7.4 Domácíúkol-Hopík. mgz z >0 z <0. 1. Řešení pomocí WKB metody:

Transkript

1 7.4 Domácíúkol-Hopík Částice o hmotnosti m hopká v homogennímnapř. gravitačním) poli, přičemž od podložky se odráží bez ztráty energie. Uvažovaný potenciál je { mgz z > Vz) z <. Řešení pomocí WKB metody: Nalezněte body obratu, má-li částice energii E. Pomocí WKB přiblížení vypočítejte všechny energetické hladiny. Nalezněte WKB vlnové funkce v klasicky dostupné i nedostupné oblasti. Vlnové funkce nemusíte normovat. 2. Hledání základního stavu variační metodou: Podle asymptotického chování potenciálu navrhněte vhodnou testovací funkci s jedním parametremdruhý bude fixovat normalizaci). Nalezněte optimální hodnotu parametru a jemu odpovídající přibližnou energii základního stavu.. Srovnáním energií základního stavu získaných oběma metodami určete, která metoda dává základní stav přesněji.

2 8 Nestacionární poruchová teorie Schödingerův, Heisenbergův, Diracův obraz MějmesystémpopsanýHamiltoniánemĤ,kterýlzerozložitnačástĤnezávisejícína časeanačasovězávislouporuchuĥi: Ĥt)Ĥ+ĤIt). Dálemějmevčase t vektor ψt ) popisujícístavsystému,libovolnýčasověnezávislýoperátorâačasovězávislýoperátorˆbt).fyzikálnízávěrysenezmění,pokud provedemeunitárnítransformacidanouunitárnímoperátoremû: ψ Û ψ Â ÛÂÛ Tuto transformaci můžeme učinit v každém čase t obecně různou. V praxi se užívají tři takovéto tranformacefyzikálně ekvivalentní obrazy).. Schrödingerův obraz ψt) Ût, t ) ψt ) Â,ˆBt) operátor A zůstává v čase konstantní, operátor Bt) se mění podle svého funkčního předpisu). Diferenciálnírovnicespoluspočátečnípodmínkou)proevolučníoperátorÛt, t ): i Ût, t ) Ĥt)Ût, t ) Ût, t )ˆ, která má v případě, že Hamiltonián nezávisí na čase, řešení Ût, t )e i Ĥt t ) Z evoluční rovnice pro evoluční operátor plyne rovnice pro stavový vektorčasová Schrödingerova rovnice) i ψt) Ĥt) ψt). 2. Heisenbergův obraz ψ H t; t ) Û t, t ) ψt) ψt ) konst. Â H t; t )Û t, t )ÂÛt, t ) ˆB H t; t )Û t, t )ˆBt)Ût, t ) t jevnějšíparametr).stavovývektorsesčasemnemění. Diferenciální rovnice pro stavový vektor a pro operátory: ψ H t; t ) ψ H t ; t ) ψt ) ÂH t; t ) i [ÂH t; t ),ĤH t)] Â H t ; t )Â ˆB H t; t ) i [ÂH t; t ),ĤH t)]+ H t ˆBt) ˆB H t ; t )ˆBt ),

3 kde jsme definovali H t ˆBt) Û t, t ) ˆBt) Ût, t ). Pokudmámesystémvčasověneproměnnémvnějšímpoli,tj.[Ĥ,Ût; t )],pak. Diracůvinterakční) obraz Zde Ĥ H t; t )Û t, t )ĤÛt, t)ĥ. ψ D t; t ) Û t; t ) ψt) Â D t; t )Û t, t )ÂÛt, t ) ˆB D t; t )Û t, t )ˆBt)Ût, t ) Û t, t )e i H t t ) jeevolučníoperátorhamiltoniánuĥ,tj.řešenídiferenciálnírovnice i Ût, t ) ĤÛt, t ) Û t, t )ˆ, Bezújmynaobecnostivolímečas t stejnýjakovpřípaděobrazuheisenbergova. Diferenciální rovnice pro stavový vektor a pro operátory: i ψd t; t ) I t; t ) ψ D t; t ) ψ D t ; t ) ψt ) ÂD t; t ) i [ÂD t; t ),ĤD I t; t )] Â D t ; t )Â ˆB D t; t ) i [ˆB D t; t ),ĤD I t; t )]+ D t ˆBt) ˆB D t ; t )ˆBt ), kdepodobně jako u obrazu Heisenbergova) D t ˆBt) Û t, t ) ˆBt) Û t, t ). Řešení první rovnice lze psát ve tvaru kde evoluční operátor v Diracově obraze je řešením diferenciální rovnice i Ŝt, t ; t ) ψ D t; t ) Ŝt, t ; t ) ψ D t ; t ), Ŝt, t ; t )Û t, t )Ût, t )Ût, t ) ĤD I t; t )Ŝt, t ; t ) Ŝt, t ; t )ˆ 8..)

4 VHeisenbergověiDiracověobrazuseobjevujevnějšíparametr t,kterývlastně udává čas, ve kterém se operátory i stavové vektory všech tří uvedených obrazů rovnají. Můžemevolit t apaknebudemetentoparametrvevzorcíchexplicitněvypisovat. Pokud H představujevolnýhamiltonián,paksezavádějíještěmøllerovyoperátory a operátor S-matice Ω ±) lim Ŝ, t ) t Ŝ lim Ŝt, t ). t + t Řešení rovnice8..) lze hledat ve tvaru integrální rovnice, kterou lze vyjádřit ve formě řady kde t Ŝt, t )ˆ i Ĥ D I t)ŝt, t )dt t ˆ i t { Ĥ D I t ) ˆ i t } Ĥ D I t t2)ŝt 2, t )dt 2 dt t Ŝ n) t, t ), Ŝ ) ˆ Ŝ ) i. Ŝ n) t n t Ĥ D I t )dt i ) n t t tn Ĥ D It ) Ĥ D It 2 ) Ĥ D It n )dt n dt 2 dt t t t 8..2) 8..) Rozvoj8..2) lze formálně sečíst. Jelikož však Diracovy obrazy Hamiltoniánu v různýchčasechmezisebounavzájemnekomutují,[ĥd I tj),ĥd I t k)] pro t j t k, musíme užítt-součin,definovaný následujícím způsobem: Nechť operátoryâjt)ve stejnémčasekomutují,tj.nechť[a j t), A k t)].pak ) T ÂN t N ) Ât ) Âi N t in ) Âi t i ) t in t in t i Užitím T-součinu můžeme psát Poznámka: Ŝt, t )Texp i t ) Ĥ D It )dt t Diferenciálnírovnici8..)můžemetakézkoušetvbázi φ m řešitpřímo.označíme-li pak dostaneme i S fit, t ) m S fi t, t ) φ f Ŝt, t ) φ i, Ĥ Ifm t)e iω fmt S mi t, t ) S fi t, t )δ fi což je soustava vázaných obyčejných diferenciálních rovnic. řádu. Soustavu lze explicitně vyřešit například pro dvouhladinový systém.

5 Nestacionární poruchová teorie Stejně jako u stacionární poruchové teorie budeme i zde předpokládat, že spektrum HamiltoniánuĤznáme: Ĥ φ m E m ) φ m φ m φ n δ mn φ m φ m ˆ. m Maticové elementy rozvoje evolučního operátoru v Diracově obraze8..2) v této bázi označíme jako S n) fi t, t ) φ f Ŝn) t, t ) φ i a pro jednotlivé členy8..) dostaneme S ) fi t, t )δ fi S ) fi t, t ) i S ) fi t, t ) t i Ĥ Ifi t )e iω fit dt t ) 2 t t m t t Ĥ Ifm t )e iω fmt Ĥ Imi t 2 )e iω mit 2 dt dt 2 kdejsmezavedli 4 H Ifi t) φ f ĤIt) φ i ω fi ) E ) f E ) i Pravděpodobnostpřechoduzpočátečníhostavu φ i připravenéhovčase t dokoncového stavu φ f včase tje a v poruchové teorii dostáváme P i f t t) φ f t) φ i t ) 2 φ D f t) φ D it ) 2 φ f Ŝt, t ) φ i 2 P i f t t) S ) fi t, t )+S ) fi t, t )+S 2) fi t, t )+ Pročasově neproměnnou poruchuzapnutouvčase t dostanemedo.řádu poruchové teorie P i f t t) 2π H Ifi 2 δ t ω fi ) t 8..4) 2 kde tt t a δ t ω fi ) π sin 2 ω fi t 2 ω 2 fi t 2 t δω kj ) 4 Někdybudemeprojednoduchostpsát H Ifi t) f ĤIt) i.

