Pojetí bodu a jeho vztahu k přímce: komparace fylogeneze a ontogeneze Magdalena Prokopová, Petr Rys

Transkript

1 Pojetí bodu a jeho vztahu k přímce: komparace fylogeneze a ontogeneze Magdalena Prokopová, Petr Rys ABSTRACT: A point and a straight line are fundamental objects of Euclidian geometry which is taught at basic and secondary schools. Philosophers meditated on the nature of a point and a straight line long before Euclid (from the 6 th century BC). But it was Euclid (about BC) who delimited the concept of a point and a straight line (and others) in the First book of his Elements (Stocheia) by means of a definition. The phylogenesis of a point and its relation to a straight line is marked out by names such as Viete, Kepler, Leibniz, Newton, Bolzano and Cantor. Students meet the concept of a point before they start to create their geometrical structures. Our analysis will try to show that there is a strong parallel between the ontogenetic and phylogenetic aspects of the conception of a point and its relation to a straight line, a ray and/or a segment. Historický vývoj pojmu bod Hlavním problémem řecké matematiky v 6. a 5. století před naším letopočtem byly konstrukční problémy. Pomalu se začínají vytvářet geometrické struktury a upřesňují se názory na to, co je a co není při konstrukci povoleno. Pojem bodu a přímky se postupně zpřesňuje. Pozornost se postupně přesouvá od řešení konkrétních problémů k ideálním objektům. Pythagoras ( př. n. l.) definuje, podle Prokla, bod jako monádu, která má pozici. Bod je taková jednotka, která má umístění. Pythagorejská škola chápe prostor jako souhrn bodů. [Struik 1963, 42] Parmenides (z Eley, kolem př. n. l.) uvažuje nad tím, jak je svět poznatelný. Srovnává smyslové a intelektuální poznání, např.: Co je to bod? Tečka na papíru? Nebo je tečka jen modelem bodu? Čára namalovaná na papíře není reálným geometrickým objektem, je to jen jakýsi model, pouhý obraz. [Hejný 1985, 50 51] Zenon (z Eley př. n. l.) ve svých aporiích mistrovsky ukazuje konflikt mezi smyslovým vnímáním a myšlenkovou abstrakcí a idealizací. Pravděpodobně jako rekce na Zenonovy aporie rozvíjí Demokritos ( př. n. l.) svůj matematický atomizmus 1. Tato teorie předpokládá existenci nedělitelné jednotky, která má nenulovou velikost. Tuto jednotku nelze rozdělit nekonečným dělením na ideální geometrický objekt. Všechny matematické objekty mají své přímé hmotné vzory: ideální matematický bod či přímka pro Demokrita neexistují. [Drábek 1998, 175] Aristoteles (ze Stageiry, př. n. l.) srovnává jednotku a bod jako monády, přičemž první z nich nemá pozici a druhá ano. [Hejný 1985, 68] Na základě Platonovy (427/8 347 př. n. l.) filozofie idejí Eudoxos (z Cnidy, př. n. l.) formuluje svou myšlenku spojité geometrie, kterou dovedl Euklides ve své práci k dokonalosti. Euklides definuje bod následujícím způsobem: Bod je to, co nemá dílu. Své 1 Demokritova myšlenka matematického atomu byla později využita v matematické analýze např. Vietem a Keplerem v 16. stol.

