Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První

Transkript

1 Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá prostorová souřadnce. Předchozí rovnce lze snadno zobecnt pro více prostorových proměnných např. ( t = D u x + u ) y Příkladem parabolcké rovnce je rovnce vedení tepla ( k T ) = ρc T x x t tato rovnce popsuje časový vývoj teploty T (t, x) uvntř nekonečné stěny, k je tepelná vodvost materálu, c je tepelná vodvost a ρ je hustota. ným příkladem je rovnce dfuze pro hustotu částc n(t, x) () (3) n x 1 n k t = (4) kde k je konstanta popsující rychlost dfuze. Parabolcká rovnce nám vlastně říká, že tam kde je druhá dervace záporná, hledaná funkce v čase klesá a naopak. Dochází tak k vyhlazování průběhu funkce - teploty se vyrovnávají, hustoty částc v různých bodech se srovnávají. Parabolcké rovnce většnou řešíme na omezeném ntervalu. Budeme předpokládat, že se jedná o nterval x,. Např. př řešení rovnce vedení tepla, bude x = reprezentovat vntřní povrch stěny a x = vnější povrch stěny. Abychom mohl rovnc řešt je třeba znát hodnoty hledané funkce v počátečním čase t = tzv. počáteční podmínku. Například je třeba zadat počáteční hodnoty ve stěně. Počáteční podmínka má obecně tvar u(, x) = p(x) (5) kde p(x) je známá funkce. Zadání počáteční podmínky však pro výpočet nedostačuje. e třeba také vědět co se odehrává na okrajích studované oblast. e tedy třeba zadat chování funkce pro x = a x =, tomuto říkáme okrajové podmínky. Např. je třeba zadat teplotu na vntřním a vnějším povrchu stěny. Okrajová podmínka může mít dva základní tvary. První možností je přímo zadání hodnot na hranc oblast tj. u(t, ) = g (t) nebo u(t, ) = g 1 (t) (6) takovéto podmínce se říká Drchletova podmínka. Druhou možností je zadání prostorové dervace funkce tj. x (t, ) = g (t) nebo x (t, ) = g 3(t) (7) takovéto podmínce se říká Neumannova podmínka. Například u rovnce vedení tepla této podmínce odpovídá zadání tepelného toku, např. nulová dervace odpovídá dokonale zolovanému povrchu stěny. Naším cílem tedy bude nalezení funkce u(t, x) pro x, a t, ), která splňuje rovnc (1), počáteční podmínku (5) a okrajové podmínky (6) č (7).

2 Numercká matematka Příklad Řešme dferencální rovnc na ntervalu, s okrajovým podmínkam a s počáteční podmínkou t = D u x (8) u(t, ) = u(t, ) = 1 (9) u(, x) = x + sn ( πx ) Snadno se přesvědčíme, že počáteční a okrajové podmínky jsou v souladu tj. podle obojího je u(, ) = a u(, ) = 1. Dosazením se lze přesvědčt, že řešením dané rovnce s těmto podmínkam je ( πx u(t, x) = x + sn )e Dπ t (11) Pro T se toto řešení plíží k ustálenému stavu Metoda sítí pro parabolcké rovnce (1) u(, x) = x (1) Ukážeme s základní metodu na numercké řešení PDR, tzv. metodu sítí přesněj zvanou metodu konečných dferencí. V této metodě se místo spojté funkce u(t, x) hledají pouze odhady řešení v konečném počtu bodů. Tyto body tvoří v oblast řešení sít, odtud je název metody. Exstuje celá řada druhů sítě, my se omezíme na nejjednodušší případ pravoúhlé rovnoměrné sítě. Body této sítě mají souřadnce [t n, x ]. Časové okamžky t n jsou rovnoměrně rozmístěny s časovým krokem a prostorové body jsou rovnoměrně rozmístěny s krokem h tj. x j = jh j =, 1,..., M h = /M (13) t n = n n =, 1,..., N (14) Obrázek 1: Konstrukce rovnoměrné ortogonální sítě. Místo spojté funkce u(t, x) tedy budeme hledat odhady tohoto řešení u n, tak aby v deálním případě platlo u n = u(t n, x ). Tento vztah nebude platt přesně, protože

3 Numercká matematka 3 numercká metoda bude opět zatížena chybou. Místo dferencálních rovnc pro u(t, x) je třeba získat tzv. dferenční rovnc pro u n. Tuto dferenční rovnc získáme tak, že parcální dervace v dferencální rovnc nahradíme některým přblžným vzorcem. Explctní metoda V nejjednodušší tzv. explctní metodě použjeme následující přblžné vzorce Dosazením do (1) dostaneme dferenční rovnc pro u n t = un+1 u n (15) u x = un +1 un + un 1 h (16) u n Z této rovnce můžeme vyjádřt j = D un +1 un + un 1 h (17) = u n j + D h (un j+1 u n j + u n j 1) (18) Pokud známe řešení u n j v časový okamžk tn, můžeme z této rovnce vypočítat řešení j v následující časový okamžk t n+1. Výpočet začneme v čase t = t =, kde máme zadáno řešení počáteční podmínkou. Poté postupujeme časem a ze vztahu (18) vypočítáme řešení v čase t 1, t,.... Vztah (18) však nelze použít v krajních hodnotách, protože například k výpočtu potřebujeme znát hodnotu u n 1, která ale leží mmo studovanou oblast. Pro výpočet krajních hodnot a je tedy třeba použít okrajových podmínek. Obrázek : Schemata pro řešení parabolcké rovnce. Explctní metoda je celkem jednoduchá, má ale jedno podstatné omezení. Pokud je časový krok přílš velký metoda není tzv. stablní. To se projeví po několka krocích metody, kdy se objeví na průběhu funkce zákmty, které se postupně zeslují, až řešení dverguje. Takové chování je samozřejmě nežádoucí. Aby toto chování nenastalo tj. aby metoda byla stablní, je třeba, aby byla splněna následující podmínka D h 1 (19) Takováto podmínka, která zajšt uje stabltu metody, se nazývá podmínka stablta. Metody se z tohoto hledska dělí na tř druhy - metody stablní, nestablní

4 Numercká matematka 4 a podmíněně stablní. Metoda se nazývá podmíněně stablní pokud potřebuje k zajštění stablty nějakou podmínku, jako výše uvedená metoda. Podmínka (19) omezuje velkost časového kroku. Tato podmínka je bohužel dost přísná. Pokud je například tato podmínka přesně splněna a my chceme zmenšt prostorový krok na polovnu je třeba zmenšt časový krok čtyřkrát, v důsledku toho vzroste časová náročnost osmkrát. Řešení vz program pdr-parabol-expl.f9. Implctní metoda Implctní metoda vylepšuje explctní metodu tím, že odstraňuje podmínku stablty. e tedy stablní, nkol jen podmíněně stablní. Tato metoda používá jnou aproxmac druhé prostorové dervace než je (16) a to u x = un+1 +1 un h () Použjeme tedy stejný dervační vzorec, ale vztažený k jnému časovému okamžku. Dostaneme tak u n = D un+1 +1 un h (1) Z této rovnce nemůžeme přímo vypočítat řešení v novém čase t n+1 protože k výpočtu je třeba jž znát řešení v sousedních bodech +1 a un+1 1. Rovnce (1) představuje tedy vztah mez třem hledaným hodnotam v novém čase t n+1 ve třech sousedních bodech. Označme s α D h, z předchozího vztahu dostaneme j u n j = α( j+1 un+1 j + j 1 ) () α j 1 + (1 + α)un+1 j α j+1 = un j (3) Pro různá máme různé rovnce, dohromady tvoří tyto rovnce soustavu lneárních rovnc pro neznáme. V matcovém zápsu 1 + α α u n α 1 + α α 1 α 1 + α u n 1 u.... n = α α 1 u n α 1 + α 1 u nq (4) Řešením této soustavy dostaneme řešení v novém časovém okamžku t n+1. Crankovo-Ncholsonovo schéma Předchozí mplctní metoda je vždy stablní. Z hledska stablty lze v této metodě volt lbovolně velký krok. Pokud však zvolíme větší krok dskretzační chyba se zvětší. Chyba mplctní explctní metody je O(, h ). Chyba je tedy úměrná pouze první mocnně časového kroku, to je způsobeno tím, že obě metody jsou nesymetrcké v čase. Tuto asymetr odstraňuje Crankova-Ncholsonova metoda. Tato metoda místo prostorové dervace v čase t n (jako explctní metoda) nebo v čase t n+1 (jako mplctní metoda) používá průměr z obou možností tj. u n = D 1 [ u n+1 +1 un h + un +1 un + un 1 h ] (5)

5 Numercká matematka 5 nebol j u n j = α [ (u n+1 j+1 un+1 j + j 1 ) + (un j+1 u n j + u n j 1) ] (6) Z této rovnce opět nelze přímo vypočítat řešení v novém čase, rovnc tedy nejprve upravíme α un+1 j 1 + (1 + α)un+1 j α un+1 j+1 = un j + α (un j+1 u n j + u n j 1) (7) Máme tedy opět soustavu lneárních rovnc pro řešení v čase t n+1. V matcovém zápsu je tato soustava 1 + α α α 1 + α α α 1 + α = u n + α (un 1 u n ) u n 1 + α (un u n 1 + u n ) u n + α (un 3 u n + u n 1 ).. (8) Crankova-Ncholsonova metoda je nepodmíněně stablní stejně jako mplctní metoda. ejí chyba je ale menší je řádu O(, h ). Tato metoda je téměř stejně časově náročná jako mplctní metoda, je ale přesnější, a proto bychom jí měl dávat přednost. Řešení vz program pdr-parabol-mpl.f9.