těchto písemek (bez řešení) najdete na (odkazy v posledních dvou odstavcích před sekcí Literatura ).

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "těchto písemek (bez řešení) najdete na (odkazy v posledních dvou odstavcích před sekcí Literatura )."

Transkript

1 Vážení studenti, předkládám vám zde vzorová řešení písemek, které proběhly letos v semestru, a také řešení vzorové písemky. Zadání těchto písemek (bez řešení) najdete na (odkazy v posledních dvou odstavcích před sekcí Literatura ). Domnívám se, že bude pro vás výhodné nejprve pracovat se zadáním bez řešení a teprve až si skutečně nebudete jisti, můžete použít tento dokument. Rovněž vám tento dokument poslouží k tomu, že zjistíte, v jakém rozsahu asi očekáváme řešení a vysvětlení postupu řešení, aby mohla být písemka hodnocena maximálním počtem bodů. Řešení jsem psal poněkud neformálně, tj. možná jsou některé formulace méně přesné než v mém učebním textu Lineární algebra, přístupném například ze stránky jako soubor linal.pdf. Chtěl jsem ukázat, že plno věcí se dá říci různými slovy. Můžete si tedy všimnout, že žádná definice uvedená zde v řešení není z mého textu Lineární algebra opsána doslova. Učte se prosím tomuto předmětu porozumět a neučte se zpaměti postupy a texty, které by vám třeba nic neříkaly. Pro pochopení je potřeba asi větší duševní práce. Smysl některých definic nebo vět vyplyne jen tehdy, pokud si člověk přečte jejich užití v důkazech jiných vět. Vynechávat při učení důkazy mi tedy nepřijde rozumné a může se stát, že kvůli tomu se vám nepodaří smysl některých částí pochopit. Držím vám palec, at se vám povede předmětu porozumět. Pak už bude pro vás snadné najít postup pro příklady, které se mohou v písemce vyskytnout a také najít správnou argumentaci v odpovědích. Bude pro vás také snadné sformulovat definici nebo větu svými slovy, pokud budete vědět, proč byla v tom předmětu daná věta nebo definice použita. Pak si budeme u zkoušky rozumět a bude to oboustranně příjemné setkání. Většina úloh nepředpokládá předvedení jediného správného postupu, ale spíš prověřuje, zda jste pochopili probíranou látku. Úlohy se mnohdy dají řešit více způsoby, existuje více náhledů na problém. Není nikde řečeno, že zde předvedené řešení je jediný správný postup. Při opravování písemek budeme akceptovat jakýkoli postup řešení, který se opírá o správnou argumentaci a dokumentuje, že jste látce porozuměli. Ještě jedna rada na závěr. Čtěte pozorně zadání příkladů a u písemky odpovídejte na to, na co se ptáme. Pokud se vám nepodaří ani přijít, co je obsahem otázky (bohužel se i s takovými studenty setkáváme), je nutné, abyste na sobě ještě hodně zapracovali a pokusili se proniknout do jazyka, který v tomto předmětu používáme. Hodně štěstí u zkoušky Petr Olšák 1

2 Úvod do algebry, vzorová písemka, program STM Úloha 1 (10+5 b) a) Najděte všechny kořeny (včetně násobností) polynomu P (x), víte-li, že jeho kořenem je komplexní číslo 1 + i. P (x) x 5 5x 4 + 1x 3 16x + 1x 4 Protože 1 + i je kořen, musí být kořenem i 1 i a polynom (x 1 i)(x 1 + i) x x + musí dělit polynom p. Je (x 5 5x 4 + 1x 3 16x + 1x 4) : (x x + ) x 3 3x + 4x. Součet koeficientů tohoto polynomu třetího stupně je 0, což je neklamné znamení, že polynom má kořen 1 (takové štěstí máme jen u modelových příkladů). Je x 3 3x + 4x (x 1)(x x + ) a ejhle: polynom (x x + ) se nám v rozkladu vyskytuje už podruhé, takže kořeny 1 + i a 1 i jsou dvojnásobné. Přidáme jednonásobný kořen 1 a máme všech pět hledaných kořenů. b) Dokažte, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má aspoň jeden reálný kořen. Komplexní (nereálné) kořeny jsou seskupeny do komplexně sdružených dvojic, takže nereálných kořenů je sudý počet. Celkový počet kořenů je lichý, takže musí existovat aspoň jeden reálný kořen. Nebo jinak (analyticky): Při kladném koeficientu u nejvyšší mocniny je limita polynomu pro x rovna a limita pro x je rovna. Polynom je spojitá funkce, takže její graf musí aspoň jednou protnout reálnou osu. Při záporném koeficientu u nejvyšší mocniny je situace obdobná, jen ta dvě nekonečna se nám vyměnila. (7+8 b) a) Najděte všecha a R, pro něž je hodnost matice A nejmenší. a První řádek matice je shodný s posledním pro a 3. Tehdy je hodnost matice nejmenší. b) Definujte hodnost a podrobně zdůvodněte, proč je možné pro výpočet hodnosti použít Gaussovu eliminační metodu. Hodnost matice je dimenze lineárního obalu řádků matice. Gaussova eliminační metoda nemění lineární obal matice: jednotlivé kroky metody vytvářejí řádky, které leží v lineárním obalu řádků předchozích. Lineární obal řádků se tedy metodou může v nejhorším zmenšovat. On se ale nezmenšuje, protože Gaussova eliminační metoda je vratná (tj. pomocí kroků metody můžeme dospět z výsledné matice k matici původní). Když metoda nemění lineární obal řádků, nemůže samozřejmě měnit jeho dimenzi, takže hodnost matice před eliminací je stejná, jako po eliminaci. Matice po eliminaci je trojúhelníková. U ní máme záruku lineární nezávislosti řádků, tj. jedná se o bázi lineárního obalu řádků. Počet prvků této báze (tedy počet nenulových řádků matice po eliminaci) je dimenze lineárního obalu řádků, tedy hodnost matice. (7+8 b) a) Definujte lineární závislost a nezávislost vektorů x 1, x,..., x k lineárního prostoru L. Rozhodněte, zda přítomnost vektoru a jeho dvojnásobku v množině vektorů způsobí, že je taková množina vektorů lineárně závislá. Své tvrzení zdůvodněte za použití definice. Vektory jsou lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace rovna nulovému vektoru. Jsou nezávislé, pokud nejsou závislé, tj. jedině triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru a žádná jiná. Vlastnost platí. U zmíněného vektoru volíme koeficient a u jeho dvojnásobku napíšeme koeficient 1. U ostatních vektorů píšeme koeficient 0. Takto sestavená lineární kombinace je netriviální, a přitom rovna nulovému vektoru. b) Určete bázi a dimenzi prostoru těch aritmetických vektorů (x 1, x, x 3, x 4 ), pro které platí x 1 + x 3 x 4 0, x 1 + x x 4 0. Rovnice jsou zjevně lineárně nezávislé. Z druhé budu počítat x 4 a pak z první dopočítám x 3. Ostatní proměnné jsou parametry: x 1 u, x v. Tato volba mi umožní pracovat přímo s danou soustavou bez nutnosti ji eliminovat a vyhnu se v řešení zlomkům (tuto dovednost u zkoušky nevyžadujeme, tj. akceptujeme i zápis řešení, ve kterém se vyskytují zlomky). Je x 4 u + v, x 3 (u + v) u 3u + 4v. Všechna řešení jsou tvaru {(u, v, 3u + 4v, u + v), u R, v R} (1, 0, 3, ), (0, 1, 4, ). Báze prostoru řešení tedy je například {(1, 0, 3, ), (0, 1, 4, )} a dimenze je.

3 Úloha 4 (8+7 b) a) V Z řešte soustavu homogenních lineárních rovnic s maticí: Zapište všechna řešení této soustavy pomocí lineárního obalu i výčtem prvků x 4 t, x 3 0, x t, x 1 t, tj. řešení jsou (t, t, 0, t) pro t {0, 1}, tedy množina řešení je M {(0, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 1)} (1, 1, 0, 1). b) Kolik prvků má podprostor M lineárního prostoru Z n, pokud víme, že dim M m? Své tvrzení zdůvodněte. Podprostor M má m-prvkovou bázi { b 1, b,..., b m }. Celý podprostor tvoří množina všech lineárních kombinací jeho báze. V lineární kombinaci můžeme každý prvek báze násobit jedničkou nebo nulou. Protože je báze lineárně nezávislá, nebudou se rovnat žádné dvě lineární kombinace báze s různými koeficienty. Máme tedy možnost sestavit m různých lineárních kombinací, takže M má m prvků. 3

4 Úvod do algebry, písemka na cvičení, varianta A a) Najděte bázi a dimenzi lineárního obalu (, 1, 1, 4), (0, 1, 0, 7), (1,,, 3), (4, 1,, 1) Protože Gaussova eliminace nemění lineární obal řádků, je dimenze zadaného lineárního obalu 3 a báze například {(1,,, 3), (0, 1, 0, 7), (0, 0, 3, 1)}. b) Zdůvodněte, proč Gaussova eliminační metoda nemění lineární obal řádků matice. Každý řádek nově tvořené matice je lineární kombinací řádků matice původní, takže leží v lineárním obalu řádků matice původní. Takže eliminací se lineární obal řádků nemůže zvětšit. On se ani nezmenšuje, protože eliminace je vratná, tj. od nově vytvořené matice můžeme eliminačními kroky přejít k matici původní. a) Vypočítejte matici inverzní k matici Takže A b) Podrobně popište postup výpočtu inverzí matice, který jste použili pro řešení části a) této úlohy, a zdůvodněte, proč tento postup skutečně vede k inverzní matici. K matici A přimaluji jednotkovou matici E a eliminuji tak, abych vlevo dostal E. Pak je vpravo A 1. Zdůvodnění: řádkovou eliminaci lze emulovat násobením odpovídající regulární meticí zleva, takže po eliminaci mám matici (PA PE) (E P). Z toho vztahu plyne, že P E, neboli P je matice inverzní k A a vyskytuje se vpravo po eliminaci. a) Ověřte, že zobrazení A z lineárního prostoru všech polynomů nejvýše druhého stupně do stejného lineárního prostoru, které je definováno předpisem A(ax + bx + c) cx + a + b, je lineární. Označím p(x) ax + bx + c a q(x) dx + ex + f a zvolím α R. A(p + q) A ( (a + d)x + (b + e)x + (c + f ) ) (c + f )x + a + d + b + e, A(p) + A(q) (cx + a + b) + (f x + d + e) (c + f )x + a + d + b + e, takže A(p + q) A(p) + A(q), A(αp) A ( (αa)x + (αb)x + αc ) (αc)x + (αa) + (αb), αa(p) α(cx + a + b), takže A(αp) αa(p). Jsou splněny obě vlastnosti lineárního zobrazení, A je lineární. b) Zformulujte princip superpozice zobrazení a dokažte z definice linearity zobrazení, že zobrazení je lineární právě tehdy, když splňuje princip superpozice. A je lineární právě tehdy, když A(α x + β y) αa( x) + βa( y). Nejprve ukážu, že z této vlastnosti plyne linearita. Stačí volit α β 1 a máme A( x + y) A( x) + A( y). Když volím β 0, mám A(α x) αa( x), takže obě vlastnosti linearity jsou dokázány. Nyní z linearity odvodím uvedený vzorec: A(α x + β y) A(α x) + A(β y) αa( x) + βa( y). 4

