Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Transkript

1 Kartografie 1 - přednáška 7 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015

2 válcové konformní zobrazení v transverzální poloze někdy také nazýváno transverzální Mercatorovo nebo Gauss-Krügerovo válec se dotýká referenční plochy v nezkresleném poledníku nezkreslený poledník prochází středem území zkreslení roste se vzdáleností od tohoto poledníku jde o přímé zobrazení z elipsoidu do roviny zobrazeny jsou poledníkové pásy osa X je obrazem základního poledníku +X na sever, +Y na východ

3 nutná a postačující podmínka konformity délkové zkreslení nezávisí na směru předchozí podmínka platí pro obecné zobrazovací rovnice: X + iy = f (q + iλ), X iy = g(q iλ) na obou stranách rovnic jsou izometrické souřadnice délkový element na elipsoidu: délkové zkreslení: m 2 = ds 2 = M 2 dϕ 2 + N 2 cos 2 ϕdλ 2 ds 2 = N 2 cos 2 ϕ(dq 2 + dλ 2 ) m 2 = dx 2 + dy 2 N 2 cos 2 ϕ(dq 2 + dλ 2 ) (dx + idy )(dx idy ) N 2 cos 2 ϕ(dq + idλ)(dq idλ)

4 dále platí: poté zkreslení: dx + idy = f (q + iλ)(dq + idλ) dx idy = g (q iλ)(dq idλ) m 2 = f (q + iλ)g (q + iλ) N 2 cos ϕ 2 vidíme, že délkové zkreslení je funkcí pouze q, λ a tedy nezávisí na směru tedy obecná zobrazovací rovnice konformního zobrazení: X + iy = f (q + iλ)

5 hledanou funkci f lze rozvinout v řadu: X +iy = f (q)+f (q)iλ+f (q) (iλ)2 2 +f (q) (iλ)3 6 +f (q) (iλ) poté je možné separovat reálnou a imaginární část: X = f (q) f (q) λ2 2 + f (q) λ Y = f (q)λ f (q) λ předchozí vztahy představují zobrazovací rovnice obecného konformního zobrazení pro Gaussovo zobrazení kromě konformity platí: zeměpisná délka se počítá od základního poledníku základní poledník je nezkreslený

6 po dosazení λ = 0 dostáváme vztah pro základní poledník: X = f (q) = ϕ 0 Y = 0 Mdϕ jedná se o eliptický integrál (symbolicky neřešitelný) do zobrazovacích rovnic je potřeba určit derivace funkce f první derivace: f (q) = df dq = df dϕ df dϕ = M zároveň pro izometrickou šířku platí: dϕ dq = N cos ϕ M dϕ dq

7 tedy výsledná první derivace: druhá derivace: f (q) = N cos ϕ f (q) = d(df /dq) dq = d(n cos ϕ) dϕ = N sin ϕ cos ϕ dϕ dq podobně by se odvozovaly další derivace, které by se doplnily do vztahů zobrazovacích rovnic X = ϕ 0 Mdϕ+ λ2 N sin ϕ cos ϕ+λ N sin ϕ cos3 ϕ(5 tg 2 ϕ+9 η 2 +4 η 4 )+ + λ6 720 N sin ϕ cos5 ϕ(61 58 tg 2 ϕ+tg 4 ϕ+270 η η 2 tg 2 ϕ)+...

8 Y = λn cos ϕ + λ3 6 N cos3 ϕ(1 tg 2 ϕ) + η 2 )+ + λ5 120 N cos5 ϕ(5 18 tg 2 ϕ + tg 4 ϕ + 14 η 2 58 η 2 tg 2 ϕ) +... kde se vyskytuje výraz: η 2 = e2 cos 2 ϕ 1 e 2 pro zpětný převod by se musely hledat inverzní tvary odvozených řad (iteracemi) protože je toto zobrazení velmi rozšířené, zabývalo se jím hodně geodetů (existuje řada odvození pro výpočty řad)

9 délkové zkreslení m = f 2 ϕ + g 2 ϕ M = f 2 λ + g 2 λ N cos ϕ lépe se odvozuje vztah pro zkreslení v rovnoběžce: m = 1 + λ2 2 cos2 ϕ (1 + η 2 ) + λ4 24 cos4 ϕ (5 4 tg 2 ϕ) +... m. = 1 + λ2 2 cos2 ϕ pro rovinné souřadnice byl odvozen vztah: m = 1 + Y 2 2 R 2 + Y 4 24 R na okraji 6-stupňového pásu u nás je zkreslení +57cm/km na okraji 3-stupňového pásu u nás je zkreslení +14cm/km

