Plazma v kosmickém prostoru

Transkript

1 Plazma v kosmickém prostoru

2 Literatura F. F. Chen, Úvod do fyziky plazmatu Academia, Praha, 1984 D. A. Gurnett, A. Bhattacharjee, Introduction to Plasma Physics: With Space and Laboratory Applications Cambridge University Press, 005 W. Baumjohann, R. A. Treumann, Basic Space Plasma Physics Imperial College Press, 1996 M. G. Kivelson, C. T. Russel, Introduction to Space Physics Cambridge University Press, 1995 G. K. Parks, Physics of Space Plasmas: An Introduction Westview Press, 004

3 Definice plazmatu Kvazineutrální plyn nabitých a neutrálních částic, který vykazuje kolektivní chování. Kvazineutralita: ni n e Kolektivní chování? Sahova rovnice: 3/ ni T U /kt e nn ni vzduch při pokojové teplotě: i ni 1 10 nn

4 Maxwellovo rozdělení Předpoklady: i částice se pohybují tak, že žádný směr není preferován ii složky rychlosti v x, v y, v z jsou vzájemně nezávislé F v x, v y, v z F v f v x f v y f v z ln F v ln f v x + ln f v y + ln f v z Parciální derivace podle vx: v x d ln F v d ln f v x ln F v d ln F v v vx dv vx v dv d vx Po úpravě a analogicky pro ostatní složky rychlosti: d ln f v x d ln f v y d ln f v z d ln F v konst. c v dv v x dv x v y dv y v z dv z musí být, aby mohlo být obecně splněno

5 d ln f v x c v x dv x d ln f v x c v x dv x ln f v x c v x + ln k c v x f v x k e Konstantu k určíme z normovací podmínky: f v x dv x k e k cv x c π π c dv x 1

6 f v x c c v π e x Vztah mezi teplotou a střední kinetickou energií: 1 m vx stř. 1 m vx c c v 1 e dv kt x π x A pro rozdělení rychlostí tedy platí: f v x m v x m exp πk T kt c m kt

7 F v x, v y, v z f v x f v y f v z m πk T 3/ mv x +v y +v z exp k T dv x dv y dv z v sin ϑ d φ d ϑ dv π π F vdv 0 0 F v 4 π v m πk T m πk T 3/ 3/ m v exp kt m v exp k T v sin ϑ dv d φ d ϑ

8 Pojem teploty Striktně vzato je dobře definována jen pokud je rozdělení rychlostí Maxwellovské pak odpovídá šířce rozdělení Nicméně můžeme definovat: E st 1 m v f v dv f vdv 1 nkt n počet stupňů volnosti Teplota svázaná s energií > můžeme ji vyjádřit v jednotkách energie: kt E 1 ev K

9 Několik teplot současně Frekvence srážek iontů mezi sebou a elektronů mezi sebou je větší než frekvence srážek mezi ionty a elektrony > každý druh částic může být ve své vlastní tepelné rovnováze, ale: Ti Te Navíc magnetické pole B způsobí anizotropii > rovnováha se ustavuje pro každý směr zvlášť a: T T Poznámka: bulk speed vs. thermal speed

10 Boltzmannův zákon Předpoklady: i všechny možné mikrostavy systému jsou stejně pravděpodobné ii počet možných mikrostavů W závisí jen na energii E Systém o dvou částech A, B: E EA + EB W E A+E B W E A W E B ln W E A+E B ln W E A +ln W E B ln W E E ln W E β E β E pe e Porovnání s Maxwellem: 1 β kt

11 Debyeova délka Bereme me << mi a uvažujeme pohybující se elektrony, nehybné ionty n e n 0 en 0 n e Δϕ ϵ0 1 me v + q ϕ f e v exp k Te Po dosazení: ne n0 e eϕ n0 e kt Δϕ ϵ 1 e 0 e A uvažujeme-li e ϕ/k T 1 : n0 e Δϕ ϕ ϵ0 k T e eϕ kte