5 Úvod do algebry, písemka na cvičení, varianta B a) Proved te rozklad polynomu p(x) x 5 3x x + 76x 10 na kořenové činitele. Využijte přitom nápovědu, že polynom má celočíselné kořeny. Protože celočíselný kořen musí dělit číslo 10, máme pouze možnosti {±1, ±, ±3, ±4, ±5, ±6, ±8,...}. Pokusem a omylem (např. s využitím Hornerova schématu) shledáme, že kořeny jsou, 3,, 5, přitom je dvojnásobný kořen. Hledaný rozklad je (x 3)(x ) (x + )(x + 5). b) Dokažte, že pokud je α R kořen polynomu p, pak je p dělitelný polynomem (x α) beze zbytku. Podle věty o dělení polynomu polynomem existují polynomy r a z (přitom z je nultého stupně, tedy konstanta) tak, že p(x) (x α) r(x) + z. Stačí ukázat, že kontanta z je rovna nule. Dosadíme za x kořen α. Vlevo máme nulu (protože α je kořen) a vpravo máme (α α) r(α) + z 0 + z. Musí tedy z 0. a) Necht M je množina matic typu (n, n), které jsou symetrické, tj. platí pro ně A T. Dokažte, že M tvoří lineární podprostor lineárního prostoru všech matic typu (n, n). Předpokládám, že A, B jsou symetrické matice a α R. Pak (A + B) T A T + B T A + B a dále (αa) T αa T αa, takže i matice A+B a αa jsou symetrické. Jsou tedy splněny podmínky lineárního prostoru, tj. množina symetrických matic tvoří lineární podprostor. b) Najděte bázi a dimenzi množiny symetrických matic typu (, ). Báze je například: {( ) ( ) ( )} ,,, dim a) Pro která α R má soustava s rozšířenou maticí 1 α α jediné řešení a pro která α R nemá soustava žádné řešení? α α α α α α 5 α Podle Frobeniovy věty soustava má řešení, pokud α 5. Vzhledem k tomu, že matice soustavy je pro α 5 regulární, má soustava jediné řešení. Pro α 5 nemá soustava řešení, protože hodnost matice soustavy je a hodnost rozšířené matice je 3. b) Zformulujte Frobeniovu větu a dokažte ji. Soustava lineárních rovnic má řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti matice rozšířené. Důkaz: Když hodnost matice soustavy není rovna hodnosti matice rozšířené, pak po eliminaci dostáváme v posledním řádku matice soustavy samé nuly, ale v rozšířené matici je nenulové číslo, což odpovídá rovnici, která nemá řešení, takže soustava nemůže mít řešení. Když se hodnost matice soustavy rovná hodnosti rozšířené, pak sloupec pravých stran musí ležet v lineárním obalu ostatních sloupců, tj. je roven nějaké lineární kombinaci ostatních sloupců. Koeficienty této lineární kombinace jsou řešením soustavy. 5

