Radka Matěková Anaglyfy a jejich využití ve výuce stereometrie

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Radka Matěková Anaglyfy a jejich využití ve výuce stereometrie Katedra didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Petra Surynková Studijní program: Matematika Studijní obor: Matematika zaměřená na vzdělávání v kombinaci s deskriptivní geometrií Praha 2012

2 Děkuji vedoucí své bakalářské práce, RNDr. Petře Surynkové, za čas, který mi věnovala, a za poskytnutí cenných rad a nápadů. Dále děkuji všem, kteří mě při psaní práce podporovali a poskytovali mi zázemí.

3 Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne Radka Matěková

4 Název práce: Anaglyfy a jejich využití ve výuce stereometrie Autor: Radka Matěková Katedra: Katedra didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Petra Surynková, katedra didaktiky matematiky Abstrakt: Práce se zabývá anaglyfy a jejich tvorbou. Poskytuje přehled o lineární perspektivě, která je základem pro vytváření anaglyfů. Vysvětluje pojmy lineární perspektivy a možné postupy, jak konstruovat průměty v tomto promítání. Popisuje vznik anaglyfů za pomoci dvou středových promítání, speciálně lineárních perspektiv. Podává informaci o nejčastěji používaných typech anaglyfů a o tom, jaké situace tyto anaglyfy modelují. Zabývá se i ruční konstrukcí anaglyfu a možností tvorby anaglyfů v rýsovacích softwarech. V třetí kapitole pak využije anaglyfy při řešení problémů, které se probírají v rámci stereometrie na středních školách. Třetí kapitola vznikla ve dvou verzích každá obsahuje jiný druh anaglyfů zobrazujících shodné prostorové situace. Přílohou práce jsou 3D brýle (red cyan) a CD, na němž lze najít dvě verze bakalářské práce a dále soubory, v nichž je vymodelován vznik anaglyfu. Práce je určena učitelům a studentům a je možné ji použít ve výuce stereometrie na střední škole. Klíčová slova: lineární perspektiva, anaglyf, stereometrie Title: Anaglyphs and their application in teaching stereometry Author: Radka Matěková Department: Department of Mathematics Education Supervisor: RNDr. Petra Surynková, Department of Mathematics Education Abstract: My bachelor thesis Anaglyphs and their application in teaching stereometry deals with anaglyphs and their creation. It gives information about linear perspective, which is necessary for the creation of anaglyphs. The terms of linear perspective are explained as well as the methods we can use in constructions of this projection. The thesis is mainly devoted to anaglyphs and their creation by the tools of descriptive geometry - central projection and especially linear perspective. Types of anaglyphs, drawing of anaglyphs and the possibility of constructing anaglyphs by software are mentioned. The third chapter deals with stereometry and it uses anaglyphs to support the spatial imagination. There are two versions of the third chapter - each one uses different types of anaglyphs to show the same problems of stereometry. 3D red cyan glasses are enclosed to the thesis as well as a CD containing both versions of the thesis and two files showing the creation of anaglyphs. The thesis is meant to be used by teachers and students in teaching and studying stereometry. Keywords: linear perspective, anaglyph, stereometry

5 Obsah Úvod Lineární perspektiva Zavedení pojmů Průmět bodu, přímky, roviny a tělesa Průsečná metoda Volné metody Závěr první kapitoly Anaglyfy a jejich tvorba Vznik anaglyfu Anaglyf na nárysnu Anaglyf na půdorysnu Literatura o anaglyfech Konstrukce anaglyfu Tvorba anaglyfů pro tuto bakalářskou práci Závěr druhé kapitoly Středoškolská stereometrie v anaglyfech Tělesa Vztahy mezi body, přímkami a rovinami Vzájemná poloha dvou přímek Vzájemná poloha přímky a roviny Vzájemná poloha dvou rovin Vzájemná poloha tří rovin Polohové konstrukční úlohy a jejich řešení Závěr třetí kapitoly Závěr Seznam použité literatury... 61

6 Seznam obrázků 1.1 Střed a průmětna LP Těleso v zorné kuželové ploše LP Základní prvky LP Distanční a zorná kružnice LP Průmět bodu v LP Průmět přímky v LP Průmět rovnoběžek Průmět rovnoběžek Průmět promítací roviny v LP Průmět obecné roviny v LP Správné umístění tělesa v LP Průmět tělesa v LP Průsečná metoda Mongeovo promítání (vlevo) a průmět bodu v LP (vpravo) Průmět přímky pomocí průsečné metody (vlevo MP, vpravo LP) Zobrazení objektu v lineární perspektivě pomocí průsečné metody Otáčení bodu v půdorysně a středu lineární perspektivy Otočení a průmět hloubkové přímky v LP prostorová situace (vlevo), situace v průmětně (vpravo) Otočení a průmět bodu v LP prostorová situace (vlevo), situace v průmětně (vpravo) Otočení a průmět přímky v LP prostorová situace (vlevo), situace v průmětně (vpravo) Vynášení výšky bodu v lineární perspektivě prostorová situace (vlevo), situace v průmětně (vpravo) Průmět kvádru a jehlanu v lineární perspektivě Volba středových promítání Průměty jehlanu ve dvou středových promítáních Anaglyf jehlanu Dva různé anaglyfy téhož tělesa (vlevo prostorová situace, vpravo pouze průměty) Anaglyf bodu Volba promítání Umístění tělesa před (obr. vlevo) a za průmětnou (vpravo) při tvorbě anaglyfu Anaglyf objektu umístěného za průmětnou (první typ) Anaglyf objektu umístěného před průmětnou (druhý typ) Průmět přímky rovnoběžné se spojnicí Průmět přímky různoběžné se spojnicí Anaglyf krychle použití černé barvy u splývajících průmětů hran tělesa D brýle a středy, Volba promítání Zorné kuželové plochy a umístění zobrazovaného tělesa Anaglyf objektu (třetí typ) Altán anaglyf na svislou průmětnu Konstrukce anaglyfu Konstrukce anaglyfu - zvětšeno Výsledek ruční konstrukce anaglyfu... 35

7 3.1 Hranol Pravidelný pětiboký hranol Kvádr Krychle Jehlan Pravidelný čtyřboký jehlan Případ vzájemné polohy bodů, přímek a roviny Příklad 2 na str. 20 v učebnici Poloha přímek a Poloha přímek a Poloha přímek a Poloha přímek a Poloha přímek a Poloha přímek a Přímka různoběžná s rovinou Přímka rovnoběžná s rovinou Přímka incidentní s rovinou Rovnoběžné roviny a Totožné roviny a Různoběžné roviny a Různoběžné roviny a s průsečnicí Vzájemné polohy tří rovin Průsečík přímky s rovinou Řez krychle rovinou ; vlevo i s pomocnými čarami, vpravo pouze výsledný řez Řez krychle rovinou ; vlevo i s pomocnými čarami, vpravo pouze výsledný řez Řez krychle rovinou ; vlevo i s pomocnými čarami, vpravo pouze výsledný řez Řez krychle rovinou ; vlevo i s pomocnými čarami, vpravo pouze výsledný řez Řez jehlanu rovinou vlevo i s pomocnými čarami, vpravo pouze výsledný řez Řez jehlanu rovinou vpravo i s pomocnými čarami, vlevo pouze výsledný řez... 58

8 Úvod Tato bakalářská práce si klade za cíl seznámit čtenáře s anaglyfy, jejich tvorbou a jejich možným využitím. Téma anaglyfů nebylo v literatuře nijak výrazně zpracováno a zájemci jen těžko najdou informace o tom, jak anaglyfy vytvořit. V podstatě se dá říct, že neznají-li někoho, kdo anaglyfy umí vytvářet, nebudou mít možnost se o jejich vytváření nic dozvědět. Jedním z přínosů této bakalářské práce tedy je informovat zájemce o tom, jak anaglyfy vznikají, jaké typy anaglyfů se používají v praxi a jakými způsoby je lze vytvořit. Přitom vytváření anaglyfů je založeno na jednoduchém principu. K jejich tvorbě je nutné, abychom zvládli některé poznatky z deskriptivní geometrie, na jejíchž metodách jsou anaglyfy založeny. Potřebujeme se seznámit s typy promítání, se středovým promítáním a s lineární perspektivou. Po úspěšném vytvoření anaglyfu budeme potřebovat 3D brýle, které jsou přiloženy k této bakalářské práci. Díky 3D brýlím můžeme dosáhnout prostorového efektu zobrazovaných objektů. Dalším cílem tohoto textu je představit středoškolskou stereometrii za pomoci anaglyfů. Ve výuce stereometrie na středních školách se často používají modely prostorových situací, ale anaglyfy se nepoužívají skoro vůbec. Málokterý učitel ví o jejich existenci, natož aby je byl schopen vytvořit pro své studenty jako učební pomůcku. V této práci je možné nalézt spoustu anaglyfů, které lze při výuce stereometrie na střední škole využít. Všechny anaglyfy, které se v této práci objevují, jsem vytvořila sama v programu Rhinoceros, verze 4.0, který je dostupný studentům Matematicko-fyzikální fakulty UK v počítačových laboratořích. Stejně tak všechny obrázky doprovázející text práce jsem vytvořila sama ve stejném programu. Žádný obrázek v této práci nebyl převzat z jiných zdrojů, všechny jsou mým dílem. Práce je rozdělená na tři kapitoly. První kapitola se týká lineární perspektivy. Na začátku jsou zmíněny typy promítání a základy středového promítání. Dále se kapitola věnuje pouze lineární perspektivě. Po představení nejdůležitějších pojmů lineární perspektivy se čtenář dozví, jak vypadá promítání bodů v prostoru, a dále se naučí dva způsoby, jak rýsovat průměty objektů v lineární perspektivě. Lineární perspektiva je základem pro tvorbu anaglyfů, proto byla její problematika zařazena i do této bakalářské práce. Druhá kapitola již pojednává o samotných anaglyfech. Dozvíme se, jak pomocí dvou lineárních perspektiv anaglyf vytvořit, jaké jsou v praxi používané typy anaglyfů a jak anaglyf konstruovat. Také bude čtenáři k dispozici ukázkový anaglyf složitějšího objektu (Obr. 2.18) a pojednání o tom, jak vznikaly anaglyfy pro tuto práci. Bude patrné, že anaglyfy vznikají díky metodám deskriptivní geometrie a v praxi se vytváří v rýsovacích programech, jako je například již zmiňovaný program Rhinoceros. V třetí kapitole si projdeme středoškolskou stereometrii, kterou doprovodíme prostorovými obrázky anaglyfy. Anaglyfy se dají velmi dobře využít při výuce a studiu stereometrie, tedy geometrie zabývající se prostorovými objekty a jejich vztahy. Díky anaglyfům si popisované problémy člověk snadněji představí a nebude pro něj tak obtížné látku pochopit. Na středních školách mívají žáci potíže právě s prostorovou představivostí. Užití anaglyfů může podpořit její rozvoj a usnadnit žákům jejich studium. Třetí kapitola vznikla pro potřeby čtenáře této práce ve dvou verzích. Elektronická verze obsahuje jiný typ anaglyfů než verze tištěná. V druhé kapitole se věnujeme typům anaglyfů, tam se dozvíme, proč vznikla třetí kapitola ve dvou verzích a v čem to čtenáři bude vyhovovat. Vytváření dvou verzí znamenalo vytvořit dva anaglyfy pro každou prostorovou situaci, kterou v práci popisuji. Vyžadovalo to více času, než kdyby vznikla pouze jedna verze třetí kapitoly, považovala jsem to však za nutné z toho důvodu, že bych byla ráda, aby tato 1

9 práce byla přístupná studentům i učitelům na středních školách. Má-li být tato práce dále použitelná v praxi, je nutné, aby byla čtenáři šitá přímo na míru. Tedy pro čtenáře elektronické verze, kterou si otevře na svém počítači a bude ji číst z obrazovky, vznikla jiná verze třetí kapitoly, než pro čtenáře s tištěnou verzí, nad kterou si může sednout ke stolu a v poklidu si číst. Na přiloženém CD najdeme obě verze bakalářské práce tištěnou i elektronickou. Dále jsou přiloženy soubory z programu Rhinoceros, z kterých vznikly obrázky pro druhou kapitolu bakalářské práce. Jedná se o soubory Anaglyf na nárysnu a Anaglyf na půdorysnu. Čtenář si v nich může prohlédnout vymodelované situace pro anaglyfy konkrétního objektu. Další přílohou bakalářské práce jsou 3D brýle. 3D brýle jsou z kartonu s filtry red a cyan. Tyto 3D brýle se dají zakoupit na internetu a stojí Kč, pokud jsou z kartonu. Plastové 3D brýle jsou dražší a nejsou tak skladné. 3D brýle se naučíme používat v druhé kapitole. Již teď ovšem upozorňujeme, že je nutné dotýkat se pouze těch částí brýlí, které jsou z kartonu. Na filtry nesaháme holými prsty, protože tak se filtry ničí. Také dáváme pozor, abychom je nepoškrábali. Nyní se již přesuneme k odbornému textu bakalářské práce. Věřím, že v ní čtenář najde to, co ho zajímá, dozví se nové informace a četba práce ho bude bavit. Přeji příjemné čtení. 2

10 1. Lineární perspektiva Jedním z cílů této bakalářské práce je seznámit čtenáře s tvorbou anaglyfů. K vytvoření anaglyfu je nutné znát základy promítání (hlavně středového) a umět zobrazovat objekty v lineární perspektivě. V první kapitole si proto vysvětlíme nejdůležitější pojmy a postupy, které budeme dále potřebovat. 1.1 Zavedení pojmů Promítání je zobrazení prostorových útvarů do roviny. Každým bodem, který zobrazujeme, vedeme promítací přímku (promítací paprsek) a najdeme průsečík této promítací přímky s rovinou, do které zobrazujeme. Takové rovině říkáme průmětna. Průsečíku promítací přímky a průmětny říkáme průmět bodu. Promítání dělíme na dva typy promítání středové a promítání rovnoběžné. Rovnoběžné promítání je zadáno průmětnou a tzv. směrem promítání. Směr promítání je přímka, s níž jsou všechny promítací paprsky daného promítání rovnoběžné. Směr promítání je přímka různoběžná s průmětnou daného promítání. Máme-li tedy zadán směr promítání a průmětnu, umíme v rovnoběžném promítání zjistit průmět jakéhokoli bodu. Stačí jím vést rovnoběžku se směrem promítání, tj. promítací paprsek, a najít průsečík s průmětnou. Středové promítání je dáno průmětnou a středem promítání. Střed promítání je bod v prostoru, který v průmětně neleží. Obvykle je značen písmenem. Průmětnu značíme řeckým písmenem. Promítací přímka středového promítání vždy prochází bodem, který zobrazujeme, a středem promítání. Chceme-li tedy najít průmět bodu v prostoru v zadaném středovém promítání, vedeme jím přímku (promítací paprsek), která navíc prochází bodem, a určíme její průsečík s průmětnou. Podrobnější informace o promítáních čtenář najde v knihách uvedených v seznamu použité literatury, konkrétně (Kounovský, Vyčichlo, 1959) a (Drábek, Harant, Setzer, 1982). Nyní se již zaměříme na lineární perspektivu. Lineární perspektiva (LP) je speciálním typem středového promítání. Je taktéž určena průmětnou a středem, který v průmětně neleží, ale navíc splňuje několik dalších podmínek, které si teď přiblížíme. Díky těmto podmínkám pak průměty objektů vypadají tak, jak my lidé vidíme předměty kolem sebe. V prostoru zavedeme kartézskou soustavu souřadnic pravotočivou s osami, a (Obr. 1.1). Průmětna lineární perspektivy je souřadnicová rovina (tzv. nárysna ). Střed lineární perspektivy leží v rovině (tzv. bokorysna ) a jeho -ová a -ová souřadnice je kladná. Jediným požadavkem středového promítání na střed je, aby neležel v průmětně. V lineární perspektivě je navíc vzdálenost středu od průmětny alespoň 20 cm, tedy 20. Vzdálenosti se říká distance a značíme ji. Tato vzdálenost je rovna -ové souřadnici bodu. Volíme ji minimálně 20 cm, protože lidské oko není schopné zaostřit na blíže umístěné předměty. Vzdálenost středu od souřadnicové roviny (tzv. půdorysna ) volíme většinou 1,5-2 m, tj. 1,5; 2. Ani tento požadavek nevznikl náhodou představuje výšku člověka. Této vzdálenosti se také říká výška oka. Odpovídá -ové souřadnici středu. Zobrazujeme-li těleso v lineární perspektivě, musí jeho spodní podstava ležet v půdorysně a těleso je umístěno v tzv. zorné kuželové ploše (Obr. 1.2). Zorná kuželová plocha je rotační kuželová plocha, jejímž vrcholem je střed a její osa je kolmá k průmětně. 3

11 Povrchové přímky zorné kuželové plochy svírají s osou této plochy úhel 30. Tento úhel je volen na základě zkušeností z praxe a v literatuře můžeme najít různá čísla. My volíme úhel shodně s (Piska, Medek, 1972). Nyní si podmínky kladené na lineární perspektivu shrneme. Vzdálenost 20. Vzdálenost 1,5; 2. Spodní podstava zobrazovaného tělesa leží v půdorysně. Zobrazované těleso je uvnitř zorné kuželové plochy. Obr. 1.1 Střed a průmětna LP Obr. 1.2 Těleso v zorné kuželové ploše LP Pokud středové promítání splňuje tyto předpoklady, nazýváme ho lineární perspektivou. Nyní si vysvětlíme její základní pojmy (Obr. 1.3). Pravoúhlý průmět středu do průmětny nazýváme hlavní bod a značíme jej. Pravoúhlému průmětu hlavního bodu do půdorysny říkáme základní bod. Půdorysna bývá v lineární perspektivě zvána též základní rovinou. Průsečnice základní roviny a průmětny se jmenuje základnice, značíme ji. Rovinu rovnoběžnou s půdorysnou, která prochází středem promítání, nazýváme obzorová rovina, kterou označujeme řeckým písmenem. Průsečnici obzorové roviny a průmětny říkáme horizont. Z uvedených informací plyne, že základní bod leží na základnici a hlavní bod je bodem horizontu. Dále můžeme uvést, že horizont a základnice jsou rovnoběžné přímky. Obě přímky leží v průmětně a navíc v rovnoběžných rovinách a. Vzdálenost horizontu a základnice odpovídá vzdálenosti středu od základní roviny. Této vzdálenosti říkáme výška horizontu a značíme ji. Již jsme se zmínili o pojmu distance. S tímto pojmem je bezprostředně spojen termín distanční kružnice (Obr. 1.4). Distanční kružnice je kružnice ležící v průmětně lineární perspektivy. Jejím středem je hlavní bod a její poloměr je roven distanci. Podobně jako je distanční kružnice úzce spojená s distancí, je zorná kružnice spojena se zornou kuželovou plochou lineární perspektivy (Obr. 1.4). Jak víme, zorná kuželová plocha je rotační kuželová plocha s vrcholem ve středu a osou kolmou k průmětně. Zorná kružnice je průnikem zorné kuželové plochy a průmětny. Leží tedy 4