2 definice formuluje přesně podle zásad Aristotelovy filosofie. Bod ale vysvětluje v souladu s Platonovou filosofií světa idejí. Tedy idea části není přítomna v ideji bodu. Umístění přísluší pouze ideji konkrétního bodu. Euklides dále uvádí: Hranicemi čáry jsou body. Přímku definuje 2 takto: Čára je délka bez šířky. a Přímá je čára (přímka), která svými body táhne se rovně. Euklides nezdůrazňuje spojitost čar (a jiných objektů). Pravděpodobně ji považuje za samozřejmou. Vysvětluje to jeho první postulát: Budiž úkolem od kteréhokoli bodu ke kterémukoli bodu vésti přímku. Druhý postulát říká: A přímku omezenou nepřetržitě rovně prodloužiti. Tady Euklides chápe přímku jako potenciálně nekonečnou, spojitou a obsahující body. Vědci 16. a 17. století, jako Kepler, Viete, Cavalieri nebo Torricelli rozvíjí metody, které vedlou k infinitesimálnímu kalkulu. Vrací se k myšlence Demokritova atomizmu. Cavalieri používá teorii indivisibilií (v Geometria indivisibilius continuorum, 1635), kde přímka je vytvořena pohybem bodů. [Struik 1963, 96] Descartes objevuje analytickou geometrii (v Géométrie, 1637) a začíná využívat algebru pro řešení geometrických problémů. Ale souřadnice jako takové zavádí až Leibniz. Teorie množin přinesla nový pohled na všechny geometrické objekty a nabídla ideální objekt pro zkoumání pojmu nekonečna. Fenomény fylogeneze pojmu bod Analýzou historického vývoje chápání bodu a jeho vztahu k přímce jsme identifikovali následující jevy jejich vymezení. odhlédnutí od konkrétního obrázku přechod od reálných objektů k ideálním určení pozice velikost a pozice malost jednotka prostoru izolovanost materialita nedělitelnost konec čáry algebraický popis (souřadnice) Analýzou výpovědí studentů se pokusíme popsat jevy chápání bodu pravděpodobného ontogenetického vývoje. Metodologie Ve standardizovaných rozhovorech se 16 žáky a studenty ve věku 9 až 18 let byly použity následující problémy: 1. Co je to bod? 2. Mějme úsečku AB. Rozdělme ji bodem C v poměru 2:3. Rozděl ji na dvě části právě v bodě C. Jaké objekty vznikly? Které body jsou hraniční? 3. Z kolika bodů se skládá přímka (polopřímka, úsečka)? Rozhovory jsme vedli buď s jedním studentem nebo v případě druhého problému se dvěmi nebo třemi studenty najednou. V doplňujících otázkách o velikosti a tvaru bodu, nejkratší vzdálenosti mezi dvěmi různými body a důvodech jednotlivých odpovědí jsme používali stejné výrazy, které uvedli respondenti v průběhu rozhovoru. Všechny rozhovory byly nahrány na diktafon a později přepsány. 2 Eukleides užívá pojem eutheia pro přímku, polopřímku i úsečku. Jestliže potřebuje zdůraznit konečnost čáry, užívá pojem peperasmenes a pro nekonečnou čáru užívá pojem ep apeiron.

3 Ukázka rozhovorů a naše komentáře Z protokolů rozhovorů jsme vybrali následující části, které mohou ilustrovat určité jevy chápaní pojmu bod a jeho vztahu k přímce zkoumaných respondentů. Rozhovor 1: Jakub, 12 let E27: Takže, má bod nějakou velikost? J28: Ve skutečnosti může bejt nějak velikej. (Ukazuje na čárku znázorňující bod na papíře.) E29: Já nemyslím namalovaný bod, já myslím doopravdy, geometrický bod. J30: (3 s) No, tak tady ten bod (5 s) velikost je tohle. (Ukazuje na bod na papíře.) E53: Podívej se na body B a D. Mají mezi sebou střed? J54: Ano. E55: Ale ty jsi říkal, že mezi nimi už nic není? J56: Hmm. Tak ten střed. (3 s) Jenže on nemá žádnou velikost, tak může být tam, kde nic není. Komentář: Chlapec cítí, že existují dva rozdílné světy materiální a geometrický. Tyto světy se dostávají do konfliktu, což ukazují především řádky J28 a E29. Objekt, který má nulovou velikost nemůže existovat v materiálním světě. Rozhovor 2: o rok později Jakub, 13 let E1: Co je to bod? J2: (6 s) Tak, bod je (3 s) něco, co určuje nějakou pozici, něco ohraničuje. (3 s) Vlastně nemusí nic ohraničovat, prostě někde je. J6: Nemá žádnou velikost. Nemá žádný objem. Bod nikdy nemůžeme namalovat, můžeme ho jen naznačit. J8: Je těžký představit si něco, co nemá žádnou velikost. E9: A jak to víš, že bod nemá žádnou velikost? J10: Když si představím bod jako nějaký kruh, můžu ho rozdělit, kolikrát chci. A i když už ho nebudu moct ani vidět, budu ho moct pořád dělit. J12: Nemůžeme nijak rozdělit bod. On ohraničuje jen jedno místo. Komentář: Můžeme vidět zřejmý posun v tom jak student chápe geometrické objekty. Dokáže uvažovat a hovořit o ideálních geometrických objektech. Ke svým úvahám nepotřebuje konkrétní body. Zdůrazňuje nulovou velikost, umístění, nedělitelnost bodu a uvažuje o něm jako o hranici jiných objektů. Fenomény ontogeneze pojmu bod Pomocí analýz protokolů realizovaných rozhovorů jsme vysledovali následující jevy, kterými respondenti charakterizují pojem bod. odhlédnutí od konkrétního obrázku přechod od reálných objektů k ideálním určení pozice velikost a pozice malost jednotka prostoru izolovanost tvar nedělitelnost konec čáry algebraický popis (souřadnice) Závěry: Srovnání fylogeneze a ontogeneze Studenti užívají podobné pojmy, jaké můžeme identifikovat v historickém vývoji chápání bodu a jeho vztahu k přímce. Objevují se zde pouze dva rozdíly. Studenti neuvažují o

4 materialitě bodu. Naopak, v historických pramenech jsme nenalezli zmínku o tvaru bodu. Jedním z pravděpodobných důvodů je to, že tvar není matematickým pojmem. Pokud si toto ale řečtí matematikové neuvědomovali, pak pravděpodobně považovali bod za objekt, který tvar nemá, a nebo za objekt, který je tvarem sám o sobě. Kladení důrazu na materialitu bodu ve fylogenezi zřejmě souvisí s tím, že původním prioritním smyslem poznávání okolního světa byl hmat. Oproti tomu v současné době se všeobecně preferuje při poznávání reality zrak. Velká část studentů je schopna uvažovat o bodu (a dalších geometrických objektech) jen prostřednictvím obrázků. Je to v souladu s prvním obdobím historického poznávání rovinné geometrie. Žáci a studenti pracují současně v reálném i ideálním geometrickém světě aniž si to uvědomují. To vede často k různým sporům. Tento jev nepovažujeme za negativní. Naopak, může být impulsem k hlubšímu uchopení dané problematiky a umožnit studentům opustit reálný svět a začít uvažovat o čistě ideálních objektech. Všichni studenti, se kterými jsme hovořili, zdůrazňovali malost bodu. Ale jen někteří mu přisoudili nulovou velikost. Je velice přirozené uvažovat jen v konečných velikostech, neboť vše, s čím se v denním životě setkáváme, má nenulovou velikost. Respondenti často nechápu přímku či úsečku jako spojitou množinu bodů, což je v souladu s Demokritovým geometrickým atomizmem. Vysvětlují bod jako jediné místo nebo jednotku prostoru. Starší (ovšem není možné určit přesný věk, neboť jde o jev individuální) studenti hovoří o určení pozice, resp. souřadnic pomocí bodu. To pravděpodobně souvisí s obsahem výuky, kdy se studenti začínají seznamovat se základy analytické geometrie. Pouze několik se zmiňuje o nedělitelnosti bodu. Je to možné jen tehdy, pokud přestanou uvažovat o bodu jako o objektu na papíře. K ideálnímu objektu můžeme dojít prostřednictvím nekonečného procesu dělení či zmenšování, což je intelektuálně velmi náročné. Mladší studenti (přibližně do 15 let) často odpovídají přímka nemá žádný bod nebo polopřímka má právě jeden bod nebo úsečka má právě dva bodu. Jsou zde dvě možná vysvětlení: Uvažují pouze o obrázku: Jsou tu namalované jen dva body. Nebo rozumí přímce se dvěma body jako úsečce a dvěma polopřímkám. To odpovídá historickému vývoji vztahu mezi body a jinými geometrickými objekty. Body byly chápány jako koncové body úseček či vrcholy obdélníka apod. [Eisenmann 2002, 9 10] Literatura: 1. Bečvářová, M. Eukleidovy Základy. Jejich vydání a překlady. Prometheus, Praha Drábek, J. Démokritova atomistická metoda. In: Sborník Matematika v proměnách věků I. Prometheus, Praha Eisenmann, P. Point, segment, line -- secondary school pupil`s ideas. In: 8 th Czech Polish Mathematical School. Acta Universitatis Purkynianae. Ústi n.l Eisenmann, P. Propedeutika infinitesimílního počtu. Acta Universitatis Purkynianae. Ústí n. L Hejný, M. In Znám, Š a kol. Pohl'ad do dejín matematiky. SNTL, Bratislava Hejný, M a kol. Teoria vyučovania matematiky 2. SPN, Bratislava Hejný, M., Stehlíková, N. Číselné představy dětí. PedF UK, Praha Kuřina, F. Deset pohledů na geometrii. M a ALBRA, Praha Prokopová, M: Some remarks about pupil's concept of a point. In: 9.th Polisch--Czech Mathematical School. Krakow. (v tisku). 10. Servít, F. Eukleidovy základy (Elementa). JČMF, Praha Struik, D. J. Dějiny matematiky. Orbis, Praha Vopěnka, P. Rozpravy s geometrií. Panorama, Praha Vopěnka, P. Úhelný kámen evropské vzdělanosti a moci. Práh, Praha Adresa autorů:

5 Magdalena Prokopová, KM PF UJEP, České mládeže 8, Ústí nad Labem, Petr Rys, KM PF UJEP, České mládeže 8, Ústí nad Labem,