Příklady k zápočtu molekulová fyzika a termodynamika

Transkript

1 Příklady k zápočtu molekulová fyzika a termodynamika 1. Do vody o teplotě t 1 70 C a hmotnosti m 1 1 kg vhodíme kostku ledu o teplotě t 2 10 C a hmotnosti m 2 2 kg. Do soustavy vzápětí přilijeme další vodu o teplotě t 0 C a hmotnosti m 1 kg. Stanovte, v jakém stavu se bude soustava nacházet po dosažení termodynamické rovnováhy. 1 Měrná tepelná kapacita vody je c v 180 J kg K, měrná tepelná kapacita ledu 1 c l 2100 J kg K a měrné skupenské teplo tání pro fázový přechod led-voda poté l t kj kg. Celý proces probíhá za normálního atmosférického tlaku Pa. 2. Za teploty t 1 0 C má předmět ze železa tvar krychle s délkou hrany a 0,2 m a předmět ze zinku tvar kvádru s délkou dvou hran rovněž a 0,2 m a délkou třetí hrany b 0,199 m. Stanovte, za jaké teploty t budou mít obě dvě tělesa stejný objem. Koeficienty délkové roztažnosti jsou u železa r 5 K 1,2 0 a u zinku 2,9 0 K. Fe Zn 5. Můžeme změřit zvětšení průměru mosazného válečku způsobené zahříváním teploty t 5 C na teplotu t 5 C mikrometrem, který měří s přesností na 0,01 mm? Při teplotě t 5 C byl průměr válečku d 0 20,5 mm. Koeficient teplotní roztažnosti mosazi je 18,7 10 C Za velmi nízkých teplot se molární tepelná kapacita chloridu sodného mění s teplotou podle tzv. k T 1 Debyeova zákona ve tvaru C, kde 281 K, k 198,8 J mol K. Spočtete: a) jaké teplo Q je zapotřebí k ohřátí n 2 molů NaCl z teploty T 1 10 K na teplotu T 2 50 K, b) průměrnou kapacitu C pr v teplotním intervalu T 1 až T 2, c) kapacitu C 1 při teplotě T Ocelový hřebík o hmotnosti m 50 g byl zaražen do prkna n 20 údery kladiva. Hmotnost kladiva byla m k 0,5 kg a jeho dopadová rychlost v 12 m s. Ráz považujeme za dokonale nepružný. Jaké je zvětšení teploty hřebíku T, přijal-li 70% tepla vzniklého při dopadech kladiva? Měrná tepelná 1 kapacita oceli je c o 82 J kg K. 6. Jaký výkon P potřebujeme vyvinout, chceme-li za čas t 1 hodina přeměnit m 80 kg ledu teploty 1 t 1 20 C v páru o teplotě t C. Měrná tepelná kapacita ledu je c l 2100 J kg K, 1 měrná tepelná kapacita vody c v 180 J kg K, měrné skupenské teplo tání ledu l t kj kg a měrné skupenské teplo vypařování vody l v 2256 kj kg. 1

2 7. Ocelový předmět o hmotnosti m 1 0,9 kg a teplotě t 1 00 C byl vložen do vody o hmotnosti m 2 2,5 kg a teplotě t 2 15 C. Jaká je výsledná teplota předmětu a vody t v po dosažení 1 rovnovážného stavu? Měrná tepelná kapacita oceli je c o 52 J kg K, měrná teplená kapacita 1 vody poté c v 180 J kg K. 8. V nádobě je m 1 20 g vody o teplotě T 1 29,15 K. Když do nádoby přilijeme ještě m g vody o teplotě T 2,15 K, zjistíme, že teplota po ustálení v rovnovážném stavu je t v 50 C (tj. T v 2,15 K ). Jaká je tepelná kapacita nádoby C n? Měrná tepelná kapacita vody je 1 c v 180 J kg K. 9. V nádobě je voda o hmotnosti m 1 kg a teplotě t 1 10 C. Vodu o jaké hmotnosti m 2 a teplotě t 2 90 C musíme přilít, aby výsledná teplota v nádobě byla t v 5 C? Tepelnou kapacitu nádoby zanedbejte. 