VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY. Statistika. Vzorce a tabulky
|
|
- Oldřich Bařtipán
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Statistia Vzorce a tabuly Martina Litschmannová 3. března 05 Oficiální vzorce a tabuly
2 KOMBINATORIKA Bez opaování Uspořádané výběry Variace bez opaování V(n, ) = Permutace bez opaování n! (n )! P(n) = V(n, n) = n! S opaováním Variace s opaováním V (n, ) = n Permutace s opaováním P (n, n,, n ) = n! n! n! n! Neuspořádané výběry Bez opaování Kombinace bez opaování C(n, ) = ( n ) = n! (n )!! S opaováním Kombinace s opaováním C n + (n + )! (n, ) = ( ) = (n )!! CHARAKTERISTIKY NÁHODNÉ VELIČINY Obecný moment r-tého řádu (značí se μ r nebo EX r pro r =,, ) pro disrétní NV: μ r = (i) x r i P(x i ) pro spojitou NV: μ r = x r f(x) dx (poud uvedená řada nebo integrál onvergují absolutně) Centrální moment r-tého řádu μ r (značíme μ r = E(X EX) r pro r =,, ) pro disrétní NV: μ r = (x i EX) r P(x i ) (i) pro spojitou NV: μ r = (x EX) r f(x) dx E(X) = μ = μ D(X) = σ = E(X E(X)) = E(X ) [E(X)] = σ
3 3 CHARAKTERISTIKY NÁHODNÉHO VEKTORU Sdružený obecný moment řádu (r + s) náhodného vetoru (X, Y) T je definován jao střední hodnota součinu r-té mocniny náhodné veličiny X a s-té mocniny náhodné veličiny Y. pro disrétní náhodný vetor: E(X r Y s ) = i j x r i y s j p(x i, y j ), i, j pro spojitý náhodný vetor: E(X r Y s ) = x r y s f(x, y)dxdy Sdružený centrální moment řádu (r + s) náhodného vetoru (X, Y) T je definován jao střední hodnota součinu odchyly r-té mocniny náhodné veličiny X od EX a odchyly s-té mocniny náhodné veličiny Y od EY. pro disrétní náhodný vetor: pro spojitý náhodný vetor: E((X EX) r (Y EY) s ) = (x i EX) r (y j EY) s i j p(x i, y j ), i, j E((X EX) r (Y EY) s ) = (X EX) r (Y EY) s f(x, y)dxdy cov(x, Y) = E((X EX) (Y EY)) = E(X Y) E(X) E(Y) cov(x,y), DX, DY 0, ρ(x, Y) = { DX DY 0 jina. 4 ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Název NV X Pravděpodobnostní funce E(X) D(X) Binomicá P(X = ) = ( n ) π ( π) n nπ nπ( π) Hypergeometricá P(X = ) = ( M M ) (N n ) ( N n ) Alternativní P(X = ) = π P(X = 0) = π π π( π) Geometricá P(X = n) = π( π) n π π π Negativně binomicá P(X = n) = ( n ) π ( π) n π ( π) π Poissonova P(X = ) = (λt) e λt λt λt!
4 5 ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY Hustota pravděpodobnosti, distribuční funce, Název rozdělení E(X) intenzita poruch Rovnoměrné na x (a; b) a + b f(x) = { (a;b) b a 0 x (a; b) Exponenciální t f ( t) e ; t 0; 0 -t F (t) - e ; t 0; 0 ( t ) onst.; t 0; 0 Erlangovo t t f ( t) e ; t 0! j t t F t e j0 j! ( t) ( )! j0 ( j)! t Weibullovo f(t) = βλ β t β e (λt)β, F(t) = e (λt)β, λ(t) = βλ β t β, t > 0; λ > 0; β > 0. Normované x normální ( x) e ; ( x t x) e dt j x D(X) a b 0 Normální f ( x) e x F( x) ; x e x t dt μ σ 3
5 6 POPISNÁ STATISTIKA Kvantitativní - Numericá proměnná Míry polohy Průměr xi i x! n Modus (střed shorthu) Kvantily (dolní vartil, medián, horní vartil, ) Míry variability Variační rozpětí xmax xmin Intervartilové rozpětí Výběrový rozptyl s = n i= (x i x ) n n IQR x 0 x Výběrová směrodatná odchyla s = s = (x i x ),75 0,5 n i= n Variační oeficient V x = s, popř. V x x = s 00 [%] x Míry šimosti a špičatosti Výběrová šimost a = Výběrová špičatost b = Identifiace odlehlých pozorování n (n )(n ) i=(x i x ) 3 s 3 n(n+) (x i x ) 4 (n )(n )(n 3) n i= s 4 3 (n ) Vnitřní hradby: dolní mez: h D = x 0,5,5IQR horní mez: h H = x 0,75 +,5IQR Z souřadnice z sóre i = x i x s Mediánová souřadnice x 0,5 sóre i = x i x 0,5,483MAD (n )(n 3) 7 PŘEHLED NEJPOUŽÍVANĚJŠÍCH VÝBĚR. CHARAKTERISTIK A JEJICH ROZDĚLENÍ Mějme náhodný výběr X z normálního rozdělení, tj. X = (X,, X n ), i =,, n: X i N(μ, σ ). Výběrová charateristia Rozdělení pravděpodobnosti Poznáma X μ σ n N(0,) viz CLV X μ n t n viz vlastnosti Studentova rozdělení S S (n ) χ σ n viz vlastnosti χ - rozdělení 4
6 Mějme dostatečně velý náhodný výběr X, tj. Výběrová charateristia p π n > 9 p( p). Rozdělení pravděpodobnosti Poznáma π( π) n N(0,) viz vlastnosti relativní četnosti Mějme dva nezávislé výběry z normálního rozdělení. i =,,, n, de n je rozsah prvního výběru: X i N(μ ; σ ), j =,,, n, de n je rozsah prvního výběru: X j N(μ ; σ ). Výběrová charateristia (X X ) (μ μ ) Rozdělení pravděpodobnosti Poznáma σ + σ N(0,) viz CLV n n (X X ) (μ μ ) S (n ) + S (n ) n n (n + n ) n + n t n +n viz vlastnosti Studentova rozdělení Předpolad: σ = σ (X X ) (μ μ ) S + S n S σ S σ n t ν ν ( S + S ) n = n ( S ) n n + + (S ) n F n,n n + viz vlastnosti Studentova rozdělení Předpolad: σ σ viz vlastnosti Fisherova Snedecorova rozdělení Mějme dostatečně velé náhodné výběry X a X, tj. (n > Výběrová charateristia (p p ) (π π ) 9 p ( p ) ) (n > 9 p ( p ) ). Rozdělení pravděpodobnosti Poznáma π ( π ) n + π ( π ) n N(0,) viz CLV 5
7 8 INTERVALY SPOLEHLIVOSTI Odhadovaný parametr Předpolady Meze oboustranného intervalového odhadu Dolní mez levostranného intervalového odhadu Horní mez pravostranného intervalového odhadu T D T H T D T H Míra polohy μ normalita, známe σ normalita, neznáme σ x σ n z α x s n t α x + σ n z α x + s n t α x σ n z α x s n t α x σ n z α x + s n t α Míry variability σ normalita (n )s χ α σ normalita (n )s χ α (n )s χα (n )s χα (n )s χ α (n )s (n )s χ α χ α (n )s χ α Relativní četnost π n > 30, n N < 0,05, n > 9 p( p) p z α p( p) n p+z α p( p) n p z α p( p) n p+z α p( p) n Doporučení pro rozsah výběru Odhad rozsahu výběru potřebného pro nalezení intervalového odhadu se spolehlivostí α a maximální přípustnou chybou max Odhadovaný populační parametr Střední hodnota μ (známe σ) Střední hodnota μ (neznáme σ) Relativní četnost π Požadovaný rozsah výběru n ( σ z α max ) Poznáma n ( s s je výběrová směrodatná odchyla předvýběru t α ) max n (z α ) n (z α ) p ( p ) max 4 max p je výběrová relativní četnost předvýběru nemáme-li dispozici předvýběr (předběžný odhad relativní četnosti), zísáme nejpřísnější odhad rozsahu výběru, dosadíme-li za p hodnotu 0,5. 6
