2. Elementární kombinatorika

Transkript

1 2.1. Kombinace, variace, permutace bez opakování 2. Elementární kombinatorika Definice 2.1. Kombinace je neuspořádaná k-tice prvků z dané n-prvkové množiny. Variace je uspořádaná k-tice prvků z dané n-prvkové množiny. Permutace je uspořádaná n-tice všech prvků dané n-prvkové množiny. Tvrzení 2.2. Pro počet c(n, k) všech k-prvkových kombinací z n prvků, kde 0 k n, platí ( ) n n(n 1) (n k + 1) n! c(n, k) = = = k k(k 1)] 1 (n k)!k!. Pro počet v(n, k) všech variací platí Pro počet p(n) všech permutací platí v(n, k) = n(n 1) (n k + 1). p(n) = v(n, n) = n!. Příklad 2.3. Kolika způsoby lze přeuspořádat cifry v čísle tak, aby výsledné číslo bylo dělitelné dvěma nebo pěti? Protože požadujeme, aby výsledné číslo bylo dělitelné dvěma nebo pěti, tak poslední cifra může být pouze 2, 4, 5, nebo 6. Pro každou volbu poslední cifry máme možností, jak uspořádat zbylé cifry. Celkový počet možností je tedy 4 = = 40. Příklad 2.4. Zkoušející má připravených 12 příkladů z algebry a z geometrie. Na písemku chce dát 5 příkladů, přičemž chce, aby alespoň 2 byly z algebry a alespoň 1 z geometrie. Kolik má možností sestavení různých zadání? Vidíme, že zkoušející provádí dvě volby: Nejprve vhodně zvolí počet příkladů z algebry (nebo z geometrie) a pak pro takto zvolené počty příkladů vybere jednotlivé příklady. Předpokládejme, že zkoušející se rozhodl dát na písemku a příkladů z algebry, pak na písemce bude také 5 a příkladů z geometrie. Kolika způsoby může pro takto zvolené a sestavit písemku? Zkoušející vybírá a příkladů z 12 a nezávisle na tom vybírá 5 a příkladů z. Proto pro takto zvolené a může zkoušející sestavit písemku právě ( 12 a ) ( 5 a způsoby. Nyní se zabývejme, jakých hodnot může a nabývat. Podle předpokladu má platit a 2 a současně 5 a 1. Odtud odvodíme, že a {2, 3, 4}. Dohromady dostáváme, že zkoušející může sestavit písemku právě ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = způsoby. 1 )

2 Příklad 2.5. V pytlíku je různých lístků označených čísly 1 až. Kolika různými způsoby můžeme postupně vybrat 4 z nich, pokud se vybrané lístky do pytlíku nevracejí? Jedná se o typický příklad na variace. Počet všech možností je v(4, ) =! 4! = = 160. Příklad 2.6. Kamarádi Alice, Bob, Cecílie, David a Ema jdou spolu do kina. V kině si sednou do řady vedle sebe. Kolika způsoby si můžou posedat, pokud chtějí, aby (a) Bob seděl vedle Cecílie, (b) David neseděl vedle Alice, (c) nastaly obě možnosti (a) i (b) současně. (a) Použijeme následující trik. Na Boba a Cecílii budeme pohlížet jako na jedinou osobu. Počet všech uspořádání 4 osob je 4!. Toto číslo však musíme ještě vynásobit dvěma, nebot potřebujeme rozlišit v jakém pořadí sedí Bob a Cecílie (tj. zda vlevo sedí Bob a vpravo Cecílie, nebo vlevo sedí Cecílie a vpravo Bob). Celkový počet možností je tedy 2 4! = 24 2 = 4. (b) Označme N počet možností, kdy David nesedí vedle Alice. Dále označme M počet možností, kdy David sedí vedle Alice. Zřejmě N + M je počet všech uspořádání 5 osob, tedy N + M = = 120. Navíc, podle předchozího máme, že M = 4. Díky tomu snadno dopočítáme N: N = 120 M = = 72. (c) Postupujeme podobně jako v předchozích případech. Označme N počet možností, kdy Bob sedí vedle Cecílie, ale David nesedí vedle Alice. Dále označme M počet možností, kdy Bob sedí vedle Cecílie a současně David sedí vedle Alice. Zřejmě N + M je počet všech možností, kdy Bob sedí vedle Cecílie, tedy N + M = 4. Stačí spočítat M. Zajímá nás počet uspořádání 3 osob AD, BC, E, přičemž potřebujeme rozlišit mezi AD a DA a mezi BC a CB. To znamená, že Odtud již snadno dopočítáme N: M = 3! 2 2 = 24. N = 4 M = 4 24 = 24. 2

3 2.2. Kombinace, variace, permutace s opakováním Definice 2.7. Uspořádání (pořadí) n prvků, z nichž mezi některými nerozlišujeme, nazýváme permutace s opakováním. Tvrzení 2.. Necht je mezi n danými prvky p 1 prvků prvního druhu, p 2 prvků druhého druhu,..., p k prvků k-tého druhu, p 1 + p p k = n. Potom počet P (p 1, p 2,..., p k ) všech uspořádání (pořadí) techto prvků je n! P (p 1, p 2,..., p k ) = p 1! p k!. Příklad 2.9. Kolik existuje různých přesmyček slova ALIBABA takových, že (a) začínají souhláskou a končí samohláskou, (b) mezi písmeny B jsou právě dvě písmena. (a) Rozlišíme 4 případy podle toho jakým písmenem přesmyčka začíná a jakým končí. 1) Nejprve uvažme přesmyčky, které začínají písmenem L a končí písmenem A. Počet všech takovýchto slov je roven počtu všech přesmyček slova AIBAB a těch je 2! 2! = 30. 2) Nyní uvažme přesmyčky, které začínají písmenem B a končí písmenem A. Počet všech takovýchto slov je roven počtu všech přesmyček slova ALIAB a těch je 2! = 60. 3) Dále uvažme přesmyčky, které začínají písmenem L a končí písmenem I. Počet všech takovýchto slov je roven počtu všech přesmyček slova ABABA a těch je 3! 2! = 10. 4) Nakonec uvažme přesmyčky, které začínají písmenem B a končí písmenem I. Počet všech takovýchto slov je roven počtu všech přesmyček slova ALABA a těch je 3! = 20. Počet všech různých přesmyček slova ALIBABA, které začínají souhláskou a končí samohláskou, je pak = 120. (b) mezi písmeny B jsou právě dvě písmena. Protože délka slova je 7, můžeme písmena B umístit právě čtyřmi způsoby tak, aby mezi nimi byla právě dvě písmena. Zbylá 3

4 písmena lze rozmístit libovolně. Počet všech přesmyček s daným umístěním písmen B je roven počtu přesmyček slova ALIAA a těch je 3! = 20. To znamená, že počet všech různých přesmyček slova ALIBABA takových, že mezi písmeny B jsou právě dvě písmena, je 4 20 = 0. Definice Variace s opakováním je uspořádaná k-tice prvků z dané n-prvkové množiny, přičemž každý prvek množiny se může v této k-tici vyskytovat v libovolném počtu kopií. Tvrzení Počet V (n, k) všech variací s opakováním k-tého stupně třídy n je V (n, k) = n k. Příklad Kolik šesticiferných čísel lze sestavit z cifer jestliže chceme, aby (a) součin cifer byl sudý, (b) součet cifer byl sudý. 0, 1, 3, 6,, 9, (a) Nejprve určíme počet všech šesticiferných čísel, které jsme schopni z těchto číslic sestavit. Číslo nemůže začínat nulou, a proto je počet všech šesticiferných čísel, která jsme schopni z těchto cifer sestavit, roven číslu Součin cifer je sudý právě tehdy, když není lichý, přičemž součin cifer je lichý, právě tehdy když, všechny cifry jsou liché. To znamená, že počet šesticiferných čísel, jejichž ciferný součin je lichý, je 3 6 (používáme jen liché cifry a ty jsou 3-1,3,9). Pak počet šesticiferných čísel, jejichž ciferný součin je sudý, je (b) Zajímají nás šesticiferná čísla sestavená z těchto cifer, jejichž ciferný součet je sudý. V závislosti na součtu prvních pěti cifer volíme poslední cifru tak, aby ciferný součet byl sudý, tj. pokud ciferný součet prvních pěti cifer je lichý, poslední cifra musí být lichá a pokud je ciferný součet prvních pěti cifer sudý, pak musí být i poslední cifra sudá. Jelikož je počet lichých a sudých cifer stejný (totiž 3), nezávisí počet možností na paritě ciferného součtu prvních pěti cifer. Výsledek je tedy trojnásobek počtu pěticiferných čísel, které je možné sestavit z daných cifer, tj. 3 (5 6 4 ). Definice Kombinace s opakováním je neuspořádaná k-tice prvků z dané n-prvkové množiny, přicemž každý prvek množiny se může v této k-tici vyskytovat v libovolném počtu kopií. 4

5 Tvrzení Počet C(n, k) všech k-prvkových kombinací s opakováním z n prvků je pro všechna k 0 a n 1 ( ) k + n 1 C(n, k) =. k Příklad Do 7 obálek rozdělujeme stokorun a 11 dvousetkorun. Určete kolik způsoby lze bankovky do obálek rozdělit, jestliže (a) je rozdělujeme libovolně, (b) chceme, aby v každé obálce byla alespoň jedna stokoruna. Jedná se o příklad na kombinace s opakováním. (a) Počet rozdělení stokorun do 7 obálek je ( ) = ( ) 14 = Počet rozdělení 11 dvousetkorun do 7 obálek je ( ) ( ) = = Počet rozdělení stokorun a 11 dvousetkorun do 7 obálek je tedy ( ) 14 ( ) 17 = (b) V tomto případě dáme do každé obálky stokorunu, tedy jedna stokoruna nám zbude a tuto jednu stokorunu můžeme dát do libovolné obálky. Jinými slovy počet rozdělení stokorun do 7 obálek je za předpokladu, že v každé obálce je alespoň jedna stokoruna, roven číslu 7. Pak počet rozdělení stokorun a 11 dvousetkorun do 7 obálek je za předpokladu, že v každé obálce je alespoň jedna stokoruna, roven číslu ( ) 17 7 =