GEODETICKÁ ASTRONOMIE A KOSMICKÁ GEODÉZIE

Transkript

1 VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ JAN FIXEL, RADOVAN MACHOTKA GEODETICKÁ ASTRONOMIE A KOSMICKÁ GEODÉZIE MODUL 0 GEODETICKÁ ASTRONOMIE

2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

3 Jan Fixel, Radovan Machotka

4

5 Obsah OBSAH Úvod 7. Cíle...7. Požadované znalosti Doba potebná ke studiu Klíová slova...7 Pístroje a pomcky...9. asomry Chod hodin a jeho variace Chronografy...0. Teodolity Astronomický universální teodolit Astronomický universální teodolit Wilt T Urení konstant astronomického universálu Urení citlivosti libel Urení sklonu Urení otoky okulárového mikrometru Urení astronomických zempisných souadnic Urení astronomické zempisné šíky Urení zempisné šíky mením zenitových vzdáleností Polárky Metoda Sterneckova Metoda Horrebow - Talcottova Urení místního hvzdného asu Urení korekce hodin z mených zenitových vzdáleností Cingerova metoda Urení astronomické zempisné délky Urení astronomického azimutu Urování azimutu nižší pesností Urování azimutu cíle pomocí hodinového úhlu Urení azimutu z mení na Polárku Urení azimutu z hodinového úhlu Slunce Pevod astronomického azimutu na smrník Závr Shrnutí Seznam použité literatury Seznam doplkové studijní literatury (33) -

6

7 Úvod Úvod. Cíle Cílem druhého modulu Geodetická astronomie pedmtu Geodetická astronomie a kosmická geodézie je seznámit Vás s pístroji a pomckami používanými pi urování astronomických zempisných souadnic a astronomických azimut. Ukázat, jakým zpsobem se urují potebné konstanty použitých pístroj a v pehledné form Vás seznámit s metodami, které umožují urit hledané veliiny vztažené k místní tížnici.. Požadované znalosti Pedpokládá se, že jste zvládli problematiku sférické astronomie, zvlášt kapitolu vnovanou souadnicovým systémm a jejich transformacím. Dále, že jste pochopili problematiku moderní definice asu a jeho vazbu na as polorovnomrný rotaní UT ve kterém se Zem otáí rovnomrn. Z matematiky se budou využívat parciální derivace a totální diferenciál. Požaduje se dokonalá znalost roenky Astronomieskij ježegodnik, výpoet stedních a interpolace zdánlivých souadnic hvzd a to jak v jednodenní, tak v desetidenní efemerid..3 Doba potebná ke studiu Doba potebná ke studiu je do znané míry závislá na dobrých znalostech sférické astronomie. Za pedpokladu, že tyto jsou dobré, nebude doba ke studiu píliš nároná, nebo všechny metody vycházejí z ešení nautického trojúhelníku. Pjde jen o to pochopit princip té které metody a na základ ešení totálního diferenciálu zvolit nejvhodnjší hvzdy tak, aby vliv chyb v mených veliinách byl co nejmenší..4 Klíová slova stopky, chronometry, chod hodin a jeho variace, chronografy, zenitové hranoly a okuláry, libely, nulový bod libely, urení sklonu, otoka okulárového mikrometru, urení zempisné šíky z mení na Polárku, metoda Sterneckova, metoda Horebow-Talcottova, princip urení místního hvzdného asu a astronomické zempisné délky, astronomický azimut z mení na Polárku a z mení na Slunce., pevod azimutu na smrník. - 7 (33) -

8

9 Pístroje a pomcky Pístroje a pomcky Pi urování astronomických zempisných souadnic a astronomických azimut lze využít vteinových teodolit bžn používaných v geodetické praxi za pedpokladu, že jsou vybaveny nezbytnými doplky pro noní mení. Dležitým doplkem jsou asomrná zaízení umožující urení asu popípad zaznamenání asu zámry na hvzdu.. asomry Pro mení asu lze využít specielních mechanických stopek typu Rattrapante (Obr..), nebo rzných elektronických stopek (Obr..). chronografy Obr.. Stopky typu Rattrapanta Obr.. Elektronické stopky Stopky typu Rattrapante mají krom minutové a hodinové ruiky ješt dv ruiky sekundové. Jednu ze sekundových ruiek je možné zastavit a odeíst asový údaj s pesností 0. s. Po zaznamenání asového údaje lze stojící sekundovou ruiku piadit k pohybující se sekundové ruice a stopky jsou pipraveny k dalšímu mení. Nevýhodou je, že namený asový údaj musí být zapsán do zápisníku bez možnosti následné kontroly. Obr..3Chronometr Registrace namených hodnot je možná s využitím pesných penosných pérových hodin tzv. chronometr, které jsou opateny zaízením na kompenzaci vlivu kolísání teploty a zaízením na kompenzaci ubývání síly péra, které se využívá pro pohon setrvaky. Tím jsou odstranny píiny ovlivující chod chronometru. - 9 (33) -

10 Geodetická astronomie a kosmická geodézie Modul 0 Chronometr je opaten perušovaem proudu, který umožuje záznam asu zapisovaem (chronografem). Perušova proudu zapíná proudový okruh (pro intenzitu 00 miliampér a pro naptí až 0 V) na zaátku každé sekundy po dobu 0, s - 0,5 s... Chod hodin a jeho variace Pro práce v geodetické astronomii je teba používat kvalitní asomry které umožní v libovolném okamžiku urit pesný as. Rozdíl as správný(s) mínus as udávaný hodinami (s ) se nazývá korekce hodin k. Korekci hodin k uríme pomocí asových signál, které rozšiují as UTC. Pro výpoet správného údaje hodin platí s = s + k. (.) Jdou-li hodiny naped (pozadu) je korekce záporná (kladná). Zmna korekce za uritý asový interval se nazývá chodem hodin. Využívá se tzv. denní chod, což je zmna korekce za 4 hodin, nebo hodinový chod. Dobré hodiny mají chod stále stejného znaménka a jeho absolutní hodnota má být pokud možno stálá. Chod hodin lze ovlivnit rektifikací hodin a neudává kvalitu hodin. K posouzení hodin se využívá tzv. prmrná variace. Variací hodin nazýváme zmnu chodu v závislosti na ase. Získáme-li v asových okamžicích T, T a T 3 korekce hodin k, k a k 3 lze urit okamžité chody hodin ze vztah ch = T T ch 3 = T T t t dk k k dt = dt T T. (.) dk k k dt = dt T T t3 t Z okamžitých chod hodin uríme prmrný denní chod c h. Z rozdíl prmrného denního chodu a jednotlivých denních chod ch i získáme denní variace i ch i 3 v = ch (.3) Prmrná hodnota absolutních hodnot denních variací je mírou kvality hodin. ím je prmrná variace menší, tím jsou hodiny kvalitnjší... Chronografy K registraci namených as se používají tzv. chronografy. Princip rycího chronografu je znázornn na (Obr..4). Motor (M) pohybuje pomocí váleku (V) papírový pásek (P). Rychlost posunu lze u nkterých chronograf mnit. Na pásek dosedají dva (popípad více) rycí hroty (S, S ), které zanechají na pásce, na které je slabá vrstva vosku, stopu. Každý hrot je spojen s pákou (P), která je udržována v základní poloze zarážkou (Z) a spirálovým perem (C). Páky mohou být vychýleny ze základní polohy pomocí elektromagnet (R). Vychýlení páky se zaznamená na pohybující se pásce jako zoubek. Po vypnutí proudu se vrátí hrot do výchozí polohy pomocí spirálového pera (C). Do okruhu jednoho elektromagnetu (R) se zapíná sekundový - 0 (33) -

11 Pístroje a pomcky kontakt chronometru. Pi každém sepnutí kontaktu se uzave proudový okruh baterie (B) a elektromagnet R pitáhne kotvu hrotu S. Po vypnutí proudu se vrátí hrot do pvodní polohy. Obr..4Princip rycího chronografu Hrot S zaznamenává tedy sekundové impulsy z hodin. Celé minuty musí oznait obsluha chronografu podle údaj chronometru. Souasn s asovými znakami registruje chronograf hrotem S asový okamžik, jehož hodnotu chceme urit. K vyhodnocení záznamu rycího chronografu se používá sklenná stupnice se sbíhavou osnovou pímek (Oppolzerova stupnice), která umožuje interpolovat asový údaj druhého péra. Tiskací chronograf umožuje podstatn jednodušší urení asového okamžiku než u chronografu rycího. Princip je následující: Synchronní elektromotor, který je napájen výstupní frekvencí 50Hz z kemenných hodin, pohání ti typová kola, která se otáejí ve zvoleném asovém intervalu kolem spolené osy. Kotou, který je na obvod opaten ísly 00 až 99 se otoí jednou za sekundu (tiskne setiny sekundy, tisíciny lze interpolovat). Druhé a tetí kolo má na obvod íslice 00 až 59. Druhé kolo se otoí jednou za minutu (tiskne celé sekundy). Tetí kolo se otoí jednou za hodinu (tiskne minuty). V okamžiku mení se okamžité postavení kol obtiskne pes pásku do psacího stroje na proužek papíru. Proti každému kolu je umístno kladívko, které v okamžiku mení uhodí barevnou a papírovou pásku proti otáejícím se kolm. Po registraci se kladívka vrací do výchozí polohy a souasn se posune barevný i papírový pásek. Maximální rychlost registrace jsou dva až ti tisky za sekundu. Je možné si zvolit zda chceme zaátek, nebo konec, popípad zaátek i konec impulsu. K mení a registraci asu lze využít universální íta, který umožuje jak pesné mení kmitot, pomr kmitot a jejich násobk, tak je možné jej využít jako pesný íta impuls. Pro naše využití je vhodné použít asový - (33) -

12 Geodetická astronomie a kosmická geodézie Modul 0 interval 0-3 nebo 0 - sekundy. Dležité je íta spustit s využitím asovéhosignálu. Elektrický impuls umožní zjistit okamžitý stav pamti ítae na íselném indikátoru. Souasn je pístroj opaten pamtí a mže být použit k zápisu na tiskací zaízení. Geodetické GPS pijímae mají standardn nebo voliteln výstup PPS, což jsou sekundové znaky asu UTC, který je souasn zobrazen na displeji. Nkteré pijímae umožují zobrazit úplný asový údaj v ASCII formátu pro registraci vnjším zaízením. Pesnost asu je udávána ± µs. K registraci asu lze použít zaízení TDU, které je napojeno na anténu GPS. Okamžiky mení jsou zaznamenány do pamti pístroje v ase UTC (Obr..5) Obr..5 Doplkové registraní zaízení k antén GPS Pro registraci asu lze využít osobní poíta, kdy se využívá možnosti softwarového pepnutí ítaového ipu do režimu, v nmž lze odeítat jeho stav s pesností danou ídícím oscilátorem poítae. Na poítai PC 486 je pesnost odetu ádu desítek mikrosekund. Znaky asového signálu a kontaktového mikrometru se pivádjí do poítae pes paralelní rozhraní (LPT). Jediný permanentní asový signál ve stední Evrop je nmecký signál DCF 77, vysílaný z Frankfurtu nad Mohanem. Na (Obr..6) je vrchní deska jednoúelového malého pijímae signálu DCF 77 (jeho velikost je srovnatelná s krabikou cigaret o váze nkolika desítek gram), který krom zvukových sekundových znaek souasn ukazuje as. UTC a umožuje pedávat tyto pulsy do zapisovae. Obr..6 Pístroj pro píjem asového signálu DCF 77 - (33) -

13 Pístroje a pomcky. Teodolity Pi astronomických meních je teba využívat teodolity, které umožují dobrou horizontaci (tena k tížnici vytyuje polohu zenitu na nebeské sfée). Je nutné, aby ml teodolit osvtlení vodorovného, výškového kruhu a zorného pole dalekohledu. Intenzita osvtlení zorného pole se reguluje natáením zrcátka. Teodolity mohou být doplnny následujícími doplky pro astronomická Obr..7 Teodolit s hranoly pro strmé zámry mení. Pro snadnjší mení pi strmých zámrách je vhodné používat hranoly pro strmé zámry, (Obr..7). Na hranolu pro okulár dalekohledu se vtšinou Obr..8Teodolit se sázecí libelou nachází odsunovatelný slunení filtr. Místo hranol se nkdy používají lomené okuláry (tzv. zenitové okuláry). Pi strmých zámrách lze mit sklon toné osy dalekohledu sázecí libelou (Obr..8).Tato libela je pidržována epem, který se musí zašroubovat do horní ásti alhidádové vidlice. Nad libelou je otoné zrcátko, které umožuje odeítání libely pímo od okuláru. Citlivost libely bývá 0. Pro zajištní stálé zenitové vzdálenosti po dobu mení je vhodné využít Horrebowu libelu (Obr..9), která se nasouvá na rybinu, která je souástí dalekohledu. Z konstrukních dvod lze libelu využít pouze v uritém rozsahu zenitových vzdáleností. Libela s citlivostí až 0 se odeítá koincidenním zpsobem (v hranolu C). K souasnému urení asu a zempisné šíky je možné teodolit doplnit astrolábovým nástavcem, který umožuje sledovat prchody hvzd zvoleným almukantaratem (vtšinou 30 0 ). Astrolábový nástavec se skládá z rovnostranného hranolu a rtuového horizontu. Rtuový horizont mže být chránn proti vtru. Obr..9 Horrebova libela (L) - 3 (33) -

14 Geodetická astronomie a kosmická geodézie Modul 0.. Astronomický universální teodolit Princip konstrukce astronomických universál se neliší od konstrukce geodetických teodolit. Dv toné osy umožují nastavit dalekohled do libovolné polohy, pi emž se pedpokládá, že vertikální osa je bhem mení totožná s tenou k tížnici stanovišt. Pomocí pesn dlených kruh lze urit polohu dalekohledu v horizontálních souadnicích. Astronomické universály mají vtšinou lomený dalekohled se 40 až 70 násobným zvtšením. Okulár je umístn na jednom konci horizontální toné osy dalekohledu a je opaten registraním mikrometrem, který je otoný kolem optické osy. Na druhé stran horizontální osy je výškový kruh s indexovou libelou. Pro rychlé nastavení dalekohledu do zvolené zenitové vzdálenosti je u okuláru pomocný výškový kruh s indexovou libelou. Pomocný kruh není pevn spojen s dalekohledem. Je dlen po 0 a odeítá se jednoduchou mížkou. Umožuje nastavení zenitové vzdálenosti následující hvzdy. Po urovnání indexové libely je dalekohled pipraven k mení. Na epy vodorovné toné osy, které jsou odkryté, je možné umístit závsnou libelu, jejíž citlivost je až 3. Pro zajištní stálé zenitové vzdálenosti dalekohledu je teodolit opaten dvmi Horrebowými libelami. Jsou upevnny na rámu, který je otoný kolem krátké vodorovné osy. Rám s libelami lze v libovolné zenitové vzdálenosti sepnout s tlem dalekohledu.... Astronomický universální teodolit Wilt T4 Astronomický universál Wild T4 je uren k mení vodorovných úhl v základní trigonometrické síti, k urování astronomických zempisných souadnic rznými metodami a k mení astronomických azimut. Pístroj se skládá ze dvou ástí. Každá ást je ve speciální transportní bedn. Pístroj váží 55 kg. Ve transportních bednách asi 0 kg. Spodní ást pístroje, kde se otáí alhidáda, je opatena stavcími šrouby.ve spodní ásti je vodorovný kruh, který se odeítá mikroskopem (je umístn v dolní ásti nosníku). V této ásti jsou také zásuvky k osvtlení astronomického universálu a k jeho spojení s chronografem. Souástí spodní ásti jsou nosníky pro uložení druhé ásti pístroje. V horní ásti nosník jsou umístna nekrytá ložiska pro uložení vodorovné toné osy dalekohledu. Alhidádová vidlice je vybavena pomocným zaízením, které nadlehuje vodorovnou tonou osu. Ložisko na stran okuláru slouží k rektifikaci pístroje, kterou je teba ovit po každém složení pístroje. Pro rychlé nastavení alhidády do zvoleného smru slouží pomocný vodorovný kruh s žárovikou, která vypnutím indikuje pibližné nastavení alhidády do zvoleného smru (urychluje mení v obou polohách dalekohledu). Druhý díl astronomického universálu je lomený dalekohled s vodorovnou tonou osou, držákem Horrebowých libel a vertikálním kruhem. Okulár je opaten registraním mikrometrem, který je otoný kolem optické osy. Rozsah je vymezen dvmi seiditelnými zarážkami. Mický rozsah mikrometru je 0 otoek. Úhlová hodnota jedné otoky je pibližn 50 a má 0 kontakt pro registraci asu. Zorné pole je opateno šesti pevnými vlákny, jejichž vzdálenosti od stedního vlákna jsou pibližn 3, a. Pomocný vertikální kruh je u okulárové ásti dalekohledu. - 4 (33) -

15 Pístroje a pomcky Sklenné kruhy se odeítají koincidenní metodu. Indexová libela je konstruována jako koincidenní. Je opatena stupnicí, která umožuje pi tení vertikálních úhl bu libelu pesn koincidovat nebo íst na stupnici vychýlení bubliny a dodaten zavádt opravy z neurovnané indexové libely. Pístroj se hlavn používá k urování astronomických azimut na Laplaceových bodech. Lze jej využít k urení místního hvzdného asu Cingerovou metodou a k urení zempisné šíky Horrebow-Talcottovou metodou. Vnujeme se podrobnjšímu popisu pístroje: zvtšení dalekohledu 65 x zorné pole dalekohledu 50 kruh vodorovný vertikální prmr 50 mm 90 mm nejmenší dílek 0 citlivost závsné libely Citlivost indexové libely Citlivost Horrebowých libel / dílek - / dílek 5 /dílek Obr..0 Astronomický universální teodolit Wild T4-5 (33) -

16 Geodetická astronomie a kosmická geodézie Modul 0 Tabulka. Popis teodolitu Wild T4 - tubus objektivu 5 - indexová libela - osvtlovací tlísko zorného pole 6 - osvtlovací tlísko vertikálního kruhu 3 - horizontální osa 7 - hrubá ustanovka vertikálního kruhu 4 - vertikální kruh 8 -okulár vertikálního kruhu 9 - bubinek mikrometru vertikálního kruhu 3 - okulár pomocného výškového kruhu 0 - závsná libela 4 - okulár dalekohledu - jemná ustanovka indexové libely 5 - kotou pro ovládání registraního mikrometru - jemná ustanovka vertikálního kruhu 6 - bubínek okulárového mikrometru 3.- vypína osvtlení vertikálního kruhu 7 - okulár vodorovného kruhu 4 - vypína osvtlení zorného pole 8 - vidlice dalekohledu 5 - vypína osvtlení pomocného vertikálního kruhu 9 - hrubá ustanovka horizontálního pohybu 6 - vypína osvtlení horizontálního kruhu 30 - index se žárovikou pomocného vodorovného kruhu 7 - krabicová libela 3 - pomocný horizontální kruh 8 - upevovací výnlek 3 - víko kotoue pro postrk horizontálního kruhu 9 - rosnice dalekohledu 33 - osvtlovací tlísko horizontálního kruhu 0 - regulace intenzity osvtlení zorného pole 34 pípojka k baterii - Horrebowy libely 35 - pípojka k chronografu - libela pomocného výškového kruhu.. Urení konstant astronomického universálu Mezi konstanty astronomického universálu se adí urení citlivosti libel, urení otoky okulárového mikrometru a stanovení vzdáleností vedlejších vláken v okulárovém mikrometru... Urení citlivosti libel Pesnost libely je ovlivnna délkou bubliny. Tato se mní v závislosti na teplot. Pesné astronomické libely jsou prbžn íslovány s nulou na jedné stran libely. V koncové ásti libely (vtšinou u nuly), která se v literatue oznauje jako sklípková, je komrka která umožuje upravovat délku bubliny. Naklonním libely upravíme délku bubliny na polovinu dlené stupnice. Krom urení citlivosti libely je velmi dležitá rektifikace libely na použitém pístroji. Citlivé libely se špatn rektifikují. Proto se na libele stanovuje tzv. nulový bod, ve kterém je tena podélného profilu výbrusu rovnobžná s osou, na které libela spoívá. Tento bod se používá pi urovnávání libely. Nulový bod se nemá lišit od stedu dlené stupnice o více než až dílky. - 6 (33) -

17 Pístroje a pomcky... Urení sklonu Libelu umístíme na epy vodorovné osy tak, aby nula stupnice byla u pomocného vertikálního kruhu (u okuláru dalekohledu). Pi tení libely musíme vidt zamovaný objekt. Hodnotu sklonu i získáme se znaménkem. Na (Obr..) je znázornna sázecí libela s prbžným íslováním s nulou dlení vpravo (0). Symbolem L (P) se oznauje levý (pravý) konec horizontální osy Obr.. Urení sklonu vodorovné toné osy ve smru mení. Pímka LP odpovídá sklonu i toné osy dalekohledu vzhledem k vodorovné rovin. Spustíme-li ze stedu polomru výbrusové kružnice M kolmici na tonou osu dalekohledu získáme na stupnici libely bod N, který odpovídá nulovému bodu libely. Vzdálenost nulového bodu od poátku stupnice si oznaíme s. Sted bubliny odpovídající sklonu vodorovné osy i oznaíme B. Po pesazení libely bude nula dlení stupnice na levé stran (obr.). Vzdálenost nulového bodu od poátku dlení je opt s, rovnž sted bubliny v této poloze je vzdálen o úhel i. Pi mení se uruje levý (l) a pravý (p) konec bubliny. Oznaíme-li tato tení pi poloze nuly stupnice vpravo (l,p) p a pi poloze nuly vlevo (l, p) l získáme následující vztahy mezi úhlem sklonu i a vzdáleností nulového bodu od poátku stupnice (s) (Tabulka.) Tabulka. tení sázecí libely poloha libely tení konc bubliny poloha stedu bubliny nula dlení vpravo l p, p p B p = ½ (l+p) p = s+i nula dlení vlevo L l, p l B l = ½ (l+p) l = s-i Z jedné polohy libely uríme úhel sklonu ze vztahu Z rovnice (.4) vyplývá že ( l + p ) s, i = s + ( l p) l i = + p B B p l i. Sklon se urí ( B B ) = [( l + p) ( l p) ] i = p l p + 4 V dílcích libely. Oznaíme-li citlivost libely µ bude sklon [( l + p) ( l p) ] µ " i "= + 4 p l l (.4) (.5) (.6) - 7 (33) -

18 Geodetická astronomie a kosmická geodézie Modul 0 Tento zpsob urení sklonu využijeme pi mení, kdy jednotlivá mení spojujeme do miských dvojic. V pípad, že bhem mení se pekládá dalekohled (kruh východn KE, kruh západn KW), pak úhel sklonu získáme ze vztahu ( l + p) ( l + p) KE KW i" = µ ". (.7) 4 Pi urování sklon je vhodné kontrolovat správnost odetu výpotem délky bubliny....3 Urení otoky okulárového mikrometru Otoku okulárového mikrometru lze urit s využitím pesn dleného vodorovného kruhu, kdy se zmí dv extrémní polohy vychýlení pohyblivého vlákna okulárového mikrometru jednak na stupnici okulárového mikrometru a jednak na pesn dleném kruhu. V horizontu pístroje se zvolí dobe viditelný cíl a mikrometr se otoí tak, aby mil ve vodorovném smru. Pohyblivé vlákno se nastaví do jedné krajní polohy M a celou alhidádou se pointuje pohyblivé vlákno na zvolený cíl. te se údaj vodorovného kruhu K. Po nastavení pohyblivého vlákna do druhé krajní polohy M se obnoví pointace na cíl pohybem celé alhidády a te se údaj vodorovného kruhu K. Hodnota otoky je dána vztahem K M K M R M =. (.8) tení na okulárovém mikrometru se volí tak, aby M - M bylo celé íslo a postupn se mnilo od maximálního mického rozsahu mikrometru až do jedné toky. Kontrolní otázky Jaké vlastnosti musí mít dobrý chronometr? Co je sted pozorovací ady a k emu se využívá? Jakým zpsobem se mení redukují na sted pozorovací ady? Kde lze získat asový signál? Jak lze posoudit kvalitu asomru? Moderní zpsob registrace asových mení. - 8 (33) -

