S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

Transkript

1 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí metodou V této kapitole se budeme podroběji zabývat itegrováím racioálích fukcí Uvedeme podrobý postup rozkladu racioálích fukcí a součet parciálích zlomků a itegraci těchto parciálích zlomků Podle uvedeého postupu můžeme itegrovat libovolou racioálí fukci Racioálí fukce můžeme dostat i po ěkterých substitucích Nejprve zopakujeme polyomické a racioálí fukce, uvedeme ěkteré základí vlastosti těchto fukcí Cíle Sezámíte se s postupem itegrace racioálích fukcí a se základími itegrály, které dostaeme po rozložeí racioálí fukce a součet parciálích zlomků Předpokládaé zalosti Předpokládáme, že záte pojem primitiví fukce k daé fukci, záte základí itegrály uvedeé v tabulce, umíte vypočítat jedoduché itegrály úpravou itegrovaé fukce (itegradu) a substitučí metodou V této kapitole se vyskyte je ěkolik málo typů itegrálů Výklad Polyomy a jejich vlastosti fukce S polyomy jste se sezámili již v Matematice Připomeňme defiici polyomické Defiice 5 Polyomem Pm ( ) stupě m azýváme fukci m 0, a m P ( ) = a + + a + a + a 0 m m Reálá čísla fukcí a0, a,, a m jsou koeficiety polyomu Polyom je fukce, která vzike koečým počtem operací součet, rozdíl a souči y = kost a y = - 4 -

2 5 Itegrace racioálích fukcí Stručě můžeme polyom zapsat P ( ) = a, a 0 m m j= 0 Číslo m azýváme stupěm polyomu P ( ) m Pro polyom stupě (tj polyom tvaru y = a+ b, a 0) se používá také termí j j lieárí polyom a pro polyom stupě (tj polyom tvaru = + +, 0) se y a b c a používá také termí kvadratický polyom Itegrace polyomické fukce je velmi sadá, eboť vystačíme se základími pravidly pro itegraci (věta ) a s itegrací mocié fukce (vzorec [] v tabulce ) Řešeé úlohy Příklad 5 Vypočtěte itegrál 5 ( ) d Řešeí: 5 5 ( ) = = = C = C Výklad Polyomy hrají v matematické aalýze velmi důležitou roli Polyomy jsou spojité fukce defiovaé pro všecha reálá Jestliže dva polyomy spolu sečteme, odečteme ebo vyásobíme, dostaeme opět polyom Polyomy můžeme také mezi sebou dělit V tomto případě však obecě výsledkem ebude polyom, ale fukce, kterou azýváme racioálí (racioálí lomeá): P ( ) ( ) m R = Q ( ) Je-li -tého stupě Defiice 5 Q ( ) polyom -tého stupě, azývá se rovice Q ( ) = 0 algebraická rovice Číslo α, pro které platí Q ( α ) = 0, se azývá koře polyomu Q a výraz α se azývá kořeový čiitel polyomu Q

3 5 Itegrace racioálích fukcí Dovedete alézt kořey rovice Q ( ) = 0 pro polyomy a stupě Pro polyomy vyšších stupňů se jedá o složitější úlohu, kterou dovedeme vyřešit v ěkterých speciálích případech Velmi často je pro alezeí kořeů uto použít umerických metod, o ichž se dozvíte více ve speciálím předmětu Numerické metody V algebře se dokazuje, že každý polyom kompleích čísel kořeů Q ( ), který eí kostata, má v oboru Věta 5 Každý polyom Q( ) = a + + a + a+ a 0 stupě lze rozložit a souči kořeových čiitelů Q a α α α ( ) = ( )( ) ( ), kde α, α,, α jsou kostaty (obecě kompleí) Pozámka Čísla α, α,, α emusí být avzájem růzá Tedy rovice může mít víceásobé kořey Pokud koře α j je r-ásobý, můžeme místo r součiů ( α j)( α j) ( α j) psát ( α ) r j Kořey α, α,, α mohou být reálé ebo kompleí Věta 5 Pokud má polyom r-ásobý kompleí koře α = c+ di (c,d jsou reálá čísla), pak také kompleě sdružeé číslo α = c di je r-ásobým kořeem tohoto polyomu Řešeé úlohy 5 Příklad 5 Rozložte a souči kořeových čiitelů Q ( ) = Řešeí: 5 Řešíme rovici + 4 7= 0 Rovici upravíme vytkutím Dostaeme 4 + = Jedo řešeí je = 0 Další kořey získáme řešeím rovice ( 8 9) =0 Po zavedeí pomocé proměé rovici t = dostaeme kvadratickou

