Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných SLOŽENÉ FUNKCE. PŘÍKLAD 1 t, kde = =

Transkript

1 Diferenciální poče funkcí více reálných proměnných -- SLOŽENÉ FUNKCE PŘÍKLAD Určee derivaci funkce h ( = f( g( g( kde g ( = + g ( = f ( / = e Podle pravidla o derivování složených funkcí více proměnných sejného pu jako je funkce ze zadání ohoo příkla (první pravidlo z Breviáře můžeme psá d h f dg f dg ( = ( g ( g ( ( + ( g ( g ( ( Musíme ed nejdříve spočía obě parciální derivace vnější funkce f (a po provedení derivování nahradi nezávislé proměnné vnější funkce funkcemi vniřními ( ( g ( derivace obou vniřních funkcí a nakonec dosadi do výše uvedeného vzorce: / f e / f f + ( = = e čili ( ( ( ( g g + = e / f e / f f + + ( = = e ( čili ( g( g( ( + =e ( ; dg d(+ ( = = dg d( ( = = a ed nakonec d h ( e ( ( ( e + e + e + ( e = = = = Výpoče bchom mohli provés i ak že bchom nejprve určili složenou funkci h h ( e + = a u pak derivovali jako složenou funkci jedné reálné proměnné dh d + + d + + ( ( ( e e + e + ( ( e = = = = Výsledek je pochopielně sejný dokonce se na první pohled zdá že celý výpoče je mnohem jednošší než en kerý jsme si uvedli výše V omo bodě je ale nuno vslovi varování Druhý způsob výpoču je jednošší právě jen v ak jednochých příkladech jakým je náš problém Pokud bchom měli za úkol derivova komplikovanější složenou funkci první způsob založený na vužií pravidla o derivování složené funkce více reálných proměnných je mnohem přehlednější a vede proo k menší pravděpodobnosi že se během výpoču dopusíme závažných chb A pokud už nějakou chbu uděláme snadněji ji v dobře srukurovaném zápisu dohledáme CVIČENÍ K PŘÍKLADU Určee derivaci složené funkce h( K výpoču použije oba posup z příkla a výsledk porovneje a f( = + g ( = 5 g ( = ;

2 Složené funkce - - b f( = ln c f( z z g ( = g ( = + ; 4 = + + g ( = sin g ( = cos d f( z = z g (= g (= g ( = g ( = g ; PŘÍKLAD Určee parciální derivace funkce h ( = f( g ( kde f ( u = sinua g ( = + Podle druhého pravidla o derivování složených funkcí více reálných proměnných plaí h g ( = ( g ( ( h g ( = g ( ( a ( Srukura výpoču je obdobná é kerou jsme předvedli v předcházejícím příkla dsinu ( u = = cosu ( g ( = ( + = cos( + g ( = ( + = g ( = ( + = Po dosazení do obecných vzorců dosáváme h ( = cos + = cos + h ( = cos + = cos + ( ( ( ( I při výpoču derivací ze zadání ohoo příkla bchom mohli posupova ak že bchom nejdříve zapsali složenou funkci h ( = sin( + a u pak derivovali Pro parciální derivaci podle první proměnné bchom ako např získali h + u + u sin( dsin ( ( = = = cos( + = cos( + d u= + CVIČENÍ K PŘÍKLADU Určee parciální derivace složené funkce h( resp h(z K výpoču použije oba posup z příkla a výsledk porovneje a f( u = e u n n g( = + ; b f( u = cosu g( = + 4; c f( u = arcg u g( z= z ; d f ( u = u g( z z 4 = + + Při derivování podle pohlížíme na jako na konsanu a vužijeme věu o derivování složené funkce jedné reálné proměnné

3 Diferenciální poče funkcí více reálných proměnných -- PŘÍKLAD Určee parciální derivace funkce huv ( = f( g( uv g( uv kde f ( = g ( u = u+ v a g ( u = u v Pravidlo o derivování složených funkcí více reálných proměnných nabývá v omo (nejobecnějším příkla varu h f g f g ( uv = ( g( uv g( uv ( uv + ( g( uv g( uv ( uv u u u h f g f g ( uv = ( g( uv g( uv ( uv + ( g( uv g( uv ( uv v v v Pro jeho použií musíme ed zná náslející parciální derivace f f f ( = = ( ( ( ( ( ( u v g u v g u v u+ v u v = uv u+ v f f f uv ( = = ln ( g( u g( u ( u+ v u = ( u+ ln( u+ g ( u+ ( uv = = u u g ( u+ ( uv = = v v g ( u ( uv = = u u g ( u ( uv = = v v Po dosazení pak máme h ( u v ( u v ( u v uv u v u v u v ( u v ln( u v ( u v = = + u+ v+ ln( u + v u h ( u v ( u v ( u v uv u v u v u v ( u v ln( u v ( } ( u v = = + u+ v ln( u + v v Dokázali bse i v omo případě provés výpoče druhým způsobem j nejdříve vvoři složenou funkci a pak ji derivova? Vzkoušeje samosaně CVIČENÍ K PŘÍKLADU Určee parciální derivace složené funkce h( K výpoču použije oba posup z příkla a výsledk porovneje a f( b f( = + ( g uw = u+ w g ( uw = u w; = g ( uw = ugw g ( uw = wgu; c f( = ln ln ( u w g uw = e + e ( u w g uw = e e ;

4 Složené funkce -4 - DALŠÍ CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM - Pomocí vhodného pravidla pro derivování složené funkce určee naznačené parciální derivace a + d ln ( + ln b ( + 0 e z cos( z c arcg + + f + Uprave náslející výraz a f( + f( + b a f ( a + b b f ( a + b c u ( + u ( + d u ( c u ( c c Výsledk: Cvičení k příkla dh a ( dh = 6 b ( = ln( dh g c ( sin cos cos sin 4 cos dh = 6 ln + = + d ( ( Cvičení k příkla a h e n h n n n ( = ( = sin( + 4 h e n n n n ( = b h ( = 4sin( + 4 h z + z ( z = h z = + + z ( 4 c h z + z ( z = ( z d h = + + z 4 h z + z ( z = h z ( z = z z

5 Diferenciální poče funkcí více reálných proměnných -5- Cvičení k příkla h uw = u + w u a ( h u uw = wgw + gu cos u ( h uw = u + 6 w ; w h w uw = ugu + gw cos w ; b ( u ( w h u uw = e u w u w u e + e e e c ( w e e e e h ( w uw = e + + u w u w Další cvičení k příkladům - a + b ( c + d ( + ln e z sin( + + z f ( + a 0 b 0 c 0 d 0