke zlepšení hodnoty účelové funkce o 2 Kč s každým povoleným kusem navíc, protože tento limit byl již dosažen a brání v pokračování výroby Žádné řešení Navíc jen doplňme, jak interpretovat situaci, kdy je výsledkem I fáze zjištění, že z min > V takovém případě buď byly podmínky nastaveny chybně, nebo tak přísně, že je nelze splnit žádným způsobem Zadaná úloha LP nemá žádné přípustné, natož optimální řešení Příklad 61 Interpretujte také výsledky Příkladu 62 Řešení Zadaná úloha LP nemá za daných podmínek žádné optimální řešení Příklad 611 Interpretujte také výsledky Příkladu 63 Řešení Řezný plán s nejnižším možným odpadem ve výši 36cm lze uskutečnit více možnými způsoby, např tak, že variantu V1 aplikujeme 18krát a variantu V2 čtyřikrát, přičemž zbude 13 nepoužitých tyčí a získám přesný počet požadovaných kratších tyčí obou druhů, nebo např tak, že V1 aplikujeme 18krát a variantu V2 17krát, přičemž použiji všechny dvoumetrové tyče, podle V1 ovšem získám o 52 půlmetrových tyčí více, než je potřeba Dosazením vhodných hodnot za k do vektoru obecného řešení získám další, ale již nezákladní alternativy optimálního řešení Zatím pouze konstatujme, že ve skutečnosti jich není na výběr nekonečně mnoho, reálný smysl mají pouze celočíselná řešení Této problematice se budeme věnovat až v 9 kapitole Všechna tato řešení jsou při výběru pro zavedení do skutečné výroby podle kriteria minimálního odpadu rovnocenná, manažer podniku bude muset rozhodnout podle dalšího kriteria, jaký počet zbylých a jaký počet přebytečných půlmetrových tyčí bude nejvýhodnější 625 Shrnutí V této kapitole jsme se zabývali algebraickým řešením úloh LP Jednou z možností by mohlo být projít množinu všech základních řešení, nepřípustná základní řešení vyřadit, a ze zbývajících přípustných základních řešení vybrat to s nejlepší hodnotou účelové funkce Tento postup umíme díky předcházejícím kapitolám aplikovat jak algebraicky tak graficky Algoritmický návod, jak algebraické procházení množiny všech přípustných základních řešení zefektivnit, dává tzv primárně simplexová metoda, kterou lze navíc univerzálně použít na řešení jakékoli úlohy LP Matematický model úlohy je v úvodu třeba upravit tak, aby všechna vlastní omezení měla nezápornou pravou stranu Poté všechny nerovnosti vyrovnáme přičtením či odečtením přídatné neznámé na rovnosti, pokud by sestavená matice adjungované soustavy lineárních rovnic nebyla v kanonickém tvaru, v příslušných řádcích doplníme ještě umělé (pomocné) neznámé V první fázi výpočtu je třeba najít tzv výchozí základní řešení Pokud jsou všechna vlastní omezení typu, je výchozí základní řešení přímo v úvodním tvaru simplexové tabulky, 84

85 tvoří jej triviálně vektor x = (; ; ; b 1 ; ; b m ) T V opačném případě je třeba nejprve výchozí základní řešení hledat jako produkt minimalizace pomocné (umělé) účelové funkce z, která je zkonstruována jako součet všech pomocných (umělých) neznámých Je nutné, aby bylo dosaženo z min =, jinak zadaná úloha LP nemá žádné přípustné řešení Ve druhé fázi výpočtu se provede skutečná optimalizace podle zadané účelové funkce z Výše byly popsány tři možné typy výsledku: jediné optimální řešení, alternativní řešení a neomezená hodnota účelové funkce (úloha nemá optimální řešení) 85

