Statistika (KMI/PSTAT)
|
|
- Miroslava Vaňková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13
2 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost a umět jej vysvětlit na konkétních příkladech, rozumět pojmu rozklad prostoru elementárních jevů a umět jej vysvětlit na konkétních příkladech, rozumět pojmu úplná soustava náhodných jevů a umět jej vysvětlit na konkétních příkladech, rozumět vzorci pro výpočet průniku pravděpodobnosti v obecném případě (tj. založeném na podmíněné pravděpodobnosti) a umět jej použít v odpovídajících situacích, rozumět vzorci pro úplnou pravděpodobnost náhodného jevu a umět jej použít v odpovídajících situacích, rozumět tzv. Bayesově vzorci a umět jej použít v odpovídajících situacích. Statistika (KMI/PSTAT) 2 / 13
3 Podmíněná pravděpodobnost Náhodný pokus, který sledujeme, může být dodatečně omezen nějakou podmínkou, resp. může se stát, že v průběhu realizace náhodného pokusu získáme nějaké informace, které ovlivňují povědomí o výsledcích náhodného pokusu. Pro popis takové situace je vhodný pojem podmíněné pravděpodobnosti. Nejčastěji lze uchopit pojem podmíněné pravděpodobnosti tak, že při náhodném pokusu uvažujeme dva jevy - A a B - a zjišt ujeme, jaká je pravděpodobnost jevu A, jesliže víme, že nastal jev B a naopak. Mluvíme pak o podmíněné pravděpodobnosti jevu A za podmínky, že nastal jev B. Tuto situaci značíme symbolem P (A B). Ilustrační příklad I Náhodný pokus spočívá v hodu kostkou. Jev A nastane tehdy, padne-li číslo větší než 3. Jev B nastane tehdy, padne-li sudé číslo. Jaká je pravděpodobnost jevu A, víme-li, že nastal jev B, tedy víme-li, že padlo sudé číslo? Ilustrační příklad II Náhodný pokus spočívá konání koňského dostihu. Jev A nastane tehdy, zvítězí-li kůň se startovním číslem 1. Jev B nastane tehdy, zvítězí-li kůň se startovním číslem 2. Pravděpodobnosti jsou P (A) = 0.2, P (B) = 0.1. Během závodu kůň s číslem 1 klopýtnul na překážce a ze závodu odstoupil. Jaká je nyní pravděpodobnost jevu B? Statistika (KMI/PSTAT) 3 / 13
4 Podmíněná pravděpodobnost Počítáme-li nepodmíněnou pravděpodobnost jevu A, potom se jedná o relativní velikost jevu A vůči celému Ω. V případě P (A B) zjišt ujeme relativní velikost jevu A B vůči jevu B. Podmíněná pravděpodobnost jevu A za podmínky B Pravděpodobností náhodného jevu A za podmínky, že nastal jev B (pro nějž platí P (B) 0), budeme nazývat číslo P (A B) P (A B) =. P (B) Statistika (KMI/PSTAT) 4 / 13
5 Podmíněná pravděpodobnost Ilustrační příklad III Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru jedné osoby. Jev A nastane tehdy, je-li touto osobou muž, je P (A) = 0, 5. Jev B nastane tehdy, má-li vybraná osoba řidičské oprávnění, je P (B) = 0, 75. Předpokládejme, že mezi muži i ženami je stejné procento osob s řidičským oprávněním (tj. předpokládáme nezávislost držení řidičského oprávnění na pohlaví). Je tedy: A... výběr muže, A... výběr ženy, B... výběr osoby s řidičským oprávněním, B... výběr osoby bez řidičského oprávnění. Vypočítejte a interpretujte hodnoty P (A B), P (A B). Statistika (KMI/PSTAT) 5 / 13
6 Podmíněná pravděpodobnost Ilustrační příklad IV Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru jedné osoby. Jev A opět nastane tehdy, je-li touto osobou muž. Jev B opět nastane tehdy, má-li vybraná osoba řidičské oprávnění. Navíc nyní platí: P (A) = 0.60, P (B A) = 0.80, P (B A) = Interpretujte hodnoty P (B A) a P (B A) a vypočítejte a interpretujte hodnoty: P (A B), P (B). Vzorec pro úplnou pravděpodobnost I Mějme jev A a jev k němu opačný A. Pak pro libovolný náhodný jev B platí P (B) = P (A) P (B A) + P (A) P (B A). Statistika (KMI/PSTAT) 6 / 13
