SIMULACE A MODELOVÁNÍ HYDRAULICKÝCH SYSTÉMŮ

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA fkult strojní ktedr hydromechniky hydrulických zřízení SIMULACE A MODELOVÁNÍ HYDRAULICKÝCH SYSTÉMŮ doc. RNDr. Mild Kozubková, CSc. 9 Ostrv

2 Obsh OBSAH.... MODELOVÁNÍ A IDENTIFIKACE TEORIE MODELOVÁNÍ TVORBA MATEMATICKÉHO MODELU ELEKTRICKÁ ANALOGIE HYDRAULICKÝCH ODPORŮ ŘAZENÍ ODPORŮ R, L, C METODY ŘEŠENÍ HYDRAULICKÝCH OBVODŮ.... PROGRAMY PRO ŘEŠENÍ HYDRAULICKÉHO OBVODU FLOWMASTER MATLAB SIMHYDRAULICS STATICKÉ CHARAKTERISTIKY HYDRAULICKÝCH SYSTÉMŮ ODPOR PROTI POHYBU VÝPOČET TLAKOVÉHO SPÁDU VÝPOČET STATICKÉ CHARAKTERISTIKY VÝPOČET ROZVĚTVENÉ NEBO OKRUHOVANÉ SÍTĚ DYNAMICKÉ ODPORY HYDRAULICKÝCH PRVKŮ V SIMHYDRAULICS ODPOR PROTI ZRYCHLENÍ ODPOR PROTI DEFORMACI A HYDRAULICKÁ KAPACITA ZNAČENÍ HYDRAULICKÝCH ODPORŮ ČASOVÉ KONSTANTY MATEMATICKÝ MODEL SLOUPCE KAPALINY R-(L+C) ČLÁNEK (TZV. T ČLÁNEK) R-L ČLÁNEK C+(R-L) - LČLÁNEK SYMETRICKÝ T ČLÁNEK π ČLÁNEK SEGMENTOVANÉ POTRUBÍ SROVNÁNÍ ŘEŠENÍ PRO RŮZNÉ TYPY MODELŮ RYCHLOST ZVUKU V POTRUBÍ... 7

3 6. LAPLACEOVA A FOURIEROVA TRANSFORMACE, PŘENOSY LAPLACEOVA TRANSFORMACE SPOJITÉ FUNKCE PŘENOS SYSTÉMU POZNÁMKY K POČÁTEČNÍM PODMÍNKÁM STABILITA SYSTÉMU FYZIKÁLNÍ VÝZNAM PŘENOSŮ VYŠŠÍCH ŘÁDŮ A JEJICH PARAMETRŮ FOURIEROVA TRANSFORMACE SPOJITÝCH SIGNÁLŮ FREKVENČNÍ ANALÝZA V SIMHYDRAULICS HYDRAULICKÝ RÁZ EXPERIMENTÁLNÍ ZKOUMÁNÍ HYDRAULICKÉHO RÁZU VE VODĚ ŘEŠENÍ METODOU ELEKTROHYDRAULICKÉ ANALOGIE PŘENOS HYDRAULICKÝ AKUMULÁTOR VÝZNAM AKUMULÁTORU ODPORY HYDRAULICKÉHO PLYNOVÉHO AKUMULÁTORU MATEMATICKÝ MODEL HYDRAULICKÉHO PLYNOVÉHO AKUMULÁTORU PŘENOS PARALELNÍ ZAPOJENÍ AKUMULÁTORU V OBVODU VAZBA MEZI PŘENOSEM SÉRIOVĚ A PARALELNĚ ZAPOJENÝCH R,L,C PRVKŮ DYNAMICKÉ KONSTANTY NĚKTERÝCH AKUMULÁTORŮ PRVKY S PŘEVAŽUJÍCÍ KAPACITOU ROTAČNÍ HYDROGENERÁTOR TEORETICKÝ ROZBOR MATEMATICKÝ MODEL HYDROGENERÁTORU SOUČINITELE STATICKÝCH PRŮTOKOVÝCH A MOMENTOVÝCH CHARAKTERISTIK HYDROSTATICKÝCH ČERPADEL ZÁKLADNÍ PARAMETRY ČERPADEL CHARAKTERISTIKA ČERPADLA ODSTŘEDIVÉ ČERPADLO V SIMHYDRAULICS ŘÍDICÍ PRVKY LITERATURA: LINEARIZACE ODPORU PROTI POHYBU U DYNAMICKÝCH ÚLOH

4 . Modelování identifikce. Teorie modelování Teorie modelování spočívá v sestvení modelů s uvžováním dynmiky, přitom přístupy mohou být následující mtemtické modely experimentální modely Strší velmi dobře proprcovnou metodou je metod fyzikálního modelování, zložená n experimentální práci v hydrulické lbortoři, což je velmi význmnou složkou výzkumné práce. Zkoumjí se modely nejrůznějších strojů zřízení, by se poznly jejich zákldní vlstnosti nebo zjistily oprvily vdy, ověřují se teoretické předpokldy návrhu či projektu velmi čsto se pokusně zjišťují vzájemné závislosti zúčstněných veličin. Výsledky získné n modelu se pk plikují n skutečné zřízení, tzv. dílo. Prozkoumání jevu n modelu umožňuje tké zvést oprvné součinitele do teoreticky odvozených rovnic, jejichž řešení bylo zložené n zjednodušujících předpokldech (by se mtemtické řešení usndnilo nebo zjednodušilo), které se všk od skutečných poměrů částečně odchylují. V některých složitých přípdech, které nejsou dosud teoreticky řešitelné, se experimentem získávjí pro prxi potřebné vzthy veličin. Řdu jevů nelze le fyzikálně postihnout modelem. Týká se to především řešení přenosu tepl, zvláště typického vysokými teplotmi. Proto se v součsné době rozvíjí mtemtické modelování, resp. mtemticko-fyzikální modelování, které je zloženo n plikci fyzikálních zákonů, pomocí kterých lze vytvořit mtemtické modely mechnických, hydrulických, pneumtických, elektrických tepelných systémů. Dílo Fyzikální model křídl s odběry tlku Detil 4

5 Mtemtický model křídl s sítí Rozložení tlku obr.. Dílo, fyzikální model, mtemtický model Experimentální identifikce je postup, kdy n zákldě měření význčných veličin se odhdne chování systému n zákldě zkušeností identifikčních metod se definuje mtemtický model. Simulce slouží ke zkoumání dynmických vlstností soustvy, což zprvidl vede ž ke zjištění čsových průběhů řešených veličin. Simulce spočívá ve vytvoření simulčního modelu, který tvoří mtemtický model - lgebrické rovnice diferenciální rovnice obyčejné diferenciální rovnice prciální Řešení mtemtického modelu je možné následovně nlyticky exktně, užití Lplceovy trnsformce pro linerizovné přípdy numericky nlogové, číslicové (Eulerov metod, Runge-Kutt, metod chrkteristik, obecná diferenční metod) 5

6 K simulci je možno využít obecných progrmovcích jzyků nebo komerčně vytvořených progrmových blíků: obecné - Pscl, Fortrn, Mthcd, Mtlb, Dynst, Sipro speciální - Simul, Simet, Hyvos, Flowmster. Mtlb-SimHydrulics Mtemtické modelování je rychlejší, levnější, umožňuje prověřit řdu vrint z různých počátečních podmínek, le předpokládá se v co největší míře ověřování s experimentem.. Tvorb mtemtického modelu Při tvorbě mtemtického modelu se zkoumný prvek rozkládá n jednodušší části, které jsou schopné smosttné dílčí činnosti umožňují popis zákldními rovnicemi. Tk npř. u hydrogenerátoru jsou to těsnicí mezery, třecí plochy, pohybující se hmotnosti pod. Průtoky, tření, setrvčné síly pod. se djí vyjádřit zákldními rovnicemi, známými z mechniky proudění. Soustv všech rovnic tvoří pk mtemtický model prvku či soustvy. Soustv rovnic obshuje lgebrické i diferenciální rovnice. Tento postup při tvorbě mtemtického modelu lze plikovt n různé systémy, to mimo tekutinové též n elektrické, mechnické, tepelné pod. Porovnávjí-li se soustvy rovnic různých systémů, dochází se k pozntku, že mtemtický popis (model) je v mnoh přípdech kvlittivně shodný. To vede k upltnění pozntků z jednoho oboru v druhém, což se před několik lety uskutečnilo při řešení dynmiky tekutinových mechnismů, kdy se využily pozntky z teorie elektrických obvodů. Řešení hydrulických problémů spočívlo v nlezení nlogických hydrulických veličin, které odpovídjí elektrickým veličinám, jko jsou npř. pro psivní členy ohmický odpor, indukčnost kpcit. Těm v hydrulice odpovídjí odpory proti pohybu, zrychlení deformci. N zákldě elektrické nlogie se zčl intenzivně rozvíjet dynmik tekutinových mechnismů. Přenos energie u hydrulických, pneumtických, mechnických, tepelných elektrických systémů je chrkterizován dvojicemi prmetrů, které se mohou měnit v čse přípdně v prostoru. Jsou to: tlk p průtok u tekutinových mechnismů síl F rychlost v u mechnických zřízení s přímočrým pohybem moment M úhlová rychlost ω (přípdně otáčky n nebo frekvence f ) u mechnických zřízení s rotčním pohybem npětí U proud i u elektrických obvodů Pro tekutinové mechnismy se plikují zákldní zákony, které jsou běžné v mechnice pevných tekutých látek (Newton, Euler), podobně v elektrotechnice pltí obdobné zákony (Kirchhoff Mxwel). V elektrickém obvodu vystupují tři zákldní psivní prvky, to odpor, cívk kondenzátor. Neelektrické systémy se djí tk rozložit n zákldní prvky nlogické elektrickému odporu, kondenzátoru cívce. Jejich různorodým zpojením vznikjí obvody - systémy. Mtemtický model systémů se pk odvodí ze zákldních rovnic pro uvedené tři elektrické prvky jejich zpojení v obvodu. S omezením n přípdy, kdy původní systém se nhrzuje soustředěnými Iineárními prvky, 6

7 mohou se zvést komplementámí proměnné v podobě intenzivní veličiny I ( t ) extenzivní veličiny E ( t ). N elementu v systému je pk vyjádřen vzth mezi intenzivní extenzivní veličinou rovnicemi de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t ) I t R. E t, I t E t, I t L E( t ) I( t) (..) C V těchto rovnicích vystupují veličiny R, C, L předstvující v elektrických obvodech ohmický odpor, kpcitu indukčnost, pokud intenzivní veličinou je npětí U ( t ), tj. ( t ) U( t) E ( t ) je elektrický proud i ( t ), tj. ( t ) i( t) L I extenzivní veličinou E. Anlogie mezi elektrickými, mechnickými, hydrulickými, pneumtickými tepelnými systémy je vyjádřen v Tb... Tb.. Systém elektrický Veličin mechnický trnslční mechnický rotční intenzivní I ( t ) npětí U síl F moment M extenzivní E ( t ) proud i rychlost v úhlová rychlost ω odpor I R E ( t ) ( t ) odpor ohmický R tlumení b tlumení b I kpcit ( t ) E( t ) ( ) ( ) indukčnost E t I t C L kpcit C konstnt pružiny C m c konstnt pružiny C m c ϕ indukčnost L hmotnost L m m moment setrvčnosti L m J hydrulický pneumtický tepelný tlk p tlk p teplotní rozdíl T průtok průtok hmotnostní m tepelný tok odpor třecí 8ηl R H π 4 r odpor třecí 8ηl R P π 4 r odpor vedení R T λ S přestup R T α S ohřev, ohlzení R T c hydrulická kpcit V C H K pneumtická kpcit m C P p V RT tepelná kpcit C T mc odpor proti zrychlení m L H S odpor proti zrychlení L P V S neexistuje 7

8 .3 Elektrická nlogie hydrulických odporů Elektrohydrulická nlogie umožňuje zkoumt hydrulické prvky, jejich skupiny systémy pomocí elektrických obvodů, jejichž přechodové vlstnosti jsou srovntelné. Při plikci elektrohydrulické nlogie je třeb splnit tyto předpokldy: ze zpojení hydrulických prvků v systému se musí odvodit zpojení prvků elektrického obvodu musí být známy fyzikální veličiny v hydrulickém systému nlogické elektrické veličiny je nutno z nich určit. V prxi se téměř výlučně používá nlogie: elelktrické npětí U - tlk p elektrický proud i - průtok. N zákldě uvedené nlogie hydrulických veličin ( p, ) elektrických veličin ( i ) definovány odpory: Hydrulický odpor proti pohybu R H ( p) d d tedy d( p) R d předstvuje odpory třením místní při proudění kpliny. Hydrulická indukčnost p L H tedy p L d 8 U, jsou U du H R (.3.) i di H d U L (.3.) di která předstvuje odpor proti zrychlení. Z hledisk mechniky jde o vliv setrvčnosti hmoty. Hydrulická kpcit deformce C H d p tedy C p d H p C i C (.3.3) du předstvuje převrácenou hodnotu odporu proti deformci (kpliny, plynu, potrubí, pružiny pod.). D H Poznámk: d p d p d V Elektrohydrulická nlogie (.3.4) U p, i má výhodu v tom, že se v obou systémech řdí odpory stejně, tj. prlelnímu řzení odporů v elektrickém obvodu odpovídá prlelní řzení odporů v hydrulickém obvodu. Nepřesnost je v nlogii elektromotoru hydrogenerátoru. Elektromotor prcuje při U konst. mění se proud i, ztímco hydrogenerátor prcuje při průtoku konstntním, tj.

9 konst. mění se tlk p. Z tohoto porovnání vyplývá nepřímá nlogie U p i. Toto všk má nevýhodu v tom, že prlelnímu řzení odporů v hydrulickém obvodu odpovídá sériové řzení odporů v elektrickém obvodě..4 Řzení odporů R, L, C Odpory se mohou řdit prlelně sériově. Při obecném kombinovném řzení odporů, kdy některé odpory jsou řzeny sériově jiné prlelně, se hovoří o odporové síti, jejíž řešení je obsženo v teorii grfů, využívné v elektrotechnice spolu se známými Kirchhoffovými zákony. V hydrulice bude pltit zákon o uzlech zákon o okruzích. Zákon o uzlech (zákon zchování hmotnosti resp. rovnice kontinuity) vyjádřený vzthem n i (.4.) i což je vyjádření rovnice kontinuity, tedy součet průtoků s ohledem n znménko je roven nule. Zákon o okruzích (zákon zchování energie resp. Bernoulliho rovnice) je vyjádřen rovnicí n p i (.4.) i znmená, že součet tlkových spádů n odporech v jednom okruhu je roven nule. n n p () p (n) n p n (m) k () p k- k- n- k (k-) p k (k) p (n-) n- obr.. Bilnce průtoků n i i obr..3 Bilnce tlků p i n i Prvek je čsto chápán jko jediná součástk (odpor, indukčnost, kpcit). Mnohdy je možné výhodné z prvek povžovt útvr vzniklý z mnoh součástek lze hovořit o funkčních blocích, viz tb... 9

10 tb.. Funkční bloky Dvojpóly jedn vstupní jedn výstupní veličin v R p Trojpóly tří vstupní resp. výstupní veličiny 3 Čtyřpóly čtyři vrinty vstupních výstupních veličin v p p v Čtyřpól je nejběžnější kombince dvou vstupních dvou výstupních veličin proto se čtyřpól čsto nzývá dvojbrn (dvě brány - vstupem jsou dvě dvojice)..4. Řzení prvků Dv prvky lze vzájemně propojit prlelně (vedle sebe) seriově (z sebou) Podobně tři prvky lze propojit pěti způsoby

11 Pro větší počet prvků množství různých zpojení vzrůstá. Proto je třeb zvést určitý jednoznčný systém oznčení větví, uzlů prvků. Tímto systémem se zbývá teorie grfů využívjící mticového zápisu. Ve složitějších přípdech se může dojít k soustvám závislých rovnic nebo nedokonle určeným soustvám. Proto se omezíme n obvody složené z dvojpólů resp. čtyřpólů, což umožní bezprostředně využít teorii grfů.

12 . Metody řešení hydrulických obvodů Hydrulické obvody se skládjí z hydrulických prvků potrubního systému. Pokud se zbýváme konstrukcí hydrulických prvků, pk je nutné řešit úplný vícerozměrný systém pohybových rovnic proudění rovnice kontinuity. Výsledkem je rozložení tlků rychlostí resp. průtoků v celé řešené oblsti. Přitom musí být zohledněny okrjové podmínky, které řešení význmně ovlivňují. Klsické hydrulické obvody čsto propojené dlouhými potrubími jsou tímto způsobem neřešitelné z důvodu čsové náročnosti, proto jsou odvozovány jednodušší modely hydrulických potrubí prvků, které svou topologií velmi připomínjí elektrické obvody. Tké jednotlivé prvky vykzují formálně nlogické vlstnosti. Proto se přistupuje k řešení zjednodušených soustv rovnic v nlogii s elektrickými obvody. Toto zjednodušení s sebou přináší le řdu problémů s definicí stlčitelnosti kplin, tření td. Přesto je tto metod zprcovná do řdy komerčních progrmů. Nejkvlitnějším z nich je Flowmster, v součsné době byl vyvinut ndstvb Mtlb Simulinku, tj. SimHydrulics. Výše uvedená soustv rovnic plikovná n hydrulické obvody je řešitelná dvojím způsobem: řešení celého systému rovnic metodou konečných objemů, výsledkem je prostorové rozložení proudových polí, viz obr... obr.. Prostorové řešení proudění ve ventilu kolem škrtící hrny. řešení zjednodušeným přístupem nzývným elektrohydrulická nlogie, což plyne z jisté podobnosti hydrulických elektrických obvodů včetně definování hydrulických odporů proti pohybu, hydrulických indukčností hydrulických kpcit. Sloupec kpliny pk odpovídá elektrickému vedení včetně problemtiky dlouhého vedení. Tedy hydrulické prvky se předpokládjí jko funkce čsu jsou nezávislé n prostorové souřdnici, tj. jednorozměrným modelem proudění sloupce kpliny může být funkcí čsu přípdně nvíc jedné prostorové souřdnice. N obr.. je zobrzeno stcionární řešení hydrulického obvodu, proto jsou vyhodnoceny je ve vybrných bodech číselné hodnoty tlků průtoku.

