Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Transkript

1 Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST

2 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. Katedra softwarového inženýrství Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská ČVUT v Praze Zadání pro samostatnou práci Konzultace: po dohodě přes (pátek 9:15 11:15)

3 Přehled témat pro přednášky a cvičení (Státní zkouška) 1. Pravděpodobnost (definice, využití, výpočet pravděpodobností náhodných jevů) 2. Podmíněná pravděpodobnost 3. Náhodná veličina 4. Statistické charakteristiky (3. a 4. týden) 5. Slabý zákon velkých čísel 6. Centrální limitní věta (teorém) 7. Bodový a intervalový odhad 8. Testování hypotéz 9. Korelace a regrese

4 Zápočet a zkouška Zápočet Až 20 bodů za úkol z pravděpodobnosti Až 25 bodů za úkol a prezentaci v rámci přednášky na téma statistických charakteristik Až 55 bodů za prezentaci a příklad z oblasti testování hypotéz Zkouška Formou testu Teorie Odhad výsledků Ústní část

5 1.1 Pravděpodobnost - historie 3800 př. n. l. Záznamy o sčítání obyvatel a majetku je možné najít v písemnostech starých Babyloňanů začátek 17. století Galileo Galilei 1654 Pierre de Fermat a Blaise Pascal hazardní hry a kombinatorické problémy Christian Huygens, Abraham de Moivre a Jacob Bernoulli zakladatelé pravděpodobnosti jako matematické disciplíny Pierre-Simon Laplace nejvýznamnější ucelená kniha o teorii pravděpodobnosti

6 1.2 Náhodný pokus Náhodný pokus je každá činnost, jejíž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhá. házení kostkou rozdání hracích karet (oko bere) losování v loterii házení mincí k čáře

7 1.3 Náhodný jev Jev je každý fakt, o kterém, jakožto o výsledku pokusu, má smysl prohlásit, zda nastal nebo nenastal. Typy jevů: jev jistý - vždy nastane při daném komplexu podmínek, jev nemožný - nikdy nenastane při daném komplexu podmínek, jev náhodný - může a nemusí nastat při daném komplexu podmínek. házení kostkou padlo sudé číslo rozdání hracích karet (oko bere) rozdány karty 7 a 9 losování v loterii 42 házení mincí k čáře mince je od čáry 4,2 cm

8 1.4 Vztahy mezi jevy Jev A je částí jevu B (A B), pokud nastane jev A, nastane i jev B Jevy A a B jsou rovnocenné (A = B), jev A nastane právě, když nastane jev B A B A = B Průnik jevů A a B (A B), zároveň nastane jev A i B Sjednocení jevů A a B (A B), nastane alespoň jeden z jevů A a B A B A B

9 1.4 Vztahy mezi jevy Jevy A a B jsou neslučitelné, nikdy nemohou nastat oba najednou (A B = ) Opačný jev k jevu A ( A), nenastane jev A A B A Rozdíl jevů A a B (A B), nastane jev A a zároveň nenastane jev B A B

10 1.5 Definice pravděpodobnosti Klasická Laplaceova Statistická Axiomatická Kolmogorovova Geometrická

11 1.5 Klasická definice pravděpodobnosti Laplace P A = m A m Pravděpodobnost jevu A se vypočte jako podíl příznivých výsledků m A k celkovému počtu všech možných výsledků pokusu m. Předpoklady: 1) všech možných výsledků je konečný počet, 2) všechny výsledky jsou stejně možné, 3) všechny výsledky se vzájemně vylučují. Příklad: házení kostkou

12 1.5 Statistická definice pravděpodobnosti Mějme posloupnost velkého počtu n realizací náhodného pokusu. Pak pro daný jev A označme n A počet realizací, ve kterých tento jev nastal. Podíl n A /n se nazývá relativní četnost jevu A v n pokusech. Pak relativní četnost jevu A v dlouhých sériích realizací náhodného pokusu se odchyluje málo od určitého čísla, které nazýváme pravděpodobnosti tohoto jevu.

13 1.5 Axiomatická definice pravděpodobnosti Kolmogorov předpoklad: existence konečné nebo nekonečné neprázdné množiny jevové pole, systém podmnožin jevového pole musí obsahovat: a) jistý jev Ω i nemožný jev Ø b) s každým jevem A i jev opačný A, c) s každým systémem jevů (konečným nebo nekonečným spočteným) i sjednocení a průnik těchto jevů. Pak každému náhodnému jevu A je přiřazena pravděpodobnost P(A), což je číslo z intervalu 0,1 kde P Ω = 1, P: A P(A), P A 1 A 2 = P A 1 + P A 2 + pro disjunktní jevy

14 1.5 Geometrická definice pravděpodobnosti Pravděpodobnost je založena na porovnání délky, ploch či objemů geometrických útvarů. Pro 2D platí P A = ω S, kde ω je celková plocha, na které dojde k výskytu jevu A, a S je obsah plochy reprezentující všechny možné výsledky náhodného pokusu.