6 Úvod do algebry, písemka na cvičení, varianta C a) Proved te rozklad polynomu p(x) x 4 5x x 6 na kořenové činitele. Využijte přitom nápovědu, že číslo + i je kořenem tohoto polynomu. Protože +i je kořen, pak i musí být také kořenem, takže polynom (x i)(x +i) x 4x+8 musí dělit polynom p. Po vydělení dostáváme polynom x x 1 (x + 3)(x 4). Rozklad tedy je (x + 3)(x 4)(x i)(x + i). b) Může být číslo i sedminásobným kořenem polynomu dvanáctého stupně s reálnými koeficienty? Své rozhodnutí podrobně zdůvodněte. Nemůže, protože by muselo i číslo 37 18i být sedminásobným kořenem. Součin kořenových činitelů by byl polynom stupně aspoň 14, zatímco zde se předpokládá polynom stupně 1. a) Spočítejte det A a det A 1. a b c a b c a b c (a 1)(b 1)(c 1). Protože platí det A 1 det 1 A, je det A 1 1 (a 1)(b 1)(c 1) pro a 1, b 1, c 1. b) Definujte determinant a z definice zdůvodněte, proč determinant horní trojúhelníkové matice je roven součinu všech prvků na hlavní diagonále. Determinant matice typu (n, n) je součet všech součinů prvků matice takový, že každý součin sestavujeme z n prvků matice, kde žádné dva neleží na stejném řádku nebo sloupci. Takových součinů je n!. Součiny navíc (než je začneme sčítat) násobíme číslem ( 1), pokud je odpovídající permutace lichá. Odpovídající permutaci k danému součinu zjistíme tak, že čteme vybrané prvky matice po řádcích a zapisujeme za sebou jejich sloupcové indexy. Lichost permutace poznáme tak, že existuje lichý počet obloučků, které spojují větší číslo vlevo s menším číslem vpravo v permutaci. Jediný součin v součtu součinů z definice determinantu může být nenulový, a to součin prvků na diagonále. Jakýkoli jiný součin obsahuje aspoň jeden činitel nulu z dolního trojúhelníku matice a je tedy celý nulový. Permutace odpovídající součinu na diagonále je sudá, protože je tvaru (1,,..., n), takže nemá žádný oblouček. a) Zobrazení A z lineárního prostoru polynomů nejvýše druhého stupně do stejného lineárního prostoru je definováno předpisem: A(ax + bx + c) cx + a + b. Najděte bázi jádra tohoto zobrazení. Jádro obsahuje všechny polynomy ax + bx + c, pro které c 0 a a + b 0. Řešením této soustavy dvou rovnic je (a, b, c) (a, a, 0) a(1, 1, 0). Báze jádra tedy je například množina obsahující jediný polynom: {x x}. b) Necht A : L 1 L je lineární zobrazení. Zdůvodněte, proč Ker A tvoří lineární podprostor lineárního prostoru L 1. Necht u, v leží v Ker A, tj. A( u) o, A( v) o. Necht α R. Platí A( u + v) A( u) + A( v) o + o o, A(α u) αa( u) α o o. takže množina Ker A splňuje vlastnosti podprostoru. 6

7 Úvod do algebry, písemka na cvičení, varianta D a) Pro která α R je polynom p(x) x αx + 1 prvkem lineárního obalu x + x +, x + x + 1. Protože zobrazení, které polynomu přiřadí souřadnice vzhledem k bázi {x, x, 1}, je izomorfismus, stačí pracovat s těmito souřadnicemi v R 3. Přidáním souřadnic zkoumaného polynomu do matice se souřadnicemi polynomů z obalu by měla být zachována hodnost matice : α α + 1 takže daný polynom je prvkem uvedeného lineárního obalu pro α α 0 b) Definujte lineární obal vektorů a zdůvodněte, proč lineární obal vždy tvoří lineární podprostor. Lineární obal množiny vektorů M zahrnuje všechny prvky, které jsou nějakou lineární kombinací nějaké konečné podmnožiny vektorů z M. Součet lineární kombinace vektorů x 1, x,..., x k M s lineární kombinací vektorů y 1, y,..., y k M je lineární kombinace sjednocení vektorů x 1, x,..., x k a y 1, y,..., y k, což je lineární kombinace konečné podmnožiny vektorů z M a leží tedy v M. Také α násobek lineární kombinace je lineární kombinace, takže leží v M. Vlastnosti podprostoru jsou tím ověřeny. a) Spočítejte det A a det A 1. a b c d a c b d a b c d a c b d a b c d 0 c b b c 0 (c b) a c d 0 b c 0 (c b)(b c) a 1 1 d (c b) (1 ad) Protože platí det A 1 det 1 A, je det A 1 1 pro ad 1, b c. (c b) (1 ad) b) Zformulujte větu o rozvoji determinantu podle r-tého řádku. Použijte tuto větu k důkazu následujícího tvrzení: Necht A, B jsou matice, které se shodují ve všech řádcích s výjimkou r-tého, r-tý řádek matice A je α násobkem r-tého řádku matice B. Pak det α det B. Necht r-tý řádek matice A obsahuje prvky p 1, p,..., p n. Pak det p 1 D 1 + p D + + p n D n, kde D i je doplněk matice A vzhledem k pozici r, i a počítá se jako ( 1) r+i det A r,i, kde matice A r,i se liší od matice A tak, že je vynechán r-tý řádek a i-tý sloupec. Předpokládá se, že p i αq i a ostatní prvky obou matic se neliší. Pak det p 1 D 1 +p D + +p n D n αq 1 D 1 +αq D + +αq n D n α(q 1 D 1 +q D + +q n D n ) α det B protože matice A r,i B r,i, takže mají stejné odpovídající doplňky. a) Vektor z R má vzhledem k upořádané bázi ( (1, ), (3, 4) ) souřadnice (5, 6). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi ( (, 1), (, 0) ). 5(1, ) + 6(3, 4) (3, 34) α(, 1) + β(, 0), tj. α 34, β, souřadnice jsou (34, 45 ). b) Definujte pojem souřadnice vzhledem k uspořádané bázi a zdůvodněte, proč souřadnice vektoru vzhledem k pevně zvolené bázi jsou určeny jednoznačně. Souřadnice vektoru x vzhledem k bázi jsou koeficienty lineární kombinace této báze, která je rovna danému vektoru x. Necht x α 1 b α n b n β 1 b β n b n, tedy (α 1 β 1 ) b (α n β n ) b n o. Protože b 1, b,..., b n jsou lineárně nezávislé (je to báze), tak pouze triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru, tedy všechny závorky musejí být rovny nule. To znamená α i β i. 7

8 Úvod do algebry, písemka na cvičení, varianta E a) Proved te rozklad polynomu p(x) x 4 5x 3 + 3x + 1x 30 na kořenové činitele. Využijte přitom nápovědu, že číslo + i je kořenem tohoto polynomu. Kromě kořenu +i musí mít polynom ještě kořen i, takže polynom (x i)(x +i) x 4x +5 dělí zadaný polynom. Je (x 4 5x 3 + 3x + 1x 30) : (x 4x + 5) x 3 x 6 (x 3)(x + ). Hledaný rozklad je (x i)(x + i)(x 3)(x + ). b) Necht p je polynom, který má reálné kořeny a dále dvojice kořenů stejné násobnosti vzájemně komplexně sdružené. Necht ještě koeficient u nejvyšší mocniny a n 1. Ukažte, že pak p je polynom s reálnými koeficienty. Protože součin kořenových činitelů s komplexně sdruženými kořeny je kvadratický polynom s reálnými koeficienty: (x a bi)(x a + bi) x ax + a + b, skládá se rozklad na kořenové činitele polynomu p jen z polynomů s reálnými koeficienty násobených jedničkou (koeficient u nejvyšší mocniny). Součin polynomů s reálnými koeficienty je polynom s reálnými koeficienty. a) Pro který parametr a je matice A regulární? 0 a a a a a a a a a 1 a 0 a a a a a a 0 0 a 1 a a a (1 a ). Determinant matice A je nulový pro a {0, 1, 1}, takže matice je regulární pro a {0, 1, 1}. b) Definujte pojem regulární matice. Uved te vlastnosti těchto matic a jednu vlastnost dokažte. Regulární matice je čtvercová matice s lineárně nezávislými řádky. Mimo jiné je to matice s nenulovým determinantem. Dokážu, že regulární matice má hodnost rovnu počtu řádků. Protože řádky matice jsou lineárně nezávislé, tvoří bázi svého lineárního obalu a počet prvků této báze je roven dimenzi lineárního obalu řádků a tedy hodnosti matice. a) Množina M je řešením jisté soustavy lineárních rovnic: M (1,, 3, 4) + (1,, 1, ), (, 1, 3, ). Pro která α, β R je vektor (α, β, 4, ) řešením stejné soustavy? Vektor (1,, 3, 4) (α, β, 4, ) musí ležet v uvedeném lineárním obalu, přitom z α β α β α 3 β vyplývá, že vektor (1,, 3, 4) (α, β, 4, ) leží v uvedeném lineárním obalu pro α 3, β 3. b) jakou dimenzi má prostor řešení přidružené homogenní soustavy, známe-li počet rovnic, hodnost matice soustavy a počet neznámých. Zdůvodněte. Necht n je počet neznámých a h je hodnost matice soustavy. Pak dimenze prostoru řešení je n h. Zdůvodnění: Máme h nezávislých rovnic, ze kterých můžeme spočítat h neznámých a zbylé neznámé v počtu n h jsou parametry množiny řešení. Vytkneme-li parametry před vektor tak, že množinu řešení píšeme jako lineární kombinaci konstantních vektorů u 1, u,..., u n k (koeficienty té kombinace jsou zmíněné parametry), pak máme záruku, že vektory u 1, u,..., u n k jsou lineárně nezávislé, nebot ve složkách těchto vektorů, které odpovídají nevypočítaným neznámým, se vyskytují hodnoty (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0, 0,..., 1). Vektory u 1, u,..., u n k tedy tvoří bázi množiny řešení a je jich n h. 8

9 Úvod do algebry, písemka na cvičení, varianta F a) Proved te rozklad polynomu p(x) x 5 + x 4 1x 3 13x + 78x + 7 na kořenové činitele. Využijte přitom nápovědu, že polynom má celočíselné kořeny. Protože celočíselný kořen musí dělit číslo 7, máme pouze možnosti {±1, ±, ±3, ±4, ±6, ±8,...}. Pokusem a omylem (např. s využitím Hornerova schématu) shledáme, že kořeny jsou 1,, 3, 4, přitom 3 je dvojnásobný kořen. Hledaný rozklad je (x 3) (x + 1)(x + )(x + 4). b) Dokažte, že pokud α je kořen polynomu p s celočíselnými koeficienty, pak α dělí absolutní člen a 0. Protože α je kořen, platí 0 p(α) a n α n + + a 1 α + a 0 α(a n α n a 1 ) + a 0. Protože závorka obsahuje celé číslo, je a 0 rovno součinu celého čísla a kořene α, což jinými slovy znamená, že α dělí koeficient a 0. a) Najděte bázi a dimenzi lineárního prostoru všech matic, které komutují s maticí ( ) ( ) a b Hledanou matici označíme. Z rovnosti c d ( ) a + c b + d 3a + 4c 3b + 4d ( ) ( ) ( a b a b c d c d ) ( ) ( a + 3b ) a + 4b c + 3d c + 4d vychází soustava čtyř rovnic s neznámými a, b, c, d. Eliminací matice soustavy ( ) se dobereme k řešení a c + d, b 3c, takže množina všech matic komutujících s danou maticí je {( c + d 3 c c d ) } ( 1, c R, d R ) ( ) 1 0, A, E. 0 1 b) Dokažte, že množina všech matic, které komutují s pevně danou maticí, tvoří lineární podprostor lineárního prostoru všech čtvercových matic stejného typu. Necht B 1, B komutují s danou maticí A, tj. B i AB i. Pak (B 1 + B ) B 1 A + B AB 1 + AB A(B 1 + B ), dále (αb 1 ) α(b 1 A) α(ab 1 ) A(αB 1 ), takže komutují i matice (B 1 + B ) a αb 1 a podmínky z definice lineárního podprostoru jsou splněny. a) Najděte všechna řešení soustavy (α R je parametr) 3x + αy z 1, αx + y z 1, (4 α)x + αy + z 0. 3 α α 1 1 α 1 1 α 6 1 α α α 0 10 α 3α 0 3 α α 1 1 α α α 3α 0 (α )(α + 5) 0 0 α

