4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1

Transkript

1 4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1

2 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování reklamy) Směšovací problémy Nutriční problém (spec. případ směšovacího problému) Úlohy o dělení materiálu (řezné problémy) Rozvrhování pracovníků Distribuční úlohy (dopravní problém a další) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2

3 4. Distribuční úlohy LP Úkolem celé velké skupiny distribučních úloh je zajistit distribuci (tj. rozdělení) určité homogenní komodity (např. zboží) z jedné oblasti (např. dodavatelé) do druhé oblasti (např. odběratelé). Proměnné: přiřazení jednotky z první skupiny k jednotce z druhé skupiny (např. doprava od daného dodavatele k danému odběrateli), hodnoty určují, zda k přiřazení dojde či ne (0/1) nebo jak intenzivní přiřazení je (množství převáženého zboží) Omezení: kapacity a požadavky Cíl: obvykle minimalizace nákladů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 3

4 dopravní problém 4. Distribuční úlohy LP kontejnerový dopravní problém obecný distribuční problém přiřazovací problém úloha o pokrytí okružní dopravní problém výrobně-přepravní problém atd. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 4

5 4. Distribuční úlohy LP Liší se od běžných úloh LP svým specifickým matematickým modelem Řada z nich je charakteristická požadavkem celočíselnosti proměnných Řeší se proto specifickými metodami Nejjednodušším reprezentantem je dopravní problém (DP) Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 5

6 4.1 Dopravní problém (DP) DP řeší distribuci homogenní látky od dodavatelů k odběratelům Je dán: počet dodavatelů m (index i = 1, 2,, m) počet odběratelů n (index j = 1, 2,, n) kapacity dodavatelů a i požadavky odběratelů b j cena (náklady, vzdálenost atd.) za dodání jedné jednotky od i-tého dodavatele k j-tému odběrateli c ij Kapacity dodavatelů jsou zadány ve stejných jednotkách jako požadavky odběratelů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 6

7 4.1 Dopravní problém (DP) Úkol: určit, kolik jednotek dodá každý dodavatel každému odběrateli Cíl: uspokojit požadavky odběratelů tak, aby hodnota stanoveného cíle byla minimální Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 7

8 4.1 Příklad - zadání V okolí Mladé Boleslavi působí mimo jiné tři zemědělská družstva: Sever Loukovec, Čistá u Mladé Boleslavi a Luštěnice. Družstva disponují 15, 20 a 25 kombajny. Je potřeba posekat tři pole s obilím, přičemž na první je potřeba poslat 22 kombajnů, na druhé 20 a na třetí 18. Vzdálenosti mezi jednotlivými družstvy a poli jsou uvedeny v tabulce. Určete přepravované počty kombajnů z jednotlivých družstev na pole tak, aby počet ujetých kilometrů byl minimální. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 8

9 4.1 Příklad - zadání [km] Pole 1 Pole 2 Pole 3 Kapacity Sever Loukovec Čistá u Mladé Boleslavi Luštěnice Požadavky Pole km Luštěnice Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 9

10 4.1 Příklad - proměnné Proměnné označíme x ij Hodnota proměnné x ij určuje množství kombajnů v kusech dodaných i tým dodavatelem (družstvem) j tému odběrateli (poli) Proměnných je m n = 3 3 = 9 Vektor proměnných má složky x = x 11, x 12, x 13, x 21, x 22, x 23, x 31, x 32, x 33 T Na obrázku byla znázorněna volba náhodně zvolené proměnné x 32 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 10

11 4.1 Dopravní problém formulace MM Proměnné v DP označíme x ij (dvojitý index) Hodnota proměnné x ij určuje množství homogenní látky dodané i tým dodavatelem j tému odběrateli Počet proměnných: m n Vektor proměnných má složky x = x 11, x 12,, x 1n, x 21, x 22,, x 2n,, x m1, x m2,, x mn T Předpokládá se rovnost součtu kapacit a součtu požadavků (vyrovnaný DP)* Omezení jsou proto formulována v rovnicích Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 11

12 4.1 Příklad matematický model minimalizovat za podmínek: c ij O1 O2 O3 a i D D D b j z = 9x x x 33 x 11 + x 12 + x 13 = 15 x 21 + x 22 + x 23 = 20 x 31 + x 32 + x 33 = 25 x 11 + x 21 + x 31 = 22 x 12 + x 22 + x 32 = 20 x 13 + x 23 + x 33 = 18 x ij O1 O2 O3 a i D1 x 11 x 12 x D2 x 21 x 22 x D3 x 31 x 32 x b j x ij 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 12