13 PS S. Kplin f(x) Vypoc. konfigurce A B Prutokomer PS-S m3/s A Potrubi-R B Prutok Idel zdroj prutoku S P T A B P PS S 3.56e+6. Konstnt S PS S-PS m3/s Mnometr PS-S P Tlkovy spd Ndrz obr.. Řešení hydrulického obvodu, zobrzení číselných hodnot ve vybrných bodech obvodu.. Progrmy pro řešení hydrulického obvodu. Flowmster Flowmster je systém užívný širokým okruhem průmyslových odvětví, npříkld v leteckém, lodním utomobilovém průmyslu, pro usndnění zkrácení vývojového procesu termotekutinových systémů. Flowmster je rozdělen do několik podskupin. Jsou to jednotlivě změřené progrmy, které umožňují řešit konkrétní úlohy. Dělí se n kplinové systémy, tepelné systémy, plynové systémy, tekutinové systémy. Poslední jmenovný progrm dokáže komplexní řešení systémové simulce včetně závislosti spojenou s kplinovými, plynovými tepelnými systémy. Je vhodný pro návrh nebo simulci složitých tekutinových systémů. Má rozsáhlou knihovnu komponentů vytvořených n zákldě hodnot získných empiricky výzkumem, viz obr..3. Aby se předešlo chybě, jsou nástroje ndefinovány tk, že není možno propojit nekomptibilní prvky. Je možná vícenásobná simulce grfické znázornění, viz obr..4. Tento interktivní progrm n nlýzu proudění tekutin simuluje jednorozměrné proudění tekutiny přestup tepl ve vedení, rmturách osttních prvcích. Progrm je používán k předpovídání teploty, tlku rychlosti toku ve stálých i přechodových podmínkách v grfickém prostřdí Windows. 3

14 obr..3 Ukázk ikon v progrmu Flowmster Progrmový systém je schopen řešit: simulce tekutinových systému v jkékoliv složitosti, tlky, teploty průtoky systému, ustálený stv, přechodový stv teplotní nlýz, propojení s MATLAB-Simulink pro simulci nlýzu řídících systémů, komptibilit se Simulinkem v úrovni čsových kroků, umožňuje orginální vzorkování kompletních systémů. Flowmster může vykonávt simulci v kombinci s Mtlb Simulink tím je schopen provést detilní nmodelování kompletní tekutiny řídicího systému. Dt z modelu Flowmsteru procházejí modelem Simulinku v kždém čsovém kroku. Simulink poté počítá nový řídicí signál, který je plikován n model Flowmsteru. Tto spolu simulce umožňuje vytvářet virtuální modely celých systémů. 4

15 obr..4 Ukázk obvodu v progrmu Flowmster.3 Mtlb Výpočetní systém MATLAB se během uplynulých let stl celosvětovým stndrdem v oblsti technických výpočtů simulcí nejen ve sféře vědy, výzkumu průmyslu, le i v oblsti vzdělávání. MATLAB poskytuje svým uživtelům nejen mocné grfické výpočetní nástroje, le i rozsáhlé specilizovné knihovny funkcí spolu s výkonným progrmovcím jzykem čtvrté generce. Knihovny jsou svým rozshem využitelné prkticky ve všech oblstech lidské činnosti. Díky své rchitektuře je MATLAB určen zejmén těm, kteří potřebují řešit početně náročné úlohy přitom nechtějí nebo nemjí čs zkoumt mtemtickou podsttu problémů. Více než milion uživtelů po celém světě využívá možnosti jzyk MATLABu, který je mnohem jednodušší než npříkld Fortrn nebo C jzyk který skýtá obrovský potenciál produktivity tvořivosti. Z nejsilnější stránku MATLABu je povžováno mimořádně rychlé výpočetní jádro s optimálními lgoritmy, které jsou prověřeny léty provozu n špičkových prcovištích po celém světě. MATLAB byl implementován n všech význmných pltformách (Windows, Linux, Solris, Mc). Systém MATLAB nbízí: rychlé výpočetní jádro, působivá D 3D grfik, 5

16 konfigurovtelné uživtelské rozhrní Mtlb Desktop, velké množství plikčních knihoven, progrmovcí jzyk 4. generce, objektové progrmování, integrce s jzykem Jv, podpor vícerozměrných polí uživtelsky definovných ových struktur, interktivní nástroje pro tvorbu grfického uživtelského rozhrní, podpor řídkých mtic, interktivní průvodce importem, zvukový vstup výstup, nimce, komunikce s externím přístrojovým vybvením, výpočetní jádro pro progrmy psné ve Fortrnu jzyce C, distribuce nezávislých uživtelských plikcí: překld do jzyk C, runtime, modul, WWW technologie, rozsáhlá tištěná i hypertextová on-line dokumentce. Simulink je progrm pro simulci modelování dynmických systémů, který využívá lgoritmy MATLABu pro numerické řešení nelineárních diferenciálních rovnic. Poskytuje uživteli možnost rychle sndno vytvářet modely dynmických soustv ve formě blokových schémt rovnic. Pomocí Simulinku jeho grfického editoru lze vytvářet modely lineárních, nelineárních, v čse diskrétních nebo spojitých systémů pouhým přesouváním funkčních bloků myší. Simulink nově umožňuje spouštět určité části simulčního schém n zákldě výsledku logické podmínky. Tyto spouštěné povolovné subsystémy umožňují použití progrmu v náročných simulčních experimentech. Smozřejmostí je otevřená rchitektur, která dovoluje uživteli vytvářet si vlstní funkční bloky rozšiřovt již tk bohtou knihovnu Simulinku. Hierrchická struktur modelů umožňuje koncipovt i velmi složité systémy do přehledné soustvy subsystémů prkticky bez omezení počtu bloků, viz obr. 5.. Simulink, stejně jko MATLAB, dovoluje připojovt funkce npsné uživteli v jzyce C. Vynikjící grfické možnosti Simulinku je možné přímo využít k tvorbě dokumentce. Mezi neocenitelné vlstnosti Simulinku ptří nezávislost uživtelského rozhrní n počítčové pltformě. Přenositelnost modelů schémt mezi různými typy počítčů umožňuje vytvářet rozsáhlé modely, které vyždují spolupráci většího kolektivu řešitelů n různých úrovních. Otevřená rchitektur Simulinku vedl ke vzniku knihoven bloků, nzývných blocksety, které rozšiřují zákldní knihovnu bloků Simulinku umožnují použití progrmu v příslušných vědních technických oborech. Knihovny je možné rozšiřovt i o vlstní bloky, vytvořené uživtelem. 6

17 Simscpe rozšiřuje Simulink o nástroje pro modelování simulce tzv. "multi-domin" systémů obshujících propojení mechnických, elektrických hydrulických komponent. Simscpe využívá nový přístup k modelování systémů. Zvádí do simulčních schémt reálné fyzikální veličiny, jko jsou síly, momenty, npětí, proudy, tlky, průtoky td. Podobně jko při montáži reálného systému, vzniká model v Simscpe grfickým propojením bloků, které přímo odpovídjí fyzickým prvkům reálného systému. Bloky se spojují do sítě, ve které spojení mezi elementy odpovídjí přenosům energie v systému. Tento přístup umožňuje systémy modelovt přímo popisem jejich fyzické struktury, odbourává se potřeb odvozování příslušných mtemtických vzthů mezi sledovnými veličinmi. Simscpe tyto vzthy generuje utomticky. Simscpe obshuje následující knihovny bloků: mechnické bloky, elektrické bloky, hydrulické bloky. Tyto bloky umožňují vytvářet uživtelské bloky komplexnějších komponent systému. Využití Simscpe je široké, upltnění njde v utomobilovém průmyslu, letectví, obrně, návrhu průmyslových stvebních strojů podobně SimHydrulics je nový modelovcí nástroj rozšiřující simulční schopnosti Simulinku o modelování simulce hydrulických systémů. Umožňuje modelování tzv. "multi-domin" systémů obshujících propojení hydrulických mechnických komponent s použitím přímé nlogie s reálnými prvky systémů. SimHydrulics využívá nový přístup k modelování systémů. Model vzniká propojením bloků (přímo odpovídjícím fyzickým prvkům skutečných systémů) do sítě, ve které spojení mezi elementy odpovídá přenosům energie v systému. Tento přístup umožňuje systémy modelovt přímo popisem jejich fyzické struktury, odbourává se potřeb odvozování příslušných mtemtických vzthů mezi sledovnými veličinmi. SimHydrulics společně s produkty SimMechnics, SimDriveline SimPowerSystems umožňuje modelování složitých jevů ve vzájemně propojených hydromechnických hydroelektrických systémech. SimMechnics je dlší z řdy tzv. "multi-domin" modelovcích nástrojů, které rozšiřují simulční schopnosti Simulinku z obecné roviny bstrktních signálových toků do oblsti reálných fyzikálních veličin jko jsou síly, momenty pohyby. Dovoluje modelovt složité mechnické soustvy, které jsou součástí většiny reálných zřízení, jko jsou výrobní stvební stroje, utomobily, letdl, lékřské přístroje podobně. 7

18 SimElectronics rozšiřuje Simscpe o nástroje pro modelování simulci elektrických elektomechnických systémů. SimElectronic zhrnuje nlogové elekronické elekromechnické komponenty jko fyzické sítě v multidomin modelovém systému. Poskytuje polovodič, motor, pohon, snímč, kční (regulátory) komponenty stejně jko stvební bloky, které umožňují tvorbu vlstních podsystémů..4 SimHydrulics Progrm Simulink progrmový systém Simscpe - SimHydrulics jsou nástvbou známého softwru MATLAB. S jejich pomocí je uživtel schopen rychle poměrně přesně simulovt děj, který se odehrává v dném hydrulickém obvodu. Mezi dlší nástroje SimScpe ptří kromě SimHydrulics tké SimMechnics, SimDriveline SimPowerSystems (všechno je dostupné odděleně). To umožňuje popst kombinovné systémy obshující hydrulické mechnické součásti uživtel je schopen modelovt komplexně vzájemné působení v hydromechnických hydroelektrických systémech. Simulink je systém, který umožňuje modelovt hydrulické systémy tk, jko by se vytvářely nejdříve konstnty chrkterizující kplinu, hydrulický prvek, odpory, dále lgebrické diferenciální rovnice pro řešení dle mtemtického předpisu. Dále se zdávjí prvky umožňující grfické vyhodnocení. V SimHydrulics se modelují systémy právě tk, jko by se sestvovly reálné hydrulické obvody. Symboly použité v modelu jsou zloženy n normě ISO 9 stndrdních silových kplin. Z modelu, který se velice podobá hydrulickému schémtu, SimHydrulics utomticky vykonstruuje rovnice chrkterizující chování prvků utomticky je propojí do systému. Knihovny SimHydrulics poskytují více než 45 modelů hydrulických mechnických komponent, včetně modelů pro hydrogenerátory, hydromotory, kumulátory, ventily hydrulické vedení. Je možné kombinovt jednotlivé bloky z knihovny SimHydrulics vytvořit tk vlstní uživtelský blok, který se pk jko u Simulinku zhrne do subsystému prmetrizuje. Progrm umožňuje: simulci systému, který chceme nlyzovt, nlyzovt průběhy poždovných veličin, sndno modifikovt již nvržený systém, vytvářet uživtelské bloky, kombinovt hydrulické prvky s prvky mechnickými elektrickými. 8

19 SimHydrulics jko jko ndstvb Simulinku se spouští v mtlbovském okně, viz obr..5. Nedříve se nství prcovní dresář (modře oznčené okno) následně se spustí Simulink ikonou (červeně oznčené okno). obr..5 Spuštění Simulinku 9

20 Po spuštění Simulinku se objeví nbídk zákldního menu, kde je možno sledovt v podnbídce Simulink zákldní skupiny bloků, jejichž názvy jsou vypovídjící. Nejčstěji používné bloky budou - Commonly Used Blocks (čsto užívné bloky) - Continuous (spojité funkce) - Mth Opertions (mtemtické operce) - Subsystems (podsystémy) - Signl Routing (vstupní signály) - Sinks (prvky zobrzení) - Sources (zdroje) - User Defined Functions (uživtelem definovné funkce) obr..6 Menu Simulinku Po stručném seznámení se s obshem jednotlivých bloků Helpem je uživtel schopen ndefinovt zákldní vstupní vytvořit lgebrický vzth pro definici všech hydrulických odporů následně vytvořit chrkteristiku. Okno pro vytváření nových schémt se otevře pomocí příkzu z roletového menu File Nové okno, viz obr..6. Seství se schém úlohy pomocí prvků, které jsou v progrmu k dispozici tk, by co nejvíce odpovídlo skutečnému experimentálnímu obvodu. Jednotlivé prvky se vloží do schémtu obvodu, propojí se črmi, které symbolizují přenos výkonu nebo informce. Bloky mjí různé vstupy resp. výstupy, jko je vstup A bezrozměrný signál, vstup B fyzikální signál hydrulický vstup C.

21 obr..7 Připojování bloků Pomocí prvého tlčítk myši lze oznčené prvky (včetně vedení) kopírovt. Prmetry jednotlivých prvků se nství v tbulkách, které se zobrzí po dvojím kliknutí myší n dný prvek. Prvky v SimHydrulics Proudění v kždém hydrulickém obvodu je dáno pro určitou kplinu, bude tto se svými vlstnostmi vložen do obvodu. Hydrulická kplin (Custom Hydrulic Fluid) uvádí vlstnosti kpliny pro jednotlivé smyčky obvodu. Kždá smyčk v systému je připojen jen k jednomu bloku hydrulického oleje. (Simulink/Simscpe/Fouion librry/hydrulic/hydrulic utilities/custom fluid) tb.. Prmetry pro definování kpliny Fluid density Hustot kg.m -3 Kinemtic viscosity Kinemtická viskozit. m.s - Bulk modulus Modul pružnosti. 9 P Reltive mount of trpped ir Rel. množství obsženého vzduchu. -

22 obr..8 Definování prmetrů hydrulické kpliny Kplin je do obvodu doprvován čerpdlem nebo jiným způsobem Tyto vrinty budou diskutovány později. Proto bude nyní zjednodušeně definován pouze fiktivně zdroj kpliny bez udání způsobu, jk byl získán. Dále jsou definovány dlší nezbytné prvky, které budou užitečné pro určení chrkteristiky potrubí. Zdroj průtoku (Idel Hydrulic Flow Rte Source) slouží jko náhrd hydrogenerátoru. Je v simulci použit z důvodu zjednodušení nlýzy. Jedná se o ustálený zdroj průtoku. Hodnot průtoku je dán konstntou. (Simulink/Simscpe/Fouion librry/hydrulic/hydrulic sensors nd sources/ Idel Hydrulic Flow Rte Source). Konstnt Konstnt (Constnt) umožní vklá číselnou hodnotu, lze vložit tké vektor do hrntých závorek, přitom jednotlivé složky vektoru jsou odděleny mezerou. Hodnot průtoku je tedy vložen tímto prvkem (Simulink/Commonly Used Blocks/Constnt) Nádrž (Hydrulic Reference) je prvek, který v hydrulickém obvodu plní funkci zásobníku kpliny pro prcovní mechnismus předstvuje připojení k tmosféře. Má jeden hydrulický vstup. (Simulink/Simscpe/Fouion librry/hydrulic/hydrulic elements/ Hydrulic Reference) Potrubí (Resistive Tube) je blok pro definici odporu proti pohybu při proudění v potrubí, přitom zohledňuje i nekruhové průřezy potrubí. Je možno při tké ekvivlentní délku pro přípd, že se v potrubí vykytují místní ztráty.

23 tb.. Prmetry pro definování odporového potrubí Pipe internl dimeter Vnitřní průměr potrubí, m Pipe length Délk potrubí 5 m Aggregte eguivlent length of Ekvivlentní délk locl resistnces místních ztrát m Internl surfce roughness height Drsnost vnitřního povrchu m Lminr flow upper mrgin Horní lminární hrnice. 3 Turbulent flow lower mrgin Dolní turbulentní hrnice 4. 3 Odpor proti pohybu je počítán dle výše definovné závislosti liší se pro lminární turbulentní proudění. V této souvislosti je tké určen součinitel tření dle vrinty Colebrook-White. 3

24 Pro vyhodnocení hydrulických veličin se používjí tlkoměry průtokoměry, které se i s tímto názvem definují v SimHydrulics. Pro konverzi bezrozměrných veličin n fyzikální veličiny nopk se používjí tzv. měniče, protože některé vyhodnocovcí prvky nejsou schopny využívt fyzikální veličiny. Průtokoměr (Idel Hydrulic Flow Rte Sensor) je ideální průtokový snímč, přeměňuje průtok kpliny nměřený mezi dvěm výstupy n fyzikální signál. (Simulink/Simscpe/Fouion librry/ Hydrulic/Hydrulic sensors nd sources/ Idel Hydrulic Flow rte sensor) Mnometr (Idel Hydrulic Pressure Sensor) je ideální tlkový snímč, přeměňuje tlk kpliny nměřený mezi dvěm výstupy n fyzikální signál. (Simulink/Simscpe/Fouion librry/hydrulic/ Hydrulic sensors nd sources/ Idel Hydrulic pressure sensor) PS-S Simulink měnič (PS-Simulink Converter ) převádí fyzikální vstupní signál n bezrozměrný signál Simulinku. Jednotk prmetru musí odpoví vstupnímu signálu. (Simulink/Simscpe/Utilities/PS-Simulink Converter) Simulink S-PS měnič (Simulink-PS Converter) převádí bezrozměrný vstupní signál Simulinku n fyzikální signál. Jednotk prmetru je přidělen výstupu fyzikálního signálu. (Simulink/Simscpe/Utilities/ Simulink-PS Converter) Disply zobrzí číselnou hodnotu (Simulink/Sinks/ Disply) Dt pro spuštění nlýzy Před spuštěním výpočtu je ještě nutné nstvit konfigurční prmetry výpočtu. Ptří mezi ně především typ kroku, volíme vribilní, utomtický; výpočet (solver) ode5s (stiff/ndf), což je jediná možná numerická metod pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic v SimHydrulics. Osttní položky jsou nstveny není potřeb je měnit. V tomto okně lze rovněž nstvit čs výpočtu, který le lze nstvit i n hlvní liště progrmu, což je rychlejší, především v přípdě, je-li potřeb jej čsto měnit. 4

25 Výpočet se spustí příkzem Simulink/Simulce/Strt. Výpočtová konfigurce (Solver configurtion) je prvek, který definuje výpočetní zřízení nstvené pro simulci. (Simulink/Simscpe/Utilities/Solver configurtion) Dlší prvky budou definovány dle potřeby. 5

26 3. Sttické chrkteristiky hydrulických systémů 3. Odpor proti pohybu Hydrulický odpor proti pohybu zhrnuje odpory při proudění kpliny, které mohou být Iminámí nebo turbulentní. Lminámí odpor odpovídá ohmickému odporu v elektrickém obvodu, neboť je Iineámě závislý n průtoku. Turbulentní odpor ve vyvinutém stádiu je kvdrticky závislý n průtoku. To přináší do řešení dynmiky hydrulických obvodů nelineritu. Aby bylo možno použít Iineámí teorie obvodů, musí se nelineámí průběh Iinerizovt. Výsledek s použitou Iinerizcí pk pltí jen v oblsti, kde nhrzuje nelineámí průběh s nevelkými odchylkmi. Pro tlkový spád n hydrulickém odporu pltí obecně mocninová funkce n p R. ( 3..) Odpor proti pohybu je určen vzthem (.3.). R H ( p) d d nebo p R H. 3.. Třecí odpor Pro lminární proudění je n, tedy p R. pk R H p R [Nsm -5 kgs - m -4 ]. Pro kruhové potrubí je závislostí 8 ρνl R Hlm 4 π d 64 8 ρνl λ, neboli p 4 Re π d, tkže ( 3..) Pro vyvinuté turbulentní proudění je n hydrulický odpor je určen kvdrtickou p R., přitom rozměr odporu R je [kg.m -7 s - ]. Pro kruhové potrubí je Součinitel tření λ je závislý n velikosti Reynoldsov čísl reltivní drsnosti bsolutní drsnost stěny potrubí ( ) λ f Re,ε R 8 π ρλl 5 d. k ε, kde k [m] je d ( 3..3) Rovnice pro třecí součinitel se nedá řešit nlyticky, proto musel být stnoven experimentálně. Pro hldké potrubí ( k ) v roce 93 odvodil Blsius empirický vzth 6

27 ,364 4 Re λ ( Re Re 8. 4 k ) ( 3..4) Nikurdse pro hldké potrubí udává podle výsledků pokusů vzorec 4 λ ( 6. ) [ log( Re λ ),8 ] Re ( 3..5) Součinitel tření v Altšulově vzorci při uvžování drsnosti potrubí je explicitně vyjádřený ve formě k, + Re d.5 λ ( 3..6) Pro oblst, kde je význmný vliv drsnosti, bylo různými utory odvozeno několik desítek rovnic, nejčstěji se všk používá vzorec, který odvodil Colebrook - White λ,5 log +,7 Re λ k d ( 3..7) Tto rovnice je implicitní λ se musí řešit itercí. Proto byly v posledních letech mnoh utory odvozeny pro λ explicitní vzorce. Jko příkld je uveden rovnice odvozená Churchillem λ 8 8 Re + ( + b),5, ,457 ln,7 + ε b Re Re 6 6 ( 3..8) V dostupných softwre n řešení proudění v potrubí (SimHydrulics) se užívá následující kombince vzthů pro určení součinitele tření (vrint Colebrook-White): lminární proudění l 64 Re přechodové proudění t ( ) l λ Re< λ xλ + x λ <Re<4 kde Re x 7

28 turbulentní proudění t 6,9,8 log k + Re 3,7 d λ Re>4, Grficky zprcovné závislosti součinitele tření n Reynoldsově čísle přípdně drsnosti jko prmetru byly vyhodnoceny v digrmu utor Nikurdseho, viz obr. 3.. Vliv drsnosti potrubí vyšetřovl Nikurdse (v letech 93 ž 933), Colebrook, Churchill dlší. Absolutní drsnost potrubí k závisí n druhu mteriálu, zprcování provozních podmínkách (koroze, eroze). Podle zkušeností různých utorů jsou v tb. 3. uvedeny drsnosti vybrných mteriálů. tb. 3. Absolutní drsnost mteriálů potrubí k Mteriál potrubí Původní stv (mm) Korodovný stv (mm) Tžené trubky moszné, měděné, hliníkové,5 ž,3,3 ž, Bezešvé trubky ocelové,4 ž,, ž,9 Tžené trubky ocelové,3 ž,, ž,9 Svřovné trubky ocelové,5 ž,, ž,9 Pozinkovné trubky ocelové,5 ž,5,5 ž 3,5 Vodovodní potrubí po -ti více letech v provozu,6 ž 3, Skleněné trubky, trubky z plstů, 5 ž, Pryžové hdice, ž,3 Betonové potrubí,3 ž 6, 8

29 obr. 3. Nikurdseho digrm λ (Re,ε) 3.. Místní odpor v ρζ Pro místní odpory je tlkový spád určen vzthem p ρζ, S pro nekruhový průtočný průřez S. Pro kruhový průřez je R R ρζ S, což pltí i 8 ρζ. Součinitel místního odporu ζ π d 4 není obecně konstntou může se měnit v závislosti n změně průtoku. Pk může být tké tkto použit Linerizce odporu proti pohybu Nelineární průběh p f (V ) je vhodný pro řešení závislosti tlku průtoku n čse (tj. pro sttické dynmické chrkteristiky), le pro řešení frekvenční nlýzy je tto nelineární formulce 9

30 nevhodná. Tedy nelineární průběh se Iinerizuje to několik způsoby. Nejčstější je Iinerizce tečnou v provozním bodě, sečnou procházející provozním bodem počátkem nebo sečnou procházející dvěm body v okolí provozního bodu, tj. prbolická závislost p f ( ) přímkou v obecném tvru y kx + q, kde se nhrdí V dy k je směrnice přímky q je úsek, který přímk dx vytíná n ose y. Pro přímku dnou bodem směrnicí je y y k( x ) [ ] y kx + y kx. Směrnice je pk k p dy dx y x ). b y x x obr. 3. Linerizce odporu proti pohybu c ) tečnou b) sečnou procházející dvěm provozními body c) sečnou procházející počátkem provozním bodem Linerizce tečnou Pro obecný výrz tlkového spádu p R. je určen Iinerizovný odpor proti pohybu derivcí (směrnice tečny) d ( p) p R H R ( 3..9) d Linerizovná rovnice p f ( ) je dán vzthem p p RH ( ) p R H. + p R H Linerizce sečnou procházející dvěm provozními body V 3., z čehož plyne Jestliže se provozní stvy vyskytují v určitém rozmezí, lze zvolit dv prcovní body (, p ) (, p ), jimiž se proloží přímk b -obr. 3.. Její směrnice určuje linerizovný odpor proti pohybu p p R H ( 3..) Linerizce sečnou procházející počátkem Je to předchozí přípd, kdy provozni bod má nulové souřdnice, tedy linerizovný odpor je ( 3..) p R H

31 Pro dynmické chrkteristiky se bude uvžovt ještě linerizce, která splňuje podmínku shodnosti ustáleného stvu (při řešení rozběhu proudění pod.) Bude vysvětlen v kpitole dynmických chrkteristik. 3. Výpočet tlkového spádu Schém pro výpočet tlkového spádu v SimHydrulics je n obr Výsledkem jsou číselné hodnoty průtoku tlkového spádu v oknech Disply. Pokud potrubí stoupá do určité výšky, je nutno uvžovt s hydrosttickým tlkem. Tento tlk snižuje hodnotu tlkového spádu v potrubí. V SimHydrulics neexistuje blok pro zdání hydrosttického tlku, proto je vložen jko záporný zdroj tlku n konci potrubí. PS S. Kplin f(x) Vypoc. konfigurce A B Prutokomer PS-S m3/s A Potrubi-R B Prutok Idel zdroj prutoku S P T A B P PS S 3.56e+6. Konstnt S PS S-PS m3/s Mnometr PS-S P Tlkovy spd Ndrz obr. 3.3 Schem pro výpočet tlkového spádu n potrubí S PS Kplin f(x) Vypoc. konfigurce P A B Prutokomer PS S PS-S lm3/s A Potrubi-R Hydrostticky tlk B. Prutok S-PS P S P T Ndrz Idel zdroj tlku A Potrubi-R Idel zdroj prutoku B S T. Konstnt S PS S-PS m3/s B A P Mnometr PS S PS-S P 3.57e+6 Tlkovy spd Ndrz obr. 3.4 Schem pro výpočet tlkového spádu n potrubí se stoupáním. 3

32 Do obvodu mohou být vloženy tké hydrulické prvky, jko jsou kolen, T kusy (prvky pro větvení obvodu), prvky pro rozšíření průřezu, clony obecné odpory. Tyto prvky předstvují místní odpory, upřesńují obvod, jsou v SimHydrulics definovány mohou být využity. Clon (otvor) (Constnt Are Orifice) definuje průtok ostrohrnným otvorem (clonou). (Simulink/Simscpe/Fouion librry/ Hydrulic/Hydrulic elements/) Průtok je dán rovnicí: V CD. A. p. sign ρ DH C DL. A. p νρ ( p) pro pro Re Re Re Re cr cr kde V průtok p C D A D H tlková diference ztrátový součinitel průtočná ploch otvorem hydrulický průměr otvoru Re cr kritické Reynoldsovo číslo 3

33 Hydrulický odpor (Liner Hydrulic Resistence) definuje obecný linární místní odpor. (Simulink/Simscpe/Fouion librry/ Hydrulic/Hydrulic elements/) p R V Odpor plyne z Bernouliho rovnice pro lminární proudění, pro turbulentní je nutno jej linerizovt. 33

34 Náhlá změn průřezu - redukce (Sudden Are Chnge) definuje odpor při náhlém rozšíření nebo zúžení průřezu (Simulink/Simscpe/SimHydrulics/ Locl Hydrulic Resistnces/) K K K A S A SE corr L K A.,5 S A SC corr L,75 kde K SE ztrátový součinitel při náhlém rozšíření (enlgement) (proudění od A do B) K SC ztrátový součinitel při náhlém zúžení (contrction) (proudění od B do A) A S,L mlá (smll) resp. velká (lrge) průtočná ploch kolenem 34

35 Model prmetriztion definuje způsob vyčíslení odporového součinitele. - By semi-empiricl formuls bude použit výše uvedený vzth - By loss coeff. vs. Re tble vloží se vektor ztrátového součinitele odpovídjící Reynoldsovo číslo Koleno (Elbow) definuje odpor kolen v závislosti n úhlu zoblení (Simulink/Simscpe/SimHydrulics/ Locl Hydrulic Resistnces/) ρ K V V A p kde V průtok 35

36 p K A tlková diference ztrátový součinitel průtočná ploch kolenem K 3f T pro úhel 9 5 (,4 3,73. α ) K 3 f α pro jiné úhly T kde f T je třecí součinitel, který se počítá jko pro potrubí 36

37 3.3 Výpočet sttické chrkteristiky Kvlitnějším výsledkem má být sttická chrkteristik, což je závislost tlkového spádu n průtoku při proudění vody potubím nebo dným hydrulickým prvkem obecně ve tvru p R ( 3.3.) Odpor proti pohybu R v potrubí je dán pro lminární turbulentní proudění odlišným vzthem, přitom odpor proti pohybu pro turbulentní proudění lze pro dný prcovní bod linerizovt, tkto: 8 ρνl R lm 4 π d, 8 ρλl R turb 5 π d, R lin Rturb ( 3.3.) Závisí n geometrických fktorech potrubí, vlstnostech kpliny přípdně třecím součiniteli, což musí být vloženo do systému. Z důvodu získání chrkteristiky je třeb do systému vložit řdu hodnot průtoku. To lze provést zdáním vektoru hodnot do bloku constnt nebo fiktivně lineární (nebo jinou) funkční závislostí n čse pomocí bloku Signl Builder, kde se souřdnicemi dvou bodů tková závislost nství, viz obr Počet složek tkto vytvořeného vektoru bude dán volbou čsového kroku 37

38 v simulci. Počet složek vektoru tlkového spádu bude mít tentýž počet složek. Pro sttickou chrkteristiku se pk vytvoří grf, kde hodnotám průtoku se vyberou odpovídjící hodnoty tlku. x -4 stt_chrkteristik_8r/signl-prutok : Group Signl Time (sec) obr. 3.5 Signl Builder pro zdání funkční závislosti průtoku n čse. Zobrzení chrkteristiky je možné přímo v ikonou v SimHydrulics, která má le omezené možnosti z hledisk vyhodnocení více chrkteristik do jednoho grfu. Zcel univerzální přístup pro použití i v jiných grfických softwre, jko je EXCEL pod. bude tké vysvětlen. Zobrzovcí příkzy jsou následující: XY Grph - blok pro vykreslení grfu, horní vstup je použit pro osu x dolní vstup pro osu y. Rozsh os je nutno zdávt ručně, nepočítá tedy utomticky. (Simulink/Sinks/XY Grph) blok pro zápis do prcovní oblsti (To workspce) zpisuje vstupy vybrného pole do hlvní prcovní oblsti Mtlbu njdou se v zákldním okně Mtlb/Workspce. (Simulink/Sinks/To Workspce) V tomto prostoru se mohou závislosti vykreslovt podobně jko v EXCELu tké do tohoto softwre exportovt. 38

39 Dplm-grf blok pro kreslení grfu (Scope) zobrzí čsový průběh vybrné veličiny (Simulink/Sinks/Scope) přímo v Simulinku. V tomto bloku lze tké zpst do Workspce, není nutno vklá nový blok Zobrzovcí vyhodnocovcí elementy jsou stejné. Obvod sestvený v SimHydrulics při oužití jednoduššího zobrzení chrkteristiky je n obr Kplin f(x) Vypoc. konfigurce Idel zdroj prutoku P S T A B Prutokomer PS S PS-S A B Potrubi-R B A P Mnometr PS S PS-S XY Grph Signl 3 Signl-prutok S PS S-PS Ndrz obr. 3.6 Obvod pro výpočet sttické chrkteristiky potrubí užití Grf XY Prutok Kplin f(x) Vypoc. konfigurce Idel zdroj prutoku P S T A B Prutokomer PS S PS-S A B Potrubi-R B A P Mnometr PS S PS-S Tlkovy spd Signl 3 Signl-prutok S PS S-PS Ndrz obr. 3.7 Obvod pro výpočet sttické chrkteristiky potrubí přenos do EXCELu 39

40 Při použití druhého schémtu jsou výsledkem jsou kontrolní křivky závislosti tlku n čse průtoku n čse, viz obr obr. 3.8 Závislosti průtoku tlku n čse Je vidět, že obrázky jsou jen orientční nvíc je nelze grficky uprvit tk, by se změnilo pozdí pod. Proto se použije přenosu do prostoru Workspce dále do Excelu, kde se mohou tvořit libovolné grfy. Přenos je umožněn ikonou Scope. Dvojím kliknutím se otevře grf, dvojím kliknutím n druhou ikonu se otevře okno prmetrů, použije se záložk Dt History, ztrhne se Sve Dt History to Workspce vloží jméno proměnné formt Arry. Tento formát umožní zpst vektor o dvou sloupcích, první je čs druhý je tlk. obr. 3.9 Zápis do Workspce. 4

41 V zákldním okně Mtlbu se otevře Workspce, dvkrát klikne n jméno proměnné (tlk). Otevře se tbulk se dvěm sloupci, druhý se prosvětlí jko v Excelu, zkopíruje vloží do Excelu. Podobně se přenese průtok přípdně dlší počítné veličiny zobrzí se chrkteristik. Tlkový spád [P] tlkový spád [P] čs [s] průtok [m 3 s - ] Průtok [m 3 s - ] obr. 3. Chrkteristik potrubí 3.4 Výpočet rozvětvené nebo okruhovné sítě Potrubní systém je buď jednoduchý, tvořený jedním potrubím nebo složený, sestávjící z většího počtu potrubí tvořících obvod obshující uzly větve (viz teorie elektrických obvodů), přípdně zdroje kpliny. N obr. 3. je schém přípdu jednoduchého potrubního systému. h p p v U v obr. 3. Schém jednoduchého potrubního systému 4

42 N obr. 3. je schémticky znázorněn složený potrubní systém, kde je možno identifikovt části rozvětveného okružního systému v kombinci. Řešení tkového systému je mtemticky složitější, využívá se mticového přístupu k popisu systému počítčů při numerickém zprcování. Pro rozvětvenou nebo okružní síť dle obr. 3. při izotermickém proudění pro kždou její větev p 4 C A 5 F 8 Digonál B 6 G 3 D 7 H obr. 3. Schém složeného potrubního systému, tj. rozvětveného okružního musí pltit Bernoulliho rovnice. Tk obecně pro větev mezi uzly i i + lze npst: ( h h ) k p i g i + i + i i ρ ( 3.4. ) Pro kždý uzel sítě musí pltit rovnice kontinuity (uzlová podmínk) i ( 3.4. ) což je nlogie Kirchhofov zákon u elektrických obvodů, přitom průtoky mjí znménko podle toho, jestli kplin do uzlu přitéká nebo vytéká. Pro okružní síť pro kždý její okruh musí nlogicky pltit nlogie druhého Kirchhofov zákon, tj. že součet měrných energií (resp. tlkových diferencí, resp. tlkových výšek) v jednotlivých větvích postupně sčítných v jednom smyslu je opět roven nule (okruhová podmínk): p i ( ) Celkový počet rovnic, který pro dnou síť lze npst je n j + k (3.4.4 ) kde j je počet větví k je počet uzlů. Počet okruhů je m j k + reltivně mlý, je možno výše uvedené systémy řešit nlyticky.. Pokud je počet rovnic Nechť je pro názornost dán okruhovná síť [] pro jednoduchost s jedním okruhem, pěti potrubími jedním vstupem průtoku q výstupem q 3 podle schémtu obr

43 obr. 3.3 Schém okruhovné sítě s jedním okruhem Okruh je oznčený I, uzly jsou oznčeny číslicemi -5 (náhodně) větve písmenem P (potrubí) dvojicí čísel definovných uzly, které jsou tímto potrubím spojeny, tj. P, P3, P34, P45 P5, přitom pořdí uzlů nesouvisí se směrem průtoku, ten je dán znménkem. Pro hledné průtoky v uzlech pltí uzlová podmínk, tj. : : 3 : 4 : 5 : q q 3 (3.4.5 ) Pro tlkový spád v okruhu pltí okruhová podmínk p k + k k k k (3.4.6 ) I Rovnici (3.4.5 ) lze zjednodušit tk, že všechny průtoky se vyjádří pomocí zdného vstupního výstupního průtoku q q q q q 3 q 3 Vzthy se využijí v rovnici (3.4.6 ) 3 34 ( q ) k ( q ) k ( q ) k + k k

44 Kvdrtické dvojčleny se umocní roznásobí: k + k3 k34( q3 q3 + ) k45( q3 q3 + ) k 5( q q + ) ( k + k k k k ) + ( k q + k q + k q ) k34q3 k45q3 k 5q c Získl se kvdrtická rovnice o je jedné neznámé, kterou lze vyřešit nlyticky: b + b + c b ± b c Osttní průtoky se určí zpětným doszením. V přípdě složitějšího potrubního systému se dvěm okruhy, viz schém n obr. 3.4 se využije výše popsná metodik, tj. vytvoří se pět rovnic z uzlové podmínky pro průtoky (stejný počet jko pro jeden okruh, protože počet uzlů je stejný) dvě rovnice pro tlkové spády z okruhové podmínky. Tedy rovnice (3.4.5 ) bude ve tvru obr. 3.4 Schém okruhovné sítě se dvěm okruhy 44

45 : : 3 : 4 : 5 : q q q q q 5 3 q (3.4.7 ) Bylo nutné zvolit dv neznámé průtoky (npř. 5 ) osttní pomocí nich vyjádřit. Dvě rovnice pro okruhy jsou následující p I p II k k k k k k k 5 5 (3.4.8 ) Je zjevné, že doszením průtoků z rovnice (3.4.7 ) se získjí dvě kvdrtické rovnice o neznámých 5. Tyto průtoky lze vypočítt jen numericky. Proto se využije následující postup spočívjící v linerizci výše uvedených kvdrtických rovnic. Ve větvích potrubní sítě se průtoky rozdělí tk, že v kždé uzvřené smyčce je součet tlkových ztrát roven nule. Protože rozložení průtoků je neznámé, provede se počáteční odhd těchto průtoků s tím, že pltí uzlová podmínk (součet průtoků v uzlu je roven nule). Součet tlků v okruzích pro tko odhdnuté průtoku nebude roven nule, tedy nebude splněn podmínk o okruzích, tj. v kždém okruhu bude součet tlkových ztrát roven tzv. reziduálu ± p p i (3.4.9 ) Podle velikosti reziduálu znménk je možno posoudit, která větev smyčky do jké míry je předimenzován nopk. Pro získání správných veličin průtoků ztrát v úsecích sítě je nutno korigovt nesprávně dimenzovné úseky. Síť se koriguje do té doby, než všechn rezidu neklesnou pod únosnou mez, tj. pro smyčky je. 5 existují různé iterční metody. dov p h m pro sítě je h dov m. Pro provedení korekce Potrubní síť je popsán soustvou lgebrických rovnic, z nichž k rovnic je lineárních dle ( 3.4. ) j rovnic je nelineárních (kvdrtických) dle ( ), přičemž neznámými jsou průtoky v jednotlivých větvích. Při větším počtu rovnic se pro řešení využije numerických metod pro řešení soustv lgebrických nelineárních rovnic, npř. Newtonovy iterční metody. Při velkém počtu rovnic může úloh pomlu konvergovt, proto se používjí i jiné metody výpočtu, u nichž je rychlost konvergence větší. Jko příkld bude prezentován metod Hrdy-Cross. 45

46 Ve větvích jsou oznčeny počáteční proximce průtoků včetně směru z nich jsou určeny tlkové ztráty. Rezidu z předpokldu pro všechny smyčky jsou dán dle obr. 3.4: p I p II k k k k k k k 5 5 Předpokládá se, že při počáteční proximci hodnot směrů průtoků mjí rezidu ve všech smyčkách kldná znménk. Pk poddimenzovné jsou části s pohybem ve směru hodinových ručiček. Definují se tzv. korekční průtoky, které musí být záporné směrovány proti pohybu hodinových ručiček. Po zvedení korekčních průtoků pro ob okruhy k k 3 k, je možno zpst následující rovnice: ( I ) + k5 ( 5 I + II ) k5 ( 5 + I ) ( 3 II ) k34 ( 34 + II ) k45 ( 45 + II ) ( + ) 5 5 I II Výrzy v závorkách se umocní znedbjí se členy obshující ( ) I, ( ) II konvergenci výpočtu konvergují k nule jejich druhé mocniny jsou tedy znedbtelné, npř. k I II ( ) k ( ) { + k I k k I Tím se získá soustv lineárních lgebrických rovnic pro neznámé k k 3 3 nebo stručněji + k k k k k I k k I 5 I I I, II : ( + k 5 5 k 5 5) + IIk5 5 ( k k k k ) 5 II I 5, které při p I p II 3 ( kii ) + II k5 I I 5 i 4 ( kii ) + I k5 II II 5 i Tto soustv je jednoduchá, pro lepší přehlednost se zpíše ve tvru 46

47 I I I b I + II II II + b II p I p II se vyřeší pro neznámé I, II elimincí následujícím postupem: I I pi II II bi b p b II II pi II II I ( b b ) I II I I I II I p b II II I I II II + b I II II bi pi b I I II II + b p II, p I II I II p I I II b p pi II II I Obecně tkových rovnic je možno npst tolik, kolik je smyček v potrubním systému. Počet rovnic odpovídá počtu neznámých, obecný tvr rovnice je ( k ) + k + k +... mi mi k k Ik r r r p (3.4. ) mi kde mi je číslo smyčky, k,r,... jsou indexy společných větví sousedních smyček. Pro vyřešení soustvy lineárních lgebrických rovnic pro neznámé mi se užije mticového vyjádření, tj. teorie elektrických obvodů eliminčních nebo iterčních metod řešení s využitím počítče. Existuje celá řd komerčních progrmů týkjících se výpočtu potrubních sítí, které jsou změřené n rozvody vody, knlizce, ústřední topení (s teplotou) pod. 47

48 4. Dynmické odpory hydrulických prvků v SimHydrulics 4. Odpor proti zrychlení Příčinou odporu proti zrychlení je setrvčnost kpliny nebo setrvčnost pohybujících se hmotností (píst, pístnice, pružin, pod.). 4.. Odpor proti zrychlení u přímočrého pohybu Pro zrychlení sloupce kpliny o délce v potrubí o průřezu S je zpotřebí síl F ps. Tlkový spád p n délce l je F m p S S m dv S m S d L H d Odpor proti zrychlení neboli hydrulická indukčnost je tedy určen vzthem L H m S ρsl S ρl S 4 [ ] kgm 4.. Odpor proti zrychlení u rotčního pohybu l S m V pp -p p v p l obr. 4. Odpor proti zrychlení sloupce kpliny ( 4..) Odpor proti zrychlení při otáčivém pohybu se odvodí nlogicky z následujících momentových rovnic dω M Jε J J r dv J Sr d S p v p kde J [kg.m ] je moment setrvčnosti rotujících hmot, tj. kpliny, přípdně částí hydrogenerátoru, hydromotoru, r zátěže td.), M Fr psr. Objem z jednu otáčku hydrogenerátoru je V t πrs, z čehož V Sr t. π obr. 4. Odpor proti zrychlení Pk moment je roven π dω π p J Vt V t M pv t. Porovnáním výrzů pro momenty je tlkový spád π d J. Hydrulická indukčnost při otáčivém pohybu je tedy 48

49 L H π J Vt 4 [ kg.m ] ( 4..) Jestliže v obvodu se otáčejí jednotlivé části různými otáčkmi, redukuje se moment setrvčnosti n jeden hřídel, to zprvidl n hřídel hydromotoru. Pk redukovný moment setrvčnosti je J Ji, i red h hydromotoru. h n n m, kde J je moment setrvčnosti hmoty otáčející se otáčkmi n, n m jsou otáčky 4..3 Hydrulická indukčnost sloupce kpliny v SimHydrulics A B Fluid Inerti Potrubí s hydrulickou indukčností (Fluid Inerti) je blok pro definici odporu proti zrychlení při proudění v potrubí. Zdává se průtočná ploch délk potrubí. Simulink/Simscpe/Fouion librry/hydrulic/hydrulic elements/ Fluid Inerti) 4. Odpor proti deformci hydrulická kpcit Odpor proti deformci je určen vzthem hodnotou. D H p V, hydrulická kpcit je převrácenou 49

50 4.. Odpor proti deformci sloupce kpliny Pro sloupec kpliny o průřezu S délce l se vyjádří odpor proti deformci nebo hydrulická kpcit z definice modulu objemové pružnosti kpliny V K V V C p p H D H V K 4 [ kg m s ] Pro pružné potrubí je třeb uvžovt tké odpor proti deformci potrubí, což lze provést korekcí modulu objemové pružnosti kpliny K vzthem K s κ K, C V K V κ K ( 4..) H s Pro tenkostěnné potrubí kruhového průřezu pltí κ + Kd Es, což je známo z hydrulického rázu. E je modul pružnosti mteriálu potrubí s je tloušťk stěny. Hydrulickou kpcitu lze vyjádřit tké v závislosti n rychlosti zvuku, neboť pltí je V V V Kd C H + κ K ρ K Es. K κt κ κ K ρ, čili hydrulická kpcit ρ Jestliže tlk v kplině klesne pod tlk nsycených pr (dosáhne se kvitčních prmetrů), pk musí být rovnice uprveny. Kplin se bude předpoklá jko vícefázová směs kpliny plynu o mlém objemovém množství. Modul pružnosti se pk uprví n tvr K n+ ( p + p) n / n p + α p p K + k / n p + αk k n ( 4..) kde K k je modul pružnosti čisté kpliny p je tmosférický tlk α je reltivní obsh plynu, α V g je objem plynu v kplině při tmosférickém tlku V k objem kpliny n je podíl měrných tepel plynu V V g k 5

51 Hlvním důvodem k uvžování kpliny jko směsi kpliny plynu je zvedení proximtivního modelu kvitce pro přípd, že tlk v systému klesne pod tlk nsycených pr kpliny..4e+9.e+9.e+9 K [P] 8.E E lf. 4.E E+8...E+.E+.E+6.E+6 3.E+6 4.E+6 5.E+6 6.E+6 p [P] obr. 4.3 Modul objemové pružnosti v závislosti n tlku objemovém obshu vzduchu. Při vysokém tlku je v kplině mlé objemové množství nerozpuštěného vzduchu nemá prktický vliv n modul pružnosti. Kvitce je v podsttě termodynmický proces vyždující vícefázové proudění, přenos tepl td., což nemůže být přesně řešeno v SimHydrulics. Ale i tento zjednodušený přístup je postčující pro řešení hydrulických obvodů. Jestliže je jsné, že v obvodu nenstce situce, by tlk klesl pod tlk nsycených pr, lze objemový zlomek plynu nstvit přímo jko nulu (resp. mlé číslo, npř. e-5), což smozřejmě urychlí výpočet. 4.. Odpor proti deformci pružiny Kpcit pružiny je určen stejně jko u kpliny pružiny x ) je vyvolán pohybem pístu o ploše S, tkže stlčení pružiny pltí vzthy V dv C p p dp F ps c x, z čehož stlčení je. Změn objemu (stlčení V S x. Pro sílu potřebnou n x ps c změn objemu 5

52 5 c ps x S V. Pk kpcit pružiny se vypočte ze vzthu c S p V C p, kde c je konstnt pružiny Odpor proti deformci plynu Pro plynovou pružinu při izotermické změně stvu ( konst T ) pltí rovnice V p V p. Změn objemu je p p V p p V V V V. Kpcit plynové pružiny je p V p V C p ( 4..3) Pro polytropickou změnu stvu pltí n n p V V p, tj. n p p V V. Změn objemu po doszení je p p V V obr. 4.4 Odpor proti deformci plynu n p p V V V V. Kpcit se odvodí z definice pomocí průtoku ( ) ( ) dp p p n p V dp dp V d V d n V je definován jko np V V V n p V p p n p V dp C n V p ( 4..4)

53 4..4 Kpcit nádrží V hydrulických systémech se může vyskytovt nádrž s volnou hldinou. Při konečném objemu resp. konečném průřezu nádoby (ve vodorovné rovině) je nutno uvžovt pohyb hldiny při rozdílném přítoku ooku z nádoby. Schopnost nádrže pojmout určitý objem kpliny, přípdně ho vy, předstvuje kumulční schopnost, která se dá vyjádřit kpcitou nádrže. Přiteklý objem do nádrže je po doszení je Sdh dh S dp S C ρg Kpcit nádrže je C S ρ g. Po úprvě se dostne dp kde S je vodorovný průřez nádoby. dv dh h V p S v obr. 4.5 Kpcit nádrže ( 4..5) 4..5 Hydrulická kpcit objemu kpliny v SimHydrulics Kpcitu je možno jej definovt prvkem Constnt Volume Chmber. Kpcit jko izolovný prvek potrubního systému nemá fyzikálně smysl, pouze v souvislosti s dlšími odpory (lespoň odporem proti pohybu), tkže se používá npř. přímo jko potrubí s hydrulickou kpcitou (Hydrulic Pipeline). Constnt Volume Chmber Kpcit (Constnt Volume Chmber) předstvuje odpor proti deformci. Převrácená hodnot odporu proti deformci je hydrulická kpcit. Definice odporu proti deformci definovná v SimHydrulics (Simulink/Simscpe/Fouion librry/hydrulic/hydrulic elements/constnt Volume Chmber): V Vc dvf Vc p průtok pk K f + kde - objemový průtok do nádrže V f - objem kpliny v nádrži V c - geometrický objem nádrže K - modul objemové pružnosti kpliny p - přetlk kpliny v nádrži 53

54 Stlčitelnost kpliny stěn je definován dle následujících prmetrů - nádrž s nepružnými stěnmi (rigid wlls), kplin bez plynu - nádrž s pružnými stěnmi (complint wlls) válcovým tvrem, kplin bez plynu - nádrž s nepružnými stěnmi (rigid wlls), kplin s plynem - nádrž s pružnými stěnmi (complint wlls) válcovým tvrem, kplin s plynem Obsh plynu v kplině se zdává v bloku kpliny, může být i roven nule. Potrubí s hydrulickou kpcitou odporem proti pohybu (Hydrulic Pipeline) je blok pro definici odporu proti deformci pohybu při proudění v potrubí. Zdávjí se prmetry jko pro Resistive Tube. (Simulink/Simscpe/SimHydrulics/Pipelines/Hydrulic Pipeline) 54

55 4.3 Znčení hydrulických odporů Odpory, které se vyskytují při přenosu energie, předstvují podle lineární teorie obvodů dvojpóly, pro které pltí, že průtoky n vstupu výstupu jsou stejné přenosový knál je dokonle těsný. Pro zákldní odpory je zvedeno v hydrulice následující oznčení, které se trošku liší od znčení odporů v SimHydrulic R [Nsm -5 ] odpor proti pohybu L [kgm -4 ] 55 odpor proti zrychlení D [kg m -4 s - ] odpor proti deformci C

56 Odpory se mohou řdit prlelně sériově. Při obecném kombinovném řzení odporů, kdy některé odpory jsou řzeny sériově jiné prlelně, se hovoří o odporové síti, jejíž řešení je obsženo v teorii grfů, využívné v elektrotechnice spolu se známými Kirchhoffovými zákony. V hydrulice bude pltit zákon o uzlech zákon o okruzích. V SimHydrulics se objeví trochu odlišné znční odporů, jejich význm le je stejný. R [Nsm -5 ] odpor proti pohybu A B Fluid Inerti L [kgm -4 ] odpor proti zrychlení Constnt Volume Chmber Constnt Volume Chmber D [kg m -4 s - ] odpor proti deformci C Odpory se budou řdit grficky s tím, že číslování odporů kontrol zpojení sítě se bude v SimHydrulics provádět utomticky. 4.4 Čsové konstnty Čsové konstnty vyjdřují vzthy mezi zákldními odpory R, L, C lze z nich odhdnout dynmické chování hydrulického obvodu. Oznčují se T LR L R R T RC D RC L L T LC LC RC T D R LR T RC Lze doszovt npř. hodnoty odporů pro kruhové potrubí pk tyto konstnty specifikovt. Pro lminární proudění v kruhovém potrubí lze čsové konstnty následněí upřesnit 4 L 4ρl πd d T LR R πd 8ρνl 3ν 56

57 R D 8ρνl πd l ρνl K TRC RC 3 4 πd 4K d d T LC l ρ K LC D l D z poslední konstnty odhdnout dynmiku děje, tj. dobu běhu vlny. Výrz l je polovin doby běhu vlny u hydrulického rázu. Příkld 4.4. Určete čsové konstnty dné prmery potrubí měřením při proudění vody v tomto potubi. Hydrulický obvod se stlčitelnou viskózní kplinou (vod) pro experimentální stnovení dynmických prmetrů následně odezvy tlku n skokový vstupní signál je uveden n obr Obvod je složen z hydrogenerátoru HG, pojistného ventilu PV, vlstní měřicí trti T, rozváděče R, snímčů tlku S ž S4, teploty S5 průtoku S6. Pro vyhodnocování je využit měřící systém M55 notebook NB, včetně softwre pro měření vyhodnocování veličin. Odpdy svody jsou odvedeny do nádrže N. HG UTC P C H PC N V obr. 4.6 Pohled n měřící zřízení 57

58 obr. 4.7 Schém hydrulického obvodu N fyzikálním zřízení pro hydrulický ráz bylo možno definovt okrjové podmínky pro numerickou simulci. Tyto podmínky byly následující: ustálený stv při otevřeném ventilu: průtok před skokovou změnou byl.5 l.s -, mximální tlk n čerpdle je p pv Dlší dynmické prmetry byly počítány. 4 kp 58

59 59

60 5. Mtemtický model sloupce kpliny K sestvení mtemtického modelu proudění v potrubí je možno využít teorii dvojbrnů (čtyřpólů), kdy mtemtický popis spočívá ve vytvoření mtemtického modelu turbulentního proudění potrubím pro zdné fyzikální vlstnosti proudící tekutiny, potrubí dné délky, průměru, síly stěny mteriálu jeho řešení (SimHydrulics). Ze všech kombincí sériově-prlelních řzení odporů budou v následujících kpitolách vybrány ty obvody, které mohou reprezentovt proudění v potrubí mtemtické modely, které tkto budou vytvořeny, se nzývjí modely se soustředěnými prmetry, protože odpory R, L, C jsou soustředěny do jednoho bodu neuvžuje se vliv délky potrubí. K řešení nelineárních rovnic popisujících turbulentní, lminární přechodové proudění se využije systém SimHydrulics, který je z hledisk zdávání obvodu prmetrů potrubí kpliny uživtelsky přívětivější. Jko první model bude popsán model T-článku, který je nejznámější nejpoužívnější prvek. N něm bude vysvětlen přístup k řešení metodou nlytickou numerickým řešením v SimHydrulics. Dlší prvky jsou pk již vrintmi. 5. R-(L+C) článek (tzv. T článek) Nechť je dán obvod, složený z R, L C odporů (tzv. T článek). Ze zákonů o okruzích dle schémtu vyplývá p p p L R + p p C L p Ze zákon o uzlech pltí C + L d R + p d C C + d Pro průtoky tlky odporech pltí vzthy lminární nebo linerizovné proudění p R R lin L p p C L p d L L C C R p R C L p L D/C p C turbulentní proudění p R R L 6

61 p R d p Rlin + C C dc d p d C CR lin lin + d L L d p C CR d p L L + d p + L lin + R L R L Po úprvě jsou výsledné rovnice následující lminární nebo linerizovné proudění lin lin p R + C dc d p C CR C lin d ( ) d C d p d d C CR CR dl d p R + L L p R L L d d p d d C CR CR p R + + L L turbulentní proudění + R lin d LC d L + R d p LC + p + lin d d RLC + RLC d p LC + p d + L + R Rovnice jsou druhého řádu vzhledem k průtoku i tlku. Tedy ze zákonů o okruzích uzlech pltí výše uvedené diferenciální rovnice pro lminární resp. turbulentní proudění, přitom pro lminární nebo linerizovné proudění je lineární pro turbulentní proudění je nelineární. 5.. Anlytické řešení linerizovné rovnice Anlyticky lze řešit jen linerizovné rovnice, což i tk není úplně jednoduché závisí n tvru prvé strny. Sndno lze njít lespoň chrkter řešení. Z předpokldu skokové změny tlku je p p pltí, že derivce tlku je rovn nule rovnice přejde po vydělení R lin LC n tvr d d + R C LC R lin p LC + ( 5..) lin Rovnice je lineární nehomogenní, tudíž lze určit prtikulární řešení příslušné homogenní rovnice d d + + R C LC lin pomocí chrkteristického polynomu. Nechť řešení má tvr λt konst. e dosdí se do ( 5..). Chrkteristická rovnice její kořeny jsou dány vzthem 6

62 λ + λ + C LC R lin λ, R C lin ± RlinC 4 LC Vlstnosti řešení vyplývjící z vlstností diskriminntu kvdrtické rovnice tudíž následně z kořenů: I) λ, - reálná čísl, potom řešení je ve tvru exponenciály II) kde λ λ t λ t Ce + Ce, ( 5..) α ± iω. řešení v tomto přípdě je hrmonické pro α je tlumené (řešení je stbilní): e ( C ( ωt) C sin( ωt )) αt cos + ( 5..3) α, ω R C III) λ λ, potom řešení má tvr t e λ lin ( C C t) + Konstnty C LC RlinC C se určí vricí konstnt z reálných počátečních podmínek pro ( ) 6 ( 5..4) její první derivci. Protože výchozí rovnice je nehomogenní (s nenulovou prvou strnou), mohou být obě počáteční podmínky nulové (pro homogenní rovnici by se dostlo triviální řešení). Jink se zvolí npříkld ( ) z podmínky ustáleného stvu pro tlk p 4kP V nechť je nulová první derivce, tj. d ( ) 5.. Numerické řešení - SimHydrulics Příkld 5... p R, tj. ( ). 5 Numericky řešte diferenciální rovnici druhého řádu odpovídjící T článku RLC s nulovými počátečními podmínkmi dnými konstntmi. V rovnici se předpokládá, že změn tlku p je vstupní signál průtok je hledná funkce. Vstupní signál je roven skokové změně n hodnotu p. Linerizovná diferenciální rovnice je řešen v Simulinku. Pro turbulentní proudění nelinerizovné se využije progrmu SimHydrulics shém připrvené pro výpočet sttické chrkteristiky s následujícími úprvmi: potrubí (Resistive Tube) se doplní prlelně připojeným blokem kpcity (Constnt Volume Chmber) sériově blokem indukčnosti (Fluid Inerti). lin

63 Zdroj průtoku se nhrdí zdrojem ideálního tlku (Idel Hydrulic Pressure Source), který je definován v bloku Signl Builder skokovou funkcí z t. s. p P n p 4kP v čse V bloku kpliny je nutno nstvit objem nerozpuštěného plynu n nulu (tj. e-6), neboť obsh plynu v kplině je zohledněn ve změřeném modulu pružnosti (pro vodu v tomto systému je K7e6 P). Zákldní prmetry potrubí proudicí kpliny jsou dány z minulého příkldu budou vloženy do obvodu.: Pro kontrolu ilustrci je diferenciální rovnice pro linerizovný odpor řešen jko diferenciální rovnice pomocí Mtlb Simulink, viz obr. 5.. Následuje schém přesně odpovídjící téže rovnici, potrubí je schémticky zkresleno jko T článek, odpor proti pohybu je definován konstntou (Liner Hydrulic Resistce.57e8). Řešení oběm schémty je nprosto shodné. potrubi+kplin l,s,d,s,e,l,ro,k,ni Rlm,Rturb,Rlin,L,C Demux b Odpory Selector b* skok Dp 4 c *d/ lin c*dp s d/ s To Workspce Scope obr. 5. Schém řešení linerizovného obvodu ODR, Simulink 63

64 Custom Hydrulic Fluid Signl Signl Builder f(x) Solver Configurtion S PS S-PS S P A B prutokomer T Idel Hydrulic Pressure Source ndrz PS-S PS S A z zdrojem B Liner Hydrulic Resistnce A A To Workspce _z_zdrojem B P Mnometr B Fluid Inerti Constnt Volume Chmber PS S PS-S A B prutokomer tlkovy spd PS-S PS S To Workspce3 _z_t z ventilem ndrz tlkovy_spd_n_t To Workspce obr. 5. Schém řešení linerizovného obvodu lin, SimHydrulics Pro úplnost je řešen T článek pro turbulentní proudění s využitím SimHydrulics. Je zřejmé, že lze využí stejné schém dle obr. 5., je konsttní odpor proti pohybu, který je zkroužkovný, se vymění přesnější definici odporu, která závisí n typu proudění je definován prvkem Pesistive Tube. Při hrmonickém průtoku je jsné, že se mění rychlost Reynoldsovo číslo tudíž tké součinitel tření λ. Proto je výsledek odlišný od linerizovného přístupu včetně ustáleného stvu. V grfu n následujícím obrázku jsou porovnán všechn ři řešení [m 3 s - ]..5 ODR lin nelin t [s] obr. 5.3 Řešení T článku všemi metodmi 64

65 Je možno konsttovt, že v SimHydrulics vytvořený model vystihuje jk lminární tk turbulentní proudění. Z numerické řešení je možno odečíst periodu, ustálený stv pod. Je vidět, že period pro všechny vrinty se řádově shodná, odlišnost je pozorován v tlumení ustáleném stvu, neboť odpor Resistive Tube sám určí z rychlostního profilu, jkým vzorcem bude definovt tření. Hydrulické odpory pro tuto úlohu lze vyčíslit jen z schémtu ODR.. Je třeb poznment, ře řešení nelze konfrontovt s výše popsným experimentem, tj. se změřenými průběhy hydrulického rázu. Důvodem je to, že rovnice pro T článek popisuje vzth mezi vstupním tlkem vstupním průtokem. Dynmická změn je vyvolán dynmickou změnou tlku n vstupu do potrubí. Hydrulický ráz je vyvolán dynmickou změnou n konci potrubí. Nvíc průběhy průtoků nelze odměřit, neboť není k dispozici průtokoměr pro měření dynmického průtoku. Hydrulický ráz bude řešen porovnán s experimentem později. Příkld 5.. Otestujte tuto úlohu pro hrmonický vstupní signál. 5. R-L článek Tento model je velmi čsto používný model pro krátké potrubí i v komerčních softwre. Pro sériově řzené odpory R, L, se využije zákon o okruzích ve tvru p p R + p spády n odporech pltí vzthy L.Pro tlkové lminární nebo linerizovné proudění p R R lin p Rlin + L d d p L L R p R p L p L turbulentní proudění p R R p R + d L Lineární diferenciální rovnici prvního řádu lze řešit nlyticky (nebude se ndále používt z důvodu sjednocení přístupů k řešení) Lplceovou metodou dle rozboru provedeném v kp 6. Numericky se řeší jk lineární tk nelineární rovnice bez problémů. diference Rovnice budou řešeny pro nulovou počáteční podmínku ( ) vstupní signál je tlkové p. 65

66 5.. Numerické řešení lminárního i turbulentního proudění Úloh bude řešen jko zjednodušený přípd řešení T článku pomocí SimHydrulics s tím, že prvek definující kpcitu bude vynechán. 5.3 C+(R-L) - Lčlánek Pro sériově-prlelní řzení odporů R,L,C dle schémtu plyne ze zákon o RL R L okruzích C p R p L p p + p p. R Ze zákon o uzlech vyplývá pro tento L C p D/C p obvod RL + C. p C p Pro průtoky n jednotlivých odporech pltí vzthy lminární nebo linerizovné proudění d p p C + R R lin RL p d p + C pl L p R R R lin R lin R lin RL C d d p p C + L p L d p C d d p L LC L L p L d p C d p C + turbulentní proudění RL p R R p R d p + C pl L p R R d p R C d d p p C + L Pro odvození rovnice se sečtou tlkové spády získá se diferenciální rovnice p L d d p L LC L 66

67 lminární nebo linerizovné proudění d LC ( p) d( p) d + Rlin C + p L + R lin d LC turbulentní proudění ( p) d( p) d( p) d L + R + RC Diferenciální rovnice vyjdřuje závislost průtoku tlkového spádu RC + p p, přitom obě veličiny jsou v derivcích, tedy z hledisk mtemtického lze volit libovolnou proměnnou ( potřebné derivce) jko vstupní veličinu druhou veličinu spolu se zdnými potřebnými počátečními podmínkmi řešit. Vzhledem ke komplikovnosti vzthů se nlytické řešení nebude uvžovt dlší kpitoly se zbývjí již pouze numerickým řešením relizovným v SimHydrulics Numerické řešení turbulentního proudění Úloh bude řešen metodicky stejně jko T článek pomocí SimHydrulics, přípdně se uprví typ vstupního signálu. 5.4 Symetrický T článek L/ R/ R/ L/ R p L p R p R p L C p D/C p C Rovnice odpovídjící výše uvedenému schémtu je rovnicí druhého řádu pro tlk třetího řádu pro průtok. Vzhledem ke složitosti se již uvádí pouze rovnice pro linerizovný odpor proti pohybu odvozená ze schémtu pro turbulentní proudění se již odvození neprovádí. 3 CL d p CRlin d p CL d LR C d R C lin lin d + + p + + L + Rlin Numerické řešení symetrického T článku Předpokládá se tlkový vstupní signál ve tvru skokové funkce, tj. p, průtok je výstupní hledná funkce. Schém řešení v Simulinku je podobné. Při použití odporu proti pohybu Resistive Tube se le řeší nelineární tvr rovnic, tj. obecné turbulentní proudění. 67

68 funkce. Dlší vrintou řešení je průtok jko skokový vstupní signál změn tlku je hledná Tvr řešení závisí n tvru vstupního signálu tlku nebo průtoku (skoková, hrmonická exponenciální funkce) n hodnotách konstnt R, L, C. Odezvou n skokovou změnu je přechodová chrkteristik. Příprv schémtu pro tento článek je mnohem snžší v SimHydrulics, neboť koeficienty jsou složité nvíc není třeb přeprcovt schém pro změnu vstupního signálu. 5.5 π článek L/ R L/ R p L p R p L C C p D/C D/C p C p C Rovnice odpovídjící výše uvedenému schémtu je obyčejnou diferenciální rovnicí třetího řádu pro tlk čtvrtého řádu pro průtok. Vzhledem ke složitosti se opět uvádí pouze rovnice pro linerizovný odpor proti pohybu. R lin LC d p LC d p RlinC d p RlinL C d L C d RlinLC d p d + L + Rlin 5.5. Numerické řešení Numerické řešení je schůdné v SimHydrulics jko v předchozí kpitole. 5.6 Segmentovné potrubí Dělené potrubí (Segmented pipeline): je prvek, který slouží k vedení prcovního médi v systému. Reprezentuje hydrulické potrubí s kruhovým průřezem rozděleným příčnými řezy jko soubor stejných, sériově zpojených dílů - soustředných prmetrů. Kždá část se skládá z odporové trubky, bloku setrvčnosti kpliny stlčitelnosti kpliny. 68

69 (Simulink/Simscpe/Simhydrulic/Pipelines/Segmented pipeline) Pipe internl dimeter Vnitřní průměr potrubí,5 m Pipe length Délk potrubí m Number of segments Počet segmentů 6 - Aggregte eguivlent length of Ekvivlentní délk locl resistnces místních ztrát m Internl surfce roughness height Drsnost vnitřního povrchu,5 mm Lminr flow upper mrgin Horní lminární hrnice. 3 - Turbulent flow lower mrgin Dolní turbulentní hrnice Pipe wll type Typ stěny trubky Rigid - Specific het rtio Měrné teplo,4 - Dělené potrubí se skládá z odporů řzených z sebou dle obr Tkovéto sestvení odpovídá tomu, že v přípdě jednoho segmentu se bude jednt o symetrický T-článek. Kždý dlší segment je pk počítán jko tzv. L-článek. 69

70 obr. 5.4 Skldb děleného potrubí Výše definovná úloh je definovná obvodem v SimHydrulics. Custom Hydrulic Fluid f(x) Solver Configurtion A B prutokomer PS-S PS S z zdrojem To Workspce _z_zdrojem A B A B Segmented Pipeline prutokomer PS-S PS S To Workspce3 _z_t z ventilem Signl 4 Signl Builder S PS S-PS S P T Idel Hydrulic Pressure Source ndrz B A P Mnometr PS S PS-S tlkovy spd ndrz tlkovy_spd_n_t To Workspce obr. 5.5 Obvod se segmentovným potrubím. 5.7 Srovnání řešení pro různé typy modelů V následujícím obrázku je vidět rozdíly v řešení při použití klsických T-článků segmentovného potrubí. Vrinty řešení jsou definovány modelem s T-článkem segmentovným potrubím s,, segmenty.. 7

71 [m 3 s - ] nelin T T T T t [s] obr. 5.6 Zhodnocení tlků z dlouhým potrubím pro všechny vrinty modelů. Závěrem lze říci, že se zvyšujícím se počtem T článků se zvyšuje přesnost řešení, neboť se vužívá kvlitnější mtemtický model. Dále se zvyšuje mplitud kmitání snižuje frekvence. Stejný počet T článků segmentů v elementu segmentovného potrubí dává stejný výsledek, le výpočet užitím segmentovného prvku je čsově náročnější. První vlstní frekvence se pohybuje v rozmezí od do 3 Hz. 5.8 Rychlost zvuku v potrubí Tper Z numerického řešení chrkterizovného hrmonickým průběhem lze určit rychlost zvuku. Nechť je period hrmonického signálu. Pk čsová konstnt je dán vzthem T LC Dob běhu vlny je T B l Pk rychlost zvuku je l T s 4l T s B per l T 7

72 Rychlost zvuku se měří její hodnoty pro vybrné kpliny je v tb. 5.. tb. 5. Fázová rychlost šíření změn Fyzikální systém, látk Rychlost šíření (m.s - ) Světlo ve vkuu 3. 8 Elektrický kbel,5 ž,95. 8 Železo, sklo,5 ž,5. 8 Beton 4. 3 Volná vodní hldin 45 Ocelová trubice s kplinou, p5mp ž 6 Atmosfér 344 Středotlké hdice s kplinou 3 ž 55 Vysokotlké hdice s kplinou 65 ž 8 Umělohmotné trubice s kplinou ž 8 Tepny s krví ž 8 7

73 6. Lplceov Fourierov trnsformce, přenosy 6. Lplceov trnsformce spojité funkce Teorie Lplceovy následně Fourierovy trnsformce je pltná pouze pro lineární resp. linerizovné systémy, tedy pro lminární nebo linerizovné turbulentní proudění. 6.. Definice komplexního čísl funkcí Komplexní čísl jsou čísl ve tvru Re( ) + iim( ) β + iω ( 6..) kde β,ω jsou reálná čísl. Kždé komplexní číslo různé od nuly lze vyjádřit v goniometrickém tvru ( cosψ + sinψ ) iψ β + iω e ( 6..) Re ψ rctg i ( ) + Im( ) Im( ) ω rctg Re( ) β β + ω, Im() r ψ Re() obr. 6. Zobrzení komplexního čísl Jednotkový skok Signál ve tvru funkce jednotkového skoku je popsán mtemticky Impulz t u ( t ) [ n] t n u ( 6..3) n Signál popsný jednotkovou impulzní funkcí je svázán s jednotkovým skokem má tvr du ( ) ( t ) δ t δ [ n] n n u x t ( t ) δ ( τ ) dτ u[ n] δ [ m] δ [ n k] n m k ( t ) δ ( t ) x( ) δ ( t ) x[ n] δ [ n] x[ ] δ [ n] ( 6..4) 73