10 Soustava nemá řešení pro α 5 a má nekonečně řešení pro α : ( 1, 1, 0) + (3, 4, 1). Jinak má jediné řešení ( α+5 1, α+5 1, α+5 ). b) Zformulujte a dokažte Frobeniovu větu. Soustava lineárních rovnic má řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti matice rozšířené. Důkaz: Když hodnost matice soustavy není rovna hodnosti matice rozšířené, pak po eliminaci dostáváme v posledním řádku matice soustavy samé nuly, ale v rozšířené matici je nenulové číslo, což odpovídá rovnici, která nemá řešení, takže soustava nemůže mít řešení. Když se hodnost matice soustavy rovná hodnosti rozšířené, pak sloupec pravých stran musí ležet v lineárním obalu ostatních sloupců, tj. je roven lineární kombinaci ostatních sloupců. Koeficienty této lineární kombinace jsou řešením soustavy. 10

11 Úvod do algebry, písemka na cvičení, varianta G a) Proved te rozklad polynomu p(x) x 4 7x x x 6 na kořenové činitele. Využijte přitom nápovědu, že číslo 3 + i je kořenem tohoto polynomu. Kromě kořenu 3 + i musí mít polynom ještě kořen 3 i, takže polynom (x 3 i)(x 3 + i) x 6x +13 dělí zadaný polynom. Je (x 4 7x 3 +17x x 6) : (x 6x +13) x x (x )(x +1). Hledaný rozklad je (x 3 i)(x 3 + i)(x )(x + 1). b) Zdůvodněte, proč ke každému kořenu α polynomu s reálnými koeficienty je komplexně sdružené číslo α kořenem stejného polynomu. Máme zjistit, zda p(α) 0, víme-li, že p(α) 0. Pro reálné koeficinety platí a k a k a pro komplexní čísla u, v platí u + v u + v, u v u v, u k u k. Je tedy p(α) a n α n + + a 1 α + a 0 a n α n + + a 1 α + a 0 a n α n + + a 1 α + a 0 p(α) 0 0. a) Najděte bázi a dimenzi průniku lineárních podprostorů M {(x, y, z); x z}, N {(x, y, z); x + y z} lineárního prostoru R 3. Prvek z průniku splňuje obě rovnice naráz, tedy soustavu lineárních rovnic s maticí ( ) ( ) Soustava má řešení (4, 1, ), což je hledaný průnik M N. Jeho báze je například {(4, 1, )} a dimenze je 1. b) Definujte pojem lineárního podprostoru a zdůvodněte, proč průnik dvou lineárních podprostorů musí být lineárním podprostorem. Lineární podprostor je neprázdná množina vektorů M, pro jejíž prvky x a y platí x + y M a α x M pro libovolné α R. Prvky průniku x a y leží v obou podprostorech M a N. Z toho důvodu x + y leží v obou podprostorech M i N a tedy leží v průniku M N. Rovněž pro libovolné α R leží α x v M i N současně, tedy leží v průniku. Tím je ověřeno, že průnik podprostorů splňuje potřebné vlastnosti podprostoru. a) Najděte všechna řešení soustavy (α R je parametr) αx + y + z 1, x + z 0, x + αy + z 0. Determinant matice soustavy je α(1 α). Pro α 0 dostáváme nekonečně řešení (, 0, 1) + (, 1, 1), zatímco pro α 1 soustava nemá řešení. Konečně pro ostatní hodnoty máme jediné řešeníčko ( α 1, 0, 1 1 α ). b) Zdůvodněte, proč množina řešení homogenní soustavy tvoří lineární podprostor v R n. Protože součet řešení soustavy homogenních rovnic je řešení soustavy homogenních rovnic a α násobek řešení soustavy homogenních rovnic je také řešením. Stačí si uvědomit, že pro řešení u, v platí A( u T + v T ) A u T + A v T o T + o T o T a dále A(α u T ) α(a u T ) A o T. 11

12 Úvod do algebry, písemka na cvičení, varianta H a) Proved te rozklad polynomu p(x) x 5 + 5x 4 x 3 4x 8x + 60 na kořenové činitele. Využijte přitom nápovědu, že polynom má celočíselné kořeny. Protože celočíselný kořen musí dělit číslo 60, máme pouze možnosti {±1, ±, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10,...}. Pokusem a omylem (např. s využitím Hornerova schématu) shledáme, že kořeny jsou 1,, 3, 5, přitom je dvojnásobný kořen. Hledaný rozklad je (x 3)(x 1)(x + ) (x + 5). b) Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) (x c) r(x) + p(c). Při značení r(x) b n 1 x n b 1 x + b 0 je p(x) (x c)(b n 1 x n 1 + +b 1 x +b 0 )+p(c) b n 1 x n +(b n cb n 1 )x n 1 + (b 0 cb 1 )x cb 0 +p(c). Označíme-li koeficienty tohoto polynomu p symboly a k, shledáme, že vztahy mezi a k a b k odpovídají stejným vztahům v Hornerově schématu. Vztahy tvoří soustavu lineárních rovnic s jediným řešením b k při daném a k, přitom je splněno a 0 + cb 0 p(c). a) Pro který parametr a je matice A singulární? 1 a a a takže matice je singulární jen pro a 1. 1 a a a a a a 1 b) Definujte pojem singulární matice. Uved te vlastnosti těchto matic a jednu vlastnost dokažte. Singulární matice je čtvercová matice s lineárně závislými řádky. Mimo jiné je to matice s nulovým determinantem. Dokážu, že singulární matice má hodnost menší než počet řádků. Lineárně závislé řádky mají mezi sebou aspoň jeden, který je lineární kombinací ostatních a ten lze z matice odstranit, aniž bychom změnili lineární obal řádků. Je tedy zřejmé, že lineární obal řádků nemůže mít dimenzi stejnou, jako počet řádků původní matice a tedy skutečně hodnost matice je menší, než počet řádků matice. a) Jsou dány množiny M (3,, 0, 1) + (1, 0,, 4), (4,, 1, 3),. N (0, 0, 1, ) + (, α, 3, 5), (5, 4, 4, 6). Pro která α R platí M N? Zřejmě dimenze uvedených lineárních obalů je. Je třeba ověřit, pro která α je dimenze lineárního obalu všech vektorů z jednotlivých lineárních obalů a z rozdílu partikulárních řešení rovněž rovna dvěma. Množiny se rovnají pro α α α 7 13 b) Popište a zdůvodněte postup, jak zjistit rovnost dvou množin tvaru kde v, v, u i, u i jsou vektory z Rn. M v + u 1, u,..., u k, N v + u 1, u,..., u k, 1

13 Nejprve je třeba zjistit rovnost dimenzí zapsaných lineárních obalů např. tak, že počítáme hodnosti matic, kde v řádcích jsou zapsány dané vektory (využíváme toho, že GEM nemění lineární obal řádků a tedy ani jeho dimenzi, neboli hodnost matice). Zkoumané dva lineární obaly se rovnají, pokud dimenze lineárního obalu všech uvedených vektorů není větší než dimeze jednotlivých obalů. Znovu tedy stačí počítat hodnost matice obsahující nyní v řádcích všechny vektory u 1, u,..., u k, u 1, u,..., u k. Protože v lineárním obalu musí ležet i vektor v v, stačí jej přidat jako další řádek zkoumané matice. Tato matice musí mít hodnost stejnou jako je dimenze jednotlivých lineárních obalů. Zdůvodnění postupu se opírá o skutečnost, že x M právě tehdy, když M M { x}. Když x M, pak dimenze M { x} je větší než dimenze M. Opakovaným užitím této skutečnosti a z toho, že rovnost obalů je zaručena, pokud u i u 1, u,..., u k a zároveň u i u 1, u,..., u k, obhájíme výše uvedený postup. 13

14 Úvod do algebry, písemka na cvičení, varianta I a) Definujte lineární obal nekonečné množiny. Necht M je nekonečná podmnožina nějakého lineárního prostoru. Podle čeho ověříme, že x M? Zdůvodněte. Lineární obal nekonečné množiny M je sjednocení lineárních obalů všech konečných podmnožin K M, přičemž lineární obal konečné podmnožiny je množina všech lineárních kombinací vektorů z K. Vlastnost x M je ekvivalentní s tím, že existuje konečná množina vektorů y 1, y,..., y k M taková, že existuje lineární kombinace těchto vektorů, která je rovna x. Zdůvodnění: x M právě tehdy, když existuje konečná K M taková, že x K. Při označení K { y 1, y,..., y k } dostáváme uvedenou podmínku. b) Necht M {x +αx+, x +αx 1, α R} je nekonečná množina polynomů. Ověřte, zda x +3x+5 M. Protože zobrazení, které polynomu přiřadí souřadnice vzhledem k bázi {x, x, 1}, je izomorfismus, stačí pracovat s těmito souřadnicemi v R 3. Zkoumám tedy lineární obal množiny {(1, α, ), (1, α, 1), α R}. Zvolímli α 0 a α 1, dostávám konečnou podmnožinu této množiny {(1, 0, ), (1, 0, 1), (1, 1, ), (1,, 1)}. Eliminací zjistím, že dimenze lineárního obalu této množiny je 3, což je maximum v lineárním prostoru R 3. Takže lineární obal se rovná celému prostoru R 3 a vektor (1, 3, 5) v něm určitě leží. Vzhledem k isomorfizmu dostávám odpověd : x + 3x + 5 M. a) Zdůvodněte, proč musí mít prosté lienární zobrazení nulový defekt. Kdyby mělo nenulový defekt, pak by existovaly dva různé vektory z jádra tohoto zobrazení, které by se zobrazily na nulový vektor. To by ale nebylo prosté zobrazení. b) Je dáno lineární zobrazení A : R R předpisem A(x 1, x ) (x 1 + x, x 1 + x ). Najděte defekt tohoto zobrazení. Položíme (x 1 +x, x 1 +x ) (0, 0). Jádro zobrazení je tedy množina všech řešení homogenní soustavy x 1 + x 0, x 1 + x 0. Tato soustava má pouze triviální řešení, takže defekt dimenze jádra 0. a) Pro která α R je matice A regulární? α 1 1 α α 1 1 α α α 4 0 α α α 0 4 α α α 5 α 5 1 4α 4 α 5(α α + 11). Protože kvadratický polynom na konci výpočtu má záporný diskriminant, není determinant roven nule pro žádné reálné α, takže matice je regulární pro všechna α R. b) Tvoří množina všech regulárních matic podprostor lineárního prostoru všech matic typu (n, n)? Zdůvodněte. Netvoří, protože nulová matice není regulární a každý podprostor musí obsahovat nulový prvek. 14

