KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce

Transkript

1 Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce y = ax+, kde a, R. Grafem lineární funkce je přímka Speciální případy lineární funkce: konstantní funkce je speciální případ lineární funkce pro a= 0, R, tj. funkce y =. Grafem je přímka rovnoěžná s osou x. přímá úměrnost je speciální případ lineární funkce pro { } y = ax. Grafem je přímka procházející počátkem. a R 0, = 0, tj. funkce a = 0 H = f { } Není prostá, a tedy není ani rostoucí, ani klesající Je omezená V každém x R má maximum i minimum a < 0 H = R f Je klesající v R. (je prostá) Není ani shora ani zdola omezená Nemá ani maximum ani minimum a > 0 H = R f Je rostoucí v R. (je prostá) Není ani shora ani zdola omezená Nemá ani maximum ani minimum

2 Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce 2 y ax x c a R 0;, c R. = + +, kde { } Grafem kvadratické funkce je paraola. Je sudá. a > 0 H f 2 = c ; + 4a ) Je rostoucí v intervalu ; + ), klesající v intervalu ( ; Je zdola omezená, není shora omezená V odě x = má ostré minimum Funkce je konvexní a < 0 H f 2 = ( ; c 4a Je rostoucí v intervalu ( ;, klesající v intervalu ; + ) Je shora omezená, není zdola omezená V odě x = má ostré maximum Funkce je konkávní

3 Určení vrcholu paraoly: V = [ ] x 0, y 0 Výpočet x-ové souřadnice vrcholu: x 0 = Výpočet y-ové souřadnice vrcholu: y 0 = f (x 0 ) Doplnění na čtverec: 2 Určení průsečíku paraoly s osou y: Průsečík s osou y má x-ovou souřadnici 0. y-ovou souřadnici získáme dosazením 0 do funkčního předpisu. Určení průsečíků paraoly s osou x: Řešíme kvadratickou rovnici ax 2 + x + c = 0 D = 2 4ac x 1,2 = ± D " Průsečíky: P 1 = $ + # D % ", 0' P 2 = $ & # D %, 0' &

4 Mocninná funkce Mocninná funkce je dána ve tvaru y = x n pro všechna x R

5

6 Funkce s asolutní hodnotou Funkcí s asolutní hodnotou nazýváme funkci ve tvaru: y = x Asolutní hodnota reálného čísla a je číslo a, pro které platí: je-li a 0, je a = a je-li a < 0, je a = -a - pro každé a R je tedy a 0 - je-li a 0, pak je a > 0, 0 = 0 Postup při vytváření grafu: 1 asolutní hodnota o načrtneme graf funkce ez asolutní hodnoty a část funkce, která je pod osou x zorazíme v osové souměrnosti (podle osy y) nad osu x o sestrojíme graf s uvedeným definičním oorem (intervalem) 2 a více asolutních hodnot o určíme nulové ody a pomocí nich rozdělíme osu x na intervaly o v každém intervalu odstraníme asolutní hodnotu (dosazením odu z daného intervalu: vyjde-li kladná hodnota, vnitřek asolutní hodnoty neměníme, vyjde-li záporná hodnota, v asolutní hodnotě orátíme všechna znaménka) a upravíme o sestrojíme graf s uvedeným definičním oorem (intervalem)

7 Lineárně lomená funkce ax + Lineárně lomenou funkcí rozumíme funkci ve tvaru y =, kde a,, c, d R a c 0, cx + d ad c Nakreslení grafu lineárně lomené funkce k Dělením čitatele jmenovatelem převedeme na tvar y = + l cx + d grafem každé lineární lomené funkce je hyperola, jejíž asymptoty (tečny v nekonečnu) jsou přímky y = l a x = -d/c Asymptoty & d a # Grafem je hyperola se středem v odě $ ;! % c c" Zvláštním případem je nepřímá úměrnost - je dána ve tvaru y = k, kde k x 0

8 Exponenciální a logaritmická funkce Exponenciální funkce je dána ve tvaru: y = a x Je-li a > 1, je funkce rostoucí, je-li 0 < a < 1, je funkce klesající a > 0, a 1 D(f) = (-, ) a H(f) = (0, ) Logaritmická funkce je dána ve tvaru y = log a x, kde a > 0 a různé od 1 Je-li a > 1, je funkce rostoucí, je-li 0 < a < 1, je funkce klesající D(f) = (0, ) a H(f) = (- ; )

9 Transformace grafu Posunutí ve směru osy x Posunutí ve směru osy y

10 Kontrakce a dilatace ve směru osy x Kontrakce a dilatace ve směru osy y

11 Překlopení podél osy y Překlopení podél osy x:

12 Souhrně: