VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY. Statistika. Vzorce a tabulky

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY. Statistika. Vzorce a tabulky"

Transkript

1 VŠB-TU OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Statistia Vzorce a tabuly Martina Litschmannová 3. března 05 Oficiální vzorce a tabuly

2 KOMBINATORIKA Bez opaování Uspořádané výběry Variace bez opaování V(n, ) = Permutace bez opaování n! (n )! P(n) = V(n, n) = n! S opaováním Variace s opaováním V (n, ) = n Permutace s opaováním P (n, n,, n ) = n! n! n! n! Neuspořádané výběry Bez opaování Kombinace bez opaování C(n, ) = ( n ) = n! (n )!! S opaováním Kombinace s opaováním C n + (n + )! (n, ) = ( ) = (n )!! CHARAKTERISTIKY NÁHODNÉ VELIČINY Obecný moment r-tého řádu (značí se μ r nebo EX r pro r =,, ) pro disrétní NV: μ r = (i) x r i P(x i ) pro spojitou NV: μ r = x r f(x) dx (poud uvedená řada nebo integrál onvergují absolutně) Centrální moment r-tého řádu μ r (značíme μ r = E(X EX) r pro r =,, ) pro disrétní NV: μ r = (x i EX) r P(x i ) (i) pro spojitou NV: μ r = (x EX) r f(x) dx E(X) = μ = μ D(X) = σ = E(X E(X)) = E(X ) [E(X)] = σ

3 3 CHARAKTERISTIKY NÁHODNÉHO VEKTORU Sdružený obecný moment řádu (r + s) náhodného vetoru (X, Y) T je definován jao střední hodnota součinu r-té mocniny náhodné veličiny X a s-té mocniny náhodné veličiny Y. pro disrétní náhodný vetor: E(X r Y s ) = i j x r i y s j p(x i, y j ), i, j pro spojitý náhodný vetor: E(X r Y s ) = x r y s f(x, y)dxdy Sdružený centrální moment řádu (r + s) náhodného vetoru (X, Y) T je definován jao střední hodnota součinu odchyly r-té mocniny náhodné veličiny X od EX a odchyly s-té mocniny náhodné veličiny Y od EY. pro disrétní náhodný vetor: pro spojitý náhodný vetor: E((X EX) r (Y EY) s ) = (x i EX) r (y j EY) s i j p(x i, y j ), i, j E((X EX) r (Y EY) s ) = (X EX) r (Y EY) s f(x, y)dxdy cov(x, Y) = E((X EX) (Y EY)) = E(X Y) E(X) E(Y) cov(x,y), DX, DY 0, ρ(x, Y) = { DX DY 0 jina. 4 ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Název NV X Pravděpodobnostní funce E(X) D(X) Binomicá P(X = ) = ( n ) π ( π) n nπ nπ( π) Hypergeometricá P(X = ) = ( M M ) (N n ) ( N n ) Alternativní P(X = ) = π P(X = 0) = π π π( π) Geometricá P(X = n) = π( π) n π π π Negativně binomicá P(X = n) = ( n ) π ( π) n π ( π) π Poissonova P(X = ) = (λt) e λt λt λt!

4 5 ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY Hustota pravděpodobnosti, distribuční funce, Název rozdělení E(X) intenzita poruch Rovnoměrné na x (a; b) a + b f(x) = { (a;b) b a 0 x (a; b) Exponenciální t f ( t) e ; t 0; 0 -t F (t) - e ; t 0; 0 ( t ) onst.; t 0; 0 Erlangovo t t f ( t) e ; t 0! j t t F t e j0 j! ( t) ( )! j0 ( j)! t Weibullovo f(t) = βλ β t β e (λt)β, F(t) = e (λt)β, λ(t) = βλ β t β, t > 0; λ > 0; β > 0. Normované x normální ( x) e ; ( x t x) e dt j x D(X) a b 0 Normální f ( x) e x F( x) ; x e x t dt μ σ 3

5 6 POPISNÁ STATISTIKA Kvantitativní - Numericá proměnná Míry polohy Průměr xi i x! n Modus (střed shorthu) Kvantily (dolní vartil, medián, horní vartil, ) Míry variability Variační rozpětí xmax xmin Intervartilové rozpětí Výběrový rozptyl s = n i= (x i x ) n n IQR x 0 x Výběrová směrodatná odchyla s = s = (x i x ),75 0,5 n i= n Variační oeficient V x = s, popř. V x x = s 00 [%] x Míry šimosti a špičatosti Výběrová šimost a = Výběrová špičatost b = Identifiace odlehlých pozorování n (n )(n ) i=(x i x ) 3 s 3 n(n+) (x i x ) 4 (n )(n )(n 3) n i= s 4 3 (n ) Vnitřní hradby: dolní mez: h D = x 0,5,5IQR horní mez: h H = x 0,75 +,5IQR Z souřadnice z sóre i = x i x s Mediánová souřadnice x 0,5 sóre i = x i x 0,5,483MAD (n )(n 3) 7 PŘEHLED NEJPOUŽÍVANĚJŠÍCH VÝBĚR. CHARAKTERISTIK A JEJICH ROZDĚLENÍ Mějme náhodný výběr X z normálního rozdělení, tj. X = (X,, X n ), i =,, n: X i N(μ, σ ). Výběrová charateristia Rozdělení pravděpodobnosti Poznáma X μ σ n N(0,) viz CLV X μ n t n viz vlastnosti Studentova rozdělení S S (n ) χ σ n viz vlastnosti χ - rozdělení 4

6 Mějme dostatečně velý náhodný výběr X, tj. Výběrová charateristia p π n > 9 p( p). Rozdělení pravděpodobnosti Poznáma π( π) n N(0,) viz vlastnosti relativní četnosti Mějme dva nezávislé výběry z normálního rozdělení. i =,,, n, de n je rozsah prvního výběru: X i N(μ ; σ ), j =,,, n, de n je rozsah prvního výběru: X j N(μ ; σ ). Výběrová charateristia (X X ) (μ μ ) Rozdělení pravděpodobnosti Poznáma σ + σ N(0,) viz CLV n n (X X ) (μ μ ) S (n ) + S (n ) n n (n + n ) n + n t n +n viz vlastnosti Studentova rozdělení Předpolad: σ = σ (X X ) (μ μ ) S + S n S σ S σ n t ν ν ( S + S ) n = n ( S ) n n + + (S ) n F n,n n + viz vlastnosti Studentova rozdělení Předpolad: σ σ viz vlastnosti Fisherova Snedecorova rozdělení Mějme dostatečně velé náhodné výběry X a X, tj. (n > Výběrová charateristia (p p ) (π π ) 9 p ( p ) ) (n > 9 p ( p ) ). Rozdělení pravděpodobnosti Poznáma π ( π ) n + π ( π ) n N(0,) viz CLV 5

7 8 INTERVALY SPOLEHLIVOSTI Odhadovaný parametr Předpolady Meze oboustranného intervalového odhadu Dolní mez levostranného intervalového odhadu Horní mez pravostranného intervalového odhadu T D T H T D T H Míra polohy μ normalita, známe σ normalita, neznáme σ x σ n z α x s n t α x + σ n z α x + s n t α x σ n z α x s n t α x σ n z α x + s n t α Míry variability σ normalita (n )s χ α σ normalita (n )s χ α (n )s χα (n )s χα (n )s χ α (n )s (n )s χ α χ α (n )s χ α Relativní četnost π n > 30, n N < 0,05, n > 9 p( p) p z α p( p) n p+z α p( p) n p z α p( p) n p+z α p( p) n Doporučení pro rozsah výběru Odhad rozsahu výběru potřebného pro nalezení intervalového odhadu se spolehlivostí α a maximální přípustnou chybou max Odhadovaný populační parametr Střední hodnota μ (známe σ) Střední hodnota μ (neznáme σ) Relativní četnost π Požadovaný rozsah výběru n ( σ z α max ) Poznáma n ( s s je výběrová směrodatná odchyla předvýběru t α ) max n (z α ) n (z α ) p ( p ) max 4 max p je výběrová relativní četnost předvýběru nemáme-li dispozici předvýběr (předběžný odhad relativní četnosti), zísáme nejpřísnější odhad rozsahu výběru, dosadíme-li za p hodnotu 0,5. 6

8 Intervalové odhady rozdílu, resp. poměru parametrů normálního rozdělení Odhadovaný vztah mezi parametry Předpolady Oboustranný intervalový odhad Poznáma normalita obou populací, známe σ, σ (x x ) z α σ + σ ; n n (x x ) + z α σ + σ n n μ μ normalita obou populací, neznáme σ, σ, σ = σ (x x ) t α (x x ) + t α (n )s +(n )s n +n (n )s +(n )s n +n + ; n n + n n t p je 00p% vantil Studentova rozdělení s n + n stupni volnosti normalita obou populací, neznáme σ, σ, + s ; n n s (x x ) t α (x x ) + t α s + s n n t p je 00p% vantil Studentova rozdělení s ( S n +S n ) ( S n ) n+ +(S n ) n+ σ σ stupni volnosti σ σ σ σ normalita obou populací normalita obou populací s f α s ; s fα s f α s s ; s fα s fp označují 00p% vantily Fisher- Snedecorova rozdělení s n stupni volnosti pro čitatele a n stupni volnosti pro jmenovatele. π π i {,}: n i > 30, n i N i < 0,05, n i > 9 p i ( p i ) (p p ) z α p( p) ( + ) ; n n p = x +x (p p ) + z α p( p) ( + n +n ) n n 7

9 9 TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Jednovýběrové parametricé testy Název testu Test o rozptylu Jednovýběrový z test Jednovýběrový t test Testovaný parametr rozptyl σ (směrodatná odchyla σ) střední hodnota μ Předpolady testu normalita populace, neznámé μ normalita populace, známé σ normalita populace, neznámé σ Testová statistia T(X) S (n ) χ σ Nulové rozdělení n X μ σ n N(0; ) X μ n S t n Poznáma Při čistém testu významnosti nelze použít oboustrannou alternativu. Jednovýběrové neparametricé testy Název testu Test o parametru π alternativního rozdělení Kvantilový test Jednovýběrový Wilcoxonův test Testovaný parametr Pravděpodobnost π 00p% vantil x p medián x 0,5 Předpolady testu n > 9 p( p) n > 30 Testová statistia T(X) p π Nulové rozdělení π( π) n N(0; ) Y, de Y modeluje počet pozorování v náhodném výběru, terá jsou menší než x p0. min(s + ; S ), de S + = R i + Y i 0, S = R i + Y i <0 S + E(S + ) D(S + ), de E(S + ) = 4 n(n + ), D(S+ ) = 4 n(n + )(n + ) Bi(n; p) Kriticé hodnoty jsou tabelovány (Tab. T6) N(0; ) Poznáma V případě, že testujeme medián, tzn. pro p = 0,5, používáme pro tento test speciální označení - mediánový test. Je-li pozorovaná hodnota testové statistiy menší nebo rovna riticé hodnotě, zamítáme H0. 8

10 Dvouvýběrové parametricé testy pro nezávislé výběry Název testu test o shodě rozptylů dvouvýběrový z test Testované parametry rozptyly σ, σ (sm. odch. σ, σ ) Předpolady testu nezávislé výběry, normalita populací, neznámé μ, μ nezávislé výběry, normalita populací, známé σ, σ Testová statistia T(X, Y) Nulové rozdělení Poznáma S X σ X S Y σ Y (X Y ) (μ X μ Y ) F n,n σ X + σ N(0; ) Y n n Při čistém testu významnosti nelze použít oboustran. alternativu. dvouvýběrový t test střední hodnoty μ, μ nezávislé výběry, normalita populací, neznámé σ, σ, σ = σ (X Y ) (μ X μ Y ) (n )s X + (n )s Y + n + n n n t n +n Aspinové Welchův test nezávislé výběry, normalita populací, neznámé σ, σ, σ σ (X X ) (μ μ ) S + S n n t ν de, ν = ( S + S ) n n n (S ) + n n (S ) n Dvouvýběrové neparametricé testy pro nezávislé výběry Název testu Mannův- Whitneyův test test homogenity dvou binomicých rozdělení Testovaný parametr mediány x 0,5, y 0,5 pravděpodobnosti π, π Předpolady testu nezávislé výběry ze spojitých rozdělení se stejným rozptylem a tvarem. n > n > 9 p ( p ), 9 p ( p ) de Testová statistia min(u, U ), U = n n + n (n +) T, U = n n + n (n +) T (p p ) (π π ) Nulové rozdělení Kriticé hodnoty rozdělení jsou uvedeny v tabulce p ( p ) n + p ( p ) n N(0; ) Poznáma Označení výběrů se volí ta, aby platilo n n. Je-li pozorovaná hodnota testové statistiy menší nebo rovna riticé hodnotě, zamítáme H0. 9

11 Přehled vybraných vícevýběrových testů parametricých hypotéz Název testu Bartlettův test Leveneův test Hartleyův test Cochranův test Testy o shodě rozptylů Předpolady testu nezávislost a normalita výběrů nezávislost výběrů nezávislost výběrů, vyváženost třídění nezávislost výběrů, vyváženost třídění Název testu Analýza rozptylu (ANOVA) Testy o shodě úrovně Předpolady testu Metoda vícenásobného porovnávání nezávislost, normalita Fisherovo LSD a homosedasticita Bonferroniho metoda výběrů Schéffeho metoda (Pozor na odlehlá Tueyho metoda pozorování!) Tuey HSD nezávislost výběrů Dunnové metoda Neméneiova metoda Krusalův-Wallisův test Friedmanův test závislost výběrů Friedmanova metoda Předpolady pro použití metody vícenásobného porovnávání vyváženost třídění vyváženost třídění Tabula ANOVA Zdroj variability Součet čtverců Model SS B = n i (X i X ) i= Reziduální SS e = (n i )s i i= n i Celový SS T = (X ij X ) i= j= Počet stupňů volnosti df B = df e = n Rozptyl (prům. součet čtverců) MS B = SS B df B F poměr p hodnota MS B MS e F 0 (x OBS ) MS e = SS e df e df T = n Testy dobré shody Název testu Předpolady testu Testová statistia Nulové rozdělení χ test dobré shody Očeávané četnosti >5 G = (O i E i ) i= E i χ ( r), r počet odhadovaných parametrů 0

12 0 ANALÝZA ZÁVISLOSTI Analýza závislosti v ontingenční tabulce Název testu Předpolady testu Testová statistia Analýza závislosti v ontingenční Očeávané četnosti, alespoň 80% r s K = tabulce očeávaných četností >5 i= j= (O ij E ij ) E ij oeficient ontingence CC = K K+n (pro čtvercové ontingenční tabuly), origovaný oeficient ontingence CC cor = CC CC max, de CC max = min(r;s) min(r;s), Cramerův oeficient V = K. n(min(r;s) ) (pro obdélníové ontingenční tabuly) Tyto oeficienty se mohou vysytovat v intervalu (0; ). Čím jsou blíže, tím je závislost mezi X a Y těsnější. Analýza závislosti v asociační tabulce Odhad poměru šancí: OR = ad. bc Intervalový odhad OR: OR e a + b + c + d z α ; OR e a + b + c + d z α Odhad relativního rizia: RR = a(c+d) c(a+b) Intervalový odhad RR: RR e b a(a+b) + d c(c+d) z α ; RR e b a(a+b) + d c(c+d) z α Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) orelační oeficient: r = s XY s X s Y, de s XY = n (x n i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná odchyla proměnné X (Y). Název testu Test nulovosti orelačního oeficientu Testované Předpolady Testová statistia parametry testu T(X, Y) ρ normalita T = r n r Nulové rozdělení t n Analýza závislosti ordinálních veličin Spearmanův orelační oeficient: r S = 6 n (R n(n ) X R Y ) i= Název testu Test nulovosti orelačního oeficientu Testované parametry Předpolady testu Testová statistia T(X, Y) Kriticý obor ρ --- T = r S W = {T: T r S (α)} (T5)

13 Distribuční funce normovaného normálního rozdělení Φ(x) pro x > 0 Φ( x) = Φ(x) x ,0 0,500 0,504 0,508 0,5 0,56 0,50 0,54 0,58 0,53 0,536 0, 0,540 0,544 0,548 0,55 0,556 0,560 0,564 0,567 0,57 0,575 0, 0,579 0,583 0,587 0,59 0,595 0,599 0,603 0,606 0,60 0,64 0,3 0,68 0,6 0,66 0,69 0,633 0,637 0,64 0,644 0,648 0,65 0,4 0,655 0,659 0,663 0,666 0,670 0,674 0,677 0,68 0,684 0,688 0,5 0,69 0,695 0,698 0,70 0,705 0,709 0,7 0,76 0,79 0,7 0,6 0,76 0,79 0,73 0,736 0,739 0,74 0,745 0,749 0,75 0,755 0,7 0,758 0,76 0,764 0,767 0,770 0,773 0,776 0,779 0,78 0,785 0,8 0,788 0,79 0,794 0,797 0,800 0,80 0,805 0,808 0,8 0,83 0,9 0,86 0,89 0,8 0,84 0,86 0,89 0,83 0,834 0,836 0,839,0 0,84 0,844 0,846 0,848 0,85 0,853 0,855 0,858 0,860 0,86, 0,864 0,867 0,869 0,87 0,873 0,875 0,877 0,879 0,88 0,883, 0,885 0,887 0,889 0,89 0,893 0,894 0,896 0,898 0,900 0,90,3 0,903 0,905 0,907 0,908 0,90 0,9 0,93 0,95 0,96 0,98,4 0,99 0,9 0,9 0,94 0,95 0,96 0,98 0,99 0,93 0,93,5 0,933 0,934 0,936 0,937 0,938 0,939 0,94 0,94 0,943 0,944,6 0,945 0,946 0,947 0,948 0,949 0,95 0,95 0,953 0,954 0,954,7 0,955 0,956 0,957 0,958 0,959 0,960 0,96 0,96 0,96 0,963,8 0,964 0,965 0,966 0,966 0,967 0,968 0,969 0,969 0,970 0,97,9 0,97 0,97 0,973 0,973 0,974 0,974 0,975 0,976 0,976 0,977,0 0,977 0,978 0,978 0,979 0,979 0,980 0,980 0,98 0,98 0,98, 0,98 0,983 0,983 0,983 0,984 0,984 0,985 0,985 0,985 0,986, 0,986 0,986 0,987 0,987 0,987 0,988 0,988 0,988 0,989 0,989,3 0,989 0,990 0,990 0,990 0,990 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99,4 0,99 0,99 0,99 0,99 0,993 0,993 0,993 0,993 0,993 0,994,5 0,994 0,994 0,994 0,994 0,994 0,995 0,995 0,995 0,995 0,995,6 0,995 0,995 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996,7 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997,8 0,997 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998,9 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 3,0 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 3, 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 3, 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 3,3,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 T. Vybrané vantily normovaného normálního rozdělení z α = z α α 0,9000 0,9500 0,9750 0,9900 0,9950 0,9990 0,9995 0,9999 z α,86,6449,9600,363,5758 3,090 3,905 3,790

14 stupně volnosti ν T3. Vybrané vantily χ rozdělení s ν stupni volnosti α 0,000 0,0005 0,0 0,05 0,05 0, 0,5 0,5 0,000 0,000 0,000 0,00 0,004 0,06 0,0 0,455 0,000 0,00 0,00 0,05 0,03 0, 0,575, ,005 0,05 0,5 0,6 0,35 0,584,3, ,08 0,064 0,97 0,484 0,7,064,93 3, ,08 0,58 0,554 0,83,45,60,675 4,35 6 0,7 0,99 0,87,37,635,04 3,455 5, ,300 0,485,39,690,67,833 4,55 6, ,464 0,70,646,80,733 3,490 5,07 7, ,66 0,97,088,700 3,35 4,68 5,899 8, ,889,65,558 3,47 3,940 4,865 6,737 9,34,45,587 3,053 3,86 4,575 5,578 7,584 0,34,47,934 3,57 4,404 5,6 6,304 8,438,340 3,733,305 4,07 5,009 5,89 7,04 9,99,340 4,06,697 4,660 5,69 6,57 7,790 0,65 3,339 5,408 3,08 5,9 6,6 7,6 8,547,037 4,339 6,774 3,536 5,8 6,908 7,96 9,3,9 5, ,57 3,980 6,408 7,564 8,67 0,085,79 6, ,555 4,439 7,05 8,3 9,390 0,865 3,675 7, ,968 4,9 7,633 8,907 0,7,65 4,56 8, ,395 5,398 8,60 9,59 0,85,443 5,45 9,337 4,835 5,896 8,897 0,83,59 3,40 6,344 0,337 5,86 6,404 9,54 0,98,338 4,04 7,40, ,749 6,94 0,96,689 3,09 4,848 8,37, ,3 7,453 0,856,40 3,848 5,659 9,037 3, ,707 7,99,54 3,0 4,6 6,473 9,939 4, ,00 8,538,98 3,844 5,379 7,9 0,843 5, ,70 9,093,879 4,573 6,5 8,4,749 6, ,3 9,656 3,565 5,308 6,98 8,939,657 7, ,73 0,7 4,56 6,047 7,708 9,768 3,567 8, ,58 0,804 4,953 6,79 8,493 0,599 4,478 9, ,883 6,906,64 4,433 6,509 9,05 33,660 39,335 50,009 3,46 9,707 3,357 34,764 37,689 4,94 49, ,497 30,340 37,485 40,48 43,88 46,459 5,94 59, ,6 37,467 45,44 48,758 5,739 55,39 6,698 69, ,44 44,79 53,540 57,53 60,39 64,78 7,45 79, ,75 59,896 70,065 74, 77,99 8,358 90,33 99, ,78 75,467 86,93 9,573 95,705 00,64 09,0 9,334 3

15 T3. Vybrané vantily χ rozdělení s ν stupni volnosti (poračování) stupně volnosti ν α 0,75 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999,33,706 3,84 5,04 6,635 7,879 0,88,773 4,605 5,99 7,378 9,0 0,597 3,86 3 4,08 6,5 7,85 9,348,345,838 6,66 4 5,385 7,779 9,488,43 3,77 4,860 8, ,66 9,36,070,833 5,086 6,750 0,55 6 7,84 0,645,59 4,449 6,8 8,548, ,037,07 4,067 6,03 8,475 0,78 4,3 8 0,9 3,36 5,507 7,535 0,090,955 6,4 9,389 4,684 6,99 9,03,666 3,589 7,877 0,549 5,987 8,307 0,483 3,09 5,88 9,588 3,70 7,75 9,675,90 4,75 6,757 3,64 4,845 8,549,06 3,337 6,7 8,300 3, ,984 9,8,36 4,736 7,688 9,89 34,58 4 7,7,064 3,685 6,9 9,4 3,39 36,3 5 8,45,307 4,996 7,488 30,578 3,80 37, ,369 3,54 6,96 8,845 3,000 34,67 39,5 7 0,489 4,769 7,587 30,9 33,409 35,78 40,790 8,605 5,989 8,869 3,56 34,805 37,56 4,3 9,78 7,04 30,44 3,85 36,9 38,58 43,80 0 3,88 8,4 3,40 34,70 37,566 39,997 45,35 4,935 9,65 3,67 35,479 38,93 4,40 46,797 6,039 30,83 33,94 36,78 40,89 4,796 48,68 3 7,4 3,007 35,7 38,076 4,638 44,8 49,78 4 8,4 33,96 36,45 39,364 4,980 45,559 5,79 5 9,339 34,38 37,65 40,646 44,34 46,98 5, ,435 35,563 38,885 4,93 45,64 48,90 54,05 7 3,58 36,74 40,3 43,95 46,963 49,645 55, ,60 37,96 4,337 44,46 48,78 50,993 56, ,7 39,087 4,557 45,7 49,588 5,336 58, ,800 40,56 43,773 46,979 50,89 53,67 59, ,66 5,805 55,758 59,34 63,69 66,766 73, ,334 63,67 67,505 7,40 76,54 79,490 86, ,98 74,397 79,08 83,98 88,379 9,95 99, ,577 85,57 90,53 95,03 00,45 04,5, ,30 96,578 0,879 06,69,39 6,3 4, ,4 8,498 4,34 9,56 35,807 40,69 49, ,055 40,33 46,567 5, 58,950 63,648 73,67 4

16 T4. Vybrané vantily Studentova rozdělení s ν stupni volnosti t α = t α stupně volnosti ν α 0,75 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,9975 0,999 0,9995,000 3,078 6,34,706 3,8 63,657 7,3 38, ,69 0,86,886,90 4,303 6,965 9,95 4,089,37 3, ,765,638,353 3,8 4,54 5,84 7,453 0,5,94 4 0,74,533,3,776 3,747 4,604 5,598 7,73 8,60 5 0,77,476,05,57 3,365 4,03 4,773 5,893 6, ,78,440,943,447 3,43 3,707 4,37 5,08 5, ,7,45,895,365,998 3,499 4,09 4,785 5, ,706,397,860,306,896 3,355 3,833 4,50 5,04 9 0,703,383,833,6,8 3,50 3,690 4,97 4,78 0 0,700,37,8,8,764 3,69 3,58 4,44 4,587 0,697,363,796,0,78 3,06 3,497 4,05 4,437 0,695,356,78,79,68 3,055 3,48 3,930 4,38 3 0,694,350,77,60,650 3,0 3,37 3,85 4, 4 0,69,345,76,45,64,977 3,36 3,787 4,40 5 0,69,34,753,3,60,947 3,86 3,733 4, ,690,337,746,0,583,9 3,5 3,686 4,05 7 0,689,333,740,0,567,898 3, 3,646 3, ,688,330,734,0,55,878 3,97 3,60 3,9 9 0,688,38,79,093,539,86 3,74 3,579 3, ,687,35,75,086,58,845 3,53 3,55 3,850 0,686,33,7,080,58,83 3,35 3,57 3,89 0,686,3,77,074,508,89 3,9 3,505 3,79 3 0,685,39,74,069,500,807 3,04 3,485 3, ,685,38,7,064,49,797 3,09 3,467 3, ,684,36,708,060,485,787 3,078 3,450 3,75 6 0,684,35,706,056,479,779 3,067 3,435 3, ,684,34,703,05,473,77 3,057 3,4 3, ,683,33,70,048,467,763 3,047 3,408 3, ,683,3,699,045,46,756 3,038 3,396 3, ,683,30,697,04,457,750 3,030 3,385 3, ,68,303,684,0,43,704,97 3,307 3, ,679,99,676,009,403,678,937 3,6 3, ,679,96,67,000,390,660,95 3,3 3, ,678,94,667,994,38,648,899 3, 3, ,678,9,664,990,374,639,887 3,95 3, ,677,90,660,984,364,66,87 3,74 3, ,677,89,658,980,358,67,860 3,60 3,373 0,674,8,645,960,36,576,807 3,090 3,9 5

17 T5. Vybrané vantily Fisherova-Snedecorova rozdělení s m stupni volnosti v čitateli a n stupni volnosti ve jmenovateli f α (m; n) = f α (n; m) n m α ,95 6,45 99,50 5,7 4,58 30,6 33,99 36,77 38,88 40,54 0, ,79 799,50 864,6 899,58 9,85 937, 948, 956,66 963,8 0,99 405,8 4999, ,35 564, , ,99 598,36 598,07 60,47 0,95 8,5 9,00 9,6 9,5 9,30 9,33 9,35 9,37 9,38 0,975 38,5 39,00 39,7 39,5 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 0,99 98,50 99,00 99,7 99,5 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 0,95 0,3 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,8 0,975 7,44 6,04 5,44 5,0 4,88 4,73 4,6 4,54 4,47 0,99 34, 30,8 9,46 8,7 8,4 7,9 7,67 7,49 7,35 0,95 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 6,00 0,975, 0,65 9,98 9,60 9,36 9,0 9,07 8,98 8,90 0,99,0 8,00 6,69 5,98 5,5 5, 4,98 4,80 4,66 0,95 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,77 0,975 0,0 8,43 7,76 7,39 7,5 6,98 6,85 6,76 6,68 0,99 6,6 3,7,06,39 0,97 0,67 0,46 0,9 0,6 0,95 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,0 0,975 8,8 7,6 6,60 6,3 5,99 5,8 5,70 5,60 5,5 0,99 3,75 0,9 9,78 9,5 8,75 8,47 8,6 8,0 7,98 0,95 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 0,975 8,07 6,54 5,89 5,5 5,9 5, 4,99 4,90 4,8 0,99,5 9,55 8,45 7,85 7,46 7,9 6,99 6,84 6,7 0,95 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 0,975 7,57 6,06 5,4 5,05 4,8 4,65 4,53 4,43 4,36 0,99,6 8,65 7,59 7,0 6,63 6,37 6,8 6,03 5,9 0,95 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 0,975 7, 5,7 5,08 4,7 4,48 4,3 4,0 4,0 4,03 0,99 0,56 8,0 6,99 6,4 6,06 5,80 5,6 5,47 5,35 0,95 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07 3,0 0,975 6,94 5,46 4,83 4,47 4,4 4,07 3,95 3,85 3,78 0,99 0,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,0 5,06 4,94 0,95 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,90 0,975 6,7 5,6 4,63 4,8 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59 0,99 9,65 7, 6, 5,67 5,3 5,07 4,89 4,74 4,63 6

18 T5. Vybrané vantily Fisherova-Snedecorova rozdělení s m stupni volnosti v čitateli a n stupni volnosti ve jmenovateli f α (m; n) = (poračování) f α (n; m) n m α ,95 4,88 43,9 45,95 48,0 49,05 50,0 5,4 5,0 53,5 54,3 0, ,63 976,7 984,87 993,0 997,5 00,4 005,60 009,80 04,0 08,5 0, ,85 606,3 657,8 608,73 634,63 660,65 686,78 633, , ,83 0,95 9,40 9,4 9,43 9,45 9,45 9,46 9,47 9,48 9,49 9,50 0,975 39,40 39,4 39,43 39,45 39,46 39,46 39,47 39,48 39,49 39,50 0,99 99,40 99,4 99,43 99,45 99,46 99,47 99,47 99,48 99,49 99,50 0,95 8,79 8,74 8,70 8,66 8,64 8,6 8,59 8,57 8,55 8,53 0,975 4,4 4,34 4,5 4,7 4, 4,08 4,04 3,99 3,95 3,90 0,99 7,3 7,05 6,87 6,69 6,60 6,50 6,4 6,3 6, 6,3 0,95 5,96 5,9 5,86 5,80 5,77 5,75 5,7 5,69 5,66 5,63 0,975 8,84 8,75 8,66 8,56 8,5 8,46 8,4 8,36 8,3 8,6 0,99 4,55 4,37 4,0 4,0 3,93 3,84 3,75 3,65 3,56 3,46 0,95 4,74 4,68 4,6 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 4,37 0,975 6,6 6,5 6,43 6,33 6,8 6,3 6,8 6, 6,07 6,0 0,99 0,05 9,89 9,7 9,55 9,47 9,38 9,9 9,0 9, 9,0 0,95 4,06 4,00 3,94 3,87 3,84 3,8 3,77 3,74 3,70 3,67 0,975 5,46 5,37 5,7 5,7 5, 5,07 5,0 4,96 4,90 4,85 0,99 7,87 7,7 7,56 7,40 7,3 7,3 7,4 7,06 6,97 6,88 0,95 3,64 3,57 3,5 3,44 3,4 3,38 3,34 3,30 3,7 3,3 0,975 4,76 4,67 4,57 4,47 4,4 4,36 4,3 4,5 4,0 4,4 0,99 6,6 6,47 6,3 6,6 6,07 5,99 5,9 5,8 5,74 5,65 0,95 3,35 3,8 3, 3,5 3, 3,08 3,04 3,0,97,93 0,975 4,30 4,0 4,0 4,00 3,95 3,89 3,84 3,78 3,73 3,67 0,99 5,8 5,67 5,5 5,36 5,8 5,0 5, 5,03 4,95 4,86 0,95 3,4 3,07 3,0,94,90,86,83,79,75,7 0,975 3,96 3,87 3,77 3,67 3,6 3,56 3,5 3,45 3,39 3,33 0,99 5,6 5, 4,96 4,8 4,73 4,65 4,57 4,48 4,40 4,3 0,95,98,9,85,77,74,70,66,6,58,54 0,975 3,7 3,6 3,5 3,4 3,37 3,3 3,6 3,0 3,4 3,08 0,99 4,85 4,7 4,56 4,4 4,33 4,5 4,7 4,08 4,00 3,9 0,95,85,79,7,65,6,57,53,49,45,40 0,975 3,53 3,43 3,33 3,3 3,7 3, 3,06 3,00,94,88 0,99 4,54 4,40 4,5 4,0 4,0 3,94 3,86 3,78 3,69 3,60 7

19 T5. Vybrané vantily Fisherova-Snedecorova rozdělení s m stupni volnosti v čitateli a n stupni volnosti ve jmenovateli f α (m; n) = (poračování) f α (n; m) n m α ,95 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,80 0,975 6,55 5,0 4,47 4, 3,89 3,73 3,6 3,5 3,44 0,99 9,33 6,93 5,95 5,4 5,06 4,8 4,64 4,50 4,39 0,95 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,65 0,975 6,30 4,86 4,4 3,89 3,66 3,50 3,38 3,9 3, 0,99 8,86 6,5 5,56 5,04 4,69 4,46 4,8 4,4 4,03 0,95 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,54 0,975 6, 4,69 4,08 3,73 3,50 3,34 3, 3, 3,05 0,99 8,53 6,3 5,9 4,77 4,44 4,0 4,03 3,89 3,78 0,95 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,46 0,975 5,98 4,56 3,95 3,6 3,38 3, 3,0 3,0,93 0,99 8,9 6,0 5,09 4,58 4,5 4,0 3,84 3,7 3,60 0,95 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,39 0,975 5,87 4,46 3,86 3,5 3,9 3,3 3,0,9,84 0,99 8,0 5,85 4,94 4,43 4,0 3,87 3,70 3,56 3,46 0,95 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,30 0,975 5,7 4,3 3,7 3,38 3,5,99,87,78,70 0,99 7,8 5,6 4,7 4, 3,90 3,67 3,50 3,36 3,6 0,95 4,7 3,3,9,69,53,4,33,7, 0,975 5,57 4,8 3,59 3,5 3,03,87,75,65,57 0,99 7,56 5,39 4,5 4,0 3,70 3,47 3,30 3,7 3,07 0,95 4,08 3,3,84,6,45,34,5,8, 0,975 5,4 4,05 3,46 3,3,90,74,6,53,45 0,99 7,3 5,8 4,3 3,83 3,5 3,9 3,,99,89 0,95 4,00 3,5,76,53,37,5,7,0,04 0,975 5,9 3,93 3,34 3,0,79,63,5,4,33 0,99 7,08 4,98 4,3 3,65 3,34 3,,95,8,7 0,95 3,9 3,07,68,45,9,8,09,0,96 0,975 5,5 3,80 3,3,89,67,5,39,30, 0,99 6,85 4,79 3,95 3,48 3,7,96,79,66,56 0,95 3,84 3,00,60,37,,0,0,94,88 0,975 5,0 3,69 3,,79,57,4,9,9, 0,99 6,64 4,6 3,78 3,3 3,0,80,64,5,4 8

20 T5. Vybrané vantily Fisherova-Snedecorova rozdělení s m stupni volnosti v čitateli a n stupni volnosti ve jmenovateli f α (m; n) = (poračování) f α (n; m) n m α ,95,75,69,6,54,5,47,43,38,34,30 0,975 3,37 3,8 3,8 3,07 3,0,96,9,85,79,73 0,99 4,30 4,6 4,0 3,86 3,78 3,70 3,6 3,54 3,45 3,36 0,95,60,53,46,39,35,3,7,,8,3 0,975 3,5 3,05,95,84,79,73,67,6,55,49 0,99 3,94 3,80 3,66 3,5 3,43 3,35 3,7 3,8 3,09 3,00 0,95,49,4,35,8,4,9,5,,06,0 0,975,99,89,79,68,63,57,5,45,38,3 0,99 3,69 3,55 3,4 3,6 3,8 3,0 3,0,93,84,75 0,95,4,34,7,9,5,,06,0,97,9 0,975,87,77,67,56,50,44,38,3,6,9 0,99 3,5 3,37 3,3 3,08 3,00,9,84,75,66,57 0,95,35,8,0,,08,04,99,95,90,84 0,975,77,68,57,46,4,35,9,,6,09 0,99 3,37 3,3 3,09,94,86,78,69,6,5,4 0,95,5,8,,03,98,94,89,84,79,73 0,975,64,54,44,33,7,,5,08,0,94 0,99 3,7 3,03,89,74,66,58,49,40,3, 0,95,6,09,0,93,89,84,79,74,68,6 0,975,5,4,3,0,4,07,0,94,87,79 0,99,98,84,70,55,47,39,30,,,0 0,95,08,00,9,84,79,74,69,64,58,5 0,975,39,9,8,07,0,94,88,80,7,64 0,99,80,66,5,37,9,0,,0,9,80 0,95,99,9,84,75,70,65,59,53,47,39 0,975,7,7,06,94,88,8,74,67,58,48 0,99,63,50,35,0,,03,94,84,73,60 0,95,9,83,75,66,6,55,50,43,35,5 0,975,6,05,94,8,76,69,6,53,43,3 0,99,47,34,9,03,95,86,76,66,53,38 0,95,83,75,67,57,5,46,39,3,,0 0,975,05,94,83,7,64,57,48,39,7,0 0,99,3,8,04,88,79,70,59,47,3,0 9

21 T6. Kriticé hodnoty jednovýběrového Wilcoxonova testu n α = 0,05 α = 0,0 n α = 0,05 α = 0, Zdroj: [], tabula T4 0

22 T7. Kriticé hodnoty Mannova-Whitneyova testu α = 0,05 n m Zdroj: [], tabula T8

23 T8. Kriticé hodnoty h α (, ν) Hartleyova testu α = 0,05 stupně volnosti ν , ,4 7,8 39, 50,7 6 7,9 83,5 93, ,6 5,5 0,6 5, 9,5 33,6 37,5 4, 44,6 48 5,4 5 7,5 0,8 3,7 6,3 8,7 0,8,9 4,7 6,5 8, 9,9 6 5,8 8,38 0,4, 3,7 5 6,3 7,5 8,6 9,7 0,7 7 4,99 6,94 8,44 9,7 0,8,8,7 3,5 4,3 5, 5,8 8 4,43 6,00 7,8 8, 9,03 9,78 0,5,,7,,7 9 4,03 5,34 6,3 7, 7,8 8,4 8,95 9,45 9,9 0,3 0,7 0 3,7 4,85 5,67 6,34 6,9 7,4 7,87 8,8 8,66 9,0 9,34 3,8 4,6 4,79 5,3 5,7 6,09 6,4 6,7 7,00 7,5 7,48 5,86 3,54 4,0 4,37 4,68 4,95 5,9 5,4 5,59 5,77 5,93 0,46,95 3,9 3,54 3,76 3,94 4, 4,4 4,37 4,49 4,59 30,07,4,6,78,9 3,0 3, 3, 3,9 3,36 3,39 60,67,85,96,04,,7,,6,3,33,36,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 α = 0,0 I stupně volnosti ν , , , , 5,5 9, ,89, 4,5 6,5 8, ,5 9,9,7 3, 4,5 5,8 6,9 7,9 8,9 9,8 9 6,54 8,5 9,9,, 3, 3,9 4,7 5,3 6 6,6 0 5,85 7,4 8,6 9,6 0,4,,8,4,9 3,4 3,9 4,9 6, 6,9 7,6 8, 8,7 9, 9,5 9,9 0, 0,6 5 4,07 4,9 5,5 6 6,4 6,7 7, 7,3 7,5 7, ,3 3,8 4,3 4,6 4,9 5, 5,3 5,5 5,6 5,8 5,9 30,63 3 3,3 3,4 3,6 3,7 3,8 3,9 4 4, 4, 60,96,,3,4,4.5,5,6,6,7,7,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 Zdroj: [], tabula T3

24 T9. Kriticé hodnoty c α (, ν) Cochranova testu α = 0,05 stupně volnosti ν ,00 0,97 0,9 0,84 0,78 0,73 0,68 0,64 0,60 0,57 0,54 0,98 0,87 0,77 0,68 0,6 0,56 0,5 0,48 0,44 0,4 0,39 3 0,94 0,80 0,68 0,60 0,53 0,48 0,44 0,40 0,37 0,35 0,33 4 0,9 0,75 0,63 0,54 0,48 0,43 0,39 0,36 0,33 0,3 0,9 5 0,88 0,7 0,59 0,5 0,44 0,40 0,36 0,33 0,30 0,8 0,6 6 0,85 0,68 0,56 0,48 0,4 0,37 0,34 0,3 0,8 0,6 0,4 7 0,83 0,65 0,54 0,46 0,40 0,35 0,3 0,9 0,7 0,5 0,3 8 0,8 0,63 0,5 0,44 0,38 0,34 0,30 0,8 0,5 0,4 0, 9 0,80 0,6 0,50 0,4 0,37 0,33 0,9 0,7 0,4 0,3 0, 0 0,79 0,60 0,49 0,4 0,36 0,3 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,77 0,58 0,47 0,39 0,34 0,30 0,7 0,4 0, 0,0 0,9 5 0,74 0,55 0,44 0,37 0,3 0,8 0,5 0,3 0, 0,9 0,8 0 0,7 0,5 0,4 0,35 0,30 0,6 0,3 0, 0,9 0,8 0,6 30 0,67 0,49 0,38 0,3 0,7 0,4 0, 0,9 0,7 0,6 0,5 60 0,6 0,44 0,34 0,8 0,4 0, 0,8 0,6 0,5 0,4 0,3 0 0,59 0,4 0,3 0,6 0, 0,9 0,7 0,5 0,3 0, 0, α = 0,0 stupně volnosti ν ,00 0,99 0,97 0,93 0,88 0,84 0,79 0,75 0,7 0,68 0,65,00 0,94 0,86 0,79 0,7 0,66 0,6 0,57 0,54 0,50 0,48 3 0,98 0,88 0,78 0,70 0,63 0,57 0,5 0,48 0,45 0,4 0,39 4 0,96 0,83 0,7 0,63 0,56 0,5 0,46 0,43 0,39 0,37 0,34 5 0,94 0,79 0,68 0,59 0,5 0,47 0,4 0,39 0,36 0,33 0,3 6 0,9 0,76 0,64 0,55 0,49 0,43 0,39 0,36 0,33 0,3 0,9 7 0,90 0,73 0,6 0,53 0,46 0,4 0,37 0,34 0,3 0,9 0,7 8 0,88 0,7 0,59 0,50 0,44 0,39 0,35 0,3 0,9 0,7 0,5 9 0,87 0,69 0,57 0,49 0,4 0,38 0,34 0,3 0,8 0,6 0,4 0 0,85 0,67 0,55 0,47 0,4 0,36 0,3 0,30 0,7 0,5 0,3 0,83 0,65 0,53 0,44 0,39 0,34 0,30 0,8 0,5 0,3 0, 5 0,80 0,6 0,50 0,4 0,36 0,3 0,8 0,6 0,3 0, 0,0 0 0,77 0,58 0,46 0,39 0,33 0,9 0,6 0,3 0, 0,0 0,8 30 0,7 0,53 0,4 0,35 0,30 0,6 0,3 0, 0,9 0,7 0,6 60 0,66 0,47 0,37 0,30 0,6 0, 0,0 0,8 0,6 0,5 0,4 0 0,6 0,43 0,33 0,7 0,3 0,0 0,7 0,6 0,4 0,3 0, Zdroj: [], tabula T4 3

25 T0. Kriticé hodnoty q α (, ν) studentizovaného rozpětí α = 0,05 ν ,8 37, 40,4 43, 45,4 47,4 49, 50,6 5 53, 54,3 55,4 6,08 8,33 9,8 0,9,7,4 3 3,5 4 4,4 4,7 5, 5,4 5,7 3 4,5 5,9 6,8 7,5 8,04 8,48 8,85 9,8 9,46 9,7 9,95 0, 0,3 0,5 4 3,93 5,04 5,76 6,9 6,7 7,05 7,35 7,6 7,83 8,03 8, 8,37 8,5 8,66 5 3,64 4,6 5, 5,67 6,03 6,33 6,58 6,8 6,99 7,7 7,3 7,47 7,6 7,7 6 3,46 4,34 4,9 5,3 5,63 5,9 6, 6,3 6,49 6,65 6,79 6,9 7,03 7,4 7 3,34 4,6 4,68 5,06 5,36 5,6 5,8 6,00 6,6 6,3 6,43 6,55 6,66 6,76 8 3,6 4,04 4,53 4,89 5,7 5,4 5,6 5,77 5,9 6,05 6,8 6,9 6,39 6,48 9 3, 3,95 4,4 4,76 5,0 5,4 5,43 5,59 5,74 5,87 5,98 6,09 6,9 6,8 0 3,5 3,88 4,33 4,65 4,9 5, 5,3 5,46 5,6 5,7 5,83 5,93 6,03 6, 3, 3,8 4,6 4,57 4,8 5,03 5, 5,35 5,49 5,6 5,7 5,8 5,9 5,98 3,08 3,77 4, 4,5 4,75 4,95 5, 5,7 5,39 5,5 5,6 5,7 5,8 5,88 3 3,06 3,73 4,5 4,45 4,69 4,88 5,05 5,9 5,3 5,43 5,53 5,63 5,7 5,79 4 3,03 3,7 4, 4,4 4,64 4,83 4,99 5,3 5,5 5,36 5,46 5,55 5,64 5,7 5 3,0 3,67 4,08 4,37 4,59 4,78 4,94 5,08 5, 5,3 5,4 5,49 5,57 5, ,65 4,05 4,33 4,56 4,74 4,9 5,03 5,5 5,6 5,35 5,44 5,5 5,59 7,98 3,63 4,0 4,3 4,5 4,7 4,86 4,99 5, 5, 5,3 5,39 5,47 5,54 8,97 3,6 4,00 4,8 4,49 4,67 4,8 4,96 5,07 5,7 5,7 5,35 5,43 5,5 9,96 3,59 3,98 4,5 4,47 4,65 4,79 4,9 5,04 5,4 5,3 5,3 5,39 5,46 0,95 3,58 3,96 4,3 4,45 4,6 4,77 4,9 5,0 5, 5, 5,8 5,36 5,43 4,9 3,53 3,9 4,7 4,37 4,54 4,68 4,8 4,9 5,0 5, 5,8 5,5 5,3 30,89 3,49 3,85 4, 4,3 4,46 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,08 5,5 5, 40,86 3,44 3,79 4,04 4,3 4,39 4,5 4,63 4,73 4,8 4,9 4,98 5,04 5, 60,83 3,4 3,74 3,98 4,6 4,3 4,44 4,55 4,65 4,73 4,8 4,88 4,94 5,0 0,8 3,36 3,68 3,9 4, 4,4 4,36 4,47 4,56 4,64 4,7 4,78 4,84 4,9,77 3,3 3,63 3,86 4,03 4,7 4,9 4,39 4,47 4,55 4,6 4,68 4,74 4,8 Zdroj: [], tabula T 4

26 T0. Kriticé hodnoty q α (, ν) studentizovaného rozpětí (poračování) α = 0,0 ν ,3 4,7 6,6 8, 9,5 30,7 3,7 3,6 33,4 34, 34,8 35,4 3 8,6 0,6, 3,3 4, 5 5,6 6, 6,7 7, 7,5 7,9 8, 8,5 4 6,5 8, 9,7 9,96 0,6,,5,9,3,6,8 3, 3,3 3,5 5 5,7 6,97 7,8 8,4 8,9 9,3 9,67 9,97 0, 0,5 0,7 0,9,, 6 5,4 6,33 7,03 7,56 7,97 8,3 8,6 8,87 9, 9,3 9,49 9,65 9,8 9,95 7 4,95 5,9 6,54 7,0 7,37 7,68 7,94 8,7 8,37 8,55 8,7 8,86 9 9, 8 4,74 5,63 6, 6,63 6,96 7,4 7,47 7,68 7,87 8,03 8,8 8,3 8,44 8,55 9 4,6 5,43 5,96 6,35 6,66 6,9 7,3 7,3 7,49 7,65 7,78 7,9 8,03 8,3 0 4,48 5,7 5,77 6,4 6,43 6,67 6,87 7,05 7, 7,36 7,48 7,6 7,7 7,8 4,39 5,4 5,6 5,97 6,5 6,48 6,67 6,84 6,99 7,3 7,5 7,36 7,46 7,56 4,3 5,04 5,5 5,84 6, 6,3 6,5 6,67 6,8 6,94 7,06 7,7 7,6 7,36 3 4,6 4,96 5,4 5,73 5,98 6,9 6,37 6,53 6,67 6,79 6,9 7,0 7, 7,9 4 4, 4,89 5,3 5,63 5,88 6,08 6,6 6,4 6,54 6,66 6,77 6,87 6,96 7,05 5 4,7 4,83 5,5 5,56 5,8 5,99 6,6 6,3 6,44 6,55 6,66 6,76 6,84 6,93 6 4,3 4,78 5,9 5,49 5,7 5,9 6,08 6, 6,35 6,46 6,56 6,66 6,74 6,8 7 4, 4,74 5,4 5,43 5,66 5,85 6,0 6,5 6,7 6,38 6,48 6,57 6,66 6,73 8 4,07 4,7 5,09 5,38 5,6 5,79 5,94 6,08 6, 6,3 6,4 6,5 6,58 6,65 9 4,05 4,67 5,05 5,33 5,55 5,73 5,89 6,0 6,4 6,5 6,34 6,43 6,5 6,58 0 4,0 4,64 5,0 5,9 5,5 5,69 5,84 5,97 6,09 6,9 6,9 6,37 6,45 6,5 4 3,96 4,54 4,9 5,7 5,37 5,54 5,69 5,8 5,9 6,0 6, 6,9 6,6 6, ,89 4,45 4,8 5,05 5,4 5,4 5,54 5,65 5,76 5,85 5,93 6,0 6,08 6,4 40 3,8 4,37 4,7 4,93 5, 5,7 5,39 5,5 5,6 5,69 5,77 5,84 5,9 5, ,76 4,8 4,6 4,8 4,99 5,3 5,5 5,36 5,45 5,53 5,6 5,67 5,73 5,79 0 3,7 4, 4,5 4,7 4,87 5,0 5, 5, 5,3 5,38 5,44 5,5 5,56 5,6 3,64 4, 4,4 4,6 4,76 4,88 4,99 5,08 5,6 5,3 5,9 5,35 5,4 5,45 Zdroj: [], tabula T 5

27 T. Kriticé hodnoty vícenásobného porovnávaní pomocí pořadí α = 0,05 m ,3 4,7 6, 7,5 9 0,5 3,5 8,8,6 6,5 0,5 4,7 8,9 33, 37,4 3 5,7,7 9,9 37,3 44,8 5,5 60,3 68, 4 3,9 34,6 45, ,6 80,4 9,4 04,6 5 33, 48, 63,5 79,3 95,5 8,8 45,8 6 43,3 6,9 83, 04 5, , 9,4 7 54,4 79, 04,6 30,8 57,6 84,9,8 40,9 8 66,3 96,4 7,6 59,6 9,4 5,7 59,7 94, 9 78,9 4,8 5 90, 9,3 69, 309,6 350,6 0 9,3 34,3 77,8,6 68, ,4 40,5 06,3 54, ,6 309,4 363, 47,9 473,3 0,9 76, 33,4 9, 35,4 43, , 3 36, 98, ,3 397, 466, 536,5 607,7 4 5,,7 93,8 367,8 443,6 50,8 599, ,6 45,7 35,7 407,8 49,9 577,4 664,6 75,8 6 85,6 70,6 358,6 449, 54,7 635,9 73,0 89, α = 0,0 m , 5,7 7,3 8,9 0,5, 3,9 5,6 0,9 5,3 9,7 4,3 8,9 33,6 38,3 43, 3 9,5 7,5 35,7 44 5,5 6, 69,8 78,6 4 9,7 4,9 54,5 67,3 80,3 93,6 07 0,6 5 4, 58, 75,8 93,6,9 30,4 49, 68, 6 53,9 76,3 99,3,8 46,7 7 95,7 0,6 7 67,6 95,8 4,8 54,4 84,6 5, 46,3 77,7 8 8,4 6,8 5, 88,4 5, 6,6 300, , 39, 8,4 4,5 68,5 33, 358,4 404, 0 4,7 6,8, 6,7 34, 366,5 49,5 473, 3, 87,6 44,6 30,9 36, 4,6 483,7 545,6 50,4 3,5 78,5 344,9 4,5 48, 55 6,4 3 69,4 40,6 33,8 388,7 464,9 54, ,5 4 89, 68,7 350,5 434, 59, ,8 78,6 5 09,6 97,8 388,5 48,3 575,8 67,9 769,3 867,7 6 30,7 37,9 47,9 530, 634, 740,0 847,3 955,7 Zdroj: [], tabula T5 6

