CO JE OBECNÁ TEORIE RELATIVITY
|
|
- Magdalena Veselá
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 CO JE OBECNÁ TEORIE RELATIVITY Prof.RNDr.Jan HorskýDrSc ÚVOD Gravitace je snad tou nejtajemnější fyzální interakcí.rozhodně nehraje roli Popelky rozhodně není popsána jedinou skalární funkcí jak tomu je v Newtonově teorii ravitace.díky Einsteinově teorii ravitace (obecné teorii relativity) vímeže ravitace přímo vyžaduje ke svému popisu hned deset funkcí z Popelky se tak stala královna.v této části třídílného námětu podáme přístupný výklad této teorie. Druhý příspěvek ponese název Observační testy obecné teorie relativity příspěvek třetí a poslední se bude jmenovat Aplace obecné teorie relativity.tím umožníme talentovaným středoškolským zájemcům získat o soudobé ravitační fyzice serioznější informace než jsou uváděny v řadě populárních knihách či článcích. Je samozřejmě věcí názoru co všechno by dnešní schopný a talentovaný student na střední škole o obecné teorii relativity měl vědět.nezvratným faktem ovšem zůstáváže je to právě moderní fyzakterá je pro studenty (a nejen pro ně) velmi přitažlivá a silně motivující. PRINCIP LOKÁLNÍ EKVIVALENCE Bude-li se například v homoenním ravitačním poli nacházet matematické kyvadlo nesoucí setrvačnou hmotu m a budou-li nás zajímat jeho malé kmitypak z Newtonových pohybových rovnic pro dobu kyvu T tohoto kyvadla obdržíme vztah T = π M m l kde l značí délku kyvadla je intensita ravitačního pole v odpovídajícím bodě a kde M značí těžkou ravitační hmotu kyvadla. Dobu kyvu našeho kyvadla lze ovšem měřit a druhy hmoty (látky) zavěšené na konci kyvadla mohou být měněny.jednou půjde například o dřevojindy třeba o měď. Kdyby poměr hmoty těžké a setrvačné závisel na druhu hmoty (byl například různý pro dřevo či měď) byla by různá doba kyvu našeho kyvadla pro obě látky.existuje tedy krásná možnost měření a té si byl Newton vědom.i když přesnost jeho měření nebyla vysoká (uvádí seže poměr obou hmot byl u něho roven jedné s přesností kolem 0-3 ) přesnost následujících měření se zvyšovala a postupně do učebnic přešlo něco jako samozřejméže poměr obou hmot je roven jedné že hmota těžká (ravitační) je rovna hmotě setrvačné.experimenty z roku 996 uvádíže poměr obou hmot je roven jedné již s přesností 0-3.! Einstein se snažilzhruba od roku 907 do speciální teorie relativity zavést i ravitaciani on však tento problém řešit nedokázal.teprve jeho úvahydnes obvykle spojované termínem Einsteinův výtahmu poskytly pevnou půdu pro vytvoření nové teorie ravitaceobecné teorie relativity(95).představme si výtahkterý se v inerciální soustavě S pohybuje například s konstantním zrychlením podél kladné osy z. A nyní si představme tentýž výtah ale nacházející se v homoenním ravitačním poli o intensitě směřující do osy z. Napíšeme-li pohybové Newtonovy rovnice popisující mechanické procesy a to v obou soustavách zjistímeže jsou stejné bude-li platitže hmota těžká je rovna hmotě setrvačné.vypadá to tedy takjako bychom mohli vliv ravitačního pole odstranit přechodem k volně padající inerciální soustavě.
