S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické"

Transkript

1 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí metodou V této kapitole se budeme podroběji zabývat itegrováím racioálích fukcí Uvedeme podrobý postup rozkladu racioálích fukcí a součet parciálích zlomků a itegraci těchto parciálích zlomků Podle uvedeého postupu můžeme itegrovat libovolou racioálí fukci Racioálí fukce můžeme dostat i po ěkterých substitucích Nejprve zopakujeme polyomické a racioálí fukce, uvedeme ěkteré základí vlastosti těchto fukcí Cíle Sezámíte se s postupem itegrace racioálích fukcí a se základími itegrály, které dostaeme po rozložeí racioálí fukce a součet parciálích zlomků Předpokládaé zalosti Předpokládáme, že záte pojem primitiví fukce k daé fukci, záte základí itegrály uvedeé v tabulce, umíte vypočítat jedoduché itegrály úpravou itegrovaé fukce (itegradu) a substitučí metodou V této kapitole se vyskyte je ěkolik málo typů itegrálů Výklad Polyomy a jejich vlastosti fukce S polyomy jste se sezámili již v Matematice Připomeňme defiici polyomické Defiice 5 Polyomem Pm ( ) stupě m azýváme fukci m 0, a m P ( ) = a + + a + a + a 0 m m Reálá čísla fukcí a0, a,, a m jsou koeficiety polyomu Polyom je fukce, která vzike koečým počtem operací součet, rozdíl a souči y = kost a y = - 4 -

2 5 Itegrace racioálích fukcí Stručě můžeme polyom zapsat P ( ) = a, a 0 m m j= 0 Číslo m azýváme stupěm polyomu P ( ) m Pro polyom stupě (tj polyom tvaru y = a+ b, a 0) se používá také termí j j lieárí polyom a pro polyom stupě (tj polyom tvaru = + +, 0) se y a b c a používá také termí kvadratický polyom Itegrace polyomické fukce je velmi sadá, eboť vystačíme se základími pravidly pro itegraci (věta ) a s itegrací mocié fukce (vzorec [] v tabulce ) Řešeé úlohy Příklad 5 Vypočtěte itegrál 5 ( ) d Řešeí: 5 5 ( ) = = = C = C Výklad Polyomy hrají v matematické aalýze velmi důležitou roli Polyomy jsou spojité fukce defiovaé pro všecha reálá Jestliže dva polyomy spolu sečteme, odečteme ebo vyásobíme, dostaeme opět polyom Polyomy můžeme také mezi sebou dělit V tomto případě však obecě výsledkem ebude polyom, ale fukce, kterou azýváme racioálí (racioálí lomeá): P ( ) ( ) m R = Q ( ) Je-li -tého stupě Defiice 5 Q ( ) polyom -tého stupě, azývá se rovice Q ( ) = 0 algebraická rovice Číslo α, pro které platí Q ( α ) = 0, se azývá koře polyomu Q a výraz α se azývá kořeový čiitel polyomu Q

3 5 Itegrace racioálích fukcí Dovedete alézt kořey rovice Q ( ) = 0 pro polyomy a stupě Pro polyomy vyšších stupňů se jedá o složitější úlohu, kterou dovedeme vyřešit v ěkterých speciálích případech Velmi často je pro alezeí kořeů uto použít umerických metod, o ichž se dozvíte více ve speciálím předmětu Numerické metody V algebře se dokazuje, že každý polyom kompleích čísel kořeů Q ( ), který eí kostata, má v oboru Věta 5 Každý polyom Q( ) = a + + a + a+ a 0 stupě lze rozložit a souči kořeových čiitelů Q a α α α ( ) = ( )( ) ( ), kde α, α,, α jsou kostaty (obecě kompleí) Pozámka Čísla α, α,, α emusí být avzájem růzá Tedy rovice může mít víceásobé kořey Pokud koře α j je r-ásobý, můžeme místo r součiů ( α j)( α j) ( α j) psát ( α ) r j Kořey α, α,, α mohou být reálé ebo kompleí Věta 5 Pokud má polyom r-ásobý kompleí koře α = c+ di (c,d jsou reálá čísla), pak také kompleě sdružeé číslo α = c di je r-ásobým kořeem tohoto polyomu Řešeé úlohy 5 Příklad 5 Rozložte a souči kořeových čiitelů Q ( ) = Řešeí: 5 Řešíme rovici + 4 7= 0 Rovici upravíme vytkutím Dostaeme 4 + = Jedo řešeí je = 0 Další kořey získáme řešeím rovice ( 8 9) =0 Po zavedeí pomocé proměé rovici t = dostaeme kvadratickou

