Teorie her a ekonomické rozhodování 6. Kooperativní hry více hráčů

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Teorie her a ekonomické rozhodování 6. Kooperativní hry více hráčů"

Transkript

1 Teorie her a ekonomické rozhodování 6. Kooperativní hry více hráčů (chyby ve skriptech)

2 6.1 Koaliční hra Kooperativní hra hráči mají možnost před samotnou hrou uzavírat závazné dohody dva hráči (hra má dvě možná řešení) buď kooperují (pokud to je výhodné spolupráce přinese více než rovnovážné zaručené výhry) nebo si konkurují (každý hraje sám) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 2

3 6.1 Koaliční hra Ve hře s více hráči (N > 2) s kým spolupracovat proti komu spolupracovat Koalice = skupina hráčů, kteří spolupracují při volbě strategií Koaliční hra = kooperativní hra s N hráči Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 3

4 6.1 Koaliční hra Označme množinu všech hráčů N = {1, 2,, N} Koalice je pak jakákoliv neprázdná podmnožina množiny hráčů S N Pokud S N velká koalice (nikoliv v politickém smyslu) S může být i jednoprvková (koalice 1 hráče) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 4

5 6.1 Koaliční hra Kolik existuje možných řešení ve hře s třemi hráči? N = {A, B, C} 1. Všichni hráči spolupracují (velká koalice) 2. Koalice A+B proti C 3. Koalice A+C proti B 4. Koalice B+C proti A 5. Žádná koalice nevznikne, každý hraje sám Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 5

6 6.1 Koaliční hra Kolik existuje koalic při hře N hráčů? N = 1 N = {A}: 1 koalice {A} N = 2 N = {A, B}: 3 koalice {A, B, AB} N = 3 N = {A, B, C}: 7 koalic JAKÉ? {A, B, C, AB, AC, BC, ABC} N N = 1, 2,, N : 2 N 1 koalic PROČ? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 6

7 6.1 Koaliční hra V kolika koalicích může být hráč členem? N = 1 N = {A}: 1 koalice {A} N = 2 N = {A, B}: 2 koalice {A, AB} N = 3 N = {A, B, C}: 4 koalice {A, AB, AC, ABC} N N = 1, 2,, N : 2 N 1 koalic nebo 2 N 1 1 vícečlenných koalic JAKÉ? PROČ? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 7

8 6.1 Koaliční hra Koaliční struktura = množina všech koalic tvořených v rámci hry Optimální (rovnovážná) koaliční struktura = řešení koaliční hry Příklad: hra s 6 hráči N = 1, 2, 3, 4, 5, 6 koaliční struktura je např. {1, 3, 6}, {2, 5}, {4} Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 8

9 6.1 Koaliční hra Volná disjunktní koaliční struktura přípustné jsou jakékoliv koalice (= volná) hráč může být členem pouze jedné koalice (= disjunktní) Počet všech možných koaličních struktur N R N = k k=1 j=0 ( k) j k j k j N Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 9

10 6.1 Koaliční hra N R N = k k=1 j=0 ( k) j k j k j N R 1 = 1 R 2 = 2 R 3 = 5 R 4 = 52 Při dosazení do vzorce R 2 = 4 chyba Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 10

11 6.1 Koaliční hra Místo hry v normálním tvaru budeme používat hru ve tvaru charakteristické funkce Charakteristická funkce hry s N hráči v je definovaná pro každou koalici S v(s) je výhra (zisk) koalice S Dvojice (N,v) se nazývá kooperativní hrou N hráčů ve tvaru charakteristické funkce Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 11

12 6.1 Koaliční hra Hodnota charakteristické funkce pro koalici S, ve které nejsou všichni hráči, závisí na chování hráčů mimo koalici a) volí rovnovážné strategie (rovnovážná reprezentace charakteristické funkce) b) volí nejhorší možné strategie z pohledu koalice (maximinová reprezentace charakteristické funkce) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 12

13 6.1 Koaliční hra Předpokládáme racionální chování, tedy že hráči mimo koalici chtějí také maximalizovat svůj zisk (nikoliv trestat koalici, ve které nejsou) Dále tedy budeme pracovat s rovnovážnou reprezentací charakteristické funkce Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 13

14 6.1 Koaliční hra Vlastnost charakteristické funkce: v S 1 S 2 v S 1 + v S 2, S 1, S 2, S 1 S 2 = superaditivita Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 14

15 6.1 Koaliční hra Hra s konstantním součtem pro každou možnou koaliční strukturu je součet výher všech utvořených koalic roven konstantě v opačném případě jde o hru s nekonstantním součtem Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 15

16 6.1 Koaliční hra Rozdělení výher Vektor a 1, a 2,, a N nazýváme konečné rozdělení výher mezi hráče Hra s přenosnou výhrou (místo užitků si raději představíme peněžní částky) Výhra hráče záleží na výhře koalice a přerozdělení uvnitř koalice Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 16

17 6.1 Koaliční hra Princip kolektivní racionality = pro maximalizaci výhry koalice Princip skupinové stability = pro přerozdělení zisku uvnitř koalice Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 17

18 6.1 Koaliční hra Princip kolektivní racionality maximalizace výhry koalice 1. Sestavení koalice s nejvyšší celkovou výhrou 2. Jsou-li v koalici všichni hráči, konec 3. Nejsou-li, sestavení koalice s nejvyšší celkovou výhrou z hráčů, kteří netvoří koalici z bodu 1, Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 18

19 6.1 Koaliční hra Princip skupinové stability maximalizace výhry hráče (či podskupiny) celá výhra koalice je rozdělena mezi její hráče v S = i S každá podkoalice získá alespoň tolik, kolik si umí zajistit při vystoupení z koalice v L i L a i a i, L S Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 19

20 6.1 Koaliční hra Pokud některá z koalic není skupinově stabilní: návrat k principu kolektivní racionality, sestavení nové koaliční struktury, výběr koalice s druhou nejvyšší výhrou a celý postup znovu opakovat Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 20

21 Jádro hry 6.1 Koaliční hra množina všech přípustných rozdělení a 1, a 2,, a N, která splňují podmínky skupinové stability pokud charakteristická funkce nabývá shodných hodnot pro více koalic (a jádra pro tyto koalice splňují podmínky skupinové stability) více jader nejsou-li podmínky splněny pro žádné rozdělení prázdné jádro Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 21

22 6.1 Koaliční hra Pro řešení her ve tvaru charakteristické funkce Kromě principu skupinové stability také další principy (koncepce) žádná však nezaručuje jednoznačné řešení pro daný typ konfliktu Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 22

23 6.1 Koaliční hra Místo hledání řešení rozvoj metod pro analýzu vyjednávání o rozdělení výher pro ocenění pozice (síly) jednotlivých hráčů Ocenění síly hráčů Shapleyův vektor (Shapleyova hodnota) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 23

24 6.1 Koaliční hra Lloyd Stowell Shapley (USA, 1953) Metoda odhadu síly hráče z hlediska mezního přínosu do všech koalic, v nichž může být členem Shapleyův vektor h 1, h 2,, h N složky = Shapleyovy hodnoty = střední hodnota mezního přínosu i-tého hráče Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 24

25 6.1 Koaliční hra Přínos i-tého hráče do koalice S: v S v(s i ) Shapleyova hodnota pro i-tého hráče h i : S i S 1! N S! N! v S v(s i ) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 25

26 6.1 Koaliční hra Příklad: v 1,2,3 = 6 {1}: hráč 1: {1} {1,2} {1,3} {1,2,3} h i = S i 1 1! 3 1! 3! v 1 = 1 v 1,2 = 2 v 2 = 2 v 1,3 = 3 v 3 = 3 v 2,3 = 6 S 1! N S! N! 1 0 = 2 6 {1,2, {1,2}: {1,3}: v S v(s i ) ! ! 3! h 1 = = 0 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 26

27 6.1 Koaliční hra Příklad: v 1,2,3 = 6 hráč 2: {2} {1,2} {2,3} {1,2,3} h i = S i v 1 = 1 v 1,2 = 2 v 2 = 2 v 1,3 = 3 v 3 = 3 v 2,3 = 6 S 1! N S! v S v(s i ) N! {2}: 4 6 {1,2}: ! 3 1! 3 2!! {2}: {1,2}: {2,3}: {1,2,3}: h 3 1! 3 3! = 3 = 4 = = ! ! 3! = {2,3}: 3 6 {1,2,3}: 6 6 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 27

28 6.1 Koaliční hra Příklad: v 1,2,3 = 6 hráč 3: {3} {1,3} {2,3} {1,2,3} h i = S i v 1 = 1 v 1,2 = 2 v 2 = 2 v 1,3 = 3 v 3 = 3 v 2,3 = 6 S 1! N S! v S v(s i ) N! {3}: 6 6 {1,3}: ! 3 1! 3 2!! {3}: {1,3}: {2,3}: {1,2,3}: h 3 1! 3 3! = 2 = 6 = = ! ! 3! = {2,3}: 4 6 {1,2,3}: 8 6 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 28

29 6.1 Koaliční hra Příklad: v 1,2,3 = 6 h i = S i v 1 = 1 v 1,2 = 2 v 2 = 2 v 1,3 = 3 v 3 = 3 v 2,3 = 6 S 1! N S! N! v S v(s i ) h = h 1, h 2, h 3 = 2 6, 14 6, 20 6 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 29

30 6.1 Koaliční hra Příklad: v 1 = 1 v 1,2 = 2 v 2 = 2 v 1,3 = 3 v 3 = 3 v 1,2,3 = 6 v 2,3 = 6 h = h 1, h 2, h 3 = 2 6, 14 6, 20 6 Slabá vyjednávací pozice 1. hráče nic do vícečlenných koalic nepřináší Silná pozice 3. hráče Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 30

31 6.2 Hlasovací hra Motivační příklad: o problému hlasují tři strany N = {A, B, C} strana A má při hlasování 4 hlasy strana B má při hlasování 3 hlasy strana C má při hlasování 2 hlasy vítězná koalice si má rozdělit výhru 100 jedn. vytvoření koalice je vázáno dohodou o rozdělení výhry Co se stane? Jak to dopadne? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 31

32 6.2 Hlasovací hra N = {1, 2,, N} množina politických stran v parlamentu ai počet poslanců i-té politické strany a0 celkový počet poslanců v parlamentu a 0 = N i=1 a i Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 32

33 6.2 Hlasovací hra Hlasovací pravidlo vyjádříme pomocí hodnoty označuje nejvyšší procento hlasů, které ještě nestačí k vítězství tzn. α a 0 je nejvyšší počet hlasů, které koalici nestačí k vítězství vítězství tedy zaručí minimálně α a hlasů Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 33

34 6.2 Hlasovací hra Pro motivační příklad: N = {A, B, C} aa = 4, ab = 3, ac = 2 a0 = = 9 pokud = 0,5 0,5 9 = 4,5 hlasů nestačí α a = 0, = 4,5 + 1 = = = 5 hlasů již stačit bude Jak to vypadá, pokud α = 2/3? Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 34

35 6.2 Hlasovací hra Hlasovací pravidlo α vítězství zaručí minimálně α a hlasů k vítězství tedy m-členná koalice potřebuje m i=1 neboli a i α a 0 + 1, 1 m N m i=1 a i > α a 0 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 35

36 Nerovnost 6.2 Hlasovací hra m i=1 lze přepsat jako m i=1 a i > α a 0 a i α a 0 > 0 Platí-li tato nerovnost, koalice je vítězná Neplatí-li, je koalice poražená Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 36

37 Měření síly koalic 6.2 Hlasovací hra koncepce kooperativní hry N hráčů ve tvaru charakteristické funkce Charakteristická funkce: v S = 0, pro poraženou koalici 1, pro vítěznou koalici Dvojice (N,v) se pak nazývá prostá hra Trojice (N,v, α) se pak nazývá hlasovací hra Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 37

38 6.2 Hlasovací hra Předpoklady: Všichni zástupci jedné strany hlasují vždy jednotně (žádný Melčák a Pohanka) Všichni členové vytvořené koalice hlasují jednotně Je možné vytvořit libovolnou koalici a všechny koalice jsou stejně pravděpodobné (TOP 09 + ODS, stejně jako KSČM + ODS) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 38

39 6.2 Hlasovací hra Prostá hra: v S = 0 nebo v S = 1 přínos i-tého hráče do koalice S: v S v(s i ) v S v(s i ) v S v(s i ) nemůže nastat superaditivita Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 39

40 6.2 Hlasovací hra Shapleyova hodnota pro i-tého hráče h i : S i S 1! N S! v S v(s i ) N! v S v(s i ) v S v(s i ) (hráč je postradatelný) (hráč je nepostradatelný) 0 1 nemůže nastat superaditivita (hráč je postradatelný) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 40

41 6.2 Hlasovací hra Shapleyova hodnota pro i-tého hráče v prosté hře: S 1! N S! h i = N! S i Sčítáme přes koalice, v nichž je i-tý hráč nepostradatelný h i Shapleyův-Shubikův index síly Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 41

42 6.2 Hlasovací hra Shapleyův-Shubikův index síly σ i = h i = S i S 1! N S! N! Platí i=1 N σ i = 1, σ i 0 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 42

43 6.2 Hlasovací hra Vektor σ = σ 1, σ 2,, σ N lze interpretovat jako vektor pravděpodobností Hodnota σ i pravděpodobnost, že i-tá strana bude nezbytná při sestavování všech teoreticky možných koalic Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 43

44 6.2 Hlasovací hra Pro motivační příklad: = 0,5 min. 5 hlasů A: AB, AC B: AB, BC C: AC, BC σ i = S i S 1! N S! N! koalice S hlasy v(s) {A} 4 0 {B} 3 0 σ = 1 3, 1 3, 1 3 {C} 2 0 {A, B} = 7 1 {A, C} = 6! 3 2! 1 = 2 = 1 {B, C} = 53! 1 3 {A, B, C} = 9 1 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 44

45 6.2 Hlasovací hra V praxi se ukazuje, že hráč, který má podle Shapleyovy hodnoty nejsilnější pozici, se ostatním hráčům znelíbí, takže se nakonec ocitne v izolaci skončí až za ostatními hráči, kteří jednají kolektivně Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 45

46 6.2 Hlasovací hra Pro motivační příklad: z počátku Jak probíhalo různé koalice vyjednávání u vás? v průběhu času se vytvoří tříčlenná koalice s rozdělením (1/3, 1/3, 1/3) ta je však nestabilní (ve dvoučlenné koalici můžeme získat víc) strana A se často znelíbí (na počátku požadovala větší výhru) často stabilní koalice B a C s rozdělením (½, ½) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 46

47 6.2 Hlasovací hra John Francis Banzhaf III. (USA, 1965) Metoda odhadu síly hráče z hlediska počtu koalic, v nichž je hráč nepostradatelný Banzhafův index síly β = β 1, β 2,, β N Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 47

48 6.2 Hlasovací hra Banzhafův index síly β i = e i k=1 N Symbol e i označuje počet koalic, v nichž je i-tá strana nepostradatelná Platí i=1 N β i = 1, β i 0 e k Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 48

49 6.2 Hlasovací hra Vektor β = β 1, β 2,, β N lze interpretovat jako vektor pravděpodobností Hodnota β i pravděpodobnost situace, že i-tá strana svým odstoupením z koalice anuluje vítězné postavení příslušné koalice Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 49

50 6.2 Hlasovací hra Pro motivační příklad: = 0,5 min. 5 hlasů A: AB, AC B: AB, BC C: AC, BC β i = e i N e k = 2 6 = 1 3 k=1 koalice S hlasy v(s) {A} 4 0 {B} 3 0 β = 1 3, 1 3, 1 3 {C} 2 0 {A, B} = 7 1 {A, C} = 6 1 {B, C} = 5 1 {A, B, C} = 9 1 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 50

51 6.2 Hlasovací hra Vícekomorová legislativa Hlasovací hra v parlamentu s více sněmovnami p označuje počet sněmoven Návrh musí projít každou z p sněmoven, aby byl schválen Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 51

52 6.2 Hlasovací hra Vícekomorová legislativa aik počet poslanců i-té strany v k-té sněmovně a0k celkový počet poslanců v k-té sněmovně a 0k = N i=1 a ik Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 52

53 6.2 Hlasovací hra Hlasovací pravidlo α vítězství v k-té sněmovně zaručí minimálně α a 0k + 1 hlasů k vítězství v každé sněmovně tedy m-členná koalice potřebuje m i=1 a ik α a 0k + 1, 1 m N m neboli i=1 a ik > α a 0k Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 53

54 Nerovnost 6.2 Hlasovací hra m i=1 a ik > α a 0k lze přepsat jako m a ik α a 0k > 0, k = 1,, p i=1 a uvedená nerovnost tedy musí platit i pro sněmovnu, kde je rozdíl nejtěsnější (tedy minimální): min m i=1 a ik α a 0k > 0 Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 54

55 6.2 Hlasovací hra Teorie formování koalic Tyto teorie nabízejí menší množství koalic než 2 N 1 Dva základní druhy teorií nepolitické teorie politické teorie Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 55

56 6.2 Hlasovací hra Nepolitické teorie tvar antagonistického konfliktu (hra s konstantním součtem) všechno, co získá jeden účastník, jiný účastník ztratí není pravděpodobné, že by koalice obsahovala nepotřebné (postradatelné) účastníky Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 56

57 6.2 Hlasovací hra Nepolitické teorie Minimální většinová koalice Von Neumann a Morgenstern taková koalice, která se stane menšinovou, pokud ji opustí libovolný člen nevýhoda: může jich existovat velké množství Nejmenší většinová koalice Riker z množiny minimálních většinových koalic jsou vybrány ty, které mají nejmenší celkovou váhu Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 57

58 6.2 Hlasovací hra Nepolitické teorie Koncepce vyjednávacího návrhu Leiserson z množiny minimálních většinových koalic jsou vybrány ty, které mají nejmenší počet členů čím méně členů, tím snazší bude dohoda Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 58

59 6.2 Hlasovací hra Politické teorie přihlížejí k politickým pozicím účastníků účastníků vyjmování koalice (cit. skripta str. 69) Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 59

60 6.2 Hlasovací hra Politické teorie Minimální souvislá většinová koalice Axelrod uspořádání stran od levicových po pravicové ideologicky souvislá koalice (strany sousedí na ideologické ose) minimální = opustí-li ji libovolný člen, stane se nesouvislou nebo nebude většinová Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 60

61 6.2 Hlasovací hra Politické teorie Uzavřená koalice s minimálním rozpětím De Swan minimální souvislá koalice s nejmenším ideologickým rozpětím Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 61

62 KONEC Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. 62

KOOPERATIVNÍ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, JÁDRO HRY, HRA VE TVARU CHARAKTERISTICKÉ FUNKCE, SHAPLEYOVA HODNOTA CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ?

KOOPERATIVNÍ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, JÁDRO HRY, HRA VE TVARU CHARAKTERISTICKÉ FUNKCE, SHAPLEYOVA HODNOTA CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? KOOPERATIVNÍ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, JÁDRO HRY, HRA VE TVARU CHARAKTERISTICKÉ FUNKCE, SHAPLEYOVA HODNOTA CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekonomická vědní disciplína, která se

Více

Koaliční hry. Kooperativní hra dvou hráčů

Koaliční hry. Kooperativní hra dvou hráčů Koaliční hry Obsah kapitoly. Koalice dvou hráčů 2. Koalice N hráčů Studijní cíle Cílem tohoto tematického bloku je získání základního přehledu o kooperativních hrách a jejich aplikovatelnosti. Student

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry)

Teorie her a ekonomické rozhodování. 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) Teorie her a ekonomické rozhodování 3. Dvoumaticové hry (Bimaticové hry) 3.1 Neantagonistický konflikt Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada

Více

5.7 Kooperativní hry 5.7.1 Kooperativní hra 2 hráčů 5.7.2 Kooperativní hra N hráčů 5.8 Modely oligopolu 5.9 Teorie redistribučních systémů 5.

5.7 Kooperativní hry 5.7.1 Kooperativní hra 2 hráčů 5.7.2 Kooperativní hra N hráčů 5.8 Modely oligopolu 5.9 Teorie redistribučních systémů 5. Mikroekonomie bakalářský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 6 Teorie her, volby teorie redistribučních systémů a teorie veřejné Obsah 5.7 Kooperativní hry 5.7.1

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry

Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry Teorie her a ekonomické rozhodování 5. Opakované hry (chybějící či chybná indexace ve skriptech) 5.1 Opakovaná hra Hra až dosud hráči hráli hru jen jednou v reálu se konflikty neustále opakují (firmy nabízí

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

TGH13 - Teorie her I.

TGH13 - Teorie her I. TGH13 - Teorie her I. Jan Březina Technical University of Liberec 19. května 2015 Hra s bankéřem Máte právo sehrát s bankéřem hru: 1. hází se korunou dokud nepadne hlava 2. pokud hlava padne v hodu N,

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 7. Hry s neúplnou informací

Teorie her a ekonomické rozhodování. 7. Hry s neúplnou informací Teorie her a ekonomické rozhodování 7. Hry s neúplnou informací 7.1 Informace Dosud hráči měli úplnou informaci o hře, např. znali svou výplatní funkci, ale i výplatní funkce ostatních hráčů často to tak

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 4. Hry v rozvinutém tvaru

Teorie her a ekonomické rozhodování. 4. Hry v rozvinutém tvaru Teorie her a ekonomické rozhodování 4. Hry v rozvinutém tvaru 4.1 Hry v rozvinutém tvaru Hra v normálním tvaru hráči provedou jediné rozhodnutí a to všichni najednou v rozvinutém tvaru řada po sobě následujících

Více

Úvod do teorie her ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH KOMPETENCÍ AKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ OSTRAVSKÉ UNIVERZITY V OSTRAVĚ A SLEZSKÉ UNIVERZITY V OPAVĚ

Úvod do teorie her ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH KOMPETENCÍ AKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ OSTRAVSKÉ UNIVERZITY V OSTRAVĚ A SLEZSKÉ UNIVERZITY V OPAVĚ ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH KOMPETENCÍ AKADEMICKÝCH PRACOVNÍKŮ OSTRAVSKÉ UNIVERZITY V OSTRAVĚ A SLEZSKÉ UNIVERZITY V OPAVĚ Úvod do teorie her David Bartl, Lenka Ploháková OSNOVA Úvod (hra n hráčů ve strategickém

Více

Mikroekonomie magisterský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 1 Teorie her pro manažery Obsah 5.1 Teorie her jako součást mikroekonomie 5.2 Základní pojmy teorie

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 11. Aukce

Teorie her a ekonomické rozhodování. 11. Aukce Teorie her a ekonomické rozhodování 11. Aukce 11. Aukce Příklady tržních mechanismů prodej s pevnou cenou cenové vyjednávání aukce Využití aukcí prodej uměleckých předmětů, nemovitostí, prodej květin,

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. Úvodní informace Obsah kursu 1. Úvod do teorie her

Teorie her a ekonomické rozhodování. Úvodní informace Obsah kursu 1. Úvod do teorie her Teorie her a ekonomické Úvodní informace Obsah kursu 1. Úvod do teorie her Úvodní informace Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Místnost: 433 NB Konzultace: Středa 6:30 7:30, 19:30 20:30 Čtvrtek E-mail: jana.seknickova@vse.cz

Více

Aplikace teorie her. V ekonomice a politice Ing. Václav Janoušek

Aplikace teorie her. V ekonomice a politice Ing. Václav Janoušek Aplikace teorie her V ekonomice a politice Ing. Václav Janoušek Co je teorie her a její využití Teorie her obor aplikované matematiky a operační analýzy, sloužící k analýze konfliktních a strategických

Více

{Q={1,2};S,T;u(s,t)} (3.3) Prorovnovážnéstrategie s,t vehřesnulovýmsoučtemmusíplatit:

{Q={1,2};S,T;u(s,t)} (3.3) Prorovnovážnéstrategie s,t vehřesnulovýmsoučtemmusíplatit: 3 ANTAGONISTICKÉ HRY 3. ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,

Více

12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ

12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ 12 HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ 543 Ne v každé hře mají všichni hráči úplné informace o výplatních funkcích ostatních. Ve skutečnosti je většina situací s informací neúplnou. Například: V aukcích zpravidla

Více

Mikroekonomie magisterský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2013 Téma 4 Teorie her pro manažery Obsah 5.7 Kooperativní hry 5.7.1 Kooperativní hra 2 hráčů 5.7.2 Kooperativní

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Dvou-maticové hry a jejich aplikace

Dvou-maticové hry a jejich aplikace Dvou-maticové hry a jejich aplikace Obsah kapitoly. Hry s konstantním součtem Hra v normálním tvaru (ryzí strategie) Smíšené strategie. Hry s nekonstantním součtem Nekooperativní hra Dvou-maticová hra

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

The Cooperative Games and Bargaining

The Cooperative Games and Bargaining THE: The Cooperative Games and Bargaining Brno University of Technology Brno Czech Republic November 5, 2014 Úvod Čerpáno z: Peleg, Sudholter: Introduction to the Theory of Cooperative Games McCarthy,

Více

TEORIE HER. Základní pojmy teorie her. buď racionální (usiluje o optimální výsledek hry) nebo indiferentní (výsledek hry je mu lhostejný)

TEORIE HER. Základní pojmy teorie her. buď racionální (usiluje o optimální výsledek hry) nebo indiferentní (výsledek hry je mu lhostejný) TEORIE HER V dosavadních přednáškách jsme probírali jedno či vícekriteriální optimalizaci, ale v těchto úlohách byly předem pevně dané podmínky a ty se nijak neměnily v závislosti na našem rozhodnutí Také

Více

Otázky ke státní závěrečné zkoušce

Otázky ke státní závěrečné zkoušce Otázky ke státní závěrečné zkoušce obor Ekonometrie a operační výzkum a) Diskrétní modely, Simulace, Nelineární programování. b) Teorie rozhodování, Teorie her. c) Ekonometrie. Otázka č. 1 a) Úlohy konvexního

Více

2 HRA V EXPLICITNÍM TVARU

2 HRA V EXPLICITNÍM TVARU 2 HRA V EXPLICITNÍM TVARU 59 Příklad 1 Hra Nim. Uvažujme jednoduchou hru, kdy dva hráči označme je čísly 1, 2 mají před sebou dvě hromádky, z nichž každá je tvořena dvěma fazolemi. Hráč 1 musí vzít z jedné

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Bleskový výzkum SC&C a STEM pro Českou televizi

Bleskový výzkum SC&C a STEM pro Českou televizi Marketingový a sociologický výzkum Držitel certifikátu ISO 9001:2001 - člen ESOMAR www.scac.cz Závěrečná zpráva VOLBY DO PS 2010 - Jihomoravský kraj Bleskový výzkum SC&C a STEM pro Českou televizi Praha,

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

TEORIE HER Meta hry PŘEDNÁŠKA. OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáška 4. Zuzana Bělinová

TEORIE HER Meta hry PŘEDNÁŠKA. OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáška 4. Zuzana Bělinová PŘEDNÁŠKA 4a TEORIE HER Meta hry OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ část druhá Přednáška 4 Strategické hry se nenulovým součtem počet hráčů není dán, ale dále uvažujeme 2 hráče hrající racionálně Meta

Více

Kombinatorický předpis

Kombinatorický předpis Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 1 Kombinatorický předpis Kombinatorický předpis je rozšířením Teorie pravděpodobnosti kapitola Kombinatorický strom. Její praktický význam je zřejmý právě

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

Varianty Monte Carlo Tree Search

Varianty Monte Carlo Tree Search Varianty Monte Carlo Tree Search tomas.kuca@matfyz.cz Herní algoritmy MFF UK Praha 2011 Témata O čem bude přednáška? Monte Carlo Tree Search od her podobných Go (bez Go) k vzdálenějším rozdíly a rozšíření

Více

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)

KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS) KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto

Více

charakteristika oligopolu kartel Cournotův model duopolu oligopol s dominantní firmou Sweezyho model (se zalomenou křivkou poptávky) Nashova

charakteristika oligopolu kartel Cournotův model duopolu oligopol s dominantní firmou Sweezyho model (se zalomenou křivkou poptávky) Nashova charakteristika oligopolu kartel Cournotův model duopolu oligopol s dominantní firmou Sweezyho model (se zalomenou křivkou poptávky) Nashova rovnováha Soukupová et al.: Mikroekonomie. Kapitola 11, str.

Více

Úvod do teorie her. druhé upravené vydání. Martin Dlouhý Petr Fiala

Úvod do teorie her. druhé upravené vydání. Martin Dlouhý Petr Fiala Úvod do teorie her druhé upravené vydání Martin Dlouhý Petr Fiala 2009 2 Teorie her: analýza konfliktů a spolupráce Teorie her: analýza konfliktů a spolupráce 3 Obsah Předmluva... 5 1. Úvod do teorie her

Více

2. KONEČNÉ HRY 2 HRÁČŮ

2. KONEČNÉ HRY 2 HRÁČŮ Markl: Konečné hry 2 hráčů /TEH_2_2006.doc/ Strana 1 2. KONEČNÉ HRY 2 HRÁČŮ Definice 2.1: Konečná hra dvou (racionálních) hráčů je speciální případ hry v normálním tvaru (viz definice 1.1.2)

Více

Favoritem komunálních voleb je ČSSD, většinově však vítězí pravice

Favoritem komunálních voleb je ČSSD, většinově však vítězí pravice Favoritem komunálních voleb je ČSSD, většinově však vítězí pravice Z modelového exkluzivního průzkumu společnosti SANEP, který se zaměřil na politické nálady občanů ČR, Pražanů a obyvatel Brna a Ostravy

Více

Teorie. Kombinatorika

Teorie. Kombinatorika Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou

Více

Simplexová metoda. Simplexová tabulka: Záhlaví (účelová funkce) A ~ b r βi. z j c j. z r

Simplexová metoda. Simplexová tabulka: Záhlaví (účelová funkce) A ~ b r βi. z j c j. z r Simplexová metoda Simplexová metoda, je jedním ze způsobů, jak řešit úlohy lineárního programování. Tato metoda vede k cíly, nelezení optimálního řešení, během konečného počtu kroků, pokud se při prvním

Více

PR5 Poptávka na trhu výrobků a služeb

PR5 Poptávka na trhu výrobků a služeb PR5 Poptávka na trhu výrobků a služeb 5.1. Rovnováha spotřebitele 5.2. Indiferenční analýza od kardinalismu k ordinalismu 5.3. Poptávka, poptávané množství a jejich změny 5.4. Pružnost tržní poptávky Poptávka

Více

Teorie her v ekonomické praxi

Teorie her v ekonomické praxi Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Teorie her v ekonomické praxi Kateřina Nováková Bakalářská práce 2010 Prohlašuji: Tuto práci jsem vypracoval samostatně. Veškeré literární prameny a informace,

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Preference Jan Čadil FNH VŠE 2014

Preference Jan Čadil FNH VŠE 2014 Preference Jan Čadil FNH VŠE 2014 Footer Text 3/24/2014 1 Racionalita Chování spotřebitele je založeno na předpokladu racionality. Tento předpoklad znamená, že spotřebitel volí neoptimálnější, resp. nejvíce

Více

2,9% 2,6% 2,5% 1,9% 1,7% 1,5% ANO ČSSD nevím KSČM ODS TOP 09 KDU-ČSL STAN Úsvit ostatní Piráti Svobodní SZ

2,9% 2,6% 2,5% 1,9% 1,7% 1,5% ANO ČSSD nevím KSČM ODS TOP 09 KDU-ČSL STAN Úsvit ostatní Piráti Svobodní SZ Preference květen 201 sběr 20.4-8..201 S 1 1/ Přehled politických subjektů 30% 244% 20% 180% 10% 13% 10% 79% 73% 70% % 0% 29% 26% 2% ANO ČSSD nevím KSČM ODS TOP 09 KDU-ČSL STAN Úsvit ostatní Piráti Svobodní

Více

(Ne)kooperativní hry

(Ne)kooperativní hry (Ne)kooperativní hry Tomáš Svoboda, svobodat@fel.cvut.cz katedra kybernetiky, centrum strojového vnímání 5. října 2015 Tomáš Svoboda, svobodat@fel.cvut.cz / katedra kybernetiky, CMP / (Ne)kooperativní

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Státnicová otázka 6, okruh 1

Státnicová otázka 6, okruh 1 Státnicová otázka 6, okruh 1 Vojtěch Franc, xfrancv@electra.felk.cvut.cz 7. února 2000 1 Zadání Statické optimalizace. Lineární a nelineární programování. Optimální řízení a rozhodování v dynamických systémech,

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

1. MATEMATICKÉ MODELY ROZHODOVACÍCH SITUACÍ

1. MATEMATICKÉ MODELY ROZHODOVACÍCH SITUACÍ Markl: Matematické modely rozhodovacích situací /nhry.doc/ Strana. MATEMATICKÉ MODELY ROZHODOVACÍCH SITUACÍ Popis obecné rozhodovací situace (rozhodovacího procesu) vyžaduje zadání následujících údajů:.

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

KOMBINATORIKA. 1. cvičení

KOMBINATORIKA. 1. cvičení KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Teorie her. Kapitola 1. 1.1 Základní pojmy. 1.1.1 Základní pojmy

Teorie her. Kapitola 1. 1.1 Základní pojmy. 1.1.1 Základní pojmy Kapitola 1 Teorie her Dosud jsme se věnovali jednokriteriální či vícekriteriální optimalizaci, kde ve všech úlohách byly předem pevně dané podmínky a ty se nijak neměnily v závislosti na našem rozhodnutí.

Více

2.8 ZÁKLADY VYTVÁŘENÍ TESTOVÝCH SYSTÉMŮ

2.8 ZÁKLADY VYTVÁŘENÍ TESTOVÝCH SYSTÉMŮ 2.8 ZÁKLADY VYTVÁŘENÍ TESTOVÝCH SYSTÉMŮ Vytváření testových systémů pro jednotlivé potřeby tělovýchovné praxe patří mezi hlavní otázky teorie konstrukce testů. Protože však v testové baterii nebo profilu

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

4. Křivka nabídky monopolní firmy je totožná s částí křivky mezních nákladů.

4. Křivka nabídky monopolní firmy je totožná s částí křivky mezních nákladů. Firma v nedokonalé konkurenci 1. Zdroji nedokonalé konkurence jsou: - jednak nákladové podmínky podnikání, - jednak. 2. Zapište vzorec Lernerova indexu. K čemu slouží? 3. Zakreslete celkový příjem monopolní

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Teorie her. RNDr. Magdalena Hykšová, Ph.D. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Teorie her. RNDr. Magdalena Hykšová, Ph.D. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Teorie her RNDr. Magdalena Hykšová, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí,

Více

strategická desková hra pro dva hráče

strategická desková hra pro dva hráče strategická desková hra pro dva hráče Hrací potřeby: Sada 10 hracích kamenů pro každého hráče: 2 Pěšáci, 2 Rytíři, 1 Věž, 1 Zvěd, 1 Generál, 1 Katapult, 1 Lučištník, 1 Král 1 kámen se symbolem vlajky 4

Více

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Marek Killar. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802 4785,

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Marek Killar. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802 4785, VODA VODA LED LED SNÍH SNÍH TEPLOMĚR TEPLOMĚR PAPINŮV HRNEC PAPINŮV HRNEC ROSA ROSA DÉŠŤ DÉŠŤ VÁLEC VÁLEC VENTIL VENTIL J. WATT J. WATT KARBURÁTOR KARBURÁTOR SVÍČKA SVÍČKA CHLADIČ CHLADIČ VLHKOMĚR VLHKOMĚR

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Spojené království Velké Británie a Severního Irska

Spojené království Velké Británie a Severního Irska Spojené království Velké Británie a Severního Irska Britský politický systém VB je konstituční parlamentní monarchie, tento systém je považován za nejstarší demokracii světa. Jedná se o příklad země, která

Více

Systémy politických stran základní klasifikace a typologie

Systémy politických stran základní klasifikace a typologie Systémy politických stran základní klasifikace a typologie Obsah bloku Co to je systém politických stran vymezení a kritéria pro třídění Faktory ovlivňující podobu stranického systému Technické ústavní

Více

Komplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem

Komplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Cíl kapitoly: seznámení s použitím komplexního čísla v pythonu Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Opakování

Více

Věc: Rozšířené stanovisko Ministerstva financí k tzv. Kvízomatům

Věc: Rozšířené stanovisko Ministerstva financí k tzv. Kvízomatům MINISTERSTVO FINANCÍ Státní dozor nad sázkovými hrami a loteriemi Věc: Rozšířené stanovisko Ministerstva financí k tzv. Kvízomatům Podle ust. 1 odst. 1 zákona č. 202/1990 Sb., o loteriích a jiných podobných

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého

Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého 8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění

Více

1. dílčí téma: Úvod do teorie her a historie

1. dílčí téma: Úvod do teorie her a historie Cíl tematického celku: Cílem tohoto tematického celku je seznámit se se základy teorie her, její historií proniknout do matematických základů. Tento tematický celek je rozdělen do následujících dílčích

Více

Hry v rozvinutém tvaru a opakované hry. Hry v rozvinutém tvaru

Hry v rozvinutém tvaru a opakované hry. Hry v rozvinutém tvaru Hry v rozvinutém tvaru a opakované hry Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Výkladová část 1) Hry v rozvinutém tvaru 2) Opakované hry I. Konečně opakované hry

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení

Více

Čtvercové, krychlové a teseraktové minipiškvorky

Čtvercové, krychlové a teseraktové minipiškvorky Čtvercové, krychlové a teseraktové minipiškvorky strategie hry Mgr. Michal Musílek červen 2006 1 Pravidla hry minipiškvorky Minipiškvorky jsou zjednodušená verze piškvorek, která se hraje v omezeném prostoru

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Abychom obdrželi všechna data za téměř konstantních podmínek, schopných opakování:

Abychom obdrželi všechna data za téměř konstantních podmínek, schopných opakování: 1.0 Vědecké přístupy a získávání dat Měření probíhalo v reálném čase ve snaze získat nejrelevantnější a pravdivá data impulzivní dynamické síly. Bylo rozhodnuto, že tato data budou zachycována přímo z

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Doprovodné texty ke kurzu Teorie her

Doprovodné texty ke kurzu Teorie her Doprovodné texty ke kurzu Teorie her Martin Hrubý Fakulta informačních technologií Vysoké učení technické v Brně zimní semestr, akad. rok 2010/11 1 Contents 1 Vyjednávání 3 1.1 Základní vyjednávací úloha...............................

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Aquaretto. Hra pro 2 až 5 hráčů, od 10ti let, délka hry cca 45 minut

Aquaretto. Hra pro 2 až 5 hráčů, od 10ti let, délka hry cca 45 minut Aquaretto Hra pro 2 až 5 hráčů, od 10ti let, délka hry cca 45 minut Každý hráč vlastní jednu vodní zoologickou zahradu. Hráči se snaží přilákat do svého vodní parku co nejvíce návštěvníků. Snaží se proto

Více

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204

( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204 9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Volební model MEDIAN (duben-květen 2012)

Volební model MEDIAN (duben-květen 2012) VÝZKUM TRHU, MÉDIÍ a VEŘEJNÉHO MÍNĚNÍ, VÝVOJ SOFTWARE MEDIAN, Národních hrdinů 73, 190 12 Praha 9, tel.: 225 301 111, fax: 225 301 101, http: //www.median.cz, e-mail: median@median.cz oficiální partner

Více

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla

Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla Ramseyovy věty Martin Mareš Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla na mé letošní přednášce z Kombinatoriky a grafů I Předpokládá, že čtenář se již seznámil se základní

Více

ÚVOD DO TEORIE HER MGR. LENKA PLOHÁKOVÁ RNDR. DAVID BARTL, PH.D.

ÚVOD DO TEORIE HER MGR. LENKA PLOHÁKOVÁ RNDR. DAVID BARTL, PH.D. ÚVOD DO TEORIE HER MGR. LENKA PLOHÁKOVÁ RNDR. DAVID BARTL, PH.D. ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ.1.07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: OP VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST ČÍSLO OBLASTI PODPORY: ZVYŠOVÁNÍ ODBORNÝCH

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Kapitálový trh (finanční trh)

Kapitálový trh (finanční trh) Mikroekonomie bakalářský kurz - VŠFS Jiří Mihola, jiri.mihola@quick.cz, www.median-os.cz, 2010 Téma 9 Kapitálový trh (finanční trh) Obsah 1. Podstata kapitálového trhu 2. Volba mezi současnou a budoucí

Více