12 v nárysně a jejím středem je hlavní bod. Poloměr není pevně daný, to plyne z faktu, že povrchové přímky svírají s osou kuželové plochy úhel 30. Tento úhel není pevně stanoven, proto ani poloměr nemůžeme uvést přesně. V praxi se ovšem volí poloměr zorné kružnice rovný polovině distance, což odpovídá úhlu 27. Obr. 1.3 Základní prvky LP Obr. 1.4 Distanční a zorná kružnice LP Představili jsme si základní pojmy lineární perspektivy. Lineární perspektiva je středové promítání, které navíc splňuje výše zmíněné podmínky. Žádná z těchto podmínek nevznikla náhodou lineární perspektiva má připomínat lidské vidění. Střed promítání reprezentuje lidské oko a vzdálenost od průmětny minimální vzdálenost oka od pozorovaného předmětu. Výška horizontu je volena, aby odpovídala výšce člověka. Zorná kuželová plocha je část prostoru, který okem vnímáme. Stojí za zmínku, že osa zorné kuželové plochy je směr pohledu. Pokud zaměříme pozornost oka na jiný předmět, změníme tím naši zornou kuželovou plochu. V lineární perspektivě tedy předpokládáme, že pozorovatel je zhruba 1,5-2 m vysoký, stojí na půdorysně, od průmětny je vzdálen minimálně 20 cm a pohled má upřený kolmo k nárysně. 1.2 Průmět bodu, přímky, roviny a tělesa V následující části probereme, jak v prostoru probíhá zobrazování objektů v lineární perspektivě. Ukážeme si, jak se zobrazují body, přímky, roviny a nakonec i tělesa. Průmět bodu v lineární perspektivě určíme jako v každém promítání pomocí promítacího paprsku (Obr 1.5). Bodem vedeme přímku, která zároveň prochází středem promítání (promítací přímka / paprsek), a určíme její průsečík s průmětnou. Získaný průsečík je průmětem bodu v lineární perspektivě, také se mu říká perspektiva bodu. K průmětu bodu ještě poznamenejme následující vzdálenosti bodu od půdorysny se říká výška bodu. Zobrazované body jsou vždy nad půdorysnou (Slovy nad půdorysnou myslíme poloprostor vymezený rovinou, ve kterém se též nachází střed perspektivy.), proto užíváme slovo výška pro vzdálenost bodu od základní roviny. 5

13 Průmětem přímky je opět přímka (Obr. 1.6). Vedeme-li každým bodem přímky promítací paprsek, vytvoří všechny paprsky rovinu (tzv. promítací rovina ), jejíž průsečnice s průmětnou je průmět přímky v lineární perspektivě. Výjimkou jsou přímky procházející středem (tj. promítací paprsky, v obr. 1.6 přímka ), které se zobrazí na bod průmětny. Obr. 1.5 Průmět bodu v LP Obr. 1.6 Průmět přímky v LP Zobrazujeme-li přímku, stačí nám průměty jakýchkoli dvou jejích bodů, abychom mohli narýsovat její obraz. V lineární perspektivě nás ovšem nejvíce zajímají průměty těchto dvou bodů přímky jejího průsečíku s průmětnou a jejího nevlastního bodu. Průmět průsečíku přímky s průmětnou se nazývá stopník přímky a značíme ho. Je to jediný bod na přímce, který se zobrazí sám na sebe. Průmět nevlastního bodu přímky nazýváme úběžník přímky a značíme jej. Promítací přímka nevlastního bodu přímky je rovnoběžná s přímkou. Zobrazované objekty se často skládají z jednoduchých těles (krychle, kvádr, jehlan s pravidelnou podstavou), na kterých najdeme rovnoběžné hrany. Z toho důvodu je dobré se nyní zamyslet nad tím, jak se v lineární perspektivě zobrazují rovnoběžné přímky. Již víme, jak se promítají přímky. Jejich průmětem je přímka (speciálně bod), kterou určujeme stopníkem a úběžníkem. Mějme tedy rovnoběžné přímky a hledejme jejich průměty (Obr. 1.7). Stopníky a jsou průsečíky přímek, s průmětnou. Úběžníky a jsou průměty nevlastních bodů přímek a. Promítací paprsek nevlastního bodu je vždy rovnoběžný s přímkou, jejíž nevlastní bod zobrazujeme. Zkoumané přímky a jsou rovnoběžné, tudíž promítací paprsky jejich nevlastních bodů budou totožné přímky. Hledané úběžníky proto splynou v jeden bod, který se rovná průsečíku přímky s průmětnou. Máme nyní dva průměty bodů každé z přímek a, můžeme tedy určit průměty a. Jak vidíme, rovnoběžné přímky se zobrazily na různoběžné přímky. V případě, že jsou přímky navíc rovnoběžné s průmětnou (Obr. 1.8), se přímky, promítnou na rovnoběžné přímky, které jsou rovnoběžné i s přímkami a, tzn.. Pokud je zobrazovaná přímka rovnoběžná s průmětnou, nenajdeme ani její stopník (neexistuje průsečík přímky s průmětnou ), ani její úběžník (promítací paprsek nevlastního bodu je přímka, takže opět 6

14 neexistuje průsečík přímky a průmětny hledaný průsečík je nevlastním bodem přímky ). Průmět přímky nyní najdeme jako průsečnici promítací roviny přímky a průmětny. Přímka je rovnoběžná s průmětnou, leží tedy v rovině. Ze stereometrie víme, že protneme-li rovnoběžné roviny rovinou, která je s nimi různoběžná, jsou získané průsečnice rovnoběžné přímky. Přímka je průnikem rovin a, její průmět je průsečnicí rovin a. Průmět přímky je tedy s přímkou rovnoběžný. Právě tak průmět přímky, která je rovnoběžná s průmětnou, bude rovnoběžný s přímkou. Přímky a se proto zobrazí na rovnoběžné přímky a. Jak jsme si právě ukázali, rovnoběžné přímky se v lineární perspektivě zobrazí buď na různoběžné přímky (společným bodem je jejich úběžník), nebo na přímky rovnoběžné. Obr. 1.7 Průmět rovnoběžek Obr. 1.8 Průmět rovnoběžek Rovina se v lineární perspektivě může zobrazit na přímku nebo na celou průmětnu. Pokud zobrazovaná rovina, označme ji, obsahuje střed promítání (promítací rovina), pak se rovina zobrazí na přímku, kterou je průsečnice rovin a (Obr. 1.9). Rovina neobsahující střed promítání se zobrazí na celou průmětnu (Obr. 1.10). Významnými přímkami při průmětu roviny jsou stopa a úběžnice. Stopa roviny, značíme ji, je průsečnicí roviny s průmětnou. Je to tedy přímka roviny, jejíž všechny body se v lineární perspektivě zobrazí samy na sebe. Úběžnice roviny je přímka průmětů nevlastních bodů roviny. Získáme ji jako průsečnici průmětny a roviny, která je rovnoběžná s rovinou a obsahuje střed promítání. Průměty všech přímek roviny mají své úběžníky na úběžnici roviny. Obdobně stopníky přímek roviny leží na stopě roviny. 7

15 Obr. 1.9 Průmět promítací roviny v LP Obr Průmět obecné roviny v LP Chceme-li tedy promítnout těleso v lineární perspektivě, je třeba dodržovat výše popsané zásady (Obr. 1.11). Podstava promítaného tělesa musí ležet v základní rovině a těleso samotné musí ležet v zorné kuželové ploše. Pak stačí jen zobrazit daný objekt v lineární perspektivě (Obr. 1.12) a získáme průmět tělesa. Obr Správné umístění tělesa v LP Obr Průmět tělesa v LP 8

16 1.3 Průsečná metoda Zatím jsme se zmínili o základních pojmech lineární perspektivy a ukázali, jak se v tomto zobrazení zobrazují body, přímky a roviny. To vše jsme ovšem řešili v trojrozměrném prostoru. Nyní je třeba vysvětlit, jak budeme rýsovat zobrazení objektů v lineární perspektivě, máme-li k dispozici pouze papír, tedy dvourozměrný prostor (rovinu). V následujícím textu budeme hovořit o Mongeově promítání, ve kterém je zvykem značit nárysnu (jednu z průměten) řeckým písmenem. Pro účely této kapitoly budeme průmětnu lineární perspektivy proto značit a umisťovat ji nebudeme do souřadnicové roviny, nýbrž do jiné roviny kolmé k půdorysně. Existuje více metod, jak narýsovat zobrazení objektů v perspektivě, dělí se na vázané metody a volné metody. My si ukážeme jednu vázanou průsečnou metodu a volnou metodu sestrojení perspektivního půdorysu a následné vynášení výšek. K průsečné metodě potřebujeme nejdříve sestrojit průměty zobrazovaného objektu v Mongeově promítání (Obr vlevo). Spolu s objektem narýsujeme též stopy perspektivní průmětny a průmět středu promítání lineární perspektivy. Dalším krokem je najít průmět základních prvků lineární perspektivy v Mongeově promítání. Budeme tedy hledat základnici z, hlavní bod H a horizont h. Jak víme z předchozí části, základnice je průsečnice půdorysny a perspektivní průmětny. Půdorys základnice je tedy půdorysná stopa průmětny p a nárys základnice splývá s osou Mongeova promítání. Horizont je průsečnice obzorové roviny a průmětny a my víme, že je rovnoběžný se základnicí. Půdorys horizontu tedy splývá s půdorysnou stopou průmětny, jeho nárys je rovnoběžný s nárysem základnice a prochází nárysem středu promítání. Hlavní bod leží na kolmici k průmětně, která prochází středem promítání. Nejdříve tedy sestrojíme tuto kolmici a pak najdeme její průsečík s průmětnou. Půdorys hlavního bodu leží na půdorysné stopě průmětny, nárys hlavního bodu leží na nárysu horizontu. Teď si vezmeme nový papír a narýsujeme horizont a základnici. Víme, že to jsou dvě rovnoběžné přímky, jejichž vzdálenost je rovna vzdálenosti jejich nárysů v Mongeově promítání. Na horizontu si pak zvolíme hlavní bod. Perspektiva bodu Chceme-li zobrazit bod v lineární perspektivě, najdeme si nejdříve jeho perspektivní průmět v Mongeově promítání (Obr. 1.13). Spojíme tedy bod se středem promítání v obou průmětech a najdeme průsečík této promítací přímky s průmětnou, tak dostaneme body a. Nyní už můžeme sestrojit perspektivu bodu. Zatím sledujme, jak vypadá situace v Mongeově promítání (Obr vlevo), abychom bod narýsovali správně. V půdoryse Mongeova promítání vidíme, že perspektiva bodu leží na nějaké přímce, která je kolmá k půdorysně a leží v rovině. Proto perspektiva přímky je totožná s přímkou a navíc je přímka kolmá k základnici. V půdoryse dále vidíme vzdálenost perspektivy přímky od bodu,. Teď se přesuneme na druhý papír do průmětny. Narýsujeme perspektivu vezmeme do kružítka vzdálenost a naneseme ji na horizont od bodu. Nanášet ji budeme doprava od bodu, protože v Mongeově promítání je vpravo od bodu, když střed promítání lineární perspektivy je v bodě (oko pozorovatele). Perspektiva přímky tedy prochází tímto bodem a je kolmá k základnici. 9