4 5 Itegrace racioálích fukcí t + 8t 9= 0, která má kořey t = a t = 9, čili Odtud =, =, 4 = i, 5 = i = a = 9 Jelikož je koeficiet u ejvyšší mociy rove, můžeme polyom zapsat ve tvaru: Q 5 5 ( ) = = ( )( + )( i )( + i ) Výklad Je epříjemé, že se ve výsledém rozkladu v příkladu 5 objevují imagiárí čísla + i a i Pokud vyásobíme odpovídající kořeové čiitele, dostaeme kvadratický polyom ( i)( + i) = +9 Rozklad polyomu z příkladu 5 bude mít tvar Q 5 5 ( ) = = ( )( + )( + 9) Teto postup můžeme zobecit Má-li polyom koře α = c+ di má podle věty 5 také kompleě sdružeý koře α = c di Pokud vyásobíme odpovídající kořeové čiitele, dostaeme kvadratický polyom, který emá imagiárí koeficiety: ( α)( α) = ( ( c+ di))( ( c di)) = c+ c + d = + p+q, kde p = c a q= c + d Uvědomme si, že diskrimiat D = p 4q je záporý, eboť D= p 4q= 4c 4c 4d = 4d <0 Je-li kompleě sdružeý koře c± d i s ásobý, dostaeme s s s ( α) ( α) = ( + p+q ) Pokud tuto úvahu zobecíme, dostaeme důležitou větu o rozkladu polyomu a základí souči v reálém oboru: Věta 5 Každý polyom Q( ) = a + + a + a+ a 0 stupě lze jedozačě zapsat ve tvaru: r r s s u v v Q a p q p q ( ) = ( α ) ( α ) u( + + ) ( + + ) v se vzájemě růzými reálými kořey α i, i =,, u a vzájemě růzými kvadratickými polyomy + p + q, j =,, v, které emají reálé kořey j j Pozámka Stručě lze říci, že každý polyom s reálými koeficiety stupě lze rozložit a souči

5 5 Itegrace racioálích fukcí polyomů prvího a druhého stupě, přičemž polyomy druhého stupě se dále edají rozložit a souči polyomů prvího stupě Je zřejmé, že platí = r + r + + r + ( s + s + + s ) u Věta 5 ám sice zaručuje možost rozkladu polyomu a základí souči, avšak praktické provedeí emusí být jedoduché V moha případech potřebujeme provést rozklad polyomu Q, který je již částečě rozlože Řešeé úlohy Příklad 5 Rozložte a základí souči polyom Q ( ) = ( 5 )( 5 + )( 4 ) v Řešeí: Je zřejmé, že polyom Q() je 4 stupě Polyom Q() eí rozlože a základí souči, eboť se v ěm vyskytují polyomy vyššího ež stupě Proto jedotlivé čiitele dále rozložíme: 5 ( ) = ( ) = ( )( + +), 5 ( + ) = ( + ) = ( + )( + ), 4 4 ( ) = ( ) = ( )( + )( + ) Takže Q ( ) = ( )( + + ) ( + )( + )( )( )( + )( + ) = 4 = ( ) ( + ) ( + + )( + )( + ) Uvědomte si, že 4 = ( 0) 4, tedy se jedá o polyom stupě, který přísluší čtyřásobému kořeu = 0 Koeficiet a = Výklad Rozklad racioálí fukce a součet parciálích zlomků Defiice 5 Racioálí fukcí R() azveme fukci, která je podílem dvou polyomů P ( ) a Q ( ) : P ( ) ( ) m R = Q ( ), Q ( ) 0 m

6 Pozámky 5 Itegrace racioálích fukcí Defiičím oborem racioálí fukce R() je možia všech reálých čísel, které ejsou reálými kořey rovice Q ( ) = 0 Defiice 54 Racioálí fukce P ( ) ( ) m R = Q ( ) se azývá ryze lomeá, je-li stupeň m polyomu Pm ( ) meší ež stupeň polyomu Q ( ), tj m< Je-li m, pak se fukce R() azývá eryze lomeá racioálí fukce Jestliže je fukce R() eryze lomeá racioálí fukce, pak můžeme polyom v čitateli dělit polyomem Q ( ) ve jmeovateli Podílem bude polyom Pm ( ) a zbytek děleí bude polyom Pm ( ), jehož stupeň je ižší ež, tj větou Věta 54 m m Pm ( ) < To můžeme vyjádřit Každou eryze lomeou racioálí fukci můžeme vyjádřit jako součet polyomu a ryze P ( ) ( ) lomeé racioálí fukce, tj ( ) m Pm R = = Pm ( ) +, kde m Q ( ) < Q( ) Řešeé úlohy Příklad 54 Vyjádřete racioálí fukci R ( ) = jako součet polyomu a ryze lomeé racioálí fukce Řešeí: Polyom P ( ) = + + v čitateli racioálí fukce je stupě a polyom Q ( ) = + ve jmeovateli má stupeň Polyomy můžeme vydělit ( + + ):( + ) = + ( + ) ( + ) 4 zbytek

