Slovní úlohy I
|
|
|
- Filip Urban
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ..1 Slovní úlohy I Předpoklady: 0008 Pedagogická poznámka: Slovní úlohy jsou problém, hlavně pro to, že neexistuje jednoznačný algoritmus na jejich řešení. Této první hodiny se však problémy netýkají, protože jednoznačný algoritmus mají. Je možné hodinu vzít i jako poloviční, žáci sice nestihnou spočítat všechny příklady, ale pokud neměli problémy se sestavováním výrazů, nebude to příliš na závadu. Pedagogická poznámka: První dva příklady děláme společně, ve zbytku hodiny postupuje každý sám. Př. 1: Které číslo se po zvětšení o tři rovná patnácti? Jednoduché: Hledané číslo označíme jako proměnnou (například x). Zapíšeme si informaci ze zadání pomocí proměnné: x + = 1. Rovnici vyřešíme: x + = 1 / x = 1 Zadání odpovídá číslo 1. První příklad byl jednoduchý, snadno ho vyřešíme i z paměti. U dalšího příkladu už paměť většinou nestačí stojí za to využít postup, který nám umožní kromě jednoduchých řešit i těžší příklady. Postup řešení jsme si ukázali na předchozím příkladu: najdeme veličinu (počet), který chceme určit, a označíme si ji pomocí proměnné, informace v zadání zapíšeme pomocí výrazů, z výrazů sestavíme rovnici, rovnici vyřešíme, řešení rovnice použijeme k určení všech hodnot požadovaných v zadání, zkontrolujeme, zda získané hodnoty odpovídajíc zadání (nemůžeme zkoušku provádět jako zkoušku řešení rovnice, protože rovnice může být špatně sestavená). Př. : Najdi číslo, jehož třetina zvětšená o sedm se rovná polovině z jeho dvojnásobku zmenšeného o dva. Neznámé číslo y y Třetina zvětšená o sedm + 7 Polovina polovina z dvojnásobku zmenšeného o dva y y y + 7 = / 6 y + 4 = y ( ) y + 4 = 6y 6 / y 4 = 4y 6 / + 6 1
2 48 = 4 y / : 4 y = 1 Třetina zvětšená o sedm: = + =. Dvojnásobek zmenšený o dva: 1 = 4 =, polovina z dvojnásobku zmenšeného o dva: 11 = Hledaným číslem je číslo 1. Př. : Najdi číslo, jehož dvojnásobek zvětšený o sedm se rovná jeho trojnásobku zmenšenému o šest. Neznámé číslo a Dvojnásobek zvětšený o sedm a + 7 Trojnásobek zmenšený o šest a 6 a + 7 = a 6 / a 7 = a 6 / + 6 a = 1 Dvojnásobek zvětšený o sedm: 1+ 7 = =. Trojnásobek zmenšený o šest: 1 6 = 9 6 =. Hledaným číslem je číslo 1. Př. 4: Které číslo se rovná svým dvěma pětinám zvětšeným o devět? Neznámé číslo k Dvě pětiny zvětšené o devět 9 k k / k + 4 = k / k 4 = k / : k = 1 9 k + Dvě pětiny čísla zvětšené o devět: = + =. Hledaným číslem je číslo 1.
