Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice II

Transkript

1 Slvní úlhy veucí na lineární rvnice II Přepklay: 2210 Př. 1: Otec s ceru šli na výlet. Otcův krk měří 80 cm, cera je ještě malá a jeen krk má luhý puze 50 cm. Jak luhý byl výlet, kyž cera ušla tři tisíce krků více než tec. Pčet krků tce k Pčet krků cery k Vzálenst, kteru ušli v Otec ušel v = Dcera ušla v = ( k ) = ( k ) = k ,3k = k = = 5000 Otec ušel 5000 krků. 0,3 v = = 0, = 4000 Výlet byl luhý 4000 m. Peaggická pznámka: Nejčastější chyba je uveena v násleujícím příklau jak b a). Někteří stuenti spčítají puze pčet krků a zapmenu z něj vypčítat ušlu vzálenst. Př. 2: Násleující rvnice jsu neúspěšnými pkusy vyřešení přechzíh příklau. Pkus se je interpretvat a prav chyby, které se v nich vyskytují. a) 3000 k = k = + b) ( ) + + = ) 0,8 + ( ) = c) k 3000 v e) = k k v a) = k Pkus je pbný výše pužitému řešení. Výrazy a k mají význam vzálenstí (élka krku * pčet krků) a nemůžeme je sčítat s krky správně = k. b) = ( k ) Opět pkus klasické řešení, prvnáním vzálensti, kteru ušel tec a cera. Chyba vznikla asi snahu uělat va krky najenu. Správně: = 0, 5k (tec ušel stejně jak cera) ( k ) = (cera uělala 3000 krků víc) c) + k = v 1

2 Něklik chyb: Opět se sčítá vzálenst s krky jak v prvním přípaě. Navíc rvnice neppisuje realitu, vzálenst, kteru výletníci, ušli pčítá jak sučet vzálensti, kteru ušel tec, a vzálensti, kteru ušla cera (nesmysl), ke které navíc přičítá pčet krků. Spíše než pkus lgické vyřešení příklau, je sestavení libvlné rvnice, která bsahuje všechny úaje ze zaání. + k = v ) Dbře napsaná rvnice ppisující špatný přepkla: vzálenst ušlá tcem + vzálenst ušlá ceru = élka výletu. Správná úvaha: vzálenst ušlá tcem = vzálenst ušlá ceru = élka výletu. = k = v e) = Zajímavý nápa, umžňuje určit rvnu élku výletu. v v Výraz určuje pčet krků, které ušel tec,výraz pčet krků cery v rvnici 0,8 nemůže vystupvat výraz 3000 (vzálenst ušlá ceru při 3000 krcích), musí tam být puze pčet 3000 krků. Vztah mezi pčtem krků tce a cery je brácený: k = k =. Peaggická pznámka: Přechzí příkla má svůj význam. Právě fakt, že stuenti sestavují rvnice zcela trženě jakéhkliýznamu a bez jakékliv kntrly, vee k tmu, že slvní úlhy řešit neumějí. Snažím se je vést k tmu, že nejůležitější je sestavvat rvnice ple reality a umět zkntrlvat význam kažéh výrazu v nich. Dalším vítkem je v pstatě fyzikální pravil, že sčítat je mžné puze stejné věci (vzálensti mezi sebu, krky mezi sebu, ale ne bjí hrmay). Př. 3: Nába na 30 litrů vy se má naplnit vu tepltě 30 C. Klik litrů vy tepltě 80 C a klik litrů vy tepltě 20 C se musí smíchat? Mnžství vy tepltě 80 C t Mnžství vy tepltě 20 C s Va 80 C + va 20 C = va v nábě: t + s = 30 t = 30 s. Tepl ve vě 80 C + tepl ve vě 20 C = tepl ve vě va 30 C: 80t + 20s = s + 20s = = 80s 20s 1500 = 60s s = 25 Pčet litrů vy tepltě 80 C : t + 25 = 30 t = 5. Bue třeba 5 litrů 80 C a 25 litrů 20 C vy. Peaggická pznámka: Přechzí příkla a všechny zbývající v tét hině, jsu pstaveny na tm, že sleujeme mnžství něčeh, c zůstává p celu bu stejné ( tepla v přechzím příklau, čistých kyselin v násleujících). T je lgický pstup a snažím se h stuentům přeat. 2

