Summer Workshop of Applied Mechanics. Závislost míry tuhosti laminátové desky na orientaci vrstev a její maximalizace

Transkript

1 Summer Workshop of Applied Mechanics June 22 Department of Mechanics Facult of Mechanical Engineering Czech Technical Universit in Prague Závislost mír tuhosti laminátové desk na orientaci vrstev a její maimalizace Ing. Tomáš Mareš Ústav mechanik, České vsoké učení technické Strojní fakulta Technická Praha 6 mares@sgi.fsid.cvut.cz Klíčová slova: orientace ortotropních vrstev, laminátová deska, míra tuhosti desk Abstract Optimálním se na různých místech míní různé. V našem případě buď optimální orientací vláken laminátové desk taková orientace vláken jednotlivých vrstev této desk, při níž níže definovaná míra poddajnosti D dosáhne svého minima (příslušná míra tuhosti ted dosáhne svého maima). Míru poddajnosti D definujeme vztahem D = w(, ) q(, ) dd, ω kde ω je průmět desk ležící v rovině do této rovin, w(, ) je průhbová plocha střední vrstv desk a q(, ) je funkce vjadřující příčné zatížení v místě (, ) vztažené na jednotku ploch. Uvažujme laminátovou desku po obvodě prostě podepřenou složenou z 2N ortotropních vrstev, jejíž vrstv o dané tloušťce mají orientaci vláken shodnou s vrstvou ležící v poloze smetrické dle střední rovin. (Takřečená smetrická laminátová deska.) Sousední vrstv jsou vzájemně dokonale spojen hranice mezi sousedními vrstvami je nekonečně tuhá, deformace je napříč hraniční plochou spojitá. Dále uvažujme splnění předpokladů z Kirchhoffov teorie desek a klasický konstitutivní vztah 129

2 Závislost mír tuhosti laminátové desk na orientaci vrstev Obrázek 1: Uvažovaná laminátová deska složená z 2N = 2 3 ortotropních smetrick kladených vrstev laminátové vrstv vjádřený v souřadném sstému položeném do hlavních ortotrotropních směrů 1 výrazem σ11 ν Q 11 Q 12 ε ν σ22 ν 11 = Q 12 Q 22 ε ν σ12 ν 22, 2G 12 ε ν 12 kde (, 2,..., N) udává pořadí vrstv od střední ploch desk. Shora slovně vřčenou optimalizační úlohu lze při vužití tenzorového počtu, vět o minimu poteciální energie, Variačního počtu, vět o Lagrangeových multiplikátorech, kolokační metod a jisté dávk fantazie formalizovat ve tvaru matematické etremální úloh kde kde dále K,L {ê ν, ŵ kl } = arg min Q kl = ω K,L e ν,w kl W k,l=1 q(, ) sin kπ a lπ sin b w kl Q kl, dd, W = {e ν (, 2,..., N), w kl (k = 1, 2,..., K) (l = 1, 2,..., L) N k,l=1 ν=1 1 Srvn. [2] s. 53. ( ζ ν (1 e 2 ν) 2 P kl ij 1 + ζ ν e ν (1 e 2 ν) 3/2 P kl ij 2 + ζ ν e 2 ν(1 e 2 ν)p kl ij 3 + ) +ζ ν e 3 ν(1 e 2 ν) 1/2 P kl ij 4 + ζ ν e 4 νp kl ij 5 w kl = q( i, j )}, ζ 3 (z3 ν z 3 ν 1) 13

3 Závislost mír tuhosti laminátové desk na orientaci vrstev (při čemž význam smbolu z ν je patrný z hořejšího obrázku), i, i (i = 1, 2,..., I), (j = 1, 2,..., J) jsou kolokační bod a Pm kl ij (m = 1, 2,..., 5) jsou známá čísla, jejichž velikost závisí na příslušných zadaných podmínkách. Hledané veličin e ν (, 2,..., N) představují sinovou hodnotu úhlu orientace ν-té vrstv, ted e ν = sin α ν (α ν π, π ) a w 2 2 kl představuje prvních K L koeficientů Fourierov řad příslušné funkci průhbové ploch střední vrstv laminátové desk w(, ) = K,L k,l=1 w kl sin kπ a lπ sin b. Při vužití metod genetických algoritmů a geometrického programování bl ve dvou variantách úloh získán v předkládané práci citované výsledk. 1 Výpočtové závěr Získané výsledk jsou shrnut ve dvou následujících sloupcích, kde výsledk příslušné jednomu zadání leží v levém sloupci a výsledk příslušné druhému zadání ve sloupci pravém. Na obrázku 2 nacházejícím se za tabulkou hodnot zadání je grafick znázorněn průběh příčného spojitého zatížení uvažované desk. V druhém řádku obrázků, ted na obrázku 3 je grafick znázorněna orientace vláken jednotlivých vrstev příslušejících desce vkazující maimální míru tuhosti. V dalších dvou skupinách obrázků (na obrázcích 4 a 5) jsou znázorněn další variant řešení s touže mírou tuhosti, jako je v případě desek s orientací dle obrázku 3. Obrázek 6 pak schematick znázorňuje průběh průhbové ploch střední vrstv příslušné prostě podepřené desk. Obrázek 7 zobrazuje řešení úloh se zadáním jako v druhém případě s tím rozdílem, že tentokrát uvažujeme laminát složený ze 4 vrstev. Zadání prvé Zadání druhé ζ ν = 5 mm 3 (pro všechn vrstv shodná) ζ ν = 5 mm 3 a = 1 mm rozměr desk ve směru os a = 1 mm b = 1 mm rozměr desk ve směru os b = 5 mm I = 11 počet kolokačních bodů ve směru os I = 11 J = 11 počet kolokačních bodů ve směru os J = 11 N = 3 počet dvouvrstev smetrického laminátu N = 3 Materiálové charakteristik Kevlar-Epo kompozitu uvažované pro obě zadání: E 1 = 76 MPa ν 21 = ν 12 E 2 /E 1 E 2 = 55 MPa Q 11 = E 1 /(1 ν 12 ν 21 ) G 12 = 23 MPa Q 22 = E 2 /(1 ν 12 ν 21 ) ν 12 =.34 Q 12 = ν 12 E 2 /(1 ν 12 ν 21 ). 131

4 2 Závěr Závislost mír tuhosti laminátové desk na orientaci vrstev Získané výsledk ukazují, že přes odbourání požadavku vrovnanosti uvažované laminátové desk výsledný návrh s největší mírou tuhosti spadá do tříd vrovnaných laminátů. Tento výsledek autoři považují za významný z toho důvodu, že při běžných návrhových a optimalizačních výpočtech ulehčí zavedení předpokladu vrovnanosti výpočtovou námahu q = [N/mm 2 ] q = [N/mm 2 ] [mm] [mm] [mm] [mm] 8 1 (a) V případě zadání prvého (b) V případě zadání druhého Obrázek 2: Průběh daného příčného spojitého zatížení q(, ) = [N/mm 2 ] = 45 α 2 = 45 α 1 = 45 = 75 α 2 = 75 α 1 = 75 (a) V případě zadání prvého (b) V případě zadání druhého Obrázek 3: Grafické znázornění orientace vláken jednotlivých vrstev 132

5 Závislost mír tuhosti laminátové desk na orientaci vrstev = 45 = 45 α 2 = 45 α 1 = 45 α 2 = 45 α 1 = 45 (a) Druhé možné řešení prvého zadání (b) Třetí možné řešení prvého zadání Obrázek 4: Grafické znázornění orientace vláken jednotlivých vrstev vkazující shodnou míru příčné tuhosti desk z prvého zadání jako řešení z obrázku 2 = 75 α 2 = 75 α 1 = 75 = 75 α 2 = 75 α 1 = 75 (a) Druhé možné řešení prvého zadání (b) Třetí možné řešení prvého zadání Obrázek 5: Grafické znázornění orientace vláken jednotlivých vrstev vkazující shodnou míru příčné tuhosti desk z druhého zadání jako řešení z obrázku 2 Poděkování Tato práce vznikla za podpor grantu GAČR 16/2/

6 Závislost mír tuhosti laminátové desk na orientaci vrstev w(, ) w(, ) [mm] [mm] [mm] [mm] 2 (a) V případě zadání prvého (b) V případě zadání druhého Obrázek 6: Deformovaný tvar průhbové ploch daný funkcí w(, ) α 4 ν = 4 α 4 = 75 = 75 α 2 = 75 α 1 = 75 Obrázek 7: Grafické znázornění orientace vláken jednotlivých vrstev čtřvrstvého laminátu s dalším zadáním dle zadání druhého Literatura [1] Aleejev, V. M., Tichomirov, V. M., Fomin, S. V.: Matematická teorie optimálních procesů. Praha, Academia [2] Gürdal, Z., Haftka, R. T., Hajela, P.: Design and Optimization of Laminated Composite Materials. New York, John Wile & Sons [3] Goldberg, D. E.: Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning. Addison-Wesle Publ. Co [4] Rektors. K.: Přehled užité matematik, I. a II. díl. Praha, Prometheus [5] Vitásek, E.: Numerické metod. Praha, SNTL

7 Závislost mír tuhosti laminátové desk na orientaci vrstev [6] Washizu, K.: Variational Methods in Elasticit nad Plasticit. 2nd ed. Oford, Pergamon Press (Ruský překlad: Variacionnje metod v teorii uprugosti i plastičnosti. Moskva, Mir 1987.) [7] Wilde, D. J.: Globall Optimal Design. New York, John Wile & Sons