2 Gravitační pole reálných těles však homoenní není.v takovém případě lze předchozí závěry považovat za platné jen v malých prostorových oblastech a v krátkých časových intervalech takovýchže v nich lze ravitační pole za homoenní považovat.lze tedy vyslovit tvrzení mající plně vlastnosti fyzálního principu: V malém okolí každého prostoročasového bodu lze zavést lokálně inerciální systémve kterém platí fyzální zákony jako v.inerciálních systémech speciální teorie relativity. A hovoří se o Einsteinově principu lokální ekvivalence. Z uvedeného je patrnože rovnost hmoty těžké a setrvačné je již důsledkem vyřčeného principu. Kdybychom důsledek Einsteinova principu lokální ekvivalence převedli do matematického jazyka zjistili bychom následující fakt: Čtverec ds intervalu mezi dvěma blízkými prostoročasovými událostmi majícími souřadnice x i a x i +dx i (indexy latinské abecedy nabývají hodnot 03) je dán mnohem složitějším výrazem než na jaký jsme zvyklí ze speciální teorie relativity kdy můžeme psát ds = c dt dx dy dz. Obdrželi bychomže platí ds = i = 3 k = 3 i= 0 k = 0 m ( x ) i dx dx k. Ve shodě s Einsteinem budeme považovat tak zvané metrické koeficienty (funkce) za veličiny v indexech ik symetrickénezávislých metrických koeficientů bude tedy deset. V dalším textu přijmeme i druhou část Einsteinovy sumační symbolybudou-li se indexy v libovolném výrazu vyskytovat dvakrát a budou-li se nacházet v pozicích nahoře-dole znamená tože se v tomto výrazu sčítá přes všechny jejich možné hodnotytj.od 0 do 3.Sumační znaky se poté již nemusí psátnapříklad tedy bude ds = m i ( x ) dx dx. k V Einsteinově teorii ravitace je tudíž závěrem řečeno ravitační pole popsáno deseti funkcemi (x m ) závisejícími na prostoročasových souřadnicích.o matematické obecnosti a jiných vlastnostech metrických koeficientů hovořit nebudeme. OBECNÝ PRINCIP RELATIVITY Speciální princip relativity tvrdíjak vímeže zákony přírody musí mít stejný tvar po provedení Lorentzovy transformace.ve shodě s Einsteinem se však můžeme ptátcože je přírodě do souřadnicových systémůkteré jsme zavedli my a do jejich pohybových stavů? Einsteinova odpověď na tuto suestivní otázku je velmi prostá:zákony přírody musí být vyjádřené ve formě (ve tvaru)který se nezmění po provedení transformace prostoročasových souřadnic vyjadřujících přechod k nejrůznějším souřadnicovým soustavám.takovou transformaci lze zapsat v obecném tvaru i i x = x m ( x ) a budeme předpokládatže existuje i transformace inversní.
3 Nechť S značí nějakou obecnou souřadnicovou soustavu (nemusí to tedy být soustava inerciální) a nechť A B C značí soubor měřitelných (fyzálních) veličin.zákon přírody lze v S napsat jednou či více rovnicemi typu A B F A B = 0 i k x x kde F je nějaká funkce fyzálních veličin A B a jejich parciálních derivací.v jiné obecné soustavětřeba v S se souřadnicemi x i najdeme v procesu měření jiné hodnoty fyzálních veličin označíme je jako A B.Obecný princip relativity požadujeaby platilo F = F. Poznačmeže mezi fyzální veličiny AB patří i metrické koeficienty (x l ). Sluší se v závěru konstatovatže matematové vypracovali mocný a obdivuhodný aparát který dovoluje automaticky zajistit splnění obecného principu relativity.jedná se o tensorový počet Tím se však nyní zabývat nebudeme. EINSTEINOVY GRAVITAČNI ROVNICE V každé fyzální teorii existují rovnice mající charakter zcela fundamentálních rovnic.pokud by nás zajímal pohyb částice v ravitačním poli je třeba k fundamentálním rovnicím pole nezávisle dodat stejně fundamentální pohybové rovnice těchto částic v tomto poli.v Newtonově ravitační teorii by tak šlo o tzv.poissonovu diferenciální rovnici tvaru Δ φ = 4πGρ kde Δ značí tzv.laplaceův operátor ρ je hustota hmoty budící ravitační pole ϕ a G je Newtonova ravitační konstanta.k této rovnici se pak dodá pohybová rovnice částicekterou vypisovat jistě není třeba.zadáme-li rozložení hustoty hmoty pak řešením rovnice pole (po přidání hraničních podmínek) získáme ravitační potenciál φ.aplací operace radientu na funkci φ obdržíme sílukterou ravitační pole na uvažovanou zkušební částici působítuto sílu dosadíme do pravé strany Newtonových pohybových rovnic.řešení těchto rovnic již vede k nalezení trajektorie této částice. Protože ravitační pole není popsáno jedinou funkci ale hned deseti metrickými funkcemi (x m ) a protože Newtonovy pohybové rovnice mění svůj tvar po provedení výše uvedené obecné transformace souřadnic situace se Einsteinovi silně zkomplovala.pracoval na řešení právě tohoto problému přibližně od roku 907 do roku 95! Abychom mohli tyto rovnice pro funkce (x m ) napsatmusíme si nejdříve řícičím vším se musí rozložení hmoty relativisticky korektně charakterizovat.především je to samozřejmě hustota hmoty ρ bude to tlak ve hmotě napětí ve hmotě rychlost hmoty hustota toku hybnosti a hustota toku enerie hmoty.pochopit to není vůbec složitéstačí si uvědomitže každé enerii odpovídá hmota a každá hmota budí ravitační pole.relativistický hmotný zdroj je tak popsán deseti nezávislými veličinami (funkcemi) které se značí jako T (x m )přičemž je takovýto výraz v indexech ik symetrický.. Relativista by tyto veličiny nazval symetrickým tensorem enerie a hybnosti. Podrobnosti opět necháme stranou. Je přirozené požadovat aby na pravé straně hledaných fundamentálních rovnic stál člen úměrný veličinám T (x m ).Na levé straně bude stát výraz dosud sice neznámýavšak obsahující 3
4 nejvýše druhé parciální derivace metrických koeficientů (x m ).Ale pozormusíme si uvědomitže žádné fundamentální rovnice fyzální teorie nelze odvoditlze je jen postulovat a poté ověřovat jejich platnost. Efektivně nám může pomoci variační princip extrémálnosti akce i jiné rozvahy postupně omezující velmi obecný tvar levé strany hledaných rovnic.po strastiplné cestě zjistímeže hledané základní rovnice mají tvar R R + Λ = κt kde Λ značí tak zvanou kosmoloickou konstantu. Deset funkcí R a jedna funkce R (nesoucí název Ricciho tensor křivosti a Ricciho křivost) závisí již konkrétním způsobem na metrických koeficientechna jejich prvních a druhých parciálních derivacích. Konkrétní tvar funkční závislosti vypisovat nebudeme.konstanta 8πG κ = 4 c je tak zvaná Einsteinova ravitační konstanta.uvedená velost Einsteinovy ravitační konstanty plyne z požadavkuaby pro slabá ravitační pole přešla Einsteinova teorie ravitace v Newtonovu teorii ravitace.to je konkrétním vyjádřením principu korespondence.předchozí rovnice se nazývají (úplnými) Einsteinovými rovnicemi nebo též jeho ravitačním zákonem a splňují obecný princip relativity. Především uveďmeže jde o soustavu deseti parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu a to rovnic nelineárních. Nebude tedy platit princip superposicenajdeme-linapříkladdvě jejich řešení nebude jejich součet opět řešením.na první pohled je patrnéže bude nutné mít k disposici efektivní metody k jejich řešení.ať jde o řešení exaktní či o řešení aproximativní. Řešit Einsteinovy ravitační rovnice znamená zadat rozložení hmoty (jakožto zdroje ravitačního pole)napsat levé strany a získaný systém rovnic řešit.je téměř evidentníže k těmto rovnicím musí být přidána jedna nebo více stavových rovnic které konkretizují typ hmoty. V závěru poznačmeže veličiny R konkrétně souvisí s komponentami tzv.riemannova tensoru křivosti a ten již přesně popisuje zakřivení prostoročasu.jsou-li napříkladvšechny komponenty Riemannova tensoru rovny nule v každém bodě prostoročasupak je prostoročas plochý (nezakřivený)je to prostoročas speciální teorie relativity POHYB ČÁSTIC V GRAVITAČNÍM POLI Jak jsme poznačili výšek rovnicím pole musíme dodat pohybové rovnice částic (těles)které se v tomto poli pohybují. Psát o obecně relativistických pohybových rovnicích je složité i v seriozních učebnicíchje to dáno komplací samotné problematy.náš výklad je proto značně zjednodušený. V ravitačním poli nechť se pohybuje volná zkušební částice.pokud by náš prostoročas byl prostoročasem STR a v něm jsme užívali pseudokartézkých souřadnicbyl by pohyb x i =x i (s) naší volné částice určen rovnicemi 4
5 d x ds i = 0. Poznačmeže částicí rozumíme i fotonv tomto případě ovšem nemůžeme za parametr vzít ani veličinu s ani vlastní časvezmeme prostě parametr jiný. Z hlediska eometrie jde patrně o rovnici přímky.einstein si všimnul tohože vlastnost takovéto křivky extrémálnost její délkymůže být skvěle využita k řešení nalezení pohybových rovnic pro volnou testovací částici nacházející se v ravitačním poli.v diferenciální eometrii se obecně křivky mající extrémální vlastnosti své délky nazývají eodetami.od předchozí rovnice se liší tímže se na levou stranu přidá ještě jeden člen.ten obsahuje první derivace metrického tensoruv inerciálních systémech v běžných (pseudokartézkých) souřadnicích vymizí.rovnice eodety jsou pohybovými rovnicemi hmotného bodu pohybujícího se v ravitačním poli. Jde-li o obecně relativistické pohybové rovnice v případěže hmota je rozložena spojitěsituace vyžaduje složitější úvahy.takovou hmotujak už vímepopíšeme deseti funkcemi T symetrickým tensorem enerie a hybnosti.ze STR vímeže pohybové rovnice této hmoty mají tvar T x k T k = 0. Čárkou jsme vyjádřili parciální derivaci podle konkrétní souřadnice. To jsou čtyři rovniceposlední tři vyjadřují vlastní tři pohybové rovnice a rovnice první je rovnicí zákona zachování hmoty.uvedené rovnice nesplňují obecný princip relativity a aby tomu tak bylomusíme zobecnit na zakřivené prostoročasy pojem parciální derivace.jde to.vytvoří se pojem kovariantní derivace.není to nic tak složitéhok parciálním derivacím se prostě přidají dva členyoba jsou vytvořeny derivacemi metrických koeficientů.místo vyznačení čárkou pro parciální derivaci se vyznačí středníkem takže taková obecně relativistická pohybová rovnice má tvar T ; k = 0. Můžete si říciže jsme se k této rovnici dostali dosti složitou cestou.bylo to ale záměrněabychom si mohli vychutnat ten další podstatný rozdíl.když se totiž zadíváme na levou stranu Einsteinových ravitačních rovnic z matematického hlediskazjistímeže kovariantní derivace levé strany je rovna nule identicky musí tudíž být rovna nule i kovariantní derivace pravé stranytj.musí platit předchozí rovnice! To je ona další a podstatná novinka.v OTR tedy nepřidáváme k pohybovým rovnicím pole zvlašť pohybové rovnice hmotykterá toto pole budí.prof.wheeler to krásně formuluje tvrzenímže hmota říká prostoru jak se má zakřivovat a prostor říká hmotě jak se v něm má pohybovat! LINEÁRNÍ PŘIBLÍŽENÍ O slabém ravitačním poli jsme se zmíniliale jen velmi letmo.vzhledem k důležitosti výsledného obecného tvaru Einsteinových ravitačních rovnic v tak zvané lineární aproximaci je potřeba se touto aproximací alespoň trochu zabývat. 5
6 Vyjdeme z předpokladuže v prostoročasu existuje metrakterá je blízká Minkowského metrice η známé ze speciální teorie relativity a že tedy můžeme psát = η + h (x m ) h <<. Budeme předpokládat že nejenom všechny veličiny h jsou malé ve srovnání s jedničkouale v lineární aproximaci budeme za malé považovat také lineární členy v derivacích.pro jednoduchost položíme kosmoloickou konstantu rovnou nule její hodnota je vskutku dnes nepatrná. V kosmoloii je ovšem velmi důležitá.my se k ní protove druhém a ve třetím příspěvku této série vrátíme. Napsat linearizované Einsteinovy ravitační rovnice vyžaduje ne těžký ale zdlouhavý výpočet. Půjde-li nám o linearizované Einsteinovy ravitační rovnice v oblastechkde jepřivede zmíněný výpočet k jejich kouzelnému tvaru Δh c h t = 0. a to je již z elektrodynamy známá vlnová rovnice.naše slabé ravitační pole se tedy obecně řečenomůže šířit ve tvaru ravitačních vln! To je problemata zcela dnešníexperimentálně a teoreticky nesmírně závažná a složitá.my se k ní protosamozřejměmusíme vrátit a vrátíme se. SCHWARZSCHILDOVO ŘEŠENÍ Každé exaktní řešení Einsteinových ravitačních rovnic má svůj specifický půvab i důležitost. Taková řešení v sobě totiž obsahují samu podstatu nelineárnosti této teorie.a nelineárnost fundamentálních rovnic jekromě jinéhoi velmi důležitou jak ve vztahu k testovánítak v aplacích.a to nemluvím o hlubším chápání podstaty samotné teorie. Každý fyz víže k úspěšnému hledání exaktních řešení v konkrétní fyzální teorii leží úvodní užití předpokladu o symetrii úlohy.velmi jednoduchou symetrií je jistě symetrie rovinná či symetrie sférická.my si všimneme nyní (stručně a orientačně) nalezení exaktního a sféricky symetrického řešení Einsteinových ravitačních rovnic a to vně svého sféricky symetrického zdroje.mluví se o sféricky symetrickém exaktním vakuovém řešení Einsteinových ravitačních rovnic. Zaveďme prostorové sférické souřadnice r ϑ ϕ a označme x 0 =ct x =r x =ϑ x 3 =ϕ). Požadavek sférické symetrie vede k možnému startovacímu tvaru pro interval ν λ ds = e c dt e dr r ( dϑ + sin ϑdϕ ). Funkce ν(rt) a λ(rt) jsou zatím neurčené.položmejak jsme řeklipro jednoduchost kosmoloickou konstantu Λ položíme rovnu nule a budiž T = 0.Zdlouhavý výpočet ale velmi rychlýsvěříme-li jej počítačinám ukážeže nezávislé Einsteinovy ravitační rovnice mají tvar e λ ν + r r r = 0 6
7 e λ λ r r + r = 0. λ = 0 kde tečka značí derivaci podle času a čárka derivaci podle r.po jisté úpravě lze ukázatže řešení těchto rovnic lze psát ve tvaru e λ = e ν C = + r kde C je interační konstanta.konstanta se určí z požadavkuaby ravitační pole daleko od svého zdroje vedlo k Newtonovu ravitačnímu zákonu.vyjdeže GM C =. c Výsledný tvar hledaného řešení Einsteinových ravitačních rovnic tedy je GM dr ds = c dt r ( dϑ sin ϑdϕ ). + c R GM c r Vakuové ravitační pole buzené naší sféricky symetrickou hmotou je tudíž plně určeno veličinami GM 00 = = 00 = r 33 = r sin ϑ. c r Tomuto exaktnímu řešení Einsteinových ravitačních rovnic se říká (vnější) Schwarzschildovo řešení pochází z roku 96 a hraje velmi význačnou roli. Na jednom a jediném případě jsme demonstrovali ten nejjednodušší a přímočarý postup hledání a nalezení exaktního řešení Einsteinových ravitačních rovnic.v následujících dvou částech naší triloie se postupům hledání potřebných řešení již nebudeme přímo věnovat vyjdeme z komentářů týkajících se toho či onoho exaktního řešení a poté je již budeme přímo rozebírat a aplovat. Druhá část naší triloie se budejak jsme uvedli v Úvodu zabývat observačními testy Obecné teorie relativity tedy problematou ležící ve středu velkého zájmu zdaleka ne jen fyzů LITERATURA Kuchař K.:Základy obecné teorie relativity.academia Praha 968 Horský J.:Úvod do teorie relativity.sntl Praha 976 7
3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky
3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -
VíceDvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
VíceEinstein, Georg Pick a matematika
Einstein, Georg Pick a matematika Georg Pick, matematik 10. srpen 1859 Wien 26. červenec 1942 Terezín Slavná Pickova věta! Inspiroval Alberta Einsteina ke studiu Riemannovy geometrie, Ricci a Lévi-Civitovy
VícePříklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání
Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Doporučujeme spočítat příklady za nejméně 30 bodů. http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.ps http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.pdf 1.
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceElektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r
Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory
Více5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole
5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5.1. Zadání úlohy 1. Určete velikost tíhového zrychlení pro Prahu reverzním kyvadlem.. Stanovte chybu měření tíhového zrychlení.
VíceKvantová mechanika bez prostoročasu
Natura 30. listopadu 2002 Kvantová mechanika bez prostoročasu zpracoval: Jiří Svršek 1 podle článku T. P. Singha Abstract Pravidla kvantové mechaniky pro svoji formulaci vyžadují časovou souřadnici. Pojem
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VíceDerivace goniometrických funkcí
Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí
VíceRychlost, zrychlení, tíhové zrychlení
Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete
Více1. Teoretická mechanika
1. Teoretická mechanika 16 Teoretická mechanika 1.1 Integrální principy mechaniky V teoretické mechanice se hojně používá Einsteinova sumační konvence, diferenciálu a Lagrangeova věta o přírůstku. Pokud
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceDynamika soustav hmotných bodů
Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy
Více2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2
Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VícePříklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.
Vícey ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
VíceLorentzova transformace a jednorozměrná vlnová rovnice
Lorentzova transformace a jednorozměrná vlnová rovnice Zadání 1. Určete infinitezimální generátor Lorentzovy transformace X = ξ x x, t) + ξt x, t) 1). Řešením systému obyčejných diferenciálních rovnic
Víceplochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na
Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností
VíceDiferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceSkalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceGyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2
Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu nabité částice v konfiguraci rovnoběžného konstantního vnějšího elektromagnetického pole 1 Popis problému Uvažujme pohyb nabité částice v E 3 v takové
VíceZměna koeficientů PDR při změně proměnných
Změna koeficientů PR při změně proměnných Oldřich Vlach oto pojednání doplňuje přednášku M. Šofera na téma Nalezení složek tenzoru napjatosti pro případ rovinné úlohy s povrchem zatíženým kontaktním tlakem
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceSubstituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
VícePočítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice. - laminární tok -
Počítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice - laminární tok - Základní pojmy 2 Tekutina nemá vlastní tvar působením nepatrných tečných sil se částice tekutiny snadno uvedou do pohybu (výjimka některé
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Vícealgoritmus»postup06«p e t r B y c z a n s k i Ú s t a v g e o n i k y A V
Hledání lokálního maxima funkce algoritmus»postup06«p e t r B y c z a n s k i Ú s t a v g e o n i k y A V Č R Abstrakt : Lokální maximum diferencovatelné funkce je hledáno postupnou změnou argumentu. V
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceMetoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012
Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Matematicko-statistická metoda používaná zejména při zpracování nepřesných dat (typicky experimentálních empirických
Více1/15. Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
1/15 Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu 2/15 Vsuvka: Vlastní čísla matic Definice: Bud A čtvercová matice a vektor h 0 splňující rovnici A h = λ h pro nějaké číslo λ R. Potom λ nazýváme
VíceProjekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky
Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................
VíceI. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace
VíceÚvod do analytické mechaniky
Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
Vícef x = f y j i y j x i y = f(x), y = f(y),
Cvičení 1 Definice δ ij, ε ijk, Einsteinovo sumační pravidlo, δ ii, ε ijk ε lmk. Cvičení 2 Štoll, Tolar: D3.55, D3.63 Cvičení 3 Zopakujte si větu o derivovování složené funkce více proměnných (chain rule).
VíceMěření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem
Úloha č. 3 Měření tíhového zrychlení matematickým a reverzním kyvadlem Úkoly měření: 1. Určete tíhové zrychlení pomocí reverzního a matematického kyvadla. Pro stanovení tíhového zrychlení, viz bod 1, měřte
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VícePohyby HB v některých význačných silových polích
Pohyby HB v některých význačných silových polích Pohyby HB Gravitační pole Gravitační pole v blízkém okolí Země tíhové pole Pohyb v gravitačním silovém poli Keplerova úloha (podrobné řešení na semináři)
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceKapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme
VíceKvadrát celková energie částice je dána součtem kvadrátu její kinetické energie a kvadrátu klidové energie v důsledku její hmotnosti,
Hmota ve vesmíru Kvadrát celková energie částice je dána součtem kvadrátu její kinetické energie a kvadrátu klidové energie v důsledku její hmotnosti, Ec 2 = m 2 0 c4 + p 2 c 2. Tento relativistický vztah
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
Více12 Trojný integrál - Transformace integrálů
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
Více1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.
1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
Víceρ = 0 (nepřítomnost volných nábojů)
Učební text k přednášce UFY Světlo v izotropním látkovém prostředí Maxwellovy rovnice v izotropním látkovém prostředí: B rot + D rot H ( r, t) div D ρ rt, ( ) div B a materiálové vztahy D ε pro dielektrika
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VícePotenciální proudění
Hydromechanické procesy Potenciální proudění + plíživé obtékání koule M. Jahoda Proudění tekutiny Pohyby elementu tekutiny 2 čas t čas t + dt obecný pohyb posunutí lineární deformace rotace úhlová deformace
Více8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
VíceAnalytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně
19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceKatedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus
Zkoušková písemná práce č 1 z předmětu 1RMF čtvrtek 16 ledna 214, 9: 11: ➊ 11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu x ) n n2 sin 2 P 1 n x) ➋ 6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
Více1 Rozdělení mechaniky a její náplň
1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů
VíceAleš Trojánek MACHŮV PRINCIP A STŘEDOŠKOLSKÁ MECHANIKA Mach s Principle and the Mechanics at Secondary Schools
Aleš Trojánek MACHŮV PRINCIP A STŘEDOŠKOLSKÁ MECHANIKA Mach s Principle and the Mechanics at Secondary Schools When explaining the inertial forces to secondary school students, one can expect to be asked
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VíceDynamika systémů s proměnnou hmotností. Vojtěch Patočka Univerzita Karlova - MFF
Dynamika systémů s proměnnou hmotností Buquoyovy úlohy Práce a energie v řešení Buquoyových úloh Mnohočásticové modely Problém rakety Pružné a nepružné srážky Fundemtální zákon vs. kinematická podmínka
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceI N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í
DYNAMIKA SÍLA 1. Úvod dynamos (dynamis) = síla; dynamika vysvětluje, proč se objekty pohybují, vysvětluje změny pohybu. Nepopisuje pohyb, jak to dělá... síly mohou měnit pohybový stav těles nebo mohou
Více1.8. Mechanické vlnění
1.8. Mechanické vlnění 1. Umět vysvětlit princip vlnivého pohybu.. Umět srovnat a zároveň vysvětlit rozdíl mezi periodickým kmitavým pohybem jednoho bodu s periodickým vlnivým pohybem bodové řady. 3. Znát
VíceTÍHOVÉ ZRYCHLENÍ TEORETICKÝ ÚVOD. 9, m s.
TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ TEORETICKÝ ÚVOD Soustavu souřadnic spojenou se Zemí můžeme považovat prakticky za inerciální. Jen při několika jevech vznikají odchylky, které lze vysvětlit vlastním pohybem Země vzhledem
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více