Úvod do teorie pravděpodobnosti
|
|
- Ivo Pokorný
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33
2 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná pravděpodobnost 4 Úplná pravděpodobnost 5 Bayesův vzorec Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 33
3 Náhodné jevy Pravděpodobnost intuitivně Příklad Znáte ze středí školy. Provedeme pokus (hod mincí/kostkou, výběr karty z balíčku) a sledujeme jeho výsledek (padla šestka, vybrali jsme eso). Jaká je šance, že nastane výsledek? Máme balíček obsahující 108 karet. Jakou máme šanci, že vybraná karta bude žolík? Řešení: Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 33
4 Základní pojmy Pokus: Náhodné jevy Deterministický (splnění stejných počátečních podmínek vede vždy ke stejnému výsledku). Náhodný (výsledek pokusu se mění i při zachování stejných počátečních podmínek). Základní prostor - množina všech možných výsledků pokusu: Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,..., ω n,...} }{{} elementární jevy Náhodný jev - libovolná podmnožina Ω. Jev nemožný: Jev jistý: Ω Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 33
5 Náhodné jevy Operace s náhodnými jevy S náhodnými jevy pracujeme jako s množinami. Průnik jevů A a B je jev, který nastane právě tehdy, když nastanou jevy A a B současně. Značíme jej A B. Jestliže A B =, mluvíme o jevech disjunktních (neslučitelných). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 33
6 Náhodné jevy Sjednocení jevů A a B je jev, který nastane právě tehdy, když nastane alespoň jeden z jevů A a B. Značíme jej A B. Opačný jev (nebo též doplněk) k jevu A je jev, který nastane právě tehdy, když nenastane jev A. Značíme jej A a platí A = Ω \ A. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 33
7 Náhodné jevy Příklad Házíme klasickou kostkou. Jev A značí, že padne sudé číslo. Jev B značí, že padne číslo větší než 4. Určete Ω, A, B, A, B, A B, A B, A \ B, B \ A. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 33
8 Náhodné jevy Jevové pole Bud Ω a S systém podmnožin množiny Ω, který má tyto vlastnosti 1) Ω S, 2) jestliže A S, pak také A = Ω \ A S, 3) jestliže A k S, k = 1, 2,..., pak také k=1 A k S. Pak S nazveme množinovou σ-algebrou a dvojici (Ω, S) nazveme jevovým polem. Množinu A Ω nazveme náhodným jevem, jestliže A S. S každými dvěma množinami A, B S obsahuje σ-algebra nejen jejich doplňky, ale i jejich sjednocení, průnik a rozdíl. σ-algebra je systém uzavřený na obvyklé operace s množinami. Každá σ-algebra musí obsahovat prázdnou množinu. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 33
9 Náhodné jevy Příklad Pro množinu Ω = {1, 2, 3} je příkladem σ-algebry: systém všech jejích podmnožin S 1 = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. systém podmnožin S 2 = {, {1}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Příklad Pro množinu Ω = {1, 2, 3} je příkladem systému podmnožin, který není σ-algebrou např. S 3 = {, {1}, {2}, {1, 2, 3}}. Doplněk množiny A = {1}, tj. A = {2, 3}, není prvkem S 3. Sjednocení množin A = {1}, B = {2}, tj. množina A B{1, 2}, není prvkem S 3. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 33
10 Pravděpodobnost Axiomatická definice pravděpodobnosti Necht (Ω, S) je jevové pole. Pak zobrazení P : S R nazveme pravděpodobností, jestliže splňuje následující tři axiomy: 1) P(Ω) = 1, 2) P(A) 0 pro každé A S, 3) jestliže A k S, k = 1, 2,..., jsou navzájem disjunktní jevy, A i A j = pro i j, pak P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +. Pro libovolný náhodný jev A číslo P(A) nazveme pravděpodobností jevu A. Trojice (Ω, S, P) se nazývá pravděpodobnostní prostor. Pravděpodobnost je funkce, která každé množině ze σ-algebry S přiřazuje jakousi velikost, přičemž velikost celé množiny Ω je rovna jedné. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 10 / 33
