(Zavedení pojmu funkce, vlastnosti. Repetitorium z matematiky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "(Zavedení pojmu funkce, vlastnosti. Repetitorium z matematiky"

Transkript

1 Funkce Zavedení pojmu unkce, vlastnosti unkcí,lineární, kvadratické a mocninné unkce Repetitorium z matematik Podzim 01 Ivana Medková

2 A Zavedení pojmu unkce V odorných a přírodovědných předmětech se často setkáváme s úlohami, ve kterých se hodnot jedné veličin mění v závislosti na hodnotách jiné veličin. Tuto závislost popisujeme pomocí pojmu unkce jako zorazení v R. Nechť A a B jsou dvě neprázdné množin reálných čísel. Přiřadíme-li každému číslu z množin A podle nějakého předpisu právě jedno číslo z množin B, které označíme, pak množina uspořádaných dvojic [;] se nazývá reálná unkce reálné proměnné stručně unkce., Množinu A označujeme a nazýváme deiničním oorem unkce. Množinu B označujeme H a nazýváme oorem hodnot unkce. Číslo je nezávisle proměnná, argument unkce. Číslo je závisleproměnná, unkční hodnota unkce v odě.

3 Úloh Př.1 Zapište pomocí intervalů deiniční oor unkcí 3 a Př. Je dána unkce 1 a Určete 0, -7, 3 Patří čísla -4, 0 do ooru hodnot unkce? 3

4 Vlastnosti unkcí a Sudé unkce, liché unkce Sudá unkce Lichá unkce Gra je souměrný podle os. Gra je středově souměrný podle počátku. Např., 1 R Např., 3 1 R 4 Např. { } 0,, 1 R R { } 0, 3 R

5 Úloh Př.1 Rozhodněte, které z daných unkcí jsou sudé neo liché a 1 d c d Př. Rozhodněte, které z daných unkcí jsou sudé neo liché 5

6 Vlastnosti unkcí Periodické unkce Funkce se nazývá periodická, právě kdž eistuje takové číslo p >0, že pro každé k ϵz platí 1 Je-li ϵ, pak kpϵ kp perioda unkce Např. 1 3 cos, tg, 4 sin cotg 6

7 Vlastnosti unkcí c Funkce omezená zdola, shora, maimum a minimum unkce Zdola omezená Shora omezená Omezená d je d h je h Je omezená shora i zdola. Funkce má v odě a maimum, právě kdž je a Funkce má v odě minimum, právě kdž je 7

8 Úloh Př.1 Rozhodněte, ve kterých odech mají následující Př. Určete maima neo minima následující unkcí unkce maimum neo minimum a 1 5 d c 1 1 d

9 Vlastnosti unkcí d Rostoucí a klesající unkce Rostoucí unkce 1, 1 < 1 < Klesající unkce 1, 1 < 1 > Je-li unkce rostoucí, pak je prostá. Je-li unkce klesající, pak je prostá. Funkce je prostá 1, 1 1 Funkce rostoucí a klesající se souhrnně nazývají RYZE MONOTÓNNÍ. 9

10 Vlastnosti unkcí d Neklesající a nerostoucí unkce Neklesající unkce, < 1, 1 1 Nerostoucí unkce, < 1, 1 1 Funkce nerostoucí a neklesající se souhrnně nazývají MONOTÓNNÍ. 10

11 Vlastnosti unkcí e Inverzní unkce Inverzní unkce k prostéunkci je unkce -1, pro kterou platí H a H Každému ϵ -1 je přiřazeno právě to ϵ, pro které je. Gra unkcí a -1 sestrojené v téže soustavě souřadnic 0se stejnou délkovou jednotkou na oou osách jsou souměrně sdružen podle přímk. Např. 11

12 Vlastnosti unkcí e Inverzní unkce Inverzní unkce k prostéunkci je unkce -1, pro kterou platí H a H Každému ϵ -1 je přiřazeno právě to ϵ, pro které je. Příklad unkcí a unkcí k nim inverzních 1

13 1 LINEÁRNÍ FUNKCE a, R Gra Přímka a <0 a 0 a >0 a R, H R R, H {} Není omezená ani Je omezená. shora, ani zdola. Je nerostoucí a Je klesající, ted neklesající. prostá. Není prostá. Nemá maimum, ani Má maimum a minimum. minimum pro každé ϵr. Je spojitá v R. Je spojitá v R. R, H R Není omezená ani shora, ani zdola. Je rostoucí, ted prostá. Nemá maimum, ani minimum. Je spojitá v R. 13

14 Úloh Př. 1Pro lineární unkci -5 určete souřadnice průsečíku grau s osami,. Př. Načrtněte gra lineárních unkcí a 1 3 c 3 5 d 4 Př. 3Pro lineární unkci platí Vjádřete ji předpisem a a načrtněte gra. Př. 4Řešte graick i početně soustavu rovnic

15 KVARATICKÁ FUNKCE a c, a 0, každá unkce tpu Gra Paraola R a >0 a <0 R, H c ; 4a Je zdola omezená, není shora omezená. Pro 0 je sudá, jinak ani sudá, ani lichá. Je rostoucí pro ϵ <-/a,. Je klesající pro ϵ, -/a>. Není prostá. Má ostré minimum [-/a;c- /4a] Je spojitá v R. R, H ; c 4a Je shora omezená, není zdola omezená. Pro 0 je sudá, jinak ani sudá, ani lichá. Je rostoucí pro ϵ, -/a>. Je klesající pro ϵ<-/a,. Není prostá. Má ostré maimum [-/a;c- /4a] Je spojitá v R. 15

16 .1 GRAFY KVARATICKÝCH FUNKCÍ paraola, která je souměrná podle os orovnoěžné s osou. a Gra unkce 1 a 1 paraola s vrcholem v počátku [0,0] Gra unkce a c paraola, která vznikne z paraol unkce 1 a posunutímjejího vrcholu z odu [0,0]do odu [0,c]. c Gra unkce 3 a- 0 paraola, která vznikne z paraol unkce 1 a posunutímjejího vrcholu z odu [0,0]do odu [ 0,0]. d Gra unkce 4 a c 0 paraola, kterou opět získáme z grau unkce 1 a 1. oplníme na úplný čtverec. Posuneme gra unkce 1 z odu [0,0]do odu [ 0, 0 ] a a c a a c a a 0 0, kde 0, 0 c a 4a c 4a 16

17 Úloh Př. 1 Načrtněte gra unkcí 3; ; a 1 ; 1 c e d 17

18 3 MOCNINNÁ FUNKCE S PŘIROZENÝM MOCNITELEM n, n N, Pro n 1 lineární unkce n kvadratická unkce n 3 kuická unkce 3 R Gra n 1 přímka n >1 paraola n-téhostupně n liché n sudé R, H R Je lichá. Není ani shora, ani zdola omezená. Je rostoucí, ted prostá. Nemá maimum, ani minimum. Je spojitá v R. R, H <0, Je sudá. Je zdola omezená, není shora omezená. Je rostoucí pro ϵ <0,. Je klesající pro ϵ-, 0>. Není prostá. Nemá maimum, má minimum [0,0]. Je spojitá v R. 18

19 Úloh Př. 1 Načrtněte gra unkcí a c d e ,

20 4 MOCNINNÁ FUNKCE SE ZÁPORNÝM CELÝM MOCNITELEM unkce Gra n, n N, R hperola stupně n1 n liché n sudé R {0}, H R {0} Je lichá. Není ani shora, ani zdola omezená. Klesá pro ϵ-, 0 a ϵ 0,. Nemá maimum, ani minimum. Je spojitá pro ϵ-, 0 a ϵ 0,. Je prostá. R {0}, H 0,. Je sudá. Je omezená zdola, není shora omezená. Je rostoucí pro ϵ-, 0. Je klesající pro ϵ0,. Není prostá. Nemá maimum, ani minimum. Je spojitá pro ϵ-, 0 a ϵ0,. 0

21 Úloh Př. 1 Načrtněte gra unkce -1 Řešení Bod grau unkce -1 1/ získáme tak, že sestrojíme gra unkce a pro zvolené hodnot proměnné hledáme k hodnotám této unkce v téže soustavě souřadnic jejich převrácené hodnot. Př. Načrtněte gra unkcí a 3 1

22 5 LOMENÁ RACIONÁLNÍ FUNKCE P, Q 0 Q Nepřímá úměrnost k, k 0, R { 0} Gra rovnoosá hperola asmptot k <0 hperol k >0 střed hperol R {0}, H R {0} Je lichá. Není ani shora, ani zdola omezená. Je rostoucí pro ϵ-, 0 a ϵ 0,. Je prostá. Nemá maimum, ani minimum. Je spojitá pro ϵ-, 0 a ϵ 0,. R {0}, H R {0}. Je lichá. Není ani shora, ani zdola omezená. Je klesající pro ϵ-, 0 a ϵ 0,. Je prostá. Nemá maimum, ani minimum. Je spojitá pro ϵ-, 0 a ϵ0,.

23 Lineární lomená unkce a, c 0, ad c d c Gra rovnoosá hperola se středem v odě d a S ; c c Úloh Př. 1 Načrtněte gra unkce 5 1 3

24 Literatura Bušek, I. a kol. Základní poznatk z matematik. Matematika pro gmnázia, Praha Prometheus, 199. elventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematik. Praha Euromedia Group k. s., 003. Odvárko, O. a kol. Funkce. Matematika pro gmnázia, Praha Prometheus, Polák, J. Přehled středoškolské matematik. Praha Prometheus, Vošický Zdeněk. Matematika v kostce pro střední škol. Havlíčkův Brod Fragment,

Repetitorium z matematiky

Repetitorium z matematiky Goniometrické funkce a rovnice Repetitorium z matematiky Podzim 01 Ivana Medková 1 GONIOMETRICKÉ FUNKCE OSTRÉHO ÚHLU B odvěsna a C β c b přepona. α odvěsna A sin α a c b cos α c a tgαα b b cotg α a délka

Více

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R .4. Cíle V této kapitole jsou deinován nejdůležitější pojm týkající se vlastností unkcí. Při dalším studiu budou tto vlastnosti často používán. Je proto nutné si jejich deinice dobře zapamatovat. Deinice.4..

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

a základ exponenciální funkce

a základ exponenciální funkce Předmět: Ročník: Vtvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. červenec 0 Název zpracovaného celku: EXPONENCIÁLNÍ A LOGARIMICKÁ FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Eponenciální unkce o základu a je každá

Více

KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce

KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční

Více

Funkce. Mocninné funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště.

Funkce. Mocninné funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště. Funkce Mocninné funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 2012-14 Obsah Mocninné funkce 1 Mocninné funkce mocninné funkce s celým kladným mocnitelem mocninné

Více

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

Přednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné

Přednáška 1: Reálná funkce jedné reálné proměnné Přednáška : Reálná unkce jedné reálné proměnné Pojem unkce Deinice Reálnou unkcí jedné reálné proměnné rozumíme předpis y ( ) na jehož základě je každému prvku množiny D (zvané deiniční obor) přiřazen

Více

KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,

KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí, KVADRATICKÉ FUNKCE Definice Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním ooru R), daná ve tvaru y = ax + x + c, kde a je reálné číslo různé od nuly,, c, jsou liovolná reálná čísla.

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

CZ.1.07/1.5.00/

CZ.1.07/1.5.00/ Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 1. Elementární funkce 1.2. Přehled elementárních funkcí 2 Lineární funkce - je každá funkce na množině R, která je dána ve tvaru y = a.x + b, kde a,b R. Pokud

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky

8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky 8. Parametrické vyjádření a obecná rovnice přímky a roviny Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková Osnova: 1 Geometrie v rovině 1. 1 Parametrické vyjádření přímky 1. 2 Obecná rovnice přímky

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že .5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

2. FUNKCE Funkce 31

2. FUNKCE Funkce 31 Základ matematik FUNKCE 0 Základní vlastnosti Ohraničená a neohraničená funkce Monotónnost funkce, funkce rostoucí a klesající Prostá funkce Sudá a lichá funkce 7 Periodická funkce 9 Inverzní funkce 0

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Funkce. Vlastnosti funkce. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Funkce. Vlastnosti funkce. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Vlastnosti funkce. Tet a příklad. Ročník.

Více

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.

Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel. Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

( ) Opakování vlastností funkcí. Předpoklady:

( ) Opakování vlastností funkcí. Předpoklady: .. Opakování vlastností funkcí Předpoklad: Pedagogická poznámka: Tato hodina je zamýšlená jako první, druhá ve třetím ročníku. Podle toho, které úkol necháte student řešit, může trvat jednu až dvě vučovací

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Základní poznatky o funkcích

Základní poznatky o funkcích Základní poznatk o funkcích Tajemství černé skříňk (Definice funkce, základní pojm) 0 c, d, g, h 0 a) ANO b) NE 0 D( f )={ 6} H( f )={ 7} 0 a) D( f )={ 0 } b) H( f )={ 8 9 0 } c) f ( 0)= f ( )=9 f ( )=

Více

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b Průběh unkce Rolleova věta Mějme unkci, která má tto vlastnosti : a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b má derivaci c) (a) = (b). b Potom eistuje v a, alespoň jeden bod c, v němž ( c) : 1, 3 0 1 1

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

Exponenciální a logaritmická funkce

Exponenciální a logaritmická funkce Variace 1 Exponenciální a logaritmická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Exponenciální

Více

0.1 Funkce a její vlastnosti

0.1 Funkce a její vlastnosti 0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena

Více

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, }

Číselné množiny. Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } ÚVOD DO MATEMATIKY Číselné množin Přirozená čísla (N) Množina všech přirozených čísel N={1,2,3 } Celá čísla (Z) Množina všech celých čísel Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Racionální čísla (Q) Čísla která lze vjádřit

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Funkce. Obsah. Stránka 799

Funkce. Obsah. Stránka 799 Obsah 4. Funkce... 800 4.. Základní vlastnosti funkcí... 800 4.. Grafy funkcí... 8 4.. Eponenciální a logaritmické funkce... 8 4.4. Eponenciální a logaritmické rovnice... 8 4.5. Eponenciální a logaritmické

Více

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Evropský polytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Evropský

Více

FUNKCE. Než přistoupíme k samotným funkcím, je třeba nadefinovat a vysvětlit několik pojmů, které k tomu budeme potřebovat.

FUNKCE. Než přistoupíme k samotným funkcím, je třeba nadefinovat a vysvětlit několik pojmů, které k tomu budeme potřebovat. FUNKCE Než přistoupíme k samotným unkcím, je třeba nadeinovat a vysvětlit několik pojmů, které k tomu budeme potřebovat. Kartézský součin množin A, B je množina všech uspořádaných dvojic [a; b], kde a

Více

Polynomy a racionální lomené funkce

Polynomy a racionální lomené funkce Polnom a racionální lomené funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Polnom Definice a základní pojm Násobnost kořene Počet kořenů Kvadratický polnom Rozklad na součin kořenových

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Funkce, elementární funkce.

Funkce, elementární funkce. Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.

Více

Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru

Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru Graf elementárních funkcí v posunutém tvaru Vsvětlíme si, jak se změní graf funkce, jestliže se částečně změní funkční předpis základní elementární funkce Všechn změn původního grafu budou demonstrován

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ..07/.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KVADRATICKÁ

Více

Očekávaný výstup Pracovní list se skládá ze dvou částí teoretické, kde si žák připomene vlastnosti funkcí a praktické, kde tyto funkce určuje.

Očekávaný výstup Pracovní list se skládá ze dvou částí teoretické, kde si žák připomene vlastnosti funkcí a praktické, kde tyto funkce určuje. Číslo projektu Škola Autor Číslo materiálu Název Téma hodiny Předmět Ročník/y/ Anotace CZ.1.07/1.5.00/34.0394 Střední odborná škola a Střední odborné učiliště, Hustopeče, Masarykovo nám. 1 Mgr. Renata

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/..00/07.0018 7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy V této chvíli jsme již ve výkladu přikročili ke kapitole, kterou můžeme považovat za

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Autor Tematická oblast Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika 2.ročník Převod rovnice lineární lomené funkce

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo. Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení

Více

Exponenciální funkce. Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí. Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr.

Exponenciální funkce. Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí. Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr. Exponenciální funkce Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí y = a x Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr. Definičním oborem exponenciální funkce je tedy množina

Více

Funkce. Logaritmická funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště

Funkce. Logaritmická funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště Funkce Logaritmická funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-1 Obsah Logaritmická funkce 1 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

f jsou osově souměrné podle přímky y = x. x R. Najdi

f jsou osově souměrné podle přímky y = x. x R. Najdi Nechť je prostá unkce v pořád klesá) a zobrazuje D na H deinovaná vztahem: D = a) b) Gra unkcí a H, H = D INVERZNÍ FUNKCE D (tj. v celém svém deiničním oboru pořád roste nebo. Pak k této unkci eistuje

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Příklady k přednášce 3

Příklady k přednášce 3 Příklad k přednášce 3 1. Určete, zda závislost a daná uvedeným vztahem je funkce = f(). V případě záporné odpovědi stanovte, kterými funkcemi je možné příslušnou závislost popsat. 1. =3 2, (, + ) je funkcí,

Více

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Proseminář z matematiky pro fyziky

Proseminář z matematiky pro fyziky Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. e-mail: riha@prfnw.upol.cz http://www.ictphysics.upol.cz/proseminar/inde.html Katedra eperimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc Podmínky

Více

Exponenciální funkce teorie

Exponenciální funkce teorie Eponenciální funkce teorie Eponenciální funkce je dána rovnicí f : = a, a ( 0,) (, ) Poznámka: pokud bchom připustili a =, vznikla b funkce konstantní pokud bchom připustili a < 0, nebla b funkce definována

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

INVERZNÍ FUNKCE A SLOŽENÉ FUNKCE

INVERZNÍ FUNKCE A SLOŽENÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí reistrační číslo projektu: CZ..07/.5.00/4.0948 IV- Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické ramotnosti žáků středníc škol INVERZNÍ FUNKCE

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

1. Písemka skupina A...

1. Písemka skupina A... . Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce

Více