86 7 kapitola DUALITA ÚLOH LP V předcházející kapitole jsme ukázali univerzální nástroj řešení jakékoli úlohy LP tzv primárně simplexovou metodu Doplňme nyní naše znalosti o další důležitý poznatek, který nám může hledání optimálního řešení ještě zefektivnit K dané úloze LP, říkejme jí primární úloha, lze podle jednoduchých pravidel jednoznačně zformulovat tzv duální úlohu: Nejprve upravíme všechny nerovnosti u maximalizační primární úlohy na typ, resp všechny nerovnosti u minimalizační primární úlohy na typ Duální úloha má tolik proměnných, kolik má primární úloha vlastních omezení Duální úloha má tolik vlastních omezení, kolik má duální úloha proměnných Matice strukturních koeficientů obou úloh jsou navzájem transponované Pravé strany vlastních omezení primární úlohy jsou cenovými koeficienty duální úlohy Cenové koeficienty primární úlohy jsou pravými stranami vlastních omezení duální úlohy Mění se typ hledaného extrému účelové funkce, jedna z dvojice duálně sdružených úloh je maximalizační a druhá minimalizační Vztah mezi těmito úlohami ovšem není pouze formální, mezi oběma úlohami existují také významné logické souvislosti, užitečné při řešení úloh LP i při jeho ekonomické interpretaci 711 Symetrická dualita 7 Definice 71 Pokud jsou všechna vlastní omezení úlohy LP tvořena nerovnicemi, hovoříme o symetrické dualitě Uvažujme nejprve primární úlohu LP s matematickým modelem upraveným do tvaru vyjádřeného schematicky jako z = c T x max Ax b x o (71) kde c T = (c 1, c 2,, c n ) je vektor cenových koeficientů, x = (x 1, x 2,, x n ) T je vektor strukturních neznámých, b = (b 1, b 2,, b m ) T je vektor pravých stran, x = (; ; ;) T je nulový vektor (n složkový), A = (a ij ) je matice strukturních koeficientů typu mxn Označme dále u T = (u 1, u 2,, u m ) vektor strukturních neznámých duální úlohy Formulaci duální úlohy k zadané úloze schematicky popisuje Tabulka 71 7 Tabulka 71 schéma symetrické duality úloh LP PRIMÁRNÍ ÚLOHA DUÁLNÍ ÚLOHA z = c T x max f = u T b min Ax b u o x o A T u c T 86

87 Příklad 71 K matematickému modelu úlohy LP z Příkladu 68 sestavte matematický model úlohy duálně sdružené Řešení Před sestavením matematického modelu nejprve připravme všechna vlastní omezení primární úlohy na převod Jelikož jde o úlohu minimalizační, je třeba všechny podmínky převést na nerovnosti typu vhodným vynásobením nerovnic číslem -1 Tabulka 72 příklad symetrické duality PRIMÁRNÍ ÚLOHA DUÁLNÍ ÚLOHA z = 2x 1 min f = -35u 1 +52u 2 +18u 3 max -x 1 -x 2-35 u 1 2x 1 +4x 2 52 u 2 x 1 18 u 3 x 1 -u 1 +2u 2 + u 3 2 x 2 -u 1 +4u 2 Poté mechanicky výše popsaným postupem získáme matematický model úlohy duální Poznámka: Dbejme přitom na zápis každé dvojice odpovídajících si podmínek vždy do stejného řádku, i-té podmínce nezápornosti primární úlohy odpovídá i-té vlastní omezení primární úlohy, i = 1, 2,, m, j-tému vlastnímu omezení primární úlohy odpovídá j-tá podmínka nezápornosti duální úlohy, j = 1, 2,, n 712 Smíšená dualita Definice 72 Pokud jsou mezi vlastními omezeními úlohy LP rovnice i nerovnice, hovoříme o smíšené dualitě Pro formulaci duální úlohy při smíšené dualitě upravíme opět všechna vlastní omezení maximalizační primární úlohy na typ, resp všechna vlastní omezení minimalizační primární úlohy na typ Pro otočení nerovnosti stačí vynásobit číslem -1 Každou rovnici je třeba nahradit ekvivalentní soustavou dvou nerovnic tak, že rovnítko nahradíme jednou znaménkem a podruhé znaménkem Tímto se nám sice formálně zvýší počet vlastních omezení, ale prakticky to znamená, že jsme úlohu se smíšenou dualitou převedli na symetrický problém Poznámka: Abychom dostáli doporučení z předchozí poznámky, je praktické dvě duální proměnné odpovídající nerovnicím, které nahradily j-té vlastní omezení typu = původní primární úlohy, pojmenovat u + j a u j 87

88 Příklad 72 K úloze LP zadané matematickým modelem z = 2x 1 +1x 2 max 5x 1 +3x x 1-4x 2 = -8-8x 1 +2x 2 6 x 1 x 2 sestavte matematický model úlohy k ní duální Řešení Před sestavením matematického modelu nejprve připravme všechna vlastní omezení primární úlohy na převod Jelikož jde o úlohu minimalizační, je třeba všechny podmínky převést na nerovnosti typu První nerovnost stačí vynásobit číslem -1 Rovnici 2x 1-4x 2 = -8 nahradíme ekvivalentní soustavou nerovnic o stejných koeficientech ale s různými nerovnostními znaménky 2x 1-4x 2-8 2x 1-4x 2-8 Takto převedeme původní nesymetrický problém na pomocný symetrický problém, k němuž mechanicky zformulujeme úlohu duální Dvě duální proměnné odpovídající vlastním omezením nahrazujícím rovnici původní primární úlohy pojmenujeme u + 2 a u 2, dolní indexy tak budou nadále korespondovat s původním pořadím vlastních omezení primární úlohy Tabulka 73 pomocný symetrický problém POMOC PRIMÁRNÍ ÚLOHA POMOCNÁ DUÁLNÍ ÚLOHA z = 2x 1 +1x 2 max f = -44u 1-8u u u 3 min -5x 1-3x 2-44 u 1 2x 1-4x 2-8 u + 2-2x 1 +4x 2 8 u - 2-8x 1 +2x 2 6 u 3 x 1-5u 1 +2u + 2-2u - 2-8u 3 2 x 2-3u 1-4u u u 3 1 Poté zavedeme jednoduchou substituci u 2 = u + 2 u 2, a pomocnou duální úlohu formálně upravíme na požadovaný tvar duální úlohy k původně zadané primární úloze: Tabulka 74 příklad nesymetrické duality PRIMÁRNÍ ÚLOHA DUÁLNÍ ÚLOHA z = 2x 1 +1x 2 max f = -44u 1-8u 2 +6u 3 min 5x 1 +3x 2 44 u 1 2x 1-4x 2 = -8 u 2 R -8x 1 +2x 2 6 u 3 x 1-5u 1 +2u 2-8u 3 2 x 2-3u 1-4u 2 +2u 3 1 Zdůrazněme, že neznámá u 2, jakožto rozdíl dvou nezáporných čísel, nemusí být číslem nezáporným, ale může obecně nabývat jakýchkoli reálných hodnot 88

89 713 Nesymetrická dualita Definice 73 Pokud jsou všechna vlastní omezení úlohy LP tvořena rovnicemi, hovoříme o (čistě či ryze) nesymetrické dualitě Při formulaci duální úlohy při ryze nesymetrické dualitě je všech m vlastních omezení typu = nahrazeno ekvivalentní dvojicí nerovnic způsobem popsaným u smíšené duality, pomocný symetrický duální problém tak má 2m proměnných, pro každou jejich dvojici je pak analogicky zavedena substituce, ze které opět vyplyne, že pro žádnou z duálních proměnných nemusí platit podmínka nezápornosti Formulaci nesymetricky duálně sdružené úlohy s původní úlohou opět můžeme schematicky popsat tabulkami Tabulka 75 schéma nesymetrické duality- maximalizační úloha LP PRIMÁRNÍ ÚLOHA DUÁLNÍ ÚLOHA z = c T x max f = u T b min Ax = b u R x o A T u c T Tabulka 76 schéma nesymetrické duality- minimalizační úloha LP PRIMÁRNÍ ÚLOHA DUÁLNÍ ÚLOHA z = c T x min f = u T b max Ax = b u R x o A T u c T Příklad 73 K úloze LP zadané matematickým modelem sestavte matematický model úlohy k ní duální z = 2x 1-3x 2 max x 1-2x 2 = 12 2x 1 +3x 2 = -8 x 2 = 16 x 1 x 2 Řešení Využijeme-li poznatků z předcházejícího příkladu, můžeme rovnou duální problém formulovat PRIMÁRNÍ ÚLOHA DUÁLNÍ ÚLOHA z = 2x 1-3x 2 max f = 12u 1-8u 2 +16u 3 min x 1-2x 2 = 12 u 1 R 2x 1 +3x 2 = -8 u 2 R x 2 = 16 u 3 R x 1 u 1 +2u 2 2 x 2-2u 1 +3u 2 + u 3-3 Typickým praktickým příkladem nesymetrické duality je potom dopravní úloha 89