7 5 Itegrace racioálích fukcí Daou racioálí fukci proto můžeme zapsat ve tvaru = Průvodce studiem Hlavím výsledkem předcházející části je věta 54 Je-li dáa eryze lomeá racioálí fukce, provedeme děleí polyomu Pm ( ) v čitateli polyomem Q ( ) ve jmeovateli racioálí fukce Dostaeme polyom a ryze lomeou racioálí fukci Stačí tedy, když se v dalším omezíme a takové racioálí fukce P Q m ( ), v ichž má čitatel ižší stupeň ež ( ) jmeovatel (ryze lomeé racioálí fukce) V další části si ukážeme, jak lze ryze lomeé racioálí fukce rozložit a součet ěkolika jedodušších zlomků, které bychom již uměli itegrovat Výklad Ve větě 5 jsme ukázali, že každý polyom s reálými koeficiety stupě lze rozložit a souči polyomů prvího a druhého stupě, přičemž polyomy druhého stupě se již edají rozložit a souči polyomů prvího stupě s reálými kořey (mají kompleě sdružeé kořey) Budeme se sažit racioálí fukci rozložit a součet jedoduchých racioálích fukcí, které mají ve jmeovateli mociy kořeových čiitelů ( α) a kvadratických polyomů ( + p + q) Defiice 55 Částečými (parciálími) zlomky azýváme racioálí fukce tvaru A ( α) k ebo M + N ( + p+ q) k, kde A, M, N, p, q jsou reálá čísla,, k jsou přirozeá čísla a polyom reálé kořey ( D= p 4q< 0) k + p + q emá Pozámky Parciálí zlomky prvího typu odpovídají reálým kořeům jmeovatele a parciálí zlomky druhého typu odpovídají dvojicím kompleě sdružeých kořeů Ryze lomeou racioálí fukci R() lze vyjádřit ve tvaru

8 5 Itegrace racioálích fukcí R( ) = R( ) + R( ) + + Rs ( ), kde R ( ), R ( ), Rs ( ) jsou parciálí zlomky Pro itegraci ryze lomeé racioálí fukce stačí umět itegrovat tyto parciálí zlomky Pro sazší pochopeí a jedoduchost uvedeme tvar rozkladu racioálí fukce a součet parciálích zlomků podle toho, jaké kořey má polyom Q ( ) fukce Postupě se budeme zabývat čtyřmi základími případy A Rozklad pro reálé růzé kořey polyomu Q ( ) ve jmeovateli racioálí Jestliže polyom Q ( ) má k ( k ) reálých růzých kořeů α, α,, α k (jedoduché kořey), pak lze ryze lomeou racioálí fukci P ( ) ( ) m R = Q ( ) rozložit a P součet parciálích zlomků: m( ) A A A = k + Rk + ( ), Q ( ) α α α kde A, A,, Ak Nalezeme kostaty jsou reálé kostaty k tak, abychom po sečteí všech parciálích zlomků dostali daou racioálí fukci R() Jedotlivé parciálí zlomky pak můžeme sado itegrovat Pozámka Polyom Q ( ) kořey kompleě sdružeé A, A,, Ak může mít vedle k reálých růzých kořeů ještě reálé ásobé kořey ebo Řešeé úlohy Příklad 55 Vypočtěte itegrál Řešeí: Výpočet můžeme rozdělit do pěti kroků: Polyom v čitateli je stupě m = a polyom ve jmeovateli racioálí fukce má stupeň = Jelikož je m <, je daá fukce ryze lomeá racioálí fukce (eí uto dělit polyomy) Polyom ve jmeovateli Q ( ) = 4 + rozložíme a základí souči podle věty 5 Dostaeme Q ( ) = ( 4 + ) = ( )( ) To zameá, že polyom ve

