Trocha teorie Ošklivé lemátko První generace Druhá generace Třetí generace Čtvrtá generace O OŠKLIVÉM LEMÁTKU PAVEL JAHODA

Transkript

1 O OŠKLIVÉM LEMÁTKU PAVEL JAHODA Prezentace pro přednášku v rámci ŠKOMAM 2014.

2 Dělitelnost na množině celých čísel 3 dělí 6

3 Dělitelnost na množině celých čísel 3 dělí 6 protože

4 Dělitelnost na množině celých čísel 3 dělí 6 protože 6 = 2 3

5 Dělitelnost na množině celých čísel 2 dělí 7?

6 Dělitelnost na množině celých čísel 2 dělí 7? 7 = 3, 5 2

7 Dělitelnost na množině celých čísel 2 dělí 7? 7 = 3, 5 2 ale 3, 5 / Z

8 Dělitelnost na množině celých čísel 2 dělí 7? 7 = 3, 5 2 ale 3, 5 / Z, proto 2 nedělí 7

9 Dělitelnost na množině celých čísel Definice (a dělí b) Nechť a, b Z. Říkáme, že a dělí b (nebo také a je dělitel b, nebo b je násobek a), právě tehdy, když existuje k Z tak, že b = ka. V případě, že a dělí b budeme psát a b a skutečnost, že a nedělí b symbolicky zapíšeme a b.

10 Největší společný dělitel Největší společný dělitel čísel 12 a 16 :

11 Největší společný dělitel Největší společný dělitel čísel 12 a 16 : značíme gcd(12, 16)

12 Největší společný dělitel Největší společný dělitel čísel 12 a 16 : značíme gcd(12, 16) = 4

13 Největší společný dělitel Největší společný dělitel čísel 12 a 16 : gcd(12, 16) = 4

14 Největší společný dělitel Největší společný dělitel čísel 12 a 16 : gcd(12, 16) = 4

15 Největší společný dělitel Největší společný dělitel čísel 12 a 16 : gcd(12, 16) = 4 2.) 4 12, 4 16

16 Největší společný dělitel Největší společný dělitel čísel 12 a 16 : gcd(12, 16) = 4 2.) 4 12, 4 16 (je to společný dělitel)

17 Největší společný dělitel Největší společný dělitel čísel 12 a 16 : gcd(12, 16) = 4 2.) 4 12, ) (d 12, d 16) d 4

18 Největší společný dělitel Největší společný dělitel čísel 12 a 16 : gcd(12, 16) = 4 2.) 4 12, ) (d 12, d 16) d 4 (je největší v absolutní hodnotě)

19 Největší společný dělitel Největší společný dělitel čísel 12 a 16 : gcd(12, 16) = 4 1.) 4 0 (je to největší společný dělitel) 2.) 4 12, ) (d 12, d 16) d 4

20 Největší společný dělitel Největší společný dělitel čísel a a b : gcd(a, b) = d

21 Největší společný dělitel Největší společný dělitel čísel a a b : gcd(a, b) = d 1.) d 0

22 Největší společný dělitel Největší společný dělitel čísel a a b : gcd(a, b) = d 1.) d 0 2.) d a, d b

23 Největší společný dělitel Největší společný dělitel čísel a a b : gcd(a, b) = d 1.) d 0 2.) d a, d b 3.) (d a, d b) d d

24 Euklidův algoritmus Nalezněte největšího společného dělitele čísel 300 a 816.

25 Euklidův algoritmus Nalezněte největšího společného dělitele čísel 300 a =

26 Euklidův algoritmus Nalezněte největšího společného dělitele čísel 300 a =

27 Euklidův algoritmus Nalezněte největšího společného dělitele čísel 300 a = =

28 Euklidův algoritmus Nalezněte největšího společného dělitele čísel 300 a = =

29 Euklidův algoritmus Nalezněte největšího společného dělitele čísel 300 a = = =

30 Euklidův algoritmus Nalezněte největšího společného dělitele čísel 300 a = = =

31 Euklidův algoritmus Nalezněte největšího společného dělitele čísel 300 a = = = =

32 Euklidův algoritmus Nalezněte největšího společného dělitele čísel 300 a = = = =

33 Euklidův algoritmus Nalezněte největšího společného dělitele čísel 300 a = = = = =

34 Euklidův algoritmus Nalezněte největšího společného dělitele čísel 300 a = = = = =

35 Euklidův algoritmus Nalezněte největšího společného dělitele čísel 300 a = = = = = =

36 Euklidův algoritmus Nalezněte největšího společného dělitele čísel 300 a = = = = = = Největším společným dělitelem čísel 300 a 816 je poslední nenulový zbytek v Euklidově algoritmu. To jest, gcd(300, 816) = 12.

37 Euklidův algoritmus Věta (Euklidův algoritmus) Nechť a, b N, b a. Jestliže a = b, potom gcd(a, b) = a. Jestliže b > a, potom existje n N {0} tak, že existují čísla r 1 = b, r 0 = a, q j N, r j N {0} pro j = 1,..., n + 1 takové, že pro každé i = 1,..., n 1 platí r i = q i+2.r i+1 + r i+2, 0 r i+2 < r i+1, a = r 0 > > r n+1 = 0. Největším společným dělitelem čísel a a b je pak číslo r n (poslední nenulový zbytek, případně r n = r 0 = a), tj. gcd(a, b) = r n.

38 Ošklivé lemátko Lema Nechť a, b Z. Potom existují čísla x 0, y 0 Z takové, že gcd(a, b) = x 0 a + y 0 b.

39 Ošklivé lemátko Lema Nechť a, b Z. Potom existují čísla x 0, y 0 Z takové, že gcd(a, b) = x 0 a + y 0 b. Příklad: gcd(5, 3) = 1

40 Ošklivé lemátko Lema Nechť a, b Z. Potom existují čísla x 0, y 0 Z takové, že gcd(a, b) = x 0 a + y 0 b. Příklad: gcd(5, 3) = 1 gcd(5, 3) = 1 = x y 0 3

41 Ošklivé lemátko Lema Nechť a, b Z. Potom existují čísla x 0, y 0 Z takové, že gcd(a, b) = x 0 a + y 0 b. Příklad: gcd(5, 3) = 1 gcd(5, 3) = 1 = x y 0 3 gcd(5, 3) = 1 = ( 3) 3

42 Ošklivé lemátko Lema Nechť a, b Z. Potom existují čísla x 0, y 0 Z takové, že gcd(a, b) = x 0 a + y 0 b. Příklad: gcd(5, 3) = 1 gcd(5, 3) = 1 = x y 0 3 gcd(5, 3) = 1 = ( 3) 3 gcd(5, 3) = 1 =

43 Lema Jestliže k ab, gcd(k, a) = 1, potom k b

44 Lema Jestliže a, b, c Z, potom gcd(ca, cb) = c gcd(a, b).

45 Věta Nechť a, b N. Potom platí n(a, b) = ab gcd(a, b).

46 Lema Nechť p je prvočíslo, s N. Jestliže p (a 1..a s ), potom p dělí alespoň jedno z čísel a 1,..., a s, tj. p a 1 p a s.

47 Lema Pro každé přirozené číslo k platí p P k+1<p 2k+1 p < 4 k.

48 Věta Nechť ac bc(mod m) a gcd(m, c) = 1. Potom a b(mod m).

49 Věta (O jednoznačnosti kanonického rozkladu - Základní věta aritmetiky) Pro každé přirozené číslo n 1 existuje právě jeden kanonický rozklad na součin prvočísel. Tj. pokud p 1,..., p m, q 1,..., q s jsou prvočísla (nemusí být navzájem různá) a platí n = p 1..p m = q 1..q s, (1) potom m = s a pro každé i {1,..., m} existuje j i {1,..., s} takové, že p i = q ji.

50 Lema Pro každé přirozené číslo n 2 platí p < 4 n. p P,p n

51 Věta Nechť gcd(a, m) = 1. Potom lineární kongruence ax b(mod m) má jediné řešení.

52 Věta (Fermatova - Eulerova) Nechť gcd(a, m) = 1. Potom a ϕ(m) 1(mod m).

53 Věta (První Čebyševova) Existují reálné konstanty c 1, c 2 > 0 takové, že pro každé x 2 platí c 1 x ln x < π(x) < c x 2 ln x.

54 RSA algoritmus šifrování + lema ověřující jeho korektnost: Lema Nechť p, q jsou dvě navzájem nesoudělná čísla potom pro každé k N platí p kϕ(pq)+1 p(mod pq).