90 Příklad 74 Sestavte matematický model úlohy duální k úloze LP z Příkladu 31 dříve popsanou matematickým modelem (72) Řešení Matematický model sestavte samostatně, každou neznámou zapisujte do jednoho sloupce, odpovídající dvojice omezení zapisujte do jednoho řádku Doporučení: duální neznámé odpovídající primárním vlastním omezením pro dodavatele označte u i, duální neznámé odpovídající primárním vlastním omezením pro odběratele označte v j Tip: použijte velký čtverečkovaný papír Nejprve si rozmyslete, kolik řádků a kolik sloupců budou oba modely dohromady zabírat 714 Řešení duálně sdružených úloh Příklad 75 Vyřešte úlohu duální k úloze LP o dělení dvoumetrových tyčí z Příkladu 68 Řešení Matematické modely obou úloh jsme již sestavili: PRIMÁRNÍ ÚLOHA DUÁLNÍ ÚLOHA z = 2x 1 min f = -35u 1 +52u 2 +18u 3 max -x 1 -x 2-35 u 1 2x 1 +4x 2 52 u 2 x 1 18 u 3 x 1 -u 1 +2u 2 + u 3 2 x 2 -u 1 +4u 2 Všechna vlastní omezení duální úlohy jsou typu, k jejímu řešení postačí jednofázová primárně simplexová metoda V každém vlastním omezení přičteme jednu přídatnou neznámou a rovnou můžeme sestavit simplexovou tabulku báze u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 c i podíly u u z

91 V aktuálním základním řešení u 1 = (; ; ; 2; ) T jsou při maximalizaci ještě dvě indexní čísla záporná, hodnotu účelové funkce je možné zlepšit (zvýšit) Po transformaci simplexové tabulky dostáváme další základní řešení: báze u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 c i podíly u 4 -½ 1 1 -½ 2 2 u 2 -¼ 1 ¼ z V aktuálním základním řešení u 1 = (; ; ; 2; ) T je při maximalizaci ještě jedno indexní číslo záporné, hodnotu účelové funkce je možné zlepšit (zvýšit) Všimněte si, že v posledním kroku nedošlo ke zlepšení hodnoty účelové funkce, pouze ke stagnaci Po transformaci simplexové tabulky dostáváme další základní řešení: báze u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 c i podíly u 3 -½ 1 1 -½ 2 u 2 -¼ 1 ¼ z V indexním řádku jsou již jen čísla nezáporná, dosáhli jsme optimálního řešení, které zapíšeme jako vektor u opt = (; ; 2; ; ) T a odpovídající optimální hodnotu účelové funkce f max = 36 Hodnota základní neznámé u 2 je navíc rovna, toto optimální řešení je degenerované 715 Věty o řešitelnosti dvojice sdružených úloh LP Zaměřme se nyní na formulaci velmi užitečných vzájemných vztahů mezi vlastnostmi řešení obou vzájemně duálně sdružených úloh Porovnejme nyní simplexové tabulky obou řešených duálně sdružených úloh Je patrné, že řešením jedné ze sdružených úloh získáme i řešení úlohy druhé a optimální hodnoty duálních proměnných najdeme v indexním řádku výsledné simplexové tabulky primární úlohy 7 Věta 71 Optimální hodnoty strukturních proměnných duální úlohy se rovnají absolutním hodnotám indexních čísel primárních přídatných proměnných Věta 72 Optimální hodnoty přídatných proměnných duální úlohy se rovnají absolutním hodnotám indexních čísel primárních strukturních proměnných Příklad 76 Z výsledné simplexové tabulky Příkladu 66 zapište optimální řešení primární i duální úlohy včetně hodnot účelových funkcí 91