3 Př. : Najdi číslo jehož sedmina je o čtyři menší než jeho třetina. Neznámé číslo... r Sedmina čísla... r 7 Třetina čísla... r r r Sedmina je o čtyři menší než jeho třetina: + 4 =. 7 r r + 4 = 7 / 1 r + 84 = 7 r / r 84 = 4 r / : 4 r = 1 Sedmina čísla: 1 7 =. Třetina čísla: 1 7 =. Sedmina je o čtyři menší než třetina: 7 4 =. Nezvěstným číslem je číslo 1. Př. 6: Policie České republiky pátrá po číslu, pro které platí: pokud trojnásobek čísla zvětšený o dva vydělíme šesti, získáme to samé jako když čtyřnásobek čísla zmenšený o tři vydělíme osmi. Hledané číslo... x Trojnásobek čísla zvětšený o dva vydělíme šesti: x +. 6 Čtyřnásobek čísla zmenšený o tři vydělíme osmi: 4 x. 8 x + 4x = / x + = 4x ( ) ( ) 1x + 8 = 1x 9 / 1x 8 0x = 17 rovnice nemá řešení. Číslo hledané česko policií neexistuje. Př. 7: Pro které číslo platí, že jeho pětina je o větší než jeho třetina? Na první pohled se zdá, že takové číslo neexistuje, zkusíme sestavit rovnici a uvidíme, zda je odhad správný.
4 Hledané číslo... z. Pětina čísla... z Třetina čísla... z z z Pětina je o větší než jeho třetina: = + / 1. z = z + 0 / z 60 0 = z / : x = 1 Raději si to zkontrolujeme: 1 Pětina čísla: =. 1 Třetina čísla: =. - je doopravdy o dvě větší než -. Hledaným číslem je číslo -. Př. 8: Najdi číslo, kterým musíme vydělit trojku, abychom získali to samé, jako když vydělíme dvojku číslem o jedno větším. Hledané číslo... Trojku dělíme číslem... d Dvojku dělíme číslem o jedna větším... d d d + 1 d +1 Z obou dělení získáme to samé: = / d ( d + 1) ( d ) + 1 = d d + = d / d d = Raději si to zkontrolujeme:. Trojku dělíme číslem: 1 =. Dvojku dělíme číslem o jedna větším: Obě čísla vyšla stejná = =. Hledaným číslem je číslo -. Př. 9: Projdi si příklady řešené v této hodině a zkus je vyřešit bez použití rovnic. Příklad 1: Které číslo se po zvětšení o tři rovná patnácti? Od patnácti odečteme hledané číslo je 1. 4
5 Příklad : Najdi číslo, jehož třetina zvětšená o sedm se rovná polovině z jeho dvojnásobku zmenšeného o dva. Zatím neznáme rozumně lehké řešení bez rovnice. Příklad : Najdi číslo, jehož dvojnásobek zvětšený o sedm se rovná jeho trojnásobku zmenšenému o šest. Abychom mohli dvojnásobek srovnat s trojnásobkem, musíme k dvojnásobku sedm přidat a od trojnásobku odečíst šest trojnásobek je o 1 větší než dvojnásobek hledané číslo je 1. Příklad 4: Které číslo se rovná svým dvěma pětinám zvětšeným o devět? Ke dvěma pětinám musíme připočítat tři pětiny, abychom získali celé původní číslo číslo 9 představuje tři pětiny hledaného číslo představuje jednu pětinu a 1 je celé hledané číslo. Příklad : Najdi číslo jehož sedmina je o čtyři menší než jeho třetina. Sedmina je menší než třetina o = = Číslo 4 představuje 4 1 hledaného číslo 1 1 číslo 1. představuje číslo 1 hledaným číslem je Příklad 6: Policie České republiky pátrá po číslu, pro které platí: pokud trojnásobek čísla zvětšený o dva vydělíme šesti, získáme to samé jako když čtyřnásobek čísla zmenšený o tři vydělíme osmi. Porovnáváme šestinu z trojnásobku (tedy polovinu hledaného čísla), ke kterému jsme přičetli jednu třetinu (šestinu ze dvou) a osminu ze čtyřnásobku (tedy opět čtvrtinu hledaného čísla), od které jsme odečetli tři osminy. Rovnost nemůže nikdy nastat, jednou k polovině hledaného čísla připočítáváme a jednou odečítáme. Příklad 7: Pro které číslo platí, že jeho pětina je o větší než jeho třetina? Hledané číslo bude určitě záporné (aby jeho pětině byla větší než třetina), rozdíl mezi pětinou a třetinou 1 1 = = představují 1 představuje 1 hledané číslo je Příklad 8: Najdi číslo, kterým musíme vydělit trojku, abychom získali to samé, jako když vydělíme dvojku číslem o jedno větším. Zatím neznáme rozumně jednoduché řešení příkladu bez rovnice. Shrnutí: Mnoho příklad jde jednoduše vyřešit pomocí rovnic, které sestavíme podle obsahu zadání.
