Pokyny pro písemné vypracování úloh

Transkript

1 ZADÁNÍ ÚLOH PRO KONZULTAČNÍ CVIČENÍ Z MECHANIKY F1030 Pokyny pro písemné vypracování úloh Pište čitelně, jasně a stručně. Prostě tak, aby řešení byli schopni pochopit Vaše kamarádky, kamarádi a zejména opravovatelé a konzultanti, kteří rozhodují o tom, zda bude řešení přijato. Součástí vypracovaného řešení by měl být diagram, graf a/nebo obrázek. Při opravování bude uplatňováno tzv. minutové pravidlo, které zní: Pokud opravovatel či konzultant do minuty není schopen přijít na to, jakým způsobem úlohu řešíte, bude Vám tato vrácena. Při řešení úloh můžete mimo konzultační cvičení spolupracovat, každý ze spolupracujících musí být ovšem schopen vysvětlit celý postup řešení. Řešení vždy vypracujte výpočtem, jež obsahuje proměnné. Případné zadané číselné hodnoty dosazujte až na závěr. Takto spočtené číselné výsledky je třeba správně zaokrouhlit. Konzultační cvičení 1 Kinematika Úloha 1. Zábavný návrat ze zábavy. Manželé Lenka a Jindřich se vracejí pozdě večer ze zábavy v místě A do domova v místě B, vzdálenost těchto míst je 5 km. Naštěstí je cesta rovná a měsíc v úplňku svítí. Mají s sebou (jen) jedno jízdní kolo. Protože je Jindřich bud kavalír, nebo se obává, že by jej sousedé pomluvili, neudělá obvyklou věc, že by sám jel domů na kole a manželka by si udělala procházku. Domluví se proto takto: J vyrazí na kole, L pěšky. Jakmile mezi nimi bude dohodnutá vzdálenost d, cyklista J položí kolo u cesty a dál pokračuje pěšky. Pěšec L dojde ke kolu a pokračuje v jízdě až do okamžiku, kdy dohoní pěšího J. Celý cyklus se opakuje až do chvíle, kdy se oba setkají doma. Rychlost cyklisty má velikost 15 km/h, rychlost chodce 5 km/h, at už se jedná o Lenku či Jindřicha. Určete, zda (a popřípadě kolik) času ušetří, než kdyby šli domů solidárně pěšky. Závisí výsledek na dohodnuté vzdálenosti d? Určete podmínky pro to, aby se po určitém počtu cyklů N (a tento počet určete) právě potkali doma. Úloha 2. Průměrná rychlost, průměrné zrychlení. Automobil (hmotný bod) letmo startuje v okamžiku t 1 do kopce rychlostí v 1 (t), obecně proměnnou, jejíž průměrná velikost je v 1. Stejnou cestou se okamžitě vrací do původního bodu rychlostí v 2 (t), jejíž průměrná velikost je v 2. Do původního bodu dorazí v okamžiku t 2. Spád trati automobilu u startu a cíle je p% (tangenta úhlu sklonu trati = 0,01p). Jsou-li zadány hodnoty v 1 (t 1 ) a v 2 (t 2, neznáme-li však konkrétní tvar funkcí v 1 (t) a v 2 (t), určete 1

2 a) průměrnou rychlost automobilu v časovém intervalu [t 1, t 2 ], b) průměrnou hodnotu velikosti rychlosti v tomto intervalu, c) průměrné zrychlení automobilu v tomto intervalu; jaké by bylo průměrné zrychlení v uvedeném intervalu, kdyby se automobil rozjížděl z klidu a na konci intervalu zastavil? V další části úlohy řešte obecnější situaci. Za předpokladu znalosti funkcí průběhu velikosti rychlosti v(t) v závislosti na čase v intervalu [t 1, t 2 ] zjistěte, pokud je to možné, d) průměrnou hodnotu velikosti tečného, normálového a celkového zrychlení automobilu v intervalu [t 1, t 2 ] a další informace týkající se časové závislosti tečného, normálového a celkového zrychlení, které lze na základě zadání funkce v(t) zjistit. Konkrétně vypočtěte pro případ, že velikost rychlosti se řídí grafem na obr. 1, přičemž t 1 = 0s a t 2 = 14s. (Jedná se o modelový graf. V bodech zlomu grafu je funkce v(t) sice spojitá, její derivace však není definována, takže situace v těchto bodech není realistická. Ve skutečnosti může být změna velikosti rychlosti sice rychlá, musí však proběhnout spojitě. Skutečný graf musí být hladký.) v[ms ] jízda nahoru obrátka jízda dolů t[s] OBR. 1 Velikost rychlosti automobilu jako funkce času Pokud některé části úlohy nelze na základě zadání vyřešit, specifikujte je a zdůvodněte. Úloha 3. Střelba. Projektil je vystřelen ze samohybné houfnice DANA pod úhlem α = 42 rychlostí o velikosti v 0 = 693 m/s. Tíhové pole Země považujeme za homogenní (tíhové zrychlení o velikosti g = 9,81m/s 2 ), odpor vzduchu zanedbáváme. Určete a) největší výšku nad vodorovným povrchem, do jaké projektil vystoupí, b) vzdálenost, do jaké projektil dopadne od paty děla, je-li výška ústí hlavně nad zemí h = 708 cm, c) velikost a směr rychlosti projektilu při dopadu, 2

3 d) velikost tečného a normálového zrychlení v místě výstřelu, e) velikost tečného a normálového zrychlení v nejvyšším bodě trajektorie, f) poloměr křivosti trajektorie v jejím nejvyšším bodě, g) po jaké kružnici (poloměr) by se musel projektil pohybovat rovnoměrným pohybem, aby velikost jeho rychlosti a zrychlení byly stejné jako jsou v nejvyšším bodě trajektorie vystřeleného projektilu. Úloha 4. Hodograf rychlosti. Střela je vystřelena v tíhovém poli Země rychlostí o velikosti v 0 pod úhlem α vzhledem k vodorovné rovině. Narýsujte křivku, kterou vytvoří koncové body vektorů rychlosti střely, umístíme-li jejich počáteční body do stejného počátku. Úloha 5. Ohňostroj. Rakety vystřelené při ohňostroji vytvářejí nádherné symetrické kulové útvary. Jak je to možné, když trajektorie raket jsou parabolické? Předpokládejte, že z odpalovacího zařízení vyletí všechny rakety ve stejný okamžik s počáteční rychlostí o stejné velikosti v 0 do různých směrů ležících v polorovině vymezené zemí. Určete, jakou plochu vytvoří (tj. na jaké ploše leží) rakety v pevně zvoleném okamžiku t po výstřelu (než dopadnou na zem). Zanedbejte odpor vzduchu. 3

4 Konzultační cvičení 2 Dynamika hmotného bodu V následujících úlohách považujeme vztažnou soustavu spojenou se Zemí za interciální, tíhové pole za homogenní, velikost tíhového zrychlení je g. = 9,8ms 2. Není-li řečeno jinak, odpor prostředí proti pohybu těles zanedbáváme. Úloha 1. Pohyby po nakloněné rovině. Klín o hmotnosti M = 3,5 kg a úhlu sklonu α = 35 je umístěn v tíhovém poli Země (obrázek 2), které považujeme za homogenní, velikost tíhového zrychlení je g. Na šikmou plochu klínu položíme kostku o hmotnosti m = 0,5 kg. Určete zrychlení, s jakým se pohybuje kostka vzhledem k vztažné soustavě spojené se Zemí a tlakovou sílu, jíž působí nakloněná rovina na kostku v následujících případech: a) Klín je pevně přilepen k podložce, tření mezi kostkou a šikmou plochou je zanedbatelné (považujte je za nulové). b) Klín je pevně spojen s podložkou, koeficient statického tření mezi klínem a kostkou je f 0 = 0,20, koeficient dynamického tření je f = 0,15. Určete podmínku pro to, aby se kostka vůbec dala do pohybu. c) Tření mezi klínem a vodorovnou podložkou je zanedbatelné (považujte je za nulové), totéž pro tření mezi kostkou a šikmou plochou klínu. d) Lze situaci a) charakterizovat jako limitní případ situace c)? Jak? g m M OBR. 2 K úloze 1 (Pohyb po nakloněné rovině) V případě c) určete i zrychlení klínu vzhledem k Zemi a tlakovou sílu, jíž působí na klín vodorovná podložka. Úloha 2. Pohyby těles s vzájemným působením třecích sil. Zadání úlohy je zřejmé z obrázků. Hmotnosti těles jsou m = 1,2 kg a M = 3,5 kg. Soustavu souřadnic volte podle obrázku. 4

5 a) y b) g M F... určit podmínky pro složky m f s x M m f s, f d F... konst Tělesa se pohybují společně. Sílu F známe, popsat pohyb těles, stanovit podmínky. OBR. 3 Pohyby za přítomnosti třecích sil a) Určete podmínky pro složky síly F, kterou je třeba působit na těleso o hmotnosti m, aby se obě tělesa pohybovala po vodorovné podložce společně. Tření mezi tělesem M a vodorovnou podložkou je zanedbatelné (nulové), koeficient statického tření mezi tělesy je f s = 0,2. Určete zrychlení společného pohybu. Pozor: Na obrázku je síla zakreslena jako vodorovná, ale nevíme, jaký směr bude ve skutečnosti mít. b) Na těleso m působí vodorovná tahová síla známé velikosti. Koeficient statického, resp. dynamického tření mezi tělesy je f s = 0,2, resp. f d = 0,1, tření mezi tělesem m a vodorovnou podložkou je zanedbatelné (nulové). Úloha 3. Balistická zkouška. Bedna s pískem o hmotnosti M leží na vodorovné podložce a je připoutána k vodorovné pružině o tuhosti k. Kulka o hmotnosti m narazí do bedny vodorovně a uvázne v ní. Maximální stlačení pružiny je d. Tření mezi podložkou a bednou je zanedbatelné (nulové). a) Určete velikost rychlosti, jíž kulka narazila do bedny. b) Určete kinetickou energii soustavy bedna + kulka před srážkou a bezprostředně po srážce a vysvětlete případný rozdíl. c) Určete celkovou mechanickou energii soustavy bedna na pružině + kulka v libovolném okamžiku po srážce a vysvětlete výsledek. Úloha 4. Práce a potenciální energie. V prostoru je dáno silové pole, které má ve zvolené kartézské soustavě souřadnic ( O; x, y, z složky ( ) x F( r) = K (x 2 + y 2 + z 2 ), y 3 (x 2 + y 2 + z 2 ), z [N] 3 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 5

6 kde K = 1 je rozměrová konstanta (určete její jednotku). Přímým výpočtem z definice určete práci, kterou toto silové pole vykoná při přemístění částice z bodu A = (1, 1, 1) do bodu B = (2, 2, 2) a) po úsečce spojující tyto dva body, b) postupně po úsečce spojující body A a B 0 a úsečce spojující body B 0 a B, kde B 0 je kolmý průmět bodu B do roviny z = 1, c) po vhodně zvolených hranách krychle, jejíž podstavy leží v souřadnicových rovinách a tělesová úhlopříčka je AB. Situace a), b) a c) znázorňuje obrázek. 1 z A C B D a) b) c) A B A B B 0 A C D B x 1 1 B 0 y OBR. 4 K úloze 4 (Práce a potenciální energie) Pokuste se obecně vysvětlit výsledky získané v částech a), b) a c) a odpovězte na otázku, zda lze silovému poli F přisoudit potenciální energii a v kladném případě ji určete. 6

7 Konzultační cvičení 3 Dynamika tuhého tělesa Úloha 1. Tělesa na kladce. Přes kladku na obrázku je vedeno vlákno, na jehož jednom konci je zavěšeno těleso o hmotnosti M, délka tělesa je L. Po lanku na druhé straně kladky klouže korálek (hmotný bod) o hmotnosti m. Korálek mine těleso za dobu T. Určete a) třecí sílu, jíž působí lanko na korálek, je-li tato síla konstantní, b) zrychlení korálku a zrychlení tělesa vzhledem k vztažné soustavě spojené se Zemí, c) sílu (směr a velikost), jíž působí kladka na osu (závěs), kolem níž se otáčí. Hmotnost kladky je zanedbatelná (nulová). d) Diskutujte význam předpokladu o nulové hmotnosti kladky. Kladka koná pouze otáčivý pohyb. Na něj mají vliv pouze síly, jimiž na kladku působí z obou stran vlákno. (Proč nemá na otáčivý pohyb vliv síla, jíž na kladku působí závěs?) Kdyby šlo o realistický případ, tj. kladka by měla nenulovou hmotnost, musely by být síly, jimiž na ni působí lanko z obou stran, různě velké. (Zkuste vysvětlit, proč.) M k 0 M m g R S L OBR. 5 K úlohám 1 (Tělesa na kladce) a 2 (To věděl už Galilei) Úloha 2. To věděl už Galilei. Z horního bodu svislého průměru upevněné kruhové desky o poloměru R vycházejí žlábky ve směru tětiv. Deska je postavena svisle. a) Do žlábků vkládáme tělíska (malé kostičky) s nulovou počáteční rychlostí, které v nich mohou klouzat bez tření. Dokažte, že doba, za kterou tělíska v různých žlábcích dorazí na obvod desky, je stejná. b) Jaké by bylo řešení úlohy, kdyby tělísky byly kuličky, které se ve žlábcích valí bez prokluzu? Stanovte také podmínku pro to, aby k prokluzu nedocházelo. c) Je možné upravit desku tak, aby s ní bylo možné realizovat oba typy experimentů? 7

8 Úloha 3. Přetahovaná. Homogenní válec se může odvalovat po vodorovné podložce bez prokluzu. V nejvyšším bodě V válce jsou připevněny dvě pružiny o stejné tuhosti k, které jsou vetknuty do svislých stěn (obrázek 6). k V k g M R OBR. 6 Válec na pružinách V tomto stavu jsou nenapjaté. Popište, jaký pohyb bude konat válec, vychýlíme-li jej tak, že se pootočí o malý úhel ϕ 0. Rozhodněte, zda podložka působí na válec ještě jinou silou než tlakovou, a v kladném případě charakterizujte její povahu a určete její směr a velikost. Pracujte v aproximaci malých úhlů ϕ sin α tan α. 8