KOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část)

Transkript

1 KOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část) V první kaptole jsme se senáml s algebrackým tvarem komplexního čísla. Některé výpočty s komplexním čísly je však lépe provádět ve tvaru gonometrckém. Pon. V následujícím textu předpokládám nalost průběhu gonometrckých funkcí snus resp. kosnus. Gonometrcký tvar komplexního čísla Je dáno komplexní číslo = a + b. Znáorníme ho v Gaussově rovně. Gonometrckým tvarem komplexního čísla naýváme áps: cos sn a b cos, sn., kde Příklad 3 Vyjádřete v gonometrckém tvaru čísla: a) = + 5, b) = 5, c) = 4. a) Načrtneme s obra čísla = + 5 v Gaussově rovně. Snadno se přesvědčíme, že leží ve II. kvadrantu, tj. argument α bude úhel tupý. Nejdříve vypočítáme, tj. vdálenost obrau čísla od počátku soustavy souřadnc. a cos a b Pon. Vtah Výsledek: 9 cos48 sn48. b sn jsme př řešení nepoužl, neboť víme, ve kterém kvadrantu leží číslo = + 5. Kdybychom to nějakého áhadného důvodu nevěděl, měl bychom po výpočtu kosnu argumentu (vyšel áporný) dvě možnost II. nebo III. kvadrant. V tomto případě bychom musel jstt snus argumentu α (nebo alespoň jeho naménko). Ten je kladný (tedy I. nebo II. kvadrant), řešením je tedy argument II. kvadrantu.

2 b) Číslo = 5 leží na kladné poloose x, argument α = 0. Vdálenost čísla 5 od nuly je 5. 5 cos0 sn 0. Výsledek: c) Číslo = 4 leží na áporné poloose y, argument α = 70, = 4. 4 cos 70 sn 70. Výsledek: Pon. Absolutní hodnota a argument α jsou ekvvalentem polárních souřadnc ρ a ε běžně používaných např. v matematcké kartograf. Naprot tomu čísla a, b algebrackého tvaru komplexního čísla = a + b jsou ekvvalentem pravoúhlých souřadnc [x; y]. Pon. Kromě algebrackého a gonometrckého tvaru komplexního čísla exstuje exponencální tvar komplexního čísla používaný např. v dferencálním počtu. Jeho áps vypadá takto: e, kde e je Eulerova konstanta. Součn a podíl komplexních čísel v gonometrckém tvaru Máme čísla cos sn, cos sn cos cos. Pak platí: sn sn Příklad 4 Určete grafcky a), b) :. Výsledek ověřte výpočtem. = 3(cos 4 + sn 4 ) = (cos 5 + sn 5 ) Vyjdeme vět uvedených výše. a)

3 Zjednodušený áps konstrukce:. k; k = (0; r = 3). úhel 30A o velkost 4 3. Z; Z k polopřímka 0A 4. k; k = (0; r = ) 5. úhel 30B o velkost 5. Z; Z k polopřímka 0B 7. jednotková kružnce j se středem v počátku soustavy souřadnc 8. C; C j polopřímka 0B 9. přímka p rovnoběžná s úsečkou CZ procháející bodem Z 0. D; D p polopřímka 0A. k; k = (0; r = 0D = ZZ ). E; E k polopřímka 0B 3. m; m = (E; r = D ) 4. ZZ; ZZ k m Výpočet: 3 cos4 5 sn4 5 cos57 sn57 b) Zjednodušený áps konstrukce: 9. přímka p rovnoběžná s úsečkou ZZ procháející bodem C 0. D; D p polopřímka 0A. k; k = (0; r = 0D = Z:Z ). E; E k polopřímka 0B 3. m; m = (D; r =,5E ) 4. Z:Z; Z:Z k m Výpočet: : 3 : cos4 5 sn4 5,5 cos 73 sn 73 =,5 cos 87 sn 87

4 Movreova věta Je dáno komplexní číslo cos sn n n cos n sn n. Pro všechna přroená čísla n platí: Příklad 5 Vypočtěte (3 5). Číslo = 3 5 nejprve převedeme do gonometrckého tvaru a potom použjeme Movreovu větu. = Obra čísla leží ve IV. kvadrantu, argument α bude tedy úhel ntervalu 70 ; 30. a 3 cos cos sn cos80547 sn80547 Vyšel nám úhel jak vrata, využjeme proto perodčnost gonometrckých funkcí snus resp. kosnus a přepíšeme tento úhel do ákladního tvaru cos547 sn 547 Teď už bývá jen poslední krok převést číslo pět do algebrackého tvaru cos547 sn ,995 0, ,9 390, 5 Pon. Komu přjde výše uvedený postup přílš komplkovaný, může provést následující výpočet: Přej příjemnou ábavu. N tá komplexní odmocnna Je dáno komplexní číslo. Pak pro každé n přroené platí: n n k k cos sn, kde k = 0; ; ;... ; n n n Chceme-l odmocnt komplexní číslo 0, převedeme jej nejdříve do gonometrckého tvaru cos sn. Poté použjeme výše uvedený vorec, kde a k postupně dosaujeme celá čísla od 0 až po číslo n. Dostaneme vždy n výsledků, které veme n-tým komplexním odmocnnam čísla. Každé komplexní číslo kromě nuly má právě n růných n-tých komplexních odmocnn. Zdánlvě složtý výpočet ořejmíme na příkladu.

5 Příklad Vypočtěte 3 8. Nejprve vyjádříme číslo 8 v gonometrckého tvaru. Jedná se o číslo reálné, ležící na áporné poloose x, jehož absolutní hodnota je rovna 8. Platí tedy: 8 = 8(cos 80 + sn 80 ). Vorec pro výpočet n-té komplexní odmocnny vyjádříme pro naše potřeby ve stupních. n 30 k 30 k n cos sn, kde k = 0; ; ;... ; n n n n = 3, α = 80, a k budeme postupně dosaovat čísla 0,,. = 8 n 3 8 k = 0 k = k = cos sn 3 = cos0 sn cos sn 3 = 3 = cos80 sn cos sn 3 = = cos300 sn 300 = 3 Pon. Kdybychom se abýval danou odmocnnu poue v oboru reálných čísel, dostal bychom poue řešení =. V oboru C má však každé číslo právě n růných n-tých komplexních odmocnn, jejchž obray vytvoří v Gaussově rovně pravdelný n-úhelník, jak s ukážeme poděj př řešení bnomckých rovnc. Otáka: Co se stane, dosadíme-l a k = 3? Podle výše uvedených tvrení totž nemůže exstovat žádná jná třetí odmocnna čísla 8. Zkusíme. k = cos sn 3 3 cos 40 sn 40 = 3 4 = Pro k = 3 jsme dostal opět první kořen. Stejně tak pro k = 4 bychom dostal opět atd.