7 Podmíněná pravděpodobnost Ilustrační příklad IV Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru jedné osoby. Jev A opět nastane tehdy, je-li touto osobou muž. Jev B opět nastane tehdy, má-li vybraná osoba řidičské oprávnění. Navíc nyní platí: P (A) = 0.60, P (B A) = 0.80, P (B A) = Interpretujte hodnoty P (B A) a P (B A) a vypočítejte a interpretujte hodnoty: P (A B), P (B). Vzorec pro úplnou pravděpodobnost I Mějme jev A a jev k němu opačný A. Pak pro libovolný náhodný jev B platí P (B) = P (A) P (B A) + P (A) P (B A). Statistika (KMI/PSTAT) 6 / 13
8 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Úplná soustava náhodných jevů - příklad V Uvažujme populaci v ČR. Tuto populaci můžeme rozdělit dle nejvyššího dosaženého vzdělání do čtyř skupin: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou jev A 4 - výběr osoby s VŠ Všimněte si, že každý občan patří právě do jedné skupiny (nemůže se najednou nacházet ve dvou skupinách) - každé dva různé jevy jsou navzájem neslučitelné. Sloučení všech skupin dává dohromady celou populaci ČR - sjednocení jevů dává Ω. Úplná soustava náhodných jevů Náhodné jevy A 1, A 2, A 3,...,A n budeme nazývat úplnou soustavou náhodných jevů právě tehdy, tvoří-li rozklad prostoru elementárních jevů, tj. pro všechna i j platí A i A j = a současně je A 1 A 2... A n = Ω. Statistika (KMI/PSTAT) 7 / 13
9 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Úplná soustava náhodných jevů - příklad V Uvažujme populaci v ČR. Tuto populaci můžeme rozdělit dle nejvyššího dosaženého vzdělání do čtyř skupin: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou jev A 4 - výběr osoby s VŠ Všimněte si, že každý občan patří právě do jedné skupiny (nemůže se najednou nacházet ve dvou skupinách) - každé dva různé jevy jsou navzájem neslučitelné. Sloučení všech skupin dává dohromady celou populaci ČR - sjednocení jevů dává Ω. Úplná soustava náhodných jevů Náhodné jevy A 1, A 2, A 3,...,A n budeme nazývat úplnou soustavou náhodných jevů právě tehdy, tvoří-li rozklad prostoru elementárních jevů, tj. pro všechna i j platí A i A j = a současně je A 1 A 2... A n = Ω. Statistika (KMI/PSTAT) 7 / 13
10 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Úplná soustava náhodných jevů - příklad VI Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 Statistika (KMI/PSTAT) 8 / 13
11 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Úplná soustava náhodných jevů - příklad VI Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 P (N A 1 ) = 0.11, P (N A 2 ) = 0.09, P (N A 3 ) = 0.06, P (N A 4 ) = 0.03 Statistika (KMI/PSTAT) 8 / 13
12 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Úplná soustava náhodných jevů - příklad VI Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 P (N A 1 ) = 0.11, P (N A 2 ) = 0.09, P (N A 3 ) = 0.06, P (N A 4 ) = 0.03 Vypočtěte P (N). Statistika (KMI/PSTAT) 8 / 13
13 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Úplná soustava náhodných jevů - příklad VI Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 P (N A 1 ) = 0.11, P (N A 2 ) = 0.09, P (N A 3 ) = 0.06, P (N A 4 ) = 0.03 Vypočtěte P (N). Vzorec pro úplnou pravděpodobnost II Necht A 1, A 2, A 3,...,A n je úplná soustava náhodných jevů, necht pro všechna i = 1, 2,..., n platí, že P (A i ) 0. Pak pro libovolný náhodný jev B platí P (B) = n P (A i ) P (B A i ) = P (A 1 ) P (B A 1 ) + P (A 2 ) P (B A 2 ) P (A n) P (B A n). i=1 Statistika (KMI/PSTAT) 8 / 13
14 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Úplná soustava náhodných jevů - příklad VI Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 P (N A 1 ) = 0.11, P (N A 2 ) = 0.09, P (N A 3 ) = 0.06, P (N A 4 ) = 0.03 Vypočtěte P (N). Vzorec pro úplnou pravděpodobnost II Necht A 1, A 2, A 3,...,A n je úplná soustava náhodných jevů, necht pro všechna i = 1, 2,..., n platí, že P (A i ) 0. Pak pro libovolný náhodný jev B platí P (B) = n P (A i ) P (B A i ) = P (A 1 ) P (B A 1 ) + P (A 2 ) P (B A 2 ) P (A n) P (B A n). i=1 Statistika (KMI/PSTAT) 8 / 13