92 báze x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i podíly x x x x x z Řešení Pro lepší přehlednost oddělíme v simplexové tabulce sloupce strukturních a přídatných neznámých trojitou čarou, podle předchozích vět můžeme rovnou psát x opt = (5; 1 ; 4 ; ; 2 5; ; 2 ) T, z max = 2 2, u opt = (; 4; ; 2; ; ; ) T, f min = 2 2 Z těchto vztahů vyplývá, že je možné řešení zadané, tedy primární úlohy LP obejít řešením úlohy k ní duální Podle typu a počtu vlastních omezení obou úloh lze ihned poznat, která cesta nalezení řešení bude komplikovanější Úlohu o řezání dvoumetrových tyčí jsme vyřešili oběma způsoby, zřejmě preferujeme použití jednofázové metody před použitím metody dvoufázovou Pokud se jako výhodnější jeví řešení úlohy duální, je třeba mít stále na paměti, odkud vyčíst hodnoty úlohy původní (ne ze sloupce pravých stran, ale z indexního řádku) Také je třeba mít přehled o tom, které proměnné jsou strukturní a které přídatné Poznámka: Úlohy o dělení materiálu jsou typickým příkladem, kdy je řešení duální úlohy jednodušší než řešení úlohy primárně zadané Poznámka: Ve složitých úlohách s větším počtem neznámých se dvěma vlastními omezeními je také možné využít duality k převedení na úlohu, kterou lze vyřešit graficky a případně tak opět obejít komplikovaný způsob řešení Viz [8], str 9 Uveďme ještě několik vět, které popisují obecné vlastnosti řešení duálně sdružených úloh Věta 73 Má-li jedna z dvojice duálně sdružených úloh jediné optimální řešení, které je nedegenerované, má jediné nedegenerované optimální řešení i úloha druhá a pro optimální hodnoty obou účelových funkcí platí z max = f min Věta 74 Má-li jedna z dvojice duálně sdružených úloh jediné optimální řešení, které je degenerované, má druhá úloha alternativní optimální řešení a optimální hodnoty obou účelových funkcí obou účelových funkcí platí z max = f min Věta 75 Má-li jedna z dvojice duálně sdružených úloh neomezenou hodnotu účelové funkce (má přípustné, ale ne optimální řešení), druhá úloha nemá přípustné řešení Věta 76 Nemá-li jedna z dvojice duálně sdružených úloh přípustné řešení, druhá úloha nemá optimální řešení 92

93 Jejich velký význam poznáme při určování počtu optimálních řešení obou sdružených úloh Příklad 77 Proveďme nyní kompletní diskusi ke vztahu dvojice duálně sdružených úloh z příkladu o dělení dvoumetrových tyčí Řešení Po transformaci simplexové tabulky jsme dostali optimální řešení obou duálně sdružených, jsou zapsaná v tabulce báze u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 c i podíly u 3 -½ 1 1 -½ 2 u 2 -¼ 1 ¼ z Optimální řešení obou úloh odtud nejprve zapišme: u opt = (; ; 2; ; ) T f max = 36 x opt = (18; 4; 13; ; ) T, z min = 36 Degenerace jediného optimálního řešení duální úlohy u opt je signálem, že optimální řešení úlohy s ní duálně sdružené bude alternativní Na přímé získání další alternativy nám ovšem dosud probrané metody nepostačí, i z tohoto důvodu vyvstala potřeba vytvoření tzv duálně simplexové metody, které se věnuje příští kapitola, kde se dokončení tohoto příkladu vrátíme 716 Věta o dualitě Věta 77 Nechť x = (x 1, x 2,, x n ) T je přípustné řešení primární úlohy LP a u T = (u 1, u 2,, u m ) je přípustné řešení duální úlohy schematicky popsaných v Tabulce Tabulka 71 Potom platí z(x) f(u) (73) Odtud také Věta 78 Nechť x = (x 1, x 2,, x n ) T je přípustné řešení primární úlohy LP a u T = (u 1, u 2,, u m ) je přípustné řešení duální úlohy schematicky popisuje Tabulka 71 a platí z(x) f(u) Potom x je optimálním řešením primární úlohy a u je optimálním řešením duální úlohy Podle této věty je pro tento typ úloh možné ověřit, zda jsou dva zadané vektory optimálními řešeními po řadě primární a duální úlohy, aniž bychom museli projít celým procesem optimalizace U nabízených řešení ověříme jejich přípustnost dosazením do příslušných sad vlastních omezení, a poté případně ověříme optimalitu jejich dosazením do příslušných účelových funkcí Jsou-li obě řešení přípustná a hodnoty účelových funkcí se rovnají, jedná se o optimální řešení, v opačném případě tento předpoklad zavrhujeme 93