4 5 Itegrace racioálích fukcí t + 8t 9= 0, která má kořey t = a t = 9, čili Odtud =, =, 4 = i, 5 = i = a = 9 Jelikož je koeficiet u ejvyšší mociy rove, můžeme polyom zapsat ve tvaru: Q 5 5 ( ) = = ( )( + )( i )( + i ) Výklad Je epříjemé, že se ve výsledém rozkladu v příkladu 5 objevují imagiárí čísla + i a i Pokud vyásobíme odpovídající kořeové čiitele, dostaeme kvadratický polyom ( i)( + i) = +9 Rozklad polyomu z příkladu 5 bude mít tvar Q 5 5 ( ) = = ( )( + )( + 9) Teto postup můžeme zobecit Má-li polyom koře α = c+ di má podle věty 5 také kompleě sdružeý koře α = c di Pokud vyásobíme odpovídající kořeové čiitele, dostaeme kvadratický polyom, který emá imagiárí koeficiety: ( α)( α) = ( ( c+ di))( ( c di)) = c+ c + d = + p+q, kde p = c a q= c + d Uvědomme si, že diskrimiat D = p 4q je záporý, eboť D= p 4q= 4c 4c 4d = 4d <0 Je-li kompleě sdružeý koře c± d i s ásobý, dostaeme s s s ( α) ( α) = ( + p+q ) Pokud tuto úvahu zobecíme, dostaeme důležitou větu o rozkladu polyomu a základí souči v reálém oboru: Věta 5 Každý polyom Q( ) = a + + a + a+ a 0 stupě lze jedozačě zapsat ve tvaru: r r s s u v v Q a p q p q ( ) = ( α ) ( α ) u( + + ) ( + + ) v se vzájemě růzými reálými kořey α i, i =,, u a vzájemě růzými kvadratickými polyomy + p + q, j =,, v, které emají reálé kořey j j Pozámka Stručě lze říci, že každý polyom s reálými koeficiety stupě lze rozložit a souči

5 5 Itegrace racioálích fukcí polyomů prvího a druhého stupě, přičemž polyomy druhého stupě se dále edají rozložit a souči polyomů prvího stupě Je zřejmé, že platí = r + r + + r + ( s + s + + s ) u Věta 5 ám sice zaručuje možost rozkladu polyomu a základí souči, avšak praktické provedeí emusí být jedoduché V moha případech potřebujeme provést rozklad polyomu Q, který je již částečě rozlože Řešeé úlohy Příklad 5 Rozložte a základí souči polyom Q ( ) = ( 5 )( 5 + )( 4 ) v Řešeí: Je zřejmé, že polyom Q() je 4 stupě Polyom Q() eí rozlože a základí souči, eboť se v ěm vyskytují polyomy vyššího ež stupě Proto jedotlivé čiitele dále rozložíme: 5 ( ) = ( ) = ( )( + +), 5 ( + ) = ( + ) = ( + )( + ), 4 4 ( ) = ( ) = ( )( + )( + ) Takže Q ( ) = ( )( + + ) ( + )( + )( )( )( + )( + ) = 4 = ( ) ( + ) ( + + )( + )( + ) Uvědomte si, že 4 = ( 0) 4, tedy se jedá o polyom stupě, který přísluší čtyřásobému kořeu = 0 Koeficiet a = Výklad Rozklad racioálí fukce a součet parciálích zlomků Defiice 5 Racioálí fukcí R() azveme fukci, která je podílem dvou polyomů P ( ) a Q ( ) : P ( ) ( ) m R = Q ( ), Q ( ) 0 m

6 Pozámky 5 Itegrace racioálích fukcí Defiičím oborem racioálí fukce R() je možia všech reálých čísel, které ejsou reálými kořey rovice Q ( ) = 0 Defiice 54 Racioálí fukce P ( ) ( ) m R = Q ( ) se azývá ryze lomeá, je-li stupeň m polyomu Pm ( ) meší ež stupeň polyomu Q ( ), tj m< Je-li m, pak se fukce R() azývá eryze lomeá racioálí fukce Jestliže je fukce R() eryze lomeá racioálí fukce, pak můžeme polyom v čitateli dělit polyomem Q ( ) ve jmeovateli Podílem bude polyom Pm ( ) a zbytek děleí bude polyom Pm ( ), jehož stupeň je ižší ež, tj větou Věta 54 m m Pm ( ) < To můžeme vyjádřit Každou eryze lomeou racioálí fukci můžeme vyjádřit jako součet polyomu a ryze P ( ) ( ) lomeé racioálí fukce, tj ( ) m Pm R = = Pm ( ) +, kde m Q ( ) < Q( ) Řešeé úlohy Příklad 54 Vyjádřete racioálí fukci R ( ) = jako součet polyomu a ryze lomeé racioálí fukce Řešeí: Polyom P ( ) = + + v čitateli racioálí fukce je stupě a polyom Q ( ) = + ve jmeovateli má stupeň Polyomy můžeme vydělit ( + + ):( + ) = + ( + ) ( + ) 4 zbytek

7 5 Itegrace racioálích fukcí Daou racioálí fukci proto můžeme zapsat ve tvaru = Průvodce studiem Hlavím výsledkem předcházející části je věta 54 Je-li dáa eryze lomeá racioálí fukce, provedeme děleí polyomu Pm ( ) v čitateli polyomem Q ( ) ve jmeovateli racioálí fukce Dostaeme polyom a ryze lomeou racioálí fukci Stačí tedy, když se v dalším omezíme a takové racioálí fukce P Q m ( ), v ichž má čitatel ižší stupeň ež ( ) jmeovatel (ryze lomeé racioálí fukce) V další části si ukážeme, jak lze ryze lomeé racioálí fukce rozložit a součet ěkolika jedodušších zlomků, které bychom již uměli itegrovat Výklad Ve větě 5 jsme ukázali, že každý polyom s reálými koeficiety stupě lze rozložit a souči polyomů prvího a druhého stupě, přičemž polyomy druhého stupě se již edají rozložit a souči polyomů prvího stupě s reálými kořey (mají kompleě sdružeé kořey) Budeme se sažit racioálí fukci rozložit a součet jedoduchých racioálích fukcí, které mají ve jmeovateli mociy kořeových čiitelů ( α) a kvadratických polyomů ( + p + q) Defiice 55 Částečými (parciálími) zlomky azýváme racioálí fukce tvaru A ( α) k ebo M + N ( + p+ q) k, kde A, M, N, p, q jsou reálá čísla,, k jsou přirozeá čísla a polyom reálé kořey ( D= p 4q< 0) k + p + q emá Pozámky Parciálí zlomky prvího typu odpovídají reálým kořeům jmeovatele a parciálí zlomky druhého typu odpovídají dvojicím kompleě sdružeých kořeů Ryze lomeou racioálí fukci R() lze vyjádřit ve tvaru

8 5 Itegrace racioálích fukcí R( ) = R( ) + R( ) + + Rs ( ), kde R ( ), R ( ), Rs ( ) jsou parciálí zlomky Pro itegraci ryze lomeé racioálí fukce stačí umět itegrovat tyto parciálí zlomky Pro sazší pochopeí a jedoduchost uvedeme tvar rozkladu racioálí fukce a součet parciálích zlomků podle toho, jaké kořey má polyom Q ( ) fukce Postupě se budeme zabývat čtyřmi základími případy A Rozklad pro reálé růzé kořey polyomu Q ( ) ve jmeovateli racioálí Jestliže polyom Q ( ) má k ( k ) reálých růzých kořeů α, α,, α k (jedoduché kořey), pak lze ryze lomeou racioálí fukci P ( ) ( ) m R = Q ( ) rozložit a P součet parciálích zlomků: m( ) A A A = k + Rk + ( ), Q ( ) α α α kde A, A,, Ak Nalezeme kostaty jsou reálé kostaty k tak, abychom po sečteí všech parciálích zlomků dostali daou racioálí fukci R() Jedotlivé parciálí zlomky pak můžeme sado itegrovat Pozámka Polyom Q ( ) kořey kompleě sdružeé A, A,, Ak může mít vedle k reálých růzých kořeů ještě reálé ásobé kořey ebo Řešeé úlohy Příklad 55 Vypočtěte itegrál Řešeí: Výpočet můžeme rozdělit do pěti kroků: Polyom v čitateli je stupě m = a polyom ve jmeovateli racioálí fukce má stupeň = Jelikož je m <, je daá fukce ryze lomeá racioálí fukce (eí uto dělit polyomy) Polyom ve jmeovateli Q ( ) = 4 + rozložíme a základí souči podle věty 5 Dostaeme Q ( ) = ( 4 + ) = ( )( ) To zameá, že polyom ve

9 5 Itegrace racioálích fukcí jmeovateli má reálé jedoduché kořey = 0, =, = Racioálí fukci rozložíme a součet parciálích zlomků: 8+ A A A = Nalezeme kostaty rozkladu A, A, A Rovici v kroku vyásobíme polyomem Q ( ) = 4 + Dostaeme rovost dvou polyomů: 8+ = A( )( ) + A( ) + A( ) Tuto rovici lze řešit ěkolika způsoby: a) Dosazovací metoda Oba polyomy se musí rovat pro libovolé hodoty Dosadíme-li obecě tři růzé hodoty, dostaeme tři rovice pro tři ezámé koeficiety A, A, A Tuto soustavu sado vyřešíme Pokud má polyom Q() reálé kořey, je výhodé dosadit právě tyto kořey Pro = 0 dostaeme: = A+ 0A + 0A Tedy A = Pro = dostaeme: 4= 0A A+ 0A Tedy A = Pro = dostaeme: = 0A+ 0A+ 6A Tedy A = b) Srovávací metoda Rovice představuje rovost dvou polyomů Rovost astae, jestliže se budou rovat koeficiety polyomu a levé straě a odpovídající koeficiety polyomu a pravé straě rovice 8+ = A ( )( ) + A ( ) + A ( ) 8+ = A ( 4+ ) + A ( ) + A ( ) 8+ = ( A+ A + A) + ( 4A A A) + A Koeficiety u Koeficiety u Koeficiety u : = A+ A + A : 8= 4A A A 0 : = A Řešeím této soustavy rovic dostaeme A =, A =, A = Metody můžeme kombiovat c) Kombiace metod a), b) - 5 -

10 5 Itegrace racioálích fukcí Metodou a) získáme ěkolik rovic, zbývající rovice doplíme metodou b) Teto postup budeme používat v ěkterých dalších příkladech 5 Itegrujeme získaé parciálí zlomky: 8+ A A A = + + = + + = 4 + = l l l C + = + + = ( ) = l + C ( ) V případě reálých jedoduchých kořeů polyom Q ( ) dostaeme pouze itegrály parciálích zlomků typu A = A l α + C α Pozámka Předcházející itegrál jsme vypočetli podle vzorce [] ebo [6] z tabulky Můžeme použít substituci α = t B Rozklad pro reálé ásobé kořey polyomu Q ( ) Jestliže polyom Q ( ) má r-ásobý ( r ) koře α, pak lze ryze lomeou racioálí fukci P ( ) ( ) m R = Q ( ) rozložit a součet parciálích zlomků: Pm ( ) B B B = r + R r ( ) Q ( ) r + +, α ( α) ( α) kde B, B,, B r jsou reálé kostaty Řešeé úlohy Příklad 56 Vypočtěte itegrál Řešeí: Výpočet opět rozdělíme do pěti kroků: Polyom v čitateli je stupě m = 4 a polyom ve jmeovateli racioálí fukce má také - 5 -

11 5 Itegrace racioálích fukcí stupeň = 4 Jelikož eí m<, je daá fukce eryze lomeá racioálí fukce a musíme polyomy vydělit 4 4 ( + + ):( + ) = 4 ( + ) + Daou racioálí fukci proto můžeme podle věty 54 zapsat ve tvaru = Kostata je zvláští případ polyomu ultého stupě a zbývající racioálí fukce je již ryze lomeá Tuto racioálí fukci rozložíme a součet parciálích zlomků Polyom ve jmeovateli Q 4 4 ( ) = + rozložíme a základí souči podle věty 5 Dostaeme ve jmeovateli má jedoduchý reálý koře Q4 ( ) = ( + ) = ( ) To zameá, že polyom = 0 a trojásobý reálý koře,,4 = Racioálí fukci rozložíme a součet parciálích zlomků (případ A pro = a B pro,,4 = ): 0 + A B B B = ( ) ( ) ( ) 4 Nalezeme kostaty rozkladu AB,, B, B Rovici v kroku vyásobíme polyomem Q 4 ( ) = ( ) Dostaeme rovost dvou polyomů: + = A ( ) + B ( ) + B ( ) + B Pro alezeí ezámých koeficietů použijeme ejprve dosazovací metodu (viz příklad 55) Do získaé rovice dosadíme reálé kořey polyomu ve jmeovateli racioálí fukce: Pro = 0 dostaeme: = A+ 0B+ 0B + 0B Tedy A = Pro = dostaeme: = 0A+ 0B+ 0B + B Tedy B = Jelikož již emáme další kořey, můžeme dosadit dvě jiá reálá čísla a dostaeme dvě rovice pro dosud ezámé koeficiety BB a B B Pro výpočet zbývajících koeficietů můžeme také použít srovávací metodu (viz příklad 55): + = A ( ) + B ( ) + B ( ) + B - 5 -

12 5 Itegrace racioálích fukcí + = A ( + ) + B( + ) + B( ) + B + = ( A+ B) + ( A B+ B) + ( A+ B B+ B) A Koeficiety u Koeficiety u : = A+ B : 0= A B+ B Řešeím této soustavy rovic dostaeme B =, B = 5 Itegrujeme získaé parciálí zlomky: = ( ) 4 + = A B B B = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = l + l = + l + C ( ) ( ) V případě reálých ásobých kořeů polyomu zlomků typu B B B l α C α = α = + a Q ( ) Bk k B = B ( ) k k k α = + C, pro k k ( α) ( k)( α) = dostaeme itegrály parciálích Pozámka Předcházející itegrál jsme vypočetli podle vzorce [6] z tabulky Použili jsme substituci α = t : k + Bk α = t dt k t = = B k k dt = B k k t dt = Bk + C ( α) = dt t k + = B B = + = ( kt ) ( k)( α) k C k k k + C, pro k

13 5 Itegrace racioálích fukcí C Rozklad pro kompleě sdružeé kořey polyomu Q ( ) Z věty 5 o rozkladu polyomu a základí souči již víme, že pokud má polyom kompleí koře α = c+ di, má také kompleě sdružeý koře α = c di a z polyomu Q ( ) můžeme vytkout kvadratický polyom + p + q, kde diskrimiat D= p 4q<0 V tomto případě můžeme polyom Q ( ) zapsat ve tvaru Q( ) = ( + p+ q) Q ( ) Jestliže polyom Q ( ) lomeou racioálí fukci m má kompleě sdružeé kořey (jedoduché), pak lze ryze Pm( ) P ( ) M + N = = +, Q ( ) ( + p+ q) Q ( ) + p+ q kde M, N jsou reálé kostaty P ( ) ( ) m R = Q ( ) rozložit a součet parciálích zlomků: Řešeé úlohy Příklad 57 Vypočtěte itegrál Řešeí: Jako v předcházejících příkladech rozdělíme výpočet do pěti kroků: Polyom v čitateli je stupě m = 5 a polyom ve jmeovateli racioálí fukce má stupeň = Jelikož eí m<, je daá fukce eryze lomeá racioálí fukce a musíme polyomy vydělit 5 ( ):( + ) = + 5 ( + ) + ( + ) Daou racioálí fukci proto můžeme podle věty 54 zapsat ve tvaru =

14 Racioálí fukci + rozložíme a součet parciálích zlomků 5 Itegrace racioálích fukcí Polyom ve jmeovateli Q ( ) = + rozložíme a základí souči podle věty 5 Dostaeme Q ( ) = ( + )( + ) (Pro rozklad jsme použili vzorec a + b = ( a+ b)( a ab+ b )) To zameá, že polyom ve jmeovateli má reálý jedoduchý koře = a kompleě sdružeé kořey, protože diskrimiat kvadratické rovice + = 0 je záporý: D = ( ) 4= < 0 Racioálí fukci rozložíme a součet parciálích zlomků (případ A pro = a C pro trojčle + ): A M+ N = = + + ( + )( + ) Nalezeme kostaty rozkladu A, M, N Rovici v kroku vyásobíme polyomem Q ( ) = + Dostaeme rovost dvou polyomů: = A ( + ) + ( M+ N)( + ) Pro alezeí ezámých koeficietů použijeme ejprve dosazovací metodu (viz příklad 55) Do získaé rovice dosadíme reálý koře polyomu ve jmeovateli racioálí fukce: Pro = dostaeme = A(+ + ) + 0 Tedy A = Pro výpočet zbývajících koeficietů použijeme srovávací metodu (viz příklad 55): Koeficiety u Koeficiety u : 0 = A + M 0 : = A + N Řešeím této soustavy rovic dostaeme M =, N = 5 Itegrujeme získaé parciálí zlomky (ezapomeňme a polyom získaý děleím v kroku ): ( ) = + + = Prví itegrál je sadý, záme jej z případu A:

15 5 Itegrace racioálích fukcí l + + = = + + C Druhý itegrál se budeme sažit upravit tak, abychom v čitateli zlomku získali derivaci jmeovatele + 4 = = = Dostaeme dva itegrály Prví itegrujeme pomocí vzorce [] z tabulky (fakticky použijeme substituci + = t): l l( ) 6 = + + C = + + C Doplěím a čtverec upravíme druhý itegrál tak, aby bylo možo použít vzorec [4] z tabulky : = = = = = arctg = arctg + C 4 4 Sečteím itegrálů, které jsme postupě vypočítali, dostaeme výsledek: = + + l + l( + ) + arctg + C + 6 Pozámka Při výpočtu itegrálu z parciálího zlomku M + N jsme itegrad upravovali tak, + abychom dostali zlomek, který bude mít v čitateli derivaci jmeovatele a zlomek s kostatou v čitateli: M + N K( ) L = Pro méě zdaté počtáře bude proto výhodější ve kroku rozložit tuto racioálí fukci a dva zlomky s kostatami K a L

16 5 Itegrace racioálích fukcí Postup můžeme zobecit a modifikovat rozklad pro případ kompleě sdružeých kořeů: Jestliže polyom Q ( ) lomeou racioálí fukci má kompleě sdružeé kořey (jedoduché), pak lze ryze P ( ) ( ) m R = Q ( ) rozložit a součet parciálích zlomků: Pm( ) P ( ) K( + p) L = = + Q ( ) ( + p+ q) Q ( ) + p+ q + p+ q +, m kde K, L jsou reálé kostaty Řešeé úlohy Příklad 58 Vypočtěte itegrál Řešeí: Kroky a jsou stejé jako v příkladu 57 V kroku budeme postupovat podle ávodu uvedeého v předcházející pozámce Racioálí fukci rozložíme a součet parciálích zlomků (případ A pro = a C pro trojčle + ): A K( ) L = = ( + )( + ) Nalezeme kostaty rozkladu A,K,L Rovici v kroku vyásobíme polyomem Q ( ) = + Dostaeme rovost dvou polyomů: = A ( + ) + K( )( + ) + L ( + ) Jako v příkladu 57 dostaeme A = Pro výpočet zbývajících koeficietů použijeme srovávací metodu (viz příklad 55): Koeficiety u : 0= A + K Koeficiety u 0 : = A K + L Řešeím této soustavy rovic dostaeme K =, 6 L = 5 Výpočet itegrálů je již uvede v kroku 5 příkladu

17 5 Itegrace racioálích fukcí Jestliže má polyom Q ( ) itegrály parciálích zlomků typu K( + p) = K l + p + q C + + p+ q a p + L arctg = L + C + p+ q p p q q 4 4 kompleě sdružeé kořey (jedoduché), dostaeme Pozámka Prví itegrál jsme vypočetli podle vzorce [] z tabulky Prakticky používáme substituci + p + q = t Druhý itegrál p + L = L = L arctg C + p+ q p p q p p + + q q Teto vzorec si jistě ebudeme pamatovat Podstaté je, že uvedeý itegrál upravíme a typ a + t p dt, kde t = + a výsledkem bude fukce arctg( ) podle vzorce [4] z tabulky D Rozklad pro ásobé kompleě sdružeé kořey polyomu Q ( ) Teto případ uvádíme pro úplost, abychom vyčerpali všechy možosti Základí pricip rozkladu je jedoduchý a pečlivý čteář jistě racioálí fukci sado rozloží a parciálí zlomky Výpočet je však pracější, eboť budeme počítat miimálě 4 koeficiety a i při vlastí itegraci racioálích fukcí budeme řešit obtížější itegrál Z věty 5 o rozkladu polyomu a základí souči již víme, že pokud má polyom k- ásobý kompleí koře α = c+ di, má také k-ásobý kompleě sdružeý koře α = c di a z polyomu ( ) k Q můžeme vytkout kvadratický polyom ( + p + q), kde diskrimiat D= p 4q< 0 V tomto případě můžeme polyom Q ( ) zapsat ve tvaru k Q ( ) = ( + p+ q) Q ( ) Rozklad a parciálí zlomky je již zřejmý z případů B a C k

18 5 Itegrace racioálích fukcí Jestliže polyom Q ( ) lomeou racioálí fukci má k-ásobé kompleě sdružeé kořey, pak lze ryze P ( ) ( ) m R = Q ( ) rozložit a součet parciálích zlomků: P ( ) P ( ) M+ N M + N M + Nk Q ( ) ( + p + q) Q ( ) + p + q ( + p + q) ( + p + q) m = m = k k k kde M, N,, Mk, N k jsou reálé kostaty k, Pozámka Podobě, jak bylo uvedeo v pozámce u případu C, je výhodější provést rozklad a parciálí zlomky tak, abychom měli v čitateli ásobek derivace jmeovatele a kostatu M + N K ( + p) + L j j j j = j j ( + p+ q) ( + p+ q), j =,,, k Zjedoduší ám to další úpravy Řešeé úlohy Příklad 59 Vypočtěte itegrál 4+ 5 ( + ) Řešeí: Výpočet opět rozdělíme do pěti kroků: Polyom v čitateli je stupě m = a polyom ve jmeovateli racioálí fukce má stupeň = 4 Daá fukce je ryze lomeá racioálí fukce Polyom ve jmeovateli Q 4 ( ) = ( + ) má dvojásobé kompleě sdružeé kořey =± i a je již rozlože a základí souči Racioálí fukci rozložíme a součet parciálích zlomků: + K( ) L K( ) L = ( + ) + + ( + ) ( + ) 4 Nalezeme kostaty rozkladu K, L, K, L Rovici v kroku vyásobíme polyomem Q 4 ( ) = ( + ) Dostaeme rovost dvou polyomů: 4+ 5= ( + ) K + ( + ) L + K +L Pro výpočet ezámých koeficietů použijeme srovávací metodu a dostaeme: K =, L =, K =, L =

19 5 Itegrujeme získaé parciálí zlomky: 5 Itegrace racioálích fukcí 4+ 5 ( ) = + + ( + ) + ( + ) ( + ) = = arctg ( + ) Prví itegrál jsme vypočítali podle vzorce [4] z tabulky, druhý sado vypočteme substitucí + = t Zbývající itegrál vypočteme metodou per partes: ( + ) u = v= + = = + + u = v = + ( + ) ( + ) = + = + 4 = + + ( + ) + + ( + ) Dostáváme rovici, ( + ) = + 4 ze které vypočítáme hledaý itegrál: = arctg 4 + = 4 + ( + ) Sečteím s již vypočteými itegrály dostaeme 4+ 5 = arctg + + arctg C ( + ) + + = = arctg + + C 8 4( + ) - 6 -

