Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy"

Transkript

1 Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek 1 / 40

2 Obsah 1 Taylorův polynom 2 Výpočet limit pomocí L Hospitalova pravidla 3 Extrémy funkcí 4 Konvexnost a konkávnost 5 Asymptoty 6 Průběh funkce Michal Fusek 2 / 40

3 Taylorův polynom Taylorův polynom Slouží k libovolně přesné aproximaci (nahrazení) funkce f v okolí bodu x 0 polynomem stupně n. Necht má funkce f v okolí bodu x 0 vlastní derivace až do řádu n + 1 pro nějaké n N 0. Pak pro všechna x z tohoto okolí platí kde f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + 2! + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n+1 (x), n! R n+1 (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1 je tzv. zbytek a ξ je vhodné číslo ležící mezi x 0 a x. Michal Fusek 3 / 40

4 Taylorův polynom Vynecháme-li v předchozí rovnosti zbytek R n+1 (x), obdržíme tzv. Taylorův polynom n-tého stupně funkce f v bodě x 0 : T n (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Položíme-li x 0 = 0, získáme tzv. Maclaurinův polynom: T n (x) = f (0) + f (0) 1! x + + f (n) (0) x n n! Je zřejmé, že pro zbytek R n+1 (x) platí vztah R n+1 (x) = f (x) T n (x). Situaci, že Taylorův polynom aproximuje funkci f, zapisujeme f (x) T n (x). Michal Fusek 4 / 40

5 Taylorův polynom Příklad Určete Taylorův polynom 4. řádu se středem v bodě x 0 = 1 funkce f (x) = x ln x. Řešení: T 4 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + + f (4) (x 0 ) (x x 0 ) 4 4! f (x) = 1 + ln x, f (x) = 1 x, f (x) = 1 x 2, f (4) (x) = 2 x 3. Tedy f (1) = 0, f (1) = 1, f (1) = 1, f (1) = 1, f (4) (1) = 2. T 4 (x) = ! (x 1) + 1 2! (x 1) ! (x 1) ! (x 1)4 = 1 12 (x 4 6x x 2 10x 3). Michal Fusek 5 / 40

6 Taylorův polynom Michal Fusek 6 / 40

7 Taylorův polynom Maclaurinovy polynomy elementárních funkcí Příklad e x 1 + x 1! + x 2 sin x x 1! x 3 3! + x 5 2! + + x n n! 5! + x 2k 1 ( 1)k 1 (2k 1)! cos x 1 x 2 2! + x 4 x 2k + + ( 1)k 4! (2k)! ln(1 + x) x 1 x x x n ( 1)n 1 n Určete polynom T 3 funkce y = cos 2x v bodě x 0 = 0. Řešení: T 3 = 1 2x 2 Michal Fusek 7 / 40

8 Výpočet limit pomocí L Hospitalova pravidla L Hospitalovo pravidlo Necht x 0 R a necht funkce f a g jsou definované v nějakém ryzím okolí bodu x 0 a mají zde derivaci, přičemž platí nebo lim f (x) = lim g(x) = 0, x x 0 x x0 lim f (x) = lim g(x) =, x x 0 x x0 a existuje (vlastní nebo nevlastní) limita lim x x 0 f (x) g = L. (1) (x) Potom platí lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (x) g = L. (2) (x) Michal Fusek 8 / 40

9 Výpočet limit pomocí L Hospitalova pravidla Analogické tvrzení platí i pro obě jednostranné limity. Z neexistence limity (1) neplyne neexistence limity (2). L Hospitalovo pravidlo lze použít jen u limit typu 0 0, ± ±. Vhodnou úpravou lze převést neurčité výrazy typu 0,, 1, 0 a 0 0 na jeden z typů 0 0,. L Hospitalovo pravidlo lze použít i opakovaně. Vycházejí-li stále i po (n -1) ním zderivování čitatele a jmenovatele neurčité výrazy typu 0 ± 0 nebo ±, pak lim x x 0 f (n) (x) g (n) (x) = L lim x x 0 f (x) g(x) = lim x x 0 f (n) (x) g (n) (x) = L. Pozor! Při použití L Hospitalova pravidla nederivujeme f (x) g(x) jako podíl, ale derivujeme zvlášt funkci v čitateli a zvlášt funkci ve jmenovateli. Michal Fusek 9 / 40