3 Napak bjuji prti pužívání směšvacích rvnic neb křížvých praviel. Oblast jejich pužití je z hleiska typlgie příklaů malá (i kyž tam spaá většina chemických aplikací), příns z hleiska lgickéh přemýšlení neb schpnsti řešit slvní úlhy nulvý (neb spíš pbně jak u vzrců pr prcenta záprný, nebť sugerují stuentům přestavu, že je správně něc pčítat a nevěět prč). Nejčastější chyba 80t + 20s = 30 - pět stačí pukázat, že srvnávat a sčítat můžeme puze stejné věci. Př. 4: Smícháním 6 litrů 50% kyseliny ctvé a 3 litrů 8% kyseliny ctvé vznikl nvý rztk tét kyseliny. Urči jeh kncentraci. Kncentrace výslenéh rztku x Čistá kyselina v 1. rztku + čistá kyselina v 2. rztku = čistá kyselina ve výsleném rztku: , 08 = 9x 3 + 0, 24 = 9x 3, 24 = 9x x = 0,36 Výslený rztk má kncentraci 36%. Peaggická pznámka: Opět nejčastější chyba , 08 = x. Je třeba trvat na tm, aby rvnice měla význam. Př. 5: Klik kg 96% rztku kyseliny sírvé musíme přilít k 9 kg 8% rztku tét kyseliny, abychm stali její 60% rztk? Hmtnst přilévanéh 96% rztku... k Hmtnst výslenéh 60% rztku v Hmtnst 96% rztku + hmtnst 8% rztku = hmtnst výslenéh 60% rztku: k + 9 = v. Čistá kyselina v 96% rztku + čistá kyselina v 8% rztku = čistá kyselina ve výsleném 60 % rztku: + 9 0, 08 = 0, 6v. Dsaíme za v ruhé rvnice: + 9 0,08 = 0,6 9 + k + 0,72 = 5,4 + 0,6k 0,6k = 5, 4 0,72 0,36k = 4, 68 k = 13 Je třeba přilít 13kg 96% rztku kyseliny sírvé. Peaggická pznámka: Většina stuentů sestaví ihne rvnici 9 0,08 0,6( 9 k ) cž je samzřejmě v přáku. + = +, Př. 6: Klika gramy vy musíme zřeit 300g 40% kyseliny usičné, aby zřeěná kyselina měla kncentraci 15%? Mnžství přilité vy v 3

4 Mnžství výslenéh rztku r Hmtnst 30% rztku + hmtnst vy = hmtnst výslenéh rztku: v = r. Čistá kyselina v 30% rztku + čistá kyselina ve vě (0% rztk) = čistá kyselina ve 0, v = 0, v. výsleném 15 % rztku: = ,15v 0,15v = 75 v = 500 Příkla můžeme také řešit přes bsah čisté vy: 40% rztk kyseliny ve vě = 60% rztk vy v kyselině 15% rztk kyseliny ve vě = 85% rztk vy v kyselině Čistá va v 30% rztku + čistá va ve vě (100% rztk) = čistá va ve výsleném , 6 + v = 0,85 v % rztku: v = 0,85v v 0,85v = ,15v = 75 v = 500 Kyselinu musíme zřeit 500g vy. Peaggická pznámka: Nejčastější chyba vypaá takt: 0, v 0,15( 300 v) + = + - rvnice pr 100% čistu kyselinu se přiá va. Vysvětlujeme si, že je pět sčítání různých věcí hrmay. Př. 7: V mlékárně vyrábějí pltučné mlék (s bsahem 1,5% tuku) tak, že z tučnéh mléka (s bsahem 4% tuku) střeěním část tuku eberu. Z klika kilgramů tučnéh mléka vyrbí 1 tunu mléka pltučnéh? Hmtnst tučnéh mléka x Prtže mnžství tuku se během tučnění změní (část h eberu), nemůžeme příkla pčítat přes zachvání mnžství tuku. Vyjeme ze zachvání mnžství čistéh mléka bez tuku. Kncentrace čistéh mléka v tučném mléku: 1 0,04 = 0,96. Kncentrace čistéh mléka v pltučném mléku: 1 0,015 = 0,985. Čisté mlék pře střeěním = čisté mlék p střeění: 0,96x = 0, ,96x = 985 x = 1026 Z 1026 kg tučnéh mléka vyrbí v mlékárně 1000 kg mléka pltučnéh. Peaggická pznámka: Ke správnému řešení se stuenti stanu puze přes vě překážky: Musí si uvěmit, že nemhu pužít na sestavvání rvnice tuk, prtže se mění jeh mnžství. Musí si uvěmit, že p celu bu zůstává stejné mnžství čistéh (tučněnéh mléka). 4

5 Př. 8: Petákvá: strana 19/cvičení 55 strana 19/cvičení 56 strana 19/cvičení 57 Shrnutí: Při řešení slvních úlh na smíchávání vycházíme z th, že se mnžství něčeh zachvává. 5