20 5 Itegrace racioálích fukcí Jestliže má polyom Q ( ) parciálích zlomků uvedeé ve variatě C a dále pro kompleě sdružeé ásobé kořey, dostaeme itegrály k K( + p) K = C k k ( p q) ( k)( p q) + a itegrál typu itegrály substituce p t = + L L L = = = k ( ) k + p+ q dt = p p ( ) ( t + a + + q ) 4 p a = q 4 k Pozámka Prví itegrál jsme sado vypočetli substitucí + p + q = t Druhý itegrál můžeme po substituci vypočítat metodou per partes stejě jako jsme to udělali v příkladu 59 Pohodlější je použít rekuretí formuli k dt = + ( k ) ( k t + a (k ) a t + a (k ) a ) ( t + a ) k metodou per partes (odvozeí ajdete apř v [6], [9], [4], [7] ) dt, kterou lze odvodit Kotrolí otázky Jaký tvar má polyomická fukce? Popište rozklad polyomu a kořeové čiitele Co rozumíme rozkladem polyomu a základí souči? 4 Jaký tvar má racioálí fukce? Jaký má defiičí obor? 5 Kdy je racioálí fukce ryze lomeá? Vyjádřete racioálí fukci R ( ) = + racioálí fukce 7 Co jsou to parciálí zlomky? jako součet polyomu a ryze lomeé 8 Uveďte rozklad a parciálí zlomky pro reálé růzé kořey jmeovatele racioálí fukce - 6 -

21 5 Itegrace racioálích fukcí 9 Uveďte rozklad a parciálí zlomky pro reálé ásobé kořey jmeovatele racioálí fukce 0 Uveďte rozklad a parciálí zlomky pro kompleě sdružeé kořey jmeovatele racioálí fukce Jak můžeme alézt koeficiety rozkladu a parciálí zlomky? Uveďte kroky, kterými postupujeme při itegraci racioálí fukce A Jaké itegrály dostaeme při itegraci parciálího zlomku ( ) k? α M + N 4 Jaké itegrály dostaeme při itegraci parciálího zlomku ( + p+ q) k? 5 Je možé, abychom jako výsledek itegrace racioálí fukce dostali racioálí fukci? Úlohy k samostatému řešeí a) d) a) d) f) a) d) f) b) c) e) 5+ 6 b) ( ) ( )( 0+ 5) + f) c) ( + )( + ) e) e) b) c) ( + )

22 5 Itegrace racioálích fukcí 4 a) d) f) + b) e) 7 ( + )( + + 5) c) Výsledky úloh k samostatému řešeí a) 5 l 5 l +C ; b) 7 l 4 l + + C; 5 5 c) e) a) c) l l + +C; d) 4 4 0l l 0 l + l + + l + C; + + +C ; f) 7 l l l 6 + C 0 0 l l + + C ; b) l + l + + C; + l l + C ; d) l + + l C ; ( ) e) 5l l + C + ; f) a) c) e) l l + + C ( ) arctg + C ; b) l arctg ( + ) + C ; 7 + l 6+ + arctg + C; d) l + + arctg + C; 4 a) c) 5 l arctg C ; f) l l 4 arctg C ; b) 5 l + l + 4 arctg + C; l arctg + C 7 7 l + l + 9 arctg + C; d) 4 + l l + + arctg + C;

23 e) + + l + l + + arctg +C ; + f) + l l arctg + C 4 5 Itegrace racioálích fukcí Kotrolí test Rozložte a základí souči polyom ( + )( )( 5 ) a) ( )( + )( ) ( + )( + + ), b) ( + ) ( ) ( + + )( + ), c) ( + ) ( ) ( + )( + + ), d) ( + ) ( ) ( + + ) Určete kořey polyomu a) -,, -, b),, -, c), -,, d) -,, Určete kořey polyomu 9+ 7 a) 9,, -, b) -9,, -, c)-7,, -9, d) -,, 4 Kolik kostat je třeba určit při rozkladu fukce zlomky? a), b) 4, c), d) 5 5 Vypočtěte eurčitý itegrál 4 + a) l l + l + +C, b) c) l + l l + + C, d) 6 Vypočtěte eurčitý itegrál ( + )( ) + R ( ) = l l + + l + C, l l + l + + C a parciálí a) ( ) 4 l C, 5 ( ) b) ( ) 4 l + + C, 5 ( + ) c) 5 ( ) 4 l C, ( + ) d) ( ) 4 l C 5 ( + )

24 7 Rozložte fukci R ( ) = 5 Itegrace racioálích fukcí a parciálí zlomky 4 ( ) a) + ( ) ( ) 4, b) + ( ) ( ) 4, c) ( ) ( ) ( ) + +, 4 d) + ( ) ( ) ( ) 4 8 Vypočtěte eurčitý itegrál 4 ( )( ) a) c) l + + C, b) ( ) 4 l + + C, d) ( ) 4 5 l + + C, ( ) 4 5 l + C ( ) 9 Vypočtěte eurčitý itegrál 4 a) + l arctg + C, b) l + arctg + C, c) + l + arctg + C, d) l arctg + C + 0 Vypočtěte eurčitý itegrál a) l + arctg + C, b) l + l( + 5) + arctg + C, c) l l( + 5) arctg( ) + C, d) l + l( + 5) + arctg + C Výsledky testu c); a); d); 4 b); 5 d); 6 c); 7 a); 8 b); 9 a); 0 d)