74 n u(t) d(t) -.5 d(t) x(t) x(t) u(t) obr. 6. Reálná exponenciál, jednotkový skok, impulz v nlogovém diskrétním tvru 6.. Lplceov trnsformce spojité funkce Lplceovým obrzem funkce x ( t ) se nzývá funkce komplexní proměnné X(s), dná integrálem X st ( s) e x( t) d( t), ( 6..5) pokud uvedený integrál konverguje (ukáže se, že v některých přípdech je třeb se z tohoto důvodu omezit n některé hodnoty s). Funkce x ( t ) se nzývá vzor. Čsto se tké oznčuje ( s) L[ x( t )] 74 X. Dále budou definovány obrzy jednoduchých čsto používných funkcí, které lze integrcí sndno odvodit. Npř. x ( t ) X ( s) L[ x( t )] pro t u ( t ) - jednotkový skok pro t s pro t, ε t u( t ) -impulz pro t ε e αt s α t s ω sinωt s + ω ω sinhωt s ω s cos ωt s + ω sl x t x ( t) - první derivce s nul. poč. podmínkmi [ ( )]

75 ( x n ) ( t ) - n-tá derivce s nul. poč. podmínkmi s n L[ x( t )] t x( τ ) dτ L ( x( t) ) s V tbulkách lze nlézt přehled nejdůležitějších funkcí, které se vyskytují čsto v plikcích i s jejich Lplceovými obrzy. Obrácené užití tkového přehledu dovoluje řešit i inverzní úlohu, tj. vyhle k dnému Lplceovu obrzu jeho vzor. Tto úloh je obecně řešitelná též pomocí inverzní trnsformce (Riemnnův-Mellinův vzorec). x st ( t ) e X ( s)ds π i + i i ( 6..6) Již nyní je zřejmá výhod, kterou bude pro plikce zvedení operátorového počtu. Obecně obtížné integrování, pro které ni nelze zvést obecná prvidl, je zde nhrzeno dělením Lplceovým prmetrem s, derivce násobením s. V tomto smyslu připomíná zvedení operátorového počtu zvedení logritmů, kdy se násobení dělení vzorů, tedy čísel, nhrdí sčítáním odčítáním jejich obrzů, tedy logritmů. Inverzní trnsformci lze řešit pomocí Lplceov slovníku přímo, pomocnými úprvmi, tj. rozkldem n prciální zlomky pk využitím Lplceov slovníku nebo numericky. 6. Přenos systému Metody vyhodnocení fyzikálních dynmických dějů popsných mtemtickým modelem ve tvru diferenciálních rovnic jsou dvojího typu ) obrzové přenosy - jsou definovány závislosti stvových veličin n čse přechodová chrkteristik je odezv dynmického systému s nulovými počátečními podmínkmi n vstupní signál ve tvru skokového signálu, viz obr. 6. impulzní chrkteristik je odezv dynmického systému při nulových počátečních podmínkách n vstupní signál ve tvru Dircov impulzu, viz obr. 6. b) frekvenční přenosy - jsou definovány závislostí podílu Lplceových obrzů výstupního vstupního signálu n frekvenci, vyšetřují se tzv. frekvenční chrkteristiky systému (tj. mplitudové fázové frekvenční chrkteristiky). Přesněji jsou definovány Fourierovými obrzy, což bude vysvětleno později. Příkld 6.. Určete přenos linerizovné diferenciální rovnice druhého řádu odpovídjící T článku RLC s nulovými počátečními podmínkmi dnými konstntmi. 75

76 d + R C lin d + LC R lin d p + p R LC lin ( 6..) Lplceov trnsformce se odvodí při použití oznčení L ( ( t) ) q( s), L( p( t) ) P( s) následovně s q q LC R R LC ( s) + sq( s) + q( s) s P( s) + P( s) R lin C ( s) s + s + P( s) s + RlinC LC Rlin RlinLC Přenos pro vstupní tlk je Y qp ( s) q P ( s) ( s) s + Rlin RlinLC s + s + R C LC Přenos pro vstupní průtok je převrácenou hodnotou Y pq ( s) P q ( s) ( s) lin s + s + RlinC LC s + R R LC lin lin lin R lin lin Rlin s + s + C LC s + LC Příkld 6.. iψ Určete grficky přenos Y ( s) Y ( β ω) Re( Y ( β, ω) ) + i Im( Y ( β, ω) ) Y e v příkldu pro T-článek. ) Tlk je vstupní veličin průtok je výstupní veličin Y ( s) q P LC R ( s) lin Rlin ( s) L + + LCs Velikost přenosu Y ( s) Re [ Y ( s) ] + Im [ Y ( s) ] obr. 6.3, fáze přenosu s + R lin, rovnice uvedené s (bsolutní hodnot, resp. mplitud přenosu), viz Im ψ rctg Re [ Y ( s) ] [ Y ( s) ] 76

77 77

78 Lplceov trnsformce bs(y) 6 4 rctg(y) bet omeg bet omeg 4 6 obr. 6.3 Grfické vyhodnocení bsolutní hodnoty obecného přenosu nd rovinou β, ω 6.3 Poznámky k počátečním podmínkám Obyčejná diferenciální rovnice řešená numericky nebo Lplceovou trnsformcí vyžduje zdání počátečních podmínek. Z předešlého výkldu plyne, že při výpočtu obecného přenosu frekvenčních 78

79 chrkteristik je zvykem uvžovt počáteční podmínky rovny nule, což je omezující předpokld. Proto se uvžovný děj, který obshuje jk stcionární tk nestcionární složku, rozdělí n součet těchto složek. Nechť p p p u u u p jsou celkové tlky průtoky, pk lze psát: u + p + ( 6.3.) jsou stcionární neboli čsově ustálené veličiny p jsou dynmické neboli neustálené, čsově závislé veličiny. Pk lze uvžovt počáteční podmínky pro ustálené hodnoty jko nenulové pro dynmické hodnoty jko nulové (při vyšetřování dynmiky se ustálená složk neřeší). Výchozí rovnice se rozdělí n dvě rovnice pro ustálené neustálené veličiny řeší se jko izolovný systém. Celý postup se pro ilustrci uvádí n příkldu určeném rovnicí d L + R p Dosdí se součet ustálené dynmické složky uprví: ( + ) d u L + R u d d u L + L + Ru ( + ) ( p + p ) + R + R u u p Derivce ustálených veličin podle čsu jsou rovny nule, výrz dynmických odchylek rovnice se tedy zjednoduší: u + p R je mnohem menší než u resp. u ( + ) p + p ( 6.3.) ( 6.3.3) je znedbtelný (druhá mocnin - je to běžná metod linerizce) d L. + R ( 6.3.4) u u u Rovnice se rozdělí n rovnice dynmické ustálené tk, by v součtu tvořily výchozí rovnici d L R Oznčme R u + R p u u p ( 6.3.5) R R u lin d L. Pk předchozí soustv bude mít tvr: + R p lin u u p ( 6.3.6) Pro tkto definovnou diferenciální rovnici jsou počáteční podmínky rovny nule ustálený děj je popsný dle předpokldu. Z důvodu snzšího zápisu se oznčení s postrofem nebude používt. 79

80 6.4 Stbilit systému Soustv je stbilní, jestliže odezv n konečný vstupní signál je tké konečná. Nechť soustv je určen přenosem ( s) ( s) f Y ( s) ( 6.4.) F Nechť F ( s) je tzv. chrkteristický polynom. Kořeny polynomu F (nulové body) se nzývjí póly přenosu. Soustv, která je lineární, spojitá, reálná čsově invrintní, bude povžován z stbilní v přípdě, že kořeny polynomu F ( s) resp. póly přenosu jsou záporné nebo se zápornou reálnou částí tj. s k k + iωk βk, ωk β ( 6.4.) Bude-li spoň jedno číslo ležet n imginární ose, tj. s k k + iωk βk, ωk β ( 6.4.3) pk v přípdě, že toto číslo je jednoduché, se soustv bude nzývt soustvou n mezi stbility. se nzývá vlstní kruhovou frekvencí soustvy, ω k ω πf, f je vlstní frekvence, jejíž význm bude zřejmý při rezonnci. Vlstní frekvence se projeví v grfu přenosu jko hodnot rovn nekonečnu pro α jko hodnot mximální. k Příkld 6.4. Určete stbilitu rovnice uvedené v příkldu pro T-článek. ) Tlk je vstupní veličin průtok je výstupní veličin Y ( s) q P LC R ( s) LCs + lin Rlin ( s) R LCs + Ls + R L lin lin + + LCs s + R lin s Y ( s) pro R LCs + L. s + lin R lin s, R C lin ± RlinC 4 LC Reálná část je záporná, soustv je stbilní, ω i stbilitu neovlivní. b) Průtok je vstupní veličin tlk je výstupní veličin 8

81 Y Y ( s) P q ( s) RlinLCs + Ls ( s) LCs + ( s) pro LCs + + R lin s, i LC LC Reálná část je rovn nule, výstupní signál je netlumený. Imginární část definuje hrmonický signál. 6.5 Fyzikální význm přenosů vyšších řádů jejich prmetrů V technické prxi se nejčstěji vyskytují přenosy prvního druhého řádu odpovídjící fyzikálnímu ději, popsnému obyčejnou diferenciální rovnicí prvního nebo druhého řádu. Proto je vhodné se seznámit s jejich význmem vyhodnocením. iω 6.5. Přenos prvního řádu Přenos Y ( s) q P ( s) K ( s) + Ts odpovídá diferenciální rovnici d T + K p, kde T je tzv. čsová konstnt K je součinitel zesílení. Přechodová chrkteristik je dán rovnicí kde ust e T t ust je symptot (ustálená hodnot pro t ) může se určit z výchozí diferenciální rovnice (první derivce pro symptotu je rovn nule) ust K p. Čsová konstnt se odečte z přechodové chrkteristiky. V počátku souřdnic se sestrojí tečn přechodové chrkteristiky, která protne přímku ustálené hodnoty y y s ust v bodě A, jehož souřdnice udává čsovou konstntu T. α A T t 6.5. Přenos druhého řádu T Přenos Y ( s) d + T d ( s) K ( s) + Ts + T s q odpovídá diferenciální rovnici P + K p, kde T je tzv. čsová konstnt, je tzv. součinitel poměrného tlumení K je součinitel zesílení. Čsová konstnt bude definován jko T LC 8

82 součinitel poměrného tlumení pk přenos bude mít tvr q P ( s) ( s) Y K + Ts + T R L C. Pokud se zvede tzv. kruhová frekvence ω, K ω ω + ω s + s ( s) T je čsová konstnt (není to period), je poměrné tlumení, s T ( 6.5.) T ω je frekvence kruhová. Přenos chrkterizuje periodický nebo periodický průběh podle toho, jké jsou póly přenosu, resp. kořeny jmenovtele přenosu. Tedy ( ± ), s ω I) pro jsou kořeny reálné, přechodová s chrkteristik bude periodická t II) pro jsou kořeny komplexně sdružené, přechodová chrkteristik bude periodická, frekvence tlumeného s A A kmitání je ω N ω T π T k t T k Z přenosu lze přímo určit přechodovou chrkteristiku jko odezvu n impulzní vstupní signál, viz. []. N příkldu obvodu RLC se demonstruje určení přenosu vlstní frekvence jk početně tk grficky. Příkld 6.5. Rovnice T-článku v Lplceově obrzu je R lin d LC d L + R d p LC + p + lin přenos je určen podílem Lplceov obrzu výstupní vstupní veličiny 8

83 Y ( s) q P LC R ( s) LCs + lin Rlin ( s) R LCs + Ls + R L lin lin + + LCs s + R lin s ( 6.5.) Čsová konstnt netlumených kmitů je dán vzthem T LC poměrné tlumení Y R lin L C. Pro určení stbility se nleznou póly přenosu, tj. ( s) pro R LCs + L. s + lin R lin s, ± RlinC RlinC 4 LC Reálná část je záporná, soustv je stbilní. Diskriminnt může být kldný i záporný. Z toho vyplývá, že I) v přípdě, že, jsou kořeny s, reálné, tudíž vlstní frekvence neexistuje, R lin C LC respektive je nulová. II) v přípdě, že, jsou kořeny s, komplexně sdružené, vlstní kruhová R lin C LC R lin C LC frekvence je ω ± Fourierov trnsformce spojitých signálů Pro prezentci spojitých lineárních funkcí je postčující uvžovt zvláštní přípd Lplceovy trnsformce Fourierovu trnsformci, která je definovná pro rgument 83 s iω, tedy prmetr β je nulový. Zvláště pro určení přenosu dlších vlstností z přenosu vyplývjících je tento přístup vhodný. Nechť funkce x ( t ) je bsolutně integrovtelná x ( t ), ( t) v prostoru reálných čísel R, pk funkce F + ( i ) x( t) x jsou po částech spojité iωt ω e ( 6.6.) se nzve komplexním Fourierovým obrzem funkce x ( t ). Funkce ( t ) (předmětem). x je tedy originálem

84 Zobrzení, které předmětu x ( t ), t R, přiřzuje Fourierův obrz ( iω) F dle vzthu ( 6.6.) se nzývá Fourierovou trnsformcí znčí se F. Fourierův obrz F ( iω) se nzývá též spektrální funkce nebo spektrální hustot originálu x ( t ) chrkterizuje spojité spektrum funkce x ( t ), t R: hodnot F ( iω) tvoří mplitudovou spektrální hustotu, ψ rg( F( iω) ) (resp. rg( F( iω) ) ) je fázová spektrální hustot, ψ π, π Sndno lze vyhodnotit F ( iω) Re( F( iω) ) + Im( F( iω) ), ψ ψ ( ω) získt tzv. mplitudovou fázovou frekvenční chrkteristiku. Im Re. ( F( iω) ) ( F( iω) ) grficky Příkld 6.6. Vyhodnoťte přenos příslušný diferenciální rovnici pro T-článek. Počáteční podmínky průtoku jsou nulové podle definice přenosu. Tudíž Lplceův obrz zdné rovnice je Y ( s) q P ( s) ( s) R lin LCs LCs + + Ls + R lin LC R LCs lin s + Rlin Rlin L + s + LCs R lin ( LCs + ) + L R lin c s + s ( s + ) + bs + Přenos je určen podílem výstupní vstupní veličiny jeho mplitudovou fázovou frekvenční chrkteristiku pro s iω lze grficky zobrzit. V Simulinku je možno prcovt s komplexními čísly tedy tbelovt výše definovnou funkci. Pro zobrzení se zvolí blok pro rozdělení komplexního čísl n jeho velikost - mplitudu (Mgnitude) úhel, který svírá průvodič příslušného vektoru s osou x (Angle), viz schém n obr konst c C odpory Demux A Selector b 3 B 84

85 odpory cs. konstnty TLR,TRC,TLC ALFA odpory OMEGA lf,omeg BETA e i omeg l,s,d,s,e,l,ro,k,ni j mgnitude potrubi+kplin to Workspce cplxmp(compl,mgnitude) Dp 4 Rlm,Rturb,Rlin,L,C Odpory const Signl Signl Builder Rel-Img to Complex Re Im om To Workspce odpory s C A B konst pro prenos s compl To Workspce4 A*s jmenovtel B*s cittel Y(s) Mgnitude ngle u u Mgnitude -Angle Angle To Workspce obr. 6.4 Schém bloku konst pro prenos obvodu pro vyhodnocení přenosu v SimHydrulics. Pk lze obě funkce, tj. závislost mgnitudy úhlu, vykreslit v závislosti n úhlové rychlosti ω, viz obr Přitom je nutné přejít do Workspce (podobně jko při vykreslování sttických chrkteristik) mgnitude omeg obr. 6.5 Amplitudová frekvenční chrkteristik 85

86 6.7 Frekvenční nlýz v SimHydrulics SimHydrulics umožňuje metodou linerizce po blocích provést linerizci obvodu sestveného v SimHydrulics vyhodnotit přenosy, které jsou podle definice plikovtelné jen n lineární systémy. Existuje tké možnost zpětně se zbývt kvlitou linerizce, tj. linerizovný systém uložit, vytvořit obvod nlogický původnímu nelineárnímu se shodnými vstupními prmetry, jen obvod bude linerizovný porovnt reálné řešení. Pro nše účely bude postčovt grfické vyhodnocení frekvenčních chrkteristik. Postup vyřešení frekvenční nlýzy bude plikován n obvod s nelineárním T článkem následovně: určí se polohy vstupního výstupního bodu v nelineární obvodu, které mohou ležet n spojnici bloků Simulinku, nikoliv SimHydrulics (testovný signál musí být bezrozměrný) vloží se vstupní bod (input), tj. prvým tlčítkem myši se rozklikne spojnice mezi blokem Signl Builder převodníkem S-PS, čímž se rozblí rolet kde se vybere Lineriztion Points/Input Point. Po odkliknutí se vytvoří specifická znčk vstupu n spojnici. Podobně se vytvoří výstup, který musí ležet kdekoliv v obvodě z PS-S převodníkem, v nšem přípdě n zobrzovcí větvi z průtokoměrem. Znčk výstupu je odlišná. po nstvení vstupu výstupu se spustí simulce, ODE5s, v Tools/Control Design/ Liner Anlysis se otevře tbulk Control nd Estimtion Tools Mnger spustí Linerize Model. 86

87 vytvořený grf lze dále uprvovt kliknutím myší (kurzorem) do okn vlevo dole z nbídky vybrt npř. bode digrm pro mplitudovou fázovou chrkteristiku. 87

88 logritmické osy běžné pro frekvenční nlýzu přípdně dlší úprvy lze dále vytvořit kliknutím myší (kurzorem) do okn grfu z nbídky vybrt Properties (pro rozsh os, stupnice, brvy td.), resp. Chrkteristics-Pek Response pro určení vlstní frekvence Příkld Vytvořte frekvenční chrkteristiky pro obvod prezentující T článek. Custom Hydrulic Fluid Signl Signl Builder f(x) Solver Configurtion S PS S-PS S P A B prutokomer T Idel Hydrulic Pressure Source ndrz PS-S PS S A z zdrojem B Liner Hydrulic Resistnce A A To Workspce _z_zdrojem B P Mnometr B Fluid Inerti Constnt Volume Chmber PS S PS-S A B prutokomer tlkovy spd PS-S PS S To Workspce3 _z_t z ventilem ndrz tlkovy_spd_n_t To Workspce obr. 6.6 Obvod T článek s vloženými body vstupu výstupu 88