94 Příklad 78 Rozhodněte, zda jsou vektory po řadě x = (; ; 8) T a u = (15; ; ) T optimálními řešeními zadané úlohy LP a úlohy s ní duálně sdružené z =1x 1 +5x 2 +15x 3 max x 1 +x 2 +2x 3 8 x 1 +3x 2 +x 3 5 x 1 +x 2 +x 3 6 x 1,2,3 Řešení Sestavme matematický model duální úlohy a poznamenejme si symbolicky, jsou-li splněna všechna omezení, popř v jakém smyslu PRIMÁRNÍ ÚLOHA DUÁLNÍ ÚLOHA z =1x 1 +5x 2 +15x 3 max x u f =8u 1 +5u 2 +6u 3 min x 1 +x 2 +2x 3 8 = u 1 x 1 +3x 2 +x 3 5 < > u 2 x 1 +x 2 +x 3 6 < = u 3 x 1 = > u 1 +u 2 +u 3 1 x 2 = = u 1 +3u 2 +u 3 5 x 3 > = 2u 1 +u 2 +u 3 15 Vektor x je přípustným řešením primární úlohy, vektor u ovšem nesplňuje první vlastní omezení duální úlohy, není tedy ani jejím přípustným řešením Nenechte se zmást faktem, že dosadíme-li nabízená řešení do příslušných účelových funkcí, dostáváme z(x) = 1 2 = f(u) Podle věty o dualitě nejsou nabízené vektory x = (4; ; 6) T a u = (1; 1; ) T optimálními řešeními zadané dvojice sdružených úloh, byl porušen předpoklad přípustnosti nabízených řešení Zajímavé jsou také další její důsledky: 1) Má-li jedna z dvojice duálně sdružených úloh neomezenou hodnotu účelové funkce, nemá druhá úloha přípustné řešení 3) Má-li jedna z dvojice duálně sdružených úloh optimální řešení, má také druhá úloha optimální řešení 4) 3) Mají-li obě sdružené úlohy přípustné řešení, mají také obě optimální řešení 717 Věta o rovnováze Při řešení dopravních úloh oceníme další vlastnost plynoucí z jednoznačnosti přiřazení dvojic odpovídajících si sdružených podmínek obou matematických modelů, kdy i-té podmínce nezápornosti primární úlohy odpovídá i-té vlastní omezení primární úlohy, i = 1, 2,, m a j-tému vlastnímu omezení primární úlohy odpovídá j-tá podmínka nezápornosti duální úlohy, j = 1, 2,, n Dosazením nabízených přípustných řešení do těchto vztahů můžeme opět jednoduše otestovat jejich optimalitu 94

95 Příklad 79 Rozhodněte, zda jsou vektory po řadě x = (4; ; 6) T a u = (1; 1; ) T optimálními řešeními zadané úlohy LP a úlohy s ní duálně sdružené z =1x 1 +5x 2 +15x 2 max x 1 +x 2 +2x 2 8 x 1 +3x 2 +x 3 5 x 1 +x 2 +x 3 6 x 1,2,3 Řešení K matematickým modelům obou úloh si opět symbolicky poznamenejme, jsou-li splněna všechna omezení, popř v jakém smyslu PRIMÁRNÍ ÚLOHA DUÁLNÍ ÚLOHA z =1x 1 +5x 2 +15x 3 max x u f =8u 1 +5u 2 +6u 3 min x 1 +x 2 +2x 3 8 = > u 1 x 1 +3x 2 +x 3 5 = > u 2 x 1 +x 2 +x 3 6 < = u 3 x 1 > = u 1 +u 2 +u 3 1 x 2 = > u 1 +3u 2 +u 3 5 x 3 > = 2u 1 +u 2 +u 3 15 Všechny dvojice sdružených podmínek jsou splněny, vždy jedna ve smyslu rovnosti a druhá ve smyslu ostré nerovnosti Dále dosaďme nabízená řešení do příslušných účelových funkcí, dostáváme z(x) = 1 3 = f(u) Podle věty o rovnováze jsou tedy nabízené vektory x = (4; ; 6) T a u = (1; 1; ) T optimálními řešeními zadané dvojice sdružených úloh, optimální hodnota obou účelových funkcí je rovna Interpretace duálních neznámých úlohy LP Již víme, že máme-li optimální řešení primární úlohy v simplexové tabulce, můžeme ze sloupce pravých stran vyčíst hodnoty primárních základních neznámých Není-li primární optimální řešení degenerované, jsou všechny kladné Hodnoty strukturních základních neznámých primární úlohy vyjadřují počty jednotlivých výrobků, hodnoty přídatných základních neznámých primární úlohy vyjadřují rezervu v čerpání výrobních činitelů (zbytek suroviny) Tyto hodnoty můžeme průběžně sledovat a interpretovat během celého výpočtu také u ostatních přípustných základních řešení Dále pak z posledního pole indexního řádku vyčteme optimální hodnotu účelové funkce primární (a zároveň duální) úlohy Zabývejme se nyní ještě významem prvků indexního řádku, tedy všech přídatných a strukturních duálních neznámých, obecně nazývaných redukované ceny 95

96 Strukturní duální proměnné (stínové ceny) hodnotí aktuální cenu jednotky činitele výroby Věta 79 Strukturní duální proměnná odpovídající omezení typu resp typu ukazuje, o kolik se v maximalizační úloze zlepší (tedy zvýší), resp zhorší hodnota účelové funkce, jestliže se pravá strana tohoto omezení zvýší o jednotku Strukturní duální proměnná odpovídající omezení typu resp typu ukazuje, o kolik se v minimalizační úloze zlepší (tedy sníží), resp zhorší hodnota účelové funkce, jestliže se pravá strana tohoto omezení zvýší o jednotku (Připomeňme, že duální proměnně u optimálního řešení maximalizační úlohy LP jsou nezáporné, u optimálního řešení minimalizační úlohy LP jsou nekladné) Přídatné proměnné duální úlohy (redukované ceny) hodnotí nevýhodnost stanovené ceny Věta 71 Přídatná proměnná duální úlohy ukazuje, o kolik jednotek je třeba v maximalizační úloze zvýšit, resp o kolik jednotek je třeba v minimalizační úloze snížit cenu nezákladní strukturní proměnné, aby bylo výhodné ji začít vyrábět Tyto informace využijeme jak při formulaci slovních odpovědí týkajících se doplňkových informací o vlastnostech nalezeného optimálního řešení, tak je dále rozvineme v kapitole o intervalech stability při postoptimalizační analýze 96

97 8 kapitola DUÁLNĚ SIMPLEXOVÁ METODA Nabízí se nyní otázka, zdali by nebylo možné vyřešit úlohu duální přímo v simplexové tabulce úlohy primární Z předchozí kapitoly víme, že při použití primárně simplexové metody se aktuální hodnoty primárních i duálních neznámých se objeví v každé simplexové tabulce V předchozí kapitole jsme formulovali větu o dualitě Ukážeme, jak ji a její důsledky využít k dalšímu způsobu řešení vhodných úloh LP 8 Nejprve definujme dva pojmy Definice 81 Základní řešení primární úlohy v simplexové tabulce je přípustné, jsou-li pravé strany nezáporné Potom říkáme, že toto řešení je primárně přípustné Definice 82 Základní řešení duální úlohy v simplexové tabulce je přípustné, jsou-li v maximalizační úloze všechna indexní čísla nezáporná nebo v minimalizační úloze všechna indexní čísla nekladná Říkáme, že toto řešení je duálně přípustné 8 Věta 81 Je-li řešení v simplexové tabulce zároveň primárně i duálně přípustné, je optimální Hodnoty účelové funkce primární i duální úlohy jsou rovny číslu v pravém dolním rohu, tvrzení dle věty o dualitě platí Ukažme, jak je možné proces dosažení primární i duální přípustnosti modifikovat 811 Výchozí základní řešení I fáze každého simplexového algoritmu spočívá v nalezení výchozího základního řešení Připomeňme, že do primárně simplexového algoritmu vstupuje výchozí základní řešení primárně přípustné, v průběhu procesu optimalizace je primární přípustnost stále zachována (dosud jsme se nesetkali se simplexovou tabulkou, kde by byla některá pravá strana záporná) a snažíme se efektivním způsobem dosáhnout i duální přípustnosti Tak získáme optimální řešení Do duálně simplexového algoritmu bude vstupovat výchozí základní řešení duálně přípustné, v průběhu procesu optimalizace bude duální přípustnost stále zachována a budeme se snažit efektivním způsobem dosáhnout i primární přípustnosti Tak získáme optimální řešení Vstupnímu požadavku duální přípustnosti ovšem vyhovují pouze úlohy se speciálním typem účelové funkce V maximalizačních úlohách musí být všechny cenové indexy nekladné, v minimalizačních úlohách musí být všechny cenové indexy nezáporné, aby bylo při sestavení úvodní simplexové tabulky rovnou dosaženo duální přípustnosti Proto duálně simplexová metoda není univerzální, její aplikovatelnost lze ovšem rozpoznat na první pohled Výhodou je naopak skutečnost, že není ve výchozím základním řešení požadována primární přípustnost, některé pravé strany tudíž mohou být záporné, čehož využijeme při úpravě vlastních omezení Každé tak mohu převést na typ a k jejich úpravě na kanonický tvar pak postačí pouze přídatné neznámé (tj nebudou potřeba umělé) Duálně simplexová metoda je tak vždycky jednofázová 97

98 812 Simplexová tabulka Sestavení simplexové tabulky pak už opět spočívá pouze v přepsání koeficientů kanonického tvaru vlastních omezení a anulované účelové funkce 8 Příklad 81 Sestavte simplexovou tabulku pro řešení úlohy o dělení dvoumetrových tyčí duálně simplexovou metodou Řešení Pozor, nejprve je vždy třeba ověřit, lze-li zadanou úlohu touto metodou vůbec řešit Dříve sestavený matematický model této úlohy LP je nutné upravit tak, aby všechna vlastní omezení byla typu, druhou a třetí podmínku vynásobíme číslem -1 Tu stačí doplnit třemi přídatnými neznámými na kanonický tvar, a účelovou funkci vyjádřit jako abychom mohli sestavit simplexovou tabulku: báze x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 b i x x x z -2 Příklad 82 Sestavte simplexovou tabulku pro řešení úlohy zadané následujícím matematickým modelem pro řešení duálně simplexovou metodou 98

99 Řešení Nejprve opět zkontrolujme, je-li vůbec možné duálně simplexovou metodu použít Jelikož se jedná o maximalizační úlohu, lze ji použít pouze v případě, že jsou všechny cenové indexy nekladné, což zde platí Poznamenejme ovšem, že s takovýmto typem účelové funkce se v praxi často nesetkáme, obvyklejší (a elegantnější) je její ekvivalentní obdoba Tento matematický model zadané úlohy LP je opět nutné upravit tak, aby všechna vlastní omezení byla typu, druhou podmínku vynásobíme číslem -1, třetí nahradíme ekvivalentní soustavou dvou nerovnic kde je druhou z nich také nutné vynásobit číslem -1 Dostáváme, kde stačí doplnit přičtením čtyř přídatných neznámých na kanonický tvar, účelovou funkci vyjádřit jako a sestavit simplexovou tabulku báze x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 4 b i x x x x z Optimalizace V rámci duálně simplexového algoritmu se tedy všechny výpočty odehrávají v rámci II fáze řešení úloh LP, která se týká samotné optimalizace, tedy ověřování optimality aktuálního 99