1. Matematická analýza definice (MP leden 2010)

Transkript

1 1. Matematická analýza definice (MP leden 2010) Základní pojmy a definice 1. Definujte metrický prostor, otevřené a uzavřené množiny, hraniční bod množiny. Metrickýprostor jedvojice(m, d),kde M jemnožinabodů a d:m M Rfunkcedvouproměnnýchzvanámetrika, která splňuje 3 axiomy: 1) d(x, y)=0 x=y 2) d(x, y)=d(y, x) 3) d(x, y) d(x, z)+d(z, y) Buď(M, d)metrickýprostor, a Ma r >0reálnéčíslo.Pak otevřenákoulesestředemvaapoloměrem rje B(a, r)={x M d(a, x) < r}. Utevřenákoulesestředemvaapoloměrem rje B(a, r)={x M d(a, x) r}. Množina X Mjeotevřená,pokud a X r >0 : B(a, r) X. Množina X M jeuzavřená,pokudjejídoplněk M \ Xje otevřená množina. Bod a M jehraničníbodmnožiny X M,pokudkaždé okolíbodu a(otevřenámnožinavmobsahujícíbod a)protíná Xi M \ X. 2. Definujte limitní bod množiny, izolovaný bod množiny, uzávěr množiny. Bod a Mjelimitníbodmnožiny X M,pokudkaždéjeho okolí U má nekončný průnik s množinou X(neboli množina U Xjenekonečná). Bod a Mjeizolovanýbodmnožiny X M,pokudexistuje okolí U,že U X= {a}. Uzávěrmnožiny X Mjemnožina X= {a M a= lim n a npronějakou(a n ) X}. Jetoprávěmnožina X limitníbody X. 1

2 3. Definujte spojité zobrazení mezi metrickými prostory a homeomorfismus. Nechť(M 1, d 1 )a(m 2, d 2 )jsoumetricképrostoryaf: M 1 M 2 jezobrazenímezinimi.pak fjespojitévbodě a M 1, jestliže ε >0 δ >0 d 1 (x, a) < δ d 2 (f(x), f(a)) < ε. Zobrazení f je spojité, když je spojité v každém bodu prostoru M 1. Heinehodefinicespojitosti fv a: fjespojitéva ( ) (a n )(lim a n= aa n a n a) (lim f(a n)=f(a)). n n Bijekce f: M 1 M 2 mezimetrickýmiprostoryjehomeomorfismus,kdyžzobrazení fiinverznízobrazení f 1 jsouspojitá. Pokud taková bijekce existuje, oba metrické prostory jsou homeomorfní. 4. Podejte obě definice kompaktního metrického prostoru, resp. kompaktní množiny v metrickém prostoru. Metrický prostor je kompaktní, když má každá posloupnost bodů(a n ) Mkonvergentnípodposloupnost. Množina X M jekompaktní,kdyžjepodprostor(x, d)s indukovanou metrikou kompaktní.(neboli každá posloupnost bodů(a n ) Xmákonvergentnípodposloupnostslimitouv X. Množina v metrickém prostoru je kompaktní, právě když je topologicky kompaktní. Množina X M jetopologickykompaktní,kdyžkaždéjejí otevřené pokrytí má konečné podpokrytí. Promnožinu Xnazvemesystémmnožin {O i i I}vMjejím otevřenýmpokrytím,kdyžjsouvšechnymnožiny O i otevřené a X i I O i. Konečnépokrytíjekonečnýsystém {O j j J},kde J I jekonečnáakterýpokrývá X. 5. Definujte úplný metrický prostor a kontrahující zobrazení mezi metrickými prostory. Metrický prostor(m, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Posloupnostbodů(a n )vmjecauchyovská,když ε >0 n 0 N : m, n > n 0 a m a n < ε. 2

3 Zobrazení f : M M metrickéhoprostoru(m, d)samado sebe je kontrahující, když pro nějaké číslo q R splňující 0 < q <1prokaždédvabody x, y Mplatí d(f(x), f(y)) q d(x, y). Pevnýmbodemzobrazení fmnožiny Xsamadoseberozumímebod a X,že f(a)=a. Posloupnostbodů(x n ) Xjeposloupnostiteracízobrazení f: X X,kdyžpro,2,...platí,že x n+1 = f(x n )ax 1 jelibovolnýbodzx. 6. Vysvětlete typy konvergence posloupností a řad funkcí. Posloupnostfunkcí(f n )bodověkonvergujekfunkci fna M kdyžprokaždé x Mplatí Neboli f n fna M, lim f n(x)=f(x). n ε >0 x M n 0 N : n > n 0 f n (x) f(x) < ε. Posloupnostfunkcí(f n )stejnoměrněkonvergujek fna M když f n fna M, ε >0 n 0 N : n > n 0, x M f n (x) f)x) < ε. Posloupnostfunkcí(f n )lokálněstejnoměrněkonverguje k f na M loc {}}{ f n fna M, kdyžkaždé x Mmáokolí U=(x δ, x+δ)(kde δmůže závisetna x),že f n fna U M. Mějmeprofunkce f n : M Rnekonečnouřadu 3 f n

4 funkcí definovanou jako posloupnost částečných součtů (s n )=(f 1, f 1 + f 2, f 1 + f 2 + f 3,...). Řadabodově konvergujena M,když(s n ) fna M. f n fna M Řadastejnoměrněkonvergujena M,když(s n ) fna M. f n fna M {}}{ Řadalokálněstejnoměrněkonvergujena M,když(s n ) f na M. loc {}}{ f n fna M loc 7. Definujte mocninnou řadu a poloměr konvergence(v reálném oboru). Mocninnou řadou rozumíme nekonečnou řadu funkcí a n (x x 0 ) n. n=0 Čísla s n Rjsoukoeficientyačíslo x 0 Rjestředmocninné řad.projednoduchostseomezmenařadysestředemvnule. Poloměrkonvergencemocninnéřady n=0 a nx n ječíslo R [0, ) {+ }definované R= 1. limsup n a n 1 n Interval( R, R) se nazývá interval konvergence. 4

5 8. Definujte trigonometrickou řadu, Fourierovy koeficienty funkce a Fourierovu řadu funkce. Trigonometrickou řadou rozumíme nekonečnou řadu funkcí a (a n cos(nx)+b n sin(nx)), n=0 kde a 0, a 1,...ab 1, b 2,...jsoupevnědanéreálnékoeficientya x je reálná proměnná. Fourierovy koeficienty a 0,... a b 1,...funkce f R[ π, π] (tzn. Riemannovsky integrovatelné na[ π, π]) jsou definovány a n = < f,cos(nx) > π = 1 π π π f(x)cos(nx)dx, pro n=0,1,2,... b n = < f,sin(nx) > π = 1 π π π f(x)sin(nx)dx, pro,2,3,.... Fourierovou řadou funkce f R[ π, π] rozumíme trigonometrickouřadu,jejížkoeficienty a n a b n jsourovnyfourierovým koeficientům funkce f. 9. Vysvětlete pojem po částech hladké funkce. Funkce f:[a, b] Rjenaintervalu[a, b]počástechhladká, kdyžexistujekonečnámnožina A [a, b]taková,že fmána množině[a, b] \ Aspojitouprvníderivaci f avkaždémbodu a Amá fijejíderivace f jednostrannélimity. Jednostranné limity označme lim x a + f(x)=f(a+0) a lim x a f(x)=f(a 0). Neboli f jena[a, b]počástechhladká,kdyžexistujedělení a=a 0 < a 1 < a 2 <... < a k = bintervalu[a, b]takové,že f mánakaždémintervalu(a i, a i+1 )spojitouprvníderivaci(i f je na tomto intervalu tedy spojitá) a v dělících bodech existují vlastníjednostrannélimity f(a i +0), f(a i 0), f (a i +0), f (a i 0).(Existenceprvníchdvouplynezdruhýchdvoua Lagrangovy věty o střední hodnotě.) Pokudje fpočástechhladkána[a, b],takjejífourierovařada bodově konverguje. V bodech spojitosti konverguje k funkční hodnotěavdělícíchbodech a i karitmetickémprůměrujednostranných limit. 5

6 10. Definujte holomorfní funkci a analytickou funkci. Nechť z 0 X C,množina Xjeotevřenáaf: X C.Má-li fv z 0 derivaci,řekneme,žefunkce fjeholomorfnívbodě z 0. Má-li fderivacivkaždémboděmnožiny X,řekneme,že fje holomorfní na množině X. CeláčicelistváfunkcejefunkceholomorfnínacelémC. Množinu D(z 0, R)={z C z z 0 < R}nazývámediskem konvergencemocninnéřady M.Jetootevřenýkruhsestředem v z 0 apoloměrem R. Nechť z 0 X Csotevřenoumnožinou Xa f : X C. Kdyžexistuje r > 0,že D(z 0, r) X a f sedánadisku D(z 0, r)vyjádřitmocninnouřadousestředemvz 0,řeknemě, že fjeanalytickána X. Kdyžseprokaždé z 0 Xakaždétakové r >0,že D(z 0, r) X,dá fvyjádřitnadisku D(z 0, r)mocninnouřadousestředemvz 0,řekneme,že fjeglobálněanalytická. 11. Definujte pojem holomorfního rozšíření a singularity. Jsou-li X Y Cdvěotevřenémnožinyaf: X C, g: Y Cholomorfnífunkcesplňující f(x)=g(x)prokaždé x X,řekneme,že gjeholomorfnírozšířenífunkce f (na množinu Y). Nechť z(z)= n 0 a nz n mápoloměrkonvergence R,že0< R <+ tak,že f: D(0, R) Cjeholomorfnífunkce.Řekneme,žebod u Cnakonvergenčníkružnici,tj. u =R,je singularita funkce f, když neexistuje holomorfní rozšíření f na žádné jeho okolí. Tojest,prožádné δ >0neexistujeholomrfnírozšíření f z D(0, R)na D(0, R) D(u, δ). 6