89 Bode Digrm -8 From: Signl Builder (pt. ) To: PS-S (pt. ) -9 Mgnitude (bs) Phse (deg) omeg (rd/sec) obr. 6.7 Uprvená mplitudová ftekvenční chrkteristik. Z výsledků je zřejmé, že hodnot vlstní frekvence odpovídá vlstní frekvenci určené z numerického řešení i z přímého vyčíslení přenosu progrmem Simulink. 89

90 7. Hydrulický ráz Mtemtické modely pro zkoumání těchto jevů jsou velmi složité, neboť jsou silně závislé n experimentálně zjištěných ech. Vzhledem ke složitosti celého děje je vhodné zvolit následující postup experimentálně definovt typickou úlohu se stlčitelností vody z důvodu definice modulu pružnosti, výsledky měření pk využít k definici okrjových podmínek, vyřešit mtemtický model, porovnt výsledky mtemtického modelu s experimentem. Po vyřešení těchto testovcích úloh je pk možno přistoupit k modelování kvitce erce ve složitějších geometriích, kde zbývt se podrobným ověřováním výsledků je nemožné. 7. Experimentální zkoumání hydrulického rázu ve vodě. Zřízení pro demonstrci hydrulického rázu bylo definováno v příkldu 4.. včetně geometrických prmetrů dlouhého potrubí okrojových podmínek. Průběhy tlků n počátku potrubí před z clonou, uprostřed n konci potrubí před ventilem byly snímány do počítče pomocí progrmu Mtlb-Simulink grficky vyhodnoceny, viz obr. 7.. Z grfu lze odečíst periodu děje při hydrulickém rázu. p [P].E+5 9.E+4 8.E+4 7.E+4 6.E+4 5.E+4 4.E+4 3.E+4.E+4.E+4.E+ P P čs [s] obr. 7. Měřené průběhy tlku n mnometrech P P4 7. Řešení metodou elektrohydrulické nlogie Dle fyzikálního experimentu byl zvolen jko zdroj tlkové kpliny prvek Idel Pressure Source, kde se definovl konstntní tlk n vstupu do obvodu před rázem. Uzvírání obvodu se zbezpečilo dvoucestným rozvděčem s ovládáním, které je definováno řídícím signálem. Dále jsou ve schémtu použity průtokoměry mnometry s grfickým digitálním textovým výstupem. Mnometry n zčátku P konci P4 potrubí jsou rozmístěny ve shodě s experimentem měřené tlky oznčeny p 9

91 p. Dlší význmné bloky jsou nádrž, hydrulická kplin pro definování fyzikálních vlstností kpliny bloky pro prmetry numerické simulce. Rozváděč (-Wy Directionl Vlve): slouží v obvodu jko uzvírcí ventil. Jeho úkolem v obvodu je vyvolt skokovou změnu signálu. K jeho prmetrizci jsou dostupné 3 volby: mx. plochou regulcí zdvihu, tbulkou průtočné plochy ventilu regulcí zdvihu nebo tlkem průtokem. Pro tuto práci byl použit volb č.. (Simulink/Simscpe/Simhydrulic/Vlves/Directionl vlves/-wy Directionl Vlve) Model prmeteriztion Model prmetrizce Vlve pssge mximum re Mximální průtočná ploch,6. -5 m Vlve mximum opening Mximální otevření ventilu, m Flow dischrge coefficient Výtokový součinitel (odporový),7 - Initil opening Počáteční otevření m Criticl Reynolds number Kritické Reynoldsovo číslo - Lekge re Průtočná ploch lekáže. - m 9

92 Tvořič signálu (Signl Builder): tento blok slouží k nstvení čsového průběhu otevírání zvírání rozváděče. Čs uzvírání ventilu byl nstven n t uz ms. (Simulink/Sources/Signl Builder) Nejdůležitějším prvkem obvodu je segmentovné potrubí, kde vzhledem k turbulentnímu proudění budou využity odlišné vzthy pro součinitel tření, které se le vybírjí podle rychlosti v dném místě obvodu Reynoldsov čísl. Obvod je tedy stejný jko pro proudění vody včetně subsystémů. Pro numerické řešení užitím progrmu SimHydrulics se využije schém připrvené pro výpočet sttické chrkteristiky s následujícími úprvmi: Potrubí (Resistive Tube) se vymění z segmentovné potrubí (Segmented Pipe), tj. využije se bloku, který obshuje potrubí (Resistive Tube), dále se prlelně připojený blok kpcity (Constnt Volume Chmber) sériově blok indukčnosti (Fluid Inerti), přitom počet segmentů definuje právě počet těchto prvků. Čím více segmentů se zvolí, tím je přesnější výpočet, le tké se velmi prodlužuje dob výpočtu úloh může divergovt z důvodu zokrouhlovcích chyb. Zdroj ideálního tlku (Idel Hydrulic Pressure Source) je definován v bloku Signl Builder skokovou funkcí z měření. p 674P n p 4798P v čse t. s jeho průběh plyne z V bloku kpliny je nutno nstvit objemový zlomek nerozpuštěného plynu n nulu (npř. e-5), neboť obsh plynu v kplině je zohledněn ve změřeném modulu pružnosti. 9

93 Signl 3 S PS kplin/vod Signl zvreni To Workspce prutok S-PS m prutoky To Workspce3 f(x) Solver Configurtion A B prutokomer PS S PS-S A B Segmentovne porubi A S A B P B /ventil A B prutokomer PS S PS-S PS S prutok Signl 3 Idel zdroj tlku S PS S P T A B P Mnometr PS S Mnometr P PS-S3 P tlk To Workspce ndrz Signl tlku S-PS P ndrz PS-S tlk To Workspce tlky obr. 7. Schém obvodu n řešení hydrulického rázu užitím segmentovného potrubí. 7.. Okrjové podmínky fyzikální vlstnosti kpliny Okrjové podmínky se definují n konci zčátku potrubí jsou dány fyzikálním experimentem. Okrjová podmínk n vstupu do oblsti je dán hodnotou tlku v ustáleném stvu při otevřeném obvodu uzvřeném obvodu. Změn je definován uzvřením rozvděče, které je řízeno signálem se změnou polohy v čse odpovídjícím přestvné době. Tto změn se relizuje v čse s, kdy numericky dojde k ustálenému proudění v obvodu. Po uzvření následuje po dobu vteřin odezv obvodu n tuto dynmickou změnu. Rozvděčem je definovná okrjová podmínk n výstupu, kdy průtok je změněn skokově z hodnoty ustáleného stvu n nulu. 93

94 4.5 x 4 4 Signl 3 seg_clnek_rz_prenos/signl Builder : Group Time (sec) obr. 7.3 Tlková podmínk n vstupu do potrubí x -3 seg_clnek_rz_prenos/signl Builder : Group 5 Signl Time (sec) obr. 7.4 Řídící signál pro uzvření rozvděče. Fyzikální vlstnosti kpliny jsou dány při tmosférickém tlku v bloku hydrulické kpliny. Fluid density Hustot kg.m -3 Kinemtic viscosity Kinemtická viskozit. -6 m.s - Bulk modulus Modul pružnosti,4. 6 P Reltive mount of trpped ir Reltivní množství obsženého vzduchu tb. 7. Prmetry pro definování kpliny. 94

95 Modul pružnosti kpliny byl v dném přípdě určen z experimentu. Hodnot tohoto modulu pružnosti je nižší, než se uvádí pro vodu (,. 9 ). Hodnot je ovlivněn přítomnosti vzduchu v kplině. Bohužel určit tuto hodnotu není sndné. Tedy numerický výpočet bude relizován pro změřenou hodnotu modulu pružnosti následně se bude relizovt pro teoretickou hodnotu modulu pružnosti pro různé hodnoty objemového zlomku vzduchu. Výsledky se porovnjí s experimentem. 7.. Vyhodnocení řešení p [P].E+5 9.E+4 8.E+4 7.E+4 6.E+4 5.E+4 4.E+4 3.E+4.E+4.E+4.E+ p4-exp p4-e6 p4-e čs [s] obr. 7.5 Srovnání tlku před ventilem Objemový zlomek vzduchu ovlivňuje řešení podobně jko modul pružnosti. V grfu n obr. 7.5 je zobrzen průběh tlku pro následující vrinty fyzikální experiment z měření určený modul pružnosti K.4. 6 P nulový obsh vzduchu teoretický modul pružnosti K.4. 6 P objemový zlomeck vzduchu α. Význmným výsledkem simulce je vyhodnocení průběhu rychlosti n zčátku potrubí v bodě P, kde je opět ptrný vliv stlčitelnosti tudíž je možno pozorovt periodické chování děje. 95

96 R-e8- R-e6.5 [m 3 s - ] t [s] obr. 7.6 Průběh rychlosti n zčátku potrubí. Rychlost n konci potrubí kopíruje okrjovou podmínku uzvření rozvděče tedy skokové změny rychlosti z ustálené hodnoty n nulu. 7.3 Přenos Přenos je řešen výše popsným způsobem využití linerizční metody. 96

97 x -4 Step Response From: Signl Builder (pt. ) To: PS-S3 (pt. ) Amplitude Time (sec) obr. 7.7 Odezv n skokový jednotkový signál při otevřeném obvodu 97

98 Bode Digrm x -4 From: Signl Builder (pt. ) To: PS-S3 (pt. ) Mgnitude (bs) 8 9 Phse (deg) Frequency (rd/sec) 98

99 8. Hydrulický kumulátor 8. Význm kumulátoru Hydrulický kumuláror kumuluje tlkovou energii kpliny v hydrulických obvodech. Používá se jko tlumič tlkových pulzcí jko ochrn proti přetížení zrovnoměrňuje dodávku energie při nerovnoměrném odběru nouzový zdroj tlkové energie Hydrulické kumulátory se rozdělují podle konstrukce n: pístové kumulátory (závžové, pružinové) plynové kumulátory (s přímým nepřímým stykem s kplinou) 8. Odpory hydrulického plynového kumulátoru p t Ideální hydrulický kumulátor předstvuje ideální zdroj tlku C podmínku V C K p o konstntní hodnotě, neboli. Pro průtok kumulátorem > musí kpcit kumulátoru splňovt objem kumulátoru V. C. K dosžení velké kpcity kumulátoru by byl potřebný znčně velký Skutečný kumulátor má konečný objem tudíž i kpcitu, která se určí vzthem n V p np p. Pro izotermickou (tj. pomlou) změnu je n u polytropické změny záleží hodnot koeficientu n rychlosti změny určuje se experimentem. Ze zkušeností bylo stnoveno n n rozmezí exponentu.65 + τ.8 + τ n trvjí pod min. n n < < v závislosti n době změny stvu τ. Mezní hodnoty jsou τ.54 + τ. Pomlé změny stvu trvjí po dobu ž min. Rychlé změny Izoentropicý součinitel κ. 4 (pro dvoutomové plyny) je závislý n teplotě tlku plynu. Pro dusík lze závislost vyjádřit lineární funkcí ( t ) 4 κ.4 + pro t p 6 ( 8..) 99

100 kde t je teplot ve stupních Celsi tlk v MP. Do přetlku MP se projevuje nelinerit při MP se odchylk exponentu největší (κ je o,5 ž. menší než vypočtená hodnot dle ( 8..)). Do přetlku MP se prkticky vliv teploty znedbává. Obecné schém membránového kumulátoru je n obrázku. Je třeb uvžovt hmotnost tuhost membrány či pryžového vku. V přípdě, že se znedbává tto hmotnost, pk při přímém styku kpliny plynu odpdá pohybová rovnice. Pro průtok z kumulátoru pltí vzth dp C, kde kpcit kumulátoru je dán při polytropické změně vzthem C V n. Ve vzorci np p p je p sttická složk tlku n počátku děje V odpovídjící objem plynu. Při reltivně mlých změnách tlku průtoku je kpcit kumulátoru konstntní. Odpor proti pohybu z odporu v hrdle kumulátoru R se skládá z odporu vku, odporu kpliny v nádobě především R ρζ S využije vzthu pro odpor proti pohybu u potrubí. V, neboť v tomto místě je největší rychlost i zrychlení. Pk se Odpor proti zrychlení se skládá z odporu proti zrychlení pryžového vku sedl, dále z odporu kpliny v nádobě kumulátoru hlvně kpliny v hrdle kumulátoru L l l S + S l S ρ. Příkld 8.. Řešte dynmické prmetry kumulátoru typu 5AGV-. Tvr kumulátoru je koule o poloměru r V V k V p S p p S l l,5 m, objem plynu je dán vzorcem pro objem koule Zdné počáteční prmetry jsou: V 4 π r 3 3. plnící tlk p MP (rel.), MP (bs.) stlčení n tlk p MP (rel.), MP (bs.) Při stlčení pltí pro plyn stvová rovnice n, tj. jedná se o izotermní stlčení, tedy n n p V pv, pro pomlé plnění je dibtická konstnt

101 p V pv V V p p Dynmická změn je v systému vyvolán skokovou změnou tlku z p MP (rel.) n p MP (rel.). Pro dibtickou změnu pltí n n p n V pv V V p p Kpcit kumulátoru při těchto podmínkách je dán vzthem: C V V V p p p Místní odpor proti pohybu v hrdle kumulátoru se určuje odlišně podle toho, zd se jedná o proudění turbulentní nebo lminární, kdy le odpor proti pohybu je třeb linerizovt R V R turbulentní R ρζ S ρλl πd d 4, lminární R ρζ 8ρνl 4 S πd Odpor proti zrychlení v hrdle kumulátoru je určený vzthem jednodušeji L ρ. S l L l h S + S l S ρ nebo 8.3 Mtemtický model hydrulického plynového kumulátoru Rovnice vyjdřující průtok tlkový spád v kumulátoru jsou pk dány vzthem lminární nebo linerizovné proudění turbulentní proudění p t C resp. p C ( 8.3.) p p + R lin + L d p p + R + L d

102 Rovnice ( 8.3.) tvoří mtemtický model proudění v kumulátoru, kde neznámé veličiny jsou tlk p n vstupu do kumulátoru, p je tlk nd kplinou v kumulátoru je průtok kumulátorem. Jsou to dvě rovnice o třech neznámých, tedy jedn veličin, tj. tlk p, bude zvolen jko vstupní signál zbývjící dvě se vypočítjí. Linerizovný model lze uprvit jednoduše n jednu rovnici se závislostí n p tk, že se do druhé rovnice dosdí z Po úprvě je p p z první rovnice: d d p p + Rlin + L + + p Rlin L C C + R lin + L d ( 8.3.) Vzhledem k definicím tlkového spádu n hydrulických odporech p R L D/C p této rovnici odpovídá schém p R p L p C sériového řzení všech tří odporů. pp 8.3. Numerické řešení linerizovného modelu. Linerizovný model je pro ilustrci řešen v Mtlb Simulinku dle metodik použitých v předchozích kpitolách, přitom schém je n obr. 8.. lin To Workspce R,Rlin,L,C odporylin lin e5 Odpory P Plin Plin P Akumlin plin To Workspce Mgnitude To Workspce3 omeg Signl Builder odpory prenos omeg Prenos u u Mgnitude -Angle Angle mgnitude ngle To Workspce4

103 -R*-P+P odpory Demux R* s lin Rlin,L,C (-R*-P+P)/L P /C - -/C s P Plin obr. 8. Schém řešení linerizovného modelu kumulátoru přenosu Řešení linerizovného proudění je n obr x x lin Plin t t obr. 8. Linerizovný průtok tlk 8.3. Numerické řešení nelineárního modelu. Nelineární model se řeší stejně jko linerizovný s tím že se uprví rovnice. Simulce v SimHydrulics nemá smysl, neboť kumulátor je definovný pouze rovnicí s kpcitou, odpor proti pohybu zrychlení se neuvžuje. Nvíc se předpokládá nekonstntní kpcit, dná stlčitelností 3

104 plynu. Tedy model je zcel odlišný kumulátor musí být zřzený do celého hydrulického obvodu. Nelze jej testovt izolovně v sériovém zpojení. 8.4 Přenos Přenos se určí z dné soustvy pltné pro linerizovné proudění z rovnice ( 8.3.) p C + R lin + L d Po Lplceově trnsformci při nulových počátečních podmínkách je Y P P C s ( s) ( s) + R ( s) + L s ( s) P Doszením vzthu lin ( s) Cs ( s) C L s + R C s lin + dp C tlkem v kumulátoru tlkem n vstupu Y PP P P ( s) ( s) L C s + R C s lin + C dp Je vidět, že ob přenosy definují shodnou vlstní frekvenci. ( 8.4.) do rovnice ( 8.3.) se získá přenos mezi ( 8.4.) Čsová konstnt vlstní frekvence jsou význmnými veličinmi z tvru přenosu pro linerizovné proudění jsou určeny tkto T L C, f πt Frekvenční chrkteristiky jsou n obr. 8.3, kde mplitudová chrkteristik určuje vlstní úhlovou frekvenci kumulátoru ω s - fázová chrkteristik ji potvrzuje. Přenos YP má stejnou vlstní frekvenci, jen mplitud bude jiná (zhrub řádově - ). 4

105 ngle omeg omeg obr. 8.3 Amplitudová fázová frekvenční chrkteristik přenosů Y PP 8.5 Prlelní zpojení kumulátoru v obvodu Předchozí zdání sloužilo k testování funkce vlstností kumulátoru. Pokud má být kumulátor zpojen v obvodu, pk je zpojen prlelně výsledkem testování je tlk n vstupu do kumulátoru průtok před z kumulátorem. Zpojení kumulátoru oznčení počítných veličin je ptrné ze schémtu. Tedy tlk před kumulátorem p z kumulátorem p jsou shodné, průtok před kumulátorem je oznčený. Průtok z kumulátorem je definován jko. Tento výrz se dosdí do výchozích rovnic. Z toho se určí lminární nebo linerizovné proudění turbulentní proudění dp dp ( ) C C p p d d p p R L lin ( ) p p R ( ) lin L d d p p R L ( ) p p R ( ) L ( 8.5.) 5

106 V systému dvou rovnic jsou 4 neznámé funkce. Tlk p vstupní průtok jsou veličiny dné, které v ustáleném stvu nbývjí definovných hodnot. Npř. při náhlém zvýšení tlku p se zvýší i průtok o definovnou hodnotu. Připojený kumulátor zčne tlumit vzniklé pulzce jeho vlivem se změní průtok z kumulátorem. Tedy zákldní neznámá je tlk p je pomocná veličin, kterou lze ze systému rovnic vyloučit získt jednu rovnici druhého řádu. Pro numerické řešení by se le provedl zpětná substituce n dvě rovnice prvního řádu, což je zbytečné. Prlelení zpojení kumulátoru do obvodu jeho vliv lze sledovt modelováním v SimHydrulics. Uvžme schém n obr. 7., kde se zdroj tlkový změní n průtokový signál se skokem změní z hodnoty n hodntu 7e-4. Nvíc je do obvodu vložen kumulátor. Kpcit kumulátoru je dán objemem kumulátoru. Dále je dán plnicí tlk kumulátoru počáteční objem kpliny. Specific het rtio je poměr měrnýh tepel při konstntním tlku teplotě pro vzduch je,4. Pokud je tlk n vstupu do kumulátoru větší než plnicí tlk, pk kplin vtéká do kumulátoru nopk. Prmetry, které se zdávjí do menu kumulátoru, jsou: Cpcity objem vzduchu v kumulátoru (zprvidl objem dný geometrií) 6

107 Prelod pressure plnicí tlk Initil volume objem kpliny v počátečním stvu (t). Tento objem je zprvidl roven nule, le význmně ovlivňuje řešení. Je optimální v bloku řešiče (f(x)) ztrhnout prmetr pro výpočet stcionárního stvu pro čs t. Tím je hodnot Initil volume nstven n hodnotu odpovídjící stcionárnímu stvu. Mtemtický model je dán následně dv k V pro p ppr K kde V K objem kpliny V K V V A kpcit kumulátoru (objem) p ktuální tlk n vstupu p pr tlk plnicí k poměr měrných tepel t objemový průtok čs A p p pr / k p p pro pr Je vidět, že neobshuje odpor proti pohybu ni zrychlení..5 S PS Signl 3 Signl prutoku Kplin/vod Akumultor f(x) Konfigurce S PS m3/s S P A B prutokomer T Idel zdroj prutoku ndrz PS-S PS S A B Resistive Tube m To Workspce _z_zdrojem z zdrojem A Constnt B P Mnometr A PS S PS-S B Fluid Inerti Constnt Volume Chmber tlk S B A A B prutokomer /ventil tlk To Workspce To Workspce3 _z_t PS-S PS S z ventilem ndrz obr. 8.4 Schém obvodu s T článkem kumulátorem. 7

108 3.5E+4.5E-4 3.E+4.E-4.5E+4 p [P].E+4.5E+4.5E-4.E-4 [m3s-].e+4 5.E+3 Dp bez A Dp bez A 5.E-5.E t [s].e+ obr. 8.5 Skokový signál průtoku n vstupu do obvodu průběh tlkového spádu v obvodu s kumulátorem bez kumulátoru. Z obr. 8.5 je zřejmé, že kumulátor tlumí tlkový pulz. 8

109 Bode Digrm From: Signl prutoku (pt. ) To: PS-S (pt. ) Mgnitude (bs) Phse (deg) Frequency (Hz) 8.6 Vzb mezi přenosem sériově prlelně zpojených R,L,C prvků Vzájemný vzth mezi přenosy sériově prlelně zpojených prvků budou objsněny n jednoduchém příkldě. Uvžme sériově zpojené odpory R, L, C. Pk tlkový spád p R v d + L v + C Po Lplceově trnsformci lze definovt přenos P Cs ( s) Rq( s) + Lsq( s) + q( s) v q P Pro prlelně zpojené prvky R, L, C pltí vzth p v + R L d p p + C Po Lplceově trnsformci lze definovt přenos p je definovný tkto ( s) Cs ( s) LCs + RCs + R + Ls + Cs 9

110 q R Ls ( s) P( s) + P( s) + CsP( s) q P L LCs + s + R ( s) Ls + R + RLCs ( s) RLs Ls Porovnáním obou přenosů je zřejmé, že přenosy jsou přibližně ve vzthu převrácených hodnot, tedy v mplitudové frekvenční chrkteristice vyznčená vlstní frekvence se v druhém přenosu projeví opčně, tj. hodnoty mplitudové frekvenční chrkteristiky k této hodnotě klesjí. Hodnot vlstní frekvence netlumených kmitů je stejná. Tkto se tké projevuje kumulátor zpojený do obvodu, viz obr bs(ypp),bs(yp) bs(ypp),bs(yp) j j obr. 8.6 Porovnání mplitudové frekvenční chrkteristiky při sériovém prlelním zpojení prvků R,L,C. 8.7 Dynmické konstnty některých kumulátorů Pro určení dynmických vlstností kumulátorů nejsou od výrobců k dispozici potřebné údje. Pro několik vybrných kumulátorů jsou známé jejich prmetry z litertury byly získány n zákldě experimentů. Vlstní frekvence čsové konstnty netlumených kmitů jsou dopočítány n zákldě známých vzthů Akumulátory 5AVG- Jihlvn 5AVG-5 Jihlvn TGL-6 Orst TGL5-6 Orst p [MP] 5 5 p [MP] V [m 3 ] R (lin) [Nm -5 s] (.3.6). 7 (.). 7 (.3.8) L [Nm -5 s ] (4 5). 5 (4.4 5.). 5 (.4.9). 5 (.96.98). 5 C [N - m 5 ] (.6.). - (.8.7). - (.7.). - (9.6 9,7). - T (.3.34) (.6.66) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) (.6.48)

111 8.8 Prvky s převžující kpcitou 8.8. Nádob nplněná kplinou Uvžuje se zprvidl pouze stlčitelnost kpliny dokonle pružná nádob. Kpcit je definován jko C N VN K. Přenosová mtice je dán vzthem

112 9. Rotční hydrogenerátor 9. Teoretický rozbor ω p y Z V Z konst V M p V Z kons V p obr. 9. Schém rotčního HG Sttická chrkteristik HG p V hydrulickým mechnizmech se uskutečňuje převod energie z pevných částí n sloupec kpliny prostřednictvím hydrogenerátoru. Oznčení zákldních veličin je použito dle schémtu. Sttická chrkteristik hydrogenerátoru je dán závislostí průtoku n tlkovém spádu Jedním ze zákldních prmetrů hydrogenerátoru, který je dán konstrukcí, je teoretický objem Mtemtický model regulčního hydrogenerátoru je určen rovnicemi pro moment hydrogenerátoru M pohybovými rovnicemi pro průtoky, podobnými rovnicím hydromotoru. Nutno přihlížet ke změně smyslu proudění, což se projeví ve změně znménk. p. V t. 9. Mtemtický model hydrogenerátoru Pro skutečný průtok hydrogenerátorem je sttická chrkteristik dán: lminární nebo linerizovné proudění turbulentní proudění t z ynvt Zv p ynv k p k p t z t ( 9..) kde k,k jsou součinitelé hydrulických ztrát hydrogenerátoru, vnitřní tzv. svodová propustnost je určen vzthem Z v teoretický průtok je dán t ynvt. ( p) Rv Pro neustálené stvy je třeb uvžovt odpor proti deformci, který ovlivňuje průtok pltí rovnice kde ynvt k p k t V C + V + V K ( p) d p + C ( 9..) je kpcit dná teoretickým objemem hydrogenerátoru, objemem přívodního potrubí potrubí n výtlčné strně.

113 Pro skutečný moment hydrogenerátu lze definovt momentovou chrkteristiku: lminární nebo linerizovné proudění M M t + M z Vt y p + bnn + k3 p π turbulentní proudění M M + M kde vnitřní tzv. svodová propustnost je určen vzthem k 3 (zjednodušeně lze předpoklá 3 k ). t Vt y p + M π Skutečný moment pro neustálený stv je dán vzthem M M + M + resp. t z Z v z c + b n + b n o ( p) Rv dω Vt πj y p + Mc + bon + b n + k p + πj π 3 M k p + Mc + b n + b n πj 3 + dn + k p 3 ( 9..3) Vt k3 + k 3 π kde J moment setrvčnosti hydrogenerátoru, rotující kpliny zátěže [kg.m ] y prmetr nstvení hydrogenerátoru Mz M moment hydrogenerátoru, což je moment ztížení redukovný n hřídel i hydrogenerátoru [N.m] dn, ( 9..4) Rovnice pro průtok moment neregulčním hydrogenerátorem lze souhrnně zpst lminární nebo linerizovné proudění d p nvt Zv p C M k3 p + Mc + bnn + πj dn turbulentní proudění nvt k p k d p p C M k p + Mc + b n + b n πj 3 + Výše uvedená soustv je soustvou dvou obyčejných diferenciálních rovnic o neznámých dn ( 9..5), pu. K vyřešení je třeb dvě proměnné volit jko vstupní signál zbývjící dvě spočítt. Tyto dvě veličiny mohou být definovány jko funkce určené regresí z měření. 3

114 9.3 Součinitele sttických průtokových momentových chrkteristik hydrosttických čerpdel Sttické chrkteristiky hydrosttických čerpdel jsou dány závislostmi ( p, n) ( p n) M M,, kde nezávisle proměnné jsou tlkový spád p otáčky n. Podrobněji pltí nvt k p k p M k c + 3 p + M + bn bn ( 9.3.) Součinitelé k, k, b, b součinitelé c vs, cst, cvv, ctv spolu souvisí následnými vzthy πη k 3 csv c / st V k Vt c vv b η V ρ 4πb ctv 5 / 3 t ρv t ( 9.3.) Hodnoty součinitelů k, k, b, b byly vyhodnoceny z měření pro několik druhů hydrogenerátorů jsou uvedeny v tb. 9.. tb. 9.. Hodnoty bezrozměrových součinitelů vřetenová čerpdl zubová čerpdl lmelová čerpdl xiální čerpdl pístová čerpdl c ( 45). -8 ( 4). -8 (3 4,3). -8 (,5 ). -8 (,5 ). -8 sv c (8 38). -4 ( 3). -4 (3,5 9). -4 (,5,8). -4 (,5,8). -4 st c (,,4). 5 (, ). 5 (,4,6). 5 (, ). 5 (,,8). 5 vv c tv Olej: V t m 3, ρ 85 kgm -3, η.8.55 P.s k (,45 45). - k (, 5). -8 b (,6,55) b (,3 6,5). -3 4

115 9.4 Zákldní prmetry čerpdel Kždé čerpdlo je chrkterizováno průtokem, který má rozměr udávný podle velikosti 3 3 čerpdl [ m s, ls, lmin, m h ], otáčkmi n [ s ], měrnou energií Y [ ] s doprvní výškou H [ m ], výkonem (scími) vlstnostmi. P [ ] h W, příkonem m, přípdně P [ W ], účinností η kvitčními p obr. 9. Schém kol hydrodynmického čerpdl rychlostní trojúhelníky 9.5 Chrkteristik čerpdl Chrkteristik čerpdl je křivk závislosti skutečné měrné energie Y (resp. skutečné doprvní výšky H ) n průtoku. K této zákldní výkonu Y chrkteristice se připojují křivky P h, účinnosti η měrné energie pro potrubí Y P, viz obr c Chrkteristiku čerpdl nelze určit přímo, protože složité proudění v oběžném kole difuzoru především hydrulické ztráty z geometrických chrkteristik provozních podmínek čerpdl nelze mtemticky proztím kvntittivně přesně popst. Rozbor hydrulických ztrát lze všk provést kvlittivně. Dílčí chrkteristiky jsou: měrná energie čerpdl [ Y f ( ) ] n konst účinnost čerpdl [ η c ( ) ] n konst f 5

116 výkon čerpdl [ P h f ( ) ] n konst chrkteristik potrubí [ Y P f ( ) ] n konst Y P ( ). Provozní bod čerpdl ( Y ; ) je dán průsečíkem závislosti ( ) c c Y chrkteristiky potrubí 6 Měrná energie čerpdl Y portubí Y p [J/kg] 8 4 Y Yp η prcovní bod Účinnost čerpdl η [%] Objemový průtok [m 3 /s] obr. 9.3 Chrkteristik čerpdl 9.6 Odstředivé čerpdlo v SimHydrulics Odstředivé čerpdlo se definuje chrkteristikou čerpdl dnou - polynomickou závislostí tlkového spádu n průtoku - dvěm D chrkteristikmi p- nd P p -, vytvořenými tbulkou závislosti tlkového spádu n průtoku příkonu n průtoku. Pro propojení bodů je možno vybrt 3 interpolční metody extrpolční metody - dvěm D chrcteristikmi: P--W nd N--W vytvořenými tbulkou závisloti tlkového spádu příkonu n průtoku při různých úhlových rychlostech resp. otáčkách. Tlkový spád příkon jsou dány dvourozměrnými tbulkmi (mticemi). Opět je možno pro propojení bodů vybrt jednu ze tří interpolčních metod dvou extrpolčních metod. 6

117 Nejjednodušší způsob pro zdání chrkteristiky je následující. Grf chrkteristiky pro zdání do tbulky získáme z experimentu nebo z ktlogového listu (internet) pro dné čerpdlo. Tento postup předpokládá pouze jednu zdnou chrkteristiku pro jedny otáčky (čerpdlo nemá možnost měnit otáčky). výběr typu chrkteristiky otáčky referenční hustot vektor průtoku vektor tlku vektor průtoku vektor příkonu interpolční metod extrpolční metod Třetí vrint předpokládá, že je k dispozici čerpdlo, které má npř. pro 3 otáčky odměřené chrkteristiky (má přepínč otáček). Pk je možno z 7

118 referenční hustot vektor průtoku pro tlk vektor otáček mtice tlku vektor průtoku pro příkon mtice příkonu interpolční metod extrpolční metod Mtice tlku pro 4 hodnoty otáček 8 hodnot průtoku je definován tkto: n n n 3 n 4 zápis v okně (je to jeden řádek) p p p3 p4 [ ; p p p p8 p8 p ; ; ; ; ; ; ; ] Referenční hodnoty jsou hodnoty, při kterých byly určeny chrkteristiky. Ty le mohou být použity i pro jiné hodnoty přepočtou se pomocí finních vzthů: Z jejich podrobnosti vyplývjí finní vzthy pro prmetry čerpdl, tj. pro unášivé rychlosti u u pro meridiální rychlosti m c m c v závislosti n otáčkách n n pltí vzthy u u n, n c c m m n n (9.6.) pro doprvní výšku resp. měrnou energii pltí 8

119 H Y u c u n H Y u c n u (9.6.) pro výkon čerpdl Ph Y n P Y n h 3 (9.6.3) pro kroutící moment M k Ph n n M n P n k h (9.6.4) 9.6. D chrkteristik čerpdl WILO RS 5/4 3 V PN Údje o čerpdle, které je používáno v obvodech ktedry, je možno nálézt v internetu, nebo získt měřením. Konkrétně čerpdlo WILO RS 5/4 má podrobné informce v internetu včetně změřených chrkteristik. Čerpdlo bezúdržbové, mokroběžné topenářské - výrobce: WILO. Rozteč 8 mm. Npájení x3 V/5 Hz. Provozní tlk PN. Teplot - ž C. Mx. doprvní výšk 4 m. Mx. otáčky ot/min. Světlost DN ". Připojení závit G /" (6/4"). Těleso čerpdl z šedé litiny. Technické prmetry: - Čerpné médium: užitková vod - Provozní teplot: - C - Okolní teplot (mx): 4 C - Provozní mx: br - Druh npájení: ~3V/5Hz - Příkon: 7-3/4-48/56-68 W - Otáčky: /65/ ot/min - Potrubní přípojk - šroubení: G /" (6/4") Mteriál: - Těleso: legovná šedá litin GG - Hřídel: X 4 Cr 3 - Obežné kolo: polypropylén - Ložisko: grfit 9

120 Použítí údjů z internetu pro definovní čerpdl v SimHydrulics: Dle popisu je možno vklá Polynomickou závislost tlkového spádu n čerpdle příkonu n průtoku polynomem. stupně. Závislost v ktlogovém listu není dán, je nutno ji vyhodnotit přepláním křivky tlku příkonu pro jedny hodnoty otáček do Excelu spočítt (spojnice trendu) D chrkteristiku závislosti tlkového spádu n průtoku příkonu n průtoku Pro prktické použití se vyberou chrkteristiky pro použité otáčky, tlkové výšky se přepočítjí n tlky p ρgh P všechny veličiny se nvíc přepočítjí n jednotky, které kceptuje SimHydrulics, nejlépe zákldní. Celá úprv se provede v Excelu: Wilo RS 5/4 - chrkteristik z ktlogového listu otáčky otáčky příkon mx mx geom objem min- rd/s kw l/s m3/s m3/rd

121 průtok průtok Dpro.g.H příkon příkon l/s m3/s P kw W tlk [P] průtok [m 3.s - ] příkon [W] Vložení chrkteristiky do Sim Hydrulice:

122 kplin Signl Signl Builder S PS m PS-S uhlov rychlost ot/min konfigurce S PS S-PS rd/s f(x) S C R Idel Angulr Velocity Source S P T cerpdlo min- A B Resistive Tube B A P Mnometr S A B rozvdec PS S PS-S A B prutokomer.e+4 Disply tlk P PS S 8.93e-8 Disply prutok m3/s XY Grph Mechnicl Rottionl Reference ndrz ndrz

123 9.6. D chrkteristik čerpdl WILO RS 5/4 3 V PN Chrkteristiky jsou odečteny ze stejného ktlogového listu. Počet otáček je 3, pro zdní D chrkteristiky se vyždují nejméně 4 chrkteristiky, proto je třeb spočítt čtvrtou chrkteristiku pomocí finních vzthů opět užitím Excelu. Wilo RS 5/4 - chrkteristiky z ktlogového listu otáčky otáčky příkon mx geom objem mx min- rd/s W l/s m3/rd m3/s tlk P Dp3/*Dp() výkon W Pp(3/)^3*Pp() otáčky ot/min otáčky rd/s průtok průtok DpρgH Dp DpρgH DpρgH výkon výkon výkon výkon l/s m3/s P P P P W W W W

124 D p [P ] 5 5 příkon [W] průtok [m 3.s - ] průtok [m 3.s - ] Vstupní čerpdl jsou 4