11 Pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost Jevy můžeme hodnotit podle toho, jak velkou mají naději, že při náhodném pokusu nastanou (= pravděpodobnost nastoupení). Necht základní prostor Ω je konečný a nastoupení všech elementárních jevů je stejně možné. Pravděpodobnost jevu A označíme P(A) a definujeme ji jako P(A) = počet možností příznivých jevu A počet všech možností = A Ω, kde značí počet prvků množiny. Pravděpodobnost míra možnosti nastoupení daného jevu (s jakou relativní četností nastane příslušný jev v dlouhé (!!) posloupnosti pokusů) Pearson dostal z hodů mincí relativní četnost líců 0,5005. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 11 / 33
12 Pravděpodobnost Příklad Házíme klasickou kostkou. Jev A značí, že padne sudé číslo. Jev B značí, že padne číslo větší než 4. Určete P(Ω), P(A), P(B), P(A), P(B), P(A B), P(A B), P(A \ B), P(B \ A). Příklad Pokud se ke zkoušce naučíte z 10 otázek pouze 4, jaká je pravděpodobnost, že ze 3 vylosovaných otázek budete znát a) právě 2 (jev A), b) alespoň 1 (jev B)? Řešení: a) P(A) = (4 2)( 6 1) ( 10 3 ) = 0,3 b) P(B) = 1 P(B) = 1 (4 0)( 6 3) ( 10 3 ) = 1 6 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 12 / 33
13 Příklad Pravděpodobnost Házíme 2x klasickou kostkou. S jakou pravděpodobností bude součet na obou kostkách větší než 9? Řešení: A...součet větší než 9 A = {[5, 5], [4, 6], [6, 4], [5, 6], [6, 5], [6, 6]} P(A) = 6 36 = 1 6 Příklad Kolikrát je třeba hodit hrací kostkou, aby pravděpodobnost, že alespoň jednou padne 6, byla větší než 0.7? Řešení: A...alespoň jednou padne 6 A...ani jednou nepadne 6 P(A) = 1 P(A) = 1 ( 5 6) n > 0,7 n > 6,6... n = 7 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 13 / 33
14 Pravděpodobnost Když nelze použít klasickou pravděpodobnost Co když jsou porušeny předpoklady použití klasické pravděpodobnosti, tedy základní prostor Ω není konečný, nastoupení všech elementárních jevů není stejně možné? Množina Ω se nazývá spočetná, jestliže její prvky lze uspořádat do nekonečné posloupnosti, tj. Ω = {ω 1, ω 2,... }. Spočetná množina např. N, Z,... Nespočetná množina např. R, 0, 1,... Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 14 / 33
15 Pravděpodobnost Když nelze použít klasickou pravděpodobnost Předpokládejme, že množina všech možných výsledků pokusu Ω je nanejvýš spočetná a jednotlivým elementárním jevům ω i, i = 1, 2,..., jsou přiřazeny pravděpodobnosti P(ω i ) 0, které mohou být navzájem různé a které splňují P(ω) = 1. ω Ω Pravděpodobnost jevu A Ω pak definujeme jako P(A) = ω A P(ω). Pravděpodobnost jevu A tedy počítáme tak, že sečteme pravděpodobnosti všech elementárních jevů, které do jevu A spadají. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 15 / 33
16 Pravděpodobnost Nastoupení všech element. jevů není stejně možné Příklad Máme kostku, která není homogenní, takže šestka na ní padá s pravděpodobností 0,75. Jednička padá jen s pravděpodobností 0,01. U všech ostatních čísel jsou pravděpodobnosti stejné. Jaká je pravděpodobnost, že na této kostce padne sudé číslo? Řešení: Ω = {ω 1,..., ω 6 }, kde ω i značí, že na kostce padlo číslo i, i = 1,..., 6. A = {ω 2, ω 4, ω 6 } P(ω 1 ) = 0,01, P(ω 6 ) = 0,75, P(ω 2 ) = P(ω 3 ) = P(ω 4 ) = P(ω 5 ) =? P(ω 1 )+ +P(ω 6 ) = 1 0,01+4P(ω 2 )+0,75 = 1 P(ω 2 ) = 0,06. P(A) = P(ω 2 ) + P(ω 4 ) + P(ω 6 ) = 0,06 + 0,06 + 0,75 = 0,87. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 16 / 33
17 Pravděpodobnost Základní prostor Ω není konečný, ale spočetný Příklad Házíme mincí, dokud nepadne líc. Jaká je pravděpodobnost, že budeme muset hodit více než třikrát? Řešení: Ω = {L, RL, RRL, RRRL, RRRRL,... } A = {RRRL, RRRRL,... } Výpočet P(A) = součet nekonečné řady čísel... Opačný jev = líc padne dříve než na čtvrtý pokus Padne L hned napoprvé: 1/2 Padne RL: 1/4 (LL, LR, RL a RR) Padne RRL: 1/8 (LLL, LLR, LRL, RLL, RRR, RRL, RLR, LRR) ( 1 P(A) = ) = = 1 8 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 17 / 33
18 Pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost Co když je základní prostor Ω nespočetný? Jestliže množina všech výsledků pokusu Ω tvoří oblast v R m, všechny její prvky jsou stejně pravděpodobné a µ(ω) <, pak pravděpodobnost jevu A Ω definujeme jako P(A) = µ(a) µ(ω), kde symbolem µ( ) myslíme míru oblasti. Pro jednorozměrnou oblast máme na mysli její délku, pro dvourozměrnou obsah a pro třírozměrnou objem. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 18 / 33
19 Pravděpodobnost 1D Příklad Na semaforu pro chodce svítí vždy jednu minutu zelená a tři minuty červená. K semaforu mohu přijít se stejnou pravděpodobností v kterémkoli okamžiku. Jaká je pravděpodobnost, že zrovna bude zelená? Řešení: Ω = 0, 4) A = 0, 1) (čas v minutách od poslední zelené) (zelená svítí 1 minutu) P(A) = µ(a) µ(ω) = 1 4 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 19 / 33
20 Pravděpodobnost 2D Příklad Honza a Marek mají sraz v hospodě mezi osmou a devátou hodinou (každý okamžik příchodu je stejně pravděpodobný). První příchozí si dá pivo, což mu zabere 15 minut. Jestliže do vypití piva kamarád nepřijde, tak zaplatí a odejde. Jaká je pravděpodobnost, že se Honza s Markem setkají? Řešení: Mají se potkat během 1 hodiny. x - čas příchodu Honzy (v hodinách) y - čas příchodu Marka Ω = {(x, y) : 0 x 1, 0 y 1} A - potkají se A = { (x, y) : x y 1 4 } Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 20 / 33
21 Pravděpodobnost µ(ω) = 1 µ(a) = 1 ( ) = = 7 16 P(A) = µ(a) 7 µ(ω) = 16 1 = 7 16 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 21 / 33
22 Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost Jaká je pravděpodobnost nějakého výsledku, když už víme, že první fáze pokusu dopadla určitým způsobem? Pravděpodobnost jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazveme podmíněnou pravděpodobností a označíme ji P(A B) = P(A B), P(B) > 0. P(B) Jev A nazýváme podmíněným jevem, o jevu B mluvíme jako o hypotéze. Podobně můžeme definovat pravděpodobnost jevu B za podmínky, že nastal jev A. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 22 / 33
23 Příklad Podmíněná pravděpodobnost Hodíme dvěma homogenními kostkami, bílou a červenou. Jev A značí, že na bílé kostce padne šestka. Jev B značí, že součet na obou kostkách bude větší než 10. Určete P(A B), P(B A) a P(B A). Řešení: Ω = {[1, 1], [1, 2],..., [6, 6]}, P(Ω) = 1 A = {[6, 1], [6, 2], [6, 3], [6, 4], [6, 5], [6, 6]}, P(A) = 6 36 B = {[6, 5], [5, 6], [6, 6]}, P(B) = 3 36 A B = {[6, 5], [6, 6]}, P(A B) = 2 36 B A = {[5, 6]}, P(B A) = 1 36 P(A B) = P(A B) P(B) = = 2 3 P(B A) = P(B A) P(A) = = 1 3 P(B A) = P(B A) P(A) = = 1 30 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 23 / 33
24 Příklad Podmíněná pravděpodobnost Máme sadu výrobků, z nichž jedna třetina nefunguje. Dále víme, že jedna čtvrtina z celkového počtu výrobků má poškozený obal. Z těch, které mají poškozený obal, jich nefunguje 80 %. Jestliže náhodně vybereme jeden výrobek, jaká je pravděpodobnost, že má poškozený obal a nefunguje? Řešení: A...výrobek má poškozený obal B...výrobek nefunguje P(A) = 1/4 P(B) = 1/3 P(B A) = 4/5 P(B A) = P(B A) P(A) P(B A) = P(A) P(B A) = = 1 5 Informace o počtu nefungujících výrobků byla nadbytečná. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 24 / 33
25 Podmíněná pravděpodobnost Závislost a nezávislost Někdy narazíme na jevy, které se navzájem nijak neovlivňují. Jevy A a B, které mají nenulovou pravděpodobnost, nazveme nezávislé v případě, že pravděpodobnost jevu A není nijak ovlivněna tím, zda jev B nastal nebo nenastal (a naopak), tj. platí-li P(A B) = P(A), P(B A) = P(B). Je-li pravděpodobnost některého z jevů A, B nulová, pak jevy A, B také označíme za nezávislé. Jestliže jevy A, B nejsou nezávislé, pak jsou závislé. Nutná a postačující podmínka nezávislosti Řekneme, že náhodné jevy A, B jsou nezávislé, jestliže P(A B) = P(A) P(B). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 25 / 33
26 Podmíněná pravděpodobnost Pravděpodobnost průniku/sjednocení jevů Sjednocení jevů: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (jsou-li jevy A, B disjunktní) P(A B C) = P(A) +P(B) +P(C) P(A B) P(A C) P(B C) +P(A B C) Průnik jevů: P(A B) = P(A) P(B) P(A B) = P(A)P(B A) P(A B C) = P(A)P(B A)P(C A B) (jsou-li jevy A, B nezávislé) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 26 / 33
27 Podmíněná pravděpodobnost Příklad Zjistěte, zda jsou jevy A, B nezávislé, jestliže P(A) = 0,4, P(B) = 0,6 a P(A B) = 0,7. Řešení: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 0,4 + 0,6 0,7 = 0,3 P(A) P(B) = 0,4 0,6 = 0,24 0,3(nejsou nezávislé) Příklad Z karetní hry obsahující 52 karet je náhodně vybrána 1 karta. Vypočítejte pravděpodobnost, že je to kříž nebo karta s počtem bodů od 6 do 10 (včetně) nebo dvojka. [ 31 ] 52 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 27 / 33
28 Podmíněná pravděpodobnost Příklad Dělník obsluhuje 3 stroje, které pracují nezávisle na sobě. Pravděpodobnost, že dojde během směny k poruše na 1. stroji je 0,1, na 2. stroji 0,2 a na 3. stroji 0,05. Jaká je pravděpodobnost, že během směny nedojde k poruše na žádném stroji? Řešení: A i...porucha na stroji i, i = 1, 2, 3 B...nedojde k poruše na žádném stroji P(B) = P(A 1 A 2 A 3 ) P(A 1 ) = 0,1 P(A 1 ) = 0,9 P(A 2 ) = 0,2 P(A 2 ) = 0,8 P(A 3 ) = 0,05 P(A 3 ) = 0,95 P(B) = P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) = 0,684 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 28 / 33
29 Úplná pravděpodobnost Úplná pravděpodobnost Základní prostor Ω rozdělen na n navzájem disjunktních náhodných jevů H 1, H 2,..., H n (hypotézy). Ω = n i=1 H i (tvoří úplný systém neslučitelných jevů). Známe P(H i ) > 0 pro i = 1,..., n (apriorní pravděpodobnosti). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 29 / 33
30 Úplná pravděpodobnost Úplná pravděpodobnost Necht H 1, H 2,..., H n jsou navzájem disjunktní náhodné jevy (tzv. hypotézy) takové, že P(H i ) > 0 pro i = 1,..., n. Dále necht Pak pro každý náhodný jev A platí H 1 H 2 H n = Ω. P(A) = n P(H i ) P(A H i ) = P(H 1 ) P(A H 1 ) + + P(H n ) P(A H n ) i=1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 30 / 33
31 Příklad Úplná pravděpodobnost Zkoušku z matematiky dělali studenti dvou oborů: Realitní inženýrství a Expertní inženýrství v dopravě. Z celkového počtu studentů bylo 60 % z Realitního inženýrství. U zkoušky uspělo 80 % studentů Realitního inženýrství a 75 % studentů Expertního inženýrství v dopravě. Jestliže náhodně vybereme jednoho studenta, jaká je pravděpodobnost, že uspěl? Řešení: A...student udělal zkoušku H R...student Realitního inženýrství H E...student Expertního inženýrství v dopravě P(H R ) = 0,6 P(H E ) = 0,4 P(A H R ) = 0,8 P(A H E ) = 0,75 P(A) = P(H R )P(A H R ) + P(H E )P(A H E ) = 0,78 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 31 / 33
32 Bayesův vzorec Bayesův vzorec Co když už víme, jak pokus dopadl, a ptáme se na pravděpodobnost některé z hypotéz? Jestliže P(A) > 0, pak pro každé j = 1,..., n platí P(H j A) = P(H j) P(A H j ) P(A) = P(H j ) P(A H j ) n i=1 P(H i) P(A H i ). Příklad (pokračování) Náhodně oslovený student zkoušku udělal. Jaká je pravděpodobnost, že je studentem Realitního inženýrství? Řešení: P(H R A) = P(H R) P(A H R ) P(A) = 0,6 0,8 0,78 = 0,615 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 32 / 33
33 Příklad Bayesův vzorec Do obchodu s potravinami dodávají rohlíky 3 pekárny v počtech 500, 1000 a 1500 kusů denně. Zmetkovitost dodávek je 5 %, 4 % a 3 %. Dodávky jsou v obchodě smíchány do celkové zásoby. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný rohlík z celkové zásoby je zmetek. Po koupi rohlíku jste zjistili, že vám prodavač podstrčil zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že byl dodán 2. pekárnou? Řešení: A...vybraný rohlík je zmetek H i...rohlík byl dodán i-tou pekárnou, i = 1, 2, 3 P(H 1 ) = 1/6 P(H 2 ) = 1/3 P(H 3 ) = 1/2 P(A) = 3 i=1 P(H i) P(A H i ) = 0,036 P(H 2 A) = P(H 2) P(A H 2 ) P(A) = 0,36 P(A H 1 ) = 0,05 P(A H 2 ) = 0,04 P(A H 2 ) = 0,03 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 33 / 33
Intuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
VíceObsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
Vícepravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VícePravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VíceMotivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
VícePRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
VíceJevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceJevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
Vícenáhodný jev je podmnožinou
Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového
Více5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceUrčeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
Vícea) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
VíceS1P Příklady 01. Náhodné jevy
S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře
VícePříklad 0.1. Máme balíček karet na Kanastu: celkem 56 karet, z toho čtyři žolíci. Jak často při sejmutí
0.1 Pravděpodobnost 1 0.1 Pravděpodobnost V příkladech, na kterých budeme základní pojmy vysvětlovat, se většinou setkáme s možná poněkud neprakticky vyhlížejícím házením kostkami, vytahováním barevných
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:
VíceŘešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
Více4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek
cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická
VícePopulace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1
? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceNáhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy.
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 3 Pravděpodobnost jevů Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola báňská Technická
VíceInformační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
VíceNáhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení
VíceŠkola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN
Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940
VícePodmíněná pravděpodobnost
odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní
VícePravděpodobnost (pracovní verze)
Pravděpodobnost (pracovní verze) 1. Definice pojmů Jednoduchý/náhodný pokus (simple experiment) Akt vedoucí k jednomu výsledku - např. hod kostkou, zatočení ruletou, vytažení karty z balíčku, výběr osoby
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
VíceTeorie pravděpodobnosti
Teorie pravděpodobnosti Petra Schreiberová, Viktor Dubovský Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2018 OBSAH 1 Jevy 3 1.1 Základní pojmy...................................
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
Více4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY
4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
Více1 Pravděpodobnostní prostor
PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme
VíceDiskrétní pravděpodobnost
Diskrétní pravděpodobnost Jiří Koula Definice. Konečným pravděpodobnostním prostorem nazveme dvojici(ω, P), kde Ω jekonečnámnožina {ω 1,..., ω n}apfunkcepřiřazujícíkaždépodmnožiněωčíslo zintervalu 0,1,splňujícíP(
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceZákladní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti Ing. Michael Rost, Ph.D. Co je to Statistika? Statistiku lze definovat jako vědní obor, zabývající se hromadnými jevy a procesy. Statistika zahrnuje jak
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.
2 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
Více( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204
9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
VíceZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
ZÁKLDY TEORIE RVDĚODOBNOSTI 1 Vytvořeno s podporou projektu růřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.
Úvod do informatiky přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Množiny, relace a funkce úvod Množiny, relace a funkce
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceKlasická pravděpodobnost a geometrická pravděpodobnost
Klasická pravděpodobnost a geometrická pravděpodobnost 1. Házíme čtyřmi šestistěnnými hracími kostkami. Určete, jaká je pravděpodobnost, že (a) součet čísel na kostkách bude sudé číslo a zároveň součin
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceÚvod do teorie pravděpodobnosti v předmětu Diskrétní matematika
Úvod do teorie pravděpodobnosti v předmětu Diskrétní matematika Jiří Matoušek(KAM MFF UK) Verze: 3/III/2009 Úvod 1. Symbolem náhody je hrací kostka. Pravděpodobnost, že při jednom hodu padne šestka, je
VíceMatematická statistika
Matematická statistika Tomáš Hobza 2. února 2011 Obsah Literatura 3 1 Úvod 4 1.1 Klasická definice pravděpodobnosti..................... 4 1.1.1 Základní kombinatorické vzorce................... 5 1.2
VíceIII. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina
III Přednáška Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz Věta Mějme jev. Pokud H 1,H 2, : : :,H n tvoří úplnou skupinu
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceZáklady pravděpodobnosti poznámky. Jana Klicnarová
Základy pravděpodobnosti poznámky Jana Klicnarová 1 V této části připomeneme základní pojmy a vztahy pro práci s náhodou. 0.1 Náhodné jevy Uvažujme situace, které mohou a nemusí nastat a o kterých v nějakém
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška devátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 Obsah 1 Kombinatorika: princip inkluze a exkluze 2 Počítání
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST
VíceCZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost
CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice,
VíceZnačení 1.1 (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů,
Rekurentní jevy Značení. (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů, kde každý má tutéž konečnou nebo spočetnou množinu výsledků E, E,...}. Pak E j,..., E jn } značí
Více5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b)
TEST 3 1. U pacienta je podozření na jednu ze čtyř, navzájem se vylučujících nemocí. Pravděpodobnost výskytu těchto nemocí je 0,1, 0,2, 0,4 a 0,3. Laboratorní zkouška je v případě první nemoci pozitivní
VícePascalova sázka. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky
Pascalova sázka O náhodě, pravděpodobnosti, poznávání a rozhodování Zdeněk Pospíšil Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Univerzita třetího věku 1. dubna 2016 Úvod
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
Více