Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A

Transkript

1 Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 1MF varianta A tvrtek 19. listopadu 215, 13:215:2 ➊ (5 bod ) Nech f (x), g(x) L 1 () a f (x) dx = A, x f (x) dx = µ, Vypo ítejte, emu se rovná z( f g)(z) dz. g(x) dx = B, xg(x) dx = ν. ➋ (1 bod ) x φ(x) = µ xy φ(y) dy + x. ➌ (4 body) Nech posloupnost (φ k ( x)) k=1 konverguje podle normy v Banachov prostoru C σ(j) k nulové funkci. Dokaºte, ºe pak φ k ( x) J. V d kaze komentujte, pro by tvrzení neplatilo, kdyby J nebyla kompaktní mnoºina. ➍ (11 bod ) 3x 2 2 f x 2 + 2xy 2 f x y y2 2 f y 2 4y f y =. ➎ (4 body) Vypo ítejte konvoluci Θ(x)x m e x, kde m N. ➏ (6 bod ) Na posloupnosti se leny ( x + 2 g n (x) = 7 demonstrujte, ºe operátor ˆL = d dx není omezený ani spojitý v L 2( 2, 5). ) n

2 Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 1MF varianta B tvrtek 19. listopadu 215, 13:215:2 ➊ (1 bod ) x 2 u x 2 x3 y 2 2 u y 2 u x x3 y u y = 4x3 y 4. ➋ (4 body) Na posloupnosti se leny g n (x) = e nx2 demonstrujte, ºe i posloupnost, která stejnom rn nekonverguje na m ºe konvergovat podle normy na L 2 (). ➌ (5 bod ) Dokaºte, ºe konverguje-li posloupnost (φ k ( x)) k=1 na G stejnom rn k nulové funkci, kde µ(g) <, pak také konverguje podle normy v L (w) 2 (G). V d kaze vysv tlete, jaký zádadní p edpoklad o váze w( x) je t eba u init a pro. ➍ (5 bod ) Vypo ítejte konvoluci x 2 e 4x2. ➎ (1 bod ) x φ(x) = µ xy φ(y) dy + x. ➏ (6 bod ) Nech Ŝ : H H je operátor s ist bodovým spektrem, (λ 1, λ 2, λ 3,...) jeho unfoldované spektrum a B = {φ 1 (x), φ 2 (x), φ 3 (x),...} p íslu²ná operátorová báze. Odvo te univerzální formule pro hodnoty a) Ŝ ( f ) Ŝ (g), b) Ŝ ( f ) platné pro libovolné funkce f (x), g(x) H. V jejich tvaru uºijte Fourierovy koecienty. Ve výpo tu komentujte kaºdou vlastnost, jíº vyuºíváte!

3 Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 1MF varianta C st eda 2. prosince 215, 15:217:2 ➊ (1 bod ) x 2 2 u x 2 y2 2 u y 2 3x u x + 3y u y + 8x3 y 5 =. ➋ (6 bod ) Nalezn te spektrum operátoru Ĥ := (2x + y)e (x+y) dy. ➌ (4 body) Podle denice ukaºte, ºe operátor ˆL = x 3 je na L 2 ( 1, 2) omezený. Jakou nejmen²í hodnotu omezující meze ( íslo z denice omezenosti operátoru) lze v tomto p íklad zvolit? ➍ (5 bod ) Vypo ítejte konvoluci x 2 e 2x2 e 2x2. ➎ (1 bod ) x φ(x) = µ x 3 y 3 φ(y) dy + x 3. ➏ (5 bod ) Nech f (x), g(x) jsou hustoty a x f (x) dx = µ 1, xg(x) dx = µ 2, Vypo ítejte, emu se rovná z2 ( f g)(z) dz. x 2 f (x) dx = ω 1, x 2 g(x) dx = ω 2.

4 Zápo tová písemná práce. 2 z p edm tu 1MF varianta A pond lí 11. ledna 216, 9:11: ➊ (7 bod ) Nech a, b > jsou pevn zvolené parametry. Nalezn te fundamentální e²ení operátoru v prostoru D ( 1+1 ). ˆL = t a2 2 x 2 + b x. ➋ (9 bod ) V prostoru dvojrozm rných zobecn ných funkcí vypo ítejte limitu lim Θ(x, n + y)n4 (x 2 + y 2 )e n2 (x 2 +y 2). ➌ (9 bod ) Uºitím vlastností Laplaceovy transformace vypo ítejte integrál sin 2 (βx) cos 2 (βx) x 2 dx. ➍ (6 bod ) Dokaºte, ºe konverguje-li posloupnost funkcí ( f k ) k=1 z prostoru S (E r ) k funkci f S (E r ), pak pro libovolný multiindex α N r platí rovnost lim D α F[ f k ] = D α F[ f ]. k Tvrzení nejprve dokazujte pro nulový multiindex, poté pro multiindex libovolný. K d kazu uºijte pouze denici konvergence v S (E r ) a denici Fourierovy transformace. ➎ (9 bod ) Laplaceovou transformací e²te integrodiferenciální rovnici x y + y 1 y(ξ) dξ = x 5x 2 3, y() = & y () = 4. Numerické chyby v tomto p íklad se netolerují!

5 Zápo tová písemná práce. 2 z p edm tu 1MF varianta B tvrtek 14. ledna 216, 9:11: ➊ (6 bod ) Aplikací Fourierovy transformace vypo t te konvoluci 1 e (x µ1)2 2σ 2 1 2πσ1 1 e (x µ2)2 2σ πσ2 ➋ (1 bod ) Aplikací základní v ty o e²ení diferenciální rovnice e²te ( u 2 ) t u a2 x u y 2 + b u(x, y, t) = (a >, b > ) za podmínky u(x, y, ) = x + y. ➌ (9 bod ) Nech je zadán parametrický systém t ídimenzionálních zobecn ných funkcí f ε D (E 3 ), jejichº generátorem je funkce ε f ε ( x) = (ε 2 + x 2 ) 2. Vypo t te limitu lim ε + f ε ve t íd D (E 3 ). ➍ (8 bod ) Za pomocí Laplaceovy transformace nalezn te funkci y(t), jeº e²í oby ejnou diferenciální rovnici a vyhovuje podmínkám y() =, ẏ() = 3 a ÿ() = 8. d 3 y dt 3 y 5d2 dt 2 + 9dy 5y = 4et dt ➎ (7 bod ) Nech pro funkci f (x) : platí, ºe f (x) C 1 (, a), f (x) C 1 (a, b), f (x) C 1 (b, ), kde < a < b <. Nech f D je zobecn ná funkce, jejímº generátorem je funkce f (x). Vyslovte tvrzení o derivaci funkce f v D () a tvrzení poté korektn dokaºte.