10 Výpočet limit pomocí L Hospitalova pravidla Typ 0 0 a ± ± Příklad Určete následující limity: ln(cos x) a) lim x 0 sin x x b) lim 3 +x 2 5x+3 x 1 x 3 2x 2 +x c) lim x 0 x sin x 1 cos x 3 x d) lim 3 x e 2x 1 e x x 0 + ln x e) lim cotg x f) lim x 0 + ln x [0] [4] [0] [0] [ ] [ ] Michal Fusek 10 / 40

11 Výpočet limit pomocí L Hospitalova pravidla Typ 0 a Příklad Určete následující limity: a) lim x 2 e 1 x 2 x 0 b) lim x 0 + x 2 cotg x [ ] [0] c) lim x) ln(1 x)] [0] x 1 [(1 ) ( d) lim 1 x 0 + x 1 sin x [0] ( ) e) lim x x 1 + x 1 1 [ 1 ] ln x 2 ( f) lim 1 x 0 sin x 1 [ 1 ] e 1) x 2 Michal Fusek 11 / 40

12 Výpočet limit pomocí L Hospitalova pravidla Typ 1, 0 a 0 0 Příklad Určete následující limity: ( ) a) lim x x x b) lim x 0 + (ex + x) 1 x c) lim x x 1 x d) lim x 1 ln x 2 x e) lim x)x x 0 +(sin f) lim x 3 4+ln x x 0 + [e] [ e 2 ] [1] [ ] e [1] [ e 3 ] Michal Fusek 12 / 40

13 Extrémy funkcí Lokální extrémy Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 lokální maximum (resp. minimum), jestliže pro všechna x z nějakého okolí U(x 0 ) platí f (x) f (x 0 ), ( resp. f (x) f (x0 ) ). (funkční hodnota v x 0 je lokálně největší/nejmenší ) Pokud pro všechna x z nějakého redukovaného okolí U (x 0 ) platí předchozí nerovnosti ostře, mluvíme o ostrém lokálním maximu (resp. minimu). Dále budeme slovo ostré vynechávat a pod pojmem lokální extrém budeme rozumět ostrý lokální extrém. Michal Fusek 13 / 40

14 Extrémy funkcí Necht funkce f je diferencovatelná (tj. má vlastní derivaci) na intervalu (a, b). Je-li f (x) > 0 pro každé x (a, b), pak f je na (a, b) rostoucí. Je-li f (x) < 0 pro každé x (a, b), pak f je na (a, b) klesající. Funkce f je na (a, b) konstantní právě tehdy, když pro všechna x (a, b) platí f (x) = 0. Pozor! Obrácená tvrzení neplatí. Např. funkce f (x) = x 3 je na celém R rostoucí, ale v bodě x = 0 má nulovou derivaci. Michal Fusek 14 / 40

15 Extrémy funkcí Necht funkce f je spojitá v bodě x 0 a necht existuje její derivace v nějakém redukovaném okolí U (x 0 ). (1) Jestliže platí f (x) > 0 pro x U (x 0 ) a f (x) < 0 pro x U +(x 0 ), pak má funkce f v bodě x 0 ostré lokální maximum. (2) Jestliže platí f (x) < 0 pro x U (x 0 ) a f (x) > 0 pro x U +(x 0 ), pak má funkce f v bodě x 0 ostré lokální minimum. Nastane-li (1) nebo (2) a f má derivaci i v bodě x 0, pak f (x 0 ) = 0. Je-li f (x 0 ) = 0, pak bod x 0 nazýváme stacionární bod funkce f. Michal Fusek 15 / 40

16 Extrémy funkcí Necht funkce f má v bodě x 0 lokální extrém. Potom f (x 0 ) = 0 nebo f (x 0 ). Pozor! Opačné tvrzení neplatí. Tj. pokud f (x 0 ) = 0, tak z toho neplyne, že bod x 0 je lokální extrém (viz např. f (x) = x 3 a x 0 = 0). Michal Fusek 16 / 40