25 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem Pokud jste správě odpověděli ejméě v 8 případech, pokračujte další kapitolou V opačém případě je třeba prostudovat kapitolu 5 zovu Shrutí lekce V této kapitole jsme se podroběji zabývali itegrováím racioálích fukcí Racioálí fukce můžeme dostat i po ěkterých substitucích, jak uvidíme v další kapitole Itegrace racioálí fukce sestává z pěti kroků: Pokud racioálí fukce eí ryze lomeá, ejprve vydělíme polyom v čitateli polyomem ve jmeovateli racioálí fukce a dostaeme polyom a ryze lomeou racioálí fukci Nalezeme kořey polyomu ve jmeovateli racioálí fukce a teto polyom rozložíme a základí souči Racioálí fukci rozložíme a součet parciálích zlomků 4 Nalezeme koeficiety tohoto rozkladu 5 Itegrujeme získaé parciálí zlomky Rozklad a parciálí zlomky závisí a tom, zda polyom ve jmeovateli má jedoduché reálé kořey, ásobé reálé kořey, kompleí kořey ebo ásobé kompleí kořey Pokud jsou kořey reálé ebo jedoduché kompleí, je vlastí itegrace sadá Pricip rozkladu a parciálí zlomky je jedoduchý, ale vlastí realizace může být časově áročá v závislosti a tom, kolik koeficietů musíme počítat Pokud se ejedá o jedoduché školské úlohy, bude ejobtížější druhý krok, eboť dovedeme dobře řešit kvadratické rovice, pro polyomy a 4 stupě eistují poměrě složité vzorce, ale řešeí rovic vyšších stupňů je obecě problém Při itegraci parciálích zlomků můžeme dostat pouze tyto fukce: Polyomy Násobky ryze lomeých racioálích fukcí typu ( α) j a ( + p + q) j Násobky logaritmů l α a l + p + q 4 Fukce arcustages

26 5 Itegrace racioálích fukcí Některé další itegrály (apř itegrály z iracioálích fukcí, goiometrických fukcí) můžeme vhodou substitucí převést a itegrály z racioálích fukcí V další kapitole se proto budeme podroběji zabývat itegrováím goiometrických fukcí

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY POČÍTAČOVÁ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH LOMENÝCH FUNKCÍ DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Oldřich Kříž Učitelství pro. stupeň

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená. .7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

7.2.4 Násobení vektoru číslem

7.2.4 Násobení vektoru číslem 7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí:

Více

1.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál

1.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál Mateatia II. NEURČITÝ INTEGRÁL.. Priitiví fuce a eurčitý itegrál Defiice... Říáe, že fuce F( ) je v itervalu ( ab, ) priitiví fucí fuci f ( ), platí-li pro všecha ( ab, ) vztah F = f. Defiice... Možia

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 3 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Difereciálí rovice (dále je DR) jsou veli důležitou částí ateatické aalýz, protože uožňují řešit celou řadu úloh z fzik a techické prae Občejé difereciálí rovice: rovice, v íž se

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1

Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1 Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl

7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl 7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy

Více

Důkazy Ackermannova vzorce

Důkazy Ackermannova vzorce Důkazy Akermaova vzore Rady studetům: Důkaz je trohu zdlouhavý, ale přirozeý. Tak byste při odvozeí postupovali, kdybyste vzore předem ezali. Důkaz je krátký, ale je založe a triku, a který byste předem

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Analýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace

Analýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace Aalýza a zpracováí sigálů 4. Diskrétí systémy,výpočet impulsí odezvy, kovoluce, korelace Diskrétí systémy Diskrétí sytém - zpracovává časově diskrétí vstupí sigál ] a produkuje časově diskrétí výstupí

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

Základní elementární funkce.

Základní elementární funkce. 6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou

Více

3. cvičení - LS 2017

3. cvičení - LS 2017 3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

je daná vztahem v 0 Ve fyzice bývá zvykem značit derivaci podle proměnné t (podle času) tečkou, proto píšeme

je daná vztahem v 0 Ve fyzice bývá zvykem značit derivaci podle proměnné t (podle času) tečkou, proto píšeme DERIVACE FUNKCE Má zásadí výzam při vyštřováí fukčích závislostí j v matmatic, al také v aplikacích, apř v chmii, fyzic, koomii a jiých vědích oborch Pricip drivováí formulovali v 7 stoltí závisl a sobě

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace

Konec srandy!!! Mocniny s přirozeným mocnitelem I. Předpoklady: základní početní operace Koec srady!!!.6. Mociy s přirozeým mocitelem I Předpoklady: základí početí operace Pedagogická pozámka: Zápis a začátku kapitoly je víc ež je srada. Tato hodia je prví v druhé části studia. Až dosud ehrálo

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

definované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12

definované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12 Předáška 3: Determiaty Pojem determiatu se prosadil původě v souvislosti s potřebou řešit soustavy lieárích rovic v 8 století (C Maclauri, G Cramer) Teprve později se pojem osamostatil, zjedodušilo se

Více

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N. .. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),

c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x), a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více