8 Intervalové odhady rozdílu, resp. poměru parametrů normálního rozdělení Odhadovaný vztah mezi parametry Předpolady Oboustranný intervalový odhad Poznáma normalita obou populací, známe σ, σ (x x ) z α σ + σ ; n n (x x ) + z α σ + σ n n μ μ normalita obou populací, neznáme σ, σ, σ = σ (x x ) t α (x x ) + t α (n )s +(n )s n +n (n )s +(n )s n +n + ; n n + n n t p je 00p% vantil Studentova rozdělení s n + n stupni volnosti normalita obou populací, neznáme σ, σ, + s ; n n s (x x ) t α (x x ) + t α s + s n n t p je 00p% vantil Studentova rozdělení s ( S n +S n ) ( S n ) n+ +(S n ) n+ σ σ stupni volnosti σ σ σ σ normalita obou populací normalita obou populací s f α s ; s fα s f α s s ; s fα s fp označují 00p% vantily Fisher- Snedecorova rozdělení s n stupni volnosti pro čitatele a n stupni volnosti pro jmenovatele. π π i {,}: n i > 30, n i N i < 0,05, n i > 9 p i ( p i ) (p p ) z α p( p) ( + ) ; n n p = x +x (p p ) + z α p( p) ( + n +n ) n n 7
9 9 TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Jednovýběrové parametricé testy Název testu Test o rozptylu Jednovýběrový z test Jednovýběrový t test Testovaný parametr rozptyl σ (směrodatná odchyla σ) střední hodnota μ Předpolady testu normalita populace, neznámé μ normalita populace, známé σ normalita populace, neznámé σ Testová statistia T(X) S (n ) χ σ Nulové rozdělení n X μ σ n N(0; ) X μ n S t n Poznáma Při čistém testu významnosti nelze použít oboustrannou alternativu. Jednovýběrové neparametricé testy Název testu Test o parametru π alternativního rozdělení Kvantilový test Jednovýběrový Wilcoxonův test Testovaný parametr Pravděpodobnost π 00p% vantil x p medián x 0,5 Předpolady testu n > 9 p( p) n > 30 Testová statistia T(X) p π Nulové rozdělení π( π) n N(0; ) Y, de Y modeluje počet pozorování v náhodném výběru, terá jsou menší než x p0. min(s + ; S ), de S + = R i + Y i 0, S = R i + Y i <0 S + E(S + ) D(S + ), de E(S + ) = 4 n(n + ), D(S+ ) = 4 n(n + )(n + ) Bi(n; p) Kriticé hodnoty jsou tabelovány (Tab. T6) N(0; ) Poznáma V případě, že testujeme medián, tzn. pro p = 0,5, používáme pro tento test speciální označení - mediánový test. Je-li pozorovaná hodnota testové statistiy menší nebo rovna riticé hodnotě, zamítáme H0. 8
10 Dvouvýběrové parametricé testy pro nezávislé výběry Název testu test o shodě rozptylů dvouvýběrový z test Testované parametry rozptyly σ, σ (sm. odch. σ, σ ) Předpolady testu nezávislé výběry, normalita populací, neznámé μ, μ nezávislé výběry, normalita populací, známé σ, σ Testová statistia T(X, Y) Nulové rozdělení Poznáma S X σ X S Y σ Y (X Y ) (μ X μ Y ) F n,n σ X + σ N(0; ) Y n n Při čistém testu významnosti nelze použít oboustran. alternativu. dvouvýběrový t test střední hodnoty μ, μ nezávislé výběry, normalita populací, neznámé σ, σ, σ = σ (X Y ) (μ X μ Y ) (n )s X + (n )s Y + n + n n n t n +n Aspinové Welchův test nezávislé výběry, normalita populací, neznámé σ, σ, σ σ (X X ) (μ μ ) S + S n n t ν de, ν = ( S + S ) n n n (S ) + n n (S ) n Dvouvýběrové neparametricé testy pro nezávislé výběry Název testu Mannův- Whitneyův test test homogenity dvou binomicých rozdělení Testovaný parametr mediány x 0,5, y 0,5 pravděpodobnosti π, π Předpolady testu nezávislé výběry ze spojitých rozdělení se stejným rozptylem a tvarem. n > n > 9 p ( p ), 9 p ( p ) de Testová statistia min(u, U ), U = n n + n (n +) T, U = n n + n (n +) T (p p ) (π π ) Nulové rozdělení Kriticé hodnoty rozdělení jsou uvedeny v tabulce p ( p ) n + p ( p ) n N(0; ) Poznáma Označení výběrů se volí ta, aby platilo n n. Je-li pozorovaná hodnota testové statistiy menší nebo rovna riticé hodnotě, zamítáme H0. 9
11 Přehled vybraných vícevýběrových testů parametricých hypotéz Název testu Bartlettův test Leveneův test Hartleyův test Cochranův test Testy o shodě rozptylů Předpolady testu nezávislost a normalita výběrů nezávislost výběrů nezávislost výběrů, vyváženost třídění nezávislost výběrů, vyváženost třídění Název testu Analýza rozptylu (ANOVA) Testy o shodě úrovně Předpolady testu Metoda vícenásobného porovnávání nezávislost, normalita Fisherovo LSD a homosedasticita Bonferroniho metoda výběrů Schéffeho metoda (Pozor na odlehlá Tueyho metoda pozorování!) Tuey HSD nezávislost výběrů Dunnové metoda Neméneiova metoda Krusalův-Wallisův test Friedmanův test závislost výběrů Friedmanova metoda Předpolady pro použití metody vícenásobného porovnávání vyváženost třídění vyváženost třídění Tabula ANOVA Zdroj variability Součet čtverců Model SS B = n i (X i X ) i= Reziduální SS e = (n i )s i i= n i Celový SS T = (X ij X ) i= j= Počet stupňů volnosti df B = df e = n Rozptyl (prům. součet čtverců) MS B = SS B df B F poměr p hodnota MS B MS e F 0 (x OBS ) MS e = SS e df e df T = n Testy dobré shody Název testu Předpolady testu Testová statistia Nulové rozdělení χ test dobré shody Očeávané četnosti >5 G = (O i E i ) i= E i χ ( r), r počet odhadovaných parametrů 0
