teorie elektronických obvodů Jiří Petržela analýza obvodů metodou orientovaných grafů

Transkript

1 Jiří Petržela analýza obvodů metodou orientovaných grafů

2 podstata metod spočívá ve vjádření rovnic popisujících řešený obvod pomocí orientovaných grafů uzl grafu odpovídají závislým a nezávislým veličinám, ted napětím a proudům orientovanými větvemi jsou vjádřen souvislosti mezi napětími a proud přenos větví jsou dán koeficient odpovídajících rovnic cesta je část grafu tvořená jednou nebo několika větvemi orientovanými ve stejném smslu, přičemž cesta nesmí procházet dvakrát jedním uzlem

3 přenosem cest rozumíme součin přenosů dílčích větví tvořících cestu smčka je uzavřená cesta, která začíná a končí ve stejném uzlu a neprochází žádným uzlem dvakrát vlastní smčka je uzavřená větev, která začíná a končí ve stejném uzlu a neprochází žádným jiným uzlem určení obvodových funkcí se provádí podle určitých pravidel přímo z grafu zjednodušení představuje možnost konstrukce grafu přímo z obvodu bez potřeb sestavovat rovnice

4 tp orientovaných grafů Coatesov graf s vlastními smčkami Masonov graf bez vlastních smček MC graf, které přímo vcházejí z metod uzlových napětí Chan-Maiov graf Chan-Bapnov graf

5 vjádření rovnic prostřednictvím orientovaných grafů k px xk p p3... p x p x + p x k k ( k ) k i + 4 p4x + p3 p34x x px px p nk x n n p ik x i Obr. : Příklad na vjádření rovnic grafem.

6 definiční vztah algoritmu sestavení orientovaného MC grafu pro metodu napětí uzlových párů k I k + kk k n i i k výsledný graf lze kreslit přímo z obvodu složením grafů dílčích n-pólů ki i Obr. : Grafické vjádření konstrukce MC grafu.

7 graf nejpoužívanějších prvků obecná plovoucí admitance (rezistor, kapacitor, induktor) obecná uzemněná admitance (rezistor, kapacitor, induktor) I Y ( ) I Y Obr. 3: Graf obecného dvojbranu, například tranzistoru.

8 analýza grafu složitějšího pasivního obvodu na obrázku Obr. 3: Graf obecného dvojbranu, například tranzistoru.

9 analýza grafu pro zjištění přenosu napětí 3 / obsahuje čtři vlastní smčk dále obsahuje šest orientovaných smček (G3-G3, G5- G5, G7-G7, G0-G0, G3-G5-G7-G0, G7-G5-G3-G0) rovněž obsahuje dvě dvojice vzájemně se nedotýkajících smček (G3-G3 a G7-G7 respektive G0-G0 a G5-G5) ze vstupního uzlu vedou do výstupního uzlu 3 celkem čtři přímé cest (G-G3, G-G0-G7-G5, G9-G5, G9-G7- G0-G3)

10 analýza grafu pro zjištění přenosu napětí 3 / po vpuštění všech vlastních smček odpovídajících druhé a čtvrté přímé cest dostáváme prázdný subgraf a příslušný subdeterminant je roven jedné subgraf pro první přímou cestu je determinant xx a pro třetí přímou cestu má hodnotu xx Obr. 3: Subgraf pro první a třetí přímou cestu u pasivního obvodu.

11 analýza grafu pro zjištění přenosu napětí 3 / aplikací Masonova pravidla získáváme výsledek I Y ( )

12 graf nejpoužívanějších prvků obecný dvojbran popsaný admitančními parametr I + I + Y Obr. 4: Graf obecného dvojbranu, například tranzistoru.

13 graf nejpoužívanějších prvků trojpól s neuzemněnou svorkou popsaný admitančními parametr Y Obr. 5: Graf obecného trojpólu, například volně ložený tranzistor.

14 pro emitorový sledovač na obrázku může být hledanou obvodovou funkcí například velikost střídavého odporu b ee + Ge rb I + G nebo přenos napětí b K () s bb ( ) ee e be eb e b ee + eb G e Obr. 5: Redukce grafu tranzistoru pro zapojení se společným kolektorem.

15 graf nejpoužívanějších prvků hlavní část transadmitančního zesilovače (OTA) se skládá ze dvou větví s přenosem +gm a gm tečkovaně jsou v MC grafu znázorněn admitance, které jsou zvnějšku připojen k příslušným uzlům zesilovače Obr. 5: Graf transadmitančního zesilovače.

16 pro příklad na obrázku bude první hledanou obvodovou funkcí přenos napětí mezi uzl a Obr. 5: Příklad na řešení obvodu s OTA zesilovači metodou grafu. () () () C C g g C g s s C C g g s sc g g g sc sc g g sc sc s s s K m m m m m m m m m m

17 druhou hledanou obvodovou funkcí bude přenos napětí mezi uzl a 3, přičemž obě obvodové funkce získáme vhodnocením stejného MC grafu Obr. 5: Příklad na řešení obvodu s OTA zesilovači metodou grafu. () () () 3 C C g g C g s s C C g g sc g g g sc sc g g sc sc s s s K m m m m m m m m m m

18 zobecněný postup vtvoření MC grafu ze schématu ve schematu vznačíme referenční uzel a očíslujeme ostatní uzl do grafu zakreslíme uzl odpovídající uzlovým napětím a proudové uzl odpovídající buzení napěťové uzl opatříme vlastními neorientovanými smčkami, jejichž přenos je roven součtu admitancí připojených k danému uzlu

19 zobecněný postup vtvoření MC grafu ze schématu nakreslíme větve orientované z proudových uzlů do těch napěťových uzlů, které jsou obrazem napájených uzlů a připíšeme k nim přenos nakreslíme větve spojující napěťové uzl a opatříme je přenos, které jsou rovn součtu admitancí připojených bezprostředně mezi těmito uzl

20 způsob konstrukce MC grafů Obr. 6: kázk tvorb MC grafu na základě znalosti obvodu.

21 vhodnocení grafu chceme zjistit neznámé napětí j vbuzené proudem I j n i P () i () i n je celkový počet cest z uzlu I do uzlu j j Δ Δ j I P j (i) je přenos i-té cest z uzlu I do uzlu j Δ j (i) je determinant části grafu, která se nedotýká i-té cest Δ je determinant celého grafu

22 vhodnocení grafu determinant grafu nebo jeho části se určí aplikací vztahu Δ x V p S S (p) je přenos smčk p ( p) ( p) ( r ) ( r ) ( s) ( s) V + S V S3 V3 + r s V (p) je součin přenosů vlastních smček, které se nedotýkají smčk p S (r) je součin přenosů r-té kombinace dvou smček, které se nedotýkají...

23 vhodnocení grafu V (r) je součin přenosů vlastních smček, které se nedotýkají r-té kombinace dvou smček S 3 (s) je součin přenosů s-té kombinace tří smček, které se nedotýkají V 3 (s) je součin přenosů vlastních smček, které se nedotýkají s-té kombinace tří smček V je součin přenosů vlastních smček, ted V i V i i ii

24 vhodnocení grafu v grafech bez vlastních smček jsou všechna V působí-li v obvodě více budicích signálů použijeme princip superpozice nejčastěji hledanou obvodovou funkcí je přenos napětí ze vstupního do libovolného výstupního uzlu K () s out in () s () s j i i P ( i) ( i) kde Δ je determinant části grafu, která se nedotýká vstupního uzlu j Δ Δ j

25 vstupní uzel obvodu na obrázku je I, výstupní je existuje jediná přímá cesta, v čitateli bude P G cesta prochází všemi uzl, platí ted Δ Obr. 6: Příklad na vtvoření MC grafu na základě znalosti obvodu.

26 graf obsahuje dvě vlastní smčk o přenosech (G +G ) a (G +G 3 +G 4 ) takže ( G + G )( G + G ) V + 3 G4 v grafu je pouze jedna orientovaná smčka, a proto S G v grafu nejsou žádné vlastní smčk, které b se tato nedotýkala, platí ted V výpočetní vztah můžeme pro řešený příklad konkretizovat I i PΔ Δ i i V P Δ S V ( )( ) G + G G + G + G G G 3 4

27 vhodnocení grafu na obrázku I Obr. 7: Ilustrativní příklad, určení vztahu pro napětí 4.

28 vhodnocení grafu tranzistorového zesilovače přenos napětí K () s i j P P ( i) ( i) I, ( j ) ( j ) I, Δ Δ I, I, i P ( i) ( i), Δ Δ, e e + Y Z Obr. 8: Tranzistorový zesilovač, základní MC graf.

29 vhodnocení grafu tranzistorového zesilovače vstupní impedance Z vstup () s I i P ( i) ( i) I, Δ Δ I, e e + Y ( ) e + YZ + e e Z Obr. 8: Tranzistorový zesilovač, základní MC graf.

30 vhodnocení grafu tranzistorového zesilovače přenos proudu K () s I I i P ( i) ( i) I, I Δ Δ I, I e e Y ( ) e + YZ e e Z Obr. 8: Tranzistorový zesilovač, modifikace grafu pro určení přenosu proudu.

31 vhodnocení grafu tranzistorového zesilovače nestandardní přenos napětí (napětí není v základním grafu definováno) při buzení proudem I K () s ( i) ( i) ( j ) ( j ) ( + Y ) I, I, i e Z e j P P I, Δ Δ I, e Y Z Obr. 0: Tranzistorový zesilovač, MC graf pro určení libovolného napětí.

32 vhodnocení grafu tranzistorového zesilovače výstupní impedance K () s ( i) ( i) ( j ) ( j ) ( + Y ) I, I, i e Z e j P P I, Δ Δ I, e Y Z Obr. : Tranzistorový zesilovač, graf vhodný k výpočtu výstupní impedance.

33 úplný a zkrácený MC graf Masonovo pravidlo lze použít pouze pro výpočt přenosů ze vstupního uzlu, z něhož orientované větve vstupují pokud do uzlu nějaké orientované cest vstupují, je třeba všechn tto cest odstranit známe-li například napětí lze odstranit z grafu i vlastní smčku příslušející tomuto uzlu, protože je součástí rovnice pro výpočet napětí

34 možnosti rozšíření MC grafu motivací je rozšíření sávající graf daného obvodu pro výpočet dalších rovnic interpretovaných grafem, které vstihují další doplňující vztah mezi veličinami jako příklad lze uvést určení proudu obecnou admitancí nebo určení napětí, které není mezi veličinami grafu I k k Y Z r j k Obr. : Tranzistorový zesilovač, graf vhodný k výpočtu výstupní impedance.

35 pro přenos napětí u zkráceného MC grafu na obrázku podle Masonova pravidla platí K () s G G + G 3 + G 4 Obr. : Příklad na zkrácený MC graf a jeho aplikace.

36 transformační graf neregulárních obvodových prvků metoda musí postihovat vliv připojení neregulárního prvku k původní regulární soustavě maticové metod redukce souřadnic napětí a proudů grafové metod transformační graf T pomocí T grafu převedeme původní MC graf regulární části obvodu na nový graf zahrnující i neregulární prvk

37 větev (vlastní smčka) výsledného grafu je tvořena jednou větví z napěťové části grafu T, přenos vjádřen parametrem c ji jednou větví nebo vlastní smčkou z původního grafu jednou větví z proudové části grafu T, přenos vjádřen parametrem d ij

38 transformační graf neregulárních obvodových prvků redukovat lze uzlový pár s veličinami ri a I ri nebo uzlový pár s veličinami rj a I rj přičemž se změní pouze přenos jednotlivých větví transformačního grafu v praxi se přenos napětí a proudu kreslí do stejné smčk, čímž se výsledný transformační graf optick redukuje Obr. : Vložení transformačního dvojbranu do regulárního obvodu.

39 transformační graf neregulárních obvodových prvků Obr. : Transformační graf neregulárních prvků.

40 transformační graf neregulárních obvodových prvků transformací došlo k přeměně větve na vlastní smčku nebo naopak je třeba změnit znaménko přenosu Obr. : Použití grafu T pro získání výsledného grafu MC.

41 příklad na obvod s ideálním operačním zesilovačem u invertujícího zesilovače na obrázku je ideální operační zesilovač připojen mezi uzl r a r3 a jeho graf T ted bude připojen mezi tto uzl uzel r se transformuje beze změn na Obr. : Příklad na transformační graf ideálního operačního zesilovače.

42 příklad na obvod s ideálním operačním zesilovačem vhodnocením nově vzniklého grafu dostáváme výraz pro přenos napětí a vstupní impedanci ve tvaru TK () s,, G P Δ Δ G Obr. : Příklad na transformační graf ideálního operačního zesilovače.

43 příklad na obvod s ideálním operačním zesilovačem a vhodnocením téhož grafu dostáváme výraz pro vstupní impedanci ve tvaru TZ Δ G () vstup s I Δ GG G Obr. : Příklad na transformační graf ideálního operačního zesilovače.

44 příklad na obvod s ideálním zesilovačem napětí u uzemněného ztrátového sntetického induktoru na obrázku je ideální zesilovač napětí připojen mezi uzl r a r a r3 jeho graf T ted bude připojen mezi tto uzl Obr. : Příklad na transformační graf ideálního zesilovače napětí.

45 příklad na obvod s ideálním zesilovačem napětí vhodnocením výsledného MC grafu obdržíme vstupní impedanci ve tvaru ( ) () s Δ sc + G TZvstup s I s Δ G sc + G sca + G () ( ) ( )G Obr. : Příklad na transformační graf ideálního zesilovače napětí.

46 vlastnosti Masonových grafů jedná se o graf signálových toků, bez vlastních smček přímo ukazují tok zpracovávaného signálu vhodné k blokovému modelování větších obvodů a sstémů se zpětnými vazbami používá se rovněž modelování obvodů přes stavový popis

47 pro obvod na obrázku zjistíme dílčí hodnot Δ Δ S S S S S, a po jejich dosazení do Masonova vzorce získáme přenos P Δ () 4, 4, 4 K s Δ Obr. : Jednoduchý příčkový článek a jeho M graf.

48 Obr. : Jednoduchý příčkový článek a jeho M graf.

49 u obvodu na obrázku realizuje první OTA distribuci proudů z uzlu, další OTA spolu s kapacitor představují proudové integrátor (výstup v uzlech 3, 4 a 5) K () s I I ( s) g () s s C na zátěži dochází k sumaci proudů vhodnocením grafu obvodu dostáváme přenosovou funkci K () s I I out in () s () s P Iin, Iout S P Iin, Iout S P Iin, Iout S s s 3 3 m g CC g + C C s s + + gg C gg C s s ggg CC C ggg + C C C

50 děkuji za pozornost