Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Transkript

1 Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost a statistika BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 1 / 25

2 Spojité náhodné veličiny Spojité náhodné veličiny Definice Náhodnou veličinu X nazýváme spojitou náhodnou veličinou, pokud P(a X b) = b a f X (x)dx, a b R pro nějakou nezápornou (a integrovatelnou) funkci f X (x). Takovou funkci f X (x) pak nazýváme hustota náhodné veličiny X. P(a X x) Hustota f X (x) a b Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 2 / 25

3 Spojité náhodné veličiny Distribuční funkce Distribuční funkce spojité náhodné veličiny Poznámka Distribuční funkce spojité náhodné veličiny X je tudíž definována jako F X (x) = P(X x) = x f X (u)du. F X (x) =P(X x) Hustota f X (x) x Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 3 / 25

4 Spojité náhodné veličiny Vlastnosti hustoty Vlastnosti hustoty náhodné veličiny Poznámka Pro každou spojitou náhodnou veličinu X s hustotou f X (x) platí: f X (x) 0, x R. (Přesněji, pro skoro všechna x.) P(X B) = f X (x)dx, B R. ({X B} musí být měřitelná.) B b P(a X b) = f X (x)dx, a b. a Proto také p X (x) = P(X = x) = 0 pro každé x, Pravděpodobnostní funkce p X (x) je tudíž neužitečná. Celková plocha pod hustotou f X náhodné veličiny je rovna jedné: 1 = P( X ) = f X (x)dx. Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 4 / 25

5 Spojité náhodné veličiny Střední hodnota Střední hodnota spojité náhodné veličiny Definice Střední hodnota spojité náhodné veličiny X s hustotou f X je definována vztahem EX = x f X (x) dx. EX vnímáme jako očekávanou (Expected) hodnotu z příštího experimentu, či vážený průměr, nebo těžiště možných hodnot. Hustota f X (x) EX = těžiště hustoty Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 5 / 25

6 Spojité náhodné veličiny Rozptyl a obecné momenty Rozptyl spojité náhodné veličiny Definice Uvažujme spojitou náhodnou veličinu X s hustotou f X. Střední hodnota funkce g(x) je definována vztahem E g(x) = g(x) f X (x) dx. Rozptyl (variance) X je definován vztahem var X = E[(X EX) 2 ] = E (X EX) 2 = var X chápeme jako průměrnou čtvercovou odchylku od středu (t.j. od těžiště). (x EX) 2 f X (x) dx. Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 6 / 25

7 Spojité náhodné veličiny Rozptyl a obecné momenty Obecné momenty spojité náhodné veličiny Definice Uvažujme spojitou náhodnou veličinu X s hustotou f X. k-tý moment X je definován vztahem m k = E(X k ) = E X k = x k f X (x) dx, k = 1, 2,... k-tý centrální moment spojité náhodné veličiny X je definován vztahem σ k = E (X EX) k = E (X m 1 ) k = (x m 1 ) k f X (x) dx. Rozptyl (variance) var X = σ 2 je často značen také jako σ 2 či σ 2 X. Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 7 / 25

8 Rovnoměrné rozdělení Příklad: Rovnoměrné rozdělení Příklad Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu [a, b], pokud její hustota má tvar 1 f X (x) = b a, pro a x b 0, jinak. Pak E X = a + b 2 Značení: X Unif(a, b) varx = (b a)2. 12 (Rovnoměrné = Uniform) Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 8 / 25

9 Rovnoměrné rozdělení Hustota rovnoměrného rozdělení Hustota f X (x) a b Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 9 / 25

10 Rovnoměrné rozdělení Střední hodnota rovnoměrného rozdělení Hustota f X (x) a EX = a + b 2 =těžiště b Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 10 / 25

11 Rovnoměrné rozdělení Střední hodnota rovnoměrného rozdělení Příklad (pokračování) Když X Unif(a, b), pak E X = x f X (x) dx = = 1 b a 1 2 x 2 = a + b. 2 b a b a x 1 b a dx = 1 b a b 2 a 2 2 Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 11 / 25

12 Rovnoměrné rozdělení Rozptyl rovnoměrného rozdělení Příklad (pokračování) varx = EX 2 (EX) 2. Pro X Unif(a, b) dostaneme E X 2 = x 2 f X (x) dx = = 1 b a 1 3 x 3 b a b a = b3 a 3 3(b a) x 2 1 b a dx = a2 + ab + b 2. 3 Proto varx = EX 2 (EX) 2 = a2 + ab + b 2 (a + b)2 3 4 (b a)2 = 12 Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 12 / 25

13 Exponenciální rozdělení Příklad: Exponenciální rozdělení Příklad Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení s parametrem λ, pokud její hustota má tvar (pro nějaké λ > 0) { λe λx, pro x 0 f X (x) = 0, jinak. Pak E X = 1 λ varx = 1 λ 2. Značení: X Exp(λ) (λ > 0 je parametr rozdělení) Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 13 / 25

14 Exponenciální rozdělení Hustota exponenciálního rozdělení 2 λ= λ=1 λ=1/ Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 14 / 25

15 Exponenciální rozdělení Střední hodnota exponenciálního rozdělení Příklad (pokračování) Střední hodnotu X Exp(λ) spočteme pomocí integrace po částech (per partes) u v = u v u v: E X = x f X (x) dx = 0 x λe λx dx (u = x; u = 1); (v = λe λx ; v = e λx ) = ( x e λx ) + 0 = 0 e λx λ = 1 λ 0 0 e λx dx Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 15 / 25

16 Exponenciální rozdělení Rozptyl exponenciálního rozdělení Příklad (pokračování) Podobně dostaneme E X 2 = x 2 f X (x) dx = 0 x 2 λe λx dx (u = x 2 ; u = 2x); (v = λe λx ; v = e λx ) = ( x 2 e λx ) x e λx dx = λ 0 x λe λx dx = 2 λ EX = 2 λ 2 ) 2 = 1 Proto varx = EX 2 (EX) 2 = 2 λ 2 ( 1 λ λ 2 Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 16 / 25

17 Normální (Gaussovo) rozdělení Příklad: Normální (Gaussovo) rozdělení Příklad Náhodná veličina X má normální (či Gaussovo) rozdělení s parametry µ a σ > 0, pokud její hustota má tvar f X (x) = 1 2πσ e (x µ)2 /2σ 2. Pak E X = µ varx = σ 2. Značení: X N(µ, σ 2 ) Pozor: Některé knihy užívají X N(µ, σ) Standardní normální rozdělení: Z N(0, 1) Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 17 / 25

18 Normální (Gaussovo) rozdělení Hustota normálního rozdělení: X N(µ, σ 2 ) Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 18 / 25

19 Normální (Gaussovo) rozdělení Hustota normálního rozdělení: X N(µ, σ 2 ) Μ3Σ Μ2Σ ΜΣ Μ ΜΣ Μ2Σ Μ3Σ Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 19 / 25

20 Normální (Gaussovo) rozdělení Hustota normálního rozdělení: Z N(0, 1) Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 20 / 25

21 Normální (Gaussovo) rozdělení Hustota normálního rozdělení 0.8 N(5,1/4) N(-1,4) N(0,1) Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 21 / 25

22 Lineární funkce normální náhodné veličiny Lineární funkce normální náhodné veličiny Poznámka (připomenutí) Pro lineární funkci a X + b náhodné veličiny X (kde a, b R) platí: 1 E(a X + b) = a EX + b. 2 var(a X + b) = a 2 varx. Poznámka Pokud X je navíc normální (Gaussovská), pak i lineární funkce a X + b je normální (Gaussovská): Pokud X N(µ, σ 2 ) pak tedy Y = a X + b N(aµ + b, a 2 σ 2 ) Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 22 / 25

23 Standardní normální (Gaussovo) rozdělení Standardní normální (Gaussovo) rozdělení Příklad (pokračování) Náhodná veličina Z N(0, 1); se nazývá standardní normální (Gaussovská). Její hustota se značí ϕ a má tvar ϕ(x) = f Z (x) = 1 2π e x 2 /2. Distribuční funkce Z se značí Φ. Její numericky spočtené hodnoty se uvádějí ve statistických tabulkách. Φ(x) = 1 2π x e u2 /2 du. Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 23 / 25

24 Standardizace normální náhodné veličiny Standardizace normální náhodné veličiny Příklad (pokračování) Pokud X N(µ, σ 2 ), pak X µ σ N(0, 1). Toto se používá pro získání hodnot distribuční funkce X z tabulek pro standardní normální veličinu Z : ( X µ F X (x) = P(X x) = P x µ ) σ σ ( = P Z x µ ) ( ) x µ = Φ σ σ Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 24 / 25

25 Standardizace normální náhodné veličiny Standardizace normálního rozdělení (X-3)/2 ~ N(0,1) X-3~N(0,4) X~N(3,4) Rudolf Blažek, Roman Kotecký (FIT ČVUT) Náhodné veličiny III BI-PST, LS 2010/11, Přednáška 5 25 / 25