6 jefunkce,kterámávokolínulyostrémaximumpološířky 2π tavýšky t/2π.za dobu t tedy dojde k přechodům prakticky pouze v oblasti tohoto maxima, tj. ω fi 2π t aoznačíme-li E ) E ) f E ) i, dostaneme E ) t 2π Tento vztah se nazývá relace neurčitosti mezi časem a energií. Pokudlzenaokolí E ) i pohlížet jako na kontinuum hladinjedná se o přechod do spojité části spektra, nebo je v tomto okolí velké množství diskrétních hladin), pak se 8..4) píše ve tvaru Fermiho zlatého pravidla w i F t t) P i Ft t) t 2π H Ifi 2 ρ f E) E E ) i 8..5) cožjerychostpřechoduzpočátečníhostavu idoceléhojehookolí f F,nakterémje H Ifi 2 přibližněkonstantí.hustotuhladin ρ f E)lzespočítatnapříkladpomocípostupu uvedeném v sekci 4. Pro harmonickou poruchu o frekvenci ω Ĥ I ĥ+) e iωt +ĥ ) e iωt 8..6) dostaneme užitím podobného postupu jako v případě konstantní poruchy vztah ω fi ±ω, tj. E ) f E ) i ± ω 8..7) platící za předpokladu, že porucha je zapnuta po dostatečně dlouhý čas. Fermiho zlaté pravidlo v tomto případě zní w i F t t) 2π h +) fi 2 ρ f E) ) E E i ω 2π h ) fi 2 ρ f E) + ω E E ) i 8..8) Pokud máme periodickou poruchu, která není harmonická, můžeme ji pomocí Fourierovy tranformace na periodickou rozložit a počítat pravděpodobnost přechodu pro každou složku zvlášť. 8. Fotoelektrický jev Nechť atom vodíku, který je popsán Hamiltoniánem Ĥ 2mˆp2 e2 ˆr, je vystaven elektromagnetickému vlnění s vektorovým potenciálem Aˆr, t)2a ǫcosκ ˆr ωt) 8..) vektor ǫ určuje polarizaci vln, κ nω/c je vlnový vektor určující směr postupu vlny) a skalárním potenciálem Φˆr, t).

7 . Nalezněte interakční Hamiltonián. 2. Nalezněte hustotu pravděpodobnosti vztaženou na jednotku časurychlost přechodu) jevu, kdy kdy atom vodíku nacházející se v základním stavu emituje elektron do oblasti prostorového úhluω, Ω + dω)fotoelektrický jev).. Určete diferenciální účinný průřez výše uvedeného jevu. Řešení:. Interakční Hamiltonián Hamiltonián atomu vodíku, popisující interakci jeho elektronu s elektromagnetickým polem, zní Ĥ H EM) ˆp 2 e ) 2+ 2m c Aˆr, t) e 2 eφˆr) ˆr Počítáme ve speciálnícoulombické) kalibraci Hamiltonián v ní lze přepsat do tvaru Ĥ H EM) t)ĥ e mc A Φ. Ĥ e Aˆr, t) ˆp, mc e2 Aˆr, t) ˆp+ Aˆr, t) Aˆr, t) mc2 kdejsmezanedbaličlenúměrný Aˆr) 2.OznačímeĤIt) e Aˆr, t) ˆpadosadíme za vektorový potenciál monochromatickou mc vlnu8..): Ĥ I t) ea mc Nás bude zajímat excitace, stačí tedy brát pouze část 2. Rychlost přechodu e iκ ˆr ωt) +e iκ ˆr ωt)) ǫ ˆp 8..2) Ĥ I t)ĥe iωt ĥ ea mc eiκ r ǫ ˆp. Vlnováfunkcezákladníhostavuatomuvodíkujerovna 5 ψ i r)r r)y θ, φ) πa e r a. Vlnová funkce konečného stavu volného elektronu je ovlivněna Coulombickým polemjádra.totopolejevšakrychleodstíněnolátkou,kterásevokolíjádravyskytuje, a proto budeme brát elektron jako volný, jehož vlnovou funkci vyjádříme jako ψ f r) eik r 2π ) 5 Jednáseoradiálníiúhlovoučástvlnovéfunkce,srovnejs7.2.2)asnísouvisejícípoznámkou.

8 kde kjevlnovývektorelektronusenergií E e, E e 2 k 2 2m. Výpočet přechodu mezi spojitou a diskrétní částí spektra zjednodušíme tím, že budeme považovat elektron nikoliv za zcela volný, ale za uzavřený v krabicinekonečně hluboké potenciálové jámě) o objemu V. Budeme předpokládat, že krabice je tak velká, že neovlivní příliš spektrum atomu vodíkustačí, aby neovlivnila základní stav, se kterým počítáme). Nakonec provedeme limitu V. Vlnová funkce elektronu v krabici zní ψ f r) V e ik r. V tomto případě je k důsledkem konečných rozměrů kvantovaná veličina. Pokud jevšakobjem V dostatečněvelký,lzesnínadálepočítatjakosespojitou. Při výpočtu hustoty hladin volného elektronu vyjdeme ze vztahů4..) a4..2). Objem fázového prostoru klasicky se pohybujícího volného elektronu v krabici je podle4..) Ω PS E) V V d x dω Ω δ E ) 2m p2 d p δ E ) 2m p2 p 2 dp. Budeme se ptát po hustotě hladin s vlnovým vektorem mířícím do elementu prostorového úhlu dω, tj. čivzávislostinaveličině k dρe) dω dω PS E) 2π ) dω V 2π ) δ E 2m p2 V 2π ) 2m 2 2mE δ p 2mE V 2π ) 2m 2 2mE 2mE V 2π ) m 2mE dρk) dω V 2π ) km ) p 2 dp ) p 2 dp K výpočtu pravděpodobnosti, resp. rychlosti přechodu použijeme Fermiho zlaté

9 pravidlo8..8). Maticový element, který se v něm objevuje, zní h fi f ĥ i ea mc ψ i ea mc πa V ǫ i ea mca πa V ǫ i ea mca πa V ǫ Iq) f r)e iκ r ǫ pψ i r)d r e iκ k) r e r a d r 8..) e iq r r r e r a d r kde jsme označili q κ k. Integrál Iq) vypočítáme následující úvahou. Jediný vektor, na kterém integrand integrálu závisí, je q. To znamená, že integrál musí být možné vyjádřit jako I qi Budeme tedy počítat výraz q 2 I e iq r q r e r a d r r Sférickésouřadnicer, θ, φ) osa zparalelnísvektorem q Platí re r a dr π e iqrcos θ qrcosθsin θdθ ucos θ du sin θdθ 2πq 2πq 2πqi 2πi re r a dr re r a dr r 2π q { [ { re r a dr qr { e r a +iq 2πi J 2π q J 2 2π dφ e iqru udu Perpartes ] iqr eiqru u } e iqru du iqr ) e iqr +e iqr) + i } e iqr e iqr) qr) )} 2 dr +e r a iq { ) e r +iq a e r )} iq a dr e αr dr α re αr dr α e αr dr α 2

10 pro α >),takže J a +iq ) 2 + a iq ) 2 a 2 iqa ) 2 ++iqa ) 2 +q 2 a 2 )2 q 2 a 2 2a +q 2 a 2 ) 2 J 2 a +iq a iq a iqa iqa +q 2 a 2 2iqa2 +q 2 a 2 a po dosazení dostaneme [ ] a q 2 I 4πia 2 2 q 2 +q 2 a 2 ) 2 +q 2 a 2 4πia 2 a 2 q 2 a 2 q 2 +q 2 a 2 ) 2 8iπa4 q 2 +q 2 a 2 ) 2 neboli Maticový element zní I 8iπa 4 +q 2 a 2 ) 2 q. h fi i ea mca πa V 8iπa 4 ǫ κ k) +q 2 a 2 )2 i ea mca πa V 8iπa 4 ǫ k, +q 2 a 2 )2 neboť ǫ κ,cožplynezvlastnostícoulombickékalibrace. Nyní již máme v rukou vše, co potřebujeme k použití Fermiho zlatého pravidla 8..8). Dosadíme a dostaneme dw i f dω 2π h fi 2 dρ dω 2π i ea mca πa V 8iπa 4 +q 2 a ǫ k 2 )2 2 V 2π ) km 6 ea ) 2 ǫ k) 2 ka π mc 2 +q 2 a 2 ) ). Účinný přůřez Účinnýprůřezprocesujedefinovánjakopočetprocesů i f zajednotkučasu dělenou celkovým tokem částic. V našem případě je to absorbovaná energie za jednotku času dělená tokem energie dopadajícího elektromagnetického záření.

11 Absorbovaná energie za jednotku času je dána součinem rychlosti přechodu8..4) aenergie,kteráseabsorbujeakterájerovna ω: U i f ω dw i f dω Tok energie je součin rychlosti přenosu energie a hustoty energie: Φc ) E 2 max 2 8π + B2 max 8π E A B A c ω E max B max 2A a po dosazení c ω 2 2 π c A 2 2 ω 2 2π c A 2 dσ i f dω 2π c dw i f ω A 2 dω 2e2 ǫ k) 2 ka mcω+q 2 a 2 ) 4 Zaveďme ještě souřadnou soustavu tak, aby vektor polarizace ǫ mířil do směru osy x, vlnový vektor dopadající vlny κ do směru osy z. Ve sférických souřadnicích dostaneme ǫ kksin θcos φ q 2 k 2 2k κ+κ 2 k 2 2k ω c cosθ+ ω c Při výpočtu jsme uvažovali, že Coulombické pole neovlivní pohyb vyraženého elektronuatensepohybujejakovolný.toplatípouzevpřípadě,že k > gg E,kde E je energie základního stavu atomu. Tuto aproximaci lze rozvést ještě dál. Energie, kterou získá vylétávající elektron, je díky tomuto přiblížení rovna energii dopadajících fotonů: 2mEe 2mωc k. Jelikož κ ω/c, dostáváme a můžeme aproximovat Diferenciální účinný průřez bude κ k k κ k k2 2mc p 2mc v 2c +q 2 a 2 +k2 a 2 v ) c cosθ k 2 a 2 v ) c cosθ. dσ i f dω 2e 2 sin 2 θcos 2 φ mcωka ) 5 v cosθ) 4. c c ) 2

12 Tennabývámaximapro φapro θdanérovnicí 2sinθcosθ v ) 4 c cos θ v 4 c sin2 θsin θ d dθ sin 2 θ v cosθ) c v ) c cosθ 2cosθ 2 v c cos2 θ v c sin2 θ atedy cosθ ± +8 v c 2 v c ) 2 c [ ] v 2 ±±4 2v c) c v 2 v c. První řešení nevyhovuje, pravá strana je větší než. Maximální pravděpodobnost emise jetedydosměru θ π 2 2v c φ Poznámka: Integrál8..) lze vypočítat též jiným způsobem. V p-reprezentaci budeme posunovat operátor vlevo.posunutískrzčlene iκ r lzeprovéstpřímodíkycoulombickékalibraci směršířeníelektromagnetickévlnyjekolmýnapolarizaci).posunutískrzčlene ik r provedeme pomocí integrace Per partes. Povrchový příspěvek je a gradient po zapůsobení na tento člen dá pouze faktor ik, který je možné vytknout před integrál. Integrujeme tedy nakonec ea h fi mca πa V ǫ k e iq r e r a d r, což je vlastně Fourierova transformace vlnové funkce základního stavu atomu vodíku.