15 Úvod do algebry, písemka na cvičení, varianta J a) Definujte lineární závislost konečné a nekonečné množiny vektorů. Necht M je nějaká nekonečná množina polynomů nejvýše n-tého stupně. Mohou nastat tyto případy: M je lineárně závislá, M je lineárně neávislá, dokud nevíme, jaké má M prvky, nemusíme rozhodnout. Která možnost je správná? Zdůvodněte. Konečná množna vektorů je lineárně závislá, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, která je rovna nulovému vektoru. Nekonečná množina vektorů je lineárně závislá, pokud existuje její konečná lineárně závislá podmnožina. Nastává případ M je lineárně závislá, protože lineární prostor polynomů nejvýše n-tého stupně má dimenzi n + 1, takže nejpočetnější lineárně nezávislá množina má n + 1 polynomů. Všechny početnější množiny (včetně nekonečné M) musejí být lineárně závislé. b) Necht L je blíže nespecifikovaný lineární prostor. Necht vektory u, v, w L jsou lineárně nezávislé. Ověřte lineární nezávislost vektorů u + 3 v, u w, u + v + w. Z definice lineární nezávislosti ověřuji, zda se povede najít nenulové koeficienty této nulové lineární kombinace: α( u + 3 v) + β( u w) + γ ( u + v + w) o Po přenásobení je (α + β + γ ) u + (3α + γ ) v + ( β + γ ) w o. Protože vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé, musí platit α + β + γ 0, 3α + γ 0, β + γ 0. Tato soustava má jen triviální řešení α β γ 0, takže i zkoumané vektory u + 3 v, u w, u + v + w jsou lineárně nezávislé. a) Proč lineární obal libovolné podmnožiny lineárního prostoru tvoří lineární podprostor? Lineární obal množiny vektorů M zahrnuje všechny prvky, které jsou nějakou lineární kombinací nějaké konečné podmnožiny vektorů z M. Součet lineární kombinace vektorů x 1, x,..., x k M s lineární kombinací vektorů y 1, y,..., y k M je lineární kombinace sjednocení vektorů x 1, x,..., x k a y 1, y,..., y k, což je lineární kombinace konečné podmnožiny vektorů z M a leží tedy v M. Také α násobek lineární kombinace je lineární kombinace, takže leží v M. Vlastnosti podprostoru jsou tedy ověřeny. b) Pro která α R je vektor (1, α, ) prvkem (1,, 3), (3,, 1)? α α α 3 0 Eliminace nemění lineární obal. Přidáním vektoru, který leží v lineárním obalu, se lineární obal také nezmění. To je možné jen pro α 3 0, tedy α 3. a) Pro která α R je matice A singulární? α α α 0 7 α α 7 α α 1 α 7 6 α α α 11α + 45α 46 ( 11α + 3)(α ) α 7 6 α α 7 α α 1 α α 5 α 4 + α 7 6 α Matice je singulární pro α nebo pro α b) Tvoří množina všech singulárních matic podprostor lineárního prostoru všech matic typu (n, n)? Zdůvodněte. Netvoří, protože součet následujících singulárních matic je matice regulární: ( ) ( ) ( ) Podobný příklad lze vytvořit pro čtvercové matice libovolného řádu. První matice je stejná, jako jednotková, ale má v posledním řádku nuly a druhá matice je nulová až na prvek a n,n, který je roven jedné. 15

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1

Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1 Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran

Více

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici [1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích

Více

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu. Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny

NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R

VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(19. 4. 2011), varianta R 1.Nechť p, q, rjsoupolynomy,všechnymajístupeňroven n.pakpolynom má stupeň: a)vždyroven n 2, b)vždyroven2n, c)vždyroven n, d)nejvýšeroven

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)

A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení) A0B0LAA Lineární algebra a aplikace příklady na cvičení- řešení Martin Hadrava martin@hadrava.eu. ledna 0.týdenod9.9. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou diskuse počtu řešení..

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy... Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =

ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b = ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci

Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8 1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace

Více

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro

2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:

Více