10 1,0004 1,0005 1,0003 1,0002 1,0001 1,0000 1,0005 1,0001 1,0002 1,0003 1,0004 1,0005 1,0004 1,0003 1,0002 1,0001 m 1,0014 1, ,0010 1,0008 1,0006 λ = 3 1,0004 λ = ,0002 φ 1, λ = 1

11 stejně jako u ostatních zobrazení je důležitou veličinou meridiánová konvergence γ +X P' ξ ǁ X ɣ' r' C' Y ɣ P' μ r X O' +Y

12 dle obrázku: tg γ = ( ) dx tg γ = dy ( ) dx =. dλ dx dλ dy dλ ( ) dy 1 dλ příslušné derivace je možné vypočítat ze zobrazovacích rovnic a dosadit: tg γ = λ sin ϕ + λ3 3 sin ϕ cos2 ϕ(1 + tg 2 ϕ + 3 η η 4 )+ + λ5 15 sin ϕ cos4 ϕ (2 + 4 tg 2 ϕ + 2 tg 4 ϕ) +...

13 (X) X Y 90

14 celé Gaussovo zobrazení by šlo stejně jako Křovákovo zobrazení odvodit jako dvojité ϕ, λ U, V Š, D X, Y I II III fáze I: konfromní zobrazení elipsoidu na kouli s nekresleným základním poledníkem vyšlo by se z rovnice Q + iv = f (q + iλ) výsledkem zobrazovací rovnice v podobě řad

15 fáze II: převod zeměpisných souřadnic na kouli na kartografické sférická trigonometrie pro transverzální polohu fáze III: Mercatorovo zobrazení pro kartografické souřadnice ( ) Š X = R ln tg , Y = R D

16 zpravidla používáno v poledníkových pásech rozšířeno po celém světě (pro státní mapová díla ho používá většina států Evropy) u nás bylo použito pro vojenské topografické mapy středních měřítek v systému S-42 (od 50. let do roku 2005) jako zobrazení UTM (od roku 2006)

17 Vojenské topografické mapy do roku 2006 od 50. let ČSR součást Varšavské smlouvy vznik mezinárodního mapového díla jednotné koncepce mapování celého čs. území v měřítku 1 : (hl. metoda: letecká fotogrammetrie) - vznik TM25 z topografické mapy 1 : (TM25) byla poté odvozena další měřítka TM tyto mapy byly pravidelně obnovovány do konce roku 2005 platily vojenské TM po 4. obnově (4. obnova v letech ) měřítková řada TM25, TM50, TM100, TM200, TM500

18 Vojenské topografické mapy do roku 2006 použitý elipsoid: Krasovského elipsoid kartografické zobrazení: Gaussovo (6-stupňové poledníkové pásy) nezkreslen základní poledník ČR leží na území 3. a 4. pásu (čísluje se od Greenwiche 1. pás má základní poledník 3 v.d.) v ArcGIS pro 3. pás Pulkovo 1942 GK Zone 3N k rovinné souřadnici Y se přidává konstanta 500 km rovinný souřadnicový systém: S52, později S42 a S42/83 výškový systém: Balt po vyrovnání (Bpv)

19 Vojenské topografické mapy po roce 2006 úplné kartografické přepracování podle standardů NATO změna měřítkové řady TM25, TM50, TM100, TM500 + mapy pro společné operace NATO (JOG 1 : ) tyto mapy nyní pravidelně obnovovány

20 Vojenské topografické mapy po roce 2006 použitý elipsoid: WGS84 kartografické zobrazení: UTM Universal Transverse Mercator (= Gaussovo v 6-stupňových poledníkových pásech) základní poledník má zkreslení 0,9996 zkreslení je docíleno násobením obou zobrazovacích rovnic multiplikační konstantou ČR leží na území 33. a 34. pásu (čísluje se od datové hranice 1. pás má základní poledník 177 z.d.) v ArcGIS pro 33. pás WGS 1984 UTM Zone 33N rovinné souřadnice se značí E a N (east, north) k rovinné souřadnici E se přidává konstanta 500 km rovinný souřadnicový systém: síť hlásného systému UTM výškový systém: Balt po vyrovnání (Bpv)

21 Základní mapy ČR středního měřítka civilní topografické mapy vydávány od 1969 pro vnitřní potřebu dtátních orgánů a socialistických organizací jedná se o mapy odvozené z vojenských TM použitý elipsoid: Besselův kartografické zobrazení: Křovákovo rovinný souřadnicový systém: S-JTSK výškový systém: Balt po vyrovnání (Bpv) měřítková řada ZM10, ZM25, ZM50, ZM100, ZM200