15 1.6 Rychlé opakování Příklad 1: Vypočítejte 5! Řešení 1: 5! = = 120 Příklad 2: Vypočítejte kombinační číslo 8 6 Příklad 3: Permutace záleží na pořadí: V osudí je 5 lístků s hodnotami 1 až 5. Lístky se postupně vytahují a nevrací se do osudí. Kolika různými způsoby je lze postupně vytáhnout? Příklad 4: Permutace: Kolik pěticiferných čísel lze vytvořit z číslic 5, 5, 7, 7, 9? Řešení 2: 8 7 = = 8! = 8 7 6! = 8 6! 6! 2! 6! Řešení 3: 5! = = 120 Řešení 4: P 2,2,1 = 5! 2! 2! 1! = = 30

16 Kombinatorika bez opakování s opakováním Variace (záleží na pořadí) V k n = n! n k! V k n = n k Permutace P n = n! P (záleží na pořadí) k1,,k n n = k! k 1! k n! Kombinace (nezáleží na pořadí) C k n = n k C k n = n + k 1 k

17 1. příklad Kolik je způsobů rozdělení zlaté, stříbrné a bronzové medaile mezi 16 sportovců? Řešení: Variace = způsobů

18 2. příklad Ve škole je jedna lavice pro šest studentů. Kolik je způsobů, jak si může šest studentů sednout? Řešení: Permutace 6! = = 720

19 3. příklad Na večírku je 80 lidí. Jestliže si chce přiťuknout každý s každým, kolik ťuknutí bude slyšet? Řešení: Kombinace 80 2 = 80! 80 2!2! = = 3 160

20 4. příklad Kolik existuje poznávacích značek (SPZ), jestliže jsou tvořeny 3 písmeny a 4 číslicemi (písmen je 28)? Řešení: Variace s opakováním V 3 V 4 = =

21 5. příklad Kolika způsoby lze vytáhnout 5 kuliček ze sáčku, který obsahuje 5 červených, 4 modré a 4 zelené? Řešení: Vzhledem k tomu, že nejsou požadavky na barvy ani opakování: Kombinace 13 = = ! 13 5! 5! = ! 8! 5! =

22 5. příklad rozšíření A kolika způsoby lze vytáhnout 5 kuliček stejné barvy ze sáčku, který obsahuje 5 červených, 4 modré a 4 zelené? Řešení: Existuje jediné řešení - pět stejných (červených) kuliček

23 6. příklad Jaká Jaká definice je pravděpodobnost, pravděpodobnosti že při byla hodu použita? 2 kostkami bude součet 5? Odpověď: Klasická definice pravděpodobnosti Laplaceova Řešení: P A = m A Celkem všech řešení je n = 6 2 = 36 Přípustné kombinace: [1,4], [2,3], [3,2], [4,1] p = A n = 4 36 = 0,11 m

24 7. příklad Jaká je pravděpodobnost, že mezi 3 kartami, náhodně vytaženými z klasického balíčku 32 karet, bude desítka? Řešení: A - není vytažená žádná desítka p A = 1 p A = = 1 28! 25! 3! 32! 29! 3! = = 0,34

25 8. příklad Ve finančních účtech je chyba. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nezávislých kontrolorů ji najde, pokud ji první odhalí s pravděpodobností 0,90 a druhý s pravděpodobností 0,95? Řešení: A - nenajde ji ani jeden p(a) = 1 p( A) = 1 0,1 0,05 = 0,995

26 9. příklad V jedné tombole vyhrává každý pátý los, ve druhé každý desátý. Koupíme-li si po jednom losu od každé, jaká je pravděpodobnost, že aspoň jeden náš los vyhraje? Řešení: A - nevyhraje ani jeden p(a) = 1 p( A) = 1 0,8 0,9 = 0,28

27 9. příklad rozšíření I V jedné tombole vyhrává každý pátý los, ve druhé každý desátý. Koupíme-li si po jednom losu od každé, jaká je pravděpodobnost, že oba naše losy vyhrají? Řešení: p(b) = 0,2 0,1 = 0,02

28 9. příklad rozšíření II V jedné tombole vyhrává každý pátý los, ve druhé každý desátý. Koupíme-li si po jednom losu od každé, jaká je pravděpodobnost, že vyhraje pouze jeden z našich losů? Řešení: A alespoň jeden vyhraje, p(a) = 0,28 B oba vyhrají, p(b) = 0,02 p C = 0,28 0,02 = 0,26

29 10. příklad V populaci je 5 % diabetiků; 2 % populace jsou diabetici kuřáci. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolený diabetik je kuřák? Řešení: p = 0,02 0,05 = 0,4

30 10. příklad rozšíření V populaci je 5 % diabetiků; 2 % populace jsou diabetici kuřáci. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně zvolený diabetik není kuřák? Řešení: p A = 1 p A = 1 0,4 = 0,6

31 11. příklad Jaká je pravděpodobnost, že při házení mincí padne dvakrát za sebou orel? Řešení: p = 0,5 0,5 = 0,25

32 12. příklad Jaká je pravděpodobnost, že při šesti hodech kostkou padne aspoň jednou šestka? Řešení: A - nepadne ani jedna šestka p(a) = 1 p( A) = = 0,665

33 13. příklad Permutace z rychlého opakování: V osudí je 5 lístků s hodnotami 1 až 5. Lístky se postupně vytahují a nevrací se do osudí. Kolika různými způsoby je lze postupně vytáhnout? Řešení: 5! = = 120

34 13. příklad rozšíření V osudí je 5 lístků s hodnotami 1 až 5. Lístky se postupně vytahují a nevrací se do osudí. Jaká je pravděpodobnost, že 1 nebude první? Řešení: A - 1 bude první p A = 1 p A = = 0,8

35 14. příklad Na Jaká pozemku definice o pravděpodobnosti rozměru 10 x 10 metrů byla je použita? umístěna nášlapná mina kulatého půdorysu o poloměru 0,5 metru. Odpověď: Jaká je pravděpodobnost, že mina vybuchne, Geometrická pokud definice na pozemek pravděpodobnosti hodíme náhodně kámen? Řešení: P A = ω S Celková plocha: S = a 2 = 100 m 2 Plocha miny: ω = πr 2 = 0,785 m 2 p = ω S = 0, = 0,00785

36 Pro dnešek vše, ale ještě jedna myšlenka Statistika je jako bikini. Co odhaluje je zajímavé, co skrývá je podstatné. Aaron Levenstein