17 Extrémy funkcí Necht f (x 0 ) = 0 (bod x 0 je stacionárním bodem) a f (x 0 ) 0. Pak má funkce f v bodě x 0 lokální extrém a to Příklad lokální maximum, jestliže f (x 0 ) < 0, lokální minimum, jestliže f (x 0 ) > 0. Najděte lokální extrémy funkce f (x) = x 2 + 4x 3. Řešení: (1) f (x) = 2x + 4 f (x) = 0 2x + 4 = 0 x = 2 x (, 2) (2, ) sgn f + f Funkce f má tedy v x = 2 lokální maximum s hodnotou f (2) = 1. Michal Fusek 17 / 40

18 Extrémy funkcí (2) f (x) = 2x + 4 f (x) = 0 x = 2 f (x) = 2 f (2) = 2 < 0 Funkce f má tedy v x = 2 lokální maximum s hodnotou f (2) = 1. Příklad Najděte všechny lokální extrémy následujících funkcí: a) f (x) = x 4 2x [Max. v x = 0] b) f (x) = x + 2x 1+x 2 [Neex.] Michal Fusek 18 / 40

19 Extrémy funkcí Příklad Najděte lokální extrémy funkce f (x) = 3 (x 2 1 ) 2. Řešení: f (x) = 4 3 x 3 (x 1)(x+1) f (x) = 0 x = 0 f (x) pro x = ±1 x (, 1) ( 1, 0) (0, 1) (1, ) sgn f + + f f max = f (0) = 1 f min = f (±1) = 0 Michal Fusek 19 / 40

20 Extrémy funkcí Příklad Najděte lokální extrémy funkce f (x) = x x x 2 1. Řešení: { D(f ) = R \ f (x) = ± 2 2 } ( ) x 2 2x +1+x (2x 2 1) x x x 2 x 2 +1 (2x 2 1) 2 f (x) = 4x 2 +1 (2x 2 1) 2 x 2 +1 f (x) < 0 x D(f ) funkce nemá extrémy Michal Fusek 20 / 40

21 Extrémy funkcí Globální (absolutní) extrémy Největší a nejmenší hodnotu funkce f na uzavřeném intervalu a, b D(f ) nazveme globálním (absolutním) maximem a minimem funkce f na intervalu a, b. Globální extrém funkce f na a, b nastává bud v bodech lokálních extrémů nebo v krajních bodech intervalu a, b. Michal Fusek 21 / 40

22 Extrémy funkcí Příklad Určete největší a nejmenší hodnotu funkce f (x) = x 4 2x 3 + 2x 1 na intervalu 1, 2. Řešení: f (x) = 4x 3 6x = 2(x 1) 2 (2x + 1) Význačné body: x = 1, x = 1 2, x = 1, x = 2 f ( 1) = 0, f ( 1 2) = 27 16, f (1) = 0, f (2) = 3 f max = f (2) = 3 f min = f ( 1 2) = Michal Fusek 22 / 40

23 Extrémy funkcí Příklad Určete rozměry obdélníkové zahrady tak, aby měla maximální plochu, přičemž na oplocení máte pouze 44 m pletiva. Řešení: S = ab, o = 2a + 2b S(a) = 22a a 2. a = 11 (podezřelý bod) S (a) = 2 < 0 a maximum Rozměry zahrady (v metrech) jsou Michal Fusek 23 / 40

24 Příklad Extrémy funkcí Mějme drát délky a, který máme rozstřihnout na 2 části. Z jedné části vytvoříme kružnici a ze druhé čtverec. Určete, v jakém místě máme drát rozstřihnout, aby součet plošných obsahů obou vzniklých obrazců byl minimální. Řešení: x 0, a Obvod kruhu o = 2πr x = 2πr r = x Obsah kruhu S = πr 2 = π ( x 2π Obvod čtverce o = 4s a x = 4s s = a x Obsah čtverce S = s 2 = ( a x 4 ) 2 ) 2 2π 4 Michal Fusek 24 / 40