9 5 Itegrace racioálích fukcí jmeovateli má reálé jedoduché kořey = 0, =, = Racioálí fukci rozložíme a součet parciálích zlomků: 8+ A A A = Nalezeme kostaty rozkladu A, A, A Rovici v kroku vyásobíme polyomem Q ( ) = 4 + Dostaeme rovost dvou polyomů: 8+ = A( )( ) + A( ) + A( ) Tuto rovici lze řešit ěkolika způsoby: a) Dosazovací metoda Oba polyomy se musí rovat pro libovolé hodoty Dosadíme-li obecě tři růzé hodoty, dostaeme tři rovice pro tři ezámé koeficiety A, A, A Tuto soustavu sado vyřešíme Pokud má polyom Q() reálé kořey, je výhodé dosadit právě tyto kořey Pro = 0 dostaeme: = A+ 0A + 0A Tedy A = Pro = dostaeme: 4= 0A A+ 0A Tedy A = Pro = dostaeme: = 0A+ 0A+ 6A Tedy A = b) Srovávací metoda Rovice představuje rovost dvou polyomů Rovost astae, jestliže se budou rovat koeficiety polyomu a levé straě a odpovídající koeficiety polyomu a pravé straě rovice 8+ = A ( )( ) + A ( ) + A ( ) 8+ = A ( 4+ ) + A ( ) + A ( ) 8+ = ( A+ A + A) + ( 4A A A) + A Koeficiety u Koeficiety u Koeficiety u : = A+ A + A : 8= 4A A A 0 : = A Řešeím této soustavy rovic dostaeme A =, A =, A = Metody můžeme kombiovat c) Kombiace metod a), b) - 5 -

10 5 Itegrace racioálích fukcí Metodou a) získáme ěkolik rovic, zbývající rovice doplíme metodou b) Teto postup budeme používat v ěkterých dalších příkladech 5 Itegrujeme získaé parciálí zlomky: 8+ A A A = + + = + + = 4 + = l l l C + = + + = ( ) = l + C ( ) V případě reálých jedoduchých kořeů polyom Q ( ) dostaeme pouze itegrály parciálích zlomků typu A = A l α + C α Pozámka Předcházející itegrál jsme vypočetli podle vzorce [] ebo [6] z tabulky Můžeme použít substituci α = t B Rozklad pro reálé ásobé kořey polyomu Q ( ) Jestliže polyom Q ( ) má r-ásobý ( r ) koře α, pak lze ryze lomeou racioálí fukci P ( ) ( ) m R = Q ( ) rozložit a součet parciálích zlomků: Pm ( ) B B B = r + R r ( ) Q ( ) r + +, α ( α) ( α) kde B, B,, B r jsou reálé kostaty Řešeé úlohy Příklad 56 Vypočtěte itegrál Řešeí: Výpočet opět rozdělíme do pěti kroků: Polyom v čitateli je stupě m = 4 a polyom ve jmeovateli racioálí fukce má také - 5 -

11 5 Itegrace racioálích fukcí stupeň = 4 Jelikož eí m<, je daá fukce eryze lomeá racioálí fukce a musíme polyomy vydělit 4 4 ( + + ):( + ) = 4 ( + ) + Daou racioálí fukci proto můžeme podle věty 54 zapsat ve tvaru = Kostata je zvláští případ polyomu ultého stupě a zbývající racioálí fukce je již ryze lomeá Tuto racioálí fukci rozložíme a součet parciálích zlomků Polyom ve jmeovateli Q 4 4 ( ) = + rozložíme a základí souči podle věty 5 Dostaeme ve jmeovateli má jedoduchý reálý koře Q4 ( ) = ( + ) = ( ) To zameá, že polyom = 0 a trojásobý reálý koře,,4 = Racioálí fukci rozložíme a součet parciálích zlomků (případ A pro = a B pro,,4 = ): 0 + A B B B = ( ) ( ) ( ) 4 Nalezeme kostaty rozkladu AB,, B, B Rovici v kroku vyásobíme polyomem Q 4 ( ) = ( ) Dostaeme rovost dvou polyomů: + = A ( ) + B ( ) + B ( ) + B Pro alezeí ezámých koeficietů použijeme ejprve dosazovací metodu (viz příklad 55) Do získaé rovice dosadíme reálé kořey polyomu ve jmeovateli racioálí fukce: Pro = 0 dostaeme: = A+ 0B+ 0B + 0B Tedy A = Pro = dostaeme: = 0A+ 0B+ 0B + B Tedy B = Jelikož již emáme další kořey, můžeme dosadit dvě jiá reálá čísla a dostaeme dvě rovice pro dosud ezámé koeficiety BB a B B Pro výpočet zbývajících koeficietů můžeme také použít srovávací metodu (viz příklad 55): + = A ( ) + B ( ) + B ( ) + B - 5 -

12 5 Itegrace racioálích fukcí + = A ( + ) + B( + ) + B( ) + B + = ( A+ B) + ( A B+ B) + ( A+ B B+ B) A Koeficiety u Koeficiety u : = A+ B : 0= A B+ B Řešeím této soustavy rovic dostaeme B =, B = 5 Itegrujeme získaé parciálí zlomky: = ( ) 4 + = A B B B = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = l + l = + l + C ( ) ( ) V případě reálých ásobých kořeů polyomu zlomků typu B B B l α C α = α = + a Q ( ) Bk k B = B ( ) k k k α = + C, pro k k ( α) ( k)( α) = dostaeme itegrály parciálích Pozámka Předcházející itegrál jsme vypočetli podle vzorce [6] z tabulky Použili jsme substituci α = t : k + Bk α = t dt k t = = B k k dt = B k k t dt = Bk + C ( α) = dt t k + = B B = + = ( kt ) ( k)( α) k C k k k + C, pro k

13 5 Itegrace racioálích fukcí C Rozklad pro kompleě sdružeé kořey polyomu Q ( ) Z věty 5 o rozkladu polyomu a základí souči již víme, že pokud má polyom kompleí koře α = c+ di, má také kompleě sdružeý koře α = c di a z polyomu Q ( ) můžeme vytkout kvadratický polyom + p + q, kde diskrimiat D= p 4q<0 V tomto případě můžeme polyom Q ( ) zapsat ve tvaru Q( ) = ( + p+ q) Q ( ) Jestliže polyom Q ( ) lomeou racioálí fukci m má kompleě sdružeé kořey (jedoduché), pak lze ryze Pm( ) P ( ) M + N = = +, Q ( ) ( + p+ q) Q ( ) + p+ q kde M, N jsou reálé kostaty P ( ) ( ) m R = Q ( ) rozložit a součet parciálích zlomků: Řešeé úlohy Příklad 57 Vypočtěte itegrál Řešeí: Jako v předcházejících příkladech rozdělíme výpočet do pěti kroků: Polyom v čitateli je stupě m = 5 a polyom ve jmeovateli racioálí fukce má stupeň = Jelikož eí m<, je daá fukce eryze lomeá racioálí fukce a musíme polyomy vydělit 5 ( ):( + ) = + 5 ( + ) + ( + ) Daou racioálí fukci proto můžeme podle věty 54 zapsat ve tvaru =

14 Racioálí fukci + rozložíme a součet parciálích zlomků 5 Itegrace racioálích fukcí Polyom ve jmeovateli Q ( ) = + rozložíme a základí souči podle věty 5 Dostaeme Q ( ) = ( + )( + ) (Pro rozklad jsme použili vzorec a + b = ( a+ b)( a ab+ b )) To zameá, že polyom ve jmeovateli má reálý jedoduchý koře = a kompleě sdružeé kořey, protože diskrimiat kvadratické rovice + = 0 je záporý: D = ( ) 4= < 0 Racioálí fukci rozložíme a součet parciálích zlomků (případ A pro = a C pro trojčle + ): A M+ N = = + + ( + )( + ) Nalezeme kostaty rozkladu A, M, N Rovici v kroku vyásobíme polyomem Q ( ) = + Dostaeme rovost dvou polyomů: = A ( + ) + ( M+ N)( + ) Pro alezeí ezámých koeficietů použijeme ejprve dosazovací metodu (viz příklad 55) Do získaé rovice dosadíme reálý koře polyomu ve jmeovateli racioálí fukce: Pro = dostaeme = A(+ + ) + 0 Tedy A = Pro výpočet zbývajících koeficietů použijeme srovávací metodu (viz příklad 55): Koeficiety u Koeficiety u : 0 = A + M 0 : = A + N Řešeím této soustavy rovic dostaeme M =, N = 5 Itegrujeme získaé parciálí zlomky (ezapomeňme a polyom získaý děleím v kroku ): ( ) = + + = Prví itegrál je sadý, záme jej z případu A:

15 5 Itegrace racioálích fukcí l + + = = + + C Druhý itegrál se budeme sažit upravit tak, abychom v čitateli zlomku získali derivaci jmeovatele + 4 = = = Dostaeme dva itegrály Prví itegrujeme pomocí vzorce [] z tabulky (fakticky použijeme substituci + = t): l l( ) 6 = + + C = + + C Doplěím a čtverec upravíme druhý itegrál tak, aby bylo možo použít vzorec [4] z tabulky : = = = = = arctg = arctg + C 4 4 Sečteím itegrálů, které jsme postupě vypočítali, dostaeme výsledek: = + + l + l( + ) + arctg + C + 6 Pozámka Při výpočtu itegrálu z parciálího zlomku M + N jsme itegrad upravovali tak, + abychom dostali zlomek, který bude mít v čitateli derivaci jmeovatele a zlomek s kostatou v čitateli: M + N K( ) L = Pro méě zdaté počtáře bude proto výhodější ve kroku rozložit tuto racioálí fukci a dva zlomky s kostatami K a L