12 n0 e Δϕ ϕ ϵ0 k T e Záleží jen na vzdálenosti, tj. ve sférických souřadnicích 1 Δϕ r ϕ r r r ϕ n 0 e r ϕ 0 ϵ0 k T e r A r / λ ϕ e r D λ D ϵ0 k T e n0 e 1 ne ϵ0 λd kte kti Hodnotu konstanty A určíme z podmínky, že pro r 0 se chová jako Coulombův: 1 Q r /λ ϕ e 4 π ϵ0 r D λd L Kvazineutralita tedy vyžaduje: Navíc stínění funguje jen pokud je v Debyově sféře dostatek částic: 4 3 N D n0 π λ D 1 3

13 Plazmová frekvence Δq Δ x F Δx n0 e Δ x E ϵ0 n0 e d Δx me ee ϵ Δ x 0 dt n0 e d Δx + Δx 0 ϵ0 m e dt ω pe n0 e ϵ0 m e ω p ω pe + ω pi

14 Definice plazmatu - shrnutí ni n e n λd ND 4 3 π λdn 1 3 ϵ0 k T e ne 1 f pτ τ π Pozn.: L ne > 1 ϵ0 me kinetická kt kt /3 1/3 N D potenciální e e n r

15

16 Rovnice popisující plazma Kompletní model plazmatu je selfkonzistentní self-consistent, tj. proudy a hustoty nábojů, určující pohyb částic, musí odpovídat proudům a hustotám z těchto pohybů plynoucích Jednotlivé částice Popisujeme pohyb jednotlivých částic v elektrických a magnetických polích tj.. Newtonův zákon a Lorentzova síla Zjednodušení: neřešíme selfkonzistentnost tj. zanedbáváme elektrická a magnetická pole částicemi tvořená > má smysl pro silná externí pole Kinetická teorie Plazma popisujeme pomocí distribučních funkce/í Boltzmannova kinetická rovnice: f r, v,t df f F f + v f + v f dt t m t c Zanedbání srážkového členu a dosazení Lorentzovy síly za F vede na Vlasovovu rovnici: f q + v f + E + v B v f 0 t m

17 Magnetohydrodynamika MHD Popisujeme plazma pomocí makroskopických veličin rychlostních momentů Boltzmanovy/Vlasovovy rovnice: hustotou, střední rychlostí, střední energií, Aby byl tento systém uzavřený, musíme doplnit o vztah např. mezi p a n: p C ργ + doplníme Maxwellovy rovnice, kde zanedbáme D t Hybridní modely část systému typicky ionty popisujeme jako částice, zbytek typicky elektrony jako tekutinu tj. pomocí MHD

18 Magnetické pole Země 3 B r M r cos θ 3 B θ M r sin θ Bϕ 0 3 B M r 1+3 cos θ Na povrchu Země: ~ nt pól ~ nt rovník dr rd θ Br Bθ Klesá jako 1/r3 r L sin θ r L cos λ Λ... invariantní šířka invariant latitude L... L-value, McIlwain parameter

19 1. Statické homogenní magnetické pole m dv qv B dt Změna rychlosti je kolmá na rychlost > nemění se velikost rychlosti, jen její směr > kinetická energie je invariant pohybu Rozložíme v v + v : v konst. A pro velikost kolmé složky platí: v m ρ q v B c mv ρc q B v q B ωc ρ c m guiding center - střed rotačního pohybu v každý daný okamžik, pohybuje se konstantní rychlostí podél magnetického pole

20 Pohybující se náboj vytváří proud, v našem případě tedy vznik proudové smyčky o magnetickém momentu: μ IA q q B I Tc πm mv A π ρc π qb m v w μ B B Orientace magnetického momentu je opačná ke směru magnetického pole > plazma je diamagnetické, snižuje magnitudu externího magnetického pole

21 . Statické homogenní elektrické a magnetické pole Omezme se pro jednoduchost na situaci E B paralelní komponenta elektrického pole způsobí jen zrychlení guiding center částice podél magnetické siločáry d v m 0 dt d v m qe + v B dt

22 Transformujeme do takové vztažné soustavy čárkovaná, ve které elektrické pole vymizí Lorentzova transformace, předpokládáme nerelativistické přiblížení: d v m qe + v B dt d v ' m qv ' B dt B' B v ' v E ' E + v E B 0 vektorově s B ve E ' E + v E B v ' v E + v E B B V původní nečárkované soustavě se tedy částice pohybuje po kružnici okolo magnetického pole, navíc se ale posouvá ve směru ExB rychlostí ve 1 částice driftují stejnou rychlostí nezávisle na náboji, hmotnosti a energii > nevzniká proud můžeme definovat rest frame plazmatu jako takový, kde je E0 pro nehomogenní elektrická pole pouze lokálně 3 jelikož jsou ekvipotenciály kolmé na E, je ExB drift vždy ve směru konstantního elektrostatického potenciálu, nedochází tedy ke změně energie částic