součet druhé mocniny čísla zvětšeného o jedna a odmocniny z jeho trojnásobku
.7. Zápisy pomocí výrazů I Předpoklady: 70 Pedagogická poznámka: Hodina obsahuje poměrně málo příkladů, protože se snažím, aby z ní všichni spočítali opravdové maximum. Postupujeme tedy pomalu a kontrolujeme
2.3.5 Ekvivalentní úpravy
.. Ekvivalentní úpravy Předpoklady: 000 Př. : Vyřeš rovnice. Jaký je společný rys řešení všech příkladů? a) + = 7 b) = 9 c) = d) = a) + = 7 = 7 = 9 b) = 9 = 9: = 7 c) = d) = 0 = = 7 = + = + = = 9 9 9 9
2.3.7 Lineární rovnice s více neznámými I
..7 Lineární rovnice s více neznámými I Předpoklady: 01 Pedagogická poznámka: Následující hodinu považuji za velmi důležitou hlavně kvůli pochopení soustav rovnic, které mají více než jedno řešení. Proto
Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých I
.3.10 Soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých I Předpoklady: 308 Pedagogická poznámka: Hodina má trochu netradiční charakter. U každé metody si studenti opíší postup a pak ho zkusí uplatnit na
( ) ( ) Lineární nerovnice II. Předpoklady: Jak je to s problémem z minulé hodiny? Získali jsme dvě řešení nerovnice x < 3 :
.. Lineární nerovnice II Předpoklady: 00 Jak je to s problémem z minulé hodiny? Získali jsme dvě řešení nerovnice x < : Správné řešení. x < / + x 0 < + x / < x K = ( ; ) Test možné správnosti: x = :
Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.
Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme
2.3.17 Slovní úlohy vedoucí na soustavy rovnic I
.3.7 Slovní úlohy vedoucí na soustavy rovnic I Předpoklady: 34 Pedagogická poznámka: Jak už bylo uvedeno dříve slovní úlohy tvoří specifickou část matematiky jednoduše proto, že nestačí sledovat dříve
1.8.5 Dělení mnohočlenů
185 Dělení mnohočlenů Předpoklady: 18 Mohou nastat dvě možnosti 1 Dělení mnohočlenů jednočlenem Jednoduché dělíme každý člen zvlášť Př 1: Vyděl mnohočleny ( 9x y 6x y + 1xy x : x Dělit znamená dát mnohočleny
ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY CIFRIK C. Úloha 1 [kvadratická rovnice s kořeny y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3]
4.3.2 Goniometrické nerovnice
4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
V exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:
Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální
M - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
1.5.2 Číselné soustavy II
.. Číselné soustavy II Předpoklady: Př. : Převeď do desítkové soustavy čísla. a) ( ) b) ( ) 4 c) ( ) 6 = + + + = 7 + 9 + = a) = 4 + 4 + 4 = 6 + 4 + = 9 b) 4 = 6 + 6 + 6 = 6 + 6 + = 6 + + = 69. c) 6 Pedagogická
materiál č. šablony/č. sady/č. materiálu: Autor:
Masarykova základní škola Klatovy, tř. Národních mučedníků 185, 339 01 Klatovy; 376312154, fa 376326089 E-mail: skola@maszskt.investtel.cz; internet: www.maszskt.investtel.cz Kód přílohy vzdělávací VY_32_INOVACE_
Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).
Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před
2.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
.8.9 Parametrické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Předpoklady: 40, 4, 806 Pedagogická poznámka: Opět si napíšeme na začátku hodiny na tabuli (nejlépe tak, aby se zápis mohl otočit nebo jinak schovat
Největší společný dělitel
1..1 Největší společný dělitel Předpoklady: 01016 Číslo Číslo nsn Platí pravidlo "nsn získáme jako součin obou čísel"? = 1 = Násobící pravidlo platí. 1 = Násobící pravidlo platí. 1 = Násobící pravidlo
čitatel jmenovatel 2 5,
. ZLOMKY Zlomek má následující tvar čitatel jmenovatel Příkladem zlomku může být například zlomek, tedy dvě pětiny. Jmenovateli se říká jmenovatel proto, že pojmenovává zlomek. Pětina, třetina, šestina
Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I
.. Kvadratické rovnice (dosazení do vzorce) I Předpoklady: 000 Rovnicí se nazývá vztah rovnosti mezi hodnotami dvou výrazů obsahujícími jednu nebo více neznámých. V této kapitole se budeme zabývat pouze
Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
( ) Slovní úlohy vedoucí na soustavy rovnic I. Předpoklady:
4..7 Slovní úlohy vedoucí na soustavy rovnic I Předpoklady: 0405 Pedagogická poznámka: Naprostou většina chyb při sestavování rovnic v následujících příkladech tvoří obrácené rovnosti ve kterých studenti
Typové příklady k opravné písemné práci z matematiky
Typové příklady k opravné písemné práci z matematiky Př. 1: Umocni (bez tabulek, bez kalkulačky): 2 2 4 2 9 2 10 2 100 2 1000 2 20 2 200 2 500 2 3000 2 80 2 900 2 300 2 40000 2 0,1 2 0,001 2 0,05 2 0,008
M - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Lineární rovnice
2. Lineární rovnice označuje rovnici o jedné neznámé, ve které neznámá vystupuje pouze v první mocnině. V základním tvaru vypadá následovně: ax + b = 0, a 0 Zde jsou a a b nějaká reálná čísla, tzv. koeficienty
Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
4.3.3 Goniometrické nerovnice
4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá
2.3.1 Rovnice v součinovém tvaru
.. Rovnice v součinovém tvaru Předpoklady: 70, 0 Pedagogická poznámka: Hodina obsahuje poměrně dost příkladů (0). I když je někteří stihli vypočítat, mám trochu obavu, zda postup nebyl příliš rychlý. Pokud
( 2 ) ( 8) Nerovnice, úpravy nerovnic. Předpoklady: 2114, Nerovnice například 2x
..5 Nerovnice, úpravy nerovnic Předpoklady:, 03 Nerovnice například 3 < + 5 - zápis nerovnosti hodnot dvou výrazů. Za můžeme dosazovat různá čísla, tím měníme hodnoty obou výrazů. Hledáme takové, aby nerovnost
Slovní úlohy vedoucí na kvadratické rovnice
4..0 Slovní úlohy vedoucí na kvadratické rovnice Předpoklady: 04009 S druhou mocninou souvisí plochy, proto se mnoho slovních úloh vedoucích na kvadratické rovnice týká ploch. Př. : Obdélníková garáž má
Jednoduchá exponenciální rovnice
Jednoduchá exponenciální rovnice Z běžné rovnice se exponenciální stává, pokud obsahuje proměnnou v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto: a f(x) = b g(x), kde a, b > 0. Typickým
Rovnice s neznámou pod odmocninou I
.7.15 Rovnice s neznámou pod odmocninou I Předpoklady: 711, 71 Pedagogická poznámka: Látka této hodiny vyžaduje tak jeden a půl vyučovací hodiny, pokud nepospícháte, můžete obětovat hodiny dvě a nechat
4.3.3 Základní goniometrické vzorce I
4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě
LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je
2.5.1 Opakování - úměrnosti se zlomky
.. Opakování - úměrnosti se zlomky Př. : Spočti: a) b) c) 6 0 0 : 7 9 a) 0 6 = = = 7 7 b) 9 = = 6 0 c) 0 0 0 9 0 9 : = = = 7 9 7 0 9 0 6 Př. : Přímá úměrnost má předpis y = x. Doplň tabulku této přímé
2.6.5 Další použití lineárních lomených funkcí
.6.5 Další použití lineárních lomených funkcí Předpoklady: 60, 603 U předchozích funkcí jsme měli vždy s funkcemi rovnice existují lineární lomené rovnice a nerovnice? Jak by vypadaly? Například takto:
