PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení

Transkript

1 PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Vybrná spojitá rozdělení

2 Zákldní soubor u spojité náhodné proměnné je nespočetná množin. Z je tedy podmnožin množiny reálných čísel (R). Distribuční funkce spojité náhodné proměnné je spojitá funkce. Hustot prvděpodobnosti spojité náhodné proměnné je funkce: f :, 0, Pro kterou pltí: f ( x) dx 1 Pomocí hustoty prvděpodobnosti lze vytvořit příslušnou distribuční funkci vzthem: x F ( x) f ( t) dt U všech spojitých rozděleních náhodných proměnných budeme předpokládt, že zákldní soubor je roven reálným číslům (R).

3 Náhodná veličin X s rovnoměrným rozdělením X~R(,b),,b R, <b, má zákldní prostor Z = R hustotu prvděpodobnosti: Rovnoměrné rozdělení R(,b) distribuční funkci: jink b x b x f 0, 1 ) ( x b b x b x x x F 1 0 ) ( S1P Náhodná proměnná vybrná rozdělení

4 Hustot distribuční funkce: Rovnoměrné rozdělení R(,b)

5 Rovnoměrné rozdělení R(,b) Chrkteristiky: střední hodnot: rozptyl: medián: koef. šikmosti: koef. špičtosti: b E( X ) b D( X ) 1 ~ x b A3 ( X ) 0 9 A4 ( X )

6 Rovnoměrné rozdělení R(,b) Pod rovnoměrné rozdělení lze tké zřdit geometrickou prvděpodobnost (nezměnit s geometrickým rozdělením!). Geometrická prvděpodobnost je obdob klsické prvděpodobnosti, kde místo porovnání počtu prvků porovnáváme obshy, objemy, ( A) P( A) ( ) ( A), ( ) kde, velikosti množiny určuje délkovou, obshovou nebo objemovou míru Normovné rovnoměrné rozdělení: = 0, b = 1

7 Rovnoměrné rozdělení R(,b) Příkldy: 1) Mezi Brnem Prhou je ntžen telefonní link. Prvděpodobnost poruchy je n celé délce stejná. Spočtěte prvděpodobnost poruchy mezi km. ) Házíte jehly o délce cm n soustvu rovnoběžek, které jsou od sebe vzdáleny 8 cm. Spočtete prvděpodobnost, že jehl leží (nebo se dotýká) n nějké rovnoběžce. 3) Máte domluvenou schůzku s jednou dlší osobou mezi hodinou. Kždý z vás čeká 10 minut. S jkou prvděpodobností se setkáte?

8 Exponenciální rozdělení Exp(, λ) Náhodná veličin X s exponenciálním rozdělením X~Exp(, λ),,λ R, λ >0, má zákldní prostor Z = R hustotu prvděpodobnosti: f ( x) e ( x) 0 x jink distribuční funkci: F( x) 1 e 0 ( x) x jink

9 Exponenciální rozdělení Exp(, λ) Chrkteristiky: střední hodnot: rozptyl: medián: E( X ) D( X ) 1 1 ~ 1 1 x ln koef. šikmosti: A3 ( X ) koef. špičtosti: A4 ( X ) 9 3 6

10 Exponenciální rozdělení Exp(, λ)

11 Exponenciální rozdělení Exp(, λ) Normovné Exponenciální rozdělení: Exp(0, 1) Náhodná veličin X udává náhodnou dobu čekání n nějkou událost, která se může dostvit se stejnou šncí kždým okmžikem, bez ohledu n dosud pročeknou dobu. Příkldy plikce: - dob životnosti čekání n poruchu - dob čekání ve frontě - modelování čsu rozpdu částic

12 λ intenzit poruchy 1/λ střední dob čekání Exponenciální rozdělení je vhodným modelem, kdy nás zjímá rozdělení doby X do poruchy nějkého zřízení, přitom prvděpodobnost poruchy v následujících x hodinách není ovlivněn předcházející historií zřízení. Rozdělení se tké nzývá rozdělením bez pměti. Tedy Exponenciální rozdělení popisuje dobře rozdělení život zřízení, u nichž dochází k poruše z náhodných příčin, nikoliv v důsledku opotřebení nebo únvy mteriálu. S1P Náhodná proměnná vybrná rozdělení Exponenciální rozdělení Exp(, λ) ) ( ) ( ) ( x X P X P x X P ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x X P X P x X P X P X x X P X x X P

13 Exponenciální rozdělení Exp(, λ) Příkld: X~Exp(0, 1) A náhodný jev poruch nstne v intervlu <0, ln(3)> B náhodný jev poruch nstne v intervlu <ln(3), *ln(3)> Spočtěte: P(A), P(B), P(B/neg(A)).

14 Erlngovo rozdělení Er(k, λ) Náhodná veličin X s Erlngovým rozdělením X~Er(k, λ), kn,λr, λ>0, má zákldní prostor Z = R hustotu prvděpodobnosti: Chrkteristiky: střední hodnot: rozptyl: koef. šikmosti: koef. špičtosti: k x f ( x) ( k 1)! 0 E( X ) D( X ) A3 ( X ) k k k e k1 x 6 A4 ( X ) 33 k 6 k x 0 jink

15 Erlngovo rozdělení Er(k, λ)

16 Erlngovo rozdělení Er(k, λ) Náhodná veličin X udává náhodnou dobu čekání n k-té opkování nějké události, která se může dostvit se stejnou šncí kždým okmžikem, bez ohledu n dosud pročeknou dobu. Příkldy plikce: - dob životnosti čekání n k-tou poruchu - dob čekání ve frontě - modelování čsu rozpdu částic k částic

17 Normální rozdělení N(μ, σ ) Náhodná veličin X s normálním rozdělením X~N(μ, σ ), μ, σ R, σ >0, má zákldní prostor Z = R hustotu prvděpodobnosti: f ( x) 1 ( x) e Chrkteristiky: střední hodnot: rozptyl: medián: modus: koef. šikmosti: koef. špičtosti: E(X ) D( X ) x~ xˆ A3 ( X ) 0 A4 ( X ) 33 0

18 Normální rozdělení N(μ, σ )

19 Normální rozdělení N(μ, σ ) Vlstnosti: 1) Nechť X ~ N(, ), b R; b 0, pk pltí: Y bx ~ N( b, b ) ) Nechť X ~ N(, ), pk pltí: X U ~ N(0,1) Náhodná proměnná U má normovné normální rozdělení. Hustot se znčí (u) distribuční funkce: (u).

20 Normovné normální rozdělení N(0, 1) Náhodná veličin X s normovným normálním rozdělením X~N(0, 1), má zákldní prostor Z = R hustotu prvděpodobnosti: ( u) 1 e u distribuční funkci: u t 1 ( u) e dt

21 Normovné normální rozdělení N(0, 1) Vlstnosti: 1) Nechť U ~ N(0,1), pk pltí: ( u) ( u) ) Nechť X ~ N(, ), pk pltí:. ( u) 1 ( u) u 1 p u p x F ( x) x p u p

22 Weibullovo rozdělení Wb(δ, β) Náhodná veličin X s Weibulovým rozdělením X~Wb(δ, β ), δ, β R, δ,β>0, má zákldní prostor Z = R hustotu prvděpodobnosti: f ( x) x 0 1 e x x 0 jink Chrkteristiky: střední hodnot: rozptyl: medián: kde E( X ) (1 1 ) D (1 1 ) ( X ) (1 ) ~ x 1 ln k 1 t ( k) t e dt 0

23 Náhodná veličin X udává náhodnou dobu čekání n nějkou událost, která se může dostvit kždým okmžikem. N rozdíl od náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením má dosud pročekná dob vliv n prvděpodobnost nstoupení události. λ = δ, k= β Weibullovo rozdělení Wb(δ, β)

24 Weibullovo rozdělení Wb(δ, β) Prmetr δ: Tento prmetr mění měřítko n čsové ose, npříkld hodiny, měsíce, cykly, td. Prmetr β: Prmetr tvru typicky nbývá hodnoty mezi ovlivňuje tvr (průběh) funkce hustoty prvděpodobnosti. Weibullovo rozdělení může v závislosti n hodnotě prmetru tvru proximovt i jiná užitečná rozdělení. Npříkld pro(viz. obr. 4): β =1 Weibullovo rozdělení je identické k exponenciálnímu rozdělení, β = Weibullovo rozdělení je identické k Ryleighovu rozdělení, β =.5 Weibullovo rozdělení proximuje lognormální rozdělení, β =3.6 Weibullovo rozdělení proximuje normální rozdělení.

25 Weibullovo rozdělení Wb(δ, β)

26 Ryleighovo rozdělení R(δ) Speciální přípd Weibulov rozdělení: X~R(δ)=Wb(δ, ). Hustot prvděpodobnosti: x x f ( x) e x 0 0 jink Chrkteristiky: střední hodnot: rozptyl: medián: kde E( X ) (3/ ) D ( X ) () ~ x 1 ln k 1 t ( k) t e dt 0 (3/ )

27 Lognormální rozdělení LN(ѳ, τ ) Náhodná veličin X je trnsformcí náhodně veličiny Y LN(ѳ, τ ) tk, že X = exp(y). Hustot prvděpodobnosti: f (ln( x) 1 ( x) e x ) Chrkteristiky: střední hodnot: rozptyl: E( X ) e D( X ) e e 1

28 Lognormální rozdělení LN(ѳ, τ )

29 Aproximce diskrétních rozdělení Z vhodných podmínek lze Binomického rozdělení nhrdit Normálním rozdělením. K tomu se využívá Moivre-Lplceov vět. Moivre-Lplceov vět: Nechť X1,, X n, je posloupnost vzájemně nezávislých náhodných veličin, pro které pltí: ~ A( p) Pk náhodná proměnná Y normální rozdělení. Tedy: X i n n i1 X i np(1 limy n n np má symptoticky normovné V prxi můžeme Binomické rozdělení Bi(n,p) nhrdit Normálním N(μ, σ ) z těchto podmínek: np(1-p) > 9. Tedy μ =np, σ = np(1-p) p) ~ N(0,1) Bi(n,p) N(np, np(1-p)).

30 Aproximce diskrétních rozdělení Z vhodných podmínek lze jedno rozdělení nhrdit jiným proximce Binomického rozdělení:pomocí Normálního rozdělení Při výpočtu P( X b) F( b) F( ) lze použít vzorec: b np np(1 np) np np(1 np) U diskrétních náhodných proměnných se čsto počítá prvděpodobnost v jednotlivých bodech. Pk bychom při použití této proximce dostli 0. Proto se zvádí korekce: P( X P( X b) b) F( b 0.5) F( 0.5) b 0.5 np np(1 np) 0.5 np np(1 np) Vhodnost proximce se zlepšuje - čím je p blíže 0,5 - s rostoucím rozptylem (proto podmínk np(1-np) >9)

31 Aproximce diskrétních rozdělení Příkldy: 1) Hodíte 1000x kostkou. S jkou prvděpodobností počet pdnutí 6 bude mezi (včetně)?