23 3. Drift díky síle kolmé na B Vlastně jen zobecnění ExB driftu, stačí definovat ekvivalentní elektrické pole ve E B B vf E F q : F B qb Kladně a záporně nabité částice jdou opačnými směry > vzniká proud Plazma konečných rozměrů produkuje na krajích polarizační náboj padání plazmatu v grav. poli

24 4. Gradient B drift x y Předpokládáme malý grad B > omezíme se na první dva členy Taylorova rozvoje: Bz B z x B z x 0 + x x 0 x A navíc: pohyb ve vztažné soustavě pohybující se driftovou rychlostí je téměř kruhový. Pohyb je periodický ve směru osy x > x-ová složka v x B síly průměrovaná časově přes jeden orbit je nulová: F x dt q v y B z dt 0

25 v y B z dt Bz B z x B z x 0 + x x 0 x 0 Bz B z x0 v y dt + x v y x x 0 dt Δy vzdálenost za jeden orbit 0 q x x 0dy q π ρc Pro odpovídající driftovou rychlost potom platí: vg Po dosazení vg Δy 1 1 Bz q π ρc Δt Δ t B z x q Δ t π/ωc w 1 Bz q Bz B z x a ω m/ωc ρc vg : w B B qb B Drift úměrný kinetické energii > ovlivňuje především vysokoenergetické částice.

26 5. Drift zakřivení Pokud je poloměr zakřivení RC, působí na částice odstředivá síla m v RC, můžeme tedy aplikovat již odvozený vztah pro drift částice způsobený externě působící silou: vc v RC B F B m qb RC qb minus je tam proto, neb odstředivá síla má opačný směr než RC, ten je definován do středu Zavedeme-li paralelní kinetickou energii 1 w m v R C w B vc qb RC, můžeme přepsat na: Drift úměrný kinetické energii > ovlivňuje především vysokoenergetické částice.

27 6. Magnetická zrcadla z 1 1 Bϕ B z B ρ ρb ρ ρ ρ ϕ z 1 Bz Bx x z 1 Bz Bρ ρ z 1 Bz By y z

28 dv z m F z q v x B y v y Bx dt q Bz Fz z 1 Bz Bx x z 1 Bz By y z vx y v y x Uvažujeme pomalé změny magnetického pole > pohyb v příčném směru je téměř kruhový: x ρc sin ωc t a dostaneme: v x ω c ρc cos ω c t B z q Fz ω c ρc z kde w μ B q y ρc cos ω c t q q vy ωc ρc sin ω c t q Bz Fz μ z je magnetický moment odpovídá klasické rovnici F m B Směr síly je vždy takový, že částice je odtlačována z oblasti se silným magnetickým polem. Fyzikálním původem síly je konvergence magnetických siločar, díky níž má Lorentzova síla v x B složku opačnou ke směru konvergence.

29 V azimutálním směru: zachování magnetického momentu F ϕ q v z Bρ > azimutální síla, která mění perpendikulární kinetickou energii! ale celková kinetická energie se nemění! d w v ϕ F ϕ q v ϕ v z Bρ dt d w Bz ρ w vz q v v z dt z B 1 Bz Bρ ρ z q vϕ v q Bz z Změna magnetického momentu: dμ d w dt dt B dμ 0 dt w d B 1 d w B dt B dt B vz z Magnetický moment zůstává zachován. Platí i pro časově proměnná magnetická pole pohyb částice v prostorově proměnných magnetických polí odpovídá prostou záměnou souřadné soustavy časové změně magnetického pole.

30 Zachování energie, odraz, pitch úhel d 1 m v + μ B 0 ds 1 m v + μ B s μ Bm v ± Pomocí pitch úhlu: w w sin α μ B B μ B m B m

31 Ztrátový kužel Loss cone sin α B Bm Bm magnetické pole v místě odrazu Bm je konečné > částice s pitch úhly menšími než mezní hodnota se neodrazí > loss cone