25 Extrémy funkcí ( x ) 2 ( a x S(x) = S + S = π + 2π 4 S (x) = x (a x) 2π 8 aπ (4 + π). x = aπ (4 + π)? 0, a (podezřelý bod) ) 2 = x 2 4π + (a x)2 16 1) aπ (4+π) > 0 aπ 2) (4+π) < a aπ < a(4 + π) 0 < 4a S (x) = 1 2π > 0 x minimum Michal Fusek 25 / 40

26 Konvexnost a konkávnost Konvexnost a konkávnost Funkce je konvexní (resp. konkávní) v bodě x 0, pokud její graf leží nad (resp. pod) tečnou v bodě x 0 v nějakém jeho ryzím okolí. Funkce je konvexní (resp. konkávní) na intervalu I, pokud je konvexní (resp. konkávní) v každém bodě tohoto intervalu. Necht funkce f (x) má (vlastní) druhou derivaci na intervalu (a, b). Je-li f (x) > 0 pro x (a, b), pak f je konvexní na (a, b). Je-li f (x) < 0 pro x (a, b), pak f je konkávní na (a, b). Pozor! Opačné tvrzení neplatí. Např. funkce f (x) = x 4 je konvexní na R, ale f (0) = 0. Michal Fusek 26 / 40

27 Konvexnost a konkávnost Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 inflexní bod, jestliže platí následující podmínky: (1) V bodě x 0 existuje tečna ke grafu funkce f. (2) f v bodě x 0 mění znaménko (funkce se mění v x 0 z konvexní na konkávní nebo opačně). Je-li x 0 inflexním bodem funkce f, pak platí některá z podmínek: (1) f (x 0 ) = 0 (2) f (x 0 ) neexistuje (jelikož f (x 0 ) je nevlastní) x 3 Michal Fusek 27 / 40 3 x

28 Konvexnost a konkávnost Konkávní v intervalech: (0, a), (b, c), (d, e) Konvexní v intervalech: (a, b), (c, d), (e, f ), (f, g) Inflexní body: x = a, x = b, x = c, x = e, Bod x = d není inflexní bod! (graf zde nemá tečnu) Michal Fusek 28 / 40

29 Příklad Konvexnost a konkávnost Zjistěte, pro která x R je funkce f (x) = x 3 6x 2 + 6x 3 konvexní, resp. konkávní a najděte její inflexní body. Řešení: f (x) = 3x 2 12x + 6, f (x) = 6x 12 f (x) = 0 6x 12 = 0 x = 2 x (, 2) (2, ) sgn f + f Funkce je konvexní pro x (2, ), konkávní pro x (, 2) a v bodě x = 2 má inflexní bod s hodnotou f (2) = 7. Michal Fusek 29 / 40

30 Asymptoty Asymptoty Necht x 0 R. Přímka x = x 0 se nazývá asymptota bez směrnice funkce f v bodě x 0 právě tehdy, když má funkce f v bodě x 0 alespoň jednu jednostrannou limitu nevlastní, tj. lim x x + 0 f (x) = ± nebo lim x x 0 f (x) = ±. Necht a, b R. Přímka y = ax + b se nazývá asymptota se směrnicí funkce f pro x právě tehdy, když f (x) a = lim x x, b = lim [f (x) ax], x resp. pro x právě tehdy, když a = f (x) lim x x, b = lim [f (x) ax]. x Michal Fusek 30 / 40

31 Asymptoty Asymptoty bez směrnice hledáme v bodech nespojitosti funkce nebo na okraji definičního oboru funkce. Pokud při výpočtu koeficientů a, b u asymptoty se směrnicí jedna z limit neexistuje nebo je nevlastní, pak funkce asymptotu se směrnicí nemá. Michal Fusek 31 / 40

32 Asymptoty Příklad ( ) Najděte asymptoty grafu funkce f (x) = ln x+1 2 x. Řešení: D(f ) = ( 1, 2) Asymptoty bez směrnice: ( ) lim ln x+1 x 2 2 x = ( ) lim ln x+1 x x = Asymptoty: x = 2, x = 1 Asymptoty se směrnicí: - neexistují kvůli D(f ). Michal Fusek 32 / 40

33 Asymptoty Příklad Najděte asymptoty grafu funkce f (x) = x x 2 1 2x 2 1. Řešení: D(f ) = (, 1 1, ) Asymptoty bez směrnice: f ( 1) = f (1) = 0 neexistují Asymptoty se směrnicí: x 2 1 x 2x 2 1 x x 2 1 x 2x 2 1 a 1 = lim b 1 = lim a 2 = b 2 = lim x lim x x 2 1 x = lim x x = lim 1 1 x 2 x 2 (2 1 x x x x 2 (2 1 x 2x 2 1 = lim x x 2 1 2x 2 1 = lim x x 2 ) = x 2 x 2 ) = x 2 x 2 (2 1 x x x 2 ) = x 2 x 2 (2 1 x 2 ) = 1 2 y 1 = 1 2 y 2 = 1 2 Michal Fusek 33 / 40

34 Průběh funkce Průběh funkce Postup při vyšetřování průběhu funkce: (1) Přímo z funkce: - D(f ), sudost či lichost, periodičnost, průsečíky s osami, kladnost a zápornost (2) Z první derivace: - rostoucí a klesající, lokální extrémy (3) Z druhé derivace: - konvexní a konkávní, inflexní body. (4) Asymptoty: - bez směrnice a se směrnicí (5) Načrtnutí grafu: - dopočítáme všechny funkční hodnoty a zkombinujeme zjištěné informace Michal Fusek 34 / 40

35 Průběh funkce Příklad Vyšetřete průběh funkce f (x) = x 2 x+1. Řešení: (1) D(f ) = R \ { 1} Sudá nebo lichá: f ( x) = x 2 x+1 ±f (x) není lichá ani sudá Zřejmě není ani periodická. Průsečíky s osami: x = 0 : f (x) = 0 S y = [0, 0] y = 0 : 0 = x 2 x+1 x = 0 S x = [0, 0] Kladnost a zápornost: x (, 1) ( 1, 0) (0, ) sgn f + f kladná záporná záporná Michal Fusek 35 / 40

36 Průběh funkce (2) První derivace a její definiční obor: f (x) = x 2 2x (x+1) 2, D(f ) = R \ { 1} Stacionární body a intervaly monotonie: f (x) = 0 x(x + 2) = 0 x 1 = 0, x 2 = 2 x (, 2) ( 2, 1) ( 1, 0) (0, ) sgn f + + f Lokální minimum: x = 2, f ( 2) = 4 Lokální maximum: x = 0, f (0) = 0 Michal Fusek 36 / 40

37 Průběh funkce (3) Druhá derivace a její definiční obor: f (x) = 2x 2 = 2, D(f ) = R \ { 1} (x+1) 4 (x+1) 3 Podezřelé body a intervaly konvexnosti a konkávnosti: f (x) = 0 2 = 0 NŘ x (, 1) ( 1, ) sgn f + f Michal Fusek 37 / 40

38 Průběh funkce (4) Asymptoty bez směrnice: lim x 2 x 1 + x + 1 = lim x 2 x 1 + [ 1 x + 1 = 0 + lim x 2 x 1 x + 1 = lim x 2 x 1 x + 1 = Asymptota bez směrnice: x = 1 Asymptoty se směrnicí: [ 1 0 ] = ] = a = lim x 2 x ± x(x + 1) = lim x 2 x ± x 2 + x = 1 b = lim [ x 2 ] x ± x + 1 ( 1)x x = lim x ± x + 1 = 1 Asymptota se směrnicí: y = x + 1 Michal Fusek 38 / 40

