MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOL BÁŇSKÁ TECHICKÁ UIVERZIT OSTRV FKULT STROJÍ MTEMTIK II V PŘÍKLDECH CVIČEÍ Č 0 Ing Petra Schreiberová, PhD Ostrava 0 Ing Petra Schreiberová, PhD Vysoá šola báňsá Technicá univerzita Ostrava ISB Tento studijní materiál vznil za finanční podpory Evropsého sociálního fondu ESF a rozpočtu Česé republiy v rámci řešení projetu: CZ07/00/506, MODERIZCE VÝUKOVÝCH MTERIÁLŮ DIDKTICKÝCH METOD

2 OBSH CVIČEÍ Č 0 Přílady POUŽITÁ LITERTUR 0 MODERIZCE VÝUKOVÝCH MTERIÁLŮ DIDKTICKÝCH METOD CZ07/00/506

3 Cvičení č 0 CVIČEÍ Č 0 STRUČÝ OBSH CVIČEÍ: Dělení polynomů Rozlad na parciální zlomy MOTIVCE: Mnoho funcí vysytujících se při řešení praticých problémů bývá ve tvaru racionální lomené funce Proto je velmi důležité umět s těmito funcemi pracovat CÍL: Umět dělit polynomy a rozložit racionální lomenou funci na parciální zlomy MODERIZCE VÝUKOVÝCH MTERIÁLŮ DIDKTICKÝCH METOD CZ07/00/506

4 Cvičení č 0 PŘÍKLDY Racionální lomenou funcí nazveme funci ve tvaru podílu dvou polynomů: Pn R Q, de P n je polynom stupně n a Q m je polynom stupně m Racionálně lomené funce dělíme na dvě supiny podle vzájemného vztahu stupně čitatele a jmenovatele: je-li n < m, pa se jedná o ryze lomenou racionální funci je-li n m, pa je to neryze lomená racionální funce a tu je možno dělením upravit na součet polynomu a ryze lomené racionální funce Přílad : m Vyjádřete funci R jao součet polynomu a ryze lomené racionální funce Řešení: Vidíme, že v čitateli funce je stupeň polynomu tři a polynom ve jmenovateli je stupně Stupeň ve jmenovateli je menší, polynomy tedy můžeme dělit Dělíme ta, že vždy vezmeme člen v čitateli s nejvyšší mocninou a vydělíme členem s nejvyšší mocninou ve jmenovateli: dělíme, dostáváme Dalším roem je vynásobení výsledu zísaného dělení se jmenovatelem a odečtení od původního polynomu v čitateli snížíme stupeň čitateli Zontrolujeme, poud zísaný polynom má již menší stupeň než polynom ve jmenovateli Poud ano, jedná se o zbyte ryze lomená funce, poud ne, musíme dělit dále : Danou racionální funci můžeme zapsat ve tvaru: MODERIZCE VÝUKOVÝCH MTERIÁLŮ DIDKTICKÝCH METOD CZ07/00/506

5 MODERIZCE VÝUKOVÝCH MTERIÁLŮ DIDKTICKÝCH METOD CZ07/00/506 5 Cvičení č 0 Přílad : Vyjádřete funci R jao součet polynomu a ryze lomené racionální funce Řešení: : Danou racionální funci můžeme zapsat ve tvaru: Každou ryze lomenou racionální funci lze rozložit na součet parciálních zlomů:, R R Q P s de R,,R s jsou parciální zlomy počet odpovídá stupni polynomu ve jmenovateli Parciální zlomy jsou speciální racionální lomené funce Rozlišujeme typy: α, de, R, α a q p M, de,,,,, R q p M 0 < q p Každému -násobnému reálnému ořenu mnohočlenu Q odpovídá v rozladu členů prvního typu, tj,,, α α α a aždé l-násobné dvojici ompleně sdružených ořenů přísluší l zlomů druhého typu, tj,, l l l q p M q p M Postup nalezení oeficientů rozladu: Zjistíme, zda je zadaná funce ryze lomená Poud ne, převedeme ji dělením na součet polynomu a ryze lomené funce

6 Cvičení č 0 6 ajdeme ořeny polynomu ve jmenovateli apíšeme předpoládaný tvar rozladu Potřebujeme najít oeficienty rozladu Vynásobíme celou rovnici rozladu funcí Q 5 Zísanou rovnici můžeme řešit dvěma způsoby: Přílad : a Srovnávací metoda Dva polynomy se rovnají, jestliže jsou stejného stupně a mají stejné oeficienty u stejným mocnin proměnné Porovnáním těchto oeficientů dostaneme podmíny pro čísla,,, B,, M, Tyto podmíny jsou vyjádřeny soustavou lineárních rovnic pro neznámé,, Tato soustava je vždy řešitelná jednoznačně b Dosazovací metoda Jestliže má jmenovatel reálné ořeny, je výhodné dosadit je do vznilé rovnice Všechny členy s neznámými oeficienty až na jeden totiž vymizí, a ta snadno dostaneme za aždý taový ořen jeden neznámý oeficient c Kombinace obou metod Dosazovací metodou zísáme něoli rovnic, teré vyřešíme metodou srovnávací Rozložte funci R na parciální zlomy Řešení: Polynom v čitateli je stupně a polynom ve jmenovateli je stupně > jedná se o ryze lomenou funci nemusíme dělit ajdeme ořeny polynomu ve jmenovateli, tzn hledáme řešení této rovnice: 0 Zusíme levou stranu rovnice rozložit na součin: Řešíme tedy: 0 Vidíme, že rovnice má jednoduché reálné ořeny 0, a apíšeme předpoládaný tvar rozladu Jeliož máme reálné ořeny, budeme mít n parciální zlomy prvního typu, de a n,, n 0, tedy rovnici násobíme polynomem ve jmenovateli ve tvaru a dostáváme rovnost dvou polynomů: součinu MODERIZCE VÝUKOVÝCH MTERIÁLŮ DIDKTICKÝCH METOD CZ07/00/506

7 Cvičení č Potřebujeme najít, a Uážeme si obě metody nalezení oeficientů a Rovnici upravíme roznásobíme a porovnáme oeficienty u stejných mocnin u 0 : u : u 0 : Dostali jsme soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých počet rovnic vždy odpovídá počtu oeficientů Po vyřešení soustavy dostaneme:, 8, 5 8 b Jeliož máme reálné ořeny, bude výhodnější využít dosazovací metody Do rovnice postupně dosadíme všechny ořeny : 0 : 8 8 : c Můžeme i ombinaci obou metod ale v tomto případě je to zbytečné Po určení oeficientů dosadíme zpět do 5 a dostáváme hledaný rozlad: 8 8 Přílad : Rozložte funci R na parciální zlomy Řešení: Polynom v čitateli je stupně 0 a polynom ve jmenovateli je stupně >0 jedná se o ryze lomenou funci nemusíme dělit MODERIZCE VÝUKOVÝCH MTERIÁLŮ DIDKTICKÝCH METOD CZ07/00/506

8 Cvičení č 0 8 ajdeme ořeny polynomu ve jmenovateli, tzn, hledáme řešení této rovnice: 0 0 Vidíme, že rovnice má jednoduchý reálný ořen 0 a dvojnásobný reálný ořen, apíšeme předpoládaný tvar rozladu Jednoduchému reálnému ořenu odpovídá parciální zlome prvního typu a dvojnásobnému reálnému ořenu odpovídají n parciální zlomy prvního typu, de, a n, n 0 rovnici přenásobíme polynomem ve 0 jmenovateli ve tvaru součinu a dostáváme rovnost dvou polynomů: 5 Potřebujeme najít, a Jeliož máme reálné ořeny, použijeme ombinovanou metodu Do rovnice postupně dosadíme všechny známé ořeny 0 : : Známé oeficienty dosadíme zpět do rovnice: a porovnáním u po úpravě dostáváme: : Druhou možností je dosazení dalšího reálného čísla do, např : Výslede: Hledaný rozlad: MODERIZCE VÝUKOVÝCH MTERIÁLŮ DIDKTICKÝCH METOD CZ07/00/506

9 Cvičení č 0 9 Přílad 5: Rozložte funci Řešení: R na parciální zlomy Polynom v čitateli je stupně a polynom ve jmenovateli je stupně > jedná se o ryze lomenou funci nemusíme dělit ajdeme ořeny polynomu ve jmenovateli, tzn hledáme řešení této rovnice: 0 Výraz na levé straně již nelze dál rozložit na součin v reálném oboru rovnice má ompleně sdružené ořeny a jeden reálný ořen apíšeme předpoládaný tvar rozladu Kompleně sdruženým ořenům odpovídají M parciální zlomy druhého typu a reálnému ořenu parciální zlome p q prvního typu rovnici přenásobíme polynomem ve jmenovateli dvou polynomů: M M a dostáváme rovnost 5 Potřebujeme najít, M a Jeliož máme omplení ořeny a jen jeden reálný, použijeme srovnávací metodu u 0 M : u : M u 0 0 : Vyřešíme soustavu a dostáváme:, M, Výslede: Hledaný rozlad: MODERIZCE VÝUKOVÝCH MTERIÁLŮ DIDKTICKÝCH METOD CZ07/00/506

10 Použitá Literatura 0 POUŽITÁ LITERTUR [] KREML Pa ol: Matematia II Učební tety VŠB-TUO, Ostrava, 007, ISB [] VRBESKÁ H: Zálady matematiy pro baaláře II Sriptum VŠB-TU, Ostrava, 998, ISB [] eletronicý učební tet: wwwstudoporyvsbcz MODERIZCE VÝUKOVÝCH MTERIÁLŮ DIDKTICKÝCH METOD CZ07/00/506