15 Bayesův vzorec Bayesův vzorec - příklad VII Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru jedné osoby. Jev A nastane tehdy, je-li touto osobou muž. Jev B nastane tehdy, má-li vybraná osoba řidičské oprávnění. Opět platí: P (A) = 0.60, P (B A) = 0.80, P (B A) = Vypočítejte a interpretujte hodnotu P (A B). Bayesův vzorec I Mějme jev A a jev k němu opačný A. Pak pro libovolný náhodný jev B (takový, že P (B) 0) platí vzorec: P (A) P (B A) P (A B) = P (A) P (B A) + P (A) P (B A). Statistika (KMI/PSTAT) 9 / 13
16 Bayesův vzorec Bayesův vzorec - příklad VII Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru jedné osoby. Jev A nastane tehdy, je-li touto osobou muž. Jev B nastane tehdy, má-li vybraná osoba řidičské oprávnění. Opět platí: P (A) = 0.60, P (B A) = 0.80, P (B A) = Vypočítejte a interpretujte hodnotu P (A B). Bayesův vzorec I Mějme jev A a jev k němu opačný A. Pak pro libovolný náhodný jev B (takový, že P (B) 0) platí vzorec: P (A) P (B A) P (A B) = P (A) P (B A) + P (A) P (B A). Statistika (KMI/PSTAT) 9 / 13
17 Bayesův vzorec - příklad VIII Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 Statistika (KMI/PSTAT) 10 / 13
18 Bayesův vzorec - příklad VIII Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 P (N A 1 ) = 0.11, P (N A 2 ) = 0.09, P (N A 3 ) = 0.06, P (N A 4 ) = 0.03 Statistika (KMI/PSTAT) 10 / 13
19 Bayesův vzorec - příklad VIII Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 P (N A 1 ) = 0.11, P (N A 2 ) = 0.09, P (N A 3 ) = 0.06, P (N A 4 ) = 0.03 Vypočtěte P (A 1 N). Statistika (KMI/PSTAT) 10 / 13
20 Bayesův vzorec - příklad VIII Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 P (N A 1 ) = 0.11, P (N A 2 ) = 0.09, P (N A 3 ) = 0.06, P (N A 4 ) = 0.03 Vypočtěte P (A 1 N). Bayesův vzorec II Necht A 1, A 2, A 3,...,A n je úplná soustava náhodných jevů, necht pro všechna j = 1, 2,..., n platí, že P (A j ) 0, necht pro náhodný jev B platí P (B) 0. Pak pro každé j = 1, 2,..., n platí P (A j B) = P (A j ) P (B A j ) n ( P (Ai ) P (B A i ) ) = P (A j ) P (B A j ) P (A 1 ) P (B A 1 ) P (A n) P (B A. n) i=1 Statistika (KMI/PSTAT) 10 / 13
21 Bayesův vzorec - příklad VIII Náhodný pokus spočívá v náhodném výběru osoby v ČR. Náhodný jev N nastane, je-li vybraná osoba nezaměstnaná. Dále mohou nastat tyto jevy: jev A 1 - výběr osoby s nejvýše ZŠ, jev A 2 - výběr osoby s SŠ bez maturity, jev A 3 - výběr osoby s SŠ s maturitou, jev A 4 - výběr osoby s VŠ. Platí: P (A 1 ) = 0.15, P (A 2 ) = 0.35, P (A 3 ) = 0.33, P (A 4 ) = 0.17 P (N A 1 ) = 0.11, P (N A 2 ) = 0.09, P (N A 3 ) = 0.06, P (N A 4 ) = 0.03 Vypočtěte P (A 1 N). Bayesův vzorec II Necht A 1, A 2, A 3,...,A n je úplná soustava náhodných jevů, necht pro všechna j = 1, 2,..., n platí, že P (A j ) 0, necht pro náhodný jev B platí P (B) 0. Pak pro každé j = 1, 2,..., n platí P (A j B) = P (A j ) P (B A j ) n ( P (Ai ) P (B A i ) ) = P (A j ) P (B A j ) P (A 1 ) P (B A 1 ) P (A n) P (B A. n) i=1 Statistika (KMI/PSTAT) 10 / 13
22 Podmíněná pravděpodobnost Příklad X Podstoupíte laboratorní vyšetření na přítomnost choroby, která se v populaci vyskytuje u 1 jedince z 1000 (tzv. prevalence nemoci). Pokud se u vyšetřovaného jedince nemoc vyskytuje, vyšetření ji ze vzorku 100% rozpozná. Necht má ale toto vyšetření zároveň 5% falešnou pozitivitu (tj. 5% zdravých jedinců bude mít pozitivní test na danou nemoc). Váš test vyšel pozitivní - s jakou pravděpodobností danou nemocí skutečně trpíte? Příklad XI Příklad obsahuje stejné zadání jako v předchozí úloze, nyní je však prevalence nemoci rovna 0.1, tj. nemoc se v populaci vyskytuje u jednoho jedince z 10. S jakou pravděpodobností danou nemocí trpíte, vyšel-li Vám pozitivní test na uvedenou chorobu? Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 13
23 Podmíněná pravděpodobnost Příklad X Podstoupíte laboratorní vyšetření na přítomnost choroby, která se v populaci vyskytuje u 1 jedince z 1000 (tzv. prevalence nemoci). Pokud se u vyšetřovaného jedince nemoc vyskytuje, vyšetření ji ze vzorku 100% rozpozná. Necht má ale toto vyšetření zároveň 5% falešnou pozitivitu (tj. 5% zdravých jedinců bude mít pozitivní test na danou nemoc). Váš test vyšel pozitivní - s jakou pravděpodobností danou nemocí skutečně trpíte? Příklad XI Příklad obsahuje stejné zadání jako v předchozí úloze, nyní je však prevalence nemoci rovna 0.1, tj. nemoc se v populaci vyskytuje u jednoho jedince z 10. S jakou pravděpodobností danou nemocí trpíte, vyšel-li Vám pozitivní test na uvedenou chorobu? Statistika (KMI/PSTAT) 11 / 13
24 Úlohy k samostatné práci Příklad XII Dva stroje vyrábějí tentýž výrobek, první stroj vyrábí 60 % produkce a druhý stroj vyrábí 40 % produkce. Pravděpodobnost vyrobení zmetku u obou strojů je po řadě 5 % a 3 %. Jaká je pravděpodobnost toho, že náhodně vybraný výrobek z produkce je zmetek? Příklad XIII Uvažujme stejné zadání jako v předchozím příkladě. Náhodně vybraný výrobek je zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že byl vyroben na prvním stroji, resp. druhém stroji? Příklad XIV Velkoobchod odebírá počítače od dvou dodavatelů. První dodavatel pokrývá odběr velkoobchodu z 80 %, přičemž 75 % dodávky tvoří počítače osazené procesorem Intel. Druhý dodavatel pokrývá odběr velkoobchodu ze zbývajících 20 %, přičemž 60 % dodávky tvoří počítače osazené procesorem Intel. Pokud by si zákazník vybral počítač zcela náhodně, jaká je pravděpodobnost, že tento počítač bude osazen procesorem Intel? Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný počítač s procesorem Intel pochází od prvního, resp. druhého dodavatele? Statistika (KMI/PSTAT) 12 / 13
25 Úlohy k samostatné práci Příklad XV Předpokládejme, že mezi profesionálními sportovci dopuje 0, 1% z nich (???). Dále předpokládejme, že antidopingoví komisaři zjišt ují případné používání dopingu testem s následujícími vlastnostmi. Pokud testovaný sportovec dopuje, test jej v 99% případů označí jako dopujícího. Pokud testovaný sportovec nedopuje, test jej v 95% případů označí za nedopujícího. Pokud sportovci vyšel pozitivní test na doping, jaká je pravděpodobnost, že skutečně dopuje? Příklad XVI Uvažujme stejné zadání jako v předchozím příkladě. Předpokládejme, že všichni sportovci, kteří měli pozitivní test, jsou podruhé podrobeni téže antidopingové kontrole, tj. stejnému testu. Jaká je nyní pravděpodobnost, že sportovec, který měl oba testy pozitivní, skutečně dopuje? Příklad XVII V osudí je 5 černých a 15 bílých kouĺı. Z osudí se vytáhne jedna koule, vrátí se zpět, přidá se 20 kouĺı stejné barvy, jakou měla vytažená koule a tah se opakuje. Jaká je pravděpodobnost, že druhá vytažená koule bude černá? Statistika (KMI/PSTAT) 13 / 13
(bridžové karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] = 7, = 4, = 1, = 9, = 1, 77 10
2. cvičení - STATISTIKA Náhodný jev, Pravděpodobnost jevu, Podmíněná pravděpodbnost, Úplná pravděpodobnost, Bayesova věta 1. V cele předběžného zadržení sedí vedle sebe 10 podezřelých, z toho 3 ženy. Jaká
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 3 Pravděpodobnost jevů Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola báňská Technická
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceStatistika I (KMI/PSTAT)
Statistika I (KMI/PSTAT) Cvičení druhé aneb Kvantily, distribuční funkce Statistika I (KMI/PSTAT) 1 / 1 Co se dnes naučíme Po absolvování této hodiny byste měli být schopni: rozumět pojmu modus (modální
VícePRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
VíceJevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
VíceMotivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec
Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceÚvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
VíceMotivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
VícePravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
Vícepravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
VíceJevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
VíceS1P Příklady 01. Náhodné jevy
S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
VíceŠkola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN
Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940
VícePřednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
VíceNáhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy.
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
VíceObsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VícePřednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesůvvzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
VíceInformační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení dvanácté aneb Regrese a korelace Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 18 V souboru 25 jedinců jsme měřili jejich výšku a hmotnost. Výsledky jsou v tabulce a grafu. Statistika (KMI/PSTAT)
VíceMotivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.
Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VícePravděpodobnost (pracovní verze)
Pravděpodobnost (pracovní verze) 1. Definice pojmů Jednoduchý/náhodný pokus (simple experiment) Akt vedoucí k jednomu výsledku - např. hod kostkou, zatočení ruletou, vytažení karty z balíčku, výběr osoby
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceAproximace binomického rozdělení normálním
Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné
Více( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204
9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými
VícePodmíněná pravděpodobnost
odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní
Více5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
Více{ 3;4;5;6 } pravděpodobnost je zřejmě 4 = 2.
9..3 Pravděpodobnosti jevů I Předpoklady: 90 Opět se vrátíme k hodu kostkou. Pokus má šest stejně pravděpodobných náhodných výsledků pravděpodobnost každého z nich je 6. Do domečku nám chybí tři políčka.
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VícePRAVDĚPODOBNOST JE. Martina Litschmannová
RAVDĚODOBNOST JE Martina Litschmannová Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Teorie pravděpodobnosti je matematická disciplína popisující zákonitosti týkající se náhodných jevů, tj. používá se k modelování
VícePodmíněná pravděpodobnost, spolehlivost soustav
S1 odmíněná pravděpodobnost, spolehlvost soustav odmíněná pravděpodobnost, spolehlvost soustav Lbor Žák odmíněná pravděpodobnost Nechť,, 0, podmíněná pravděpodobnost evu vzhledem k evu : S akou pravděpodobností
Více( ) ( ) Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209
9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů b) dá alespoň jeden koš c) dá nejdříve
VícePodmíněná pravděpodobnost, nezávislost
Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost Úloha 1: Do třídy 1.A chodí 10 chlapců a 20 dívek, z toho jsou 3 chlapci se jménem Jakub a 2 dívky se jménem Katka. Martina tvrdí, že ráno potkala někoho ze třídy
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
Více2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).
1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též
Více5. Jev B je částí jebu A. Co můžeme říct o podmíněné pravděpodobnosti? (1b)
TEST 3 1. U pacienta je podozření na jednu ze čtyř, navzájem se vylučujících nemocí. Pravděpodobnost výskytu těchto nemocí je 0,1, 0,2, 0,4 a 0,3. Laboratorní zkouška je v případě první nemoci pozitivní
VíceCvičení ze statistiky - 4. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 4 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme deskriptivní statistiku Tyhle termíny by měly být známé: Korelace Regrese Garbage in, Garbage out Vícenásobná regrese Pravděpodobnost
Vícenáhodný jev je podmnožinou
Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
Více4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY
4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být
Více(motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt)
Popisná státistiká (motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt) 1. Příklad V pobočce banky za celý den
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST
Více( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209
9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve
Vícecv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost
3 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv3tex n i=1 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Systém náhodných jevů nazýváme úplným, jestliže pro něj platí: B i = 1 a pro i k je B i B k = 0 Jestliže je (Ω, A, P
VíceCvičná bakalářská zkouška, 1. varianta
jméno: studijní obor: PřF BIMAT počet listů(včetně tohoto): 1 2 3 4 5 celkem Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta 1. Matematická analýza Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=e 4(x y) x2 y 2. 2. Lineární
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),
VíceŘešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
VíceŠkola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM
Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: Název projektu školy: Šablona III/2: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Výuka s ICT na SŠ obchodní České
VíceZÁKLADY STATISTICKÉHO ZPRACOVÁNÍ ÚDAJŮ 5. hodina , zapsala Veronika Vinklátová Revize zápisu Martin Holub,
ZÁKLADY STATISTICKÉHO ZPRACOVÁNÍ ÚDAJŮ 5. hodina - 22. 3. 2018, zapsala Revize zápisu Martin Holub, 27. 3. 2018 I. Frekvenční tabulky opakování z minulé hodiny Frekvenční tabulka je nejzákladnější nástroj
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové
VíceZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
ZÁKLDY TEORIE RVDĚODOBNOSTI 1 Vytvořeno s podporou projektu růřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceDobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
Více1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;
I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
VíceInduktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost
Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných
VíceBayesovské rozhodování - kritétium minimální střední ztráty
Bayesovské rozhodování - kritétium imální střední ztráty Lukáš Slánský, Ivana Čapková 6. června 2001 1 Formulace úlohy JE DÁNO: X množina možných pozorování (příznaků) x K množina hodnot skrytého parametru
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceStatistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku.
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceB) EX = 0,5, C) EX = 1, F) nemáme dostatek informací.
Hlasovací otázka 9 Náhodná veličina X nabývá jen dvou různých hodnot, 0 a 1. Předpokládejme P(X = 0) = 0,5. Co můžeme říci o EX? Hlasovací otázka 9 Náhodná veličina X nabývá jen dvou různých hodnot, 0
Více3 PRAVDĚPODOBNOST. Základní vztahy: Pravděpodobnost negace jevu A: P A 1 P A
3 RAVDĚODOBNOST Základní vztahy: ravděpodobnost negace jevu A: A 1 A ravděpodobnost sjednocení jevů A,B: A B A B A B - pro disjunktní (neslučitelné) jevy A, B: A B A B ravděpodobnost průniku jevů A, B:
VíceIII. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina
III Přednáška Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz Věta Mějme jev. Pokud H 1,H 2, : : :,H n tvoří úplnou skupinu
VíceCvičení 3. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.
Cvičení 3 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:
Více4.5.9 Pravděpodobnost II
.5.9 Pravděpodobnost II Předpoklady: 00508 Př. 1: Který z výsledků hodu mincí čtyřikrát po sobě je pravděpodobnější. a) r, l, r, l b) r, r, r, r Oba výsledky jsou stejně pravděpodobné (pravděpodobnost
VíceStatistika I (KMI/PSTAT)
Statistika I (KMI/PSTAT) Cvičení první aneb Sumační symbolika, úvod do popisné statistiky Statistika I (KMI/PSTAT) 1 / 15 Obsah hodiny Po dnešní hodině byste měli být schopni: správně používat sumační
VíceZáklady pravděpodobnosti poznámky. Jana Klicnarová
Základy pravděpodobnosti poznámky Jana Klicnarová 1 V této části připomeneme základní pojmy a vztahy pro práci s náhodou. 0.1 Náhodné jevy Uvažujme situace, které mohou a nemusí nastat a o kterých v nějakém
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VícePopulace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1
? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
Více