STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY LS 2005/2006

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY LS 2005/2006"

Transkript

1 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY LS 2005/2006 Příklady jsou většinou převzaté ze skript Dupač & Hušková (1999), Zvára & Štěpán (2002) a ze sbírky Potocký et al. (1986). Některé příklady a protipříklady pocházejí z knihy Romano & Siegel (1986). Jsou členěny do sekcí podle jednotlivých cvičení. 1. Přímý výpočet pravděpodobnosti ( ) 1. V antikvariátu má 20 % knih vytrženou stranu, 30 % je popsaných a 60 % je bez poškození. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná kniha je popsaná, ale má všechny strany? 2. Z kartiček s čísly 1, 2, 3, 4, 5 náhodně vybereme tři a položíme je v pořadí, v němž jsme je vybrali. Jaká je pravděpodobnost, že vzniklé trojciferné číslo je sudé? 3. Skupina 10 studentů, z nichž 3 jsou z MFF, se náhodně seřadí do fronty. Určete pravděpodobnost, že 3 z MFF budou vedle sebe. 4. Hodíme 6 kostkami. Určete pravděpodobnost, že (i) padnou vesměs různá čísla, (ii) padnou pouze lichá čísla. 5. V krabici je 8 bílých, 8 červených a 8 modrých koulí. Náhodně vytáhneme jednu, zapíšeme si její barvu a vrátíme ji do krabice. Pak vytáhneme druhou kouli. (1) Jaká je pravděpodobnost, že bude mít stejnou barvu jako první koule? (2) Jak to bude v případě, že první kouli nevrátíme? 6. Ve sportce se sází 6 čísel, losuje se 6 ze 49. Spočtěte pravděpodobnost, že právě 4 čísla vsadíme správně. 7. Skupina n a lidí, z nichž dva jsou naši známí, se rozdělí náhodně do n skupin po a osobách. Jaká je pravděpodobnost, že se naši dva známí dostanou do stejné skupiny? 8. Jaká je pravděpodobnost, že ve třídě n žáků existuje dvojice, která má narozeniny ve stejný den? Jaká je pravděpodobnost, že existuje žák, který má narozeniny ve stejný den jako učitel? 9. (Maxwell Boltzmann.) Náhodně rozmístíme n rozlišitelných kuliček do r přihrádek. Stavem systému je seznam adres jednotlivých kuliček (tj. pro každou kuličku udáme přihrádku, v níž se nachází). Všechny stavy jsou stejně pravděpodobné. (i) Kolik je stavů? (ii) Jaká je pravděpodobnost p n,r,k, že v první přihrádce je právě k kuliček? (iii) Jaká je limita této pravděpodobnosti, když n a současně r = r n, a to tak, že n/r n λ (0, )? (k je pevné.) (iv) Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jedna přihrádka je prázdná? 2. Přímý výpočet pravděpodobnosti, podmíněná pravděpodobnost ( ) 10. (Bose Einstein.) Náhodně rozmístíme n nerozlišitelných kuliček do r přihrádek. Stavem systému jsou počty kuliček v jednotlivých přihrádkách (tj. pro každou z r přihrádek udáme, kolik je v ní kuliček). Všechny stavy jsou stejně pravděpodobné. (i) Kolik je stavů? (ii) Jaká je pravděpodobnost p n,r,k, že v první přihrádce je právě k kuliček? (iii) Jaká je limita této pravděpodobnosti, když n a současně r = r n, a to tak, že n/r n λ (0, )? (k je pevné.) (iv) Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jedna přihrádka je prázdná? 1

2 11. Tenista má první podání úspěšné s pravděpodobností 0.6, druhé s pravděpodobností 0.8. Jaká je pravděpodobnost dvojchyby? 12. Máme tři karty: jedna má obě strany černé, druhá obě červené, třetí jednu černou a jednu červenou. Potmě vybereme náhodně jednu kartu a položíme ji náhodnou stranou na stůl. Po rozsvícení vidíme červenou. Jaká je pravděpodobnost, že karta je na druhé straně černá? 13. Hráči A, B a C střídavě házejí mincí do té doby, než někomu padne líc. V tom okamžiku hra končí a tento hráč je vítězem. Jaká je pravděpodobnost výhry hráče A, B, C? 14. V krabici je 15 tenisových míčků: 9 nových a 6 starých. Náhodně vybereme 3 a hrajeme s nimi (čímž se stanou nebo zůstanou starými). Pak je vrátíme a opět náhodně vybereme 3. Jaká je pravděpodobnost, že pro druhou hru máme právě k = 0, 1, 2, 3 nových? 15. K disposici máme N uren, v i-té je a i bílých a b i černých koulí. Náhodně vybereme jednu urnu a z ní jednu kouli. Zjistíme, že je bílá. Jaká je pravděpodobnost, že jsme táhli z k-té urny? 16. Hráče A porazím s pravděpodobností p A, hráče B s pravděpodobností p B ; p A > p B. Hraji tři hry. Pokud se mi podaří vyhrát aspoň dvě za sebou, získám odměnu. Mám na výběr dvě strategie: (I) hrát nejprve s A, pak s B, nakonec s A, (II) hrát nejprve s B, potom s A, pak s B. Která strategie je pro mě výhodnější? 3. Nezávislost, geometrická pravděpodobnost, náhodné veličiny ( ) 17. Hodíme modrou a zelenou kostkou. Uvažujme jevy A := [na modré je sudé číslo], B := [na zelené je liché číslo], C := [součet na obou kostkách je lichý]. Jsou tyto jevy nezávislé? Jsou po dvou nezávislé? 18. Třikrát po sobě hodíme mincí. Rub (R) i líc (L) mají pravděpodobnost 1/2. Uvažujme jevy A = RRR, LRR, RLL, LLL}, B = RRL, RLR, LLR, LLL}, C = RRL, RLR, LRL, LLL}. Ukažte, že A, B, C nejsou nezávislé, ale přitom platí Pr(A B C) = Pr(A) Pr(B) Pr(C). 19. Opakovaně házíme současně dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet 5 padne dřív než součet 7? 20. Na následujícím známém vtipu si uvědomte rozdíl mezi pravděpodobností průniku a podmíněnou pravděpodobností: Na konferenci se baví dva statistici o tom, jaká byla cesta. Jeden z nich říká, že přijel vlakem, protože letadlem necestuje od té doby, co si přečetl, že pravděpodobnost bomby v letadle je 1/1000, což je pro něj příliš riskantní. Druhý mu na to odpoví: Tak to dělej jako já. Pravděpodobnost, že by v letadle byly dvě bomby, je 1/ , což už je přijatelné. Takže já si vždycky beru jednu bombu svou. 21. Tyč délky l se náhodně rozláme na tři kusy. Jaká je pravděpodobnost, že z nich lze sestavit trojúhelník? 22. Náhodně zvolíme čísla x, y (0, 1). S jakou pravděpodobností je jejich součet menší než 1 a součin menší než 0.09? 23. Na měřitelném prostoru (Ω, A), kde Ω = 1, 2, 3, 4} a A =, 1, 2}, 3, 4}, Ω}, uvažujme funkce X a Y s hodnotami v R definované takto: X(1) = X(2) = 1, X(3) = X(4) = 2, Y (1) = Y (2) = Y (3) = 1, Y (4) = 2. Rozhodněte, zda jsou tyto funkce náhodnými veličinami. 2

3 24. Na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ), kde Ω = 1, 2}, A =, 1}, 2}, Ω} a P (1}) = P (2}) = 1/2, je definována náhodná veličina X. Dále uvažujme pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P ), kde Ω = [0, 1], A = B([0, 1]) jsou borelovské množiny na [0, 1] a P = λ je Lebesgueova míra. Na (Ω, A, P ) jsou definovány veličiny Y, Z, V. Definice X, Y, Z, V jsou následující 0, ω = 1, X(ω) = 1, ω = 2, 0, ω [0, 1/4] [3/4, 1], Z(ω) = 1, ω (1/4, 3/4), 0, ω [0, 1/2], Y (ω) = 1, ω (1/2, 1], 0, ω [0, 1/2] \ 0.1}, V (ω) = 1, ω (1/2, 1] 0.1}. Rozmyslete si, že X, Y, Z, V mají všechny stejné rozdělení (alternativní s parametrem 1/2), ačkoli jsou jinak definované, dokonce i na různých pravděpodobnostních prostorech. 25. Nechť X má binomické rozdělení s parametry n, p, tj. p k = Pr[X = k] = ( n k) p k (1 p) n k, k = 0,..., n (p k = 0, k > n). Spočtěte momentovou vytvořující funkci M(t) = E exptx} a pomocí ní určete E X a var X. K témuž můžete využít i vytvořují funkci pravděpodobností A(t) = E t X = k=0 p kt k. Pro jakou hodnotu p (0, 1) je rozptyl veličiny X největší? 26. Pro p (n) k = ( n k) p k (n) (1 p (n) ) n k, k = 0,..., n ukažte, že lim n p(n) k = e jestliže p (n) 0 tak, že np (n) λ (0, ). λ λk, k = 0, 1,..., k! 4. Diskretní rozdělení ( ) 27. Nechť X má Poissonovo rozdělení s parametrem λ, tj. p k = Pr[X = k] = e k!, k = 0, 1,... Spočtěte E X a var X (pomocí vytvořují funkce pravděpodobností, momentové vytvořující funkce nebo přímým výpočtem). 28. V kolejní síti je 923 počítačů, jeden z nich je váš a provozujete na něm FTP server. Každý počítač dá během hodiny na váš server požadavek s pravděpodobností Spočtěte pravděpodobnost, že k vám během hodiny přijde požadavek (a) právě z 6, (b) nejvýše z 6 počítačů. Jednak počítejte tyto pravděpodobnosti přesně, tzn. v binomickém rozdělení, a jednak s použitím aproximace Poissonovým rozdělením. 29. Na server přijde za hodinu průměrně 60 požadavků. Jaká je pravděpodobnost, že po dobu 2 minut, kdy je server restartován, nepřijde žádný požadavek? 30. S použitím některé vytvořující funkce nebo přímo spočítejte střední hodnotu a rozptyl veličiny s geometrickým rozdělením, tj. p k = Pr[X = k] = q k p, k = 0, 1,... (q = 1 p). 31. Dokažte, že pro nezápornou veličinu X s diskretním rozdělením jsou následující tvrzení ekvivalentní: (i) X má geometrické rozdělení, (ii) Pr[X = k + n X k] = Pr[X = n] pro všechna k, n = 0, 1, Dva hráči střídavě házejí na koš, první se trefí s pravděpodobností p 1, druhý s p 2. Hra končí, když se někdo trefí. Označme X 1 počet hodů prvního hráče během celé hry, X 2 totéž pro druhého. Určete Pr[X 1 = k], Pr[X 2 = k]. 5. Spojitá rozdělení ( ) 33. Určete střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením na intervalu [a, b]. 34. Nechť veličina X má spojité rozdělení s hustotou f(x) = cx 3 pro x 1, f(x) = 0 jinak. Určete konstantu c, distribuční funkci, střední hodnotu, rozptyl, Pr[0 < X < 2]. 3 λ λk

4 35. Určete E X k pro X s gamma rozdělením (X Γ(a, p)) daným hustotou f(x) = ap Γ(p) xp 1 e ax 1 (0, ) (x). Určete var X. Pro speciální případ exponenciálního rozdělení Exp(a) (= Γ(a, 1)) určete distribuční funkci F a doplňkovou distribuční funkci S = 1 F (S se nazývá funkce přežití). 36. Dokažte, že pro nezápornou veličinu X se spojitým rozdělením jsou následující tvrzení ekvivalentní: (i) X má exponenciální rozdělení, (ii) Pr[T > s + t T > s] = Pr[T > t] pro všechna s, t Nechť F je nějaká spojitá rostoucí distribuční funkce, F 1 její inverse. Mějme veličinu U R(0, 1). Ukažte, že veličina X = F 1 (U) má distribuční funkci F. (Poznámka: Tvrzení platí i bez předpokladu, že F je spojitá rostoucí. V tom případě je definováno F 1 (u) = infx : F (x) u}.) Uvědomte si význam pro simulace. Jak nasimulujete veličinu například s exponenciálním či Cauchyovým rozdělením, jestliže máte k disposici generátor (pseudo)náhodných čísel s rovnoměrným rozdělením? 38. Má-li veličina X střední hodnotu µ a rozptyl σ 2, pak Y = a + bx (b 0) má střední hodnotu a + bµ a rozptyl b 2 σ 2. Ukažte, že je-li rozdělení X normální, pak i Y je normální (tj. Y N(a + bµ, b 2 σ 2 )). Zejména platí (X µ)/σ N(0, 1). 39. Buď X N(0, 1) a Y = X 2. Najdtěte hustotu rozdělení veličiny Y. Vyjde hustota Γ(1/2, 1/2), toto rozdělení se nazývá χ 2 rozdělení s jedním stupněm volnosti (značí se χ 2 1). 40. Veličina X má Cauchyho rozdělení s hustotou 1 f(x) = π(1 + x 2 ), x R. Povšimněte si, že veličina nemá střední hodnotu. Ukažte, že Y = 1/X má opět Cauchyho rozdělení. 6. Náhodné vektory ( ) 41. Náhodný vektor (X, Y ) T má hustotu c, x 0, y 0, x + y 1, f(x, y) = 0 jinde (rovnoměrné rozdělení na uvedené množině). Najděte konstantu c, marginální hustoty X a Y, střední hodnoty, kovarianční a korelační matici. Rozhodněte, zda X a Y jsou nezávislé. 42. Uvažujme dva náhodné vektory: (U, V ) T s rozdělením s hustotou a (X, Y ) T s hustotou g(u, v) = 1 2π exp 1 2 (u2 + v 2 )}, (u, v) R 2, h(x, y) = 2g(x, y) pro xy 0, 0 jinak. Určete marginální rozdělení U a V v rozdělení (U, V ) T a totéž pro X a Y v rozdělení (X, Y ) T. Povšimněte si, že sdružené rozdělení není marginálními rozděleními určeno. 43. Pro nezávislé veličiny X Exp(λ 1 ) a Y Exp(λ 2 ) (i) určete rozdělení Z = min(x, Y ), (ii) spočtěte Pr[X < Y ]. 44. Nezávisle hodíme dvěma symetrickými mincemi. Pro každou minci zaznamenáme výsledek 1, když padne panna, 0, když padne orel. Označme S součet výsledků na obou mincích, R jejich rozdíl. Jaké je rozdělení vektoru (S, R) T? (Zapište tabulku pravděpodobností.) Jsou S a R nezávislé? Určete korelaci. 4

5 7. Náhodné vektory, konvoluce ( ) 45. Náhodný vektor (X, Y ) T má hustotu 2 f(x, y) = 3 (x + 2y), (x, y) [0, 1]2, 0 jinak. Najděte marginální hustoty X a Y, střední hodnoty, kovarianční a korelační matici, sdruženou distribuční funkci, marginální distribuční funkce. Rozhodněte, zda X a Y jsou nezávislé. 46. Najděte rozdělení součtu veličin U 1, U 2, jestliže tyto jsou nezávislé a U 1 R(0, 1), U 2 R(0, 1). Určete střední hodnotu a rozptyl U 1 + U Určete rozdělení S = X + Y, jestliže X Po(λ 1 ), Y Po(λ 2 ) a X, Y jsou nezávislé. 48. Určete rozdělení Pr[X = k X +Y = n], jestliže X Po(λ 1 ), Y Po(λ 2 ) a X, Y jsou nezávislé. 49. Najděte rozdělení X 1 + X 2, jestliže X 1 Γ(a, p 1 ) a X 2 Γ(a, p 2 ) jsou nezávislé. Na základě tohoto výsledku napište hustotu rozdělení χ 2 k. 8. Borel Cantelliho lemma, zákony velkých čísel ( ) 50. Pro nekonečnou posloupnost nezávislých hodů kostkou určete (a) Pr[nekonečně krát padne šestka], (b) Pr[nekonečně krát padne 1000 šestek za sebou]. 51. Nechť X n, n 1 jsou nezávislé veličiny s Pr[X n = n λ ] = Pr[X n = n λ ] = 1 2 (kde λ < 1 2 je konstanta). Dokažte, že pro posloupnost X n, n 1} platí silný zákon velkých čísel. 52. Nechť X n, n 1} je posloupnost nezávislých stejně rozdělených veličin s konečným rozptylem. Uvažujme posloupnost Y n, n 1} s Y n = n 1/3 X n. Platí pro ni SZVČ? 53. Veličiny X 1, X 2,... nechť jsou nezávislé s rozdělením daným pravděpodobnostmi Pr[X n = 1] = Pr[X n = 1] = n+1, Pr[X n = 2 n ] = Pr[X n = 2 n ] = 1 2 n+1. Dokažte, že pro posloupnost X n } platí silný zákon velkých čísel. 54. Nechť X 1, X 2,... jsou nezávislé veličiny s rozdělením R(1, 2). Dokažte, že 1 n n k=1 a kx k 3a/2, jestliže platí 1 n n k=1 a k a < a k=1 a2 k /k2 <. 55. Jestliže Z n značí euklidovskou vzdálenost dvou náhodně umístěných bodů v n-rozměrné krychli jednotkové krychli. Ukažte, že Z n / n 1/ 6 s.j. 9. Centrální limitní věta ( ) 56. Životnost součástky má exponenciální rozdělení s intensitou 1/10 h 1. Pomocí centrální limitní věty řešte následující. (a) Máme 100 součástek. Jakmile se jedna porouchá, nahradíme ji další. Jaká je pravděpodobnost, že celková životnost bude mezi 900 a 1050 hodinami? (b) Kolik máme koupit součástek, aby nám celkově vydržely aspoň 600 hodin s pravděpodobností aspoň 95 %? 57. Na server má přístup 100 uživatelů. Z dřívějších zkušeností víme, že uživatel má na serveru průměrně µ = 120 MB dat, směrodatná odchylka množství dat je σ = 40 MB. Jak velký diskový prostor potřebujeme, aby s pravděpodobností 99 % nedošlo k jeho zaplnění? (Užijte CLV.) 58. Ukažte, že pro prosloupnost X 1, X 2,... nezávislých veličin, jež mají rozdělení Pr[X k = k λ ] = Pr[X k = k λ ] = 1/2 (kde λ > 0 je nějaká konstanta), platí centrální limitní věta. 59. Nechť X 1, X 2,... je posloupnost nezávislých veličin, pro něž Pr[X k = log k] = Pr[X k = log k] = 1/2. Ukažte, že pro tuto posloupnost platí CLV. Zapište explicitně tvrzení CLV pro tento případ. 5 s.j.