12 0 ANALÝZA ZÁVISLOSTI Analýza závislosti v ontingenční tabulce Název testu Předpolady testu Testová statistia Analýza závislosti v ontingenční Očeávané četnosti, alespoň 80% r s K = tabulce očeávaných četností >5 i= j= (O ij E ij ) E ij oeficient ontingence CC = K K+n (pro čtvercové ontingenční tabuly), origovaný oeficient ontingence CC cor = CC CC max, de CC max = min(r;s) min(r;s), Cramerův oeficient V = K. n(min(r;s) ) (pro obdélníové ontingenční tabuly) Tyto oeficienty se mohou vysytovat v intervalu (0; ). Čím jsou blíže, tím je závislost mezi X a Y těsnější. Analýza závislosti v asociační tabulce Odhad poměru šancí: OR = ad. bc Intervalový odhad OR: OR e a + b + c + d z α ; OR e a + b + c + d z α Odhad relativního rizia: RR = a(c+d) c(a+b) Intervalový odhad RR: RR e b a(a+b) + d c(c+d) z α ; RR e b a(a+b) + d c(c+d) z α Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) orelační oeficient: r = s XY s X s Y, de s XY = n (x n i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná odchyla proměnné X (Y). Název testu Test nulovosti orelačního oeficientu Testované Předpolady Testová statistia parametry testu T(X, Y) ρ normalita T = r n r Nulové rozdělení t n Analýza závislosti ordinálních veličin Spearmanův orelační oeficient: r S = 6 n (R n(n ) X R Y ) i= Název testu Test nulovosti orelačního oeficientu Testované parametry Předpolady testu Testová statistia T(X, Y) Kriticý obor ρ --- T = r S W = {T: T r S (α)} (T5)
13 Distribuční funce normovaného normálního rozdělení Φ(x) pro x > 0 Φ( x) = Φ(x) x ,0 0,500 0,504 0,508 0,5 0,56 0,50 0,54 0,58 0,53 0,536 0, 0,540 0,544 0,548 0,55 0,556 0,560 0,564 0,567 0,57 0,575 0, 0,579 0,583 0,587 0,59 0,595 0,599 0,603 0,606 0,60 0,64 0,3 0,68 0,6 0,66 0,69 0,633 0,637 0,64 0,644 0,648 0,65 0,4 0,655 0,659 0,663 0,666 0,670 0,674 0,677 0,68 0,684 0,688 0,5 0,69 0,695 0,698 0,70 0,705 0,709 0,7 0,76 0,79 0,7 0,6 0,76 0,79 0,73 0,736 0,739 0,74 0,745 0,749 0,75 0,755 0,7 0,758 0,76 0,764 0,767 0,770 0,773 0,776 0,779 0,78 0,785 0,8 0,788 0,79 0,794 0,797 0,800 0,80 0,805 0,808 0,8 0,83 0,9 0,86 0,89 0,8 0,84 0,86 0,89 0,83 0,834 0,836 0,839,0 0,84 0,844 0,846 0,848 0,85 0,853 0,855 0,858 0,860 0,86, 0,864 0,867 0,869 0,87 0,873 0,875 0,877 0,879 0,88 0,883, 0,885 0,887 0,889 0,89 0,893 0,894 0,896 0,898 0,900 0,90,3 0,903 0,905 0,907 0,908 0,90 0,9 0,93 0,95 0,96 0,98,4 0,99 0,9 0,9 0,94 0,95 0,96 0,98 0,99 0,93 0,93,5 0,933 0,934 0,936 0,937 0,938 0,939 0,94 0,94 0,943 0,944,6 0,945 0,946 0,947 0,948 0,949 0,95 0,95 0,953 0,954 0,954,7 0,955 0,956 0,957 0,958 0,959 0,960 0,96 0,96 0,96 0,963,8 0,964 0,965 0,966 0,966 0,967 0,968 0,969 0,969 0,970 0,97,9 0,97 0,97 0,973 0,973 0,974 0,974 0,975 0,976 0,976 0,977,0 0,977 0,978 0,978 0,979 0,979 0,980 0,980 0,98 0,98 0,98, 0,98 0,983 0,983 0,983 0,984 0,984 0,985 0,985 0,985 0,986, 0,986 0,986 0,987 0,987 0,987 0,988 0,988 0,988 0,989 0,989,3 0,989 0,990 0,990 0,990 0,990 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99,4 0,99 0,99 0,99 0,99 0,993 0,993 0,993 0,993 0,993 0,994,5 0,994 0,994 0,994 0,994 0,994 0,995 0,995 0,995 0,995 0,995,6 0,995 0,995 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996,7 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997,8 0,997 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998,9 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 3,0 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 3, 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 3, 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 3,3,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 T. Vybrané vantily normovaného normálního rozdělení z α = z α α 0,9000 0,9500 0,9750 0,9900 0,9950 0,9990 0,9995 0,9999 z α,86,6449,9600,363,5758 3,090 3,905 3,790
14 stupně volnosti ν T3. Vybrané vantily χ rozdělení s ν stupni volnosti α 0,000 0,0005 0,0 0,05 0,05 0, 0,5 0,5 0,000 0,000 0,000 0,00 0,004 0,06 0,0 0,455 0,000 0,00 0,00 0,05 0,03 0, 0,575, ,005 0,05 0,5 0,6 0,35 0,584,3, ,08 0,064 0,97 0,484 0,7,064,93 3, ,08 0,58 0,554 0,83,45,60,675 4,35 6 0,7 0,99 0,87,37,635,04 3,455 5, ,300 0,485,39,690,67,833 4,55 6, ,464 0,70,646,80,733 3,490 5,07 7, ,66 0,97,088,700 3,35 4,68 5,899 8, ,889,65,558 3,47 3,940 4,865 6,737 9,34,45,587 3,053 3,86 4,575 5,578 7,584 0,34,47,934 3,57 4,404 5,6 6,304 8,438,340 3,733,305 4,07 5,009 5,89 7,04 9,99,340 4,06,697 4,660 5,69 6,57 7,790 0,65 3,339 5,408 3,08 5,9 6,6 7,6 8,547,037 4,339 6,774 3,536 5,8 6,908 7,96 9,3,9 5, ,57 3,980 6,408 7,564 8,67 0,085,79 6, ,555 4,439 7,05 8,3 9,390 0,865 3,675 7, ,968 4,9 7,633 8,907 0,7,65 4,56 8, ,395 5,398 8,60 9,59 0,85,443 5,45 9,337 4,835 5,896 8,897 0,83,59 3,40 6,344 0,337 5,86 6,404 9,54 0,98,338 4,04 7,40, ,749 6,94 0,96,689 3,09 4,848 8,37, ,3 7,453 0,856,40 3,848 5,659 9,037 3, ,707 7,99,54 3,0 4,6 6,473 9,939 4, ,00 8,538,98 3,844 5,379 7,9 0,843 5, ,70 9,093,879 4,573 6,5 8,4,749 6, ,3 9,656 3,565 5,308 6,98 8,939,657 7, ,73 0,7 4,56 6,047 7,708 9,768 3,567 8, ,58 0,804 4,953 6,79 8,493 0,599 4,478 9, ,883 6,906,64 4,433 6,509 9,05 33,660 39,335 50,009 3,46 9,707 3,357 34,764 37,689 4,94 49, ,497 30,340 37,485 40,48 43,88 46,459 5,94 59, ,6 37,467 45,44 48,758 5,739 55,39 6,698 69, ,44 44,79 53,540 57,53 60,39 64,78 7,45 79, ,75 59,896 70,065 74, 77,99 8,358 90,33 99, ,78 75,467 86,93 9,573 95,705 00,64 09,0 9,334 3
15 T3. Vybrané vantily χ rozdělení s ν stupni volnosti (poračování) stupně volnosti ν α 0,75 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999,33,706 3,84 5,04 6,635 7,879 0,88,773 4,605 5,99 7,378 9,0 0,597 3,86 3 4,08 6,5 7,85 9,348,345,838 6,66 4 5,385 7,779 9,488,43 3,77 4,860 8, ,66 9,36,070,833 5,086 6,750 0,55 6 7,84 0,645,59 4,449 6,8 8,548, ,037,07 4,067 6,03 8,475 0,78 4,3 8 0,9 3,36 5,507 7,535 0,090,955 6,4 9,389 4,684 6,99 9,03,666 3,589 7,877 0,549 5,987 8,307 0,483 3,09 5,88 9,588 3,70 7,75 9,675,90 4,75 6,757 3,64 4,845 8,549,06 3,337 6,7 8,300 3, ,984 9,8,36 4,736 7,688 9,89 34,58 4 7,7,064 3,685 6,9 9,4 3,39 36,3 5 8,45,307 4,996 7,488 30,578 3,80 37, ,369 3,54 6,96 8,845 3,000 34,67 39,5 7 0,489 4,769 7,587 30,9 33,409 35,78 40,790 8,605 5,989 8,869 3,56 34,805 37,56 4,3 9,78 7,04 30,44 3,85 36,9 38,58 43,80 0 3,88 8,4 3,40 34,70 37,566 39,997 45,35 4,935 9,65 3,67 35,479 38,93 4,40 46,797 6,039 30,83 33,94 36,78 40,89 4,796 48,68 3 7,4 3,007 35,7 38,076 4,638 44,8 49,78 4 8,4 33,96 36,45 39,364 4,980 45,559 5,79 5 9,339 34,38 37,65 40,646 44,34 46,98 5, ,435 35,563 38,885 4,93 45,64 48,90 54,05 7 3,58 36,74 40,3 43,95 46,963 49,645 55, ,60 37,96 4,337 44,46 48,78 50,993 56, ,7 39,087 4,557 45,7 49,588 5,336 58, ,800 40,56 43,773 46,979 50,89 53,67 59, ,66 5,805 55,758 59,34 63,69 66,766 73, ,334 63,67 67,505 7,40 76,54 79,490 86, ,98 74,397 79,08 83,98 88,379 9,95 99, ,577 85,57 90,53 95,03 00,45 04,5, ,30 96,578 0,879 06,69,39 6,3 4, ,4 8,498 4,34 9,56 35,807 40,69 49, ,055 40,33 46,567 5, 58,950 63,648 73,67 4
16 T4. Vybrané vantily Studentova rozdělení s ν stupni volnosti t α = t α stupně volnosti ν α 0,75 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,9975 0,999 0,9995,000 3,078 6,34,706 3,8 63,657 7,3 38, ,69 0,86,886,90 4,303 6,965 9,95 4,089,37 3, ,765,638,353 3,8 4,54 5,84 7,453 0,5,94 4 0,74,533,3,776 3,747 4,604 5,598 7,73 8,60 5 0,77,476,05,57 3,365 4,03 4,773 5,893 6, ,78,440,943,447 3,43 3,707 4,37 5,08 5, ,7,45,895,365,998 3,499 4,09 4,785 5, ,706,397,860,306,896 3,355 3,833 4,50 5,04 9 0,703,383,833,6,8 3,50 3,690 4,97 4,78 0 0,700,37,8,8,764 3,69 3,58 4,44 4,587 0,697,363,796,0,78 3,06 3,497 4,05 4,437 0,695,356,78,79,68 3,055 3,48 3,930 4,38 3 0,694,350,77,60,650 3,0 3,37 3,85 4, 4 0,69,345,76,45,64,977 3,36 3,787 4,40 5 0,69,34,753,3,60,947 3,86 3,733 4, ,690,337,746,0,583,9 3,5 3,686 4,05 7 0,689,333,740,0,567,898 3, 3,646 3, ,688,330,734,0,55,878 3,97 3,60 3,9 9 0,688,38,79,093,539,86 3,74 3,579 3, ,687,35,75,086,58,845 3,53 3,55 3,850 0,686,33,7,080,58,83 3,35 3,57 3,89 0,686,3,77,074,508,89 3,9 3,505 3,79 3 0,685,39,74,069,500,807 3,04 3,485 3, ,685,38,7,064,49,797 3,09 3,467 3, ,684,36,708,060,485,787 3,078 3,450 3,75 6 0,684,35,706,056,479,779 3,067 3,435 3, ,684,34,703,05,473,77 3,057 3,4 3, ,683,33,70,048,467,763 3,047 3,408 3, ,683,3,699,045,46,756 3,038 3,396 3, ,683,30,697,04,457,750 3,030 3,385 3, ,68,303,684,0,43,704,97 3,307 3, ,679,99,676,009,403,678,937 3,6 3, ,679,96,67,000,390,660,95 3,3 3, ,678,94,667,994,38,648,899 3, 3, ,678,9,664,990,374,639,887 3,95 3, ,677,90,660,984,364,66,87 3,74 3, ,677,89,658,980,358,67,860 3,60 3,373 0,674,8,645,960,36,576,807 3,090 3,9 5
17 T5. Vybrané vantily Fisherova-Snedecorova rozdělení s m stupni volnosti v čitateli a n stupni volnosti ve jmenovateli f α (m; n) = f α (n; m) n m α ,95 6,45 99,50 5,7 4,58 30,6 33,99 36,77 38,88 40,54 0, ,79 799,50 864,6 899,58 9,85 937, 948, 956,66 963,8 0,99 405,8 4999, ,35 564, , ,99 598,36 598,07 60,47 0,95 8,5 9,00 9,6 9,5 9,30 9,33 9,35 9,37 9,38 0,975 38,5 39,00 39,7 39,5 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 0,99 98,50 99,00 99,7 99,5 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 0,95 0,3 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,8 0,975 7,44 6,04 5,44 5,0 4,88 4,73 4,6 4,54 4,47 0,99 34, 30,8 9,46 8,7 8,4 7,9 7,67 7,49 7,35 0,95 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 6,00 0,975, 0,65 9,98 9,60 9,36 9,0 9,07 8,98 8,90 0,99,0 8,00 6,69 5,98 5,5 5, 4,98 4,80 4,66 0,95 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,77 0,975 0,0 8,43 7,76 7,39 7,5 6,98 6,85 6,76 6,68 0,99 6,6 3,7,06,39 0,97 0,67 0,46 0,9 0,6 0,95 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,0 0,975 8,8 7,6 6,60 6,3 5,99 5,8 5,70 5,60 5,5 0,99 3,75 0,9 9,78 9,5 8,75 8,47 8,6 8,0 7,98 0,95 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 0,975 8,07 6,54 5,89 5,5 5,9 5, 4,99 4,90 4,8 0,99,5 9,55 8,45 7,85 7,46 7,9 6,99 6,84 6,7 0,95 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 0,975 7,57 6,06 5,4 5,05 4,8 4,65 4,53 4,43 4,36 0,99,6 8,65 7,59 7,0 6,63 6,37 6,8 6,03 5,9 0,95 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 0,975 7, 5,7 5,08 4,7 4,48 4,3 4,0 4,0 4,03 0,99 0,56 8,0 6,99 6,4 6,06 5,80 5,6 5,47 5,35 0,95 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07 3,0 0,975 6,94 5,46 4,83 4,47 4,4 4,07 3,95 3,85 3,78 0,99 0,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,0 5,06 4,94 0,95 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,90 0,975 6,7 5,6 4,63 4,8 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59 0,99 9,65 7, 6, 5,67 5,3 5,07 4,89 4,74 4,63 6
18 T5. Vybrané vantily Fisherova-Snedecorova rozdělení s m stupni volnosti v čitateli a n stupni volnosti ve jmenovateli f α (m; n) = (poračování) f α (n; m) n m α ,95 4,88 43,9 45,95 48,0 49,05 50,0 5,4 5,0 53,5 54,3 0, ,63 976,7 984,87 993,0 997,5 00,4 005,60 009,80 04,0 08,5 0, ,85 606,3 657,8 608,73 634,63 660,65 686,78 633, , ,83 0,95 9,40 9,4 9,43 9,45 9,45 9,46 9,47 9,48 9,49 9,50 0,975 39,40 39,4 39,43 39,45 39,46 39,46 39,47 39,48 39,49 39,50 0,99 99,40 99,4 99,43 99,45 99,46 99,47 99,47 99,48 99,49 99,50 0,95 8,79 8,74 8,70 8,66 8,64 8,6 8,59 8,57 8,55 8,53 0,975 4,4 4,34 4,5 4,7 4, 4,08 4,04 3,99 3,95 3,90 0,99 7,3 7,05 6,87 6,69 6,60 6,50 6,4 6,3 6, 6,3 0,95 5,96 5,9 5,86 5,80 5,77 5,75 5,7 5,69 5,66 5,63 0,975 8,84 8,75 8,66 8,56 8,5 8,46 8,4 8,36 8,3 8,6 0,99 4,55 4,37 4,0 4,0 3,93 3,84 3,75 3,65 3,56 3,46 0,95 4,74 4,68 4,6 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 4,37 0,975 6,6 6,5 6,43 6,33 6,8 6,3 6,8 6, 6,07 6,0 0,99 0,05 9,89 9,7 9,55 9,47 9,38 9,9 9,0 9, 9,0 0,95 4,06 4,00 3,94 3,87 3,84 3,8 3,77 3,74 3,70 3,67 0,975 5,46 5,37 5,7 5,7 5, 5,07 5,0 4,96 4,90 4,85 0,99 7,87 7,7 7,56 7,40 7,3 7,3 7,4 7,06 6,97 6,88 0,95 3,64 3,57 3,5 3,44 3,4 3,38 3,34 3,30 3,7 3,3 0,975 4,76 4,67 4,57 4,47 4,4 4,36 4,3 4,5 4,0 4,4 0,99 6,6 6,47 6,3 6,6 6,07 5,99 5,9 5,8 5,74 5,65 0,95 3,35 3,8 3, 3,5 3, 3,08 3,04 3,0,97,93 0,975 4,30 4,0 4,0 4,00 3,95 3,89 3,84 3,78 3,73 3,67 0,99 5,8 5,67 5,5 5,36 5,8 5,0 5, 5,03 4,95 4,86 0,95 3,4 3,07 3,0,94,90,86,83,79,75,7 0,975 3,96 3,87 3,77 3,67 3,6 3,56 3,5 3,45 3,39 3,33 0,99 5,6 5, 4,96 4,8 4,73 4,65 4,57 4,48 4,40 4,3 0,95,98,9,85,77,74,70,66,6,58,54 0,975 3,7 3,6 3,5 3,4 3,37 3,3 3,6 3,0 3,4 3,08 0,99 4,85 4,7 4,56 4,4 4,33 4,5 4,7 4,08 4,00 3,9 0,95,85,79,7,65,6,57,53,49,45,40 0,975 3,53 3,43 3,33 3,3 3,7 3, 3,06 3,00,94,88 0,99 4,54 4,40 4,5 4,0 4,0 3,94 3,86 3,78 3,69 3,60 7
19 T5. Vybrané vantily Fisherova-Snedecorova rozdělení s m stupni volnosti v čitateli a n stupni volnosti ve jmenovateli f α (m; n) = (poračování) f α (n; m) n m α ,95 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,80 0,975 6,55 5,0 4,47 4, 3,89 3,73 3,6 3,5 3,44 0,99 9,33 6,93 5,95 5,4 5,06 4,8 4,64 4,50 4,39 0,95 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,65 0,975 6,30 4,86 4,4 3,89 3,66 3,50 3,38 3,9 3, 0,99 8,86 6,5 5,56 5,04 4,69 4,46 4,8 4,4 4,03 0,95 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,54 0,975 6, 4,69 4,08 3,73 3,50 3,34 3, 3, 3,05 0,99 8,53 6,3 5,9 4,77 4,44 4,0 4,03 3,89 3,78 0,95 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,46 0,975 5,98 4,56 3,95 3,6 3,38 3, 3,0 3,0,93 0,99 8,9 6,0 5,09 4,58 4,5 4,0 3,84 3,7 3,60 0,95 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,39 0,975 5,87 4,46 3,86 3,5 3,9 3,3 3,0,9,84 0,99 8,0 5,85 4,94 4,43 4,0 3,87 3,70 3,56 3,46 0,95 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,30 0,975 5,7 4,3 3,7 3,38 3,5,99,87,78,70 0,99 7,8 5,6 4,7 4, 3,90 3,67 3,50 3,36 3,6 0,95 4,7 3,3,9,69,53,4,33,7, 0,975 5,57 4,8 3,59 3,5 3,03,87,75,65,57 0,99 7,56 5,39 4,5 4,0 3,70 3,47 3,30 3,7 3,07 0,95 4,08 3,3,84,6,45,34,5,8, 0,975 5,4 4,05 3,46 3,3,90,74,6,53,45 0,99 7,3 5,8 4,3 3,83 3,5 3,9 3,,99,89 0,95 4,00 3,5,76,53,37,5,7,0,04 0,975 5,9 3,93 3,34 3,0,79,63,5,4,33 0,99 7,08 4,98 4,3 3,65 3,34 3,,95,8,7 0,95 3,9 3,07,68,45,9,8,09,0,96 0,975 5,5 3,80 3,3,89,67,5,39,30, 0,99 6,85 4,79 3,95 3,48 3,7,96,79,66,56 0,95 3,84 3,00,60,37,,0,0,94,88 0,975 5,0 3,69 3,,79,57,4,9,9, 0,99 6,64 4,6 3,78 3,3 3,0,80,64,5,4 8
20 T5. Vybrané vantily Fisherova-Snedecorova rozdělení s m stupni volnosti v čitateli a n stupni volnosti ve jmenovateli f α (m; n) = (poračování) f α (n; m) n m α ,95,75,69,6,54,5,47,43,38,34,30 0,975 3,37 3,8 3,8 3,07 3,0,96,9,85,79,73 0,99 4,30 4,6 4,0 3,86 3,78 3,70 3,6 3,54 3,45 3,36 0,95,60,53,46,39,35,3,7,,8,3 0,975 3,5 3,05,95,84,79,73,67,6,55,49 0,99 3,94 3,80 3,66 3,5 3,43 3,35 3,7 3,8 3,09 3,00 0,95,49,4,35,8,4,9,5,,06,0 0,975,99,89,79,68,63,57,5,45,38,3 0,99 3,69 3,55 3,4 3,6 3,8 3,0 3,0,93,84,75 0,95,4,34,7,9,5,,06,0,97,9 0,975,87,77,67,56,50,44,38,3,6,9 0,99 3,5 3,37 3,3 3,08 3,00,9,84,75,66,57 0,95,35,8,0,,08,04,99,95,90,84 0,975,77,68,57,46,4,35,9,,6,09 0,99 3,37 3,3 3,09,94,86,78,69,6,5,4 0,95,5,8,,03,98,94,89,84,79,73 0,975,64,54,44,33,7,,5,08,0,94 0,99 3,7 3,03,89,74,66,58,49,40,3, 0,95,6,09,0,93,89,84,79,74,68,6 0,975,5,4,3,0,4,07,0,94,87,79 0,99,98,84,70,55,47,39,30,,,0 0,95,08,00,9,84,79,74,69,64,58,5 0,975,39,9,8,07,0,94,88,80,7,64 0,99,80,66,5,37,9,0,,0,9,80 0,95,99,9,84,75,70,65,59,53,47,39 0,975,7,7,06,94,88,8,74,67,58,48 0,99,63,50,35,0,,03,94,84,73,60 0,95,9,83,75,66,6,55,50,43,35,5 0,975,6,05,94,8,76,69,6,53,43,3 0,99,47,34,9,03,95,86,76,66,53,38 0,95,83,75,67,57,5,46,39,3,,0 0,975,05,94,83,7,64,57,48,39,7,0 0,99,3,8,04,88,79,70,59,47,3,0 9
21 T6. Kriticé hodnoty jednovýběrového Wilcoxonova testu n α = 0,05 α = 0,0 n α = 0,05 α = 0, Zdroj: [], tabula T4 0
22 T7. Kriticé hodnoty Mannova-Whitneyova testu α = 0,05 n m Zdroj: [], tabula T8
23 T8. Kriticé hodnoty h α (, ν) Hartleyova testu α = 0,05 stupně volnosti ν , ,4 7,8 39, 50,7 6 7,9 83,5 93, ,6 5,5 0,6 5, 9,5 33,6 37,5 4, 44,6 48 5,4 5 7,5 0,8 3,7 6,3 8,7 0,8,9 4,7 6,5 8, 9,9 6 5,8 8,38 0,4, 3,7 5 6,3 7,5 8,6 9,7 0,7 7 4,99 6,94 8,44 9,7 0,8,8,7 3,5 4,3 5, 5,8 8 4,43 6,00 7,8 8, 9,03 9,78 0,5,,7,,7 9 4,03 5,34 6,3 7, 7,8 8,4 8,95 9,45 9,9 0,3 0,7 0 3,7 4,85 5,67 6,34 6,9 7,4 7,87 8,8 8,66 9,0 9,34 3,8 4,6 4,79 5,3 5,7 6,09 6,4 6,7 7,00 7,5 7,48 5,86 3,54 4,0 4,37 4,68 4,95 5,9 5,4 5,59 5,77 5,93 0,46,95 3,9 3,54 3,76 3,94 4, 4,4 4,37 4,49 4,59 30,07,4,6,78,9 3,0 3, 3, 3,9 3,36 3,39 60,67,85,96,04,,7,,6,3,33,36,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 α = 0,0 I stupně volnosti ν , , , , 5,5 9, ,89, 4,5 6,5 8, ,5 9,9,7 3, 4,5 5,8 6,9 7,9 8,9 9,8 9 6,54 8,5 9,9,, 3, 3,9 4,7 5,3 6 6,6 0 5,85 7,4 8,6 9,6 0,4,,8,4,9 3,4 3,9 4,9 6, 6,9 7,6 8, 8,7 9, 9,5 9,9 0, 0,6 5 4,07 4,9 5,5 6 6,4 6,7 7, 7,3 7,5 7, ,3 3,8 4,3 4,6 4,9 5, 5,3 5,5 5,6 5,8 5,9 30,63 3 3,3 3,4 3,6 3,7 3,8 3,9 4 4, 4, 60,96,,3,4,4.5,5,6,6,7,7,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 Zdroj: [], tabula T3
24 T9. Kriticé hodnoty c α (, ν) Cochranova testu α = 0,05 stupně volnosti ν ,00 0,97 0,9 0,84 0,78 0,73 0,68 0,64 0,60 0,57 0,54 0,98 0,87 0,77 0,68 0,6 0,56 0,5 0,48 0,44 0,4 0,39 3 0,94 0,80 0,68 0,60 0,53 0,48 0,44 0,40 0,37 0,35 0,33 4 0,9 0,75 0,63 0,54 0,48 0,43 0,39 0,36 0,33 0,3 0,9 5 0,88 0,7 0,59 0,5 0,44 0,40 0,36 0,33 0,30 0,8 0,6 6 0,85 0,68 0,56 0,48 0,4 0,37 0,34 0,3 0,8 0,6 0,4 7 0,83 0,65 0,54 0,46 0,40 0,35 0,3 0,9 0,7 0,5 0,3 8 0,8 0,63 0,5 0,44 0,38 0,34 0,30 0,8 0,5 0,4 0, 9 0,80 0,6 0,50 0,4 0,37 0,33 0,9 0,7 0,4 0,3 0, 0 0,79 0,60 0,49 0,4 0,36 0,3 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,77 0,58 0,47 0,39 0,34 0,30 0,7 0,4 0, 0,0 0,9 5 0,74 0,55 0,44 0,37 0,3 0,8 0,5 0,3 0, 0,9 0,8 0 0,7 0,5 0,4 0,35 0,30 0,6 0,3 0, 0,9 0,8 0,6 30 0,67 0,49 0,38 0,3 0,7 0,4 0, 0,9 0,7 0,6 0,5 60 0,6 0,44 0,34 0,8 0,4 0, 0,8 0,6 0,5 0,4 0,3 0 0,59 0,4 0,3 0,6 0, 0,9 0,7 0,5 0,3 0, 0, α = 0,0 stupně volnosti ν ,00 0,99 0,97 0,93 0,88 0,84 0,79 0,75 0,7 0,68 0,65,00 0,94 0,86 0,79 0,7 0,66 0,6 0,57 0,54 0,50 0,48 3 0,98 0,88 0,78 0,70 0,63 0,57 0,5 0,48 0,45 0,4 0,39 4 0,96 0,83 0,7 0,63 0,56 0,5 0,46 0,43 0,39 0,37 0,34 5 0,94 0,79 0,68 0,59 0,5 0,47 0,4 0,39 0,36 0,33 0,3 6 0,9 0,76 0,64 0,55 0,49 0,43 0,39 0,36 0,33 0,3 0,9 7 0,90 0,73 0,6 0,53 0,46 0,4 0,37 0,34 0,3 0,9 0,7 8 0,88 0,7 0,59 0,50 0,44 0,39 0,35 0,3 0,9 0,7 0,5 9 0,87 0,69 0,57 0,49 0,4 0,38 0,34 0,3 0,8 0,6 0,4 0 0,85 0,67 0,55 0,47 0,4 0,36 0,3 0,30 0,7 0,5 0,3 0,83 0,65 0,53 0,44 0,39 0,34 0,30 0,8 0,5 0,3 0, 5 0,80 0,6 0,50 0,4 0,36 0,3 0,8 0,6 0,3 0, 0,0 0 0,77 0,58 0,46 0,39 0,33 0,9 0,6 0,3 0, 0,0 0,8 30 0,7 0,53 0,4 0,35 0,30 0,6 0,3 0, 0,9 0,7 0,6 60 0,66 0,47 0,37 0,30 0,6 0, 0,0 0,8 0,6 0,5 0,4 0 0,6 0,43 0,33 0,7 0,3 0,0 0,7 0,6 0,4 0,3 0, Zdroj: [], tabula T4 3
25 T0. Kriticé hodnoty q α (, ν) studentizovaného rozpětí α = 0,05 ν ,8 37, 40,4 43, 45,4 47,4 49, 50,6 5 53, 54,3 55,4 6,08 8,33 9,8 0,9,7,4 3 3,5 4 4,4 4,7 5, 5,4 5,7 3 4,5 5,9 6,8 7,5 8,04 8,48 8,85 9,8 9,46 9,7 9,95 0, 0,3 0,5 4 3,93 5,04 5,76 6,9 6,7 7,05 7,35 7,6 7,83 8,03 8, 8,37 8,5 8,66 5 3,64 4,6 5, 5,67 6,03 6,33 6,58 6,8 6,99 7,7 7,3 7,47 7,6 7,7 6 3,46 4,34 4,9 5,3 5,63 5,9 6, 6,3 6,49 6,65 6,79 6,9 7,03 7,4 7 3,34 4,6 4,68 5,06 5,36 5,6 5,8 6,00 6,6 6,3 6,43 6,55 6,66 6,76 8 3,6 4,04 4,53 4,89 5,7 5,4 5,6 5,77 5,9 6,05 6,8 6,9 6,39 6,48 9 3, 3,95 4,4 4,76 5,0 5,4 5,43 5,59 5,74 5,87 5,98 6,09 6,9 6,8 0 3,5 3,88 4,33 4,65 4,9 5, 5,3 5,46 5,6 5,7 5,83 5,93 6,03 6, 3, 3,8 4,6 4,57 4,8 5,03 5, 5,35 5,49 5,6 5,7 5,8 5,9 5,98 3,08 3,77 4, 4,5 4,75 4,95 5, 5,7 5,39 5,5 5,6 5,7 5,8 5,88 3 3,06 3,73 4,5 4,45 4,69 4,88 5,05 5,9 5,3 5,43 5,53 5,63 5,7 5,79 4 3,03 3,7 4, 4,4 4,64 4,83 4,99 5,3 5,5 5,36 5,46 5,55 5,64 5,7 5 3,0 3,67 4,08 4,37 4,59 4,78 4,94 5,08 5, 5,3 5,4 5,49 5,57 5, ,65 4,05 4,33 4,56 4,74 4,9 5,03 5,5 5,6 5,35 5,44 5,5 5,59 7,98 3,63 4,0 4,3 4,5 4,7 4,86 4,99 5, 5, 5,3 5,39 5,47 5,54 8,97 3,6 4,00 4,8 4,49 4,67 4,8 4,96 5,07 5,7 5,7 5,35 5,43 5,5 9,96 3,59 3,98 4,5 4,47 4,65 4,79 4,9 5,04 5,4 5,3 5,3 5,39 5,46 0,95 3,58 3,96 4,3 4,45 4,6 4,77 4,9 5,0 5, 5, 5,8 5,36 5,43 4,9 3,53 3,9 4,7 4,37 4,54 4,68 4,8 4,9 5,0 5, 5,8 5,5 5,3 30,89 3,49 3,85 4, 4,3 4,46 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,08 5,5 5, 40,86 3,44 3,79 4,04 4,3 4,39 4,5 4,63 4,73 4,8 4,9 4,98 5,04 5, 60,83 3,4 3,74 3,98 4,6 4,3 4,44 4,55 4,65 4,73 4,8 4,88 4,94 5,0 0,8 3,36 3,68 3,9 4, 4,4 4,36 4,47 4,56 4,64 4,7 4,78 4,84 4,9,77 3,3 3,63 3,86 4,03 4,7 4,9 4,39 4,47 4,55 4,6 4,68 4,74 4,8 Zdroj: [], tabula T 4
26 T0. Kriticé hodnoty q α (, ν) studentizovaného rozpětí (poračování) α = 0,0 ν ,3 4,7 6,6 8, 9,5 30,7 3,7 3,6 33,4 34, 34,8 35,4 3 8,6 0,6, 3,3 4, 5 5,6 6, 6,7 7, 7,5 7,9 8, 8,5 4 6,5 8, 9,7 9,96 0,6,,5,9,3,6,8 3, 3,3 3,5 5 5,7 6,97 7,8 8,4 8,9 9,3 9,67 9,97 0, 0,5 0,7 0,9,, 6 5,4 6,33 7,03 7,56 7,97 8,3 8,6 8,87 9, 9,3 9,49 9,65 9,8 9,95 7 4,95 5,9 6,54 7,0 7,37 7,68 7,94 8,7 8,37 8,55 8,7 8,86 9 9, 8 4,74 5,63 6, 6,63 6,96 7,4 7,47 7,68 7,87 8,03 8,8 8,3 8,44 8,55 9 4,6 5,43 5,96 6,35 6,66 6,9 7,3 7,3 7,49 7,65 7,78 7,9 8,03 8,3 0 4,48 5,7 5,77 6,4 6,43 6,67 6,87 7,05 7, 7,36 7,48 7,6 7,7 7,8 4,39 5,4 5,6 5,97 6,5 6,48 6,67 6,84 6,99 7,3 7,5 7,36 7,46 7,56 4,3 5,04 5,5 5,84 6, 6,3 6,5 6,67 6,8 6,94 7,06 7,7 7,6 7,36 3 4,6 4,96 5,4 5,73 5,98 6,9 6,37 6,53 6,67 6,79 6,9 7,0 7, 7,9 4 4, 4,89 5,3 5,63 5,88 6,08 6,6 6,4 6,54 6,66 6,77 6,87 6,96 7,05 5 4,7 4,83 5,5 5,56 5,8 5,99 6,6 6,3 6,44 6,55 6,66 6,76 6,84 6,93 6 4,3 4,78 5,9 5,49 5,7 5,9 6,08 6, 6,35 6,46 6,56 6,66 6,74 6,8 7 4, 4,74 5,4 5,43 5,66 5,85 6,0 6,5 6,7 6,38 6,48 6,57 6,66 6,73 8 4,07 4,7 5,09 5,38 5,6 5,79 5,94 6,08 6, 6,3 6,4 6,5 6,58 6,65 9 4,05 4,67 5,05 5,33 5,55 5,73 5,89 6,0 6,4 6,5 6,34 6,43 6,5 6,58 0 4,0 4,64 5,0 5,9 5,5 5,69 5,84 5,97 6,09 6,9 6,9 6,37 6,45 6,5 4 3,96 4,54 4,9 5,7 5,37 5,54 5,69 5,8 5,9 6,0 6, 6,9 6,6 6, ,89 4,45 4,8 5,05 5,4 5,4 5,54 5,65 5,76 5,85 5,93 6,0 6,08 6,4 40 3,8 4,37 4,7 4,93 5, 5,7 5,39 5,5 5,6 5,69 5,77 5,84 5,9 5, ,76 4,8 4,6 4,8 4,99 5,3 5,5 5,36 5,45 5,53 5,6 5,67 5,73 5,79 0 3,7 4, 4,5 4,7 4,87 5,0 5, 5, 5,3 5,38 5,44 5,5 5,56 5,6 3,64 4, 4,4 4,6 4,76 4,88 4,99 5,08 5,6 5,3 5,9 5,35 5,4 5,45 Zdroj: [], tabula T 5
27 T. Kriticé hodnoty vícenásobného porovnávaní pomocí pořadí α = 0,05 m ,3 4,7 6, 7,5 9 0,5 3,5 8,8,6 6,5 0,5 4,7 8,9 33, 37,4 3 5,7,7 9,9 37,3 44,8 5,5 60,3 68, 4 3,9 34,6 45, ,6 80,4 9,4 04,6 5 33, 48, 63,5 79,3 95,5 8,8 45,8 6 43,3 6,9 83, 04 5, , 9,4 7 54,4 79, 04,6 30,8 57,6 84,9,8 40,9 8 66,3 96,4 7,6 59,6 9,4 5,7 59,7 94, 9 78,9 4,8 5 90, 9,3 69, 309,6 350,6 0 9,3 34,3 77,8,6 68, ,4 40,5 06,3 54, ,6 309,4 363, 47,9 473,3 0,9 76, 33,4 9, 35,4 43, , 3 36, 98, ,3 397, 466, 536,5 607,7 4 5,,7 93,8 367,8 443,6 50,8 599, ,6 45,7 35,7 407,8 49,9 577,4 664,6 75,8 6 85,6 70,6 358,6 449, 54,7 635,9 73,0 89, α = 0,0 m , 5,7 7,3 8,9 0,5, 3,9 5,6 0,9 5,3 9,7 4,3 8,9 33,6 38,3 43, 3 9,5 7,5 35,7 44 5,5 6, 69,8 78,6 4 9,7 4,9 54,5 67,3 80,3 93,6 07 0,6 5 4, 58, 75,8 93,6,9 30,4 49, 68, 6 53,9 76,3 99,3,8 46,7 7 95,7 0,6 7 67,6 95,8 4,8 54,4 84,6 5, 46,3 77,7 8 8,4 6,8 5, 88,4 5, 6,6 300, , 39, 8,4 4,5 68,5 33, 358,4 404, 0 4,7 6,8, 6,7 34, 366,5 49,5 473, 3, 87,6 44,6 30,9 36, 4,6 483,7 545,6 50,4 3,5 78,5 344,9 4,5 48, 55 6,4 3 69,4 40,6 33,8 388,7 464,9 54, ,5 4 89, 68,7 350,5 434, 59, ,8 78,6 5 09,6 97,8 388,5 48,3 575,8 67,9 769,3 867,7 6 30,7 37,9 47,9 530, 634, 740,0 847,3 955,7 Zdroj: [], tabula T5 6
28 T. Kriticé hodnoty Friedmanova testu α = 0,05 m ,4 8,53 9,86,4,57 3,88 5,9 6,48 7,76 4 6,5 7,8 8,8 0,4,63,99 4,34 5,67 6,98 8,3 5 6,4 7,8 8,99 0,43,84 3,3 4,59 5,93 7,7 8, ,6 9,08 0,54,97 3,38 4,76 6, 7,4 8,8 7 7,43 7,8 9, 0,6,07 3,48 4,87 6,3 7,6 8,9 8 6,5 7,65 9,9 0,68,4 3,56 4,95 6,3 7, , 7,66 9, 0,73,9 3,6 5,0 6,4 7,7 9, 0 6, 7,67 9,5 0,76,3 3,66 5,07 6,44 7,8 9, 6,545 7,68 9,7 0,79,7 3,7 5, 6,48 7,9 9, 6,67 7,7 9,9 0,8,9 3,73 5,5 6,53 7,9 9, ,7 9,3 0,83,3 3,76 5,7 6,56 7,9 9,3 4 6,43 7,7 9,3 0,85,34 3,78 5,9 6,58 7,9 9,3 5 6,4 7,7 9,33 0,87,35 3,8 5, 6,6 8 9,3 6 5,99 7,73 9,34 0,88,37 3,8 5,3 6,6 8 9,3 0 5,99 7,74 9,37 0,9,4 3,8 5,3 6,7 8 9,4 5,99 7,8 9,49,07,59 4,07 5,5 6,9 8,3 9,68 α = 0,0 m ,3,76 3,6 4,78 6,8 7,74 9,9 0, ,6,,59 4,9 5,75 7,8 8,77 0,4,7 5 8,4 9,96,43 3, 4,74 6,3 7,86 9,37 0,86, ,,75 3,45 5, 6,69 8,5 9,77,3,7 7 8,857 0,37,97 3,69 5,35 6,95 8,5 0,04, ,35,4 3,87 5,53 7,5 8,7 0,4,8 3, 9 8,667 0,44,7 4,0 5,68 7,9 8,87 0,4,9 3,4 0 9,6 0,53,38 4, 5,79 7,4 9 0,53 3,5 9,455 0,6,46 4, 5,89 7,5 9, 0,64, 3,6 9,5 0,68,53 4,8 5,96 7,59 9,9 0,73, 3,7 3 9,385 0,7,58 4,34 6,03 7,67 9,5 0,8,3 3, ,76,64 4,4 6,09 7,7 9,3 0,86,4 3,9 5 8,933 0,8,68 4,44 6,4 7,78 9,35 0,9,4 3,9 6 8,79 0,84,7 4,48 6,8 7,8 9,4 0,9, ,87 0,94,83 4,6 6,3 8,0 9,5,,6 4, 9,,45 3,8 5,09 6,8 8,48 0,09,67 3, 4,73 Zdroj: [], tabula T6 7
29 T3. Kriticé hodnoty vícenásobného porovnávání u Friedmanova testu α = 0,05 m ,3 4,7 6, 7,5 9 0,5 3,5 4,7 6,6 8,6 0,7,7 4,8 7 9, 3 5,7 8, 0,6 3, 5,6 8, 0,8 3,5 4 6,6 9,4, 5, 8 4 7, 5 7,4 0,5 3,6 6,9 0, 3,5 6,9 30,3 6 8,,5 4,9 8,5, 5,7 9,4 33, 7 8,8,4 6, 9,9 3,9 7,8 3,8 35,8 8 9,4 3,3 7,3,3 5,5 9, ,3 9 9,9 4, 8,3,6 7 3, ,6 0 0,5 4,8 9,3 3,8 8,5 33, 38 4,8 5,6 0, 5 9,9 34,8 39,8 44,9,5 6,, 6, 3, 36,4 4,6 46,9 3,9 6,9 7, 3,5 37,9 43,3 48,8 4,4 7,5,8 8, 33,7 39, ,7 5,8 8, 3,6 9, 34,9 40,7 46,5 5,5 6 3,3 8,8 4,4 30, , 54, α = 0,0 m , 5,7 7,3 8,9 0,5, 3,9 5,6 5,8 8 0,3,6 4,9 7,3 9,7, 3 7, 9,8,6 5,4 8,3, 4, 7 4 8,,4 4,6 7,8, 4,4 7,8 3, 5 9,,7 6,3 9,9 3,6 7,3 3, 34,9 6 0, 3,9 7,8,8 5,8 9,9 34, 38, 7 0,9 5 9,3 3,5 7,9 3,3 36,8 4,3 8,7 6, 0,6 5, 9,8 34,6 39,3 44, 9,4 7,,8 6,7 3,6 36,6 4,7 46, , 33,4 38, ,4 3,7 8,9 4, 9, ,5 46, 5,8 4,3 9,7 5, 30,8 36,5 4,3 48, 54, 3 4,9 0,5 6, 3, , 56,3 4 5,4,3 7, 33,3 39,5 45,7 5 58, , 34,5 40,8 47,3 53,9 60,5 6 6,5,7 9, 35,6 4, 48,9 55,6 6,5 Zdroj: [], tabula T7 8
30 T4. Kriticé hodnoty jednovýběrového Kolmogorova-Smirnovova testu n α = 0,05 α = 0,0 n α = 0,05 α = 0,0 n α = 0,05 α = 0,0 0,975 0, ,3788 0, ,709 0,0506 0,8489 0, ,344 0, ,6956 0, ,7076 0, ,3076 0, ,683 0, ,6394 0, ,743 0, ,6693 0, ,5638 0, ,45 0, ,6567 0, ,596 0, ,9 0, ,6443 0, ,4834 0, ,86 0, ,63 0, ,4547 0, ,544 0, ,604 0, ,4300 0, ,73 0, ,6088 0, ,4095 0, ,0 0, ,5975 0,967 0,39 0, ,076 0, ,5864 0,9034 0, , ,057 0, ,5755 0, ,3643 0, ,083 0, ,5649 0, ,3489 0, ,0056 0, ,5544 0, ,3376 0, ,9837 0, ,544 0, ,3733 0, ,965 0, ,534 0, ,3796 0, ,94 0, ,544 0,89 8 0, , ,9 0, ,547 0, ,3043 0, ,908 0, ,505 0, ,9408 0, ,884 0, ,496 0,7949 0,874 0, ,8659 0, ,4868 0,784 0,8087 0, ,848 0,74 8 0,4779 0, ,749 0, ,83 0, ,469 0, ,693 0, ,844 0, ,4605 0, ,6404 0, ,798 0, ,45 0,74 6 0,5907 0, , ,4437 0,73 7 0,5438 0, ,7669 0, ,4355 0,73 8 0,4993 0, ,759 0, ,477 0, ,457 0, ,7373 0, ,3746 0, ,47 0, ,73 0, ,3403 0,608 Zdroj: [], tabula T8 9
31 T5. Kriticé hodnoty Spearmanova orelačního oeficientu Je-li rozsah výběru n > 30, pa r S (α; n) = z α n, de z α je ( α ) vantil normovaného normálního rozdělení. n α = 0,05 α = 0,0 n α = 0,05 α = 0,0 n α = 0,05 α = 0,0 0,609 0,7545 0,435 0,5545 0,5804 0,773 0,44 0, ,5549 0, ,45 0, ,534 0, ,406 0,5 5 0,9-5 0,579 0, ,3977 0,5 6 0,886 0, ,5 0, ,3894 0, ,745 0, ,4853 0,65 7 0,38 0, ,6905 0, ,476 0, ,3749 0, ,6833 0, ,4579 0, ,3685 0, ,6364 0, ,445 0, ,36 0,4665 Zdroj: [], tabula T Literatura [] Anděl, J.: Zálady matematicé statistiy, MatFyzPress, Praha 007, ISBN:
Statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2014/2015 Tutoriál č. 6: ANOVA Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Testování hypotéz opakování ANOVA Testování hypotéz (opakování) Testování
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VícePracovní adresář. Nápověda. Instalování a načtení nového balíčku. Importování datového souboru. Práce s datovým souborem
Pracovní adresář getwd() # výpis pracovního adresáře setwd("c:/moje/pracovni") # nastavení pracovního adresáře setwd("c:\\moje\\pracovni") # nastavení pracovního adresáře Nápověda?funkce # nápověda pro
VíceÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová
ÚVOD DO TEORIE ODHADU Martina Litschmannová Obsah lekce Výběrové charakteristiky parametry populace vs. výběrové charakteristiky limitní věty další rozdělení pravděpodobnosti (Chí-kvadrát (Pearsonovo),
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Číselné charateristiy náhodných proměnných Charateristiy náhodných proměnných dělíme nejčastěji na charateristiy polohy a variability. Mezi charateristiy polohy se nejčastěji
VícePříklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka
Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů Na analýzu rozptylu lze pohlížet v podstatě
VíceVYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY. Martina Litschmannová
VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY Martina Litschmannová Obsah přednášky Vybrané dvouvýběrové testy par. hypotéz test o shodě rozptylů (F-test), testy o shodě středních hodnot (t-test, Aspinové-Welchův test),
VíceCharakteristika datového souboru
Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceZápočtová práce STATISTIKA I
Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru
VíceLIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení
LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
Více15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VíceStatgraphics v. 5.0 STATISTICKÁ INDUKCE PRO JEDNOROZMĚRNÁ DATA. Martina Litschmannová 1. Typ proměnné. Požadovaný typ analýzy
Dichotomická proměnná (0-1) Spojitá proměnná STATISTICKÁ INDUKCE PRO JEDNOROZMĚRNÁ DATA Typ proměnné Požadovaný typ analýzy Ověření variability Předpoklady Testy, resp. intervalové odhad Test o rozptylu
Více5. T e s t o v á n í h y p o t é z
5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
VíceANALÝZA DAT V R 7. KONTINGENČNÍ TABULKA. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK.
ANALÝZA DAT V R 7. KONTINGENČNÍ TABULKA Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK www.biostatisticka.cz PŘEHLED TESTŮ rozdělení normální spojité alternativní / diskrétní
Víceχ 2 testy. Test nekorelovanosti.
χ 2 testy. Test neorelovanosti. Petr Poší Části doumentu jsou převzaty (i doslovně) z Miro Navara: Pravděpodobnost a matematicá statistia, https://cw.fel.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_print.pdf
VícePřednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení
VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat
VíceBakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013
Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko
Vícez Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceNormální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
VíceAlternativní rozdělení. Alternativní rozdělení. Binomické rozdělení. Binomické rozdělení
Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Náhodná veličina X má alternativní rozdělení s parametrem p, jestliže nabývá hodnot 0 a 1 s pravděpodobnostmi
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáša 04 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Záon velých čísel Lemma Nechť náhodná veličina nabývá pouze nezáporných
VícePříklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení
Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost
VíceTestování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
Více7. Analýza rozptylu.
7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
Více12. cvičení z PST. 20. prosince 2017
1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceKatedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci
Zpracování dat v edukačních vědách - Testování hypotéz Kamila Fačevicová Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Obsah seminářů 5.11. Úvod do matematické
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
VíceANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha
ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl
VíceNázev testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení. ( ) (p počet odhadovaných parametrů)
VYBRANÉ TESTY NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ TESTY DOBRÉ SHODY Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení test dobré shody Očekávané četnosti, alespoň 80% očekávaných četností >5 ( ) (p
Vícepravděpodobnosti, popisné statistiky
8. Modelová rozdělení pravděpodobnosti, popisné statistiky Rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení jako statistický model Přehled a aplikace modelových rozdělení Popisné statistiky Anotace Klasickým
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VícePřednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných
Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Testování hypotéz o podílech Kontingenční tabulka, čtyřpolní tabulka Testy nezávislosti, Fisherůvexaktní test, McNemarůvtest Testy dobré shody
VíceJednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)
Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze
VíceJednofaktorová analýza rozptylu
Jednofaktorová analýza rozptylu David Hampel Ústav statistiky a operačního výzkumu, Mendelova univerzita v Brně Kurz pokročilých statistických metod Global Change Research Centre AS CR, 5 7 8 2015 Tato
VíceIntervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
VíceProblematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VíceTestování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VíceIntervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VíceRNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 3 Jak a kdy použít parametrické a
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VíceGrafický a číselný popis rozložení dat 3.1 Způsoby zobrazení dat Metody zobrazení kvalitativních a ordinálních dat Metody zobrazení kvan
1 Úvod 1.1 Empirický výzkum a jeho etapy 1.2 Význam teorie pro výzkum 1.2.1 Konstrukty a jejich operacionalizace 1.2.2 Role teorie ve výzkumu 1.2.3 Proces ověření hypotéz a teorií 1.3 Etika vědecké práce
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceMendelova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta. Výpočet charakteristik ze tříděných údajů Statistika I. protokol č.
Mendelova zemědělsá a lesnicá univerzita Provozně eonomicá faulta Výpočet charateristi ze tříděných údajů Statistia I. protool č. 2 Jan Grmela, 2. roční, Eonomicá informatia Zadání 130810, supina Středa
VíceMann-Whitney U-test. Znaménkový test. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek
10. Neparametrické y Mann-Whitney U- Wilcoxonův Znaménkový Shrnutí statistických ů Typ srovnání Nulová hypotéza Parametrický Neparametrický 1 skupina dat vs. etalon Střední hodnota je rovna hodnotě etalonu.
VíceStatistika. Testování hypotéz - statistická indukce Parametrické testy. Roman Biskup
Statistika Testování hypotéz - statistická indukce Parametrické testy Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 1. února 01 Statistika by Birom
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáša 02 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Náhodné veličiny Záladní definice Nechť je dán pravděpodobnostní prostor
VíceAnalýza rozptylu. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Analýza rozptylu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO Brno) Analýza rozptylu 1 / 30 Analýza
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 7. Testování statistických hypotéz Mgr. David Fiedor 30. března 2015 Osnova 1 2 3 Dělení testů parametrické - o parametrech rozdělení základního souboru (průměr, rozptyl,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 1
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrické testy hypotéz čast 1 Neparametrické testy hypotéz - úvod Neparametrické testy statistických hypotéz se používají v případech, kdy neznáme rozdělení pozorované
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Vícemarek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68
Statistika B (151-0303) Marek Pomp ZS 2014 marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Cvičení: Pavlína Kuráňová & Marek Pomp Podmínky pro úspěšné ukončení zápočet 45 bodů, min. 23 bodů, dvě zápočtové
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická
VíceNávod na vypracování semestrálního projektu
Návod na vypracování semestrálního projektu Následující dokument má charakter doporučení. Není závazný, je pouze návodem pro studenty, kteří si nejsou jisti výběrem dat, volbou metod a formou zpracování
VíceUNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.
UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace
VíceStatistika. Testování hypotéz statistická indukce Neparametrické testy. Roman Biskup
Statistika Testování hypotéz statistická indukce Neparametrické testy Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika by
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceStatistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .
Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
VícePřednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení
Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;
Víceletní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 Opakování t- vs. neparametrické Wilcoxonův jednovýběrový test Opakování
VíceSPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení
SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční
VíceZákladní statistické metody v rizikovém inženýrství
Základní statistické metody v rizikovém inženýrství Petr Misák Ústav stavebního zkušebnictví Fakulta stavební, VUT v Brně misak.p@fce.vutbr.cz Základní pojmy Jev souhrn skutečností zobrazujících ucelenou
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné
VíceZáklady biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II
Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceCvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 8 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Centrální limitní věta Laplaceho věta (+ korekce na spojitost) Konfidenční intervaly
VíceTesty. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013
Testy Pavel Provinský 19. listopadu 2013 Test a intervalový odhad Testy a intervalové odhady - jsou vlastně to samé. Jiný je jen úhel pohledu. Lze přecházet od jednoho k druhému. Například: Při odvozování
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO
VíceKontingenční tabulky, korelační koeficienty
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Budeme předpokládat, že X a Y jsou kvalitativní náhodné veličiny, obor hodnot X obsahuje r hodnot (kategorií,
VíceDeskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability
Deskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha Náhodný výběr všechny prvky výběru {x i }, i = 1, 2,, n, se chápou jako náhodné veličiny, které
VíceMgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.
Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman
Vícepravděpodobnosti, popisné statistiky
6. Modelová rozdělení pravděpodobnosti, popisné statistiky Rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení jako statistický model Přehled a aplikace modelových rozdělení Popisné statistiky Anotace Klasickým
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VícePravděpodobnost a matematická statistika
Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n
Více