10. Určete účinnost skutečného kruhového děje skládajícího se z izotermické expanze při teplotě T K, izochorického ochlazení, izotermické komprese při teplotě T 2 00 K a následného izochorického ohřátí na počáteční teplotu T K. Měrná tepelná kapacita pracovního plynu při stálém objemu je 6,5 R, látkové množství tohoto plynu poté n 1 mol. Víte, že při izotermické C V kompresi se plyn stlačil na polovinu svého předchozího objemu ( V2 2 V1 ). Celý cyklus znázorněte graficky a spočtenou skutečnou účinnost srovnejte s účinností id, kterou by měl při práci mezi danými teplotami ideální Carnotův cyklus. 11. Určete změnu volné entalpie G dusíku o hmotnosti m 100 g, jestliže byl plyn při teplotě T 00 K izotermicky stlačen z počátečního objemu V 1 na koncový V2 V 1. Molární hmotnost dusíku je M m 0,028 kg m. 12. Určete práci W vykonanou plynem řídícím se van der Waalsovou rovnicí s konstantami 2 6 a 0,17.J m mol, b 8,7 0 m mol při jeho izotermickém rozepnutí z objemu V 1 10 l na objem V2 5 V1. Počáteční tlak plynu byl p 00 kpa, jeho látkové množství pak n 1 mol. 1. Spočtete, při jaké teplotě T v bude vřít voda při vnějším tlaku p v 00 kpa. Za normálního atmosférického tlaku p Pa je teplota varu T 0 7,15 K (tj. klasicky t0 100 C). Měrné skupenské teplo vypařování u vody je l v 2256 kj kg. Hustota vody v kapalném skupenství při dané teplotě je v 1000 kg m. Hustotu vodních par pokládejte za konstantně rovnou hodnotě p 0,8 kg m. 2

3 1. Vzduchoplavecký balon naplněný héliem vystoupil z místa, kde byla teplota T K a tlak p 1 98,5 kpa do výšky, kde byla teplota T K a tlak p 2 86,5 kpa. Jak velký byl objem balonu V 2 ve výši, jestliže na počátku byl objem V m? 15. Plyn zaujímá při tlaku p 1 0,1 MPa a teplotě T1 29 K objem V 1 80 l. Na jeho stlačení vynaložíme práci W 166,8 kj. Určete výsledné hodnoty tlaku p 2, objemu V 2 a teploty T 2. Poissonova konstanta pro příslušný děj probíhající za tepelné izolace je 1, Izobarickým dějem zvýšil n 1 mol hélia (ideální plyn) svoji teplotu z T 1 27 K na T 2 7 K. Jakou práci W přitom vykonal a jaké teplo Q přitom přijal? 17. Kolik tepla Q musíme dodat héliu o objemu V l, aby při stálém tlaku p 0,2 MPa svůj objem na dvojnásobný ( V2 2 V1 ). zvětšilo 18. Vodík je dvouatomový plyn, jehož 5 R CV. Vyplňuje objem V cm při tlaku 2 p 1 51 kpa. Určete práci, kterou tento plyn vykoná, expanduje-li na objem V2 5 V1. a) izotermicky b) adiabaticky 19. Oxid uhličitý je uchováván v ocelové láhvi o objemu V 22 l při teplotě T K a tlaku p 1 2 MPa. Odhadněte jeho výslednou teplotu T 2, rozepne-li se uvedený plyn po otevření kohoutku na tlak atmosférický p Pa. Polytropický koeficient proběhlého děje je 1, Určete měrné tepelné kapacity c v a c p neznámého plynu, víte-li, že při teplotě T 29 K a tlaku p 100 kpa je jeho hustota 1,27 kg m a Poissonova konstanta plynu je,. Univerzální plynová konstanta je R 8, Kolik tepla Q je nutné odebrat m 56 g dusíku, abychom ho při teplotě T 00 K izotermicky stlačili z tlaku p kpa na tlak p kpa? Molární hmotnost dusíku je 28 g mol M m. 22. Píst ve válci stroje se posunul o délku l 10 cm, čímž se tlak ve válci zvětšil z p 1 na p2 5 p1. Celý děj probíhal adiabaticky. Určete počáteční objem vzduchu V1 ve válci, je-li plocha pístu 2 S 0 cm. Poissonova konstanta daného plynu je 1,. 2. Kolik tepla Q musíme odebrat, chceme-li stlačit V 1 5 l vzduchu normálního tlaku p Pa na objem V 2 1 l a udržovat přitom konstantní teplotu.

