Cahiers du CEFRES. N 28, Matematik Pierre de Fermat Alena Šolcová, Michal Křížek, Georges Mink (Ed.)

Transkript

1 Cahiers du CEFRES N 8, Mateati Pierre de Ferat Alea Šolová, Mihal Kříže, Georges Mi (Ed.) Floria LUCA Feratova čísla ve speiálíh trojúhelííh Référee életroique / eletroi referee : Floria Lua, «Feratova čísla ve speiálíh trojúhelííh», Cahiers du CEFRES. N 8, Mateati Pierre de Ferat (ed. Alea Šolová, Mihal Kříže, Georges Mi). Mis e lige e / published o : ai 00 / ay 00 URL : Editeur / publisher : CEFRES USR 338 CNRS-MAEE Ce douet a été gééré par l éditeur. CEFRES USR 338 CNRS-MAEE

2 Feratova čísla ve speiálíh trojúhelííh Floria Lua, Morelia. Úvod Obr.. Portrét P. Ferata od Rolada Lefévra v ěstsé uzeu v Narboe ve Fraii. V toto příspěvu budee studovat výsyt Feratovýh čísel v ěterýh speiálíh trojúhelííh. Nehť 0 je elé číslo. Ozače = F + Feratovo číslo odpovídajíí. Vlastosti těhto čísel se zabýval Pierre de Ferat (60-665). Ve své dopise z 5. prosie 640 Z fraouzsého origiálu Les obres de Ferat e triagles spéiaux přeložil Mihal Kříže.

3 píše Mariu Merseovi, že všeha čísla F jsou prvočísla. Teto epravdivý výro vyvrátil v roe 73 Leohard Euler ( ).. Feratova čísla v Heroovýh trojúhelííh Zaveďe ásledujíí ozačeí: a, b, jsou tři reálá čísla rová délá stra trojúhelíu. a + b + s = je polovičí obvod. s( s a)( s b)( s ) je obsah. h, h, h jsou dély výše trojúhelíu. a b Defiie. Trojúhelí se azývá Heroův, jestliže a,b, i S jsou elá čísla. V literatuře lze alézt oho otevřeýh probléů týajííh se Heroovýh trojúhelíů. Uveďe ěteré přílady: Problé. Existuje Heroův trojúhelí, jehož těžie ají eločíselé dély? Problé. Pro jaé Heroovy trojúhelíy jsou dély všeh stra Fiboaiho čísla? Co se týče druhého probléu, je dobře záo, že všehy taové trojúhelíy usí být rovoraeé. Jediý zatí záý přílade je trojúhelí (5,5,8). V prví části tohoto příspěvu se budee zabývat řešeí probléu (viz [L]): Problé 3. Pro jaé Heroovy trojúhelíy jsou dély stra a, b, oiy prvočísel? Sado ahlédee, že předhozí problé á dává dva adidáty: = (3,4,5). Pro sudé přirozeé číslo dostáváe, že ( + ) = = ( + ) + + = ( + ( / + ). + + ) + + / + Tedy = ( +,, ) je pythagorejsá trojie. Nyí sobě přilože dvě zradlově syetrié opie trojúhelíu ta, aby

4 sobě přiléhaly straou o déle. Títo způsobe dostaee rovoraeý trojúhelí = ( +, +, / + terý je očividě Heroův. Jestliže + je prvočíslo ebo oia prvočísla, pa je zřejě rovoraeý Heroův trojúhelí, jehož dély stra jsou oiy přirozeýh čísel. Naší hlaví íle bude uázat, že jedié Heroovy trojúhelíy vyhovujíí probléu 3 jsou dva výše uvedeé trojúhelíy (viz obr. ). Věta. Nehť dély stra Heroova trojúhelíu jsou oiy přirozeýh čísel. Pa tyto stray ají dély 3, 4, 5 ebo F, F, 4( F ) pro ějaé taové, že F je prvočíslo. ), Obr.. Jedié ožé Heroovy trojúhelíy, jejihž dély stra jsou oiy prvočísel. Pooá tvrzeí Nadále budee předpoládat, že = (a, b, ) je Heroův trojúhelí. Tvrzeí. Číslo s je elé. D ů a z. Z Heroova vzore () s ( s a)( s b)( s ) = S plye, že s je algebraié elé číslo, eboť s je ořee oiého polyou s eločíselýi oefiiety (tj. polyou, jehož vedouí oefiiet je jeda). Protože s je zřejě aví raioálí, je s elé (viz [EM]). Tvrzeí. Jestliže a = b, pa je sudé číslo a h je elé číslo. D ů a z. Číslo je sudé, eboť

5 a + b + s = = a + je elé. Jeliož S h =, je h raioálí. Protože aví () a = h +, je h algebraié elé číslo. Tedy h je elé. Tvrzeí 3. i(a, b, ) 3. D ů a z. Předpoládeje aopa, že = i(a, b, ) < 3. Protože a b <, usí být = ebo =. Pro = dostaee rovoraeý trojúhelí o déláh rae a = b, ož odporuje tvrzeí. Nehť =. Pa buď a a b jsou po sobě ásledujíí čísla, a tedy s eí elé, ož odporuje tvrzeí, aebo a = b a vztah () je tvaru a = h + = h +, ož podle tvrzeí taé eí ožé. Důaz věty Případ I. Trojúhelí je rovoraeý. Předpoládeje apřílad, že a = b. Z tvrzeí víe, že je sudé. Speiálě γ = pro ějaé elé číslo γ. Podle předpoladu a = p pro ějaé prvočíslo p a přirozeé číslo ze vztahu () plye (3) p = ( γ ) +. h Jestliže p=, pa γ a γ h. Můžee tedy apsat h = γ pro jisté přirozeé číslo. Vydělíe-li obě stray rovie (3) čísle ( γ ), obdržíe ( γ + ) (4) = +, ož ale eí ožé, protože rozdíl dvou eulovýh čtverů eůže být. Tedy p je lihé prvočíslo a rovie (3) ipliuje, že ( a, h, / ) je priitiví trojie (tj. ejvětší společý dělitel čísel a, h a / je ).

6 Využijee-li yí lasiou paraetrizai všeh priitivíh pythagorejsýh troji, vidíe, že existují dvě přirozeá čísla > taová, že jedo z ih je sudé a druhé lihé a že (5) p = +, h =, γ =. Z posledí rovie v (5) vyplývá, že = γ a =, a tedy prví rovie v (5) je tvaru ( γ ) (6) p = +. Nyí je patro, že rovie (6) a sutečost, že p je lihé, ipliuje ásledujíí erovost γ >. Poud >, rovie (6) je speiálí případe Catalaovy rovie x u = y w +, de (x, y, u, w) je čtveřie přirozeýh čísel a i(u, w) >. Všeha řešeí Catalaovy rovie ale zatí ejsou záa (viz [Ri]). Avša pro případ, že w je sudé, terý byl před oha lety vyšetřová V. A. Lebesgue [Le], lze doázat, že Catalaova rovie eá žádé řešeí. Lebesgueův výslede uazuje, že eůže být větší ež. Vztah (6) se tedy reduuje a rovii ( γ ) (7) p = +. Je dobře záo, že všeha prvočísla p tvaru w + pro elé w jsou Feratova prvočísla, tj. prvočísla tvaru p = F pro elé 0. Naví vidíe, že, eboť podle vztahu (7) je číslo p součte dvou čtverů. Dohroady tedy áe, že p = F,, F je prvočíslo a γ =. To á dává řešeí + ( a, b, ) = ( F, F, ) = ( F, F, 4( F )), de F je prvočíslo. Případ II. Trojúhelí eí rovoraeý. V toto případě ejprve doážee pooé lea, teré se týá rozladu déle stra Heroova trojúhelíu a prvočísla. Lea. Nehť a, b, jsou dély stra Heroova trojúhelíu. Předpoládeje dále, že p a pro ějaé přirozeé číslo a pro prvočíslo p taové, že p= ebo p 3 (od 4). Pa + p gd (( b ), 4S) pro p = a p gd (( b ), S) pro p >.

7 D ů a z. Lea doážee je pro p >, protože případ p = lze vyšetřit aalogiý způsobe. Vztah () ůžee přepsat do tvaru (8) a + b + a b a b = (4S), ož lze vyjádřit taé tato: 4 (9) a ( b + ) a ( b ) = (4S). Zreduujee-li rovii (9) odulo p, dostaee (0) ( b ) (4S) (od p ). Poud b =, jse hotovi. Předpoládeje tedy, že b. Rovie (0) ipliuje, že p ( b ). Abyho se o toto přesvědčili, předpoládeje δ aopa, že toto tvrzeí eí pravdivé, tj. ehť platí p ( b ) pro δ <. Vydělíe-li obě stray rovie (0) čísle p δ, dostaee b 4 S ( δ ) () (od ). δ p δ p p Avša ogruee () eůže platit, protože eí vadratiý rezidue odulo p. Tedy p dělí obě čísla ( b ) i S. Závěr důazu věty Předpoládeje, že trojúhelí, jehož dély stra jsou a, b,, eí rovoraeý. Protože jedo ze tří čísel a, b, je sudé, ůžee γ β předpoládat, že = a ehť a = p a b = q. Vidíe, že obě prvočísla p i q jsou lihá. Kdyby tou totiž ta ebylo, pa by čísla a a b byla sudá, a tedy p = q =. Trojúhelíová erovost a < b + a její odifiae yí ipliují, že všehy tři expoety, β a γ eohou být vzájeě růzé. Ale tato sutečost á říá, že trojúhelí je rovoraeý, ož je případ, terý jse již vyšetřovali. Nehť jsou tedy prvočísla p a q lihá. Z předhozího leatu použitého a oiu γ γ +, dostaee, že ( a b ) a γ + 4S. Speiálě, S a γ + ( a b ) = ( a b)( a + b).

8 Poěvadž a a b jsou dvě lihá čísla, sado zjistíe, že platí buď = γ ( a b), aebo = γ ( a + b). Případ ( a b) ovše eůže astat díy erovosti 0 < a b <. γ Tudíž ( a + b). Jeliož γ, vidíe, že jedo z čísel a a b je ogruetí s odulo 4 a druhé je ogruetí s 3 odulo 4. Speiálě ůžee předpoládat, že a = p (od4) a že b = q β 3 (od4). Z posledí ogruee vyplývá, že q 3 (od4) a že β je lihé. β Nyí ůžee použít stejé lea a q b, abyho uázali, že β b = q S. Tedy b S. Protože S, a proto dostaee S b /. Jeliož ale S = b (si(a)) /, vidíe, že si(a), de A je úhel ezi straai b a. Posledí erovost je ožá je tehdy, dyž A = π /, tj. poud je trojúhelí pravoúhlý. Trojie (a, b, ) je tedy pythagorejsá a () p = q β + γ. Užijee-li opět lasiou paraetrizai priitivíh pythagorejsýh troji, dostaee, že existují dvě esoudělá přirozeá čísla >, z ihž jedo je sudé a druhé lihé, taová, že β γ (3) p = +, q =, =. Z posledího vztahu v (3) plye, že = γ a =. Nyí druhá rovost v (3) ipliuje, že q β = = ( )( + ). Protože a + jsou esoudělá přirozeá čísla, přiházíe závěru, že =, tj. = a γ =. Dále dostáváe, že q β = = 3, tj. q=3 a β =. Koečě z prví rovosti v (3) vidíe, že p = + = 5, tj. p = 5, = a (a, b, ) = (5, 3, 4). 3. Feratova čísla v Pasalově trojúhelíu V toto odstavi budee vyšetřovat přítoost Feratovýh čísel v Pasalově trojúhelíu (viz [L]). Jiýi slovy, budee hledat řešeí diofatié rovie (4) F =. Díy syetrii trojúhelíu lze předpoládat, že /.V ásledujíí větě uážee, že Feratova čísla se evysytují uvitř Pasalova trojúhelíu a etriviálíh poziíh (srov. obr. 3).

9 Obr. 3. Polohy Feratovýh čísel v Pasalově trojúhelíu. Věta. Jestliže (5) F = pro elá čísla, pa =. D ů a z. Předpoládeje, že rovie (5) á řešeí pro >. Zřejě > 4, protože F je prvočíslo pro = 0,,..., 4. Nejprve doážee erovost <. Předpoládeje aopa, že. Protože 5, platí 5 = 3. Je sadé prověřit, že (6)! < pro všeha 0., Nerovost (6) je příý důslede záé Stirligovy forule. Rovie (5) a erovost (6) ipliují, že čili a tedy ( ) ( ) ( ) + + = F = = >!!,( ) > (,) (,),, + > + > = > +,, 0 ož jistě eplatí pro > 4. Tedy <. Dále použijee ásledujíí Luasův výslede. Předpoládeje, že p je prvočíslo a piše (7) t t p pro i { 0,,, }, t 0, = + p a (8) t 0 + p + t p pro i { 0,,, p }. = +

10 Tedy 0 t (9) (od p). 0 t Předpoládeje, že p (0) = p, a že () A= { p + p (od ), p }. p Koečě ehť = d, de p () = p. p A Doážee, že d. To je zřejé pro d =. Předpoládeje tedy, že d > a zvole prvočíslo q ta, že q d. Protože všihi prvočíselí dělitelé čísla F jsou ogruetí s odulo +, vidíe, že q edělí F. Protože ale q d, dostaee pooí vyjádřeí v bázi q (podle vztahu (7)), že = 0 0. Jestliže q edělí, pa 0 a ze vztahu (9) vyplývá, že 0 > 0 t F 0 0 t (od q), ož eí ožé, protože q eí dělitele F. Tudíž aždý prvočíselý dělitel čísla d je taé dělitele. Abyho doázali, že d, stačí uázat, že poud q d pro přirozeé číslo, poto q. Jestliže by ale toto ebylo splěo, dostali byho, že q β pro přirozeé číslo β <. V toto případě β = 0 a β 0, ož díy vztahu (9) dává, že taé q dělí F, ož eí ožé. Tedy d. Speiálě dyž <, dostaee taé, že d <. Nyí vidíe, že dyž je součie všeh prvočísel vystupujííh + + v defiii A, pa (od ). Čili d (od ). Když ale + d < <, Luasova věta pro prvočíslo p= ipliuje, že d (3) F = (od ). Protože F je lihé a. d, ze vztahu (3) vyplývá, že d =. Tudíž

11 Nyí apiše rovii (5) ve tvaru (4) F =, de / je elé. V toto případě vidíe, že předhozí zdůvoděí bylo založeo je a tvaru prvočíselýh dělitelů čísla F. Předhozí arguetai ůžee tedy iterovat ta, že dostaee ( ) i ( ) i pro všeha i = 0,,,. Tyto vztahy jsou evivaletí ogrueí (5) i (od ) i (od ) i pro i = 0,,,. Ozače (6) N= l (,,..., ), de l ozačuje eješí společý ásobe čísel,,...,. Ze vztahu (5) dostaee (od N). Proto ůžee psát =+an pro vhodé přirozeé číslo a. Rovie (5) yí ipliuje, že + (7) N F = = = + a. i=0 i Nehť N i = N /( ) i pro i =,,,. Pozaeeje, že právě jedo z čísel N i je lihé a všeha ostatí jsou sudá. Vsutu, jedié µ µ lihé číslo N i odpovídá idexu i =, de je ejvětší oia čísla, terá je eší ebo rova. Rovii (7) přepíšee do tvaru (8) + = i= 0 ( + an ) = + as + a S + + a S, i de S j je j-tý syetriý fudaetálí polyo v N i. Protože právě jedo z čísel N i je lihé, dostaee, že S je lihé a S j jsou sudá pro všeha j > 3. Rovie (8) ůže být yí přepsáa tato: (9) = a( S + as + + a S ). Ze vztahu (9) oažitě vidíe, že součet S + as + + a S je lihý a větší ež (až a toto ístě sutečě používáe toho, že > ), a tedy eůže dělit oiu z levé stray rovie (9). Tí je věta doázáa.

12 Obr. 4. Soha Pierra de Ferata v Musée des Augustis v Toulouse. Literatura [EM] Esode, J., Murty, M. R.: Probles i algebrai uber theory. Spriger, New Yor, 999. [Le] Lebesgue, V. A.: Sur l'ipossibilité e obres etiers de l'equatio x = y +. Nouv. Aal. des Math. 9 (850), [L] Lua, F.: Ferat ubers ad Hero triagles with prie power sides. Aer. Math. Mothly, aepted, 000. [L] Lua, F.: Ferat ubers i the Pasal triagle, Divulgaioes Math. 9 (00), [Ri] Ribeboi, P.: Catala's ojeture. Are 8 ad 9 the oly oseutive powers? Aadei Press, Lodo, 994.

13 Adresa: Dr. Floria Lua, Istituto de Mateatias UNAM, Capus Morelia, Apartado Postal 6-3 (Xagari), CP Morelia, Mihoáa, Mexio, e-ail: