Přehled základních vztahů pro předmět Vysokofrekvenční a mikrovlnná technika

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přehled základních vztahů pro předmět Vysokofrekvenční a mikrovlnná technika"

Transkript

1 Přehled základních vztahů pro předmět Vysokofrekvenční a mikrovlnná technika 1. KOVOVÝ VLNOVOD OBECNÉHO PRŮŘEZU Elektromagnetickou vlnu šířící se ve vlnovodu ve směru osy z můžeme popsat pomocí funkce Z(z) = C 1 e z + C e z kde konstanta C 1, resp. C vyjadřuje počáteční amplitudu (v rovině z = 0) vlny odražené, resp. vlny postupné, γ je konstanta šíření vlny ve vlnovodu v podélném směru = 8, 68 + j kde α je konstanta útlumu (měrný útlum) v β je fázová konstanta šíření (měrný fázový posun) v [rad/m] j je imaginární jednotka (j = -1) Konstanta příčného průřezu (někdy bývá také označována jako konstanta šíření v příčném směru) k c = k + [m -1 ] kde k je vlnové číslo (konstanta šíření vlny ve volném prostoru) k = 0 0 = kde ω je úhlový kmitočet v [rad/s] λ je vlnová délka ve volném prostoru v [m] µ 0 je permeabilita vakua, µ 0 = 1, [H/m] ε 0 je permitivita vakua, ε 0 = 8, [F/m] Pro bezeztrátové vedení bude vždy a tudíž = 0 = j k c = k = k k c

2 Velikost konstant k a k c, resp. jejich vzájemný vztah má vliv na charakter elektromagnetického pole. V praxi mohou nastat tyto případy: 1) k > k c e >0 funkce Z(z) má tvar Z(z) = C 1 e j z + C e j z V tomto případě nastává šíření netlumené harmonické vlny ve směru osy z. První člen reprezentuje vlnu odraženou, druhý člen vlnu postupnou. ) k < k c e =j funkce Z(z) má tvar Z(z) = C 1 e z (Z obecného řešení Z(z) = C 1 e z + C e z má smysl pouze první člen, neboť pro zd musí Z(z)d0). V tomto případě je elektromagnetické pole ve směru osy z exponenciálně tlumeno, šíření elektromagnetické vlny nenastává. 3) k = k c e =0 funkce Z(z) má tvar Z(z)=konst. Toto je tzv. mezní případ mezi případy uvedenými pod 1) a ). Kmitočet a vlnová délka odpovídající tomuto případu se označují jako mezní nebo kritické. Platí, že k = k c = = f m m c r r = m c r r kde c je rychlost světla, c =, { m/s λ m je mezní vlnová délka v [m] f m je mezní kmitočet v [Hz] ω m je mezní úhlový kmitočet v [rad/s] ε r je relativní permitivita prostředí (pro vzduch je r { 1) µ r je relativní permeabilita prostředí (pro vzduch je r { 1) Odtud mezní vlnová délka vedení je m = k c [m]

3 nebo mezní kmitočet vedení f m = c r r k c [Hz] Z předešlého rozboru vyplývá, že šíření elektromagnetické vlny ve směru osy z nastává tehdy, jsou-li splněny následující požadavky na vzájemný vztah mezi jmenovitým a mezním kmitočtem, resp. mezi jmenovitou a mezní vlnovou délkou f > f m ; λ < λ m V opačném případě, kdy f < f m ; λ > λ m je elektromagnetické pole ve směru osy z tlumeno. 4) k c = 0e =k funkce Z(z) má tvar Z(z) = C 1 e jkz + C e jkz V tomto případě se jedná o vedení bez mezního kmitočtu, na němž se může šířit vlna TEM (vedení má ve svém průřezu minimálně dva galvanicky oddělené vodiče). Fázová rychlost šíření kde v f = = c r r. 1 1 [m/s] = f m f = m = m Skupinová rychlost šíření v sk = d d = c r r. 1 [m/s] Poznámka: Skupinová rychlost je rychlostí přenosu energie. Délka vlny na vedení v = v f f = c r r f = 0 r r. 1 [m] kde λ 0 je vlnová délka ve vakuu v [m]

4 Vlnová impedance Z = E T H T kde E T je příčná složka intenzity elektrického pole ve [V/m] H T je příčná složka intenzity magnetického pole v [A/m] Charakteristická impedance vlnovodu s videm TE Z = = 1 Vlnová impedance vlnovodu s videm TM Z =. 1 = Vlnová impedance volného prostoru Z 0 = 0 0 = 10 Ekvivalentní hloubka vniku d = [m] kde σ je měrná vodivost v [S/m] Vysokofrekvenční měrný odpor vf = = 1 d

5 . KOVOVÝ VLNOVOD OBDÉLNÍKOVÉHO PRŮŘEZU Konstanta příčného průřezu k c = m a + n b kde a je vnitřní rozměr širší strany vlnovodu v [m] b je vnitřní rozměr užší strany vlnovodu v [m] m,n jsou celá nezáporná čísla (tzv. vidová čísla) označující vid elektromagnetické vlny (TE mn, TM mn ) m udává počet půlvln intenzity elektrického pole (u vidů TE) nebo magnetického pole (u vidů TM) podél strany a obdélníkového vlnovodu, podobně vidové číslo n udává počet půlvln podél kratší strany b Maximální výkon přenášený vlnovodem P max = ab 4. E max Z [W] kde je maximální hodnota intenzity elektrického pole, při níž ještě nedochází k E max průrazu dielektrika vyplňujícího vlnovod (označuje se též jako elektrická pevnost daného dielektrika) ve [V/m] Vysokofrekvenční proud tekoucí pláštěm vlnovodu I vf =. a. E Z [A] Měrný útlum vlnovodu = 8, 68. vf Z 0. 1 b + a 3 1 Měrný útlum vlnovodu je možné vyjádřit též na základě znalosti výkonu ztraceného v plášti vlnovodu a výkonu vstupujícího do vlnovodu = 8, 68. P z P 0 kde P z je výkon na jednotku délky ztracený v plášti vlnovodu ve [W/m] P 0 je výkon na vstupu vlnovodu ve [W]

6 3. KOVOVÝ VLNOVOD KRUHOVÉHO PRŮŘEZU Konstanta příčného průřezu vlnovodu s videm kmitání TM mn k c = mn a [m -1 ] kde α mn je n-tý kořen (nulový bod) Besselovy funkce m-tého řádu a je vnitřní poloměr vlnovodu v [m] Konstanta příčného průřezu vlnovodu s videm kmitání TE mn k c = mn a [m -1 ] kde mn je n-tý kořen derivace Besselovy funkce m-tého řádu Přehled nulových hodnot (kořenů) Besselových funkcí a jejich derivací je pro prvních 30 vidů uveden v tabulce 1. Mezní vlnová délka dominantního vidu TE 11 mte11 { 1, 7d [m] kde d je vnitřní průměr vlnovodu v [m] Mezní vlnová délka nejbližšího vyššího vidu, kterým je vid TM 01 mtm01 { 1, 3d [m] Maximální výkon přenášený vlnovodem s videm kmitání TE 11 P max TE11 = 0,..a. E max Z TE11 [W] Z TE11 kde je vlnová impedance vlnovodu s videm TE 11 v Maximální výkon přenášený vlnovodem s videm kmitání TE 01 P max TE01 = 0,..a. E max Z TE01 [W] kde Z TE01 je vlnová impedance vlnovodu s videm TE 01 v Měrný útlum vlnovodu s videm kmitání TE 11 TE11 = 8, 68. vf Z 0. 1 a. + 0, Měrný útlum vlnovodu s videm kmitání TE 01 TE01 = 8, 68. vf Z 0. 1 a. 1

7 vidy TM vidy TE Pořadí indexy m, n vid α mn indexy m, n vid α 'mn 1 1, 1 TE 11 1,841 0, 1 TM 01,4048 3, 1 TE 1 3,054 4., 5. 1, 1 TM 11 3,8317 0, 1 TE 01 3, , 1 TE 31 4,01 7, 1 TM 1 5, , 1 TE 41 5, , TE 1 5, , TM 0 5, , 1 TM 31 6, , 1 TE 51 6, , TE 6, , 15. 1, TM 1 7,0156 0, TE 0 7, , 1 TE 61 7, , 1 TM 41 7, , TE 3 8,015 19, TM 8, , 3 TE 13 8, , 1 TE 71 8,5778 0, 3 TM 03 8, , 1 TM 51 8, , TE 4 9,84 5 8, 1 TE 81 9, , TM 3 9, , 1 TM 61 9,9361 8, 3 TE 3 9, , 30. 1, 3 TM 13 10,1735 0, 3 TE 03 10,1735 Tab. 1. Přehled kořenů Besselových funkcí a kořenů derivací Besselových funkcí pro prvních 30 vidů v kruhovém vlnovodu Provozuje-li se vlnovod s videm kmitání TE 01 na kmitočtu mnohem vyšším než je kmitočet mezní, tj. f >> f m, můžeme vyjádřit hodnotu měrného útlumu zjednodušeným vztahem TE01 { 8, 68. vf Z 0. 1 a.

8 4. VLNOVOD V PODKRITICKÉM REŽIMU O vlnovodu v podkritickém režimu hovoříme v tom případě, kdy je vlnovod buzen vlnou o kmitočtu nižším než je mezní kmitočet vlnovodu. Taková vlna bývá někdy označována jako evanescentní. Fázová konstanta šíření v tomto případě bude protože ν > 1. = k 1 = j k 1 = j Potom lze charakterizovat elektromagnetickou vlnu v podkritickém bezeztrátovém (α = 0) vlnovodu ve směru osy z funkcí Z(z) = C 1.e z Elektromagnetické pole uvnitř vlnovodu je exponenciálně tlumeno, velikost útlumu je dána velikostí fázové konstanty šíření. Útlum podkritického vlnovodu L = 8, 68. l [db] kde l je délka vlnovodu v [m]

9 5. KOAXIÁLNÍ VEDENÍ Konstanta příčného průřezu k c = 0 Mezní kmitočet, resp. mezní vlnová délka f m = 0, resp. m d Délka vlny na vedení λ v = λ Konstanta šíření elektromagnetické vlny v podélném směru, předpokládáme-li bezeztrátové vedení = j = j = j. = jk Fázová a skupinová rychlost v f = v sk = 1 = c r r [m/s] Charakteristická impedance Z v = U I kde U je napětí mezi vnitřním a vnějším vodičem R 0 U = E r dr r 0 [V] r 0 je poloměr vnitřního vodiče v [m] R 0 je poloměr vnějšího vodiče v [m] E r je radiální složka vektoru intenzity elektrického pole ve [V/m] I je proud tekoucí vedením H I = H. ds = s H R 0 d [A] 0 je azimutální složka vektoru intenzity magnetického pole v [A/m] Po úpravě lze zapsat vzorec pro výpočet vlnové impedance ve tvaru Z v = 1. ln R 0 r 0 Za předpokladu, že = 0, můžeme psát, že platí Z v = 60 r ln R 0 r 0

10 nebo Z v = 138 log R 0 r r 0 Výkon přenášený koaxiálním vedením P = 1. U Z v = 1. I.Z v = 1. U. I [W] Maximální výkon přenášený koaxiálním vedením P max = r 0. E max. ln R 0 r 0 [W] Měrný útlum koaxiálního vedení = v + d kde α v je měrný útlum vyvolaný ztrátami ve vodiči v = 8, 68. vf. 1 + R 0 r 0 R 0. ln R 0 r 0 α d je měrný útlum vyvolaný ztrátami v dielektriku d = 8, Jsou-li ztráty malé ( tg = ^ 1 ), platí přibližný vztah d { 8, 68.. tg c r Mezní vlnová délka koaxiálního vlnovodu (vid TE 11 ) m =. R 0 + r 0 [m] Mezní vlnová délka hlavního vlnovodového vidu TE 11 v koaxiálním vlnovodu je rovna obvodu kružnice, jejíž poloměr je dán aritmetickým průměrem poloměrů vnějšího a vnitřního vodiče. Poznámka: Koaxiální vedení vždy umožňuje přenos vlny TEM. Zvýšíme-li kmitočet přenášené vlny tak, že překročíme hodnotu, kterou označujeme jako mezní, lze touto strukturou přenášet i vlnovodové vidy. V takovém případě hovoříme o koaxiálním vlnovodu.

11 6. MIKROPÁSKOVÉ VEDENÍ Efektivní permitivita pro případ, kdy je wmh ef = r r h w kde ε r je relativní permitivita substrátu h je tloušťka substrátu v [mm] w je šířka horního pásku v [mm] Efektivní permitivita pro případ, kdy je w[h ef = r r h w + 0, w h Obr. 1. Průřez mikropáskovým vedením Charakteristická impedance pro případ, kdy je wmh Z v = 1 ef. 10 w h + 1, , 667. ln w h + 1, 444 Charakteristická impedance pro případ, kdy je w[h Z v = 60 ef. ln 8h w + w 4h Efektivní permitivita jako funkce kmitočtu kde ef (f) = r r ef 1 + G. f f p G = Z v , 004.Z v f p = Z v 0, 8..h [GHz] Charakteristická impedance jako funkce kmitočtu Z v (f) = Z v. ef ef (f) Efektivní šířka horního pásku pro případ, kdy je w[ h w ef = w + 1, 5. t. 1 + ln 4.w t kde t je tloušťka horního pásku v [mm] [mm]

12 Efektivní šířka horního pásku pro případ, kdy je wm h w ef = w + 1, 5. t. 1 + ln h t [mm] Efektivní šířka horního pásku jako funkce kmitočtu w ef (f) = w w ef (0) w w ef (0). c ef.f [mm] kde w ef (0) = 10.h [mm] Z v. ef Měrný útlum způsobený konečnou vodivostí vodičů vedení pro případ, kdy je w[h v = 1, 38. A. vf. 3 w h h.z v 3 + w h kde A = 1 + w h. 1, ln B t B =.w pro w[ h B = h pro wm h Měrný útlum způsobený konečnou vodivostí vodičů vedení pro případ, kdy je wmh v = 6, A. vf.z v. ef h. w h + 0, 667. w h w h + 1, 444 Měrný útlum způsobený ztrátami v dielektriku d = 7, 3. r ef. ef 1 r 1. tg v = 4, r ef. ef 1 r 1.tg kde v = 0 ef = c f. ef [m] Celkový měrný útlum mikropáskového vedení = v + d

13 7. REZONÁTORY VYTVOŘENÉ Z ÚSEKU VEDENÍ Rezonanční vlnová délka čtvrtvlnného rezonátoru (jeden konec rezonátoru je zkratovaný, druhý otevřený) r = 4l p 1. r r [m] kde l je délka rezonátoru v [m] p je přirozené číslo (1,, 3,...) Rezonanční kmitočet čtvrtvlnného rezonátoru f r = c. p 1 r r 4l [Hz] Rezonanční vlnová délka půlvlnného rezonátoru (oba konce rezonátoru jsou otevřené nebo jsou oba zakončeny zkratem) r = l p. r r [m] Rezonanční kmitočet půlvlnného rezonátoru f r = c r r. p l [Hz] Činitel jakosti rezonátoru Q = r.w P z kde ω r je úhlový rezonanční kmitočet v [rad/s] W je energie nahromaděná v rezonátoru v [J] P z je výkon ztracený v rezonátoru ve [W] Poznámka: Tento vzorec pro výpočet činitele jakosti platí obecně pro jakýkoli typ rezonátoru.

14 8. DUTINOVÉ REZONÁTORY Dutinovým rezonátorem může být jakékoliv dielektrikum zcela obecného tvaru, uzavřené vodivým pláštěm. Zde se však budeme zabývat pouze dutinovými rezonátory jednoduchých geometrických tvarů, odvozených z průřezů nejčastěji používaných vlnovodů. Toto omezení není nijak významné, neboť z čistě praktických důvodů se téměř výhradně používají dutinové rezonátory právě těchto jednoduchých tvarů. Rezonanční kmitočet f r = c. k. r c + p r l [Hz] kde p je nezáporné celé číslo udávající počet půlvln stojatého vlnění v podélném směru l je délka dutinového rezonátoru v [m] Rezonanční kmitočet válcového dutinového rezonátoru vyplněného vzduchovým dielektrikem s videm kmitání TE mnp f r = c..d mn + p l [Hz] kde D je vnitřní průměr válcového dutinového rezonátoru v [m] Rezonanční kmitočet válcového dutinového rezonátoru vyplněného vzduchovým dielektrikem s videm kmitání TM mnp f r = c. mn.d Celkový činitel jakosti dutinového rezonátoru + p l [Hz] Q c = Q 0.Q d Q 0 + Q d kde Q 0 je činitel jakosti nezatíženého rezonátoru (bez přítomnosti ztrátového dielektrika v dutině rezonátoru) Q d je činitel jakosti použitého ztrátového dielektrika Činitel jakosti ztrátového dielektrika kde tg δ je ztrátový činitel dielektrika Q d = 1 tg Činitel jakosti nezatíženého válcového dutinového rezonátoru vyplněného vzduchovým dielektrikem s videm kmitání TE mnp

15 Q 0 = r..d. 4 vf mn p..d mn + l + p..m.d l. mn. 1 m + p. D. l mn 3. 1 m Činitel jakosti nezatíženého válcového dutinového rezonátoru vyplněného vzduchovým dielektrikem s videm kmitání TE 0np Q 0 = r..d 4 vf. p..d 0n + l 0n + p. D. l Činitel jakosti nezatíženého válcového dutinového rezonátoru vyplněného vzduchovým dielektrikem s videm kmitání TM mnp pro p!0 Q 0 = r..d. 1 4 vf 1 + D l Činitel jakosti nezatíženého válcového dutinového rezonátoru vyplněného vzduchovým dielektrikem s videm kmitání TM mn0 Q 0 = r..d. 1 4 vf 1 + D l 3 mn

16 9. OTEVŘENÉ REZONÁTORY Rezonanční vlnová délka r = l p [m] kde l je vzdálenost zrcadel rezonátoru v [m] p je přirozené číslo udávající počet půlvln elektromagnetické vlny v podélném směru (zpravidla p > 100) Rezonanční kmitočet f r = c.p.l [Hz] Činitel jakosti Q =.p.z 0 4 vf kde Z 0 je vlnová impedance volného prostoru v Poznámka: Pro zjednodušení uvažujeme rezonátor vytvořený planparalelními zrcadly.

17 10. SMITHŮV DIAGRAM Dříve než se budeme věnovat konkrétním aplikacím Smithova diagramu, zopakujme základní pojmy a definice veličin, s nimiž budeme v této kapitole přicházet do styku. Činitel odrazu = Z k Z v Z k + Z v kde Z k je zakončovací impedance v Z v je charakteristickáá impedance vedení v Geometrickým místem absolutní hodnoty činitele odrazu ve Smithově diagramu je kružnice se středem ve středu diagramu (v bodě 1). Poměr stojatých vln p = U max U min kde U max je maximální napětí stojaté vlny ve [V] U min je minimální napětí stojaté vlny ve [V] Poměr stojatých vln lze též vyjádřit pomocí absolutní hodnoty činitele odrazu p = Konstantní hodnota poměru stojatých vln se ve Smithově diagramu zobrazí rovněž jako kružnice se středem v bodě 1. Ve Smithově diagramu pracujeme s normovanými hodnotami impedancí. Normovaná impedance z = Z Z v

18 ZÁKLADNÍ PŘÍKLADY POUŽITÍ SMITHOVA DIAGRAMU Transformace impedance podél vedení Do Smithova diagramu zakreslíme zadanou impedanci. Touto impedancí proložíme l 0 přímku konstantní hodnoty βl a na obvodu Smithova diagramu zjistíme poměr, který v odpovídá této impedanci. Chceme-li zjistit hodnotu impedance ve vzdálenosti l, musíme provést ve Smithově diagramu posunutí příslušným směrem (buď ke zdroji nebo k zátěži) o l hodnotu a v tomto místě opět sestrojíme přímku konstantního βl. Je-li vedení v bezeztrátové, bude hledaná impedance ležet v průsečíku této přímky a kružnice konstantního poměru stojatých vln, na níž leží původní impedance. V případě ztrátového vedení bude hledaná impedance ležet v průsečíku téže přímky a kružnice konstantního útlumu, jejíž poloměr je definován vztahem r = R.e l 8,68 [mm] kde R je poloměr kružnice konstantního útlumu, na níž leží původní impedance v [mm] Měření impedance V prvním kroku stanovíme délku vlny na vedení. Změříme vzdálenost dvou sousedních minim stojaté vlny. Délka vlny na vedení je pak rovna dvojnásobku této vzdálenosti. V druhém kroku změříme poměr stojatých vln jako podíl p = U max U min Ve Smithově diagramu sestrojíme kružnici konstantního poměru stojatých vln. V třetím kroku změříme vzdálenost prvního minima stojaté vlny od zátěže l a ve Smithově diagramu provedeme posun o l z bodu minimální impedance směrem k zátěži. Hledaná v impedance pak leží v průsečíku přímky konstantní hodnoty βl a kružnice konstantního poměru stojatých vln. Pokud nelze určit polohu prvního minima stojaté vlny, bude postup měření poněkud odlišný. První dva kroky zůstanou nezměněné, v třetím změříme a zaznamenáme polohu libovolného minima stojaté vlny. Ve čtvrtém kroku odpojíme měřenou impedanci a nahradíme jí zkratem. Změříme a zaznamenáme polohu dvou minim stojaté vlny v okolí původního minima (při zakončení měřenou impedancí). Tím určíme tzv. referenční konce vedení. Tuto situaci názorně vystihuje obrázek 15 na straně 74. Vzdálenost minima stojaté vlny při zakončení měřenou impedancí a referenčního konce vedení pak udává posunutí ve Smithově diagramu od bodu minimální impedance. Pozor! Je třeba věnovat pozornost tomu, zdali provádíme posun k zátěži nebo ke zdroji. Sestrojíme přímku konstantní hodnoty βl a hledaná impedance bude ležet v průsečíku této přímky a kružnice konstantního poměru stojatých vln.

19 Přizpůsobování impedance Přizpůsobování impedancí můžeme provádět buď sériově připojeným kompenzačním prvkem nebo paralelně připojeným kompenzačním prvkem. Podle toho hovoříme buď o sériové kompenzaci nebo o paralelní kompenzaci. Nejpve si vysvětlíme princip sériové kompenzace. Na vedení najdeme takové místo, ve kterém je reálná složka impedance rovna charakteristické impedanci vedení a v tomto místě jalovou složku impedance vykompenzujeme reaktancí stejné velikosti, ale opačného znaménka. Kompenzační reaktanci je možné realizovat mnoha způsoby. Nejčastěji se používá úsek vedení zakončený nakrátko nebo naprázdno. Postup návrhu impedančního přizpůsobení pomocí Smithova diagramu bude následující. Do Smithova diagramu vyneseme zakončovací impedanci a sestrojíme přímku konstantního βl. Pak provedeme posunutí po kružnici l 1 konstantního poměru stojatých vln o takový poměr, až se dostaneme na kružnici v jednotkové reálné části impedance, to znamená do bodu z 1 = 1!j.x. Z posunutí můžeme v zjistit vzdálenost l 1 od zakončovací impedance, ve které je potřeba připojit kompenzační prvek. V případě, že kompenzačním prvkem je úsek vedení, je třeba stanovit jeho délku l. Je-li vedení na konci zkratované, bude výchozím bodem pro stanovení jeho délky bod nulové impedance. Je-li vedení na konci otevřené, výchozím bodem bude bod nekonečné impedance. l Z tohoto bodu provedeme transformaci o poměr směrem ke zdroji do bodu, v němž je v l v impedance rovna z = 0 + j.x. Z posunutí určíme délku kompenzačního vedení l. V případě paralelní kompenzace budeme hledat na vedení takové místo, ve kterém je reálná část admitance rovna charakteristické admitanci vedení, a v tomto místě vykompenzujeme jalovou část admitance susceptancí stejné velikosti, ale opačného znaménka. Ve Smithově diagramu to bude vypadat následovně. Nejprve je třeba přejít z impedančního diagramu do admitančního. To je velmi jednoduché. Admitanční diagram je na pohled zcela shodný s diagramem impedančním, rozdíl je pouze v označení. Místo impedancí budeme pracovat s admitancemi. Z impedančního diagramu přejdeme na admitanční inverzí kolem bodu 1, neboť platí l 1 y = 1 z Další postup návrhu přizpůsobení (paralelní kompenzace) je pak naprosto shodný se sériovou kompenzací, jediný rozdíl je v tom, že místo s impedancemi pracujeme s admitancemi. Někdy se k impedančnímu přizpůsobování používá tzv. čtvrtvlnný transformátor (obr. ). To je úsek vedení, který musí mít takové vlastnosti (tj. délku a vlnovou impedanci), aby umožnil bezodrazový přenos energie mezi dvěma různými impedancemi. Jeho použití je však dost omezené. Čtvrtvlnný transformátor je nevhodný k přizpůsobování obecných impedancí, hodí se však k přizpůsobování čistě reálných impedancí. Z tohoto důvodu se nejčastěji používá jako přizpůsobovací element při spojování dvou vedení o různě velkých charakteristických impedancích Z 1 a Z. Jak již název napovídá, délka čtvrtvlnného transformátoru je

20 l t = v 4 [m] Charakteristická impedance je dána geometrickým průměrem hodnot impedancí, které hodláme přizpůsobit, tedy Z t = Z 1.Z Poznámka: Pro širokopásmové přizpůsobení se používají vícestupňové transformátory. Obr.. Čtvrtvlnný transformátor

21 11. ROZPTYLOVÉ PARAMETRY Libovolný mikrovlnný obvod můžeme popsat pomocí tzv. rozptylových parametrů (S-parametrů), které zavádíme následujícím způsobem. Např. obvod s N branami lze popsat soustavou rovnic V n V 1 = S 11 V S 1 V + + +S 1N V N + V = S 1 V S V + + +S N V N + V N = S N1 V S N V + + +S NN V N + kde je napěťová vlna vycházející z n-té větve N-branu + V n je napěťová vlna vstupující do n-té větve N-branu S ij je rozptylový parametr Nebo lze zapsat výše uvedené rovnice v maticovém tvaru V 1 V V N = S 11 S 1 S 1N S 1 S S N S N1 S N S NN. V 1 + V + V N + případně [V ] = [S].[V + ] Podobným způsobem lze definovat normované rozptylové parametry b 1 = s 11 a 1 + s 1 a + +s 1N a N b = s 1 a 1 + s a + +s N a N b N = s N1 a 1 + s N a + +s NN a N kde b n = V n je normovaná napěťová vlna vycházející z n-té větve N-branu Z 0n Z 0n je charakteristická impedance n-té větve N-branu a n = V n + je normovaná napěťová vlna vstupující do n-té větve N-branu Z 0n s ij je normovaný rozptylový parametr

22 Nebo v maticovém tvaru [b] = [s].[a] kde [b] = b 1 b b N [s] = s 11 s 1 s 1N s 1 s s N s N1 s N s NN [a] = a 1 a a N Vztah mezi normovanými a nenormovanými rozptylovými parametry s ij = S ij pro i = j s ij = S ij. Z 0j Z 0i pro i!j Je-li N-bran reciproký, pak je jeho rozptylová matice symetrická podle hlavní diagonály kde [s T ] je transponovaná matice [s T ] = [s] Je-li N-bran bezeztrátový, pak je jeho rozptylová matice unitární kde [s * ] je komplexně sdružená matice [1] je jednotková matice [s T ].[s & ] = [1]

23 1. ORIENTOVANÉ GRAFY Základní pojmy Uzel - bod orientovaného grafu odpovídající nezávislé nebo závislé proměnné Větev - přímá spojnice dvou uzlů Cesta - spojení souhlasně orientovaných větví mezi dvěma uzly Přímá cesta - cesta, v níž se každý uzel vyskytuje pouze jednou Smyčka 1. řádu - cesta, která má totožný počáteční a koncový uzel Vlastní smyčka - větev, která začíná a končí ve stejném uzlu Smyčka n-tého řádu - je tvořena n smyčkami 1. řádu, které nemají společné uzly Některé možnosti zjednodušení struktury orientovaného grafu jsou ukázány na obrázku 37. Masonovo pravidlo T ba = P 1 + ( 1) n n,r L,r (n) 1 + n ( 1) n L (n) kde T ba je přenos z uzlu a do uzlu b P µ je přenos µ-té přímé cesty n je řád smyčky (n = 1,, 3,...) (n) L ν je přenos ν-té smyčky n-tého řádu (n) L ν,r je přenos ν-té smyčky n-tého řádu, která se nedotýká cesty, jejíž přenos právě uvažujeme Masonovo pravidlo umožňuje přímý výpočet přenosu bez předběžných úprav grafu.

24 Obr. 3. Některé možnosti zjednodušení orientovaného grafu

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky.

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Platí shodně pro prezenční i kombinovanou formu studia. 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2.

Více

1. Zadání. 2. Teorie úlohy ID: 78 357. Jméno: Jan Švec. Předmět: Elektromagnetické vlny, antény a vedení. Číslo úlohy: 7. Měřeno dne: 30.3.

1. Zadání. 2. Teorie úlohy ID: 78 357. Jméno: Jan Švec. Předmět: Elektromagnetické vlny, antény a vedení. Číslo úlohy: 7. Měřeno dne: 30.3. Předmět: Elektromagnetické vlny, antény a vedení Úloha: Symetrizační obvody Jméno: Jan Švec Měřeno dne: 3.3.29 Odevzdáno dne: 6.3.29 ID: 78 357 Číslo úlohy: 7 Klasifikace: 1. Zadání 1. Změřte kmitočtovou

Více

3. Kmitočtové charakteristiky

3. Kmitočtové charakteristiky 3. Kmitočtové charakteristiky Po základním seznámení s programem ATP a jeho preprocesorem ATPDraw následuje využití jednotlivých prvků v jednoduchých obvodech. Jednotlivé příklady obvodů jsou uzpůsobeny

Více

Základy elektrotechniky a výkonová elektrotechnika (ZEVE)

Základy elektrotechniky a výkonová elektrotechnika (ZEVE) Základy elektrotechniky a výkonová elektrotechnika (ZEVE) Studijní program Vojenské technologie, 5ti-leté Mgr. studium (voj). Výuka v 1. a 2. semestru, dotace na semestr 24-12-12 (Př-Cv-Lab). Rozpis výuky

Více

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze.

Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze. Nejprve několik fyzikálních analogií úvodem Rezonance Rezonance je fyzikálním jevem, kdy má systém tendenci kmitat s velkou amplitudou na určité frekvenci, kdy malá budící síla může vyvolat vibrace s velkou

Více

1.1. Základní pojmy 1.2. Jednoduché obvody se střídavým proudem

1.1. Základní pojmy 1.2. Jednoduché obvody se střídavým proudem Praktické příklady z Elektrotechniky. Střídavé obvody.. Základní pojmy.. Jednoduché obvody se střídavým proudem Příklad : Stanovte napětí na ideálním kondenzátoru s kapacitou 0 µf, kterým prochází proud

Více

-sériová rezonance: reálná složka vstupní impedance

-sériová rezonance: reálná složka vstupní impedance Čím se liší sériová a paralelní rezonance (modul impedance, změny fáze v okolí)? Typ rezonance je možno určit podle minima (maxima) modulu vstupní impedance, snadněji pak podle změny jejího argumentu (fáze)

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Transformátor trojfázový

Transformátor trojfázový Transformátor trojfázový distribuční transformátory přenášejí elektricky výkon ve všech 3 fázích v praxi lze použít: a) 3 jednofázové transformátory větší spotřeba materiálu v záloze stačí jeden transformátor

Více

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor.

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor. FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ OBVODY Základní pojmy: IMPEDANCE Z (Ω)- charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických

Více

Základní elektronické obvody

Základní elektronické obvody Základní elektronické obvody Soustava jednotek Coulomb (C) = jednotka elektrického náboje q Elektrický proud i = náboj, který proteče průřezem vodiče za jednotku času i [A] = dq [C] / dt [s] Volt (V) =

Více

Tématické okruhy teoretických zkoušek Part 66 1 Modul 3 Základy elektrotechniky

Tématické okruhy teoretických zkoušek Part 66 1 Modul 3 Základy elektrotechniky Tématické okruhy teoretických zkoušek Part 66 1 3.1 Teorie elektronu 1 1 1 Struktura a rozložení elektrických nábojů uvnitř: atomů, molekul, iontů, sloučenin; Molekulární struktura vodičů, polovodičů a

Více

Účinky měničů na elektrickou síť

Účinky měničů na elektrickou síť Účinky měničů na elektrickou síť Výkonová elektronika - přednášky Projekt ESF CZ.1.07/2.2.00/28.0050 Modernizace didaktických metod a inovace výuky technických předmětů. Definice pojmů podle normy ČSN

Více

VYSOKOFREKVENČNÍ A MIKROVLNNÁ TECHNIKA

VYSOKOFREKVENČNÍ A MIKROVLNNÁ TECHNIKA VYSOKOFREKVENČNÍ A MIKROVLNNÁ TECHNIKA Přednášky Doc. Ing. Stanislav Hanus, CSc. Prof. Ing. Jiří Svačina, CSc. ÚSTAV RADIOELEKTRONIKY Stanislav Hanus, Jiří Svačina, ISBN 8-4--X P Ř E D M L V A Skripta

Více

Ultrazvuková defektoskopie. Vypracoval Jan Janský

Ultrazvuková defektoskopie. Vypracoval Jan Janský Ultrazvuková defektoskopie Vypracoval Jan Janský Základní principy použití vysokých akustických frekvencí pro zjištění vlastností máteriálu a vad typické zařízení: generátor/přijímač pulsů snímač zobrazovací

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL škola Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 číslo projektu číslo učebního materiálu předmět, tematický celek ročník CZ.1.07/1.5.00/34.1037 VY_32_INOVACE_ZIL_VEL_123_12

Více

Kompenzovaný vstupní dělič Analogový nízkofrekvenční milivoltmetr

Kompenzovaný vstupní dělič Analogový nízkofrekvenční milivoltmetr Kompenzovaný vstupní dělič Analogový nízkofrekvenční milivoltmetr. Zadání: A. Na předloženém kompenzovaném vstupní děliči k nf milivoltmetru se vstupní impedancí Z vst = MΩ 25 pf, pro dělící poměry :2,

Více

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu Otázky z optiky Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu ) o je světlo z fyzikálního hlediska? Jaké vlnové délky přísluší viditelnému záření? - elektromagnetické záření (viditelné záření) o vlnové délce

Více

Fyzika II mechanika zkouška 2014

Fyzika II mechanika zkouška 2014 Fyzika II mechanika zkouška 2014 Přirozené složky zrychlení Vztahy pro tečné, normálové a celkové zrychlení křivočarého pohybu, jejich odvození, aplikace (nakloněná rovina, bruslař, kruhový závěs apod.)

Více

Klasické a inovované měření rychlosti zvuku

Klasické a inovované měření rychlosti zvuku Klasické a inovované měření rychlosti zvuku Jiří Tesař katedra fyziky, Pedagogická fakulta JU Klíčová slova: Rychlost zvuku, vlnová délka, frekvence, interference vlnění, stojaté vlnění, kmitny, uzly,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Zkraty v ES Zkrat: příčná porucha, prudká havarijní změna v ES nejrozšířenější porucha v ES při zkratu vznikají přechodné jevy Vznik zkratu:

Zkraty v ES Zkrat: příčná porucha, prudká havarijní změna v ES nejrozšířenější porucha v ES při zkratu vznikají přechodné jevy Vznik zkratu: Zkraty ES Zkrat: příčná porucha, prudká haarijní změna ES nejrozšířenější porucha ES při zkratu znikají přechodné jey Vznik zkratu: poruchoé spojení fází nazájem nebo fáze (fází) se zemí soustaě s uzemněným

Více

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Shrnutí: Náboj a síla = Coulombova síla: - Síla jíž na sebe náboje Q působí je stejná - Pozn.: hledám-li velikost, tak jen dosadím,

Více

φ φ d 3 φ : 5 φ d < 3 φ nebo svary v oblasti zakřivení: 20 φ

φ φ d 3 φ : 5 φ d < 3 φ nebo svary v oblasti zakřivení: 20 φ KONSTRUKČNÍ ZÁSADY, kotvení výztuže Minimální vnitřní průměr zakřivení prutu Průměr prutu Minimální průměr pro ohyby, háky a smyčky (pro pruty a dráty) φ 16 mm 4 φ φ > 16 mm 7 φ Minimální vnitřní průměr

Více

JEDNODUCHÝCH STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ. Ing. Barbora Hrubá, Ing. Jiří Winkler Kat. 225 Pozemní stavitelství 2014

JEDNODUCHÝCH STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ. Ing. Barbora Hrubá, Ing. Jiří Winkler Kat. 225 Pozemní stavitelství 2014 VZDUCHOVÁ NEPRŮZVUČNOST JEDNODUCHÝCH STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ Ing. Barbora Hrubá, Ing. Jiří Winkler Kat. 225 Pozemní stavitelství 2014 AKUSTICKÉ VLASTNOSTI STAVEBNÍCH MATERIÁLŮ A KONSTRUKCÍ Množství akustického

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY K DOPLNĚNÍ VÝUKY

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY K DOPLNĚNÍ VÝUKY ŘEŠENÉ PŘÍKLDY K DOPLNĚNÍ ÝKY. TÝDEN Příklad. K baterii s vnitřním napětím a vnitřním odporem i je připojen vnější odpor (viz obr..). rčete proud, který prochází obvodem, úbytek napětí Δ na vnitřním odporu

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud

FYZIKA II. Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud FYZIKA II Petr Praus 6. Přednáška elektrický proud Osnova přednášky Elektrický proud proudová hustota Elektrický odpor a Ohmův zákon měrná vodivost driftová rychlost Pohyblivost nosičů náboje teplotní

Více

YU = I kde I = 0 (6.1)

YU = I kde I = 0 (6.1) Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku Pracoval: Jakub Michálek stud. skup. 15 dne: 20. března 2009 Odevzdal dne: Možný

Více

Název: Téma: Autor: Číslo: Prosinec 2013. Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1

Název: Téma: Autor: Číslo: Prosinec 2013. Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Název: Téma: Autor: Číslo: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Elektrický proud střídavý Elektronický oscilátor

Více

1.1 Paralelní spolupráce transformátorů stejného nebo rozdílného výkonu

1.1 Paralelní spolupráce transformátorů stejného nebo rozdílného výkonu 1.1 Paralelní spolupráce transformátorů stejného nebo rozdílného výkonu Cíle kapitoly: Cílem úlohy je ověřit teoretické znalosti při provozu dvou a více transformátorů paralelně. Dalším úkolem bude změřit

Více

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Fakulta elektrotechniky a informatiky. Metalické sítě. Jan Skapa. Ostrava 2011

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Fakulta elektrotechniky a informatiky. Metalické sítě. Jan Skapa. Ostrava 2011 1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERITA OSTRAVA Fakulta elektrotechniky a informatiky Metalické sítě Jan Skapa Ostrava 2011 2 Tato publikace byla napsána v OpenOffice, jenž je volně poskytován pod licencí

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Výkon střídavého proudu, účiník

Výkon střídavého proudu, účiník ng. Jaromír Tyrbach Výkon střídavého proudu, účiník odle toho, kterého prvku obvodu se výkon týká, rozlišujeme u střídavých obvodů výkon činný, jalový a zdánlivý. Ve střídavých obvodech se neustále mění

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

4. Akustika. 4.1 Úvod. 4.2 Rychlost zvuku

4. Akustika. 4.1 Úvod. 4.2 Rychlost zvuku 4. Akustika 4.1 Úvod Fyzikálními ději, které probíhají při vzniku, šíření či vnímání zvuku, se zabývá akustika. Lidské ucho je schopné vnímat zvuky o frekvenčním rozsahu 16 Hz až 16 khz. Mechanické vlnění

Více

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava

Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava atedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - T Ostrava 9. TRASFORMÁTORY. Princip činnosti ideálního transformátoru. Princip činnosti skutečného transformátoru 3. Pracovní

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

PROBLÉMY STABILITY. 9. cvičení

PROBLÉMY STABILITY. 9. cvičení PROBLÉMY STABILITY 9. cvičení S pojmem ztráty stability tvaru prvku se posluchač zřejmě již setkal v teorii pružnosti při studiu prutů namáhaných osovým tlakem (viz obr.). Problematika je však obecnější

Více

1 Zdroj napětí náhradní obvod

1 Zdroj napětí náhradní obvod 1 Zdroj napětí náhradní obvod Příklad 1. Zdroj napětí má na svorkách naprázdno napětí 6 V. Při zatížení odporem 30 Ω klesne napětí na 5,7 V. Co vše můžete o tomto zdroji říci za předpokladu, že je v celém

Více

Elektrický proud v kovech Odpor vodiče, Ohmův zákon Kirchhoffovy zákony, Spojování rezistorů Práce a výkon elektrického proudu

Elektrický proud v kovech Odpor vodiče, Ohmův zákon Kirchhoffovy zákony, Spojování rezistorů Práce a výkon elektrického proudu Elektrický proud Elektrický proud v kovech Odpor vodiče, Ohmův zákon Kirchhoffovy zákony, Spojování rezistorů Práce a výkon elektrického proudu Elektrický proud v kovech Elektrický proud = usměrněný pohyb

Více

4. Nakreslete hysterezní smyčku feromagnetika a popište ji. Uveďte příklady využití jevu hystereze v praxi.

4. Nakreslete hysterezní smyčku feromagnetika a popište ji. Uveďte příklady využití jevu hystereze v praxi. IZSE/ZKT 1 1.Definujte el. potenciál. Skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v neměnném elektrickém poli. Značka: φ[v],kde W je potenciální energie

Více

Mˇeˇren ı vlastn ı indukˇcnosti Ondˇrej ˇ Sika

Mˇeˇren ı vlastn ı indukˇcnosti Ondˇrej ˇ Sika Obsah 1 Zadání 3 2 Teoretický úvod 3 2.1 Indukčnost.................................. 3 2.2 Indukčnost cívky.............................. 3 2.3 Vlastní indukčnost............................. 3 2.4 Statická

Více

Ideální frekvenční charakteristiky filtrů podle bodu 1. až 4. v netypických lineárních souřadnicích jsou znázorněny na následujícím obrázku. U 1.

Ideální frekvenční charakteristiky filtrů podle bodu 1. až 4. v netypických lineárních souřadnicích jsou znázorněny na následujícím obrázku. U 1. Aktivní filtry Filtr je obecně selektivní obvod, který propouští určité frekvenční pásmo, zatímco ostatní frekvenční pásma potlačuje. Filtry je možno realizovat sítí pasivních součástek, tj. rezistorů,

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry

18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry 18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry Digitální voltmetry Základním obvodem digitálních voltmetrů je A/D

Více

6. Viskoelasticita materiálů

6. Viskoelasticita materiálů 6. Viskoelasticita materiálů Viskoelasticita materiálů souvisí se schopností materiálů tlumit mechanické vibrace. Uvažujme harmonické dynamické namáhání (tzn. střídavě v tahu a tlaku) materiálu v oblasti

Více

Základy elektrotechniky řešení příkladů

Základy elektrotechniky řešení příkladů Název vzdělávacího programu Základy elektrotechniky řešení příkladů rčeno pro potřeby dalšího vzdělávání pedagogických pracovníků středních odborných škol Autor ng. Petr Vavřiňák Název a sídlo školy Střední

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA

ELEKTRICKÝ PROUD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA ELEKTRICKÝ PROD ELEKTRICKÝ ODPOR (REZISTANCE) REZISTIVITA 1 ELEKTRICKÝ PROD Jevem Elektrický proud nazveme usměrněný pohyb elektrických nábojů. Např.:- proud vodivostních elektronů v kovech - pohyb nabitých

Více

Vlnovodn{ optika. 2 Vlnovodn{ optika. 2.1 Úvod. 2.2 Princip přenosu v optickém vl{kně

Vlnovodn{ optika. 2 Vlnovodn{ optika. 2.1 Úvod. 2.2 Princip přenosu v optickém vl{kně Vlnovodn{ optika Cíl kapitoly Cílem kapitoly je sezn{mit se s principem vedení optikého sign{lu v optických kan{lech, jejich buzení a detekci. Poskytuje podklady pro studenty umožňující objasnění těchto

Více

VY_32_INOVACE_ENI_3.ME_01_Děliče napětí frekvenčně nezávislé Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing.

VY_32_INOVACE_ENI_3.ME_01_Děliče napětí frekvenčně nezávislé Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing. Číslo projektu..07/.5.00/34.058 Číslo materiálu VY_3_INOVAE_ENI_3.ME_0_Děliče napětí frekvenčně nezávislé Název školy Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Autor Ing. Miroslav Krýdl Tematická

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

FYZIKA II Otázky ke zkoušce

FYZIKA II Otázky ke zkoušce FYZIKA II Otázky ke zkoušce 1. Formy fyzikálního pohybu. Hmotný bod, trajektorie, dráha, zákon pohybu, vztažná soustava. Pohyb hmotného bodu podél přímky: vektor posunutí, rychlost posunutí, okamžitá rychlost,

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

ednáška - vlastnosti vedení, Ing. Bc. Ivan Pravda

ednáška - vlastnosti vedení, Ing. Bc. Ivan Pravda 9.předn ednáška Přenosová média - vlastnosti vedení, metalické páry, přeslechyp Ing. Bc. Ivan Pravda základní modifikace - problematika přístupových sítí zajištění připojení jednotlivých účastníků či lokálních

Více

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH, DUKELSKÁ 13 PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE Provedl: Tomáš PRŮCHA Datum: 17. 4. 2009 Číslo: Kontroloval: Datum: 5 Pořadové číslo žáka: 24

Více

Elektrotechnika SOUBOR PŘÍPRAV PRO 3. R. OBORU 23-41-M/01 Strojírenství

Elektrotechnika SOUBOR PŘÍPRAV PRO 3. R. OBORU 23-41-M/01 Strojírenství STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109 Ing. Petr Vlček Elektrotechnika SOUBOR PŘÍPRAV PRO 3. R. OBORU 23-41-M/01 Strojírenství Vytvořeno v

Více

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát Michal Veselý, 00 Základní části fotografického aparátu tedy jsou: tělo přístroje objektiv Pochopení funkce běžných objektivů usnadní zjednodušená představa, že objektiv jako celek se chová stejně jako

Více

ŠVP Gymnázium Jeseník Seminář z fyziky oktáva, 4. ročník 1/5

ŠVP Gymnázium Jeseník Seminář z fyziky oktáva, 4. ročník 1/5 ŠVP Gymnázium Jeseník Seminář z fyziky oktáva, 4. ročník 1/5 žák řeší úlohy na vztah pro okamžitou výchylku kmitavého pohybu, určí z rovnice periodu frekvenci, počáteční fázi kmitání vypočítá periodu a

Více

ELEKTRICKÝ PROUD V KOVECH. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 3. ročník

ELEKTRICKÝ PROUD V KOVECH. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 3. ročník ELEKTRICKÝ PROUD V KOVECH Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Elektřina a magnetismus - 3. ročník Elektrický proud Uspořádaný pohyb volných částic s nábojem Směr: od + k ( dle dohody - ve směru kladných

Více

Návrh a Konstrukce Antén

Návrh a Konstrukce Antén Návrh a Konstrukce Antén A0M17NKA Antény pro RFID a wearable ( nositelné ) antény Milan Švanda ČVUT v Praze, FEL B2: 634 milan.svanda@fel.cvut.cz zima 2011/12 1 Osnova Úvod o Trocha historie o Co je RFID

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

POPIS VYNÁLEZU K AUTORSKÉMU OSVĚDČENÍ. (Bl) (И) ČESKOSLOVENSKA SOCIALISTICKÁ REPUBLIKA ( 1S ) (SI) Int Cl* G 21 G 4/08

POPIS VYNÁLEZU K AUTORSKÉMU OSVĚDČENÍ. (Bl) (И) ČESKOSLOVENSKA SOCIALISTICKÁ REPUBLIKA ( 1S ) (SI) Int Cl* G 21 G 4/08 ČESKOSLOVENSKA SOCIALISTICKÁ REPUBLIKA ( 1S ) POPIS VYNÁLEZU K AUTORSKÉMU OSVĚDČENÍ 262470 (И) (Bl) (22) přihláženo 25 04 87 (21) PV 2926-87.V (SI) Int Cl* G 21 G 4/08 ÚFTAD PRO VYNÁLEZY A OBJEVY (40)

Více

Převodníky AC / DC signálů Galvanické oddělovače Napájecí zdroje Zobrazovače

Převodníky AC / DC signálů Galvanické oddělovače Napájecí zdroje Zobrazovače Převodníky AC / DC signálů Galvanické oddělovače Napájecí zdroje Zobrazovače 48,1,2,47,4 6,3,4,4 5,44,5,6,43,42, 7,8,41,4 0,9,10, 39,38,1 1,12,37, 36,13,1 4,35,34,15,16, 33,32,1 7,18,31, 30,19,2 0,29,28,21,22,

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Rozdělení transformátorů

Rozdělení transformátorů Rozdělení transformátorů Druh transformátoru Spojovací Pojízdné Ohřívací Pecové Svařovací Obloukové Rozmrazovací Natáčivé Spouštěcí Nevýbušné Oddělovací/Izolační Bezpečnostní Usměrňovačové Trakční Lokomotivní

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu.

3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu. Pracovní úkoly. Změřte účiník: a) rezistoru, b) kondenzátoru C = 0 µf) c) cívky. Určete chybu měření. Diskutujte shodu výsledků s teoretickými hodnotami pro ideální prvky. Pro cívku vypočtěte indukčnost

Více

1 Jednoduchý reflexní přijímač pro střední vlny

1 Jednoduchý reflexní přijímač pro střední vlny 1 Jednoduchý reflexní přijímač pro střední vlny Popsaný přijímač slouží k poslechu rozhlasových stanic v pásmu středních vln. Přijímač je napájen z USB portu počítače přijímaný signál je pak připojen na

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr.

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. . cvičení Klopení nosníků Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. Ilustrace klopení Obr. Ohýbaný prut a tvar jeho ztráty

Více

SMART transformátor proudu PTD s děleným jádrem

SMART transformátor proudu PTD s děleným jádrem SMART transformátor proudu PTD s děleným jádrem Měřící Energetické Aparáty, a.s. 664 31 Česká 390 Česká republika Měřící Energetické Aparáty SMART transformátor proudu PTD s děleným jádrem 1/ Účel a použití

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Maturitní témata fyzika

Maturitní témata fyzika Maturitní témata fyzika 1. Kinematika pohybů hmotného bodu - mechanický pohyb a jeho sledování, trajektorie, dráha - rychlost hmotného bodu - rovnoměrný pohyb - zrychlení hmotného bodu - rovnoměrně zrychlený

Více

Otázka 22(42) Přístroje pro měření signálů, metody pro měření v časové a frekvenční doméně. Přístroje

Otázka 22(42) Přístroje pro měření signálů, metody pro měření v časové a frekvenční doméně. Přístroje Otázka 22(42) Přístroje pro měření signálů, metody pro měření v časové a frekvenční doméně Rozmanitost signálů v komunikační technice způsobuje, že rozdělení měřicích metod není jednoduché a jednoznačné.

Více

Mění se indukčnost na feritových toroidech s kmitočtem?

Mění se indukčnost na feritových toroidech s kmitočtem? Tento článek vyšel v Ra 5/2003 ok1ayy 23.11.2006 Mění se indukčnost na feritových toroidech s kmitočtem? Ano, a to tím více, čím nízkofrekvenčnější feritový materiál na KV použijeme. Indukčnost často měříme

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Magnetizmus. Název: Autor:

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Magnetizmus. Název: Autor: Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Název: Téma: Autor: Číslo: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Magnetizmus Indukční zákon Ing. Radovan Hartmann

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

Poř. č. Příjmení a jméno Třída Skupina Školní rok 2 BARTEK Tomáš S3 1 2009/10

Poř. č. Příjmení a jméno Třída Skupina Školní rok 2 BARTEK Tomáš S3 1 2009/10 Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola elektrotechnická Božetěchova 3, Olomouc Laboratoře elektrotechnických měření Název úlohy MĚŘENÍ CHARAKTERISTIK REZONANČNÍCH OBVODŮ Číslo úlohy 301-3R Zadání

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Nukleární Overhauserův efekt (NOE)

Nukleární Overhauserův efekt (NOE) Nukleární Overhauserův efekt (NOE) NOE je důsledek dipolární interakce mezi dvěma jádry. Vzniká přímou interakcí volně přes prostor, tudíž není ovlivněn chemickými vazbami jako nepřímá spin-spinová interakce.

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Elektrotechnika. Bc. Mgr. Roman Hodslavský. Elektronická učebnice

Elektrotechnika. Bc. Mgr. Roman Hodslavský. Elektronická učebnice Elektrotechnika Elektronická učebnice Bc. Mgr. Roman Hodslavský Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ..07/..07/03.007 Tvorba elektronických učebnic O B S A H Přehled fyzikálních veličin a symbolů...

Více

Impedanční spektroskopie

Impedanční spektroskopie Tento dokument je na internetu na adrese: http://ufmt.vscht.cz (Elektronické pomůcky) Celý návod bude rovněž k dispozici ve vytištěné formě v laboratoři, VŠCHT Praha Impedanční spektroskopie Návod k laboratorní

Více

Tabulace učebního plánu. Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika. Ročník: I.ročník - kvinta

Tabulace učebního plánu. Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika. Ročník: I.ročník - kvinta Tabulace učebního plánu Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět : Fyzika Ročník: I.ročník - kvinta Fyzikální veličiny a jejich měření Fyzikální veličiny a jejich měření Soustava fyzikálních veličin a jednotek

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více