Kombinatorika. November 12, 2008

Transkript

1 Kombinatorika November 12, 2008

2 Příklad Do školní jídelny přišla skupina 35 žáků. Určete kolika způsoby se mohli seřadit do fronty u výdeje obědů. Řešení: Počet možností je = 35!

3 (Permutace bez opakování) Permutací bez opakování z n-prvkové množiny M nazýváme každou usp. n tici navzájem různých prvků, vytvořenou z prvků množiny M. Počet všech permutací je P(n) = n = n!

4 Příklad V noclehárně je 50 lůžek. Určete, kolika způsoby se na ně může uložit 35 nocležníků. (na jedno lůžko, jen jeden nocležník!) Řešení: Počet možností je ( )

5 (Variace bez opakování) Variací bez opakování k té třídy z n-prvkové množiny M nazýváme každou usp. k tici navzájem různých prvků, vytvořenou z prvků množiny M. Počet všech variací je V k (n) = n (n 1) (n 2) (n k + 1) = n! (n k)! = ( ) n k! k

6 Příklad V noclehárně je 50 lůžek. Určete, kolika způsoby se dají vybrat lůžka, když je 35 nocležníků. (zajímá nás jenom to, které postele byly použity) Řešení: Počet možností je ( ) 35!

7 (Kombinace bez opakování) Kombinací bez opakování k té třídy z n-prvkové množiny M nazýváme každou k prvkovou podmnožinu vytvořenou z prvků množiny M. Počet všech kombinací je C k (n) = n (n 1) (n 2) (n k + 1) k (k 1) = n! (n k)!k! = ( ) n k

8 (Pascalův trojúhelník) Kombinační čísla se dají snadno vypočítat pomocí tzv. Pascalova trojúhelníka. Tímto názvem označujeme tabulku trojúhelníkového tvaru n = 0 1 n = n = n = n = n = n =

9 Příklad Máme k dispozici číslice 1, 2, 3. Kolik z nich můžeme sestavit 5-ciferných čísel? Řešení: Počet možností je = 3 5

10 Příklad V pytlíku máme 5 barevných kuliček (bílá, modrá, zelená, červená, žlutá). Budeme 3-krát tahat, po každém tahu kuličku vracíme do pytlíku. Kolik je všech možností? Zajímá nás uspořádaní kuliček. Řešení: Počet možností je = 5 3

11 (Variace s opakováním) Variací s opakováním k té třídy z n-prvkové množiny M nazýváme každou usp. k tici vytvořenou z prvků množiny M tak, že v této k tici se každý prvek může vyskytnout až k krát. Počet všech variací je V k (n) = nk.

12 Příklad V pytlíku máme 5 barevných kuliček (bílá, modrá, zelená, červená, žlutá). Budeme 3-krát tahat, po každém tahu kuličku vracíme do pytlíku. Kolik je všech možností? Zajímají nás jenom barevné kombinace, ne uspořádaní. Řešení: ( ) Počet možností je 3

13 Příklad V pytlíku máme hodně barevných kuliček (bílé, modré, zelené, červené, žluté - z každé barvy aspoň 3). Budeme 3-krát tahat, po každém tahu kuličku vracíme do pytlíku. Kolik je všech možností? Zajímají nás jenom barevné kombinace. Řešení: ( ) Počet možností je 3

14 (Kombinace s opakováním) Kombinací s opakováním k té třídy z n-prvkové množiny M nazýváme každou skupinu o k prvcích vytvořenou z prvků množiny M tak, že v této skupině se každý prvek může vyskytnout až k krát. Počet všech kombinací je ( ) n 1 + k C k(n) = k

15 Příklad Kolik různých slov lze vytvořit ze slova TRAMTÁRIA změnou pořadí písmen? Řešení: 9! Počet možností je 2!2!2!

16 (Permutace s opakování) Permutací s opakováním z n-prvkové množiny M ={a 1, a 2,...a p } s opakováním prvku a i právě k i -krát nazýváme každou usp. n tici navzájem různých prvků, vytvořenou ze všech prvků množiny M, že se prvek a i vyskytuje právě k i krát (k 1 + k k p = n.) Počet všech permutací je P (n) = n! k 1!k 2!...k p!

17 (Dirichletův princip) Příklady najdete na záznamu z přednášky

18 (Princip inkluze a exkluze)

19 Příklad Kolik je přir. čísel od 1 do 1000, které nejsou dělitělné 2, ani 3 ani 5? Výsledek: 1000 ( ) = 266. Stejný výsledek dostaneme i pro čísla od 1 do 999. Problémik: Zjistěte o kolik můžeme posunout horní hranici (1000) a kterým směrem, abychom dostali stejný výsledek. Podrobné řešení najdete na záznamu z přednášky.

20 Příklad Kolika způsoby můžeme rozdělit 4 manželské páry do tanečních párů tak, aby ani jeden manžel netančil se svou manželkou? Výsledek: 1 manž. pár 0 možností 2 manž. páry 1 možnost 3 manž. páry 2 možnosti 4 manž. páry 9 možností Podrobné řešení najdete na záznamu z přednášky.

21 Rekurze

22 Příklad Kolik je 8 - členných posloupností z nul a jedniček takových, že nestojí vedele sebe 2 nuly? Výsledek: 1- členné posl. 2 možnosti 2- členné posl. 3 možnosti 3- členné posl. 5 možností 4- členné posl. 8 možností členné posl. 55 možností Podrobné řešení najdete na záznamu z přednášky.