19 Urení astronomických zempisných souadnic 3 Urení astronomických zempisných souadnic Nejvhodnjší pozorovací podmínky pro urení astronomických zempisných souadnic, v pípad, že budeme mit zenitové vzdálenosti hvzd, odvodíme pomocí totálního diferenciálu kosinové vty z nautického trojúhelníka cos z = sinϕ sinδ + cosϕ cosδ cost. (3.) Po jednoduchých úpravách dostaneme dz = cos Adϕ + cosϕ sin Adt cosq dδ. (3.) V pípad, že diferenciály budeme považovat za skutené chyby, mžeme z totálního diferenciálu stanovit nejvhodnjší podmínky pro urení píslušné astronomické zempisné souadnice. 3. Urení astronomické zempisné šíky Zempisná šíka uruje polohu pozorovacího stanovišt vzhledem k rovníku. Její hodnotu lze odvodit z nautického trojúhelníka, za pedpokladu, že zmíme zenitovou vzdálenost (z ) a as zámry (s) na hvzdu, jejíž zdánlivé rovníkové souadnice (α,δ ) známe. Nejvhodnjší pozorovací podmínky uríme z(3.) odkud vypoítáme dϕ = sec A cosϕ tgadt + cosqsec Adt. (3.3) Ze vztahu (3.3) je zejmé, že nejvhodnjší pro urení zempisné šíky je mit zenitové vzdálenosti hvzdy v rovin místního poledníku (A=0 0, A=80 0 ). V tchto pípadech se neuplatní chyba v hodinovém úhlu (meném ase). Platí Tabulka 3. A = 0 0 A = 80 0 A = 80 0 d ϕ = dz + dδ vrchní kulminace jižn zenitu, d ϕ = dz + dδ vrchní kulminace severn zenitu, dϕ = dz dδ spodní kulminace. Z (Tabulka 3.) je zejmé, že, pi pozorování dvou hvzd symetricky položených vzhledem k zenitu pi jejich prchodu meridiánem, se vylouí konstantní chyba v zenitové vzdálenosti. To znamená, že se sníží chyby z refrakce a z indexové chyby. Chyba v ase se neuplatní. 3.. Urení zempisné šíky mením zenitových vzdáleností Polárky Polárka (α UMi) se v souasnosti nachází v blízkosti pólu a je proto vhodná pro místa v našich zempisných šíkách pro urení zempisné šíky. Pi ešení úlohy se využívá skutenosti, že rozdíl mezi zenitovou vzdáleností Polárky a zenitovou vzdáleností pólu x< 0. Podle (Obr.3.) lze napsat - 9 (33) -

20 Geodetická astronomie a kosmická geodézie Modul ( ϕ) x = 90 ( x) z = 90 ϕ +. (3.4) Pi výpotu opravy x použijeme kosinovou vtu v nautickém trojúhelníku, do které za cos z dosadíme ze vztahu (3.4). Dostaneme sin ( ϕ x) = sin ϕ cos p + cosϕ sin p cost +. (3.5) Obr.3. Urení ϕ z mení na αumi Ve vztahu (3.5) jsme použili místo δ Polárky její pólovou vzdálenost p. Pi další úprav se využije skutenosti, že hodnoty veliin x, p dosahují malých hodnot a mžeme jejich funkce nahradit rozvojem v adu pi zanedbání len tvrtých a vyšších ád. Po dosazení do (3.5) dostaneme 3 3 x p p x x = p cost + tg ϕ. (3.6) 6 6 Odkud se vypoítá 3 3 ( p x ) tg ( p cost x ) x = p cost ϕ. (3.7) 6 Rovnici (3.7) se eší postupnou aproximací, takže ( 3tg ϕ) 3 x = pcost p sin t tgϕ p cost sin t +. (3.9) 6 Zempisnou šíku získáme z rovnice (3.4) 0 ( 90 z) x ϕ = (3.0 Ve vztahu (3.0) je z pravá zenitová vzdálenost Polárky z = z R. Výhoda tohoto ešení je, že není teba pipravovat pozorovací program, protože Polárku lze snadno na obloze identifikovat Metoda Sterneckova Metoda pedpokládá, že astronomický universální teodolit je umístn v místním poledníku. Tato metoda byla poprvé použita pi rakouském stupovém mení R. Sterneckem, který pro urení astronomické šíky využil hvzdy rozložené symetricky vzhledem k zenitu. Hvzdy sestavoval do páru a tím - 0 (33) -

21 Urení astronomických zempisných souadnic snížil vliv astronomické refrakce popípad indexové chyby na urovanou veliinu. Každý pár zahrnuje bu hvzdy v horní kulminaci (jižn a severn zenitu), nebo hvzdu v horní kulminaci a hvzdu v dolní kulminaci (v tomto pípad musíme za δ dosadit (80 0 -δ)). Zempisnou šíku z jednoho páru uríme ze vztahu δ S + δ N z S z N RS RN ϕ = + +. (3.) Vliv systematických chyb se sníží vhodnou úpravou pozorovacího programu. Metoda byla využita jako metoda kontrolní pi mení na Laplaceových bodech. Lukeš [3] udává stední chybu v urení zempisné šíky ze 40 až 50 hvzdných pár ±0. až ±0.3. Sestavení pozorovacího programu Ze stedních souadnic hvzd najdeme hvzdy jejichž rektascenze se shodují s asem pedpokládané observace a jejichž zdánlivá velikost je v intervalu < m < 6. Hvzdy, jejichž rozdíl zenitových vzdáleností z S - z N je malý vytvoí hvzdný pár. Další hvzdy se vybírají tak, aby severní a jižní hvzdy splovaly podmínku. z S i n i n i z N i, kde i=,.,n, kde n je poet hvzd ve skupin. Podle požadované pesnosti obsahuje pozorovací program hvzdných pár. 3.. Metoda Horrebow - Talcottova Dánský astronom P.Horrebow navrhl, aby se místo mení zenitových vzdáleností v metod Sterneckov mil rozdíl zenitových vzdáleností hvzd procházejících meridiánem pomocí okulárového mikrometru kde S M N z z z ( M S M N ) RM = S N =, (3.) M, je tení okulárového mikrometru pi pointaci pohyblivého vlákna na jižní a severní hvzdu a R M je úhlová hodnota otoky okulárového mikrometru. Rovnice (3.) platí pouze za pedpokladu, že dalekohled ve druhé poloze zaujme symetrickou polohu vzhledem k ten k tížnici stanovišt. Toto si uvdomil pi praktické aplikaci metody americký astronom - geodet Talcott. Polohu dalekohledu vzhledem k zenitu pi mení jednoho páru zajistil pomocí libely (Talcottovy - osa je kolmá na vodorovnou tonou osu). Pi pozorování severní hvzdy v horní kulminaci se zempisná šíka vypoítá ze vztahu n kde ϕ = ( δ + ) ± ( M M ) R + ( i i ) + R S δ N S N M S N µ, (3.3) δ, δ je zdánlivá deklinace jižní a severní hvzdy páru S N M M S, N stední hodnoty odetení okulárového mikrometru vyjádené v otokách mikrometru, ( is i N ) je zmna zenitové vzdálenosti dalekohledu pi pozorování prvé a druhé hvzdy páru, - (33) -