39 Průběh funkce lim f (x) = lim x 2 x x x+1 = lim f (x) = lim x 2 x x x+1 = (5) Graf funkce: Michal Fusek 39 / 40

40 Příklad Průběh funkce Vyšetřete průběhy následujících funkcí: a) f (x) = x 2 +2 x 2 4 b) f (x) = xe 1/x c) f (x) = ln x x Řešení: a) D(f ) = R \ {±2}, rost. (, 2) ( 2, 0), kles. (0, 2) (2, ), max. [0, 1/2], konvex. (, 2) (2, ), konkáv. ( 2, 2), ABS x = ±2, ASS y = 1. b) D(f ) = R \ {0}, rost. (, 0) (1, ), kles. (0, 1), min. [1, e], konkáv. (, 0), konvex. (0, ), ABS x = 0, ASS y = x + 1. c) D(f ) = (0, ), rost. (0, e 2 ), kles. (e 2, ), max. [e 2, 2/e], konkav. (0, e 8 3 ), konvex. (e 8 3, ), I.B. [e 8 3, 8/3e 4 3 ], ABS x = 0, ASS y = 0. Michal Fusek 40 / 40

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21 Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 10. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 016/017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 1 / 1 Použití derivace pro vyšetřování průběhu funkce

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body:

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body: Výsledky Př.. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) y < y > y < y > -2 0 3 Funkce je rostoucí v intervalech. Funkce je klesající v intervalech b) y < y > y < - Funkce je rostoucí v

Více

Průběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:

Průběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu: Průběh funkce Průběh funkce Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:. Určení definičního oboru. 2. Rozhodnutí, jestli je funkce sudá, lichá, periodická nebo nemá ani

Více

Matematika 2 Průběh funkce

Matematika 2 Průběh funkce Matematika 2 Průběh funkce Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 1 Základní věty diferenciálního počtu Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x). 9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací.

Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou itu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí pro itu zleva

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b Průběh unkce Rolleova věta Mějme unkci, která má tto vlastnosti : a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b má derivaci c) (a) = (b). b Potom eistuje v a, alespoň jeden bod c, v němž ( c) : 1, 3 0 1 1

Více

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2. Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Derivace a průběh funkce.

Derivace a průběh funkce. Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R

Více

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta Katedra Bakalářská práce Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Vypracoval: Michaela Jelínková Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra Petrášková,

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

Derivace vyšších řádů, aplikace derivací

Derivace vyšších řádů, aplikace derivací Derivace vyšších řádů, aplikace derivací Značení derivací vyšších řádů Máme funkci f: y = f x f x druhá derivace funkce y = f x f k x k-tá derivace funkce y = f x Derivace vyšších řádů počítáme opakovaným

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

D(f) =( 1, 1) [ ( 1, 1) [ (1, 1). 2( x)3 ( x) 2 1 = 2(x) 3. (x) 2 1 = f(x) Funkce je lichá, není periodická

D(f) =( 1, 1) [ ( 1, 1) [ (1, 1). 2( x)3 ( x) 2 1 = 2(x) 3. (x) 2 1 = f(x) Funkce je lichá, není periodická Vyšetříme funkci f(x): f(x) = 2x3.. Stanovme definiční obor funkce D(f) a zjistíme,ve kterých bodech je funkce sojitá D(f) =(, ) [ (, ) [ (, ). 2. Počítáme f( x) = 2( x)3 ( x) 2 = 2(x) 3 (x) 2 = f(x) Funkce

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3. Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Konvexnost, konkávnost

Konvexnost, konkávnost 20. srpna 2007 1. f = x 3 12x 2. f = x 2 e x 3. f = x ln x Příklad 1. Určete intervaly, na kterých je funkce konvexní a konkávní a určete inflexní body f = x 3 12x Příklad 1. f = x 3 12x Řešení: Df = R

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

10. cvičení - LS 2017

10. cvičení - LS 2017 10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

, f g jsou elementární funkce.

, f g jsou elementární funkce. Průběh funkce použité definice a věty Definice. Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Řekneme, že funkce je spojitá na

Více

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4

Více

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se

Více

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu   (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4

2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4 Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad 1 (2 bodů) Studijní program: Studijní obory: Varianta A Matematika MMUI Navrhněte deterministický konečný

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0217. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

1 L Hospitalovo pravidlo

1 L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cvičení Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita

Více