6 60. Označme ν n poměrnou četnost líců v n hodech symetrickou mincí. Kolik musíme provést hodů, aby ν n s pravděpodobností alespoň 0.95? Řešte pomocí (a) Čebyševovy nerovnosti, (b) centrální limitní věty. 10. Bodové odhady parametrů ( ) 61. Je-li X 1,..., X n výběr z Poissonova rozdělení s parametrem λ, najděte maximálně věrohodný odhad ˆλ tohoto parametru a zdůvodněte jeho nestrannost a konsistenci. Dále si povšimněte, že λ = S 2 n = 1 n 1 n k=1 (X k X n ) 2 je rovněž nestranným a konsistentním odhadem λ. 62. Pro X 1,..., X n výběr z Po(λ) ukažte, že ˆp 0 = (1 1 n )n X n je nestranným a konsistentním odhadem p 0 = Pr[X = 0] = e λ. 63. Ukažte, že pro výběr o rozsahu n z alternativního rozdělení s parametrem p (0, 1) neexistuje nestranný odhad parametrické funkce 1/p. 64. Najděte maximálně věrohodný odhad ˆp parametru p pro výběr X 1,..., X n z Ge(p). Ukažte, že není nestranný (s využitím rozvoje v geometrickou řadu ukažte, že E p ˆp > p). 65. Je-li X 1,..., X n výběr z exponenciálního rozdělení s intensitou λ > 0 (s hustotou f(x; λ) = λe λx 1 (0, ) (x)), odhadněte λ metodou maximální věrohodnosti. Spočítejte střední hodnotu tohoto odhadu. Jaký odhad by byl nestranný? 66. Ukažte, že nemůže být současně T nestranným odhadem θ a T 2 nestranným odhadem θ 2. (Jestliže E T = θ a E T 2 = θ 2, pak T = θ skoro jistě, čili T není odhad, neboť závisí na neznámém parametru, který má odhadovat.) 11. Bodové odhady, Neyman Pearsonovo lemma ( ) 67. Uvažujme výběr X 1,..., X n z rozdělení s hustotou f(x; θ) = 3θ 3 x 4 1 [θ, ) (x), x R, θ > 0. (a) Ověřte, že θ = 2 3 X n je nestranný odhad θ. (b) Najděte maximálně věrohodný odhad ˆθ parametru θ. (c) Spočítejte střední hodnotu odhadu ˆθ. Na základě tohoto výsledku navrhněte nestranný odhad θ. (d) Ukažte, že ˆθ je slabě konsistentní (ˆθ ne jen jako důsledek silné konsistence.) Pr θ). (Slabou konsistenci ukažte přímo z definice, n (e) Ukažte, že ˆθ s.j. je silně konsistentní (ˆθ θ). (Užijte Borel Cantelliho lemma.) n (f) Najděte rozptyl ˆθ a θ a porovnejte rychlost konvergence rozptylů k 0 při n. 68. Uvažujme výběr o rozsahu n z alternativního rozdělení s neznámým parametrem p (0, 1). Podle Neyman Pearsonova lemmatu sestrojte test (najděte jeho kritický obor) hypotesy H 0 : p = p 0 proti alternativě H 1 : p = p 1, který je mezi všemi testy s hladinou nejvýše α nejsilnější. (Hodnoty p 0, p 1 jsou známé, předem dané, a splňují p 0 < p 1.) Kritický obor (oblast zamítnutí) stanovte jednak na základě binomického rozdělení a jednak s použitím normální approximace (CLV). Povšimněte si, že kvůli diskrétnosti binomického rozdělení (nespojitosti distribuční funkce) nelze vždy nalézt test, který má hladinu přesně α. 69. Je-li X 1,..., X n výběr z exponenciálního rozdělení s intensitou λ > 0 (s hustotou f(x; λ) = λe λx 1 (0, ) (x)), sestavte na základě Neyman Pearsonova lemmatu test nulové hypotesy H 0 : λ = λ 0 proti alternativě H 1 : λ = λ 1. (λ 0 < λ 1 jsou známé konstanty.) Kritický obor stanovte jednak přesně (gamma rozdělení) a jednak přibližně (s využitím CLV). Reference Dupač, V. & Hušková, M. (1999). Pravděpodobnost a matematická statistika. Karolinum, Praha. Potocký, R., Kalas, J., Komorník, J. & Lamoš, F. (1986). Zbierka úloh z pravdepodobnosti a matematickej štatistiky. SNTL/Alfa, Praha/Bratislava. 6

7 Romano, J. P. & Siegel, A. F. (1986). Counterexamples in probability and statistics. Wadsworth & Brooks, Monterey. Zvára, K. & Štěpán, J. (2002). Pravděpodobnost a matematická statistika. Matfyzpress, Praha. 7

STP022 PŘÍKLADY LS 2004/2005

STP022 PŘÍKLADY LS 2004/2005 STP022 PŘÍKLADY LS 2004/2005 Příklady jsou většinou převzaté ze skript Dupač & Hušková (1999), Zvára & Štěpán (2002) a ze sbírky Potocký et al. (1986). Některé příklady a protipříklady pocházejí z knihy

Více

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3! Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k

Více

Příklad 2 (klasický pravděpodobnostní prostor hod dvěma desetistěnnými kostkami). Uvažujme

Příklad 2 (klasický pravděpodobnostní prostor hod dvěma desetistěnnými kostkami). Uvažujme Cvičení k základům pravděpodobnosti Připomeňte si: klasický pravděpodobnostní prostor, elementární jev, náhodný jev, doplňkový jev, pravděpodobnost, věta o inkluzi a exkluzi, podmíněná pravděpodobnost,

Více

Příklady na procvičení z NMSA202

Příklady na procvičení z NMSA202 1 Klasická pravděpodobnost Příklady na procvičení z NMSA202 Naposledy změněno: 11. května 2018 1. Z kartiček s čísly 1, 2, 3, 4, 5 náhodně vybereme tři a položíme je v pořadí, v němž jsme je vybrali. Jaká

Více

1. Klasická pravděpodobnost

1. Klasická pravděpodobnost Příklady 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 2. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013 Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko

Více

Příklady na procvičení z NMFM202

Příklady na procvičení z NMFM202 Příklady na procvičení z NMFM202 Naposledy změněno: 24. října 203 Klasická pravděpodobnost. Z kartiček s čísly, 2, 3, 4, 5 náhodně vybereme tři a položíme je v pořadí, v němž jsme je vybrali. Jaká je pravděpodobnost,

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Klasická pravděpodobnost a geometrická pravděpodobnost

Klasická pravděpodobnost a geometrická pravděpodobnost Klasická pravděpodobnost a geometrická pravděpodobnost 1. Házíme čtyřmi šestistěnnými hracími kostkami. Určete, jaká je pravděpodobnost, že (a) součet čísel na kostkách bude sudé číslo a zároveň součin

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

Příklady na procvičení z NSTP022

Příklady na procvičení z NSTP022 1 Klasická pravděpodobnost Příklady na procvičení z NSTP022 Naposledy změněno: 24. března 2013 1. Z kartiček s čísly 1, 2, 3, 4, 5 náhodně vybereme tři a položíme je v pořadí, v němž jsme je vybrali. Jaká

Více

Příklad 1: Házíme dvěma kostkami. Stanovte pravděpodobnost jevu, že na kostkách padne součet menší než 5.

Příklad 1: Házíme dvěma kostkami. Stanovte pravděpodobnost jevu, že na kostkách padne součet menší než 5. Příklad 1: Házíme dvěma kostkami. Stanovte pravděpodobnost jevu, že na kostkách padne součet menší než 5. Řešení: Výsledky pokusu jsou uspořádané dvojice. První člen dvojice odpovídá hodu 1. kostkou a

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

1. Klasická pravděpodobnost

1. Klasická pravděpodobnost Příklady 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme dvakrát kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? 2. Základy teorie pravděpodobnosti vznikly v korespondenci mezi dvěma slavnými francouzskými

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

NMSA202 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA POZNÁMKY O ZKOUŠCE

NMSA202 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA POZNÁMKY O ZKOUŠCE Datum poslední aktualizace: 13. června 2014 NMSA202 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA POZNÁMKY O ZKOUŠCE Zkouška má písemnou a ústní část. Nejdříve je písemná část, která se dále dělí na početní

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 5.téma 5. Některá významná rozdělení A. Diskrétní rozdělení (i) Diskrétní rovnoměrné rozdělení na množině {,..., n} Náhodná veličina X, která má diskrétní rovnoměrné

Více

1. Klasická pravděpodobnost

1. Klasická pravděpodobnost 1. Klasická pravděpodobnost 1. Házíme postupně čtyřikrát korunovou mincí. Jaká je pravděpodobnost, že padne jednou panna a třikrát orel? Jaká se tato pravděpodobnost změní, když mince není symetrická a

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení

Více

matematická statistika 1 Klasická pravděpodobnost

matematická statistika 1 Klasická pravděpodobnost Příklady na procvičení z předmětu Pravděpodobnost a matematická statistika Poslední úprava 5. prosince 2017. Většina příkladů je již upravena na základě toho, co jsme propočítali na cvičení a co bylo probráno

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP

Přednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).

2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz). 1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika. 22. listopadu Zadání cvičení na jednotlivé týdny není myšleno tak, že se během hodiny proberou všechny

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika. 22. listopadu Zadání cvičení na jednotlivé týdny není myšleno tak, že se během hodiny proberou všechny NMAI059 Pravděpodobnost a statistika Zadání cvičení a doplňkových příkladů. 22. listopadu 2017 Jak používat tuto příručku. Jde o postupně vznikající text, který bude obsahovat klíčové příklady k procvičení

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Odhady parametrů Postačující statistiky

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Odhady parametrů Postačující statistiky PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Odhady parametrů SP3 Připomenutí pojmů Připomenutí pojmů z S1P a SP2 odhady Nechť X,, je náhodný výběr z rozdělení s distribuční funkcí. 1 X,, X ) ( 1 n Statistika se nazývá bodovým

Více

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení

Přednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

Jan Hamhalter. 1. Náhodná veličina je dána maximem počtu ok při šesti hodech hrací kostkou. Určete pravděpodobnostní funkci a střední hodnotu. j.

Jan Hamhalter. 1. Náhodná veličina je dána maximem počtu ok při šesti hodech hrací kostkou. Určete pravděpodobnostní funkci a střední hodnotu. j. M6C Některé příklady z přednášky a cvičení 24. února 2006 Jan Hamhalter 1 Náhodné veličiny 1. Náhodná veličina je dána maximem počtu ok při šesti hodech hrací kostkou. Určete pravděpodobnostní funkci a

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?

Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet? Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 10 Vytvořeno v rámci projektu 963/011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly

Více

ZÁklady teorie pravděpodobnosti

ZÁklady teorie pravděpodobnosti ZÁklady teorie pravděpodobnosti Pro předmět MatematickÁ statistika 1 Michal Kulich Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fysikální fakulta University Karlovy Tyto poznámky poskytují

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Jan Hamhalter. 1 Kombinatorická pravděpodobnost

Jan Hamhalter. 1 Kombinatorická pravděpodobnost M4B Příklady z přednášky a cvičení 11. ledna 2007 Jan Hamhalter 1 Kombinatorická pravděpodobnost 1. Házíme šesti kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padnou a) různá čísla b) pouze lichá čísla? Výsledek:

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopravní Pravděpodobnost a matematická statistika RNDr. Jana Novovičová, CSc. 1999 Vydavatelství ČVUT Lektor : Doc. Ing. Miloslav Vošvrda, CSc. (c) RNDr. Jana

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 5 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v

Více

Vícerozměrná rozdělení

Vícerozměrná rozdělení Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

1. A c B c, 2. (A C) B, 3. A B C.

1. A c B c, 2. (A C) B, 3. A B C. Příklad 1: V urně jsou kuličky tří barev. Nechť jevy A, B, C, postupně znamenají, že náhodně vybraná kulička je černá, červená, bílá. Určete význam následujících jevů: 1. A c B c, 2. (A C) B, 3. A B C.

Více

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A

AKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A AKM - 1-2 CVIČENÍ Opakování maticové algebry Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A 1 1 ( A ) = ( A ) ( A ) = A ( A + B) = A + B 1 1 1 ( AB) = B A, kde A je řádu mxn a B nxk Čtvercová matice

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017 1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

S1P Příklady 01. Náhodné jevy

S1P Příklady 01. Náhodné jevy S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina. Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

ÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová

ÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová ÚVOD DO TEORIE ODHADU Martina Litschmannová Obsah lekce Výběrové charakteristiky parametry populace vs. výběrové charakteristiky limitní věty další rozdělení pravděpodobnosti (Chí-kvadrát (Pearsonovo),

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

pravděpodobnosti a Bayesova věta

pravděpodobnosti a Bayesova věta NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,

Více

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.

Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami. 3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její

Více

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.

ÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd. ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.

populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech. Populace a Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že

Řešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0.

11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0. 11 cvičení z PSI 12-16 prosince 2016 111 (Test dobré shody - geometrické rozdělení Realizací náhodné veličiny X jsme dostali následující četnosti výsledků: hodnota 0 1 2 3 4 5 6 pozorovaná četnost 29 15

Více

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek

4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA 1, CVIČENÍ (NMSA331) Poslední úprava dokumentu: 17. listopadu 2016

MATEMATICKÁ STATISTIKA 1, CVIČENÍ (NMSA331) Poslední úprava dokumentu: 17. listopadu 2016 MATEMATICKÁ STATISTIKA, CVIČENÍ NMSA33 Příklay nejen pro přípravu na písemnou zápočtovou práci Poslení úprava okumentu: 7. listopau 206 Poslení úprava okumentu: 7. listopau 206 Mnohorozměrné normální rozěleni

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností připomenutí, souvislosti

Více