17 Obr Průsečná metoda Mongeovo promítání (vlevo) a průmět bodu v LP (vpravo) Zbývá najít na přímce perspektivu bodu. V nárysně Mongeova promítání vidíme vzdálenost bodu od horizontu,. Tuto vzdálenost vezmeme do kružítka a naneseme ji na přímku od jejího průsečíku s horizontem směrem nahoru. (V Mongeově promítání vidíme, že průmět bodu je nad horizontem.) Tímto jsme sestrojili perspektivu bodu. Perspektiva přímky Nyní zkusme obdobným způsobem sestrojit perspektivu přímky (Obr. 1.14). Opět máme prostorovou situaci zobrazenou v Mongeově promítání (MP) máme zvolenou průmětnu lineární perspektivy, střed promítání a máme nárys a půdorys zobrazované přímky. Také jsme zobrazili horizont a základnici a našli hlavní bod. Na novém papíře si zvolíme horizont a základnici stejně jako v předchozím případě. Na horizontu zvolíme bod. V části 1.2 jsme zmínili, že perspektivu přímky dostaneme spojením perspektiv dvou jejích bodů. Také bylo uvedeno, že nejčastěji se zobrazují stopník přímky a úběžník přímky. Stopník přímky je průsečík zobrazované přímky a průmětny lineární perspektivy. Půdorys stopníku přímky tedy okamžitě určíme v půdoryse jako průsečík a. Nárys stopníku přímky leží na ordinále a na přímce. Nyní sestrojíme perspektivní průmět stopníku přímky podle výše uvedeného postupu. Úběžník přímky je průmět nevlastního bodu přímky. Chceme-li tedy úběžník přímky, musíme vést středem promítání promítací přímku a najít průnik přímky s průmětnou lineární perspektivy. Půdorys úběžníku je tedy bod. Nárys úběžníku leží na ordinále a na přímce. Perspektivu bodu již lze v průmětně (opět rýsujeme na další papír) snadno sestrojit do kružítka nejprve vezmeme vzdálenost a naneseme na horizont vpravo 10

18 od bodu, pak vezmeme do kružítka vzdálenost a naneseme ji na příslušnou kolmici k horizontu od jejího průsečíku s horizontem směrem nahoru. Obr Průmět přímky pomocí průsečné metody (vlevo MP, vpravo LP) Právě jsme sestrojili perspektivu dvou bodů přímky, stačí je tedy spojit přímkou, která je perspektivním průmětem přímky. Perspektiva objektu Nyní již umíme zobrazovat perspektivy bodů i přímek průsečnou metodou. Zkusme si tedy na závěr zobrazit nějaký objekt (Obr. 1.15). Mějme zadán půdorys a nárys domu v Mongeově promítání a spolu s ním i průměty, středu lineární perspektivy a její průmětny. Stejně jako v minulých příkladech najdeme průměty základních prvků lineární perspektivy hlavního bodu, horizontu a základnice. Nejprve najdeme perspektivu úběžníku hran domu, které jsou kolmé k nárysně Mongeova promítání. Vedeme tedy středem rovnoběžku s danými hranami domu. Půdorys perspektivy bodu leží na půdorysu sestrojené rovnoběžky a na přímce. Nárys perspektivy bodu leží na ordinále a na přímce, v průmětu tedy splývá s nárysem bodu. Na nový papír narýsujeme základnici a horizont spolu s bodem obdobně jako v minulých příkladech. Nyní zobrazíme perspektivu bodu v nárysně vidíme, že perspektiva bodu leží na horizontu, v půdoryse navíc zjistíme vzdálenost bodu a perspektivy bodu, která je rovna vzdálenosti. 11

19 Obr Zobrazení objektu v lineární perspektivě pomocí průsečné metody Průmětem bodu musí tedy procházet všechny průměty přímek, na nichž leží hrany domu, které jsou kolmé k nárysně Mongeova promítání. Pokud tohoto využijeme, ušetříme si při rýsování spoustu čar. Stačí totiž, když zobrazíme jeden koncový bod z každé hrany, pro kterou jsme sestrojili úběžník. Tak získáme perspektivu daných hran a zbylé koncové body už dourčíme snadno v půdoryse Mongeova promítání si najdeme půdorysy perspektiv hledaných bodů, zjistíme vzdálenost hlavního bodu od pomocné přímky (kolmice k základnici ), na které hledané body leží, a perspektivy těchto bodů určíme jako průsečíky pomocných přímek a perspektivních průmětů hran, na kterých body leží. Nemusíme tedy v náryse zjišťovat vzdálenost perspektiv bodů od horizontu. Podobně bychom mohli najít úběžník hran domu, které leží na přímkách rovnoběžných s osou. V našem případě se nám tento úběžník nevejde do obrázku, proto jsme ho nepoužili, nicméně při rýsování je vhodné jej využít, pokud se nám vejde na papír. Na obrázku 1.15 je vlevo pomocné Mongeovo promítání, vpravo nahoře nárys perspektivního průmětu v Mongeově promítání a vpravo dole výsledný průmět domu v lineární perspektivě. Byla přidána i zorná kružnice, aby bylo patrno, že promítání jsme zvolili tak, aby objekt ležel v zorné kuželové ploše. Shrnutí Chceme-li rýsovat průmět objektů v lineární perspektivě průsečnou metodou, musíme dodržovat tento postup: Zobrazit objekt a prvky lineární perspektivy v Mongeově promítání. Najít půdorysy a nárysy perspektiv zobrazovaných bodů (tj. najít průsečíky promítacích přímek bodů s průmětnou ). 12

20 Zjistit vzdálenosti půdorysů perspektiv bodů od půdorysu hlavního bodu. Zjistit vzdálenosti nárysů perspektiv bodů od nárysu horizontu. Pomocí zjištěných vzdáleností narýsovat průměty bodů v lineární perspektivě. Další informace o průsečné metodě čtenář nalezne v (Urban, 1965). Autor zde volí průmětnu lineární perspektivy totožnou s nárysnou Mongeova promítání, což je výhodné při konstrukcích. Naše volba průmětny lineární perspektivy byla provedena kvůli názornosti obrázků. Průsečná metoda je vhodná, máme-li k dispozici rýsovací software. Pakliže rýsujeme na papír, může se stát, že průměty bodů vyjdou značně nepřesně a výsledný obrázek nebude odpovídat skutečné perspektivě objektu. Ukážeme si tedy další metodu, díky které sestrojíme průměty bodů, přímek a těles v lineární perspektivě. V následující kapitole budeme průmětnu lineární perspektivy značit opět řeckým písmenem a umístěna bude v souřadnicové rovině. 1.4 Volné metody Jak jsme již zmínili, pokud zobrazujeme objekty v lineární perspektivě na papír, je průsečná metoda značně nepřesná a výsledek neodpovídá skutečnému průmětu. Vyplatí se tedy použít volné metody zobrazování perspektiv bodů. Tento postup se skládá ze dvou konstrukcí: sestrojení perspektivních půdorysů zobrazovaných bodů vynesením příslušných výšek bodů Nejdříve si nastíníme, jak daná situace vypadá v prostoru. Známe-li polohu bodu v prostoru, můžeme určit jeho půdorys. Nyní bychom potřebovali zjistit průmět půdorysu v dané lineární perspektivě. K tomu nám poslouží otočení půdorysny do průmětny. Otáčíme-li body v půdorysně do průmětny, je osou otáčení základnice, tedy průsečnice půdorysny a průmětny. Každý bod půdorysny se pohybuje po jemu příslušné kružnici, která má střed na základnici a tento střed leží na kolmici spuštěné z otáčeného bodu na základnici. (Obr. 1.16) Obr Otáčení bodu v půdorysně a středu lineární perspektivy 13 Spolu s půdorysnou je třeba otočit i střed promítání. Střed promítání leží v obzorové rovině, která je rovnoběžná s půdorysnou (základní rovinou). Střed tedy otáčíme kolem horizontu. Kružnice otáčení středu lineární perspektivy má poloměr rovný vzdálenosti středu od průmětny, tedy poloměr se rovná distanci,. Střed kružnice otáčení je na kolmici k horizontu, tudíž splývá s hlavním bodem. Jelikož kružnice otáčení leží v rovině kolmé k horizontu a tato rovina protíná průmětnu v přímce, která je tudíž také kolmá k horizontu, bude otočený střed ležet na kolmici k horizontu, která prochází hlavním bodem. Navíc

21 poloměr této kružnice odpovídá distanci, takže otočený střed také leží na distanční kružnici,. Pracujeme-li s průmětnou a chceme otočit střed promítání, vztyčíme kolmici z hlavního bodu na horizont a naneseme na ni od hlavního bodu vzdálenost rovnou distanci. Tuto vzdálenost nanášíme na polopřímku, tedy polopřímku určenou hlavním bodem a základním bodem. Otočenému středu promítání říkáme dolní distančník a značíme jej. Nejdříve se podíváme, jak dopadne průmět přímky, která leží v půdorysně a je kolmá k průmětně (Obr. 1.17). Této přímce říkáme přímka hloubková. Již víme, jak konstruovat úběžníky jednotlivých přímek stačí vést středem lineární perspektivy přímku rovnoběžnou a zjistit její průsečík s průmětnou. Provedeme-li tento postup u hloubkové přímky, zjistíme, že jejím úběžníkem je hlavní bod. Otočíme-li hloubkovou přímku do průmětny, je výsledná přímka kolmá k základnici. Průsečík přímky se základnicí je jejím stopníkem. Známe tedy již průměty dvou bodů zobrazované hloubkové přímky její stopník a úběžník. Můžeme tedy narýsovat její perspektivní průmět. Jak vidíme, průmět hloubkové přímky zkonstruujeme snadno. Stačí znát polohu jednoho jejího bodu v otočení, díky kterému získáme otočenou polohu přímky. Dále zjistíme její stopník a ten potom spojíme s hlavním bodem. Díky jednoduchosti této konstrukce využíváme hloubkové přímky i při sestrojování perspektiv bodů ležících v základní rovině. Obr Otočení a průmět hloubkové přímky v LP prostorová situace (vlevo), situace v průmětně (vpravo) Nyní si vysvětlíme konstrukce perspektivy bodu v půdorysně pomocí otáčení. Vlevo na obrázku 1.18 je vymodelovaná situace v prostoru, vpravo pak provedená konstrukce v průmětně. Víme, že průmět bodu v lineární perspektivě leží na spojnici středu promítání a bodu. Známe-li polohu zobrazovaného bodu v prostoru, můžeme ho narýsovat v otočení. Otočený střed promítání je dolní distančník. Spojíme-li dolní distančník a otočený bod, 14

22 máme otočenou polohu promítací přímky bodu. Na této přímce tedy musí ležet jeho perspektivní průmět Obr Otočení a průmět bodu v LP prostorová situace (vlevo), situace v průmětně (vpravo) Máme-li narýsovaný bod v otočení, můžeme určit hloubkovou přímku, která bodem prochází. Zkonstruujeme ji nejdříve v otočení a pak narýsujeme její perspektivní průmět. Jelikož jsme přímku volili tak, aby procházela bodem, musí tedy průmět bodu ležet na perspektivním průmětu zvolené přímky. Tím už je perspektivní průmět bodu jednoznačně určen, tj.. K sestrojení perspektivy bodu v půdorysně lze také volit jakoukoli jinou přímku procházející zobrazovaným bodem, která leží v základní rovině. Narýsovali bychom nejdříve její otočenou polohu, pak perspektivní průmět a na něm bychom dohledali perspektivu bodu. My jsme zvolili speciálně hloubkovou přímku, jelikož její průmět se v daném promítání snadno nalezne. Ovšem může nastat jeden problém. Lineární perspektiva je promítání určené tak, aby co nejvíce připomínalo lidské vidění. Distance se tedy volí minimálně 20 cm. Rýsujeme-li na papír, může se nám stát, že se nám dolní distančník na papír nevejde a nemůžeme ho tedy spojit s otočeným bodem. Místo dolního distančníku tedy používáme distančník poloviční, třetinový, čtvrtinový, který též leží na kolmici k horizontu procházející hlavním bodem, ale jeho vzdálenost od hlavního bodu je menší poloviční, třetinová, čtvrtinová než vzdálenost dolního distančníku a hlavního bodu. Jelikož jsme zmenšili vzdálenost otočeného středu promítání od hlavního bodu, musíme zmenšit vzdálenost otočeného bodu od základnice. Používáme-li v konstrukcích dolní distančník poloviční, musíme používat i otočené body poloviční. Ty získáme tak, že na hloubkovou přímku naneseme poloviční vzdálenost, než je vzdálenost otočeného bodu od základnice. 15

23 Spojíme-li potom poloviční dolní distančník a poloviční otočený bod, protne nám tato přímka 2 průmět hloubkové přímky v průmětu zobrazovaného bodu. Ještě si ukážeme, jak sestrojit perspektivní průmět přímky, která leží v půdorysně (Obr. 1.19). Jak víme, k určení přímky potřebujeme dva její body. Známe-li polohu přímky v půdorysně, můžeme ji narýsovat v otočení. Otočená přímka protne základnici ve svém stopníku, máme tedy již jeden průmět jejího bodu. Dále bychom chtěli zjistit, kde se nachází její úběžník. V prostoru zjišťujeme úběžník tak, že středem promítání vedeme rovnoběžku se zobrazovanou přímkou. V otočení tomu je obdobně distančníkem (otočeným středem) vedeme rovnoběžku s otočenou přímkou. Tato rovnoběžka protne horizont v úběžníku zobrazované přímky. Používáme-li dolní distančník poloviční 2, získáme touto konstrukcí úběžník poloviční, označme jej 2. Skutečný úběžník dohledáme tak, že narýsujeme kružnici o středu v polovičním úběžníku a poloměru 2. Tato kružnice protne horizont ve dvou bodech v hlavním bodě a v hledaném úběžníku. Pro zajímavost můžeme uvést, že zde vzniká stejnolehlost se středem v bodě, její koeficient závisí na tom, jaký používáme distančník. My používáme distančník poloviční, tedy náš koeficient 2 (pro třetinový je 3 atp.). Přímka 2 2 se ve stejnolehlosti se středem a koeficientem 2 zobrazí na přímku. Známe tedy již dva průměty bodů zobrazované přímky a můžeme narýsovat perspektivu přímky. Pokud by se úběžník ani stopník nevešly na papír, je nutné zvolit na otočené přímce dva body, zobrazit jejich perspektivy (viz výše) a tak určit průmět přímky. 2 2 Obr Otočení a průmět přímky v LP prostorová situace (vlevo), situace v průmětně (vpravo) Nyní již umíme zobrazovat body a přímky, které leží v půdorysně. To nám ovšem při zobrazování objektů v prostoru nestačí. My potřebujeme sestrojovat i průměty bodů ležících mimo základní rovinu. 16

24 Známe-li polohu bodu v prostoru, jsme schopni určit jeho půdorys. Ten již umíme zobrazit. Pak už by jen stačilo vynést příslušnou výšku bodu a tím získat perspektivu bodu. Ukážeme si tedy, jak získat průmět bodu, známe-li jeho půdorys a jeho vzdálenost od základní roviny (Obr. 1.20). Body a leží na přímce kolmé k půdorysně. Tato přímka je rovnoběžná s průmětnou, tudíž jejich průměty a budou ležet na přímce s ní rovnoběžné, tedy na přímce, která je kolmá k základnici. Máme-li sestrojenou perspektivu půdorysu bodu, víme, že průmět bodu bude na přímce, která zjištěnou perspektivou prochází a navíc je kolmá k základnici. Průmět půdorysu sestrojujeme pomocí hloubkové přímky. Dále si sestrojíme hloubkovou přímku, která prochází zobrazovaným bodem v prostoru. Úběžník všech hloubkových přímek je hlavní bod. Stačí tedy určit, kde leží stopník zvolené hloubkové přímky, tak získáme její perspektivní průmět a tím i průmět bodu. Známe vzdálenost zobrazovaného bodu od půdorysu. Hloubkové přímky procházející body a jsou rovnoběžné, takže jejich vzdálenost je rovna vzdálenosti bodů. Body a leží na kolmici k půdorysně, tedy obě hloubkové přímky i leží v rovině, která je kolmá k půdorysně. Stopníky, obou přímek tedy musí ležet na přímce, která leží v průmětně a je kolmá k základnici. Stopník hloubkové přímky v základní rovině již známe (zobrazovali jsme půdorys bodu ), můžeme tedy narýsovat přímku, na níž bude ležet stopník pomocné hloubkové přímky. Vzdálenost stopníků hloubkových přímek a je rovna vzdálenosti bodů výšce bodu. 2 Obr Vynášení výšky bodu v lineární perspektivě prostorová situace (vlevo), situace v průmětně (vpravo) Protože stopníky jsou body, které leží v průmětně, jejich vzdálenost se nebude nijak zkreslovat a my tedy můžeme kružítkem nanést příslušnou vzdálenost na přímku kolmou k základnici, která prochází stopníkem hloubkové přímky v půdorysně. Poslední otázkou je, do které poloroviny určené základnicí budeme danou vzdálenost nanášet. 17

25 Základní rovina rozděluje prostor na dva poloprostory. V jednom z těchto poloprostorů leží i střed promítání a hlavní bod. Leží-li ve stejném poloprostoru zobrazovaný bod, budeme vzdálenost nanášet od základnice do poloroviny, ve které se nachází hlavní bod. V opačném případě ji naneseme do poloroviny, která hlavní bod neobsahuje. Známe tedy stopník i úběžník pomocné hloubkové přímky a můžeme narýsovat její perspektivní průmět. Na přímce leží průmět bodu. Dále víme, že průmět bodu musí ležet také na kolmici k základnici procházející perspektivou půdorysu bodu. Tedy průmětem zobrazovaného bodu je průsečík přímek a, tj.. Tímto jsme zjistili, jak narýsovat perspektivu jakéhokoli zadaného bodu. Tuto konstrukci nyní shrneme v několika bodech. Narýsujeme půdorys bodu v otočení. Určíme hloubkovou přímku, která tímto bodem prochází. Zobrazíme zvolenou hloubkovou přímku. Spojíme bod v otočení s dolním distančníkem. Průsečík této přímky s hloubkovou přímkou je průmětem půdorysu zobrazovaného bodu. Stopníkem hloubkové přímky vedeme kolmici k základnici. Na kolmici naneseme vzdálenost, která odpovídá vzdálenosti půdorysu bodu od jeho polohy v prostoru, získáme tak stopník pomocné hloubkové přímky. Narýsujeme průmět další pomocné hloubkové přímky. Určíme perspektivu bodu jako průsečík kolmice k základnici vedoucí perspektivou půdorysu bodu a pomocné hloubkové přímky. Na následujícím obrázku 1.21 je ukázka konstrukce perspektivy dvou těles kvádru a na něm stojícího jehlanu. Na obrázku je vidět konstrukce dvou bodů (, ), ostatní se sestrojí analogicky podle výše zmíněných postupů. Dolní distančník byl z obrázku vynechán, protože obrázek by jinak zabíral téměř celou stránku. Podstatný je průmět tělesa. Výška kvádru (modrá čárkovaná čára) je stejná jako vzdálenost jednoho z jeho vrcholů k základnici. K použití volných metod je nutné vědět parametry dané lineární perspektivy (výšku horizontu a distanci), půdorys zobrazovaných objektů (většinou se zadávají rozměry objektu a jeho poloha od základního bodu) a nakonec vzdálenosti bodů objektu od základní roviny. Známe-li tyto informace, lze použít volné metody k sestrojení průmětů bodů v lineární perspektivě. Při rýsování na papír je tato konstrukce vhodnější než průsečná metoda zmíněná v předchozí kapitole. Rýsujeme-li na počítači, je už jen na čtenáři, aby si zvolil metodu, která mu vyhovuje více. Toto samozřejmě nejsou jediné možné způsoby, jak sestrojovat průměty bodů v lineární perspektivě. Další informace čtenář nalezne v (Drábek, Harant, Setzer, 1979). 18

26 Obr Průmět kvádru a jehlanu v lineární perspektivě 1.5 Závěr první kapitoly V první kapitole jsme se věnovali úvodu do promítání. Zmínili jsme, že existuje více typů promítání. Podrobněji jsme rozebrali středové promítání, hlavně jeho speciální případ lineární perspektivu. Definovali jsme potřebné pojmy, které se v problematice lineární perspektivy vyskytují. Vysvětlili jsme si, jak vypadá promítání v prostoru a jak můžeme konstruovat průměty bodů, přímek, rovin a těles v lineární perspektivě. Zmíněné poznatky budeme dále využívat v další kapitole, kdy se zaměříme na vznik anaglyfu, používané typy anaglyfů a také na jejich konstrukci. 19

27 2. Anaglyfy a jejich tvorba V první kapitole jsme si vysvětlili základy středového promítání, obzvláště lineární perspektivy. V druhé kapitole tyto poznatky využijeme a vysvětlíme si, co je anaglyf, jak vzniká a k čemu slouží. Lineární perspektivu jsme popisovali jako promítání, které je voleno tak, aby co nejvíce připomínalo lidské vidění. Střed promítání měl zastoupit lidské oko, jeho vzdálenost od základní roviny výšku člověka a zobrazované předměty jsme umisťovali do zorné kuželové plochy (část prostoru, kterou člověk vnímá zrakem). Průmět tělesa v lineární perspektivě je ovšem dvourozměrný útvar. Promítáme-li nějaký složitý objekt (př. historickou budovu se všemi ozdobnými prvky), objeví se na papíře veliké množství čar, které sice správně popisují daný útvar, nicméně je jich tolik, že si člověk někdy jen obtížně představí, jak zobrazovaný objekt v prostoru vypadá. Rádi bychom našli způsob, jak zobrazovat trojrozměrné útvary názorněji. Nadále se budeme snažit co nejvíc napodobit lidské vidění. V lineární perspektivě jsme měli jednu průmětnu a jeden střed promítání. Lidé však vnímají prostor díky tomu, že mají oči dvě, a mohou proto rozhodnout, jaký předmět je k nim blíž oproti předmětu jinému. Zatím jsme zobrazovali prostorové objekty na útvary v rovině. Nyní se pokusíme dosáhnout pomocí rovinných průmětů trojrozměrného efektu. Budeme k tomu potřebovat dvě speciálně zvolená středová promítání a 3D brýle. 2.1 Vznik anaglyfu Přejděme již k základům tvorby anaglyfů. Nejprve si zvolíme dvě středová promítání. Středové promítání je určeno průmětnou a středem. Naše promítání budou mít společnou průmětnu a lišit se budou svými středy (Obr. 2.1). První střed zvolíme v prostoru libovolně a druhý střed zvolíme v prostoru tak, aby vzdálenost obou středů byla rovna 6 cm. Ani jeden střed promítání nesmí ležet ve zvolené průmětně, vzdálenost každého z nich od průmětny je stejná a rovna alespoň 20 cm, tj. 20. (Tuto podmínku jsme zmiňovali již u lineární perspektivy.) Z výše uvedeného vyplývá, že spojnice středů promítání je rovnoběžná s průmětnou. Středy promítání představují lidské oči, proto je budeme značit (levé oko) a (pravé oko). Jejich vzdálenost je volena 6 cm proto, že lidské oči jsou od sebe přibližně takto vzdáleny. Přesnou hodnotu nemůžeme uvést, v praxi se však osvědčuje právě volba 6 cm. Máme zadaná středová promítání, nyní v nich zobrazíme nějaké těleso, např. pravidelný čtyřboký jehlan (Obr. 2.2). Nejprve najdeme průmět v prvním středovém promítání 6 (průmětna a střed, Obr. 2.2 vlevo) a následně ve druhém (průmětna a střed, Obr. 2.2 vpravo). V průmětně nám vzniknou dva různé průměty téhož tělesa v prostoru Obr. 2.1 Volba středových promítání (zobrazujeme pouze viditelné části). Tyto 20

28 průměty rozlišíme barevně. Průmět z pravého oka narýsujeme červenou barvou (anglicky red ), průmět z levého oka pak světle modrou barvou (anglicky cyan ). Obr. 2.2 Průměty jehlanu ve dvou středových promítáních Anaglyf prostorového objektu je barevně odlišená dvojice průmětů daného objektu, které vznikly zobrazením tohoto objektu ve dvou speciálně volených středových promítáních. (Obr. 2.3) Jak daná středová promítání zvolíme, jsme již popsali v předcházejících odstavcích. Červený průmět ukazuje, jak objekt vidíme pravým okem, světle modrý naopak představuje průmět z levého oka. Oba průměty se liší. To si čtenář může sám vyzkoušet v praxi. Podívejme se na nějaký objekt blízko nás (20-50 cm od očí). Nejdříve zavřeme levé oko a sledujeme objekt pouze pravým. Zapamatujeme si, co vidíme. Poté pozorujeme útvar levým okem, pravé máme zavřené. Nyní porovnáme, co jsme mohli vidět pravým a co levým okem. Jistě najdeme nějaké rozdíly, což je způsobeno tím, že oči jsou dva různé středy promítání, tedy průměty jednoho objektu se liší. Na obrázku 2.3 si můžeme všimnout, že levým okem (světle modrý průmět) téměř nevidíme boční stěnu jehlanu, oproti tomu pravým okem ji můžeme pohodlně pozorovat. Také platí, že čím blíže k očím se nachází pozorovaný předmět, tím víc se liší průměty Obr. 2.3 Anaglyf jehlanu z obou očí. Čím je předmět naopak dál od očí, tím více se sobě průměty podobají. Na následujícím obrázku (Obr. 2.4) jsme zobrazili tentýž pravidelný čtyřboký jehlan, ovšem pokaždé jinak umístěn vzhledem ke středům promítání. Vlevo vidíme situaci v prostoru, vpravo pak dvě dvojice průmětů v průmětně. Abychom odlišili, která dvojice patří k jednomu jehlanu, zvolili jsme různá barevná provedení. Jehlan blíž ke středům promítání se promítá na dvojici červeného a světle modrého průmětu, jehlan vzdálenější pak 21

29 na dvojici žlutého a tmavě modrého průmětu. Opět můžeme pozorovat, jak se všechny průměty navzájem liší. Obr. 2.4 Dva různé anaglyfy téhož tělesa (vlevo prostorová situace, vpravo pouze průměty) Do této chvíle jsme pouze zkoumali průměty v rovině. Nyní se přesuneme do prostoru, k čemuž nám pomohou 3D brýle. Tyto brýle mají místo skel barevné filtry. Před pravým okem je filtr světle modrý (cyan), před levým okem filtr červený (red). Vzpomeňme si, jak jsme rozlišili průměty tělesa průmět z pravého oka jsme zvolili červený, průmět z levého oka světle modrý. Není náhodou, že filtr brýlí před pravým okem je světle modrý a průmět z pravého oka je červený. Právě díky této volbě dosáhneme 3D efektu. Nasadíme si brýle a podíváme se na anaglyf. Před pravým okem máme světle modrý filtr. Filtr způsobí, že pravým okem neuvidíme světle modrý průmět (průmět z levého oka), ale pouze červený průmět z pravého oka. Světle modrý průmět zanikne, jelikož čáry průmětu mají stejný odstín jako filtr brýlí před pravým okem. Pravým okem proto vidíme průmět tělesa takový, jako bychom se na předmět dívali ve skutečnosti a pouze pravým okem. U levého oka tomu bude opačně. Před levým okem máme červený filtr. Levým okem proto neuvidíme červený průmět z pravého oka. Červené čáry průmětu zaniknou ve filtru brýlí a oko je nerozezná. Naopak světle modrý průmět z levého oka přes červený filtr uvidíme. Obr. 2.5 Anaglyf bodu Pravým okem nyní vidíme průmět tělesa, který odpovídá tomu, jak bychom těleso v prostoru vnímali pravým okem. Levým okem naopak vidíme průmět tělesa odpovídající tomu, jak bychom těleso v prostoru vnímali levým okem. Podobně funguje náš zrak i ve skutečném životě. Každé oko vidí pozorovaný objekt jinak (nezávisle na sobě) a tyto dva odlišné pohledy (v případě anaglyfů průměty) pak vytvoří prostorový obraz objektu. Pokud se podíváme na anaglyf přes 3D brýle, uvidíme těleso tak, jako bychom ho měli umístěné v prostoru a pozorovali jej. Nyní podáme geometrickou interpretaci tohoto jevu (Obr. 2.5). 22