28 T. Kriticé hodnoty Friedmanova testu α = 0,05 m ,4 8,53 9,86,4,57 3,88 5,9 6,48 7,76 4 6,5 7,8 8,8 0,4,63,99 4,34 5,67 6,98 8,3 5 6,4 7,8 8,99 0,43,84 3,3 4,59 5,93 7,7 8, ,6 9,08 0,54,97 3,38 4,76 6, 7,4 8,8 7 7,43 7,8 9, 0,6,07 3,48 4,87 6,3 7,6 8,9 8 6,5 7,65 9,9 0,68,4 3,56 4,95 6,3 7, , 7,66 9, 0,73,9 3,6 5,0 6,4 7,7 9, 0 6, 7,67 9,5 0,76,3 3,66 5,07 6,44 7,8 9, 6,545 7,68 9,7 0,79,7 3,7 5, 6,48 7,9 9, 6,67 7,7 9,9 0,8,9 3,73 5,5 6,53 7,9 9, ,7 9,3 0,83,3 3,76 5,7 6,56 7,9 9,3 4 6,43 7,7 9,3 0,85,34 3,78 5,9 6,58 7,9 9,3 5 6,4 7,7 9,33 0,87,35 3,8 5, 6,6 8 9,3 6 5,99 7,73 9,34 0,88,37 3,8 5,3 6,6 8 9,3 0 5,99 7,74 9,37 0,9,4 3,8 5,3 6,7 8 9,4 5,99 7,8 9,49,07,59 4,07 5,5 6,9 8,3 9,68 α = 0,0 m ,3,76 3,6 4,78 6,8 7,74 9,9 0, ,6,,59 4,9 5,75 7,8 8,77 0,4,7 5 8,4 9,96,43 3, 4,74 6,3 7,86 9,37 0,86, ,,75 3,45 5, 6,69 8,5 9,77,3,7 7 8,857 0,37,97 3,69 5,35 6,95 8,5 0,04, ,35,4 3,87 5,53 7,5 8,7 0,4,8 3, 9 8,667 0,44,7 4,0 5,68 7,9 8,87 0,4,9 3,4 0 9,6 0,53,38 4, 5,79 7,4 9 0,53 3,5 9,455 0,6,46 4, 5,89 7,5 9, 0,64, 3,6 9,5 0,68,53 4,8 5,96 7,59 9,9 0,73, 3,7 3 9,385 0,7,58 4,34 6,03 7,67 9,5 0,8,3 3, ,76,64 4,4 6,09 7,7 9,3 0,86,4 3,9 5 8,933 0,8,68 4,44 6,4 7,78 9,35 0,9,4 3,9 6 8,79 0,84,7 4,48 6,8 7,8 9,4 0,9, ,87 0,94,83 4,6 6,3 8,0 9,5,,6 4, 9,,45 3,8 5,09 6,8 8,48 0,09,67 3, 4,73 Zdroj: [], tabula T6 7

29 T3. Kriticé hodnoty vícenásobného porovnávání u Friedmanova testu α = 0,05 m ,3 4,7 6, 7,5 9 0,5 3,5 4,7 6,6 8,6 0,7,7 4,8 7 9, 3 5,7 8, 0,6 3, 5,6 8, 0,8 3,5 4 6,6 9,4, 5, 8 4 7, 5 7,4 0,5 3,6 6,9 0, 3,5 6,9 30,3 6 8,,5 4,9 8,5, 5,7 9,4 33, 7 8,8,4 6, 9,9 3,9 7,8 3,8 35,8 8 9,4 3,3 7,3,3 5,5 9, ,3 9 9,9 4, 8,3,6 7 3, ,6 0 0,5 4,8 9,3 3,8 8,5 33, 38 4,8 5,6 0, 5 9,9 34,8 39,8 44,9,5 6,, 6, 3, 36,4 4,6 46,9 3,9 6,9 7, 3,5 37,9 43,3 48,8 4,4 7,5,8 8, 33,7 39, ,7 5,8 8, 3,6 9, 34,9 40,7 46,5 5,5 6 3,3 8,8 4,4 30, , 54, α = 0,0 m , 5,7 7,3 8,9 0,5, 3,9 5,6 5,8 8 0,3,6 4,9 7,3 9,7, 3 7, 9,8,6 5,4 8,3, 4, 7 4 8,,4 4,6 7,8, 4,4 7,8 3, 5 9,,7 6,3 9,9 3,6 7,3 3, 34,9 6 0, 3,9 7,8,8 5,8 9,9 34, 38, 7 0,9 5 9,3 3,5 7,9 3,3 36,8 4,3 8,7 6, 0,6 5, 9,8 34,6 39,3 44, 9,4 7,,8 6,7 3,6 36,6 4,7 46, , 33,4 38, ,4 3,7 8,9 4, 9, ,5 46, 5,8 4,3 9,7 5, 30,8 36,5 4,3 48, 54, 3 4,9 0,5 6, 3, , 56,3 4 5,4,3 7, 33,3 39,5 45,7 5 58, , 34,5 40,8 47,3 53,9 60,5 6 6,5,7 9, 35,6 4, 48,9 55,6 6,5 Zdroj: [], tabula T7 8

30 T4. Kriticé hodnoty jednovýběrového Kolmogorova-Smirnovova testu n α = 0,05 α = 0,0 n α = 0,05 α = 0,0 n α = 0,05 α = 0,0 0,975 0, ,3788 0, ,709 0,0506 0,8489 0, ,344 0, ,6956 0, ,7076 0, ,3076 0, ,683 0, ,6394 0, ,743 0, ,6693 0, ,5638 0, ,45 0, ,6567 0, ,596 0, ,9 0, ,6443 0, ,4834 0, ,86 0, ,63 0, ,4547 0, ,544 0, ,604 0, ,4300 0, ,73 0, ,6088 0, ,4095 0, ,0 0, ,5975 0,967 0,39 0, ,076 0, ,5864 0,9034 0, , ,057 0, ,5755 0, ,3643 0, ,083 0, ,5649 0, ,3489 0, ,0056 0, ,5544 0, ,3376 0, ,9837 0, ,544 0, ,3733 0, ,965 0, ,534 0, ,3796 0, ,94 0, ,544 0,89 8 0, , ,9 0, ,547 0, ,3043 0, ,908 0, ,505 0, ,9408 0, ,884 0, ,496 0,7949 0,874 0, ,8659 0, ,4868 0,784 0,8087 0, ,848 0,74 8 0,4779 0, ,749 0, ,83 0, ,469 0, ,693 0, ,844 0, ,4605 0, ,6404 0, ,798 0, ,45 0,74 6 0,5907 0, , ,4437 0,73 7 0,5438 0, ,7669 0, ,4355 0,73 8 0,4993 0, ,759 0, ,477 0, ,457 0, ,7373 0, ,3746 0, ,47 0, ,73 0, ,3403 0,608 Zdroj: [], tabula T8 9

31 T5. Kriticé hodnoty Spearmanova orelačního oeficientu Je-li rozsah výběru n > 30, pa r S (α; n) = z α n, de z α je ( α ) vantil normovaného normálního rozdělení. n α = 0,05 α = 0,0 n α = 0,05 α = 0,0 n α = 0,05 α = 0,0 0,609 0,7545 0,435 0,5545 0,5804 0,773 0,44 0, ,5549 0, ,45 0, ,534 0, ,406 0,5 5 0,9-5 0,579 0, ,3977 0,5 6 0,886 0, ,5 0, ,3894 0, ,745 0, ,4853 0,65 7 0,38 0, ,6905 0, ,476 0, ,3749 0, ,6833 0, ,4579 0, ,3685 0, ,6364 0, ,445 0, ,36 0,4665 Zdroj: [], tabula T Literatura [] Anděl, J.: Zálady matematicé statistiy, MatFyzPress, Praha 007, ISBN:

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2014/2015 Tutoriál č. 6: ANOVA Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Testování hypotéz opakování ANOVA Testování hypotéz (opakování) Testování

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Pracovní adresář. Nápověda. Instalování a načtení nového balíčku. Importování datového souboru. Práce s datovým souborem

Pracovní adresář. Nápověda. Instalování a načtení nového balíčku. Importování datového souboru. Práce s datovým souborem Pracovní adresář getwd() # výpis pracovního adresáře setwd("c:/moje/pracovni") # nastavení pracovního adresáře setwd("c:\\moje\\pracovni") # nastavení pracovního adresáře Nápověda?funkce # nápověda pro

Více

ÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová

ÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová ÚVOD DO TEORIE ODHADU Martina Litschmannová Obsah lekce Výběrové charakteristiky parametry populace vs. výběrové charakteristiky limitní věty další rozdělení pravděpodobnosti (Chí-kvadrát (Pearsonovo),

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Číselné charateristiy náhodných proměnných Charateristiy náhodných proměnných dělíme nejčastěji na charateristiy polohy a variability. Mezi charateristiy polohy se nejčastěji

Více

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka

Příklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů Na analýzu rozptylu lze pohlížet v podstatě

Více

VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY. Martina Litschmannová

VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY. Martina Litschmannová VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY Martina Litschmannová Obsah přednášky Vybrané dvouvýběrové testy par. hypotéz test o shodě rozptylů (F-test), testy o shodě středních hodnot (t-test, Aspinové-Welchův test),

Více

Charakteristika datového souboru

Charakteristika datového souboru Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Statgraphics v. 5.0 STATISTICKÁ INDUKCE PRO JEDNOROZMĚRNÁ DATA. Martina Litschmannová 1. Typ proměnné. Požadovaný typ analýzy

Statgraphics v. 5.0 STATISTICKÁ INDUKCE PRO JEDNOROZMĚRNÁ DATA. Martina Litschmannová 1. Typ proměnné. Požadovaný typ analýzy Dichotomická proměnná (0-1) Spojitá proměnná STATISTICKÁ INDUKCE PRO JEDNOROZMĚRNÁ DATA Typ proměnné Požadovaný typ analýzy Ověření variability Předpoklady Testy, resp. intervalové odhad Test o rozptylu

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

ANALÝZA DAT V R 7. KONTINGENČNÍ TABULKA. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK.

ANALÝZA DAT V R 7. KONTINGENČNÍ TABULKA. Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK. ANALÝZA DAT V R 7. KONTINGENČNÍ TABULKA Mgr. Markéta Pavlíková Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK www.biostatisticka.cz PŘEHLED TESTŮ rozdělení normální spojité alternativní / diskrétní

Více

χ 2 testy. Test nekorelovanosti.

χ 2 testy. Test nekorelovanosti. χ 2 testy. Test neorelovanosti. Petr Poší Části doumentu jsou převzaty (i doslovně) z Miro Navara: Pravděpodobnost a matematicá statistia, https://cw.fel.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_print.pdf

Více

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat

Více

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013 Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

Alternativní rozdělení. Alternativní rozdělení. Binomické rozdělení. Binomické rozdělení

Alternativní rozdělení. Alternativní rozdělení. Binomické rozdělení. Binomické rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Alternativní rozdělení Náhodná veličina X má alternativní rozdělení s parametrem p, jestliže nabývá hodnot 0 a 1 s pravděpodobnostmi

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáša 04 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Záon velých čísel Lemma Nechť náhodná veličina nabývá pouze nezáporných

Více

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017 1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Zpracování dat v edukačních vědách - Testování hypotéz Kamila Fačevicová Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Obsah seminářů 5.11. Úvod do matematické

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha

ANOVA. Analýza rozptylu při jednoduchém třídění. Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha ANOVA Analýza rozptylu př jednoduchém třídění Jana Vránová, 3.léařsá faulta UK, Praha Teore Máme nezávslých výběrů, > Mají rozsahy n, teré obecně nemusí být stejné V aždém z nch známe průměr a rozptyl

Více

Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení. ( ) (p počet odhadovaných parametrů)

Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení. ( ) (p počet odhadovaných parametrů) VYBRANÉ TESTY NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ TESTY DOBRÉ SHODY Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení test dobré shody Očekávané četnosti, alespoň 80% očekávaných četností >5 ( ) (p

Více

pravděpodobnosti, popisné statistiky

pravděpodobnosti, popisné statistiky 8. Modelová rozdělení pravděpodobnosti, popisné statistiky Rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení jako statistický model Přehled a aplikace modelových rozdělení Popisné statistiky Anotace Klasickým

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Testování hypotéz o podílech Kontingenční tabulka, čtyřpolní tabulka Testy nezávislosti, Fisherůvexaktní test, McNemarůvtest Testy dobré shody

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu Jednofaktorová analýza rozptylu David Hampel Ústav statistiky a operačního výzkumu, Mendelova univerzita v Brně Kurz pokročilých statistických metod Global Change Research Centre AS CR, 5 7 8 2015 Tato

Více

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.

RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 3 Jak a kdy použít parametrické a

Více

Grafický a číselný popis rozložení dat 3.1 Způsoby zobrazení dat Metody zobrazení kvalitativních a ordinálních dat Metody zobrazení kvan

Grafický a číselný popis rozložení dat 3.1 Způsoby zobrazení dat Metody zobrazení kvalitativních a ordinálních dat Metody zobrazení kvan 1 Úvod 1.1 Empirický výzkum a jeho etapy 1.2 Význam teorie pro výzkum 1.2.1 Konstrukty a jejich operacionalizace 1.2.2 Role teorie ve výzkumu 1.2.3 Proces ověření hypotéz a teorií 1.3 Etika vědecké práce

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta. Výpočet charakteristik ze tříděných údajů Statistika I. protokol č.

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita Provozně ekonomická fakulta. Výpočet charakteristik ze tříděných údajů Statistika I. protokol č. Mendelova zemědělsá a lesnicá univerzita Provozně eonomicá faulta Výpočet charateristi ze tříděných údajů Statistia I. protool č. 2 Jan Grmela, 2. roční, Eonomicá informatia Zadání 130810, supina Středa

Více

Mann-Whitney U-test. Znaménkový test. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

Mann-Whitney U-test. Znaménkový test. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek 10. Neparametrické y Mann-Whitney U- Wilcoxonův Znaménkový Shrnutí statistických ů Typ srovnání Nulová hypotéza Parametrický Neparametrický 1 skupina dat vs. etalon Střední hodnota je rovna hodnotě etalonu.

Více

Statistika. Testování hypotéz - statistická indukce Parametrické testy. Roman Biskup

Statistika. Testování hypotéz - statistická indukce Parametrické testy. Roman Biskup Statistika Testování hypotéz - statistická indukce Parametrické testy Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 1. února 01 Statistika by Birom

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáša 02 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Náhodné veličiny Záladní definice Nechť je dán pravděpodobnostní prostor

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 1

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 1 PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrické testy hypotéz čast 1 Neparametrické testy hypotéz - úvod Neparametrické testy statistických hypotéz se používají v případech, kdy neznáme rozdělení pozorované

Více

Analýza rozptylu. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Analýza rozptylu. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel Analýza rozptylu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO Brno) Analýza rozptylu 1 / 30 Analýza

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 7. Testování statistických hypotéz Mgr. David Fiedor 30. března 2015 Osnova 1 2 3 Dělení testů parametrické - o parametrech rozdělení základního souboru (průměr, rozptyl,

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68

marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Statistika B (151-0303) Marek Pomp ZS 2014 marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Cvičení: Pavlína Kuráňová & Marek Pomp Podmínky pro úspěšné ukončení zápočet 45 bodů, min. 23 bodů, dvě zápočtové

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Návod na vypracování semestrálního projektu

Návod na vypracování semestrálního projektu Návod na vypracování semestrálního projektu Následující dokument má charakter doporučení. Není závazný, je pouze návodem pro studenty, kteří si nejsou jisti výběrem dat, volbou metod a formou zpracování

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Statistika. Testování hypotéz statistická indukce Neparametrické testy. Roman Biskup

Statistika. Testování hypotéz statistická indukce Neparametrické testy. Roman Biskup Statistika Testování hypotéz statistická indukce Neparametrické testy Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika by

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) . Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 Opakování t- vs. neparametrické Wilcoxonův jednovýběrový test Opakování

Více

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení

SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční

Více

Základní statistické metody v rizikovém inženýrství

Základní statistické metody v rizikovém inženýrství Základní statistické metody v rizikovém inženýrství Petr Misák Ústav stavebního zkušebnictví Fakulta stavební, VUT v Brně misak.p@fce.vutbr.cz Základní pojmy Jev souhrn skutečností zobrazujících ucelenou

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

Cvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 8 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Centrální limitní věta Laplaceho věta (+ korekce na spojitost) Konfidenční intervaly

Více

Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013

Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013 Testy Pavel Provinský 19. listopadu 2013 Test a intervalový odhad Testy a intervalové odhady - jsou vlastně to samé. Jiný je jen úhel pohledu. Lze přecházet od jednoho k druhému. Například: Při odvozování

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Budeme předpokládat, že X a Y jsou kvalitativní náhodné veličiny, obor hodnot X obsahuje r hodnot (kategorií,

Více

Deskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability

Deskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability Deskriptivní statistické metody II. Míry polohy Míry variability Jana Vránová, 3.lékařská fakulta UK, Praha Náhodný výběr všechny prvky výběru {x i }, i = 1, 2,, n, se chápou jako náhodné veličiny, které

Více

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman

Více

pravděpodobnosti, popisné statistiky

pravděpodobnosti, popisné statistiky 6. Modelová rozdělení pravděpodobnosti, popisné statistiky Rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení jako statistický model Přehled a aplikace modelových rozdělení Popisné statistiky Anotace Klasickým

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n

Více