PŘEDPOVĚĎ VÝVOJE ATMOSFÉRY OBJEKTIVNÍMI METODAMI

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PŘEDPOVĚĎ VÝVOJE ATMOSFÉRY OBJEKTIVNÍMI METODAMI"

Transkript

1 Matematico-fyziálí faulta Uiverity Karlovy v Praze MICHAL BAŤKA PŘEDPOVĚĎ VÝVOJE ATMOSFÉRY OBJEKTIVNÍMI METODAMI

2 O autorovi Doc. RNDr. Michal Baťa, DrSc. je pražým rodáem. Po abolvováí gymaia vytudoval a Matematico-fyziálí faultě UK v Praze obor matematia. Po uočeí tudia v roce 96, ja bylo v této době obvylé, dotal umítěu a to do výpočetí laboratoře miitertva dopravy. Hydrometeorologicý útav byl v této době říze miitertvem dopravy a bylo tedy logicé, že požádal výpočetí laboratoř dopravy, aby ím začala polupracovat a umericé předpovědi počaí. Byl proto pověře touto poluprací, a ta e začal zabývat problémy umericé předpovědi počaí a v důledu toho taé i fyziou atmoféry. V této době a záladě rovice vorticity úpěšě realizoval a počítači Ural model pro předpověď hladiy 5 hpa, terý byl obdobou modelu vyviutého v USA v letech po druhé větové válce. V roce 965 e tal apiratem a matematico-fyziálí faultě, ejdříve v Cetru umericé matematiy, de začala jeho polupráce atedrou meteorologie a limatologie vedeou profeorem Stailavem Bradejem. Čleem této atedry e později tal. Vyučoval zde umericou matematiu a realizaci meteorologicých modelů a počítačích. Pro realizaci ložitějších již třídimeioálích modelů měl zde možot výpočtům používat v této době moderí počítače ICT v ČKD a později IBM v ČSAV. Po habilitačím řízeí byl v roce 984 jmeová docetem v oboru umericá matematia a utaove a atedře meteorologie MFF UK. V větu 99 zíal hodot DrSc. v oboru meteorologie a limatologie a habilitoval e taé i a doceta v tomto oboru. V letech 99 až 994 byl čleem meziárodího týmu v Méteo Frace v Touloue a zúčatil e vývoje loálího modelu pro předpověď počaí ALADIN, terý je v oučaé době v ČHMU používá pro aždodeí předpověď počaí a jeho výledy jou prezetováy v televizi. V oučaoti e jao emerití pracoví účatí práce a atedře meteorologie a limatologie.

3 MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍ FAKULTA UNIVERSITY KARLOVY V PRAZE PŘEDPOVĚĎ VÝVOJE ATMOSFÉRY OBJEKTIVNÍMI METODAMI Michal Baťa PRAHA 4

4 Vydavatelý zázam

5 Obah ížy Předmluva traa. Modelováí vývoje atmoféry a zálady umericé předpovědi počaí yopticéhoměříta používaá v meteorologii. Kartograficá zobrazeí používaá v meteorologii 5 3. Optimalizace geografie modelů a omezeé oblati a optimálí volba parametrů Lambertova oformího zobrazeí Rovice pro změu hyboti a tradičí aproimace Rovice mělé vody Formulace progoticých rovic a zemé féře Sytémy vertiálích ouřadic, laicá teorie 9 8. O traformaci dat mezi ytémy vertiálích ouřadic 6 9. Úvod do diferečích metod 44. Lieárí ocilátor mity a vly 58. Čaová itegračí chémata a jejich apliace a rovici lieárího ocilátoru a třeí 69. Rovice advece Vlové pohyby v atmoféře a jejich důledy pro předpovědí modely 5 4. Hydrotaticé modely a modely plě tlačitelou atmoférou 3 5. Početí dipere gavitačích-ierciálích vl v diferečích chématech a imulace geotroficého přizpůobeí Nelieárí evolučí parciálí difereciálí rovice Aproimace elieárí rovice advece - ozervativí chémata Eulerový barolií model v hydrotaticém přiblížeí 8 9. Semi-Lagrageové barolií modely v hydrotaticém přiblížeí 3. Formulace rovic pro emiimplicití oreci a jejich řešeí 37. Diagoalizace matice pro metodu reduce dimeze 335. Ortogoálí vertiálí ormálí módy Metody rozladu pro řešeí etacioárích úloh Galeriova aproimace a petrálí metody Fiití Fourierova traformace Spetrálí model a omezeé oblati a pricipy modelu ALADIN Iicializace meteorologicých modelů a gravitačí vly Záladí iformace o parametrizacích používaých v modelech Příprava dat pro předpovědí modely - objetiví aalýza Techia programováí meteorologicých modelů Možoti objetiví předpovědi počaí a změ limatu Dodaty Modifiace rovic e tavovou rovicí pro vlhý vzduch 435 Modelové atmoféry 438 Horizotálí difúze 44 Rotace féricých ouřadic 444 Výpočet vah vlivu řídícího modelu 447 Vztah mezi féricými a artézými ouřadicemi 448

6 K obahu jedotlivých apitol Tet publiace můžeme podle obahu v podtatě rozdělit a dvě čáti. Prví čát ládající e z apitol. až 7. e zabývá formulací rovic do tvaru vhodého pro výpočet vývoje atmoféry. Úvodí apitol rátce popiuje hitoricý vývoj objetiví předpovědi počaí a pa hruje záladí pozaty fyziy atmoféry. Další dvě apitoly. A 3. jou věováy matematicé artografii, terá e používá pro formulaci modelů a omezeé oblati. Vzhledem tomu, že předpověď e provádí a dotatečě velé oblati, ebo docela globálí předpověď, tedy a celé zeměouli, jou v apitole 4. formulováy řídící rovice ve féricých ouřadicích. V této apitole jou tudováy důledy zjedodušeí rovic azývaé Normaem Phillipem tradičí aproimace. Tato čát dává taé odpověď a otázu, teré čley rovic je třeba při použití tradičích aproimací v rovicích vyechat, aby byl zachová záo zachováí mometu hyboti. Kapitola 5. Popiuje model atmoféry zjedodušeý a jediou vrtvu otatí hutoty. Teto model e azývá divergetí barotropí model atmoféry ebo též Rovice mělé vody. Teto jedoduchý model má již většiu vlových vlatotí jao ložité modely atmoféry. Na tomto modelu je možé demotrovat ázorě moho vlatotí a taé formulací progoticých rovic. Model je taé používá pro tetováí umericých metod řešeí předpovědích rovic. V apitole 6. Je pa odvozea formulace řídících rovic pro modely a omezeé oblati, teré jao horizotálí ouřadice používají artézý ytém v roviě oformí mapy. Poledí Kapitola 7. této prví čáti je věováa laicé teorii traformace rovic do ouřadicových ytémů, teré používají zobecěou vertiálí ouřadici. Je třeba zdůrazit, že tato laicá teorie předpoládá, že atmoféra je tále v hydrotaticé rovováze. Jao záladí ytém, ze terého e pro traformace vychází, je z-ytém, de vertiálí ouřadicí je výša ad hladiou moře. Traformace do ového ytému vertiálí ouřadice je formulováa obecě pro libovolý mootóí vztah mezi původími a ovými ouřadicemi. Hlaví pozorot je věováa formulaci řídících rovic pro dva ytémy používaé pro předpověď. Jou to σ-ytém a hybridí η-ytém. Obecou traformaci lze použít i pro traformaci rovic do p-ytému, de ezávile proměou je tla p. Kapitolou 8. začíá druhá čát ížy, terá e věuje umericým metodám řešeí meteorologicých problémů. Tato prví apitola této druhé čáti bezprotředě avazuje a doplňuje předchozí apitolu. Je zde řešea umericá realizace traformace dat mezi dvěma ytémy vertiálích ouřadic. Obah apitoly vychází ze zušeotí traformacemi z p- ytému do σ-ytému a zpět. Tyto traformace byly používáy v předpovědím modelu daého v roce 988 do provozu v ČHMU. Traformace pomocí ubicých pliů e uázala efetiví a velmi přeou. V příloze je taé uvedea taé traformace iterpolací vadraticých polyomů, terou použil Shuma.F., Hovermale J. B. v roce 968 v provozím modelu v USA: A Operatioal Si-Layer Primitive Equatio Model. V oučaoti, dy modely mají vertiálě více ež 3 hladi je při tomto rozlišeí možé používat i méě přeou jedoduchou lieárí iterpolaci. Další apitoly 9. až. ezamují čteáře e záladími pozaty o metodě oečých diferecí, teré e v meteorologii používají. Jou zde zavedey pojmy aproimace derivací,

7 ale i evolučích rovic, umericého řešeí evolučích rovic a podmíe jeho tabilího řešeí. Dále jou tudováa diferečí chémata vzhledem proměé čau. Kapitola. je věováa řešeí lieárí i elieárí rovice advece diferečí metodou. Kapitola 3. e zabývá tudiem vlových pohybů v atmoféře a plě tlačitelými ehydrotaticými modely v ouviloti vlovou teorií. Kapitola 4. S ázvem Hydrotaticé modely a modely plě tlačitelou atmoférou. Na záladě vlové teorie rovává fuci hydrotaticých modelů ehydrotaticými modely plě tlačitelou atmoférou. Studuje taé problémy viající při formulaci a realizaci ehydrotaticého modelu v řivočarých ouřadicích opírujících teré. Stručě e zmiňuje i o výzamých ehydrotaticých modelech využívaých v meteorologii. Kapitola 5. Studuje lieárí čát řídících rovic, terá imuluje proce geotroficého přizpůobeí. Pro umericé řešeí tohoto ytému e zde pouzuje aproimace a růzých třídavých ítích z hledia početí dipere gravitačích-ierciálích vl. Kapitoly 6. a 7. e zabývá elieárími evolučími parciálími difereciálími rovicemi a jejich aproimacemi, teré plňují záoy zachováí. Kapitoly 8. a 9. Obahují formulace aproimací Eulerového a emi-lagrageového modelu v hydrotaticém přiblížeí. Kapitoly.,. a. popiují metodiu řešeí implicití čáti aproimace předpovědích rovic. Celový potup je áledující. Semiimplicití chéma je formulováo ve dvou rocích. Prvím roem je eplicití aproimace, druhým roem je pa oprava, terá změí toto chéma a emiimplicití a vyřeší implicití rovice této opravy. Kapitola 3. e zabývá řešeím etacioárích úloh metodou fatorizace, terá původí úlohu rozdělí a ěoli po obě jdoucích jedodušších úloh. Kapitoly 4., 5. a 6. Defiují petrálí metodu obecě jao metodu ejlepší aproimace v metrice Hilbertova protoru. Tato defiice je založea a Galeriově metodě. Pro model ALADIN, terý je petrálím modelem a omezeé obdélíové oblati jou jao bae použity ve měru obou horizotálích proměých trigoometricé fuce. Ve petrálím protoru jou tedy fuce vyjádřey jao oečé Fourierovy řady. Pro realizaci traformací do petrálího protoru a zpět je pa použita rychlá Fourierova traformace. Protože fuce předpovědího modelu ejou a obdélíové výpočetí oblati periodicé, je výpočetí oblat rozšířea a fuce a této rozšířeé oblati jou doplěy vhodým způobem a periodicé fuce. Kromě traformací do petrálího protoru a zpět je zde uvede taé výpočet derivací v petrálím protoru. Kapitola 7. Je vlatě poledí apitolou, terá podroběji vyvětluje tudovaou látu. V í je tudová problém odtraěí ežádoucích gravitačích vl vetší amplitudy, teré jou způobey tím, že v počátečích datech eí pole rozložeí hmoty atmoféry v rovováze polem prouděí. Odtraěí těchto ežádoucích gravitačích vl z modelu úpravou počátečích podmíe e azývá iicializací. Další již velmi ráté apitoly 8. až 3. jou pouze iformačími, aby doplily celový pohled a modelováí v meteorologii. Poledí apitola pa obahuje oobí ázory autora a možoti předpovědi počaí a limatu, globálí otepleí a jié poré otázy. Na závěr je uvedeo šet dodatů, teré obahují ěteré zaloti používaé v meteorologii.

8

9 Předmluva Úolem této ížy je hrout záladí pozaty, teré by měl zát meteorolog, terý pracuje v oboru modelováí vývoje atmoféry a počítačích. Stěžejím úolem v této oblati je umericá předpověď počaí a záladě itegrace rovic hydrodyamiy atmoféry. Dalšími apliacemi využívající tuto předpověď jou apřílad výpočty šířeí zečišťujících láte v yopticém, tedy územím měřítu z průmylových aglomerací, zejméa po haváriích v chemicých závodech, ebo dooce i atomových eletráre. Předpovědí modely jou po určitých úpravách taé používáy v oblati limatologie. Pro provedeí výpočtů i zobrazeí jejich výledů e používají mapy. Je proto logicé, že výlad začíá ěterými důležitými pozaty z artografie. Dále jou formulováy rovice dyamiy atmoféry a rotující Zemi. Přitom je lade důraz a oziteci zjedodušeí obecých rovic dyamiy atmoféry a taé jejich formulaci a zařiveém povrchu Země. Pro loálí modely a omezeé oblati je to ytém ortogoálích ouřadic a oformí mapě. Závěrem této prví čáti zabývající e formulací modelů jou tudováy ytémy řivočarých vertiálích ouřadic opírujících zemý povrch používaých pro umericou předpověď meteorologicých prvů. Druhá, hlaví čát ížy e zabývá problémy umericé realizace této předpovědi. Tato problematia je velmi ložitá, protože e jedá o řešeí evolučích elieárích parciálích difereciálích rovic. Tyto rovice popiují v podtatě dva záladí mechaizmy změ proměých popiujících tav atmoféry. Jedím z ich jou změy způobeé pohybem atmoféry v poli větru. V rovicích teto jev popiují právě elieárí čley rovic. Druhým mechaizmem jou vlové pohyby v atmoféře. Pro meteorologii jou to zejméa gravitačí vly a ejdůležitější Robyho vly. Po obecé teorii umericého řešeí evolučích rovic jou zde formulováy rovice orétího meteorologicého modelu v hydrotaticém přiblížeí a vyvětley metody řešeí, tedy čaová itegrace rovic tohoto modelu. Tato čát vychází ze zušeotí autora realizací modelu, terý byl v deím provozu v ČHMU (Čeém hydrometeorologicém útavu), dále z modelů, teré byly zoušey v rámci dotorého tudie tudetů, teré jem vedl pro zíáí Ph.D. a taé z účati a vývoji regioálího modelu ALADIN, de byl autor v letech 99 až 994 čleem meziárodího týmu v Méteo Frace v Touloue. Model ALADIN je v oučaé době v ČHMU používá pro aždodeí předpověď počaí. Kíža vzila z předáše autora a Matematico-fyziálí faultě UK pro obor meteorologie a limatologie zušeotech při vedeí adidátých a dotorých prací. Obahuje taé původí teoreticé výledy autora. Je to zejméa apitola o optimálí volbě Lambertovy oformí mapy a řešeí rovic emiimplicití orece ta, aby vzilá orajová úloha byla pro eparabilí elipticou parciálí difereciálí rovici. V Praze v říju rou 4. Michal Baťa

10

11 . Modelováí vývoje atmoféry a zálady umericé předpovědi počaí yopticého měříta Úvod Proč je modelováí vývoje atmoféry pro meteorologii ta důležité? Deší meteorologii můžeme chápat jeda jao vědí obor, terý e zabývá fyziálími záoy, teré atmoféra plňuje a a tomto záladě tuduje růzé meteorologicé jevy. Tato vědí oblat e azývá taé fyziou atmoféry. Jeda jao praticou čiot zabývající e převážě zpracováím meteorologicých iformací, dále poytující předpověď počaí, varováí před ebezpečými meteorologicými ději i další iformace. Nezavěceým by e mohlo zdát, že teoreticá výzumá čiot je v určité míře ezávilá a praticé meteorologicé čioti a obráceě, že praticá meteorologicá čiot používá je málo výledů teoreticé meteorologie, ale eí tomu ta. Meteorologie jao fyziálí věda má tu zvláštot, že atmoféru jao cele emůžeme apodobit v malém měřítu v laboratorích podmíách. Proto laboratoří meteorologie je utečá atmoféra Země a eperimet v laboratoři je ahraze měřeím údajů, pozorováím a vyvětleím dějů, teré v atmoféře probíhají. K tomu e v poledí době používá umericé modelováí tudovaých dějů. Tyto výpočty umožňují oučaé vyoce výoé počítače. Při modelováí e počítá obvyle vývoj objetivích parametrů popiujících tav atmoféry vztahujících e ěterému jevu v atmoféře, ebo i celovému vývoji atmoféry. V tomto druhém případě e jedá o modely všeobecé cirulace, tedy globálí meteorologicé modely a rověž modely a omezeé oblati, teré dovolují detailější popi tavu atmoféry. Modelováí vývoje atmoféry e opírá o hluboé teoreticé pozaty oboru meteorologie a matematiy, zejméa umericé matematiy a programováí počítačů, a terých e tyto rozáhlé výpočty realizují. Do modelováí vývoje atmoféry padá tedy umericá předpověď počaí, ja pro výzumé účely, ta i pro aždodeí předpověď v meteorologicé prai. Položme i yí otázu, co je de záladím úolem praticé meteorologie. Řel bych, že to je co možá ejpřeěji objetivě zjitit oučaý tav atmoféry a jejího dalšího vývoje. Tím rozumíme běr, otrolu zpracováí a archivaci čaového průběhu tavu atmoféry a vhodých počítačových mediích. Vývoj tavu atmoféry e pa využije pro předpověď počaí, varováím před ebezpečými meteorologicými jevy, případým velým zečištěím atmoféry umulací emitovaých láte, ebo při haváriích. Uchovávaá data e používají taé teoreticým tudiím chováí atmoféry, pouzováí limaticých změ i pro modelováí změ limatu. Meteorologie zajišťuje tedy iformace ja pro občaou veřejot, ta i peciálí iformace pro árodí hopodářtví, dopravu, zeměděltví, port i armádu. Ve Spojeých tátech počítali, že eoomicý přío meteorologicé lužby je přiejmeším deetrát větší ež álady vyaložeé a její čiot... Něoli lov z hitorie Na hitorii vývoje objetiví předpovědi počaí a záladě rovic hydrodyamiy je zajímavé, že teorie v podtatě o celé toletí předběhla prví úpěšé umericé předpovědi. Úplý ytém rovic hydrodyamiy pro vývoj atmoféry byl zám již v roce 858 Helmholtzovi [3], terý jej tudoval z hledia řešeí meteorologicých problémů. Sám

12 Helmholtz i ai ai emylil, že by e tyto rovice daly použít předpovědi počaí. Může e zdát převapivým, proč muel uběhout ta velý ča, praticy let, ež byly tyto rovice úpěšě použity pro předpověď meteorologicých prvů, tedy předpověď počaí. Odpověď a to je áledující. Sytém rovic hydrodyamiy a tedy i hydrodyamiy atmoféry je elieárí a velmi ompliovaý. Neeituje zřejmě jeho ta zvaé aalyticé řešeí v oečém tvaru a teto ytém je možé řešit pouze metodami umericé matematiy. Druhým problémem jou počátečí a orajové podmíy, teré je třeba pro čaovou itegraci zát a dotatečě velé oblati, tedy oblati yopticého měříta. Pro zadáí počátečích podmíe mohly loužit yopticé mapy. Jejich ázev pochází z řecého y optei což zameá oučaě vidět. Již z ázvu je tedy zřejmé, že yopticá mapa zobrazuje meteorologicé údaje v daý čaový oamži, tj. v době pozorováí a dotatečě velé oblati zemého povrchu. Syopticá mapa je pro tudovaou oblat vhodá, obvyle zjedodušeá geograficá mapa, a teré je předtištěa poloha meteorologicých taic. Do této mapy jou čílicemi a mluveými ymboly zaeey výledy pozorováí v íti meteorologicých taic v daém termíu. Tyto údaje jou vša epřehledé. Proto e provádí aalýza map, jejímž hlavím výledem je zareleí čar tejých hodot aalyzovaé fyziálí veličiy. Zarelují e apřílad pojice bodů tejého tlau izobary, tejé teploty izotermy i dalších veliči. Oba tyto úoy, ja zareleí pozorováí do podladové mapy, ta i zareleí izobar ubjetivě ruou, prováděl meteorolog yopti. Tato zíaá mapa e azývá ubjetivě aalyzovaá yopticá mapa. Taová mapa je již chopa poytout počátečí data pro umericou předpověď. Když mapu poryjeme apřílad pravidelou čtvercovou ítí a odečteme hodoty opět ubjetiví iterpolací do uzlových bodů ítě, dotaeme a obvyle obdélíové oblati počátečí data pro aalyzovaou veličiu. Ta e taé utečě připravovaly počátečí údaje pro prví umericé předpovědi počaí. Po druhé větové válce, dy byly provedey prví úpěšé umericé progózy, byla příprava dat taé potupě automatizováa. Subjetiví aalýza dat byla ahrazea objetiví aalýzou prováděou a počítačích. Objetiví aalýza počívá v tom, že z aměřeých údajů zíáme matematicou, tedy objetiví cetou, data přímo v uzlových bodech výpočetí ítě. Pa je možé pomocí programů pro releí vrtevic ado arelit izočáry libovolé fyziálí veličiy. Prví objetiví aalýzy počívaly a iterpolaci aměřeých dat pomocí polyomů. Uázalo e vša, že iterpolace pomocí polyomů ze zcela epravidelé ítě měřících taic do pravidelé výpočetí ítě e eovědčila. Pro tuto ložitou iterpolačí úlohu e hodí lépe metody založeé a matematicé tatitice. Statiticé metody vycházejí z předběžého pole, teré je defiováo v uzlech pravidelé výpočetí ítě. Hodoty z předběžého pole jou a pravidelé íti, a proto je adé je iterpolovat do bodů měřících taic, apřílad pomocí Lagrageových polyomů. Po této iterpolaci můžeme vypočítat odchyly předběžého pole od aměřeých hodot v bodech měřících taic. Potom pro aždý uzlový bod ítě áobíme odchyly v měřících taicích vhodými váhami a po jejich ečteí obdržíme pravděpodobou odchylu ve tudovaém bodě. Přičteím těchto odchyle hodotám předběžého pole dotaeme výledé opraveé pole aalyzovaého meteorologicého elemetu. Podle způobu výpočtu vah této iterpolace můžeme tyto metody ozačit za jedoduché orečí metody, de váhy iterpolace záviely pouze a vzdáleoti od uzlu, do terého iterpolujeme, ebo a přeější tatiticé metody vyviuté ruým matematiem-

13 tatitiem A. Kolmogorovem při terých jou pro aalyzovaou veličiu tudováy ta zvaé autooreačí fuce. Váhy iterpolace pa záviejí i a rozložeí taic v oolí uzlu, do terého iterpolujeme. Tato metoda iterpolace e azývá metoda optimálí iterpolace a byla pro meteorologii rozpracováa Lvem Gadiem, (ejdříve v Ruu, později v USA). Při prvích apliacích této metody e jao předběžé pole volilo pole tatiticých ormálů aalyzovaých veliči. Později e uázalo, že je lepší jao předběžé pole vzít pole předpověděé a prvích 6, ebo hodi. Ta vlatě přirozeou cetou vzila metoda aimilace dat do předpovědího modelu, terá e uázala vzhledem malému porytí ěterých území měřícími taicemi jao velmi efetiví. Jitá evýhoda této metody počívá v tom, že pro aimilačí proce lze použít pouze data aměřeá v čaových termíech po šeti ebo dvaácti hodiách. Tomu vyhovují data z pozemích a radioodážích taic a data ze tacioárích družic. Data z pohyblivých zdrojů, jao jou družice a polárích drahách, ebo měřeí z lodí a letadel e při této metodě e použít edají. Aby byla odtraěa tato evýhoda laicé aimilace dat byla vyviuta obecější metoda založeá a miimalizaci odchyle od aměřeých hodot, terá je formulováa matematicy jao miimalizace určitého fucioálu. Proto e tato metoda yzývá variačí aimilací dat. Tato metoda je přeější a mimo to umožňuje využít i data z pohyblivých zdrojů, zejméa družic létajících a polárích drahách, teré v aždém oamžiu měří data v jié oblati. Metoda variačí aimilace dat taé zahruje iicializaci dat pro jejich přímé použití jao počátečích podmíe pro čaovou itegraci. Důležitou roli pro včaé zíáí počátečích dat pro předpověď v reálém čae ehrál rozvoj teleomuiací, bez terého by větší rozvoj umericé předpovědi ebyl vůbec možý. Prví přízemí yopticé mapy byly etavey ěmecým meteorologem H. W. Bradeem v létech 86-8, ovšem z archivího materiálu. Atuálí yopticé mapy umožil etavit až vyález telegrafu. Prví atuálí yopticé mapy byly publiováy ve zprávách o počaí v oviách Daily New v roce 848 [5]. V této době e jedalo pouze o přízemí mapy. Výšové mapy, popiující údaje v celé tropoféře byly umožěy až radioodážími měřeími. To bylo ovšem až v období mezi oběma větovými válami. Dvě záladí podmíy pro hydrodyamicou předpověď počaí vylovil orý meteorolog Vilhelm Bjere v roce 94. Je to jeda dotatečě přeá zalot počátečích podmíe tavu atmoféry, jeda zaloti záoů, jimiž e změy atmoféry řídí. Početí předpověď počaí ozačil Bjere za hlaví a oečý cíl meteorologie jao eatí vědy. Norá šola ehrála taé výzamou úlohu v pochopeí dějů yopticého měříta. Prví praticý pou početí předpovědi počaí provedl Levi F. Richardo ocem prví větové vály. Při formulaci rovic dyamiy atmoféry vycházel Richardo z velmi zámé a obáhlé ihy Horace Lamb: Hydrodyamic [8]. Teto pou publioval v roce 9 v rozáhlé ížce [6] mající 36 tra. Tato íža je z hledia hitoricého velmi zajímavá, eboť e zabývá rozáhlou problematiou meteorologie. Zabývá e problémy, jao je zářeí, voda v atmoféře, eergetia atmoféry, vertiálí pohyby, třeí o zemý povrch atd. I dyž teorie v ížce je rozáhlá, pro praticý pou ezbývalo ic jiého, ež e omezit a záladí vztahy. Přeto pou očil eúpěšě. Pou byl formulová jao protorově dvojdimeioálí model, eboť v té době byla měřea a tedy dipozici pouze přízemí data. Výpočetí potup a záladě oečých diferecí byl z dešího hledia velmi moderí. Podle oudobého ázvoloví používal Richardo v podtatě třídavou C-íť 3

14 4 v Araawově laifiaci [4]. Tato íť je popáa a traě 49 ížy [6]. Protorová íť používala ve měru poledíů ro m a ve měru rovoběže 8 m. Čaový ro eplicitího čaového chématu cetrovaou diferecí byl 3 hodiy. Soutava rovic byla vša dotatečě obecá, obdobá rovicím mělé vody, taže její formulace obahovala i relativě rychlé gravitačí vly. Pro tabilitu výpočtu by bylo uté plit CFL riterium tability, teré by pro zvoleý protorový ro dovolovalo maimálí délu čaového rou řádově jedoty miut. Toto riterium vša odvodil a publioval Courat, Fridrich a Lewy až v roce 98 v čláu []. Dalším problémem mohla být i prává příprava počátečích dat. Počátečí data by eměla obahovat gravitačí vly větší amplitudy. Richardo ovšem eměl tehdy dipozici počítač, taže míto počítače měl ál moha počtářami vybaveými mechaicými alulátory. Proto by eměl šaci tuto úlohu e právou délou čaového rou v rozumém čae počítat. Po protudováí Richardoovy práce bych chtěl upozorit ještě a áledující edotate jím použitého modelu. Model je totiž formulová a záladě liearizovaých rovic uvedeých v Lambově hydrodyamice. Tyto rovice, teré e azývají Laplaceovy lapové rovice (Laplace tidal equatio) eobahují čley popiující adveci. Rovice popiují právě Robyho vly, eboť Corioliův parametr v rovicích je fucí zeměpié šířy a tedy proměý. Rovice vša popiují taé rychlé gravitačí vly, teré právě pro tabilitu výpočtu vyžadují relativě rátý čaový ro, což bylo hlaví příčiou havárie výpočtu. Úpěšá předpověď e podařila až po druhé větové válce upiě vedeé Chareym, Fjortoftem a vo Neumaem použitím prvího počítače ENIAC, vyviutého v roce 945 v USA. Tato předpověď byla založea a itegraci rovice vorticity pro předpověď výšy hladiy 5 milibarů, (v ovém ozačeí 5 hpa), za předpoladu že vítr v modelu je geotroficý. Tato formulovaý model popiuje pouze adveci a Robyho vly, epopiuje vša rychlé gravitačí vly, a proto i při použití eplicitího chématu dovoluje při zachováí tability o řád větší délu čaového rou... Rovice, jimiž e řídí pohyb atmoféry formulovaé v Eulerově tvaru v ierciálím artézém ytému. Záoy zachováí V meteorologii, tejě jao v hydrodyamice, de vyšetřovaé jevy mají maroopicý charater a týají e tedy tatiticého chováí velého možtví moleul, e pro vyšetřováí pohybu vzduchu používá předtava pojitého protředí otiua. Tato předtava ám umožňuje popi pohybu vzduchu pomocí matematicého aparátu difereciálích rovic. V tom je určitý rozpor mezi fyziou a matematiou. Hovoříme-li z hledia fyziy o čátici jaožto malém elemetu objemu vzduchu, považujeme jej vša ještě atoli velý, že obahuje velý počet moleul. Matematia ám dává adevátí popi pohybu taovýchto čátic, i dyž matematicá aalýza iterpretuje tyto čátice jao eoečě malé, tj. přeěji libovolě malé, a dívá e a ě jao a body. Pro matematicý popi pohybu vzduchu používáme, tejě jao v laicé mechaice Euleidový protor e ytém ouřadic, y, z, terý popiuje polohu bodu v protoru a ča t. Pro určeí polohy

15 5 bodů v protoru e v meteorologii používá ěterý ze ytémů obvyle ortogoálích řivočarých ouřadic. Pohyb vzduchu můžeme yí popat, ja je to v hydrodyamice obvylé těmito fucemi: vetorovým polem v(, y, z, t) de v je vetor rychloti čátic, tj. vetor větru, jehož ložy ozačme v = (u, v, w) a dvěma alárími poli, tlaovým polem p(, y, z, t) a hutotou vzduchu ρ(, y, z, t). Protože tla p, hutota ρ a abolutí teplota T jou vázáy tavovou rovicí, p ρ = RT de R je plyová otata pro uchý vzduch, používá e v meteorologii popiu tavu atmoféry míto hutoty teplota T, a již zmíěý tla p, což je přirozeější. Pozameejme ještě, že fyziálí parametry čátice, rychlot, tla, teplota a hutota jou dáy její polohou a čaem (Eulerova formulace) a jou ezávilé a její velioti ebo hmototi. Proto můžeme čátice považovat za čátice jedotové hmototi. Rovice popiující čaový vývoj tavu atmoféry, terým budeme říat řídící rovice, jou formulováy a záladě záoů zachováí. Jou to záoy zachováí:. záo zachováí hmoty. záo zachováí eergie 3. záo zachováí hyboti 4. záo zachováí vody v atmoféře. (Možtví vody v atmoféře bývá popáo jedím záoem zachováí a to zachováím vodí páry, ale ve ložitějších modelech mirofyziou i třmi záoy zachováí, pro aždé upetví vody zvlášť.) 5. záoy zachováí růzých příměí v atmoféře. Záoy zachováí zde rozumíme podle fudametálí práce P. D. Lae: Hyperbolic ytém of Coervatio Law II hyperbolicé ytémy rovic, jejichž tvar je defiová tato: Záo zachováí je rovice v divergetím tvaru, tedy 3 u t + f j = j Tato rovice vyjadřuje fat, že rychlot změy veličiy u obažeé v aždé oblati G -protoru je dáa toem vetorového pole (f, f, f 3 ) v G: j= (..) d dt ud = f d G (..) Moho fyziálích záoů má tvar záoa zachováí. Veličiy u a f závií a proměých, popiujících tav fyziálího ytému a a jeho derivacích. Sytémům tohoto typu věujeme dále celou apitolu. Na prvé traě rovice, vyjadřující záo zachováí je ula. Na prvé traě této rovice může být i ějaá zdrojová fuce, terá pa ovšem hodoty veličiy u, měí. Pro záo zachováí eergie je to apřílad příto, ebo ztráta tepla při radiačích proceech, ebo vlivem fázových přechodů vody, ebo při parametrizacích ovece. Tyto zdrojové fuce jou dáy ta zvaými parametrizacemi modelu. Pro rovice hyboti jou jao zdrojové fuce parametrizace třeí. Pouze záo zachováí hmoty atmoféry, terý je vyjádře rovicí otiuity, je obvyle v čité podobě, bez zdrojových fucí. Slovo obvyle je zde proto, že byla zoušea i parametrizace, terá vyjadřovala úbyte hmoty atmoféry, BG

16 6 tedy vlatě vodí páry vlivem ráže, terá odteče v rážové vodě. Při tudiu této parametrizace e uázalo, že teto úbyte hmoty atmoféry je pro meteorologii epodtatý. Prví tři záoy můžeme považovat za záladí čát modelu. Tato čát modelu daá záoy zachováí e obvyle azývá dyamicá čát modelu. Tato čát modelu ám dává vývoj záladích parametrů určující tav atmoféry, tedy vývoj termobaricého pole a pole větru. Při umericém řešeí e používají de obvyle čátečě implicití (emi-implicití) chémata, při terých pro výpočet hodot proměých v áledujícím čaovém rou dotáváme ložitou outavu pěti parciálích difereciálích rovic, vyjadřujících tyto tři záoy, terou muíme řešit. Je-li tedece vývoje atmoféry v daém čaovém oamžiu z dyamicé čáti modelu již vypočtea, pa výpočet čaových změ předpovídaých veliči daých vějšími vlivy je zahruta do pravých tra rovic vyjadřujících záoy zachováí. Tyto pravé tray rovic, azývaé parametrizacemi modelu, můžou zahrout apřílad změy možtví vody a její fázové přechody v atmoféře, při ichž vziají přítoy, ebo odběry tepla z atmoféry jou do změ teploty zahruty obvyle až po vyřešeí dyamicé čáti modelu. Teto způob zahrutí parametrizace je vlatě metoda fatorizace, teré e věujeme při metodách umericého řešeí rovic modelů. Výpočet parametrizací modelu probíhá tedy vcelu ezávile a dyamicé čáti modelu, zejméa a umericé metodě řešeí dyamicé čáti modelu. Výpočet parametrizací proto ezávií a tom, byla-li použita diferečí, petrálí metoda, ebo i v meteorologii méě používaá metoda oečých elemetů. Parametrizace jou formulováy a řešey vždy a dirétí výpočetí íti, a proto jou vlatě uiverálí vzhledem libovolému způobu řešeí dyamicé čáti modelu. Všiměme i yí matematicé formulace jedotlivých záoů zachováí v artézém ytému ouřadic. Eulerův tvar pohybových rovic Nechť u, v, w jou ložy rychloti rovoběžé oami ouřadic v bodě (, y, z) v čae t. Tyto veličiy jou fucemi ezávile proměých, y, z, t. Předpoládejme dále, že ejeom ložy rychloti u, v, w jou oečými a pojitými fucemi proměých, y, z, ale i protorové derivace u, v, w,.., atd. jou všude oečé. Taovémuto prouděí říáme pojitý pohyb a v dalším tudiu e a ěj omezíme. Pro aždou daou hodotu t defiují ložy rychloti pohyb ve všech bodech protoru, ve terém e achází teutia. Pro pevě zvoleé hodoty, y, z je dáa hitorie pohybu, terá proběhla v tomto mítě. Změy libovolého fyziálího parametru F jou v tomto pevém bodě dáy parciálí derivací podle čau, tedy hodotou F t terá e azývá loálí čaovou změou fuce F. Kromě této změy, můžeme tudovat čaovou změu vztažeou a jedu orétí čátici. Budeme-li ledovat pohyb čátice, terá je omezea malou uzavřeou plochou oblopující tudovaý bod P pohybující e apaliou, pa tato plocha uzavírá ve vém vitřu, tále tejou hmotu oblopující bod P. Změa hodoty fyziálí veličiy F této pohybující e orétí čátice, e azývá idividuálí změou veličiy F a rychlot její změy je dáa derivací, terou ozačujeme df dt. Tuto hodotu azýváme obvyle totálí derivací, ebo taé idividuálí čaovou změou.

17 7 Abychom počítali změu fuce F(, y, z, t) měící e pohybující e čáticí, všiměme i, že e čátice z počátečí polohy (, y, z) v čae t e dotae v čae t + δt do polohy ( + uδt, y + vδt, z + wδt). Odpovídající hodota F v tomto ocovém bodě je pa F( + uδt, y + vδt, z + wδt, t + δt) F = F(, y, z, t) + uδt F F F F + vδt + wδt + δt y z t + o(δt) (..3) Hodotu F(, y, z, t) převedeme a levou trau rovice, rovici dělíme δt a přejdeme limitě pro δt. Na levé traě rovice dotaeme hodotu, terou podle Stoee ozačme ymbolem d dt ebo též D Dt ozačující derivováí ledující pohyb teutiy a azýváme ji tedy obvyle totálí derivací, ebo idividuálí čaovou změou. Novou hodotu F můžeme vyjádřit vztahem, F + df dt δt de Pozameejme zde, že operátor df dt = F F F F + u + v + w t y z (..4) u F F F + v + w y z je elieárí a v matematice e azývá ovetivím operátorem, v meteorologii operátorem advece, protože popiuje pou hmoty atmoféry. Vzhledem elieároti vyžaduje teto operátor při diferečí aproimaci použít vhodá ozervativí diferečí chémata. V oučaé době e používají čato ta zvaá emi-lagrageová chémata, de e totálí derivace v daém uzlovém bodě výpočetí ítě aproimuje áledově. Při obvylém ozačeí echť F + zameá hodotu fuce v uzlovém bodě, v čae t. Pa alezeme polohu výchozího bodu v čae t t, ze terého e čátice v čae t dotala do zvoleého uzlového bodu. Nyí z oolích uzlových bodů v čae t t iterpolujeme hodotu fuce do výchozího bodu trajetorie, terou ozačme F. Nyí můžeme totálí derivaci vypočítat ze vztahu (F + F ) t. Při použití apřílad Lagrageovy ubicé iterpolace v roviě z oolích šetácti uzlových bodů ítě dotaeme velmi přeou a umericy tabilí aproimaci i pro relativě dlouhé čaové roy. Matematicá formulace záoů zachováí v atmoféře je áledující: Záo zachováí hmoty je vyjádře rovicí, terou azýváme rovice otiuity Teto záo lze formulovat pro jedu z těchto veliči. Pro hutotu ρ, což je v hydrodyamice ejobvylejší, pro měrý objem α = ρ a v meteorologii po traformaci vertiálí ouřadice taé pro tla p. Všiměme i yí formulace tohoto záoa pro hutotu ρ a měrý objem α. Odvozeí lze ajít v aždé učebici hydrodyamiy. Ve většiě učebic hydrodyamiy e rovice otiuity odvozuje pomocí Gauovy věty. Teto způob

18 8 odpovídá matematicé teorii elieárích parciálích difereciálích rovic hyperbolicého typu v divergetím tvaru, tedy matematicé teorii rovic záoů zachováí. Z Gauovy věty e taé vychází při formulaci diferečích chémat tazvaou metodou otrolovaého objemu. Rovici otiuity můžeme tedy pro hutotu ρ apat v advetivím tvaru a pro měrý objem α = ρ ve tvaru dρ + ρ ( u dt + v y + w z ) = (..5) dα α ( u dt + v y + w z ) = (..6) Doadíme-li em za totálí derivaci její rozvoj, můžeme rovici otiuity pát v divergetím tvaru ρ t + (ρu) + y (ρv) + z (ρw) = (..7) zde vetor ρv e azývá toem hmoty. Vzhledem e zaméu míu u oučiu měrého objemu divergecí e rovice (..7) edá přepat ta jao rovice otiuity (..6) paá pro hutotu do divergetího tvaru. Proto e ai rovice otiuity pro měrý objem téměř epoužívá. Záo zachováí eergie Teto záo zachováí eergie je vyjádře prví větou termodyamiy. Jetliže atmoféru považujeme za evazou teutiu, pa záo zachováí eergie ám říá, že změa eergie určitého objemu vzduchu, pohybující e čátice vzduchu, je dáa pouze přítoem eergie a to jeda přítoem tepla do daé pohybující e čátice, teré můžeme vatitativě popat idividuálí čaovou změou tepla a jedotu hmoty tedy hodotou dq dt, a jeda prací daou epazí, (ebo aopa tlačováím) daého objemu vzduchu. Tato práce je dáa zvětšeím objemu proti půobeí ormálových tlaových il půobících a povrch objemu. Práce vyoávaá při epazi proti íle tlau a jedotu hmoty za jedotu čau je dáa hodotou p(dα dt). Je tedy dáa vlatě oučiem tlau a rychloti rozpíáí objemu vzduchu. Protože vitří eergie ideálích plyů závií pouze a abolutí teplotě, je rychlot změy vitří eergie čátice dáa hodotou C v (dt dt) a termodyamicou větu můžeme pát ve zámém tvaru dt C v dt = dq dα p dt dt (..8) Kde C v je měré (dříve pecificé) teplo při otatím objemu, (C v je možtví tepla teré je potřeba ohřevu g vzduchu o K). Pro uchý vzduch je C v = 77 J g K, T je abolutí teplota, p tla vzduchu, α je měrý objem a tedy p(dα dt) ám přetavuje rychlot

19 9 práce vyoávaé reveribilím rozpíáím objemu čátice vzduchu, tedy rychlot změy vitří eergie čátice jedotové hmoty. Neuvažujeme zde tedy viozitu. Při formulaci meteorologicých modelů je používáo ěoli termodyamicých veliči. Jou to tla p, abolutí teplota T, měrý objem α a hutota ρ. Tyto veličiy vša ejou ezávilé. Měrý objem je převráceou hodotou hutoty, tedy α = ρ. Protože vzduch lze pro aše účely považovat za dooalý ply, tři z těchto veliči plňují tavovou rovici pα = RT (..9) de R = 87 J g K je plyová otata pro uchý vzduch. Derivujeme-li tavovou rovici, dotaeme p dα dt dt dp = R α dt dt Doadíme-li z předchozího vztahu p(dα dt) do (..8) máme dt C v dt = dq dt dp R + α dt dt dt eboli C p dt dt dp = α dt + dq dt (..) (..) (..) Kde C p = C v + R = 4 J g K je měré teplo při otatím tlau. Idividuálí změa tlau p e azývá zobecěou vertiálí rychlotí. Můžeme ji taé iterpretovat jao rychlot v ouřadém ytému, de vertiálí ouřadicí je tla p. Tato veličia e ozačuje řecým pímeem. Podle defiice je tedy ω = dp dt. Rovici (..) v předpovědích modelech používáme ve tvaru dt dq C p = ωα + dt dt (..3) Kde dq/dt je rychlot přítou tepla a jedotu hmototi. Prví čle a pravé traě této rovice e azývá omega-alfa čle. Teto čle vyjadřuje tu čát vitří eergie, terá e měí a práci daou gradietem tlau. Správá aproimace tohoto čleu hraje důležitou úlohu v meteorologicých modelech. Pro adiabaticé děje je příto tepla rove ule, tedy dq dt = termodyamicou rovici píšeme ve tvaru dt C p dt = ωα (..4) Pro tudium etropie použijeme ještě jiý tvar termodyamicé věty. Rovici (..3) dělíme abolutí teplotou T. Pomocí tavové rovice (..9) dotaeme dq dt = T dq dt = C p d lt dt Kde dq/dt je idividuálí změa etropie Q. Vztah R d lp dt (..5)

20 dq dt = dq T dt (..6) vyjadřuje idividuálí změu etropie vzduchové čátice, tedy určitého objemu vzduchu. Teto vztah (..5) můžeme považovat za jedu z možých defiici etropie, terá je tím určea až a aditiví itegračí otatu. Pro adiabaticé děje je idividuálí čaová změa etropie hydrodyamicým ivariatem. Charaterizuje taé adiabaticý děj. Je-li rova ule, pa děj je adiabaticý. Pro defiici a odvozeí vlatotí poteciálí teploty, terá je hydrodyamicým ivariatem při adiabaticých dějích v atmoféře potupujeme áledově. Do rovice (.4) doadíme za ze tavové rovice (..9) máme dt dt = R T C p p ω (..7) Bezrozměrá otata R C p =. 88 e obvyle ozačuje řecým pímeemκ, tedy R C p = κ. Předchozí rovici pa apíšeme ve tvaru dt T dt = κ dp p dt (..8) eboli d dt lt = κ d dt l p (..9) Podle předchozí rovice je levá traa áledující rovice rova ule d dt (l T l pκ ) = d dt l T pκ d T = pκ T dt p κ = (..) odtud máme d T dt p κ = (..) Vezmeme-li ějaou charateriticou otatí hodotu tlau p je jaé že platí dp κ dt =. I dyž hodota p e čato volí jao 3 hpa, může být libovolá. Vztah (..) můžeme pát v obvylém tvaru d κ dt T (p p ) = (..) Veličia T ( p p )κ e azývá poteciálí teplotou a ozačuje řecým pímeem θ. Poteciálí teplota je pro adiabaticé procey v atmoféře hydrodyamicým ivariatem a prví větu termodyamiy můžeme pát ve tvaru dθ dt = (..3)

21 Čato e taé zavádí ta zvaá Eerova fuce π defiovaá vztahem π = (p p ) κ (..4) Vztah mezi abolutí teplotou a poteciálí teplotou pa můžeme pát ve tvaru T = πθ (..5) Podle mého ázoru eí zvláští důvod ezvolit otatu p rovu, protože měříto Eerovy fuce e tím příliš ezměí, eboť při obvylé volbě p = 3 κ hpa je p pouze p κ =.88 = 7.339, což měříta výpočtů v pohyblivé čárce příliš eovliví. Studujme yí vztah etropie a poteciálí teploty. Na záladě poteciálí teploty můžeme vyjádřit změu etropie áledujícím způobem. Ve druhém čleu pravé tray rovice (..5) ahradíme R oučiem R = C p κ. Kotatu κ pa zahreme do epoetu tlau p. Po úpravách pa obdržíme dq dt = C p d dt l θ = C p dθ θ dt (..6) Q = C p lθ + cot (..7) Kde cot je itegračí otata. Teto vztah můžeme považovat též za defiici etropie, Podle vztahu (..6) je pro adiabaticé procey idividuálí etropie rova ule a je tedy hydrodyamicým ivariatem pro adiabaticé děje v atmoféře. Pro další tudia, zejméa vlových vlatotí atmoféry, potřebujeme čato vyjádřit vztah mezi idividuálí změy tlau p a hutoty ρ. Termodyamicá věta (..8) pro adiabaticý proce de dq dt = má tvar dt dα C v + p dt dt = (..8) Derivujeme-li tavovou rovici (..9) dotaeme α dp dα dt + p = R dt dt dt (..9) Z předešlých dvou rovic vyloučíme čle e změou abolutí teploty, tím, že rovici (..8) áobíme zlomem R C v. Srováím rovicí (..9) máme použitím vztahu + R C v = C v + R C v = C p C v = γ Kterým zavádíme ovou bezrozměrou otatu γ=.4, dotáváme dp γp dt = dρ ρ dt Neboli pro adiabaticý proce platí d lp d lρ = γ dt dt (..3) (..3) (..3)

22 Záo zachováí hyboti, ebo taé změy hyboti v ierciálí outavě Rovice vyjadřující záo zachováí hyboti, formulujeme a záladě Newtoova záoa zachováí hyboti v ierciálím ytému artézých ouřadic, mají tvar du dt = X p ρ (..33) dv dt = Y p ρ y (..34) dw dt = Z p ρ z (..35) Položíme-li pravé tray rovic rovy ule, vyjadřují tyto rovice záo zachováí hyboti. Pravé tray rovic popiují změu hyboti ilou gradietu tlau a vetor (X. Y. Z) může vyjadřovat parametrizace modelu jao je vliv třeí o zemý povrch, zahrutí vlivu orografie. Protože hybot je vetorovou veličiou, má 3 ložy a hutota a teplota jou aláry, je záladí pohyb atmoféry popá pěti rovicemi. Pomocí tavové rovice taé reduujeme počet proměých dyamicé čáti modelu a pět ezámých, taže výledě máme pět rovic pro pět progoticých veliči..3. Síly půobící v atmoféře Země v rotující outavě Newtoův druhý pohybový záo popiuje změu hyboti objetu v ierciálí outavě ouřadic daou oučtem všech il půobících a daý objet. V meteorologii jou to áledující íly: íla tlaového gradietu, íla gravitace a třeí. V meteorologii vša obvyle vztahujeme pohyb vzhledem ytému rotujícím e Zemí, terý eí ierciálí. Pro tudium pohybu a rotující Zemi používáme tíhovou ílu Země, terá je oučtem gravitačí a odtředivé íly Země. Pro Newtoův druhý pohybový záo v tomto případě muíme přidat ještě Corioliovu ílu. Tato zdálivá íla je způobea rotací Země a bude tudováa podrobě v apitole 4. O ílách tlaového gradietu, gravitace a třeí předpoládáme, že jou dotatečě zámy, proto e zde budeme věovat pouze ilám, teré jou v meteorologii třeba formulaci rovic v outavě pevě pojeé rotující Zemí. Síla gravitace Newtoův záo obecé gravitace říá, že aždé dva hmoté elemety e přitahují vzájemě ilou, terá je úměrá oučiu jejich hmototí a epřímo úměrá čtverci jejich vzdáleotí. Obecý gravitačí záo můžeme formulovat áledově. Nechť máme dva hmoté elemety o hmototech M a m a echť r je vetor měřující od elemetu o hmototi M měrem elemetu o hmototi m. Síla, terou půobí hmota M a hmotu m je dáa vztahem F = GMm r ( r r )

23 3 (.3.) de G je uiverálí gravitačí otata. Pro objety jejichž hmota je rozložea ymetricy olem tředu můžeme jejich vzdáleot považovat za vzdáleot jejich tředů. Když za hmotý elemet M, budeme považovat Zemi a r echť je průvodič ze tředu Země elemetu m, a za čátici m vezmeme elemet atmoféry, pa íla, terou je elemet přitahová Zemi vztažeá a jedotu hmoty je rova F m = g = GM r (r r ) (.3.) V meteorologii e obvyle jao vertiálí ouřadice používá výša ad hladiou moře, de výšu hladiy moře považujeme za otatí, odpovídající tředí hodotě poloměru Země, terý ozačujeme a. Te volíme obvyle a=637 m. Položíme-li r=a+z pa můžeme pát de g = g ( + z a ) (.3.3) g = GM a (r r ) (.3.4) což je gravitačí íla pro tředí hladiu moře. V meteorologii, de atmoféra a povrchu země tvoří je relativě teou vrtvu je z mohem meší ež poloměr Země a zaedbáváme proto poměr z/a. Gravitačí ílu pa považujeme ezávilou a výšce ad povrchem Země, lademe g = g a gravitačí íla je tedy otatí. Dotředivá íla Předpoládejme, že čátice o hmotě m e pohybuje po ružici o poloměru r otatí úhlovou rychlotí ω. Z hledia pozorovatele v outavě rotující čáticí je její rychlot jeví jao otatí, ve utečoti e vša její trajetorie epřetržitě měí, to zameá, že její rychlot eí otatí. Abychom vypočítali zrychleí, uvažujme změu vetoru rychloti δv, terá vzie za čaový přírůte δt, při terém čátice urazí úhel δθ, (Obráze.). Protože δθ je taé úhel mezi vetory V a V + δv, veliot vetoru δv je rova δv = V δθ. Když dělíme teto vztah δt a přejdeme limitě δt, δv měřuje oe rotace a máme dv dt Avša V = ωr a dθ dt = ω, odud máme dv dt = ω r = V dθ dt ( r r ) (.3.5) (.3.6) V pevě zvoleém (erotujícím) ytému je dá pohyb otatím zrychleím měřujícím oe rotace. Jeho veliot je rova oučiu čtverce úhlové rychloti a vzdáleoti od oy rotace. Toto zrychleí e azývá dotředivým zrychleím. Odtředivé zrychleí má tejou veliot, ale opačý měr. Síla zemé tíže

24 4 Na čátici vzduchu v atmoféře, terá rotuje polečě e Zemí, půobí dvě íly. Síla gravitace a odtředivá íla. Součet těchto dvou il azýváme ílou zemé tíže. Tato íla je rova g = g + Ω r (.3.7) Síla zemé tíže půobí ejeom a atmoféru, ale i a amotou hmotu Země. Země proto emá tvar oule, ale geoidu, jehož povrch je plochou otatího geopoteciálu a íla zemé tíže půobí vždy olmo této ploše, tedy ve měru geograficé zeměpié šířy (terá je defiováa obecě pro referečí ouli, rotačí elipoid i geoid) jaožto úhel, terý vírá ormála plochy v daém bodě roviou zemého rovíu a ozačuje e pímeem φ. Úhel terý vírá pojice tředu Země a uvažovaého bodu roviou zemého rovíu je azývá geocetricou zeměpiou šířou. Protože rozdíl mezi těmito dvěma zeměpiými šířami je malý, v meteorologii jej zaedbáváme. Považujeme proto Zemi za féru a ílu zemé tíže otatí mířící do tředu Země. Podrobější výlad tohoto problému je uvede ve čtvrté apitole. Zrychleí zemé tíže v meteorologii poládáme tedy za otatí a jeho veliot e lade obvyle 9.8 ebo 9.8 m/. Pozameejme, že při zavedeí techicé outavy jedote e používá ta zvaé ormálí tíhové zrychleí, teré je rovo zrychleí zemé tíže a 45 zeměpié šířy při hladiě moře a je rovo g= m/. Literatura: [] BRDIČKA M.: Mechaia otiua. Naladateltví ČSAV Praha 959. [] COURANT R., FRIDRICHS K., LEWY H.: Über die Differezegleichuge der Mathematiche Phyi. Math. Aale, 98 [3] CHARNEY J. G., FJØRTOFT R. VON NEUMANN J.: Numerical itegratio of the barotropic vorticity equatio. Tellu, 95 [4] HELMHOLTZ H.: Über atmophäriche Beweguge. Nachr. Ge. Wi. Göttige 3, 37, 889 [5] HOLTON JAMES R.: E Itroductio to Dyamic Meteorology. Academic pre, New Yor ad Lodo 97 [6] Sir HORACE LAMB: Hydrodyamic. CAMBRIDGE AT THE UNIVERSITY PRESS, SIXTH EDITION 93 [7] LANDAU L.D., LIFŠIC E. M.: Gidrodiamia. Teoretičeaja fizia to VI. Mova Naua 986 [8] LAX P. D.: Hyperbolic Sytem of Coervatio Law II. Commuicatio o Pure ad Applied Mathematic VOL. X, [9] MESINGER F., ARAKAWA A.: Numerical Method ued i Atmopheric Model. Vol I. GARP Publicatio Serie No. 7, Augut 976, WMO [] MUNZAR J. a ol.: Malý průvodce meteorologií. Mladá frota Praha 989. [] PECHALA F., BEDNÁŘ J.: Příruča dyamicé meteorologie, Academia Praha 99. [] RICHARDSON L. F.: Weather Predictio by Numerical Proce.Cambridge Uiv. Pre. Lodo 9 [3] THOMPSON P. D.: Numerical weather aalyi ad predictio. The Macmilla Compay New Yor 96

25 5. Kartograficá zobrazeí používaá v meteorologii Úvodem Zobrazeí povrchu země, do roviy má pro meteorologii velou důležitot. Výledy měřeí, pozorováí i výledy meteorologicých předpovědích modelů používají zobrazeí povrchu Země do roviy, tedy a mapu. Ať je to mapa a papíře, ebo rovia obrazovy moitoru počítače. Na mapě jou zobrazováy alárí pole tlau, teploty vlhoti i růzá další pole. Tato pole jou zobrazováa pomocí čar tejých hodot daé veličiy, ta zvaých vrtevicových map. Vetorová pole prouděí e čato zobrazují pomocí šipe - vetorů větru. Při umericé předpovědi počaí je možé potupovat dvěma způoby. Buďto rovice dyamiy atmoféry formulujeme přímo pro řivočaré ouřadice a ouli a jao ezávile proměé jou použity zeměpié ouřadice,, ebo jou pro předpověď použity pravoúhlé ouřadice v roviě mapy. V obou případech e vša výledy zobrazují a meteorologicých mapách, tedy v roviě. Modely a omezeé oblati ozačovaé zratou LAM (z aglicého Limited Area Model), jao je apřílad model ALADIN, vyviutý za meziárodí polupráce v Méteo Frace, patří druhé upiě. Jao ezávile proměé a horizotálí ploše používají artézý ytém ouřadic v roviě mapy. Pro model je podle polohy oblati možé zvolit růzá zobrazeí. Pro oblati, teré obahují everí pól, e čato používá treograficá mapa. Pro oblati eobahující everí pól e používají uželová ebo válcová oformí zobrazeí. Pro oblati rovíové je to válcové zobrazeí - Mercatorova mapa a pro otatí oblati (zejméa oblati ve tředích šířách) je ejvhodější uželové zobrazeí - Lambertova oformí mapa. Všechy tyto mapy jou oformí a ezrelují tedy úhly. Uážeme i taé, že tereograficou a Mercatorovu mapu můžeme považovat za mezí případy Lambertovy oformí mapy. To je umožěo tím, že Lambertovo oformí zobrazeí závií a jedom parametru, terý můžeme podle potřeby měit. V úvodí čáti ezámíme čteáře ěterými pojmy a pozaty z difereciálí geometrie, teré jou třeba dotatečě přeému pochopeí artograficých zobrazeí a jejich vlatotí. Na jejich záladě bude dále řeše i problém optimálí volby artograficého zobrazeí pro loálí předpovědí model, zejméa pro model a Lambertově mapě, jao je apřílad model ALADIN.. Záladí pojmy a vztahy Geoid a referečí plochy Předmětem artografie je zobrazováí povrchu Země. Teto povrch eí přeě geometricy defiovaou plochou, ýbrž je epravidelý áledem půobeí il a hmotu země, terá avíc emá homogeí hutotu. Nejvýzamější z těchto il je íla gravitace a odtředivá íla vziající rotací země olem vé oy. Výledicí těchto il je pa íla zemé tíže, terá je olmá povrchu země je tedy ve měru ormály povrchu země. Plochu ulové výšy ad hladiou moře tvoří plocha, terá je určea hladiou moře ve vybraém mítě a je v aždém bodě olmá e měru zemé tíže. Tato plocha e azývá geoid. Tuto plochu můžeme taé považovat za plochu tejého geopoteciálu. Geoid e edá doti dobře

26 6 geometricy charaterizovat, proto pro geodeticé výpočty eí vhodý. Dá e vša velou přeotí ahradit rotačím elipoidem, vzilým rotací elipy podél vilé ratší oy, terá plývá oou země. Teto rotačí elipoid má ovšem malé zploštěí a lze jej určitou přeotí ahradit ulovou plochou, což vyhovuje pro mapy malého měříta zobrazující velou oblat a zemi a tedy taé pro účely meteorologie. Referečí elipoid je rotačí těleo vzilé rotací elipy podle malé oy. Referečí elipoid je plě určeý co do tvaru i velioti dvěma údaji délou velé a malé polooy a,b meridiálí elipy. Teto elipoid je charaterizová taé ještě dvěma otatami výtředotí e a zploštěím, teré jou defiováy vztahy: a b / a, a b a e / (..) Teto elipoid eí vša jediý, eboť e jeho parametry čaem měily (upřeňovaly). Parametry referečího elipoidu můžeme de charaterizovat přibližě těmito hodotami: a = m, b = m, odtud je e.67, / 98. (..) Referečí oule Matematicá artografie formuluje a tuduje válcová a uželová zobrazeí pro referečí elipoid. Válec a užel muí být ovšem v ta zvaé záladí poloze, to zameá, že oa užele a válce muí být zároveň rotačí oou elipoidu. Taové zobrazeí je přeější, ež zobrazeí ulové plochy. Má vša určité evýhody. Je ložitější a platí pouze pro užel a válec v záladí poloze. V meteorologii e yí používají čato ta zvaé rotovaé ouřadice. V tomto případě zeměpié ouřadice otočíme ta, ja potřebujeme. Oa zemé féry pa prochází ice tředem Země, ale je obecě jiá ež oa zemé rotace. Pro účely meteorologie e proto používá výhradě referečí oule. Tato oule má přibližě tejý povrch i objem jao referečí elipoid. Poloměr zemé féry zaorouhleý a celé m je a = 6 37 m. V modelu ALADIN je použita pro poloměr zemé féry hodota a = m. Pro účely meteorologie je rozdíl mezi těmito hodotami epodtatý. Přechod z referečího elipoidu a referečí ouli e v geodézii provádí ta, že e elipoid apřed vhodou metodou zobrazí a ouli a z této e pa převádějí geometricé prvy do roviy, tedy a mapu. Chyba vziá tím, že ačoliv e ulová plocha elipoidu země velmi blíží, má otatí řivot, dežto elipoid proměou řivot, terá e měí e zeměpiou šířou. To způobuje určité rozdíly v délách a elipoidu a a ouli mezi body e tejými zeměpiými ouřadicemi. Referečí rovia, dy povrch země ahradíme roviou, můžeme použít pouze pro zobrazeí malé čáti povrchu země, pro artograficé pláy v oblati o průměru ai m. Zeměpié ouřadice a geograficá íť. Polohu bodu P a povrchu země udáváme ejčatěji zeměpiými ouřadicemi, šířou a délou. Zeměpiá šířa je defiováa (obecě pro referečí ouli, rotačí elipoid i geoid) jaožto úhel, terý vírá ormála plochy v bodě P roviou zemého rovíu. Budeme ji ozačovat pímeem. Proložíme-li oou rotace země vaze rovi a jedu z ich zvolíme za záladí ulovou, vírají tyto roviy e záladí roviou úhel, terý azýváme zeměpiou délou a ozačujeme. Geometricým mítem bodů otatí zeměpié šířy

7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY

7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY 7 VYUŽITÍ METOD OERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DORAVY Operačí aalýza jao jeda z oblatí apliovaé matematiy achází vé široé uplatěí v průmylových a eoomicých apliacích. Jedím z oborů, ve teré hraje ezatupitelou

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

stavební obzor 1 2/2014 11

stavební obzor 1 2/2014 11 tavebí obzor /04 Exploratorí aalýza výběrového ouboru dat pevoti drátobetou v tlau Ig. Daiel PIESZKA Ig. Iva KOLOŠ, Ph.D. doc. Ig. Karel KUBEČKA, Ph.D. VŠB-TU Otrava Faulta tavebí Věrohodé vyhodoceí experimetálích

Více

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

1.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál

1.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál Mateatia II. NEURČITÝ INTEGRÁL.. Priitiví fuce a eurčitý itegrál Defiice... Říáe, že fuce F( ) je v itervalu ( ab, ) priitiví fucí fuci f ( ), platí-li pro všecha ( ab, ) vztah F = f. Defiice... Možia

Více

2 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných

2 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných - 6 - Difereciálí počet fucí více proměých Difereciálí počet fucí více reálých proměých 1 Spoitost, limity a parciálí derivace Fuce více reálých proměých Defiice Pod reálou fucí reálých proměých rozumíme

Více

3. cvičení 4ST201 - řešení

3. cvičení 4ST201 - řešení cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1. Přirozená topologie v R n

1. Přirozená topologie v R n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

Téma 1: Pravděpodobnost

Téma 1: Pravděpodobnost ravděpodobot Téma : ravděpodobot ředáša - ravděpodobot áhodého evu Náhodý pou a áhodý ev Náhodý pou - aždá čot, eíž výlede eí edozačě urče podmíam, za terých probíhá apř hod otou, měřeí dély, běh a 00

Více

3. cvičení 4ST201. Míry variability

3. cvičení 4ST201. Míry variability cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry varablty

Více

ZÁKLADY POPISNÉ STATISTIKY

ZÁKLADY POPISNÉ STATISTIKY ZÁKLADY POPISNÉ STATISTIKY Statitia věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatiticých údaů. Statiticé údae ou apř. údae o přirozeém přírůtu či migraci obyvateltva, obemu výroby průmylových podiů,

Více

S k l á d á n í s i l

S k l á d á n í s i l S l á d á í s i l Ú o l : Všetřovat rovováhu tří sil, působících a tuhé těleso v jedom bodě. P o t ř e b : Viz sezam v desách u úloh a pracovím stole. Obecá část: Při sládáí soustav ěolia sil působících

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

10 - Přímá vazba, Feedforward

10 - Přímá vazba, Feedforward 0 - Přímá vazba, Feedforward Michael Šebek Automatické řízeí 03 4--3 Motivace (FF podle Atroma) Automatické řízeí - Kberetika a robotika Už máme avržeu zpětovazebí čát Chceme zajitit přeo referece rový

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Modelování jednostupňové extrakce. Grygar Vojtěch

Modelování jednostupňové extrakce. Grygar Vojtěch Modelováí jedostupňové extrakce Grygar Vojtěch Soutěží práce 009 UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 009 OBSAH ÚVOD...3 1 MODELOVÁNÍ PRACÍCH PROCESŮ...4 1.1 TERMODYNAMIKA PRACÍHO PROCESU...4 1.

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 8 9-6-8 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeou a póly ytému Póly přeou jou kořey jmeovatele pro g () = b () a () jou to komplexí číla

Více

Statistické charakteristiky (míry)

Statistické charakteristiky (míry) Stattcé charaterty (míry) - hrují formac, obažeou v datech (vyjadřují j v ocetrovaé formě); - charaterzují záladí ryy zoumaého ouboru dat; - umožňují porováváí více ouborů. upy tattcých charatert :. charaterty

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

Prostředky automatického řízení

Prostředky automatického řízení VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ Protředky automatického řízeí Měřící a řídící řetězec Vypracoval: Petr Oadík Akademický rok: 006/007 Semetr: letí Zadáí Navrhěte měřicí

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Charakteristiky úrovně

Charakteristiky úrovně Charaterty úrově Měřeí úrově Úroveň (poloha) je jedou ze záladích vlatotí tattcých dat, v úrov e mohou tattcá data lšt ebo aopa hodovat. Výzačé hodoty varačí řady ejou ctlvé a změu jedotlvých hodot Medá

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Soustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru.

Soustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru. Soutava mometů Momety (Obecé, cetrálí a ormovaé) Do ytému mometových charatert patří ty ejdůležtější artmetcý průměr (mometová míra úrově) a rozptyl (mometová úroveň varablty). Obecý momet -tého tupě:

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZIT PLCKÉHO V OLOMOUCI PŘÍROOVĚECKÁ FKULT KTER LGEBRY GEOMETRIE OSVĚTLENÍ VE STŘEOVÉM PROMÍTÁNÍ LINEÁRNÍ PERSPEKTIVĚ Bakalářká práce Vedoucí práce: RNr. Leka Juklová, Ph.. Rok odevdáí 202 Vypracovala:

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

23. Mechanické vlnění

23. Mechanické vlnění 3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Zpracování a prezentace výsledků měření (KFY/ZPM)

Zpracování a prezentace výsledků měření (KFY/ZPM) Jihočká uivrzita Pdagogická fakulta katdra fyziky Zpracováí a prztac výldků měří (KFY/ZPM) tručý učbí tt Pavl Kříž Čké Budějovic 005 Úvod Přdmět Zpracováí a prztac výldků měří (ZPM) volě avazuj a přdmět

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

TOKY V GRAFU MAXIMÁLNÍ TOK SÍTÍ, MINIMALIZACE NÁKLADŮ SPOJENÝCH S DANOU HODNOTOU TOKU, FIXNÍ NÁKLADY, PŘEPRAVNÍ (TRANSHIPMENT) PROBLÉM.

TOKY V GRAFU MAXIMÁLNÍ TOK SÍTÍ, MINIMALIZACE NÁKLADŮ SPOJENÝCH S DANOU HODNOTOU TOKU, FIXNÍ NÁKLADY, PŘEPRAVNÍ (TRANSHIPMENT) PROBLÉM. TOKY V GRAFU MAXIMÁLNÍ TOK SÍTÍ, MINIMALIZACE NÁKLADŮ SPOJENÝCH S DANOU HODNOTOU TOKU, FIXNÍ NÁKLADY, PŘEPRAVNÍ (TRANSHIPMENT) PROBLÉM. Graf je útvar, terý je možo zázorit obrázem v roviě pomocí bodů (uzly

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1 3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost

8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost 7 Vzoce po geometicou poloupot Předpoldy: 0, 0 Př : Po geometicou poloupot pltí ; q Uči čle, iž by učovl Mohli bychom pomocí vzoce po -tý čle učit čle p pomocí tejého vzoce učit i Teto potup je ložitější

Více

3.4.7 Můžeme ušetřit práci?

3.4.7 Můžeme ušetřit práci? 3.4.7 Můžeme ušetřit práci? Předpolady: 030404 Pomůcy: Pedaoicá pozáma: Hodia je oraizováa jao supiová práce. Třída je rozdělea a čtyřčleé supiy, aždý ze čleů má jedu možost ozultovat se mou ebo mě předat

Více

STUDIJNÍ TEXT PRO ZVÍDAVÉ

STUDIJNÍ TEXT PRO ZVÍDAVÉ TF3: STATISTICKÁ FYZIKA STUDIJÍ TEXT PRO ZVÍDAVÉ PETR KULHÁEK PRAHA 5 FEL ČVUT PŘEDMLUVA Chceme-li popisovat chováí velého souboru moha stejých systémů (lasicým příladem je ply složeý z moha stejých moleul),

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

5 Křivkové a plošné integrály

5 Křivkové a plošné integrály - 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU

ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU A.Mikš, J.Novák, P. Novák katedra fyziky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze Abstrakt Práce se zabývá aalýzou vlivu velikosti umerické

Více

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components

GRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

optipoint 150 S Zkrácený návod k použití

optipoint 150 S Zkrácený návod k použití optipoit 150 S Zkráceý ávod k použití optipoit 150 S Ovládací prvky 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Motáž a připojeí 15 16 17 18 19 20 Pohled zleva 2 Pohled zdola Možoti ovládáí a připojeí Vašeho telefou?

Více

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba

Příklady k přednášce 9 - Zpětná vazba Příklady k předášce 9 - Zpětá vazba Michael Šebek Automatické řízeí 205 6--5 Příklad: Přibližá iverze tak průřezu s výškou hladiy y(t), přítokem u(t) a odtokem dy() t dt + 2 yt () = ut () Cíl řízeí: sledovat

Více

Téma 5: Analýza závislostí

Téma 5: Analýza závislostí Aalýza závlotí Téma 5: Aalýza závlotí Předáša 5 Závlot mez ev Záladí pom Předmětem této aptol ude zoumáí závlotí ouvlotí mez dvěma a více ev. Jedá e o proutí do vztahů mez ledovaým ev a tím přlížeí tzv.

Více

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost

Posloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

Vztahy mezi základním souborem a výběry. Základní pojmy a symboly. K čemu to je dobré? Výběrové metody zkoumání

Vztahy mezi základním souborem a výběry. Základní pojmy a symboly. K čemu to je dobré? Výběrové metody zkoumání K čemu to je dobé? Obvyklým případem při zpacováí homadých jevů je, že máme poměě malý počet pozoováí ějaké veličiy a chceme učiit závěy o tom, co bychom obdželi, kdybychom měli pozoováí mohokát více.

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem restart. To oceníme při opakovaném použití dokumentu. SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR Úloha 3 - Fiacováí stavebích úprav Rozhodli jsme se pro stavebí úpravy v bytě. Po zhotoveí rozpočt a tyto úpravy jsme zjistili, že ám chybí ještě 30 000,-Kč. Máme možost si tto část

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Obr. DI-1. K principu reverzibility (obrácení chodu paprsků).

Obr. DI-1. K principu reverzibility (obrácení chodu paprsků). Učebí text k předášce UFY8 Dvojvzková tererece teké vrtvě Dvojvzková tererece teké vrtvě Předpokládejme, vl o mpltudě dvou delektrk tk, že mpltud održeé vly bude o dexu lomu bude t (vz obr. DI-1). v protředí

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

(způsobený emisí nových peněz). To znamená, že stát na aukci přichází s

(způsobený emisí nových peněz). To znamená, že stát na aukci přichází s ažebé ve pojité čae Petr ach, yoá šola eooicá Toáš Hazá, ateatico-fyziálí faulta Uiverzity Karlovy Úvod Jedí ze způobů zíáí veřejého příju je eie ově vytištěých peěz Protože eií peěz edochází tvorbě bohattví,

Více

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit:

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit: .3. Klasifikace podle miimálí vzdáleosti Tato podkapitola je věováa popisu podstaty klasifikace podle miimálí vzdáleosti, jež úzce souvisí s klasifikací pomocí etaloů klasifikačích tříd. Představíme si

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více