12 Rozvinutelné a zborcené plochy

Transkript

1 1 Rozinutelné a zborcené plochy ÚM FSI VUT Brně Studijní text 1 Rozinutelné a zborcené plochy 1. 1 Délka analytické křiky 1. Délka analytické křiky: je rona součtu délek oblouků l ohraničených body t ; t+ h, kde h > 0. Zřejmě platí () t f () t f () t f () t 1 3 l + + Je-li křika regulární, pak existují deriace souřadnicoých funkcí f 1 ; f ; f 3 a přírůstky funkcí můžeme nahradit diferenciály, tj. ()( t h) f ()( t h) + f ()( t h) + f ()( t h) 1 3 dl d d d (1) Z matematiky íme, že pro každou diferencoatelnou funkci f ( x ) je d ' ýraz (1) má tedy tar () () + () + () 1 l ' t h f ' t h f ' t h f ' t h () () () () 1 f x h = f x h, l ' t h f ' t + f ' t + f ' t h () Je-li h 0, je h rono diferenciálu proměnné, tedy h= dt a ztah () přejde ronost, takže () () () () 1 l ' t d t = f ' t + f ' t + f ' t dt Délku křiky omezené body t 0 ; t 1 obdržíme zřejmě integrací t1 t1 () () () () t0 t0 1 3 l = l ' t d t = f ' t + f ' t + f ' t dt (3). Příklad: Určeme délku kružnice s poloměrem r. Řešení: Bodoá ronice této kružnice je k ( t) = ( rcos t; rsin t;0;1) ; t 0 = 0 ; t 1 = π, podle (3) je tedy π π π [ ] [ ] [] l = rsint + rcost + 0 dt = r dt = r t = π r 3. Příklad: Určeme délku grafu diferencoatelné funkce f ( x ) nad interalem ab ;. Řešení: Položíme-li x = t, je zřejmé, že bodoá ronice grafu funkce je taru f () t = t; f () t ;0;1, t 0 = a; t 1 = b, podle (3) je tedy b b () () l = 1 + f ' t + 0 dt = 1 + f ' t dt a a 176

2 1 Rozinutelné a zborcené plochy ÚM FSI VUT Brně Studijní text 1. Rozinutelnost ploch 1. Izometrické zobrazení mezi plochami Q ; Q je zobrazení ρ : ( t) () t zachoáá délky křiek na ploše. tedy Q Q, které. Rozinutelné a zborcené plochy: Plochu, pro kterou existuje izometrické zobrazení do roiny, nazýáme rozinutelnou plochou. Lze ukázat, že každá rozinutelná plocha musí být nutně plochou přímkoou. Obrácená ěta šak neplatí existují přímkoé plochy, které rozinutelné nejsou. Tyto plochy nazýáme nerozinutelné, nebo také zborcené. Položme si nyní otázku, jak určit, zda daná přímkoá plocha je rozinutelná, anebo zborcená. Přímkoá plocha zniká šablonoáním (iz kpt odst. 3), kde šablonou je přímka (označme ji p ). Tato plocha má proto ronici taru ( u ; ) = M( ) ( u) = M( ) ( u) Q T p T A T +s T. ( ; ) M Směroé ektory tečných roin jsou u ( ) ( ) T T T Q u = A + M s u= f + g u (1) f T ( u ; ) = ( ) Q g ; T Q ( ; ) f' g' u = + u Položíme-li = konst = 0, předstaují ektory g ( 0 ), f' ( 0 ) ; g' ( 0 ) směroé ektory tečných roin plochy bodech tořicí přímky p ( u). Jsou-li tyto ektory lineárně záislé, dotýká se tato roina plochy podél celé tořicí přímky. Přímku p s touto lastností nazýáme torzální přímkou plochy. Jsou-li ektory lineárně nezáislé, tečná roina se pro různé hodnoty parametru u kolem tořicí přímky otáčí (říkáme, že tečné roiny toří sazek s osou p ). V tom případě je přímka p regulární přímkou plochy. Lze ukázat, že přímkoá plocha je rozinutelná práě tehdy, jsou-li šechny její tořicí přímky torzální. 3. Příklad: Zjistěme, zda jsou rozinutelné následující plochy a) jednodílný rotační hyperbolid b) plocha tečen šrouboice c) x = cos + u cos cos y = sin + u cos sin z = u sin Řešení: a) Jednodílný rotační hyperboloid zniká rotací přímky kolem osy, která je s touto osou mimoběžná. Volme po jednoduchost hyperboloid s osou ose z a dále a = b= c= 1. g 177

3 1 Rozinutelné a zborcené plochy ÚM FSI VUT Brně Studijní text Tato plocha znikne rotací přímky u = ( 1;0;0;1) + ( 0;1;1;0 ) (1) má tedy ronici p=a+s u kolem osy z, podle cos sin cos sin T sin cos sin cos H ( u ; ) = + u Je tedy Derioáním obdržíme f ( ) g( ) f ( ) = ( cos ;sin ;0;1) ; ( ) = ( sin ;cos ;1;0 ) g. f' ( ) = ( sin ;cos ;0;0) ; ( ) = ( cos ; sin ;0;0) g'. Vektory f' ; gg' ; jsou nenuloé a na sebe kolmé - případě ektorů s íce než třemi složkami říkáme ortogonální (můžeme se o tom přesědčit např. ýpočtem jejich skalárních součinů) a nemohou tedy být lineárně záislé. Tořicí přímky jsou tedy regulární. Stejný ýsledek dostaneme pro liboolný jednodílný hyperboloid. Jednodílný hyperboloid je nerozinutelný. b) Plocha tečen šrouboice zniká šrouboáním tečny šrouboice po této šrouboici. Volme pro jednoduchost osu šrouboice opět ose z a dále r = 0 = 1. Šrouboý pohyb zniká složením rotace kolem osy z a posunutí e směru této osy, je tedy M ( ) cos sin 0 0 cos sin sin cos 0 0 sin cos 0 0 = =

4 1 Rozinutelné a zborcené plochy ÚM FSI VUT Brně Studijní text Ronici šrouboice získáme šrouboáním bodu A= ( 1;0;0;1), tedy S T () t cost sin t cost sin t cost sin t = = t 0 t Šrouboat budeme tečnu bodě A, tedy přímku ( u) ( 0) S' () t = ( sin t;cos t;1;0 ), je ( 0) = ( 0;1;1;0) tedy T = A+ S' u. Protože S' a ronice plochy je tedy dle (1) taru cos sin cos sin T sin cos sin cos P ( u ; ) = + u f ( ) g( ) f ( ) = ( cos ;sin ; ;1) ; g ( ) = ( sin ;cos ;1;0 ) f '( ) = ( sin ;cos ;1;0 ) g' ( ) = ( cos ; sin ;0;0) Vektory f' ; gg' ; jsou tentokrát lineárně záislé (je totiž dokonce f '=g). Analogický ýsledek dostaneme pro plochu tečen liboolné šrouboice. Plocha tečen šrouboice je rozinutelná. c) Přepíšeme-li zadané parametrické ronice do taru (1), obdržíme cos cos cos cos cos 0 cos 0 0 T sin cos 0 1 sin 0 0 sin cos sin 0 0 M ( u ; ) = + u 0 0 sin sin tedy f ( ) = ( cos ;sin ;0;1) ; g ( ) = ( cos cos ;cos sin ;sin ;0) f '( ) = ( sin ;cos ;0;0) ( 1 sin cos cos sin ; 1 sin sin cos cos ; 1 = + cos ;0) g' 179

5 1 Rozinutelné a zborcené plochy ÚM FSI VUT Brně Studijní text Položme např. 0 0 = 0;1;0;1 0 = 1;0;0;0 g' 0 = 0;1;1;0. O lineární záislosti nebo nezáislosti těchto ektorů lze rozhodnout na základě hodnosti matice g g' = h = f =. Pak je f ' ; g ; Pro = 0 dostááme tedy regulární přímku. To znamená, že šechny tořicí přímky plochy nejsou torzální a plocha tedy není rozinutelná. Poznámka: Výsledek příkladu 6c) je elmi zajímaý. Tato plocha je totiž známa jako Möbiů proužek, který si snadno můžeme yrobit z úzkého proužku papíru tak, že slepíme jeho konce, když jsme předtím jeden z nich otočili o 180. Tím je zároeň demonstroána jeho řemeslná rozinutelnost jestliže totiž proužek opět rozlepíme, snadno se z něj opět stane půodní roinný proužek. Tento trik je ošem možný pouze díky pružnosti papíru a malé šířce proužku překroucení okraje totiž nepatrně prodlouží zdálenosti mezi body proužku. Čím je proužek širší, tím je prodloužení ětší. Proto je s přibýající šířkou překroucení stále obtížnější a při jisté šířce už nemožné. Mezi rozinutelné plochy patří: 1. 3 Rozinutelné plochy a) álcoá plocha b) kuželoá plocha c) plocha tečen prostoroé křiky 1. Válcoé plochy: Válcoou plochou rozumíme množinu šech bodů nazájem f = f ; f ; f ;1. Nejčastěji ronoběžných přímek, které procházejí danou křikou ( 1 3 ) ji modelujeme translačním šablonoáním, tj. posouáním řidicí křiky e směru určeném s = s ; s ; s ;0 ronoběžek, tedy společným směroým ektorem

6 1 Rozinutelné a zborcené plochy ÚM FSI VUT Brně Studijní text su 1 f su f Q ( u, ) = ; u u1; u ; 1; (1) su 3 f Jedná se tedy o plochu translační. Zároeň je to ošem plocha přímkoá, neboť ji lze obdržet i šablonoáním přímky, která protíná křiku f bodě 0 a má směroý ektor s. Je totiž roněž f1( ) f1( 0) f1( 0) + su f ( ) f1( 0) f( 0) + su Q u, = () f3( ) f1( 0) f3( 0) + s3u o čemž se můžeme přesědčit roznásobením praých stran ztahů (1), (). Je-li křika f roinná a ektor s leží její roině, je álcoá plocha roinným útarem. Je-li křika f roinná a ektor s leží její roině, je álcoá plocha roinným útarem. V opačném případě se jedná o útar prostoroý. Je-li křikou f ronici (1) kružnice a ektor s neleží její roině, dostááme kružnicoou álcoou plochu, je-li s kolmý na roinu této kružnice, jedná se o rotační álcoou plochu, neboť ji lze ytořit rotací (iz následující kapitola). Každá álcoá plocha je rozinutelná.. Kuželoé plochy: Kuželoou plochou rozumíme množinu šech bodů šech přímek, které f = f ; f ; f ;1 a daným lastním bodem procházejí danou křikou ( ) V ( 1; ; 3;1) zobrazoáním řídicí křiky e stejnolehlostech H ( V; λ ) Q = (rcholem kuželoé plochy). Můžeme ji modeloat buď šablonoáním, tj. ( λ, t) () () ; λ, tedy ( ) ( ) λ f t λ λ f t λ f t 0 λ 0 1 λ f t = = ; (3) λ f3 t 0 0 λ 1 λ f3 t kde λ λ1; λ ; t t1; t. Jedná se tedy o plochu homotetickou, zároeň ošem i přímkoou, neboť ji lze opět obdržet šablonoáním přímky p, která prochází tentokrát rcholem V a její další bod leží na křice f. Pro takto ytořenou plochu dostaneme () () 181

7 1 Rozinutelné a zborcené plochy ÚM FSI VUT Brně Studijní text 1 f1 1 f Q( ut, ) = V+ ( f( t) V ) u= + u (4) 3 f Poronejte ronice (3) a (4)! Roněž každá kuželoá plocha je rozinutelná ( t) () t () t 3. Příklad: V Mongeoě promítání sestrojme rozinutý plášť rotačního álce (kužele) s osou kolmou k půdorysně seříznutého roinou kolmou k nárysně (eliptický řez) 18

8 1 Rozinutelné a zborcené plochy ÚM FSI VUT Brně Studijní text 4. Plochy tečen křiky: jsou množiny šech bodů šech tečen regulární křiky f = ( f1( ) ; f( ) ; f3( ) ;1). Řídicí křikou je tedy křika f ( ), generujícím principem bude posouání jejich bodů e směru tečen, tj. e směru ektorů f ' = f ' ; f ' ; f ' ;1 : ( 1 3 ) ( u, ) u f ' f u f ' f u f ' 3 f3 Q = ; u u1; u ; 1; (4) Plocha tečen každé křiky je rozinutelná. 5. Příklad: V Mongeoě promítání sestrojme plochu tečen praotočié šrouboice. Plochu omezme půdorysnými stopníky tečen a body dotyku. Řešení: Je třeba sestrojit průměty šrouboice dle odst 5. kpt Na připojeném obrázku jsme začali šrouboat bod ležící půdorysně, a to po třiceti stupních. Dále je třeba sestrojit tečny těchto yšrouboaných bodech, a to jako ronoběžky s příslušnými porškami směroého kužele. Roněž tato konstrukce je popsána kpt odst. 5. Na připojeném obrázku takto podrobně sestrojena tečna bodě C, která je částí obrysu nárysu hledané plochy. Půdorys plochy se skládá z půdorysu šrouboice (tímto půdorysem je kružnice) a množinou půdorysných stopníků tečen (touto křikou je eolenta). 6. Přechodoé plochy mezi děma roinnými křikami: Uažujme dě roinné křiky k 1 ; k, z nichž každá leží jiné roině. Přechodoou plochou mezi křikami k 1 ; k rozumíme rozinutelnou přímkoou plochu určenou těmito křikami. Aby byla plocha rozinutelná musí obsahoat jen torzální přímky. Zajistíme to způsobem, který ilustruje připojený obrázek. Sestrojíme průsečnici r roin, e kterých leží dané křiky. Tořicí přímku plochy pak sestrojíme následoně. Na jedné z křiek zolíme bod, e kterém sestrojíme tečnu. Tato tečna protne průsečnici r bodě M. Z tohoto bodu sestrojíme tečnu ke druhé 183

9 1 Rozinutelné a zborcené plochy ÚM FSI VUT Brně Studijní text 1 z přímek. Body M ; T; T tak určují tečnou roinu, která se dotýká sestrojoané plochy podél celé přímky 1 T; T. 7. Příklad: V Rhinoceros sestrojme přechodoou plochu mezi obdélníkem a elipsou, které leží ronoběžných různých roinách. Tuto plochu roziňme. Řešeni: Plochu určenou okraji sestrojíme Rhinoceros elmi snadno pomocí příkazu Plocha/Potáhnout (iz připojený obrázek). Tímto způsobem ošem nesestrojíme rozinutelnou plochu. Postupem z předchozího odstace sestrojíme plochu, která se bude skládat ze čtyř trojúhekníků a čtyř kuželoých ploch. Roiny obdélníku a elipsy jsou ronoběžné, jejich průsečnice a tedy i body, e kterých se mají protínat tečny, jsou nelastní. Tečny obdélníka a elipsy, které určují torzální přímky, jsou tedy ronoběžné. Obdélník má jen čtyři různé tečny jsou to jeho strany. Je tedy třeba sestrojit tečny elipsy, které jsou ronoběžné se stranami obdélníka. Sestrojíme je půdorysu budoucí plochy pomocí bodů QQ ; ' souměrných s ohniskem podle sestrojoaných tečen tyto body jsou průsečíky řídicí kružnice elipsy a kolmic spuštěných s ohniska na půdorys obdélníka. Tečny tt ; ' jsou pak osy úseček FQ; FQ '. Body dotyku TT ; ' a body UU ; ', které jsou s nimi souměrné podle středu elipsy, určují spolu s rcholy obdélníka osm přímek, které rozdělují hledanou plochu na čtyři trojúhelníky a čtyři kuželoé plochy, ze kterých se skládá naše přechodoá plocha. Příkazem Rozdělit rozdělíme obdélník na jeho jednotlié strany a elipsu na oblouky TT ' ; TU; ' UU '; UT. ' Trojúhelníky ABU ; BCT ' ; CDT a DAU ' definujeme jako plochy pomocí příkazu Plocha/Roinné křiky, části kuželoých ploch ohraničené úsečkami AU ; AU ' a eliptickými oblouky sestrojíme pomocí příkazu Plocha/Hraniční křiky. Všechny tyto části přechodoé plochy pak sjednotíme příkazem Spojit. Rozinutí plochy sestrojíme pomocí příkazu Plocha/Rozinout rozinutelnou plochu. 184

10 1 Rozinutelné a zborcené plochy ÚM FSI VUT Brně Studijní text Zborcené plochy Zborcenou plochu ytoří přímka, pohybující se po třech křikách - tz. řídicích křikách, které neleží na téže rozinutelné ploše. Ueďme da typy těchto ploch. 1. Konoidy: jsou zborcené plochy, kde dě řídicí křiky jsou přímky, přičemž jedna z nich je nelastní. Jak íme z kpt. 3.1., nelastní přímka je určena děma nelastními body, které lze euklidoském prostoru reprezentoat děma různými směry, tedy stejně jako množinu šech nazájem ronoběžných roin šechny tyto roiny totiž procházejí práě touto nelastní přímkou. Konoid lze tedy určit roněž řídicí přímkou, roinou, se kterou budou ronoběžné šechny tořicí přímky řídicí roinou, a jednou řídicí křikou. Podle této řídicí křiky hooříme pak o konoidu kruhoém, eliptickém, parabolickém atd. Je-li naíc řídicí roina kolmá k řídicí přímce, hooříme o konoidu přímém. Jeden přímý konoid již známe konoid šrouboý. Jeho řídicí křika je šrouboice a řídicí přímka je osa této šrouboice je to praoúhlá uzařená šrouboá plocha, kterou jsme uáděli kpt

11 1 Rozinutelné a zborcené plochy ÚM FSI VUT Brně Studijní text Konoidy: obecný eliptický šrouboý. Příklad: Určeme ronici přímého eliptického konoidu, s řídicí přímkou p = ( t;0;0;1) a řídicí elipsou ( acos u; bsin u;3;1) e =. Řešení: Plochu ytoří body šech přímek q = XY takoých, že X p X = ( t;0;0;1) Y e Y = ( acos u; bsin u;3;1) Přímka q procházející body X; Y má ronici q= X + ( Y X ) Protože se jedná o konoid přímý, musí být přímka q ronoběžná s roinou x = 0, což znamená, že její směroé ektory ( Y X) = ( cos ; sin ;3;1) ( ;0;0;1) ( Y X ) = ( acos u t; bsin u;3;0) a u b u t musí mít prní složku nuloou, takže je Můžeme tedy psát t = acosu = + ( ) = ( t;0;0;1) + ( acos u t; bsin u;3;0) = ( acos u;0;0;1) ( 0; bsin u;3;0) ( acos u; bsin u;3 ;1) q X Y X = + = 186

12 1 Rozinutelné a zborcené plochy ÚM FSI VUT Brně Studijní text Druhým typem zborcených ploch, které zde uedeme, jsou přímkoé kadriky. Jednodílný hyperboloid jsme již uáděli (iz př c). Podíejme se ještě na jednu takoou plochu. 3. Příklad: Určeme množinu šech bodů šech přímek q= XY, jestliže bod X probíhá přímku X = A+ r u = 0;0;0;1 + 1;0;0;0 u a bod Y přímku ( 0;1;0;1) ( 1;0;1;0 ) Y = B+ s u = + Řešení: X = ( u;0;0;1) Y = ( u;1; u;1) ( ;0;0;1) ( ;1; ;1) ( ;0;0;1) ( uu ; ; ;1) q= X + Y X = u + u u u q = (1) Roněž tuto plochu známe již ze základního kurzu matematiky. Abychom se o tom přesědčili, otočme ji nejdříe o 4 π kolem osy z : q T π π cos 4 sin u 0 0 u u π π sin 4 cos u+ = = = u u u zapišme parametrické ronice a ylučme parametry u: ; x= u x = u x = u u+ I II I III y= u+ y = u+ y = u + u+ II y x z= 0 z = u z = u z = u III Jedná se tedy o hyperbolický paraboloid. Ten lze tedy ytořit nejen šablonoáním paraboly po parabole, ale jak ukazuje parametrizace (1) (i připojený obrázek), jeho u -křiky i - křiky mohou být přímky. Lze ho určit děma mimoběžkami a nelastní přímkou, která neprochází jejich nelastními body u 187