( ) ( ) Logaritmické nerovnice II. Předpoklady: 2924
5 Logaritmické nerovnice II Předpoklad: Pedagogická poznámka: Většina studentů spočítá pouze první tři příklad, nejlepší se dostanou až k pátému Pedagogická poznámka: U následujících dvou příkladů je opět
ARITMETICKÉ OPERACE V BINÁRNÍ SOUSTAVĚ
Sčítání binárních čísel Binární čísla je možné sčítat stejným způsobem, jakým sčítáme čísla desítková. Příklad je uveden v tabulce níže. K přenosu jedničky do vyššího řádu dojde tehdy, jeli výsledkem součtu
2.9.4 Exponenciální rovnice I
9 Eponenciální rovnice I Předpoklady: 90 Pedagogická poznámka: Eponenciální rovnice a nerovnice jsou roztaženy do celkem sedmi hodin zejména proto, že jsou brány jako nácvik výběru metody Nejprve si v
Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU
Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Numerické myšlení 2011/var. 01 26. Ciferné součty čísel v každém z kruhů mají tutéž hodnotu. Pozor, hledáme číslo, které se nehodí na místo otazníku. Jedná se o dvě
ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108
ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární
2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
Soustavy rovnic diskuse řešitelnosti
Tématická oblast Datum vytvoření 22. 8. 2012 Ročník Stručný obsah Způsob využití Autor Kód Matematika - Rovnice a slovní úlohy 4. ročník osmiletého gymnázia Řešení soustav dvou rovnic o dvou neznámých
Lineární funkce IV
.. Lineární funkce IV Předpoklady 0 Pedagogická poznámka Říkám studentům, že cílem hodiny není naučit se něco nového, ale použít to, co už známe (a možná se také přesvědčit o tom, jak se nemůžeme obejít
Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
Soustavy více rovnic o více neznámých III
2..15 Soustavy více rovnic o více neznámých III Předpoklady: 214 Největší problém při řešení soustav - výroba trojúhelníkového tvaru (tedy vyrábění nul). Postup v dosavadních příkladech byl rychlý - využíval
12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
koncentraci jsme získali roztok o koncentraci 18 %. Urči koncentraci neznámého roztoku.
2.2.2 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice III Předpoklady: 22 Pedagogická poznámka: Příklady na míchání směsí jsou do dvou hodin rozděleny schválně. Snažím se tak zvýšit šanci, že si hlavní myšlenku
Souhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze
Souhrnná prezentace Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 4. října 205 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 / 70 Obsah Čísla 0 20,
Parametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Z těchto kurzů shrneme poznatky, které budeme potřebovat: výčtem prvků
@00. Základní poznatky Umět řešit rovnice a nerovnice je jedna ze stěžejních úloh středoškolské matematiky. Řešit bez problémů základní rovnice by měl umět každý středoškolák, který získal maturitu (jakoukoli,
Goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u
Rovnoměrný pohyb II
2.2.12 Rovnoměrný pohyb II Předpoklady: 020210 Pomůcky: Př. 1: Jakou vzdálenost urazí za pět minut automobil jedoucí rychlostí 85 km/h? 5 t = 5min = h, v = 85 km/h 5 s = vt = 85 km = 7,1 km Automobil jedoucí
Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1
ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu
Matematika. 18. října Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze
Matematika Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 8. října 206 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Matematika 8. října 206 / 72 Obsah Čísla 0 20, desítky, sčítání,
Slovní úlohy o směsích II
4.2.2 Slovní úlohy o směsích II Předpoklady: 0402 Pedagogická poznámka: Hodinu je nutné organizovat tak, aby se 5 minu před konce m hodiny začalo pracovat na posledních dvou příkladech na společnou práci.
Použití substituce při řešení soustav rovnic
.7. Použití substituce při řešení soustav rovnic Předpoklad: 7 Pedagogická poznámka: Hodinu je možné pojmout dvěma způsob: Pokud budete řešit i slovní úloh, je potřeba ještě polovina další vučovací hodin
Napsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzenti:
Použité symboly: Motivace k probíranému učivu na praktickém příkladu Úvahové úlohy nebo otázky poukazující na další souvislosti probírané látky s běžným životem Připomenutí učiva, na které nová látka navazuje
VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
Vzorce pro poloviční úhel
4.. Vzorce pro poloviční úhel Předpoklady: 409 Chceme získat vzorce pro poloviční úhel vyjdeme ze vzorců pro dvojnásobný úhel: sin = sin cos, cos = cos sin. Výhodnější je vzorec cos = cos sin, obsahuje
Nepřímá úměrnost I
.. Nepřímá úměrnost I Předpoklady: 000 Př. : Která z následujících slovních úloh popisuje nepřímou úměrnost? Zapiš nepřímou úměrnost jako funkci. a) 7 rohlíků stojí Kč. Kolik bude stát rohlíků? b) Pokud
7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice
7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice Předpoklady: kružnice, 505, 7103, 730 Pedagogická poznámka: Pro tuto hodinu (a mnoho dalších hodin v kapitole o kuželosečkách) je rozhodující, aby studenti uměli
2. Řešení algebraické
@016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax
Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY
Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYBRANÉ KAPITOLY Z ELEMENTÁRNÍ ALGEBRY DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jiří KRYČ Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, obor
1. Mojmír ujel na kole během čtyř dnů celkem 118 km. Druhý den ujel o 12 km víc než první den, třetí den ujel polovinu toho, co druhý den a poslední
1. Mojmír ujel na kole během čtyř dnů celkem 118 km. Druhý den ujel o 12 km víc než první den, třetí den ujel polovinu toho, co druhý den a poslední den o 26 km méně než první den. Kolik km ujel v jednotlivé
1.5.7 Znaky dělitelnosti
1.5.7 Znaky dělitelnosti Předpoklady: 010506 Pedagogická poznámka: Příklad 1 je dořešení zadání z minulé hodiny. Je třeba se u něj nezdržovat. Př. 1: Na základní škole ses učil pravidla, podle kterých
9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
Statika soustavy těles.
Statika soustavy těles Základy mechaniky, 6 přednáška Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho
2.7.6 Rovnice vyšších řádů
6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení
7. Slovní úlohy na lineární rovnice
@070 7. Slovní úlohy na lineární rovnice Slovní úlohy jsou často postrachem studentů. Jenţe Všechno to, co se učí mimo slovní úlohy, jsou postupy, jak se dopracovat k řešení nějaké sestavené (ne)rovnice.
Cvičení z Numerických metod I - 12.týden
Máme systém lineárních rovnic Cvičení z Numerických metod I - týden Přímé metody řešení systému lineárních rovnic Ax = b, A = a a n a n a nn Budeme hledat přesné řešení soustavy x = x x n, b = b b n, x
Příklad z učebnice matematiky pro základní školu:
Příklad z učebnice matematiky pro základní školu: Součet trojnásobku neznámého čísla zvětšeného o dva a dvojnásobku neznámého čísla zmenšeného o pět se rovná čtyřnásobku neznámého čísla zvětšeného o jedna.
+ 2 = 1 pomocí metody dělení definičního oboru. ( )
..0 Rovnice s absolutní hodnotou II Předpoklady: 09 Pedagogická poznámka: Jenom nejlepší studenti stihnou spočítat obsah celé hodiny. Většina třídy se dostane přibližně k příkladu 7, což stačí na obstojné
2.4.13 Kreslení graf obecné funkce II
..1 Kreslení graf obecné funkce II Předpoklady: 0, 0, 1 Stejně jako v minulé hodině budeme kreslit grafy funkcí odvozených od funkce y = f ( x), která je dána grafem na obrázku: Př. 1: Nakresli graf funkce
Grafy relací s absolutními hodnotami
..5 Grafy relací s absolutními hodnotami Předpoklady: 0, 0, 03, 0, 05,, 3 Pedagogická poznámka: Tato hodina nepatří do klasických středoškolských osnov. Je reakcí na fakt, že relace s absolutními hodnotami
4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306
..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled
EU PENÍZE ŠKOLÁM Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost
ZÁKLADNÍ ŠKOLA OLOMOUC příspěvková organizace MOZARTOVA 48, 779 00 OLOMOUC tel.: 585 427 142, 775 116 442; fax: 585 422 713 e-mail: kundrum@centrum.cz; www.zs-mozartova.cz Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především
KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice
KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice Požadované dovednosti: Řešení lineárních rovnic a nerovnic Řešení kvadratických rovnic Řešení rovnic s odmocninou Řešení rovnic s parametrem Řešení rovnic s absolutní
Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
4.3.4 Základní goniometrické vzorce I
.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě
Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12
VY_32_INOVACE_DUM.M.19 Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Autor: Mgr. Miroslav Páteček Vytvořeno: červen 2012 Klíčová slova: Třída: Anotace: Matematika a její aplikace Mocniny,
8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule
Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda
( 4) 2.2.12 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice III. Předpoklady: 2211
2.2.2 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice III Předpoklady: 22 Pedagogická poznámka: Většina příkladů z této hodiny patří do skupiny příkladů na společnou práci. Termín nezavádím. Existují příklady,
1.7.9 Shodnost trojúhelníků
1.7.9 Shodnost trojúhelníků Předpoklady: 010708 Pedagogická poznámka: V této a několika následujících hodinách využíváme brčkovou stavebnici. Základem jsou barevná nastřihaná brčka (jedna barva znamená
MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,
( ) ( ) 2.8.2 Lineární rovnice s parametrem II. Předpoklady: 2801
.8. Lineární rovnice s parametrem II Předpoklady: 80 Pedagogická poznámka: Zvládnutí zápisu a obecného postupu (dělení podle hodnot parametru) při řešení parametrických rovnic v této hodině je zásadní
VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Dubno Ing.
Číslo projektu Číslo materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník CZ.1.07/1.5.00/34.0581 VY_32_INOVACE_CTE_2.MA_04_Aritmetické operace v binární soustavě Střední odborná škola a Střední odborné
Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.
Instrukce: Vytiskněte si tenhle přehled, vybarvěte důležité části (zvýrazňovačkou, pastelkami) tak, aby jste se rychle orientovali. Při počítání příkladů jej mějte před sebou! a dívejte se do něj. Možná
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Řešení úloh TSP MU prezentace k výkladům na prezenčních kurzech ZKRÁCENÁ UKÁZKA PRO WEB Analytické myšlení ročník 2011, var. 07
Řešení úloh TSP MU prezentace k výkladům na prezenčních kurzech ZKRÁCENÁ UKÁZKA PRO WEB Analytické myšlení ročník 2011, var. 07 var. 07, úloha č. 51 Úloha č. 51 Víme, že polovina trasy z A do B měří na
5.2.7 Zobrazení spojkou I
5.2.7 Zobrazení spojkou I Předpoklady: 5203, 5206 Př. : Prostuduj na obrázku znaménkovou konvenci pro čočky a srovnej ji se znaménkovou konvencí pro zrcadla. Jaké jsou rozdíly, čím jsou zřejmě způsobeny?
Diferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz: