K2 7 E=. 2 1 Snadno zjistíme, že všechny nenulové násobky vektoru( 2, 1) jsou vlastními vektorymatice[ϕ]
|
|
- Jiřina Vlčková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 . Vlastní čísla a vlastní vektory.. Uvažujme endomorfismus ϕ na reálném vektorovém prostoru R s maticí [ϕ] K = vzhledemkekanonickébázi K 6. (a) Najděte všechna vlastní čísla a všechny jim příslušné vlastní vektory ϕ. (b) rozhodněte, zda je ϕ diagonalizovatelný, (c) existuje-li,najděteortonormálníbázír sestandardnímskalárnímsoučinem, vůči níž má ϕ diagonální matici. (a) Máme zjistit, pro která reálná(vlastní) čísla λ existuje nenulový(vlastní) vektorv,aby ϕ(v)=λv.tomůžemeekvivalentněvyjádřitvetvaru(ϕ λid)(v)= 0,avmaticovémzápisuprolibovolnoubázi BprostoruR vetvaru ([ϕ] B λe)[v] T B=[(ϕ λid)] B [v] T B=[0] T B=(0,0) T. Hledáme tedy všechna taková λ R, pro něž existuje netriviální řešení homogenní soustavyrovnicsečtvercovoumaticí[(ϕ λid)] B.Tonastáváprávětehdy,kdyžje matice[ϕ] B λesingulární.spočítámetedynejprvevlastníčíslamaticeendomorfismu vzhledem k nějaké pevně zvolené bázi. Poznamenejme, že při tom nezáleží na volbě báze, ale je důležité, abychom počítali s maticí endomorfismu, tj. s maticí daného homomorfismu vzhledem k stejné bázi v definičním oboru i oboru hodnot. Vnašempřípaděbudemepracovatsmaticí[ϕ] K. Určíme charkteristický polynom matice det([ϕ] K λe)=( λ)(6 λ) 4=λ 9λ+4=(λ )(λ 7). Vlastníčíslamatice[ϕ] K jsoutedyprávěkořenycharakteristickéhopolynomu, tedyčíslaa7.dálebudemepostupnědosazovatdomatice[ϕ] K λevypočtená vlastníčíslaabudemehledatvlastnívektorymatice[ϕ] K,tedynenulovářešení homogenních soustav rovnic s maticemi, která tvoří právě souřadnicové vektory vlastních vektorů endomorfismu ϕ: 4 [ϕ] K E=, [ϕ] 4 K 7 E=. Snadno zjistíme, že všechny nenulové násobky vektoru(, ) jsou vlastními vektorymatice[ϕ] K příslušnýmivlastnímučísluavšechnynenulovénásobkyvektoru (,)jsouvlastnímivektorymatice[ϕ] K příslušnýmivlastnímučíslu7. Konečněmáme-lispočítanésouřadnicevlastníchvektorů[v] K vzhledemkekanonické bázi, okamžitě vidíme, že množinu všech vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu tvoří (, ) {(0, 0)} a množinu všech vlastních vektorů příslušnýchvlastnímučíslu7tvoří (,) {(0,0)}. (b) Uvážíme-li, že máme dvě různá vlastní čísla endomorfismu na prostoru dimenze, víme, že jde o diagonalizovatelný endomorfismus. Protože jsme v(a) našlivlastnívektorystačívzítbázi M = ((,),(,)),abychomdostalimatici 0 [ϕ] M = vzhledemkbázi M. 0 7 (c)protožejematice[ϕ] K symetrická,jdeounitárnědiagonalizovatelnoumatici, tedy víme, že požadovaná ortonormální báze existuje. Snando nahlédneme, že B = ( 5 (,), 5 (,))jeortonormálníbázeprostorur sestandardnímskalárním 0
2 0 součinema[ϕ] B =. Na závěr poznamenejme, že bází s požadovanými 0 7 vlastnostmiexistujeprávěosm:(± 5 (,), ± 5 (,))a(± 5 (,), ± 5 (,)).. Najděte všechna vlastní čísla a všechny vlastní vektory reálné matice A = a rozhodněte, zda je(ortogonálně) diagonalizovatelná. Předně si všimněme, že je matice A reálná symetrická, proto ortogonálně diagonalizovatelná, což nám usnadní výpočet vlastních čísel a vektorů. Nejprve určíme vlastní čísla. Mohli bychom standardně spočítat charakteristický polynomdet(a λe)anajítjehokořeny.vnašempřípadějeovšemsnadnéuhádnoutvlastníčíslo,protožematicea E= je zjevně singulární. Vyřešíme-li homogenní soustavu rovnic s maticí A E dostaneme všechny příslušnévlastnívektoryv,tedyv (,,0),(,0,) \ {0}.ProtožejeAortogonálně diagonalizovatelná, víme, že další vlastní vektor musí být kolmý na vektory příslušnévlastnímučíslu,tedymusíležetvpodprostoru (,,0),(,0,) = (,,).Proto(,,)musíbýtvlastnívektormaticeAaspočítáme-lisoučin A (,,) T =(4,4,4) T,dostávámedruhé(aposlední)vlastníčíslo4.Zopakujme,že v 4 jevlastnívektorpříslušnývlastnímučíslu4,právěkdyžv 4 (,,) \{0},tedy, že (,, ) je množina všech řešení homogenní soustavy s maticí. Nazávěrpoznamenejme,žespektrum σ(a)={,,4}ažeznalezenýchvlastních čísel a dimenzí podprostorů vlastních vektorů(tzv. geometrické násobnosti) můžemezjistit,žecharakteristickýpolynommaticeajedet(a λe)= (λ ) (λ 4) MějmematiciA= 4 nadtělesemz (a) Najděte(nadZ 5 )všechnavlastníčíslaavšechnyvlastnívektorymaticea, (b) dokažte, že je matice A diagonalizovatelná, (c) najděteregulárnímaticipnadz 5,pronižjeP APdiagonální. (a)nejprvehledámenadtělesemz 5 kořenypolynomu p(λ)=det(a λe)= 4λ +4λ +.Prostýmdosazením,zjistíme,že p()=0ap()=0,tedyvlastní číslamaticeajsouprávěa.dáleřešímehomogennísoustavyrovnicsmaticí A EA E: 0 0 A E= 4 0, A E= Zřejmě například vektory(, 0, ) a(0,, 0) tvoří bázi podprostoru vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu a vektor(,, 4) tvoří bázi podprostoru vlastních vektorů příslušných vlastnímu číslu.
3 7./8.4. (b)uvážíme-li,žeposloupnost M=((,0,),(0,,0),(,,4))jebázeZ 5,vidíme, že je matice A diagonalizovatelná. (c) Interpretujeme-li matici A jako matici endomorfismu ϕ zhledem ke kanonickébáziavezmeme-limaticipřechodup=[id] BK,pakvidíme,žeP AP= 0 0 [Id] KB[ϕ] K [Id] BK =[ϕ] B = 0 0.Tedyzjistilijsme,žeP=[Id] BK = Nechť ψjeendomorfismusnavektorovéprostorur nadtělesemreálných číseldanýpředpisem ψ(x,y,z)=(x+y+ z,x y+z, y). (a) Najděte všechna vlastní čísla a všechny vlastní vektory endomorfismu ψ, (b) existuje-li, najděte bázi B, vůči níž ma endomorfismus ψ diagonální matici, (c) najdětematiciendomorfismů ψ a ψ 54 vzhledemkekanonickébázi, (d)určetevlastníčíslaavšechnyvlastnívektoryendomorfismu ψ 8. (a)nejprvesnadnourčímematiciendomorfismu[ψ] K = vzhle- demkekanonickébázi K apoténajdemejejívlastníčísla.mámetřirůznávlastní 0 0 čísla0,a.vyřešíme-lisoustavysmaticemi[ψ] K +E = 0, 0 0 [ψ] K 0E=,[ψ] K E=. najdeme právě všechny vlastnívektory (,0, ) \ {0}, (,, ) \ {0}a (,,) \ {0}. (b)posloupnost B=((,,),(,0, ),(,, ))jetvořenavlastnímivektory příslušnými různým vlastním číslům, tudíž jde o lineárně nezávislou posloupnost.protoje BbázeR a[ψ] B = (c)uvědomíme-lisi,že[ψ n ] B =[ψ] n B,určímesnadnomatice ψ a ψ 54 vzhledem kbázi: [ψ ] B =[ψ] B = ( ) = =[ψ] B, [ψ 54 ] B =[ψ] 54 B = = =[ψ ] B, 0 0 ( )
4 Tedyokamžitěvidíme,že[ψ ] K = a[ψ 54 ] K = = (d)učiníme-liobdobnouúvahujakov(c),vidíme,žematice[ψ n ] B =[ψ] n B,a tedyiendomorfismus ψ n mávlastníčísla λ n provlastníčíslaendomorfismu ψ, tedy ψ 8 právevlastníčísla0,.je-linavícv λ vlastnívektorpψ(v λ )=λv λ,pak ψ n (v λ )=λ n v λ,tedy (,, ) \ {0}a (,,) \ {0}jsouvlastnívektory ψ 8 příslušnévlastnímučíslua (,0, ) \ {0}jsouvlastnívektory ψ 8 příslušné vlastnímu číslu 0. Uvážíme-li, že s vlastními vektory příslušnými stejnému vlastnímu číslu jsou vlastními vektory i jejich lineární kombinace, pak. (, 0, ) (,, ),(,,) \{0}jsouprávěvšechnyvlastnívektoryendomorfismu ψ SpočítejteA 0,jestliže 4 0 (a)a= 4 nadz 5, 0 4 (b)a= nad tělesem R, 0 0 (c) A= nadtělesemz 0 7. Podobnějakov.4(c)uvážíme,žeP A n P=(P AP) n prolibovolnouregulárnímaticip,tedya n =P(P AP) n P. (a) Využijeme-li hodnot spočítaných v.(c), dostáváme A 0 = =PEP = (b)využijeme-lihodnotyhodnotspočítanév.4apoložímep=[id] BK = 0 0 0,pakP A n P=[ψ] B = 0 0 0, proto A 0 = =P P =A = = 5.5.
5 4 n (c) Indukcí nahlédneme, že = 0 ( ( A 0 0 )) = 0 ( ( n ) ),proto 0 6 = NajdětereálnouortogonálnímaticiU,pronížjeU T 5 UnadR 5 diagonální. Nejprve podobně jako v. určíme vlastní čísla jim příslušné vlastní vektory. Jednovlastníčíslojezřejmě λ=avyřešímehomogennísoustavurovnicsmaticí A E = adostanemevlastnívektoryv (,,0),(,0,) \{0}, a protože další vlastní vektor musí být kolmý na vektory příslušné vlastnímu číslu,tj.ležívpodprostoru (,,0),(,0,) = (,,),jejímnapříkladvektor (,,).NyníspočítámeA(,,) T =(9,9,9) T,odkuddostávámevlastnímučíslo λ=9. Nyní najdeme ortonormální báze obou podprostorů vlastních vektorů. Pro vlastní číslo9stačínormalizovat,abychomdostalivektor (,,)apro λ=najdeme ortonormálníbázi( (,,0), 6 (,,))podprostoru (,,0),(,0,) napříkladgramovou-schmidtovouortogonalizací.nynípoložme B=( (,,), (,,0), 6 (,,)).Protožeje Bortonormálníbáze,jezřejměmaticepřechoduU=[Id] BK ortogonálnía U T 5 AU= = Nechťje fsymetrickábilineárníformanareálnémvektorovémprostorur s 5 maticí[f] K = 5 vzhledemkekanonickébázi.najdětebázi B,kteráje 5 ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu ω a polární vzhledem k symetrické bilineární formě f. Stačínámvzítortonormálníbázi Bz.6,onížvíme,že [f] B =[Id] T BK [f] K [Id] BK =U T AU= 0 0, 0 0 tedy Bjepolárníbáze f.
6 5.8. Najděte polární bázi symetrické bilineární formy g na vektorovém prostoru R,kterájeortonormálnívzhledemkestandardnnímuskalárnímusoučinu,jestliže [g] K = 5 Postupujeme stejně jako v úlohách.6 a.7. Nejprve standardním způsobem najdemespektrunmatice[g] K,tedy σ([g] K )={,,7}.Provlastníčíslonajdemepodprostorvlastníchvektorů V = (,,0),(,0, ) aprovlastníčíslo 7tvořípodprostorvlastníchvektorů V 7 = (,,).ZbývánámnapříkladpomocíGrammovy-Schmidtovyortogonalizacenajítortonormálníbázi V (tedynapříklad( (,,0), (,, ))anormalizovatvektor(,,).nyníje M = ( (,,0), (,, ), 6 (,,))ortonormálníbázír,kterájezároveňpolárnívzhledemke g.závěrempoznamenejme,že[g] K = BuďM=,N= komplexních čísel. 4. Jordanův kanonický tvar,k= 0 (a) SpočítejtevlastníčíslaavlastnívektorymaticM,NaK, (b)najdětejordanůvkanonickýtvarmaticm,nak, (c) rozhodněte,kterédvojicematicm,nakjsoupodobné. matice nad tělesem (a) Obvyklým způsobem snadno zjistíme, že charakteristický polynom matice MaNje(λ ) acharakteristickýpolynommaticekje(λ )(λ ),proto σ(m)={,}, σ(n)={,}aσ(k)={,}.nynívyřešímehomogenísoustavy 0 rovnicsmaticemim E=,N E=,K E= a K E= Tedy množina vlastních vektorů matice M je (, ) \{(0, 0)}, množina vlastních vektorů matice N je (, ) \{(0, 0)} a množina vlastních vektorů maticekje (0,) (,) \ {(0,0)}. (b) Víme, že Jordanův kanonický tvar matice má na diagonále právě hodnoty spektra a nad diagonálou nuly nebo jedničky. Přitom různá vlastní čísla určují různé Jordanovy buňky, proto je matice K diagonalizovatelná, a proto podobná 0 Jordanově matici.maticeminmohoubýtpodobnépouzejordanovým 0 ( ) 0 maticím nebo,podobnostsprvníznichbyovšemznamenala,žeje 0 0 matice M či N diagonalizovatelná, zatímco v(a) jsme zjistili, že vlastní vektory ani matice M ani matice N netvoří bázi, tedy matice diagonalizovatelné nejsou. ( Tedy ) je Jordanův kanonický tvar matice M i N roven právě Jordanově buňce. 0
7 6 (c)víme,žedvěpodobnématicemajínutněstejnáspektra,tedymaticeknení podobná matici M ani N. Na druhou stranu, dvě matice se stejným Jordanovým kanonickým tvarem jsou podobné, tedy M N 4.. Najděte Jordanův kanonický tvar a zjistěte, zda jsou si podobné, komplexní 4 maticea= ab=. 0 0 Uoboumaticsnadnozjistíme,žedet(A λe)=det(b λe)= λ +λ λ+=( λ) Obětedymajístejnéspektrumamusíbýtpodobnéjednéz následujících matic v Jordanově kanonickém tvaru: J = 0 0, J = 0 0, J = PodobnostsmaticíJ =Ebyznamenala,žejematicediagonalizovatelná,což zjevně ani pro A ani B neplatí. Uvědomme si, že podprostor vlastních vektorů matice A ani B musí mít stejnou dimenzi jako podprostor vlastních vektorů jejich Joradnova normálníhoo tvaru matice. Tedy matice A E respektive B E musí mít stejnouhodnostjakomaticej i EpropříslušnýJordanůvnormálnítvarmatice. Protože h(a E)=ah(B E)=,jematiceAnutněpodobnáJordanově maticij amaticebjepodobnájordanověmaticij.zjordanovyvětypotom plyne,žematicej aj nejsoupodobné,protonejsoupodobnéanimaticeaa B ( Najděte regulární ) ( matici ) P nad tělesem komplexních čísel, pro níž platí, že 5 P P=. 0 5 Využijemeúdaje,kteréjsmeomaticiM= zjistili v 4.. Označme ϕendomorfismusnaprostoruc smaticí[ϕ] K =Mvzhledemke kanonické bázi. Podobně jako u úloh týkajících se diagonalizovatelnosti můžeme problémpřevéstnaotázkunalezeníbáze B=(v,v( )vůčinížbudemítmatice ) endomorfismu ϕjordanůvkanonickýtvar,tj[ϕ] B =. To ovšem znamená, 0 že ϕ(v )=v a ϕ(v )=v +v.odtudokamžitěvidíme,ževektorv jeprávě vlastnímvektoremmaticem,zvolmenapříkladvektor(, )adruhývektorv dostanemejakořešenínehomogennísoustavyrovnic(m E)v T =v T smaticí ( takhledanoumaticip=[id] BK = ).Vidíme,žesoustavuřešínapříkladvektor(,0),našlijsme
8 4.4. Mějme komplexní matice G =,H= 0. (a) NajděteJordanůvkanonickýtvarmaticGaH, (b)spočítejteg 50, (c) existuje-li,najdětepřirozené n,prokteréh n =0. (a)opětnejprvespočítámecharakteristicképolynomydet(g λe)= (λ+) adet(h λe)= λ,tedy σ(g)={,, }aσ(h)={0,0,0}.nynístejně jako v 4. využijeme pozorování, že pro dvě podobné matice h(a λe) = h(b λe) AaBplatí,že h(a λe)=h(b λe)prokaždáskalár λ,speciálněprovlastní čísla.protože h(g+e)=ah(h)=,dostáváme G 0, H (b) Známe-li Jordanův normální tvar J matice G a spočítáme-li regulární matici P,prokterouG=PJP G 50 =PJ 50 P,zbydenámprotourčitJ 50. Matici P spočítáme stejným způsobem jako v 4.. Tedy hledáme nejdřív vlastní vektorv,tj.vyřešímehomogennísoustavurovnicsmaticíg+eapotéřešíme nehomogennísoustavyrovnic(g+e)v T =v T a(g+e)v T =v T (A+E)v=v, tedy postupně hledáme řešení soustav s maticemi: 0 0, 0, 0. 0 Spočítalijsme,ženapříkladv =(,0, ),v = (,,0)av = 9 (,,0).Tyto vektory sepíšeme do matice přechodu P = 0 9 odkanonickébázikbázi (v,v,v )aobvyklýmzpůsobemurčímeinverznímaticip =. ( ) 50 ( ) Dáleurčímepodobnějakov.5(c)hodnotuJ 50 = 0 ( ) ( ) 50 KonečnězbývádopočítatG 50 =PJ 50 P = = = (c) Uvažujeme stejně jako v(b), tedy uvědomíme si, že existuje regulární matice n Q,prokterouH n =Q 0 0 Q stačínahlédnout,že 0 0 0a =0,tedyhledanéminimální n=. 9 7
9 Je-li ϕendomorfismusnac smaticí[ϕ] K = vzhledem ke 4 kanonickébázi K,najdětebázi,vůčinížmá ϕjordanovumatici. Nejprvemusímeurčitspektrum σ(ϕ)={,,}.definujme f= ϕ Id.Určíme jádrakerfaker f.nejprvespočítámematice 0 [f] K =[ϕ] K E= 0,[f ] K =[f] K = a[f ] K = [f] K = 0.Dálenajdemeřešeníhomogenníchsoustavrovnicsdanýmimaticemi,cožbudouprávějádraendomorfismů f, f a f.tedykerf = C,Kerf = (0,,0),(,0, ) aker f = (,0, ).Zvolímevektordoplňku Ker f vprostorukerf,například(,0,0).konečněspočítámevektory f(,0,0)= (,,)af (,0,0)=(,0,)apoložíme B=((,0,),(,,),(,0,0)). 0 Potom[ϕ] B = Další úlohy () Najděte všechna vlastní čísla a všechny jim příslušné vlastní vektory endomorfismu ϕnareálnémvektorovémprostorur 4 aarozhodněte,zdaje ϕ diagonalizovatelný jestliže (a) [ϕ] K4 = 0 0 0, (b) [ϕ] K 4 = , (c) [ϕ] K4 = , (d) [ϕ] K 4 = , (e) ϕ=id, (f) ϕ=0. () Najděte všechna vlastní čísla a všechny vlastní vektory reálné matice A = 0 0 0,arozhodněte,zdajematicediagonalizovatelná 0 () NajdětenadtělesemZ 7 všechnavlastníčíslaavšechnyvlastnívektorymaticea= a existuje-li, najděte regulární matici P, pro niž je 4 4 P APdiagonílní.
10 (4) MějmekomplexnímaticeG= 0,H= (a) NajděteJordanůvkanonickýtvarmaticGaH, (b)spočítejteg 5 ah 5, (c) najděte Jordanův kanonický tvar matic GH a HG. (5) Najděte polární bázi symetrické bilineární formy f na vektorovém prostoru R n,kterájeortonormálnívzhledemkestandardnnímuskalárnímusoučinu, jestliže (a) n=a[g] K =, 4 0 (b) n=a[g] K = 0, (c) n=8ag(e i,e j )=+δ ij, (d) n=4ag(e i,e j )=i+j. 9
1. Jordanův kanonický tvar
. Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VícePodobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
Více(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.
(1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceGEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ. Josef Janyška
GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ Josef Janyška 21. února 2019 Obsah 1 LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ NA VEKTOROVÝCH PROSTORECH 1 1.1 Lineární zobrazení vektorových prostorů.............. 1 1.2 Invariantní podprostory.......................
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VícePodobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Více1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
Více2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice
26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceCHARAKTERISTICKÉ VEKTORY
Kapitola 3 CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY Nyní se budeme zabývat vlastnostmi matic lineárních zobrazení A: V V, kde V je vektorový prostor dimenze n Protože každý komplexní n -dimenzionální vektorový prostor
VíceDefinice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)
14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Více2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Více2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
Více(u, v) u. v. cos φ =
LA 3. cvičení Ortogonalita, Gramm-Schmitův ortonormalizační proces Lukáš Pospíšil, Martin Hasal,2 Ortogonální systém vektorů Poznámka: Motivace - připomeňme si Kosinovu větu v obecném tvaru kde φ je úhel
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VíceVlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů
Drsná matematika I 8. přednáška Vlastnosti lineárních zobrazení a velikost vektorů Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 15. 11. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Matice zobrazení 3 Vlastní
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceMichal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VícePožadavky ke zkoušce
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic 1 Spočítejte v C (komplexních číslech): -(4+3i), (4+3i) + (2-i), (4+3i) (2-i), (4+3i) -1, (4+3i) -1 (2-i) (4+3i) + (2-i) (4+2) + (3-1)i 6+2i, (4+3i) (2-i) (8+3) + (-4+6)i 11+2i,
VíceOrtogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceBáze konečněrozměrných vektorových prostorů, lineární zobrazení vektorových prostorů
Báze konečněrozměrných vektorových prostorů, lineární zobrazení vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ) Připomeňme, že konečná posloupnost u 1, u 2,, u n vektorů z V je
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Více6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Vícea + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Víceα 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
VíceVÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(19. 4. 2011), varianta R 1.Nechť p, q, rjsoupolynomy,všechnymajístupeňroven n.pakpolynom má stupeň: a)vždyroven n 2, b)vždyroven2n, c)vždyroven n, d)nejvýšeroven
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
Víceftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Vícez textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceKapitola 5. Symetrické matice
Kapitola 5 Symetrické matice Symetrické matice mají mezi všemi maticemi významné postavení. Nejen, že se častěji vyskytují v aplikacích, ale i jejich matematické vlastnosti jsou specifické. V této kapitole
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
Více1.13 Klasifikace kvadrik
5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Více