13 4.1 Příklad matematický model minimalizovat z = 9x x x 33 za podmínek: x 11 +x 12 +x 13 = 15 x 21 +x 22 +x 23 = 20 x 31 +x 32 +x 33 = 25 x 11 +x 21 +x 31 = 22 x 12 +x 22 +x 32 = 20 x 13 +x 23 +x 33 = 18 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 13

14 4.1 Dopravní problém formulace MM Počet omezení DP je m + n m pro dodavatele (řádková omezení, zajišťují kapacitu) x i1 + x i2 + + x in = a i, i = 1, 2,, m n j=1 x ij = a i, i = 1, 2,, m n pro odběratele (sloupcová omezení, zajišťují požadavky) x 1j + x 2j + + x mj = b j, j = 1, 2,, n m i=1 x ij = b j, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 14

15 4.1 Dopravní problém formulace MM Podmínky nezápornosti: x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Účelová funkce: minimalizovat z = c 11 x 11 + c 12 x c mn x mn z = m n i=1 j=1 c ij x ij Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 15

16 4.1 Dopravní problém obecný model minimalizovat za podmínek: m n z = c ij x ij i=1 j=1 n j=1 m i=1 x ij = a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, n x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 16

17 4.1 Dopravní problém formulace MM Každý vyrovnaný dopravní problém m a i = n i=1 j=1 má vždy přípustné řešení i optimální řešení Každý nevyrovnaný dopravní problém m a i i=1 j=1 lze převést na vyrovnaný dopravní problém Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 17 n b j b j

18 4.1 Dopravní problém dopravní tabulka Zejména z důvodu přehlednosti Řádek tabulky odpovídá řádkovému omezení Sloupec tabulky odpovídá sloupcovému omezení Řádky a sloupce vymezují políčka Políčko tabulky odpovídá jedné dopravní cestě mezi dodavatelem a odběratelem, tj. jedné proměnné x ij O j D i c ij x ij Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 18

19 4.1 Příklad dopravní tabulka Je to PŘ? z = 411 c ij O1 O2 O3 a i D D D b j O 1 O 2 O 3 a i D x D 2 x7 21 x 23 D x x b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 19

20 4.1 Příklad optimální řešení z = 261 c ij O1 O2 O3 a i D D D b j O 1 O 2 O 3 a i D D D b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 20

21 4.1 Dopravní problém nevyrovnaný DP Každý nevyrovnaný dopravní problém m a i n i=1 j=1 lze převést na vyrovnaný dopravní problém Buď přidáním fiktivního dodavatele Nebo přidáním fiktivního odběratele b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 21

22 4.1 Příklad - zadání Předpokládejme nyní, že Pole 3 je již posekané. Všechny ostatní informace zůstávají beze změny. Určete přepravované počty kombajnů z jednotlivých družstev na pole tak, aby počet ujetých kilometrů byl minimální. [km] Pole 1 Pole 2 Kapacity Sever Loukovec Čistá u Mladé Boleslavi Luštěnice Požadavky / 60 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 22

23 4.1 Příklad fiktivní odběratel c ij O1 O2 a i D D D b j Cenové koeficienty fiktivního odběratele jsou nulové O 1 O 2 F 3 a i D D D b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 23

24 4.1 Dopravní problém nevyrovnaný DP Přebytek kapacit nad požadavky m a i > n i=1 j=1 Přidání fiktivního odběratele (sloupec) s požadavkem m b n+1 = a i b j n i=1 j=1 Představuje neodeslané zboží (nevyčerpaná kapacita) b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 24

25 4.1 Příklad - zadání Předpokládejme nyní, že oproti původnímu zadání má zemědělské družstvo Sever Loukovec celodružstevní dovolenou a jejich kombajny nemohou sekat. Všechny ostatní informace zůstávají beze změny. Určete přepravované počty kombajnů z jednotlivých družstev na pole tak, aby počet ujetých kilometrů byl minimální. [km] Pole 1 Pole 2 Pole 3 Kapacity Čistá u Mladé Boleslavi Luštěnice Požadavky / 45 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 25

26 4.1 Příklad fiktivní dodavatel c ij O1 O2 O3 a i D D b j Cenové koeficienty fiktivního dodavatele jsou nulové O 1 O 2 O 3 a i D D F b j Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 26

27 4.1 Dopravní problém nevyrovnaný DP Přebytek požadavků nad kapacitami m a i < n i=1 j=1 Přidání fiktivního dodavatele (řádek) s kapacitou n a m+1 = b j b j m j=1 i=1 Představuje nedodané zboží (nesplněný požadavek) a i Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 27

28 4.2 Kontejnerový dopravní problém (KDP) KDP je modifikací dopravního problému s tím rozdílem, že přeprava zboží se provádí pouze v kontejnerech Každý kontejner má kapacitu K jednotek Náklady na přepravu jsou uvedeny na jeden kontejner Náklady jsou stejné bez ohledu na to, je-li kontejner plný nebo poloprázdný Celkové náklady na přepravu se minimalizují Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 28

29 4.2 Příklad - zadání Firma Kámen těží ve třech lomech štěrko-písek. Štěrkopísek dodává na tři velké stavby. Kapacita lomů je 30, 20 a 25 tun (denně). Požadavky staveb jsou 25, 35 a 15 tun (denně). Vzdálenosti jednotlivých lomů od staveb v km jsou uvedeny v tabulce. Doprava je realizována pomocí nákladních vozů Liaz 150 s maximální nosností 10 tun. Určete objem dodávek z jednotlivých lomů na stavby tak, aby počet ujetých kilometrů byl minimální. Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 29

30 4.2 Příklad - zadání [km] Stavba 1 Stavba 2 Stavba 3 Kapacity Lom Lom Lom Požadavky Stavba km Lom 1 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 30

31 4.2 Kontejnerový dopravní problém (KDP) Je dán: počet dodavatelů m (index i = 1, 2,, m) počet odběratelů n (index j = 1, 2,, n) kapacity dodavatelů a i požadavky odběratelů b j objem kontejneru K (maximální množství zboží) cena (náklady, vzdálenost atd.) za dodání jednoho kontejneru od i-tého dodavatele k jtému odběrateli c ij Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 31

32 4.2 Kontejnerový dopravní problém (KDP) Kapacity dodavatelů jsou zadány ve stejných jednotkách jako požadavky odběratelů Kapacity dodavatelů stačí na pokrytí požadavků (součet kapacit je větší nebo roven součtu požadavků) Minimalizujeme náklady na přepravu kontejnerů Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 32

33 4.2 KDP formulace MM KDP obsahuje dva typy proměnných: První proměnné v KDP označíme x ij (dvojitý index) Hodnota proměnné x ij určuje přepravované množství od i tého dodavatele k j tému odběrateli Počet proměnných x ij : m n Vektor proměnných má složky x = x 11, x 12,, x 1n, x 21, x 22,, x 2n,, x m1, x m2,, x mn T Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 33

34 4.2 KDP formulace MM Hodnoty proměnných x ij jsou omezeny kapacitami dodavatelů a požadavky odběratelů Počet těchto omezení je m + n m pro dodavatele (řádková omezení, zajišťují kapacitu) n j=1 x ij a i, i = 1, 2,, m n pro odběratele (sloupcová omezení, zajišťují požadavky) m i=1 x ij = b j, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 34

35 4.2 KDP formulace MM Druhé proměnné v KDP označíme y ij (dvojitý index) Hodnota proměnné y ij určuje počet přepravovaných kontejnerů od i tého dodavatele k j tému odběrateli Počet proměnných y ij : m n Vektor proměnných má složky y = y 11, y 12,, y 1n, y 21, y 22,, y 2n,, y m1, y m2,, y mn T Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 35

36 4.2 KDP formulace MM Hodnoty proměnných y ij jsou omezeny přepravovaným množstvím (přepravované množství x ij se musí vejít do kontejnerů jedoucích mezi i-tým dodavatelem a j-tým odběratelem) Počet těchto omezení je m n Pro každou dvojici i-tého dodavatele a j-tého odběratele x ij Ky ij, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 36

37 4.2 KDP formulace MM Podmínky nezápornosti a celočíselnosti: x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n y ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n y ij celé, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Účelová funkce: minimalizovat z = c 11 y 11 + c 12 y c mn y mn z = m n i=1 j=1 c ij y ij Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 37

38 4.2 KDP obecný model minimalizovat za podmínek: n j=1 m i=1 z = m n i=1 j=1 c ij y ij x ij a i, i = 1, 2,, m x ij = b j, j = 1, 2,, n x ij Ky ij, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n x ij 0, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n y ij 0, celé, i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 38

39 4.2 KDP obecný model Proměnné: x ij, y ij Počet proměnných: m n + m n = 2 m n Omezení: m pro kapacity dodavatelů n pro požadavky odběratelů m n pro přepravované množství v kontejnerech Počet omezení: m + n + m n Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 39

40 Detaily k přednášce: skripta, kapitola 3 (kap. 3, 3.1 a 3.2) KONEC Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 94