4 2. Vzduch o objemu V 1 10 l, teplotě T 1 27 K a tlaku p kpa nejprve izotermicky stlačíme na objem 1 V 2 V 1 a pak adiabaticky rozepneme na dvojnásobek původního objemu 5 V 2 V1. Jaká bude výsledná teplota T po adiabatické expanzi a jakou práci W plyn vykonal při celém ději? Poissonova konstanta pro vzduch je 1,. 25. Původní tlak plynu byl p kpa a po polytropické kompresi vzrostl na p2 8 p1. Jeho 1 původní objem V 1 20 m se při tom zmenšil na V2 V 1. Určete polytropický exponent práci W, kterou bylo třeba při stlačení vykonat. 26. V p V diagramu nakreslete cyklus 12 skládající se ze dvou izochor (12,) a dvou izobar (2,1). Předpokládejte, že počáteční stav je definován veličinami p 1,V 1 a dále, že platí p p, V. Uvedený cyklus poté překreslete ještě do diagramu V T V1 27. Ideální plyn přejde ze stavu p 1, V1, T1 izotermickou kompresí do stavu p 2, V2, T2, a z něho pak izobarickou expanzí do p, V, T, z něhož se následně izochorickým dějem vrací do původního stavu. Načrtněte cyklus a určete a) při kterém z uvedených dějů soustava koná práci b) kdy nastane tepelná výměna s okolím 28. Počáteční objem kyslíku je V 1 5 l a jeho tlak p kpa. Nejdříve jej izobaricky zahřejeme na objem V2 2 V1 a následně izochoricky zvýšíme jeho tlak na p p1. Určete, jakou práci W plyn vykonal, jaké teplo Q jsme mu dodali a jak se změnila jeho vnitřní energie U. 29. Jak se změní v přiblížení ideálního plynu vnitřní energie U kyslíku o hmotnosti m 100 g, který je zahřán z teploty t 1 10 C na teplotu t2 60 C, jestliže proces zahřátí probíhá a) při stálém objemu b) při stálém tlaku c) adiabatickou kompresí Molární hmotnost kyslíku je M m 2 g mol. 0. V tropických mořích je voda u povrchu mnohem teplejší než v hloubce. Je myslitelný stroj pracující mezi těmito lázněmi? Pokud ano, jakou odhadujete účinnost, pokud ne proč? 2. Carnotův stroj pracuje s účinností 1 0 %. Jak se má změnit teplota ohřívače T 1, aby účinnost vzrostla na 2 50%? Teplota chladiče je konstantně t 2 9 C.. Teplota páry přicházející z parního kotle do válce parního stroje je t C, teplota chladiče, v němž pára kondenzuje, je t 2 0 C. Jak velkou maximální práci W by stroj vykonal za ideálních podmínek při spotřebě Q,2 kj tepla?

5 . Určete práci W, kterou musíme dodat chladícímu stroji pracujícímu na principu obráceného Carnotova cyklu, jestliže v prostředí o teplotě t 2 20 C ( T 2 29,15 K) chceme zmrazit m 1 kg vody téže teploty na led o teplotě t 0 C ( T 1 27,15 K). Měrná tepelná kapacita vody je 1 c 180 J kg K, měrné skupenské teplo tání pak l kj kg. v 5. Určete celkovou práci W, změnu entropie S a účinnost u vratného kruhového děje skládajícího se z izobarické expanze, izochorického ochlazení a izotermické komprese. Srovnejte účinnost tohoto cyklu s účinností ideálního Carnotova cyklu, pracují-li oba mezi teplotami T 1 00 K a T K. Předpokládejte, že plyn je dvouatomový, a že jeho látkové množství je n 1 mol. 6. Určete změnu entropie ideálního plynu S o teplotě t1 20 C, tlaku p kpa a objemu V 1 2 l, rozpíná-li se do vakua na dvojnásobný objem V 2 l. Uvažujte, že děj probíhá izotermicky. t 7. Ideální plyn necháme při tlaku p 1 0 kpa expandovat z objemu V 1 15 l na objem V 2 29,2 l. Expanze probíhá za konstantní teploty T 1. Stanovte změnu volné