30 Pro jednoduchost si to vysvětlíme na anaglyfu jednoho bodu (Obr. 2.5). Jak již víme, díky 3D brýlím vidíme každým okem jen jeden průmět z dané dvojice průmětů. Průmět bodu ve středovém promítání leží na promítacím paprsku, což je přímka určená zobrazovaným bodem a středem promítání. K získání anaglyfu potřebujeme středová promítání dvě, máme proto i dva promítací paprsky. Tyto promítací paprsky se protínají v zobrazovaném bodě. Podíváme-li se na anaglyf přes 3D brýle, každé oko (střed promítání) postřehne příslušný průmět zobrazovaného bodu, vzniknou dva promítací paprsky, které se v prostoru protnou v místě, kde leží zobrazovaný bod. Když se podíváme na anaglyf, nevidíme dva různé průměty téhož bodu, ale pouze jeho polohu v prostoru určenou dvěma promítacími paprsky. Díky tomu při pohledu na anaglyf pak vzniká dojem, že bod vystoupil z papíru do prostoru. Vytvoříme-li anaglyf tělesa, získáme dvojice průmětů bodů tohoto tělesa a při pohledu na anaglyf přes 3D brýle se pak každý zobrazený bod ocitne v prostoru. Těleso pak vnímáme jako prostorový objekt (rozeznáme, která jeho část je k nám blíž a která je vzdálenější) a ne jako čáry v rovině. Získáme tak mnohem lepší představu o tom, jak zobrazovaný objekt vypadá. Na závěr si shrneme, jak vzniká anaglyf. Zvolíme dvě středová promítání se společnou průmětnou. Středy daných promítání jsou od sebe vzdáleny přibližně 6 cm. Středy daných promítání jsou od průmětny vzdáleny minimálně 20 cm. Promítneme zobrazovaný objekt v obou promítáních, průměty odlišíme barevně. Nyní si představíme speciální volby středových promítání, která se v praxi používají při konstrukci anaglyfů. 2.2 Anaglyf na nárysnu V první kapitole jsme si představili lineární perspektivu. Uvedli jsme, že je to speciální typ středového promítání, jehož střed je ve vzdálenosti minimálně 20 cm od průmětny. Jako průmětnu volíme souřadnicovou rovinu, tedy nárysnu. Při tvorbě anaglyfů se v praxi často volí dvě lineární perspektivy (Obr. 2.6). 6 Obr. 2.6: Volba promítání Obr. 2.7: Zorné kuželové plochy 23

31 Nárysna tedy slouží jako průmětna obou volených středových promítání, díky kterým anaglyf vznikne (Obr. 2.6). Středy promítání, umístíme 6 cm od sebe a jejich spojnice bude přímka rovnoběžná se souřadnicovou osou, tj.. Vzdálenost středů od průmětny zvolíme 50 cm, tedy 50. Nyní máme zvolené dvě lineární perspektivy a zbývá jen umístit do prostoru zobrazované těleso. Jak již víme, objekt musí ležet v zorné kuželové ploše daného promítání. Zorné kuželové plochy (Obr. 2.7) obou promítání jsou shodné kuželové plochy (úhel povrchových přímek a osy plochy volíme u obou shodný), jejichž vrcholy (středy perspektiv a ) jsou od sebe vzdálené 6 cm. Jedna z druhé tak může vzniknout posunutím z vrcholu první plochy do vrcholu druhé plochy. Umisťujeme-li těleso do prostoru, dáváme pozor na to, aby leželo v obou zorných kuželových plochách. V lineární perspektivě jsme zobrazovaný objekt volili v opačném poloprostoru určeném průmětnou, než se nacházel střed této perspektivy. Takto lze těleso umístit i nyní při tvorbě anaglyfu (Obr. 2.8 vpravo). Toto je první ze tří nejčastějších případů vzniku anaglyfu. Zvolíme dvě lineární perspektivy a zobrazované těleso umístíme do zorných kuželových ploch daných promítání a zároveň do opačného poloprostoru určeného průmětnou (zjednodušeně řečeno za průmětnu ), než ve které leží středy,. Také bychom ovšem mohli promítat objekt, který leží v poloprostoru vymezeném průmětnou a navíc obsahuje i středy a (Obr. 2.8 vlevo). Stačí, když dodržíme podmínku, aby těleso leželo v obou zorných kuželových plochách. Touto volbou dostaneme druhý nejčastější případ vzniku anaglyfu. Obr. 2.8: Umístění tělesa před (obr. vlevo) a za průmětnou (vpravo) při tvorbě anaglyfu Rozdíl v umístění tělesa se projeví v polohách barevných průmětů. Leží-li těleso za průmětnou (případ prvního typu anaglyfu), je světle modrý průmět z levého oka vlevo od červeného průmětu z pravého oka (Obr. 2.9). Pokud jsme umístili objekt před průmětnu (vznikne druhý typ anaglyfu), světle modrý průmět z levého oka bude vpravo od červeného průmětu z pravého oka (Obr. 2.10). V kapitole o lineární perspektivě jsme též požadovali, aby podstava zobrazovaného tělesa ležela v základní rovině. Tuto podmínku je vhodné dodržovat, jelikož zjednodušuje konstrukci průmětů bodů objektu. Leží-li část bodů tělesa v půdorysně, jejich výška je rovna nule a jejich perspektivní půdorys je pak roven perspektivě zobrazovaného bodu. Nemusíme tedy vynášet žádnou výšku. Není však nutné trvat na umístění tělesa v prostoru tak, aby jedna z jeho stěn ležela v základní rovině. Díky znalostem z první kapitoly, která se věnovala zobrazování objektů v lineární perspektivě, bychom dokázali promítnout i těleso, jehož podstava neleží v půdorysně. Proto na této podmínce dále nebudeme trvat. 24

32 Obr. 2.9: Anaglyf objektu umístěného za průmětnou (první typ) Obr. 2.10: Anaglyf objektu umístěného před průmětnou (druhý typ) Obr. 2.11: Průmět přímky rovnoběžné se spojnicí Již jsme si ukázali dvě možnosti, jak speciálně zvolit středová promítání, abychom zkonstruovali anaglyf objektu. Zbývá už jen daný objekt promítnout a anaglyf tak získat. Těleso zobrazíme v obou lineárních perspektivách podle postupů, které jsme se naučili v první kapitole. Na začátku druhé kapitoly jsme pak popsali, jak barevně odlišíme průměty. Průmět z pravého oka bude červený a průmět z levého oka světle modrý. Při odlišování průmětů ovšem můžeme narazit na problém. Zobrazujeme-li úsečku ležící na přímce (nebo celou přímku), která je rovnoběžná nebo různoběžná se spojnicí středů lineárních perspektiv, může se stát, že části jejích průmětů splynou. Proč se to děje? Zamysleme se nejdříve nad tím, co se stane, promítáme-li přímku, která je rovnoběžná či různoběžná se spojnicí středů promítání. Promítáme-li přímku, vedeme každým jejím bodem promítací paprsek. Všechny promítací paprsky pak vytvoří promítací rovinu (viz kapitola o lineární perspektivě). Promítací rovinu lze také určit promítanou přímkou a středem lineární perspektivy. Průsečnice promítací roviny a průmětny je pak průmětem dané přímky. 25

33 Pokud průměty přímky v obou perspektivách splynou, znamená to, že obě promítací roviny zobrazované přímky se rovnají. Kdy toto nastává? Víme, že obě promítací roviny mají společnou zobrazovanou přímku. Dále je každá z nich určena příslušným středem promítání. Je-li spojnice středů promítání rovnoběžná se zobrazovanou přímkou, můžeme najít rovinu, ve které obě tyto přímky leží. Nyní si ukážeme, že v našem případě obě naše promítací roviny splynou v jednu právě v rovinu určenou spojnicí středů perspektiv a zobrazovanou přímkou (Obr. 2.11). Promítací rovinu jsme zadali středem perspektivy a přímkou, kterou zobrazujeme. O této přímce víme, že je rovnoběžná se spojnicí středů zvolených promítání. V promítací rovině najdeme přímku, která je rovnoběžná se zobrazovanou přímkou a navíc prochází středem perspektivy. Touto přímkou je jistě spojnice středů lineárních perspektiv. (V eukleidovském prostoru lze daným bodem vést právě jednu rovnoběžku k dané přímce.) Na této přímce leží i střed druhé lineární perspektivy. Promítací rovina zobrazované přímky obsahuje tedy oba středy lineárních perspektiv. Promítací roviny přímky v obou promítáních tedy splývají, proto splynou i oba průměty přímky. Obdobně lze ukázat, že je-li spojnice středů perspektiv různoběžná se zobrazovanou přímkou, průměty zobrazované přímky splynou. Promítací rovina určená zobrazovanou přímkou a středem lineární perspektivy pak také obsahuje i střed druhé lineární perspektivy (Obr. 2.12). Je-li spojnice středů perspektiv různoběžná se Obr. 2.12: Průmět přímky různoběžné se spojnicí zobrazovanou přímkou, pak lze najít jejich průsečík. Promítací rovina tento průsečík obsahuje. Navíc obsahuje i střed lineární perspektivy. Promítací rovina tedy obsahuje dva různé body spojnice středů promítání. Obsahuje-li rovina dva body přímky, obsahuje i danou přímku. Spojnice středů promítaní pak leží v promítací rovině, tedy i střed perspektivy v této rovině leží. Obě promítací roviny tedy splynou v jednu a průměty zobrazované přímky taktéž splynou. Musíme též zmínit, že leží-li zobrazovaná přímka v průmětně, jejím průmětem v obou promítáních je právě přímka. (Leží-li zobrazovaný objekt v průmětně nějakého promítání, jeho průmětem je zobrazovaný objekt, to platí obecně ve všech promítáních.) Nyní jsme si ukázali, že může nastat situace, kdy nám průměty přímky splynou. Při tvorbě anaglyfu je toto problém. Na začátku druhé kapitoly jsme uvedli, že dvojici průmětů odlišujeme barevně. Jeden průmět volíme červený a druhý světle modrý. Jakou barvu však průmětům přiřadíme, splynou-li v jeden? Popsali jsme, že barvu průmětu přiřazujeme podle toho, ke kterému promítání průmět patří. Tím odlišíme, co vidíme pravým okem a co levým okem. Splynou-li průměty v jeden, znamená to, že jej musíme vidět oběma očima. Měl by být tedy nakreslen červenou i světle modrou barvou zároveň, jelikož patří k oběma promítáním. Oběma barvami ovšem průmět narýsovat nemůžeme. Narýsujeme-li průmět přímky červenou barvou, uvidíme daný průmět pravým okem, před kterým máme modrý filtr, ovšem neuvidíme ho levým okem, před kterým máme červený 26

34 filtr. Červená čára totiž ve filtru zanikne a levé oko jej nepostřehne. To ale neodpovídá situaci, protože průmět přímky vidíme oběma očima. Obdobný problém nastane, narýsujeme-li průmět přímky světle modrou barvou. V takovém případě sice přímku uvidíme levým okem, ale pravým okem ji neuvidíme. Obr. 2.13: Anaglyf krychle použití černé barvy u splývajících průmětů hran tělesa Z těchto důvodů narýsujeme průmět přímky černou barvou (Obr. 2.13). Černá barva bude zřetelná nezávisle na tom, jestli koukáme přes červený nebo světle modrý filtr. Zobrazíme-li průmět černou barvou, uvidí jej obě naše oči, což odpovídá naší situaci. (Také lze volit jakoukoli jinou barvu, kterou uvidíme přes modrý i červený filtr.) V praxi ovšem nepromítáme celé přímky, nýbrž pouze úsečky. Splyne nám tak pouze část obou průmětů, jak je vidět na obrázku Černou barvou znázorníme pouze část, kde se průměty překrývají. Zbylým částem ponecháme barvu, která jim náleží. Případ splývajících průmětů může nastat, ať už středová promítání při tvorbě anaglyfu zvolíme jakkoli. My jsme vysvětlení podali pro případ lineárních perspektiv, ovšem platí obecně pro jakkoli zvolená středová promítání. (Všimněte si, že při zdůvodňování jsme vlastnosti lineární perspektivy nijak nevyužili.) Pokud při vytváření anaglyfu narazíme na problém splývajících průmětů, narýsujeme splývající část černou barvou a zbylým částem ponecháme barvu původní. Již jsme uvedli, jak volíme středová promítání, zvolili jsme dvě lineární perspektivy a vysvětlili, jak lze umisťovat zobrazovaný objekt. Díky poznatkům z první kapitoly jsme schopni zkonstruovat průměty objektu. Dále je správně barevně rozlišíme, v případě splývajících průmětů volíme černou barvu. Umíme tedy sestrojit anaglyf. Nyní si potřebujeme ukázat, jak pracovat s 3D brýlemi, aby opravdu nastal kýžený 3D efekt. Máme-li narýsovaný anaglyf (ať už vytištěný na papíře nebo zobrazený na počítači), je potřeba při jeho sledování dodržovat podmínky, které jsme zvolili pro lineární perspektivy, z kterých anaglyf vznikl. Zkusme se podívat na obrázky 2.9 a 2.10 přes 3D brýle. Nasadíme si 3D brýle, před pravým okem máme světle modrý filtr a před levým okem červený filtr (Obr. 2.14). Středy perspektiv jsme volili 6 cm od sebe, což odpovídá vzdálenosti lidských očí. Dále jsme středy perspektiv umístili ve vzdálenosti 50 cm od průmětny. Je tedy třeba, abychom při pohledu na anaglyf udržovali vzdálenost 50 cm od papíru / obrazovky počítače a dívali se na průmětnu Obr. 2.14: 3D brýle a středy, (papír / obrazovku) kolmo. Zobrazovaný objekt ležel v zorných kuželových plochách obou očí, proto upřeme pohled na průměty objektu. Dodržíme-li tyto podmínky, uvidíme zobrazené těleso v prostoru, jako bychom ho viděli ve skutečnosti. 27

35 Pokud jsme těleso umístili za průmětnu, měli bychom mít dojem, že je za papírem / obrazovkou počítače. Naopak se nám bude zdát, že je před papírem / obrazovkou počítače, pokud objekt ležel před průmětnou. Při prvním setkání s anaglyfem bude možná trvat trochu déle, než se čtenáři podaří uvidět objekt v prostoru, ovšem s trochou praxe bude stačit nasadit 3D brýle a prostorový efekt se dostaví ihned. 2.3 Anaglyf na půdorysnu V části 2.2 jsme popsali dva z nejčastějších způsobů vzniku anaglyfu. Nyní si představíme třetí a poslední nejčastější způsob. Minulé způsoby modelovaly situaci, kdy sledujeme Obr. 2.15: Volba promítání obrazovku počítače, nebo máme např. plakát s anaglyfem na zdi. Pokud však listujeme nějakým časopisem nebo knížkou, nechce se nám držet ji neustále ve svislé poloze. Je pro nás pohodlnější položit ji na stůl a sednout si. Právě tuto situaci napodobuje třetí způsob vzniku anaglyfu. Tentokrát zvolíme jako průmětnu středových promítání souřadnicovou rovinu, tj. půdorysnu (Obr. 2.15). Středy promítání a jsou v prostoru vzdáleny 6 cm, tj. 6, jejich vzdálenost od průmětny zvolíme 40. V kapitole o lineární perspektivě jsme říkali, že směr pohledu do průmětny je kolmý k průmětně. Toto platilo i pro anaglyfy na nárysnu. Pro volbu středových promítání, jejichž průmětnou je půdorysna, tuto podmínku změníme. Směr pohledu do průmětny nebude kolmý, ale bude svírat s půdorysnou úhel 45. Směr pohledu můžeme tedy reprezentovat přímkou, jež prochází středem promítání (pro každé promítání směr pohledu definujeme stejně) a s půdorysnou svírá úhel 45. Takto napodobujeme situaci v reálném životě. Sedíme u stolu, naše oči jsou ve výšce 40 cm nad deskou stolu a před sebou máme knížku, na niž hledíme pod úhlem 45. (Sledovat ji pod úhlem 90 by bylo značně nepohodlné, museli bychom být nad ni nahnutí.) Máme zvolená dvě středová promítání, v nichž sestrojíme průměty nějakého objektu, a vznikne jeho anaglyf. Potřebujeme už jen objekt umístit v prostoru. V předchozích případech jsme požadovali, aby zobrazované těleso leželo v zorných kuželových plochách obou promítání. Tento požadavek budeme stále dodržovat, jen si musíme ujasnit, jak vypadají zorné kuželové plochy v námi zvolených středových promítáních. Zorná kuželová plocha lineární perspektivy je rotační kuželová plocha, jejímž vrcholem je střed promítání, povrchové přímky svírají s osou plochy úhel 30 a osou plochy je směr pohledu do průmětny. Přesně tyto vlastnosti budou splňovat i zorné kuželové plochy zvolených středových promítání. Jen je nutné si uvědomit, že směr pohledu není jako v lineární perspektivě kolmý k průmětně, nýbrž svírá s průmětnou úhel

36 Obr. 2.16: Zorné kuželové plochy a umístění zobrazovaného tělesa Zobrazované těleso umístíme v prostoru tak, aby se nacházelo uvnitř zorných kuželových ploch obou promítání (Obr. 2.16). V našem případě je navíc vhodné, aby jeho podstava ležela v půdorysně. Pokud tak učiníme, průmět podstavy zobrazovaného objektu splyne se skutečnou podstavou a my ji uvidíme nezkresleně. Navíc si ušetříme konstrukce průmětů těchto bodů. Máme zvolená dvě středová promítání (průmětna a středy a ), umístili jsme těleso v prostoru a zbývá ho pouze promítnout. Stále dodržujeme barevná odlišení obou průmětů průmět z pravého oka rýsujeme červený a průmět z levého oka světle modrý. Navíc platí i to, co jsme zmiňovali v části 2.2. Splynou-li dva průměty, kreslíme splývající část černou barvou. Musí být rozeznatelná pro obě oči, tudíž nemůžeme volit ani červenou, ani světle modrou barvu. Obr. 2.17: Anaglyf objektu (třetí typ) Vytvořili jsme anaglyf objektu a máme ho vytištěný na papíře (Obr. 2.17). Nasadíme si 3D brýle, abychom před pravým okem měli světle modrý filtr a před levým okem červený. Papír položíme na stůl. Naše oči by měly být ve výšce 40 cm od desky stolu. Na anaglyf koukáme pod úhlem 45, čehož lze docílit, když papír položíme na stůl tak, aby anaglyf byl 29