4EK201 Matematické modelování. 4. Typické úlohy lineárního programování

Transkript

1 4EK201 Matematické modelování 4. Typické úlohy lineárního programování

2 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy Nutriční problém (spec. případ směšovacího problému) Úlohy o dělení materiálu (řezné problémy) Distribuční úlohy (dopravní a přiřazovací problém) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2

3 4.1 Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Jsou dány výrobky, které lze vyrábět, a struktura výroby. Úkolem je určit druh a množství výrobků, které se budou vyrábět. Proměnné: vyráběné druhy výrobků (hodnoty určují množství vyráběného výrobku) Omezení: omezené kapacity surovin na straně vstupů, nutnost dodržet požadavky na straně výstupů Cíl: obvykle maximalizace zisku, tržeb nebo množství výrobků, popř. minimalizace nákladů apod. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3

4 4.1 Úlohy výrobního plánování - příklad Motivační příklad s výrobou autíček a panenek Ukázkový příklad s výrobou šroubků a matic (včetně interpretace) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4

5 4.2 Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Jsou dány různé investiční varianty s příslušnými parametry. Úkolem je určit objem investic do jednotlivých investičních variant. Proměnné: investiční varianty (hodnoty určují objemy investic do daných variant) Omezení: limity pro jednotlivé typy investic, celková investovaná částka, zajištěný výnos či maximální výše rizika, apod. Cíl: obvykle maximalizace výnosu nebo minimalizace rizika Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5

6 4.2 Úlohy finančního plánování - příklad Investiční společnost disponuje částkou 1,5 mil. Kč (může ale nemusí ji investovat celou) Zvažuje nákup akcií společnosti Mamut, a.s., Dinosaurus, a.s. a Ještěr, a.s. Dále uvažuje o investici do obligací a investici do vládních dluhopisů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6

7 4.2 Úlohy finančního plánování - příklad Management společnosti rozhodl, že: z důvodu rizikovosti nesmí celková investice do akcií přesáhnout 30 % celkové investované částky celková investice do obligací a dluhopisů nesmí přesáhnout 1 mil. Kč, musí však dosáhnout alespoň celková investice do akcií Do obligací musí být investováno alespoň 300 tisíc Kč Investice do společnosti Dinosaurus, a.s. nesmí být nižší než do společnosti Ještěr, a.s, ani vyšší než do společnosti Mamut, a.s. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7

8 4.2 Úlohy finančního plánování - příklad Management společnosti dále rozhodl, že: celkový výnos z investice musí být alespoň 10 % a cílem investice je minimalizace rizika Výnos Riziko Mamut, a.s. 18 % 12 % Dinosaurus, a.s. 16 % 8 % Ještěr, a.s. 14 % 7 % Obligace 7 % 2 % Vládní dluhopisy 5 % 1 % Formulujte matematický model úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8

9 Optimální řešení: x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = z = Najděte řešení v softwaru LINGO Interpretujte výsledky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9

10 4.3 Směšovací úlohy Je dána nabídka složek (komponent) s příslušnými parametry uvádějícími většinou složení. Úkolem je vytvořit směs požadovaných vlastností. Proměnné: jednotlivé složky (hodnoty určují množství použitých složek) Omezení: vlastnosti celkové směsi (zejména složení často v %, celková váha, apod.) Cíl: obvykle minimalizace nákladů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11

11 4.3 Směšovací úlohy - příklad Hříbárna v Nišovicích u Volyně nakupuje na zimu krmivo: SENO a OVES Výživné hodnoty krmiv a požadované denní dávky pro jedno hříbě jsou v následující tabulce Každé hříbě musí v krmné dávce denně dostat alespoň 2 kg ovsa Průměrná cena včetně dopravy činí 1,80 Kč za1 kg sena a 1,60 Kč za 1 kg ovsa Sestavte denní dávku krmení pro jedno hříbě tak, aby náklady byly minimální Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12

12 g / kg seno oves Sušina SNL Škrob 0,348 0,868 Vápník 6 1,6 Fosfor 2,8 3,5 Sodík 0,2 1,4 POŽADAVKY Alespoň 6200 g Nejvýše 1150 g Nejvýše 5,35 g Alespoň 30 g Nejvýše 44 g Přibližně 7 g Cena 1,80 1,60 Formulujte matematický model úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13

13 Optimální řešení: x 1 = 3,9 x 2 = 4,3 z = 13,82 Interpretujte výsledky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14

14 4.4 Nutriční úlohy Nutriční problém je v podstatě speciálním případem směšovací úlohy. Je dána nabídka složek (jídel) s příslušnými parametry uvádějícími většinou složení. Úkolem je vytvořit jídelníček požadovaných vlastností. Proměnné: jednotlivá jídla (hodnoty určují množství zahrnutého jídla) Omezení: vlastnosti jídelníčku (zejména množství bílkovin, vitamínů, apod.) Cíl: obvykle minimalizace ceny Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15

15 4.5 Nutriční úlohy příklad V kuchyni zbylo vepřové maso, brambory, Potravina kuře, jahody Energie a sýr. Vitamín C Cena Každá z těchto potravin má jistou Vepřové maso ,00 energetickou hodnotu [kj], obsah vitamínu C [mg] Brambory Kuře ,20 6,00 a svou cenu [Kč] uvedenou v následující Jahodytabulce Sestavte denní skladbu výživy tak, aby Sýr , ,60 energetická hodnota byla minimálně 6090 kj, množství vitamínu C bylo mg, nezahrnovala více než 2 porce brambor a cena byla minimální. Formulujte matematický model úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16

16 Optimální řešení: x 1 = 0 x 2 = 2 x 3 = 0 x 4 = 3 x 5 = 4 z = 80,8 Interpretujte výsledky Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17

17 4.5 Úlohy o dělení materiálu (řezné problémy) Úkolem je rozdělit větší celky (v úlohách LP jednorozměrné, např. prkna, trubky, role, pásy, apod.) na menší. Proměnné: jednotlivé způsoby dělení větších celků na menší (hodnoty určují počet opakování jednotlivých způsobů či počet větších celků, které budou děleny příslušnými způsoby) Omezení: většinou množství menších celků (i poměrově) Cíl: obvykle minimalizace odpadu nebo spotřebovaného materiálu Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18

18 4.5 Řezný problém příklad Na vnitřní dřevěné obložení chaty je třeba: maximálně 120 ks prken délky 35 cm 180 až 330 ks prken délky 120 cm alespoň 30 ks prken délky 95 cm Koupit lze jen prkna délky 4 metry Celkový odpad nesmí být větší než 360 cm Náklady na koupi prken musí být minimální Formulujte matematický model úlohy LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19

19 Řezné schéma Způsob Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 Z10 Z cm cm cm Odpad Pozn.: Řezné schéma je vhodné uspořádat tak, aby způsoby řezání i nařezané kusy byly seřazeny podle velikosti Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20

20 Optimální řešení: x 1 = 60 x 7 = 2,5 Interpretujte výsledky x 9 = 10 x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 8 = = x 10 = x 11 = 0 z = 72,5 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21

21 4.6 Distribuční úlohy Úkolem celé velké skupiny distribučních úloh je zajistit distribuci čehokoliv (např. zboží) z jedné oblasti (např. dodavatelé) do druhé oblasti (např. odběratelé). Proměnné: přiřazení jednotky z první skupiny k jednotce z druhé skupiny (např. doprava od daného dodavatele k danému odběrateli), hodnoty určují, zda k přiřazení dojde či ne (0/1) nebo jak intenzivní přiřazení je (množství převáženého zboží) Omezení: kapacity a požadavky Cíl: obvykle minimalizace nákladů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22

22 Detaily k přednášce: skripta, kapitola 2.5 KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23