energie F při tomto ději. 8. Původní objem V 1 dusíku o hmotnosti m 2 g a počáteční teplotě t1 27 C byl při stálém tlaku p konst zmenšen na objem V2 V 1. Určete změnu H entalpie plynu. Uvažujte, že měrná 1 tepelná kapacita dusíku je c 102 J kg K. p 9. Hélium o hmotnosti m 120 g bylo při teplotě t 1 27 C izotermicky stlačeno. Jeho tlak se přitom zvětšil z počáteční hodnoty p 1 na koncovou p2 p1. Určete, jak se při tomto procesu změnila volná entalpie G hélia. Molární hmotnost hélia je M m g mol. 0. Vzduch o objemu V 1 1 m a počátečním tlaku p kpa izotermicky expanduje na dvojnásobný objem V 2 2 V 1. Určete práci W, kterou plyn při expanzi vykoná, výsledný tlak plynu p 2 a množství přivedeného tepla Q. 1. Ideální chladící stroj pracující podle Carnotova cyklu předává teplo z chladiče s vodou o teplotě t 1 0 C ohřívači obsahujícímu vodu o teplotě t C teplou. Jak velké množství vody m 1 je nutné zmrazit v chladiči, aby se v ohřívači změnila voda o hmotnosti m 2 1 kg v páru o teplotě stále t C? Měrné skupenské teplo tání vody je l t kj kg, měrné skupenské teplo vypařování poté l v 2256 kj kg. 2. Z nádoby, v níž je uskladněno hélium pod tlakem p 1 10 MPa, začne poškozeným ventilem plyn pomalu utíkat, až tlak klesne na hodnotu tlaku atmosférického p Pa. Celý děj probíhá 5

6 izotermicky za pokojové teploty t 20 C. Určete změnu entropie S u tohoto ideálního plynu o hmotnosti m 1 kg. Molární hmotnost hélia je M g mol. m. Kyslík o hmotnosti m 20 g zvětšil při teplotě T 288,15 K izotermicky svůj objem z hodnoty V 1 na hodnotu V 2 2 V 1. Určete, jaká je změna volné energie F kyslíku při tomto ději. Předpokládejte, že kyslík se chová jako ideální plyn, a že uvažovaný děj je kvazistatický (je možné pro něj použít zákony rovnovážné termodynamiky). Molární hmotnost kyslíku je M m 2 g mol.. V nádobě tvaru válce je pístem o hmotnosti m a plošném obsahu S je uzavřen jednoatomový ideální plyn o teplotě T o. Píst je výšce h o nad dnem nádoby. Atmosférický talk vzduchu je p a. Po zahřátí plynu v nádobě vnějším tepelným zdrojem zaujme píst polohu ve výšce h nad ndem nádoby (h h o ). a) Určete výslednou teplotu plynu. B) Určete práci plynu. C)n Určete změnu vnitřní energie. D) Určete teplo přijaté plynem. Počítejte pro hodnoty: m = 6 kg, S = 160 cm 2, h o = 0 cm, h = 5 cm, T o = 00 K, p a = 10 5 Pa. 5. Koncentrace jednoatomových částic plynu je n = cm -. Najděte tlak plynu při teplotě T = 1000 K, je-li hmotnost jedné částice m = kg. 6. Vypočtěte hustotu meta CH a) za normálních podmínek, b) při t = 20 o C, p = 98 kpa. 7. V nádobě o objemu 2 m je při teplotě 100 o C a tlaku.10 5 Pa směs kyslíku O 2 a oxidu siřičitého SO 2. Vypočtěte parciální tlaky obou plynů, jestliže hmotnost oxidu siřičitého v nádobě je 8 kg. 8. Vodík obsažený v objemu 100 cm má tlak 5,1. 10 Pa. Vypočtěte jeho práci, expanduje-li na pětinásobný objem a) adiabaticky, b) izotermicky. 9. Plyn s dvouatomovými molekulami je v nádrži objemu V o při tlaku p o a teplotě T o. Plynu dodáme teplo Q. Vypočtěte výslednou teplotu a výsledný tlak plynu. 50. Kyslík o hmotnosti 20 g zvětšil při teplotě 15 o C svůj objem na dvojnásobek. Vypočtěte, jak se při tomto ději změnila volná (Helmholtzova) energie kyslíku. 51. Předpokládejme, že s pokusu se používá k přenosu tepla měděná tyč délky d = 0,5 m, průřezu S = 5 cm 2. Vypočtěte množství ledu, které roztaje za dobu = 10 minut. Tepelná vodivost mědi je 80 W.m -1.K - 1, měrné teplo tání ledu je 2.10 J.kg Jaký je výsledný tlak při adiabatické kompresi vzduchu ( =1,), je-li počáteční tlak 10 5 Pa, počáteční teplota t 1 = 18,5 o C a má-li být výsledná teplota t = 10 o C. 5. Střední kinetická teorie translačního pohybu molekul jednoho molu plynu je 2,5 kj. Zvýší-li se teplota o 00 stupňů, bude pravděpodobná rychlost molekul 62 m.s -1. Určete, o který plyn jde a jaká byla jeho původní teplota. 5. Změna entropie jednoho molu ledu při roztátí je 22,2 J.mol -1. O kolik se změní teplota tání ledu, jestliže vnější tlak rovný 10 5 Pa se zdvojnásobí? 55. Dva kovové proužky, hliníkový a železný, které mají při teplotě 0 o C stejnou tloušťku d = 2 mm a délku l o = 50 cm, jsou při této teplotě pevně snýtovány. Vypočtěte, jaký je poloměr vnitřní plochy kruhového oblouku, vytvořeného snýtovanými proužky při teplotě t = 100 o C. Součinitel délkové roztažnosti hliníku 1 = K -1, železa 2 = K -1. 6

7 56. Kolik tepla potřebuje 1 kg vody 20 o C teplé, aby se při normálním tlaku přeměnil v páru 100 o C teplou? 57. Jak se změní entropie 1 litru vody, ochladí-li se za stálého tlaku z 27 o C na 0 o C? 58. Z nádoby, v níž je uskladněno hélium pod počátečním tlakem 10 MPa, začne plyn poškozeným těsněním pomalu unikat, až tlak v nádobě klesne na normální atmosférický. Děj probíhá izotermicky za pokojové teploty. O kolik se změní za tohoto děje entropie 1 kg hélia? 59. Jaká je hustota vodních par ve vzduchu, jehož teplota je 0 o C a relativní vlhkost 75 %? Tlak nasycených vodních par při dané teplotě je asi 22 Pa. 60. Dusík, jehož hmotnost je 28 g a který je v normálních podmínkách, izotermicky stlačíme na desetinu původního objemu. Vypočtěte práci plynu při stlačení za předpokladu, že se řídí van der Waalsovou rovnicí (a = 0,1 J.m.mol -2, b = 8, m.mol -1 ) 61. Při izotermickém ději klesl tlak 1 molu plynu z hodnoty 98,1.10 Pa na 9,81.10 Pa. Jakou práci vykonal plyn, byla-li jeho teplota a) 0 o C, b) 200 o C? 62. Určete látkové množství vody, která má objem,6 litru a hustotu 10 kg.m Ocelový předmět o hmotnosti 0,90 kg a teplotě 00 o C byl vložen do vody o hmotnosti 2,5 kg a teplotě 15 o C. Jaká je teplota předmětu a vody po dosažení rovnovážného stavu? Měrná tepelná kapacita oceli je 52 J.kg -1.K -1. Předpokládáme, že tepelná výměna nastala jen mezi ocelovým předmětem a vodou. 6. V nádobě o objemu V 1 = litry je vodík o hmotnosti m 1 = 10 g, v nádobě o objemu V 2 = 5 litrů je dusík o hmotnosti m 2 = 8 g. Jaký bude tlak směsi, která vznikne po spojění obou nádob? Teplota t = 20 o C. 65. Carnotův cyklus pracuje s účinností 0 procent. Jak se musí změnit teplota zásobníku tepla, aby účinnost stroje vzrostla na 50 procent? Teplota chladiče je konstantní 9 o C. 66. Vypočítejte efektivní průměr kyslíkové molekuly, znáte-li kritické hodnoty stavových veličin pro kyslík. Van der Waalsova konstanta b je přibližně rovna čtyřnásobku vlastního objemu molekul v jednom molu. 67. Do jaké výšky h vystoupí voda mezi dvěma rovnoběžnými skleněnými deskami svisle ponořenými do vody, je-li jejich vzájemná vzdálenost d = 0,5 mm? 7