22 Geodetická astronomie a kosmická geodézie Modul 0 α dz R = oprava z refrakce pipadající na rozdíl zenitových ρ"cos z vzdáleností dz. Zorné pole dalekohledu je vtšinou opateno vedlejšími vlákny, takže se na hvzdu pi prchodu zorným polem pointuje nkolikrát. Do vztahu (3.3) dosazujeme prmrnou hodnotu tení mikrometru. Pointace mimo meridián se musí opravit o redukce, která tato mení pevádí do meridiánu. Ve vztahu (3.3) použijeme znaménka + v pípad, že tení na mikrometru vzrstá pi zvtšování zenitové vzdálenosti. Metoda se adí mezi pesné metody. Od roku 943 do roku 956 se metoda používala pi mení v základní síti. Zempisná šíka se urovala z 50ti až 60ti hvzdných pár. V roce 895 byla zvolena Mezinárodní konferencí pro mení Zem pro sledování kolísání zemského pólu. Metoda byla nepetržit používána až do roku 984, kdy byla nahrazena metodou kosmické geodézie (VLBI). Sestavení pozorovacího programu Hvzdy páru musí splovat následující podmínky : 0 ) zs z N pi emž z S, N 30. ) rozdíl zenitových vzdáleností mezi hvzdami páru musí být menší než rozsah okulárového mikrometru z S z N 0. 3) mení je teba vykonat v co nejkratší dob. asový rozdíl pozorování mezi obma kulminacemi je dán vztahem min min 4 < α N α S < 5. 4) < m < 6. V polních podmínkách se pro mení využívá Wild T4, DKM3 A, Zeiss Theo 00 nebo prchodní stroj. Na stálých stanicích se používal zenitteleskop doplnný Horrebowými libelami a okulárovým mikrometrem. V jedné observaní noci se zamovalo 0 až 0 hvzdných pár rozložených v celé observaní noci. Od r. 947 do 974 bylo zameno v eskoslovenské AGS 8 Laplaceových bod s prmrnou stedním kvadratickou chybou (33) -

23 Urení astronomických zempisných souadnic 3. Urení místního hvzdného asu K urování místního hvzdného asu se využívá známý vztah, který je spjat s rektascenzí nebeského tlesa s = α +t, (3.4) kde hodnota hodinového úhlu t se získá z nautického trojúhelníka za pedpokladu, že se urí as zámry v místním hvzdném ase. Pi zahájení astronomických prací vtšinou není známa hodnota astronomické délky. Známe pouze pibližný místní hvzdný as s. Astronomická délka se nahrazuje odsunutou geodetickou zempisnou délkou L z mapy. Pi mení asu je teba pro odstranní nepravidelnosti chronometru uvažovat korekci k a chod hodin ch (kap...). Mení se vtšinou vztahují ke stedu pozorovací ady s. Místní hvzdný as okamžiku pozorování (nezatížený nepravidelnostmi chronometru) se získá ze vztahu ch s i = s i + k + ( s i s ), (3.5) 4 kde k je korekce hodin urená pomocí asových signál platná pro sted pozorovací ady s. Korekce hodin u na místní hvzdný as se získá s využitím vztahu (3.4) s i = α i + ti = s i + u ui = αi + ti s i, (3.6) Hodnotu korekce u lze získat bu pibližnými nebo pesnými metodami. Mezi pesné metody se adí metoda urení místního hvzdného asu prchodem hvzd místním poledníkem, která využívá pro mení prchodní stroj a metoda Cingerova využívající pro urení místního hvzdného asu astronomický universální teodolit. 3.. Urení korekce hodin z mených zenitových vzdáleností Tato pibližná metoda vychází z kosinové vty v nautickém trojúhelníku. Hodnotu hodinového úhlu získáme z kde pravá zenitová vzdálenost cos z sinϕ sinδ cos t =, cosϕ cosδ (3.7) z = z + R. Sestavení pozorovacího programu Nejvhodnjší podmínky pro urení hodnoty hodinového úhlu se urí z totálního diferenciálu kosinové vty z nautického trojúhelníka. Hodinový úhel se nejpesnji získá z mení na dv hvzdy v rovin I. vertikálu symetricky pozorované vzhledem zenitu. I. ver. sin δ I. ver. tgδ I. ver. východní cos z =, cost =, s = α t hvzda. (3.9) sinϕ tgϕ západní - 3 (33) -

24 Geodetická astronomie a kosmická geodézie Modul 0 Pro metodu byl vyvinut tzv. prchodní stroj pasážník. V eskoslovenské AGS byla metoda používána do r. 956 jako metoda základní. Stední kvadratická chyba byla kolem 0.05 s. Na stálých stanicích se metoda využívala až do r.976. Pro prchod hvzdy místním poledníkem platí jednoduchá rovnice h 0 h s = α + h, kde 0 hodin platí pro prchod hvzdy v horní kulminaci a ± h platí pro prchod hvzdy v dolní kulminaci. V této rovnici je teba uvážit tzv. Mayerovu redukci na meridián, která zavádí opravy z vlivu pístrojových chyb (chyba ze sklonu, kolimaní chyba a chyba v azimutu což je chyba v nastavení pístroje do roviny místního poledníku) 3.. Cingerova metoda Metoda je nazvána podle pulkovského astronoma N. J. Cingera, který ji uveejnil v roce 884. Metoda nebyla pes své pednosti docenna hlavn proto, že bylo složité pipravit pozorovací program, ale i samotné zpracování bylo obtížnjší než u známých metod. První pracovní efemeridy sestavil D. K. Kulikov v padesátých letech v minulém století a to pedevším díky moderní výpoetní technice. Metoda vychází z kosinové vty platné v nautickém trojúhelníku cos z = sinϕ sinδ + cosϕ cosδ cost, (3.0) kde hodinový úhel t = s + u α, kde - s je údaj chronometru v místním hvzdném ase v okamžiku pozorování hvzdy, - u je korekce chronometru na místní hvzdný as a α je zdánlivá rektascenze použité hvzdy. Za pedpokladu, že použijeme pro urení korekce dvou hvzd, jejichž deklinace budou stejné δ W = δ E = δ dostaneme rovnici, která platí pro výpoet korekce hodin z prchodu hvzdy stejnou výškou, nebo t W = t E. Hodinový úhel východní hvzdy v tomto pípad vyjádíme symetricky vzhledem h t = 4 t = α s u k místnímu poledníku ( ) E E E E + Ze vztahu (3.) vypoítáme korekci hodin u = α ( + ) ( s + s ) α E W E W. (3.) Použijeme-li pro urení korekce dvou hvzd, jejichž deklinace se budou vzájemn nepatrn lišit, musí se rovnice (3.) rozšíit o korekci y která plyne z nerovnosti hodinových úhl t t. Tato korekce dosáhne malé hodnoty jestliže m m s W s E 5 až 7 hodnoty hodinových úhl a deklinací α E ( s E + u) = ( s W + u) α W. (3.) W E. Pi urování korekce y použijeme stední ( δ + δ ), t = ( t + t ) = ( α α s + s ) δ = W E E W E W E W (3.3) - 4 (33) -

25 Urení astronomických zempisných souadnic a jejich poloviní rozdíly δ = = u ( δ δ ), y = t = ( t t ) W ( α + α ) + ( s + s ), t = t + y, t = t y. W E E Pro pozorování dvou hvzd ve stejné výšce platí W = sinϕ sinδ E W sinϕ sinδ + cosϕ cosδ cost E W E W = E + cosϕ cosδ Dosadíme-li do (3.5) vztahy (3.4) dostaneme sinϕ sin = sinϕ sin Po jednoduché úprav dostaneme W E cost ( δ δ ) + cosϕ cos( δ δ ) cos( t y) = ( δ + δ ) + cosϕ cos( δ + δ ) cos( t + y) = W E. (3.4) (3.5). (3.6) sinδ sin δ cos y cost + cosδ cos δ sin y sin t = tgϕ sin δ cosδ. (3.7) Vydlíme-li vztah (3.7) výrazem cosδ cos δ sin t získáme tgδ tg δ tgϕ tg δ sin y + cos y =. tg t sin t (3.8) Ve vztahu (3.8) zavedeme pomocné úhly m a n Dostaneme tg m tgδ tg δ tgϕ tg δ =, sin n = cos m. tg t sin t (3.9) sin n sin y + cos y tg m = cos m sin ( y + m) = sin n y = n m. (3.30) Použijeme-li rovnici (3.30) ve vztahu (3.) dostaneme výraz pro urení korekce hodin na místní hvzdný as kde z u = ( α E + αw ) ( s E + s W ) + + ( n m) + a, 30cosϕ sin A 5 (3.3) z je zmna zenitové vzdálenosti v dob mezi zámrou na západní a východní hvzdu (mí se HT libelami) a je oprava z vlivu denní aberace svtla, a =0.0 s. cos z. Pozorovací program Pro výbr hvzd jsou stanoveny následující podmínky: ) Zenitová vzdálenost almukantaratu má ležet v rozsahu z 50 ) Pozorování se má realizovat do vzdálenosti ±0 0 až ±50 0 od roviny I.vertikálu (tehdy je zmna zenitové vzdálenosti extrémní) - 5 (33) -

26 Geodetická astronomie a kosmická geodézie Modul 0 3) Doba mezi prchody hvzd nemá pesáhnou 5 až 7 minut (deklinace hvzd se mohou lišit maximáln do 0 ). Tím se snižuje vliv zmn v astronomické refrakci i vliv chodu chronometru. Cingerova metoda nevyžaduje tení kruh. Hlavní mickou veliinou je as prchodu almukantaratem. Tento se uruje pomocí registraního mikrometru. Horrebow Talcottské libely urují diferenciální zmnu zenitové vzdálenosti almukantaratu, ke které dochází pi mení jednoho páru. Zajištní nemnné polohy almukantaratu v dob mení hvzd jednoho páru je zásadní pedpoklad. Metoda pi použití registraního mikrometru spluje podmínky pro body. a. ádu AGS. Od roku 960 byla používána jako základní metoda pro urování astronomické zempisné délky na Laplaceových nebo astronomických bodech ( bod) Urení astronomické zempisné délky Astronomická zempisná délka je konvenní veliina. Od r. 984 je astronomická zempisná délka na východ od základního poledníku kladná. Platí tedy vztah λ = s S (3.3) Místní hvzdný as jsme urili jako prmrnou hodnotu korekce hodin u vztaženou pomocí korekce k a chodu hodin ch do stedu pozorovací ady s (v ase UTC nebo UT). Tento místní hvzdný as je vztažen k okamžité poloze pólu. Pro tento okamžik lze vypoítat odpovídající as na základním poledníku S = S 0 + UT+ µ, který je vztažen ke stednímu pólu CIO. ( ) Hodnota konvenní zempisné délky (vztažená na stední pól CIO) bude λs = s + u + λp s k. (3.33) λ = u + λ k s P Korekce hodin na místní hvzdný as u je urena pro sted pozorovací ady a vztahuje se k okamžité poloze zemského pólu. Korekce k se vztahuje k pólu CIO. Proto je teba pro urení astronomické zempisné délky pevést korekci u na stední pól CIO. Korekce k je vztažena k pólu CIO. Protože je teba pro urení astronomické délky pevest korekci u také na pól CIO. asové radiové signály jsou vysílány ve svtovém koordinovaném ase UTC. Tento signál je zaznamenán na zapisovai (kup. chronografu) v ase T sig pracovních hodin. V tomto okamžiku bude as 3 = UTCsig + ti pro T sig (3.34) i= UTC kde korekce t = vzdálenost (vysíla - pijíma)/c (c je rychlost šíení radiových vln). Oprava t je oprava plynoucí ze zpoždní elektronických zaízení zúastnných na píjmu asového signálu. Tato oprava se získává elektronickou cestou pomocí ítae. Korekce t 3 je pípadná oprava z paralaxy per chronografu. - 6 (33) -

27 Urení astronomických zempisných souadnic S využitím korekcí DUT = UT-UTC pevedeme as UTC na polorovnomrný rotaní as UT. Kontrolní otázky 3 UT = UTCsig + ti + DUT (3.35) i= Objasnte princip urení astronomických zempisných souadnic. Objasnte podstatu urení astronomické zempisné délky. Jaký je princip Cingerovy metody? V em se liší metoda Sterneckova a Horrebow-Talcottova metoda? - 7 (33) -

28 Geodetická astronomie a kosmická geodézie Modul 0 4 Urení astronomického azimutu 4. Urování azimutu nižší pesností Rychlé vytyení poledníku, s pesností asi, je možné pomocí tabulek astronomických azimut Polárky. Jsou udávány každoron ve Hvzdáské roence (jejich argumenty jsou zempisná šíka ϕ a hodinový úhel H = t = s α [3]. V sovtské roence [8] (Tabulka 4.) je argumentem místní hvzdný as s a zempisná šíka ϕ. Tabulka 4.Výška a azimut Polárky Vhodný zpsob pro vytyení poledníku je sledování obrazu hvzdy jemnou vodorovnou ustanovkou v blízkosti horní kulminace hvzdy. V okamžiku, když místní hvzdný as s = α perušíme sledování hvzdy vodorovným vláknem. Zámrná rovina je ztotožnna s rovinou místního poledníku. Pro toto ešení lze využít i elongace hvzdy nebo metody korespondujících výšek. - 8 (33) -

29 Urení astronomického azimutu 4.. Urování azimutu cíle pomocí hodinového úhlu Obr.4. Princip urení azimutu pozemního cíle pomocí hodinového úhlu hvzdy A H. Azimut pozemního cíle se urí ze vztahu V našich podmínkách lze urit astronomický azimut pozemního smru pomocí hvzdy blízké pólu - Polárky (α UMi). V literatue se tento zpsob urení azimutu oznauje jako nepímá metoda. Princip metody je jednoduchý (Obr.4.). V okamžiku zacílení na vybranou hvzdu H se urí as zámry a souasn se zmí vodorovný úhel ω, který svírají vertikální roviny procházející místní tížnicí pozemním cílem a hvzdou. Vypoítá se azimutu A T = A H +ω. (4.) Azimut vertikální roviny v okamžiku pointace na hvzdu se urí ze zdánlivých rovníkových souadnic hvzdy, asu zámry a zempisných souadnic stanovišt. sint tga =. cosϕ tgδ sinϕ cost (4.) Na základ chybového rozboru víme, že pro urení azimutu jsou vhodné hvzdy pozorované v místním poledníku, v blízkosti pólu a ve velkých zenitových vzdálenostech. Tyto podmínky spluje v našich zempisných šíkách práv hvzda Polárka. 4.. Urení azimutu z mení na Polárku V severních zempisných šíkách do 60 0 je vhodné využít pro urování azimutu metody zamování na Polárku. Pro tuto metodu nemusíme pipravovat pozorovací program. Metodu lze využít i pi ásten zatažené obloze. Ped zahájením mení a po skonení uríme s pesností ± 0.5 s korekci chronometru (nejlépe pomocí permanentního signálu). Po centraci a pesné horizontaci teodolitu lze mení jedné skupiny uspoádat takto: I.poloha dalekohledu pozemní cíl, tení kruhu (libely II.poloha zámra na Polárku, údaj hodin, tení kruhu (libely) zámra na Polárku, údaj hodin, tení kruhu (libely) pozemní cíl, tení kruhu (libely) Azimut smru se získá jako prmrná hodnota z obou pozorovaných ad. Doporuuje se zamit azimut ve 4 až 6 skupinách. V pípad, že chceme zavádt opravu ze sklonu vodorovné toné osy je teba mit sklon pomocí sázecí libely (lze využít i alhidádovou libelu). - 9 (33) -

30 Geodetická astronomie a kosmická geodézie Modul Urení azimutu z hodinového úhlu Slunce Nejsou-li kladeny píliš vysoké nároky na pesnost, lze azimut pozemního smru urit z mení na Slunce. Pesnost je odvislá na urení pesnosti asu. Použitý teodolit musí mít hranoly pro strmé zámry doplnné slunením filtrem. Zdánlivé souadnice Slunce jsou tabelovány k tžišti Slunce. Potebujeme mit as prchodu stedu sluneního kotoue stedem nitkového kíže. Tento údaj se získá jako stední hodnota z okamžiku dotyku T a odtržení T levého a pravého sluneního okraje od svislého vlákna T = ½(T +T ). Azimut Slunce vypoítáme ze vztahu (4.), kam dosadíme za hodinový úhel t hodinový úhel pravého Slunce v míst pozorování. Tento získáme z pravého sluneního asu gr na základním poledníku T v = t gr v + h. Pravý slunení as na gr gr greenwichském poledníku vypoítáme pomocí rovnice asu E = Tv Tm, kde T gr m je as UT. Nesmí se opomenout, že efemerida Slunce je tabelována v ase TDT = UT + T a Pevod astronomického azimutu na smrník Za pedpokladu, že známe geodetické zempisné souadnice stanovišt a astronomickou zempisnou délku λ lze pevést astronomické azimuty na geodetické azimuty, popípad na smrníky Obr.4. Pevod astronomického azimutu na smrník Na (Obr.4.) je znázornn tento pevod graficky. Symbol A pedstavuje mený astronomický azimut vztažený k severní vtvi poledníku, A je Laplaceova rovnice, C meridiánová konvergence, δ je oprava z kivosti geodetické áry a σ je hledaný smrník. ( λ L) ϕ σ = A ± 80 + sin C + δ (4.3) - 30 (33) -

31 Urení astronomického azimutu Kontrolní otázky Popište zpsob orientace teodolit na stanovišti. Pevete astronomický azimut na smrník. Jakým zpsobem se zacílí na sted Slunce? Odvote vztah pro výpoet azimutu pomocí hodinového úhlu. Jak se urí hodinový úhel pi mení na hvzdy a na Slunce? - 3 (33) -

32

33 Závr 5 Závr 5. Shrnutí Ve druhém modulu Geodetické astronomie a kosmické geodézie jsme se vnovali problematice geodetické astronomie. Nejdíve jsme se seznámili s pístroji a pomckami a pehledn jsme se vnovali metodám pro urení astronomických zempisných souadnic a astronomických azimut 5.. Seznam použité literatury [] Fixel, J. Geodetická astronomie ást I, ást II, ást III. Vydavatelství Vojenská akademie A.Zápotockého Brno [] Kabelá. J., Kostelecký, J.: Geodetická astronomie 0 Vydavatelství VUT 998 [3] Lukeš, L: Základy geodetické astronomie. SNTL, 954. [4] Melicher, J., Fixel, J., Kabelá, J.: Geodetická astronómia a základy kozmickej geodézie. Bratislava, Alfa 993. [5] Melicher. J, Husár, L.: Geodetická astronómia II a kozmická geodézia Bratislava STU 999. [6] Pešek,I.: Definice asu v systému IAU 976. Referáty VÚGTK, Zdiby 989. [7] Píhoda, P. a kol.: Hvzdáská roenka 006, Hvzdárna a planetárium, Astronomický ústav AV R, Praha Seznam doplkové studijní literatury [8] Abalakin,V.K. a kol.:astronomieskij ježegodnik SSSR na 99 god, Leningrad, Nauka 987 [9] Mueller,I.,I.: Spehrical and Practikal Astronomy as Applied to Geodesy. New York, Frederick Ungar Publ.Co.969. [0] [] Pro seznam literatury je opt pichystán styl Literatura. [] Pro seznam literatury je opt pichystán styl Literatura (33) -