16 5 Itegrace racioálích fukcí Postup můžeme zobecit a modifikovat rozklad pro případ kompleě sdružeých kořeů: Jestliže polyom Q ( ) lomeou racioálí fukci má kompleě sdružeé kořey (jedoduché), pak lze ryze P ( ) ( ) m R = Q ( ) rozložit a součet parciálích zlomků: Pm( ) P ( ) K( + p) L = = + Q ( ) ( + p+ q) Q ( ) + p+ q + p+ q +, m kde K, L jsou reálé kostaty Řešeé úlohy Příklad 58 Vypočtěte itegrál Řešeí: Kroky a jsou stejé jako v příkladu 57 V kroku budeme postupovat podle ávodu uvedeého v předcházející pozámce Racioálí fukci rozložíme a součet parciálích zlomků (případ A pro = a C pro trojčle + ): A K( ) L = = ( + )( + ) Nalezeme kostaty rozkladu A,K,L Rovici v kroku vyásobíme polyomem Q ( ) = + Dostaeme rovost dvou polyomů: = A ( + ) + K( )( + ) + L ( + ) Jako v příkladu 57 dostaeme A = Pro výpočet zbývajících koeficietů použijeme srovávací metodu (viz příklad 55): Koeficiety u : 0= A + K Koeficiety u 0 : = A K + L Řešeím této soustavy rovic dostaeme K =, 6 L = 5 Výpočet itegrálů je již uvede v kroku 5 příkladu

17 5 Itegrace racioálích fukcí Jestliže má polyom Q ( ) itegrály parciálích zlomků typu K( + p) = K l + p + q C + + p+ q a p + L arctg = L + C + p+ q p p q q 4 4 kompleě sdružeé kořey (jedoduché), dostaeme Pozámka Prví itegrál jsme vypočetli podle vzorce [] z tabulky Prakticky používáme substituci + p + q = t Druhý itegrál p + L = L = L arctg C + p+ q p p q p p + + q q Teto vzorec si jistě ebudeme pamatovat Podstaté je, že uvedeý itegrál upravíme a typ a + t p dt, kde t = + a výsledkem bude fukce arctg( ) podle vzorce [4] z tabulky D Rozklad pro ásobé kompleě sdružeé kořey polyomu Q ( ) Teto případ uvádíme pro úplost, abychom vyčerpali všechy možosti Základí pricip rozkladu je jedoduchý a pečlivý čteář jistě racioálí fukci sado rozloží a parciálí zlomky Výpočet je však pracější, eboť budeme počítat miimálě 4 koeficiety a i při vlastí itegraci racioálích fukcí budeme řešit obtížější itegrál Z věty 5 o rozkladu polyomu a základí souči již víme, že pokud má polyom k- ásobý kompleí koře α = c+ di, má také k-ásobý kompleě sdružeý koře α = c di a z polyomu ( ) k Q můžeme vytkout kvadratický polyom ( + p + q), kde diskrimiat D= p 4q< 0 V tomto případě můžeme polyom Q ( ) zapsat ve tvaru k Q ( ) = ( + p+ q) Q ( ) Rozklad a parciálí zlomky je již zřejmý z případů B a C k

18 5 Itegrace racioálích fukcí Jestliže polyom Q ( ) lomeou racioálí fukci má k-ásobé kompleě sdružeé kořey, pak lze ryze P ( ) ( ) m R = Q ( ) rozložit a součet parciálích zlomků: P ( ) P ( ) M+ N M + N M + Nk Q ( ) ( + p + q) Q ( ) + p + q ( + p + q) ( + p + q) m = m = k k k kde M, N,, Mk, N k jsou reálé kostaty k, Pozámka Podobě, jak bylo uvedeo v pozámce u případu C, je výhodější provést rozklad a parciálí zlomky tak, abychom měli v čitateli ásobek derivace jmeovatele a kostatu M + N K ( + p) + L j j j j = j j ( + p+ q) ( + p+ q), j =,,, k Zjedoduší ám to další úpravy Řešeé úlohy Příklad 59 Vypočtěte itegrál 4+ 5 ( + ) Řešeí: Výpočet opět rozdělíme do pěti kroků: Polyom v čitateli je stupě m = a polyom ve jmeovateli racioálí fukce má stupeň = 4 Daá fukce je ryze lomeá racioálí fukce Polyom ve jmeovateli Q 4 ( ) = ( + ) má dvojásobé kompleě sdružeé kořey =± i a je již rozlože a základí souči Racioálí fukci rozložíme a součet parciálích zlomků: + K( ) L K( ) L = ( + ) + + ( + ) ( + ) 4 Nalezeme kostaty rozkladu K, L, K, L Rovici v kroku vyásobíme polyomem Q 4 ( ) = ( + ) Dostaeme rovost dvou polyomů: 4+ 5= ( + ) K + ( + ) L + K +L Pro výpočet ezámých koeficietů použijeme srovávací metodu a dostaeme: K =, L =, K =, L =

19 5 Itegrujeme získaé parciálí zlomky: 5 Itegrace racioálích fukcí 4+ 5 ( ) = + + ( + ) + ( + ) ( + ) = = arctg ( + ) Prví itegrál jsme vypočítali podle vzorce [4] z tabulky, druhý sado vypočteme substitucí + = t Zbývající itegrál vypočteme metodou per partes: ( + ) u = v= + = = + + u = v = + ( + ) ( + ) = + = + 4 = + + ( + ) + + ( + ) Dostáváme rovici, ( + ) = + 4 ze které vypočítáme hledaý itegrál: = arctg 4 + = 4 + ( + ) Sečteím s již vypočteými itegrály dostaeme 4+ 5 = arctg + + arctg C ( + ) + + = = arctg + + C 8 4( + ) - 6 -

20 5 Itegrace racioálích fukcí Jestliže má polyom Q ( ) parciálích zlomků uvedeé ve variatě C a dále pro kompleě sdružeé ásobé kořey, dostaeme itegrály k K( + p) K = C k k ( p q) ( k)( p q) + a itegrál typu itegrály substituce p t = + L L L = = = k ( ) k + p+ q dt = p p ( ) ( t + a + + q ) 4 p a = q 4 k Pozámka Prví itegrál jsme sado vypočetli substitucí + p + q = t Druhý itegrál můžeme po substituci vypočítat metodou per partes stejě jako jsme to udělali v příkladu 59 Pohodlější je použít rekuretí formuli k dt = + ( k ) ( k t + a (k ) a t + a (k ) a ) ( t + a ) k metodou per partes (odvozeí ajdete apř v [6], [9], [4], [7] ) dt, kterou lze odvodit Kotrolí otázky Jaký tvar má polyomická fukce? Popište rozklad polyomu a kořeové čiitele Co rozumíme rozkladem polyomu a základí souči? 4 Jaký tvar má racioálí fukce? Jaký má defiičí obor? 5 Kdy je racioálí fukce ryze lomeá? Vyjádřete racioálí fukci R ( ) = + racioálí fukce 7 Co jsou to parciálí zlomky? jako součet polyomu a ryze lomeé 8 Uveďte rozklad a parciálí zlomky pro reálé růzé kořey jmeovatele racioálí fukce - 6 -

21 5 Itegrace racioálích fukcí 9 Uveďte rozklad a parciálí zlomky pro reálé ásobé kořey jmeovatele racioálí fukce 0 Uveďte rozklad a parciálí zlomky pro kompleě sdružeé kořey jmeovatele racioálí fukce Jak můžeme alézt koeficiety rozkladu a parciálí zlomky? Uveďte kroky, kterými postupujeme při itegraci racioálí fukce A Jaké itegrály dostaeme při itegraci parciálího zlomku ( ) k? α M + N 4 Jaké itegrály dostaeme při itegraci parciálího zlomku ( + p+ q) k? 5 Je možé, abychom jako výsledek itegrace racioálí fukce dostali racioálí fukci? Úlohy k samostatému řešeí a) d) a) d) f) a) d) f) b) c) e) 5+ 6 b) ( ) ( )( 0+ 5) + f) c) ( + )( + ) e) e) b) c) ( + )

22 5 Itegrace racioálích fukcí 4 a) d) f) + b) e) 7 ( + )( + + 5) c) Výsledky úloh k samostatému řešeí a) 5 l 5 l +C ; b) 7 l 4 l + + C; 5 5 c) e) a) c) l l + +C; d) 4 4 0l l 0 l + l + + l + C; + + +C ; f) 7 l l l 6 + C 0 0 l l + + C ; b) l + l + + C; + l l + C ; d) l + + l C ; ( ) e) 5l l + C + ; f) a) c) e) l l + + C ( ) arctg + C ; b) l arctg ( + ) + C ; 7 + l 6+ + arctg + C; d) l + + arctg + C; 4 a) c) 5 l arctg C ; f) l l 4 arctg C ; b) 5 l + l + 4 arctg + C; l arctg + C 7 7 l + l + 9 arctg + C; d) 4 + l l + + arctg + C;

23 e) + + l + l + + arctg +C ; + f) + l l arctg + C 4 5 Itegrace racioálích fukcí Kotrolí test Rozložte a základí souči polyom ( + )( )( 5 ) a) ( )( + )( ) ( + )( + + ), b) ( + ) ( ) ( + + )( + ), c) ( + ) ( ) ( + )( + + ), d) ( + ) ( ) ( + + ) Určete kořey polyomu a) -,, -, b),, -, c), -,, d) -,, Určete kořey polyomu 9+ 7 a) 9,, -, b) -9,, -, c)-7,, -9, d) -,, 4 Kolik kostat je třeba určit při rozkladu fukce zlomky? a), b) 4, c), d) 5 5 Vypočtěte eurčitý itegrál 4 + a) l l + l + +C, b) c) l + l l + + C, d) 6 Vypočtěte eurčitý itegrál ( + )( ) + R ( ) = l l + + l + C, l l + l + + C a parciálí a) ( ) 4 l C, 5 ( ) b) ( ) 4 l + + C, 5 ( + ) c) 5 ( ) 4 l C, ( + ) d) ( ) 4 l C 5 ( + )

24 7 Rozložte fukci R ( ) = 5 Itegrace racioálích fukcí a parciálí zlomky 4 ( ) a) + ( ) ( ) 4, b) + ( ) ( ) 4, c) ( ) ( ) ( ) + +, 4 d) + ( ) ( ) ( ) 4 8 Vypočtěte eurčitý itegrál 4 ( )( ) a) c) l + + C, b) ( ) 4 l + + C, d) ( ) 4 5 l + + C, ( ) 4 5 l + C ( ) 9 Vypočtěte eurčitý itegrál 4 a) + l arctg + C, b) l + arctg + C, c) + l + arctg + C, d) l arctg + C + 0 Vypočtěte eurčitý itegrál a) l + arctg + C, b) l + l( + 5) + arctg + C, c) l l( + 5) arctg( ) + C, d) l + l( + 5) + arctg + C Výsledky testu c); a); d); 4 b); 5 d); 6 c); 7 a); 8 b); 9 a); 0 d)

25 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem Pokud jste správě odpověděli ejméě v 8 případech, pokračujte další kapitolou V opačém případě je třeba prostudovat kapitolu 5 zovu Shrutí lekce V této kapitole jsme se podroběji zabývali itegrováím racioálích fukcí Racioálí fukce můžeme dostat i po ěkterých substitucích, jak uvidíme v další kapitole Itegrace racioálí fukce sestává z pěti kroků: Pokud racioálí fukce eí ryze lomeá, ejprve vydělíme polyom v čitateli polyomem ve jmeovateli racioálí fukce a dostaeme polyom a ryze lomeou racioálí fukci Nalezeme kořey polyomu ve jmeovateli racioálí fukce a teto polyom rozložíme a základí souči Racioálí fukci rozložíme a součet parciálích zlomků 4 Nalezeme koeficiety tohoto rozkladu 5 Itegrujeme získaé parciálí zlomky Rozklad a parciálí zlomky závisí a tom, zda polyom ve jmeovateli má jedoduché reálé kořey, ásobé reálé kořey, kompleí kořey ebo ásobé kompleí kořey Pokud jsou kořey reálé ebo jedoduché kompleí, je vlastí itegrace sadá Pricip rozkladu a parciálí zlomky je jedoduchý, ale vlastí realizace může být časově áročá v závislosti a tom, kolik koeficietů musíme počítat Pokud se ejedá o jedoduché školské úlohy, bude ejobtížější druhý krok, eboť dovedeme dobře řešit kvadratické rovice, pro polyomy a 4 stupě eistují poměrě složité vzorce, ale řešeí rovic vyšších stupňů je obecě problém Při itegraci parciálích zlomků můžeme dostat pouze tyto fukce: Polyomy Násobky ryze lomeých racioálích fukcí typu ( α) j a ( + p + q) j Násobky logaritmů l α a l + p + q 4 Fukce arcustages

26 5 Itegrace racioálích fukcí Některé další itegrály (apř itegrály z iracioálích fukcí, goiometrických fukcí) můžeme vhodou substitucí převést a itegrály z racioálích fukcí V další kapitole se proto budeme podroběji zabývat itegrováím goiometrických fukcí