Použití substituce při řešení soustav rovnic

Transkript

1 .7. Použití substituce při řešení soustav rovnic Předpoklad: 7 Pedagogická poznámka: Hodinu je možné pojmout dvěma způsob: Pokud budete řešit i slovní úloh, je potřeba ještě polovina další vučovací hodin (zbtek pak můžete věnovat písemce). Pokud slovní úloh vnecháte, 45 minut bude stačit. Pedagogická poznámka: Stejně jako ve všech ostatních příkladech s použitím substituce je třeba dát pozor, ab studenti nahradili všechn výskt proměnné a pouze tehd pokud jde opravdu o stejné výraz. Př. : Mistr s učněm opravují auto. Kdb pracovali společně 5hodin, učedník b práci dodělal za hodinu. Kdb pracovali společně hodin a pak mistr ještě hodin sám, zbývalo b ještě / práce. Jak dlouho b auto opravoval každý sám? mistr učeň hodin celá oprava za jednu hodinu hodin celá oprava za jednu hodinu sestavíme rovnice: společně 5hodin učedník b práci dodělal za hodinu = společně hodin a pak mistr ještě hodin sám, zbývalo b ještě / práce + + = získáváme soustavu: = + + = Nevýhoda obě neznámé ve jmenovateli Substituce: a =, b = Řešíme soustavu: 5 a + b + b = ( a + b) + a =. upravíme: 5a + 6b = 5a + b =

2 5a + 6b = 4b = Dopočteme b: 4b = b = získáme a z první rovnice: 5a + 6 = 5a = a = 0 a = = 0 0 = 0 b = = = K = {[ 0;] Mistr b provedl opravu za 0 hodin, učedník za. Pedagogická poznámka: Předchozí příklad považuji za jeden ze svých největších pedagogických úspěchů. Ve třídě 4B0 se přes to, že od poslední úloh na společnou práci uplnulo přes dva měsíce a třída předvedla krátký výstup naprosté beznaděje a bezmoci, podařilo samostatně vřešit úkol praktick všem. Ono je snad možné naučit student řešit i slovní úloh. Př. : Káťa K. s Vojtou H. ze 4B009 mažou za trest tabule na celé škole. Kdž budou mazat společně 5 minut, domaže Káťa zbtek za 5minut. Kdž bude Vojta mazat 8 minut sám, dodělají trest společně za minut. Za jak dlouho b všechn tabule smazal každý z nich sám. Káťa Vojta minut celý trest za jednu minutu minut celý trest za jednu minutu vtvoření rovnic: 5 společně 5 minut domaže Káťa zbtek za 5minut: = 8 Vojta mazat 8 minut a dodělají trest společně za minut: + + = Substituce: a =, b = Řešíme soustavu: 5 a + b + 5a = a + b + 8b = 0a + 5b = a + 40b =

3 z. rovnice si vjádříme a a dosadime do první: 40b a + 40b = a = 40b 0 + 5b = 5 600b + 50b = 6 450b = 9 b = a = = = 60 a = = = 60 b = = = 50 K = {[ 60;50] Káťa b sama smazala všechn tabule za 60 minut, Vojta b to stihnul za 50 minut. Př. : Vřeš soustavu rovnic + = 6. = Soustavu bchom mohli řešit klasick odečtení rovnic a dosazováním. Přítomnost druhých mocnin však situaci komplikuje. Substituce: soustava obsahuje pouze a, substitucí se zbavíme druhých mocnin: = a, a + b = 6 a b = = b Řešíme soustavu: a + b = 6 + a = 7 a = 6 Dopočteme b: a + b = b = 6 b = 5 = a = 6 6 = = 0 = 6 = 6 = b = 5 5 = 0 ( )( ) = 0 5 = 5 = Zbývá sestavit dvojice, obě hodnot i jsme získali z jedné dvojice a, b mohu kombinovat všechna se všemi

4 {[ 6; 5 ];[ 6;5 ];[ 6; 5 ];[ 6;5] K = Pedagogická poznámka: Kromě toho, že někteří studenti řeší na konci kvadratické rovnice = 6 = 6, bývá občas problém s tím, ab studenti sestavili všechn dvojice do řešení. Př. 4: Vřeš soustavu rovnic + = + = 0 Substituce: soustava obsahuje pouze substitucí se zbavíme pouze druhé mocnin : a + = a + = 0 z druhé rovnice si vjádříme a a dosadíme do první rovnice: a + = 0 a = = = 0 ( )( ) + = 0 = a = 0 = 0 = = a = 0 = 0 = 4 z dvojice a =, = = a = = 0 ( )( ) + = 0 = = Ted dvojice řešení ; a ; ale se vsktuje v první i druhé mocnině, = a Řešíme soustavu: z dvojice a = 4, = = a = 4 4 = 0 + = 0 = = Ted dvojice řešení [ ; ] a [ ;] Dvojice a už jsou sestaven, nemůžeme vtvořit dvojici ;, protože jsme získali k jiné hodnotě. K = { ; ; ; ;[ ; ];[ ;] Pedagogická poznámka: Někteří studenti jsou trochu nesví z toho, že substituují pouze jednu proměnnou a druhá zůstává nezměněná. Př. 5: Vřeš soustavu rovnic + = = + Podmínk:, = 4

5 Substituce: a + b = 7 = a, = b Řešíme soustavu: + 4a b = z druhé rovnice si vjádříme b a dosadíme do první rovnice: 4a b = b = 4a a + 4a = 7 a + 8a 4 = 7 a = a = b = 4a = 4 = = a = = / ( ) = 0 = - nemůžeme najít žádné soustava nemá řešení, nemá cenu dopočítávat K = Pedagogická poznámka: V předchozím i následujícím příkladě je důležité, ab studenti pochopili, že hledají uspořádanou dvojici čísel a jakmile je jasné, že jedno z nich není možné najít, že další řešení zbtečné. Poměrně malé procento studentů má problém se substituováním levého zlomku, kvůli rozdílným číslům v čitatelích. Př. 6: Vřeš soustavu rovnic ( ) ( + ) = + ( + ) + = + Podmínk:, = Substituce: můžeme klidně substituovat i výraz, který obsahuje dvě proměnné : + = b Řešíme soustavu: a b = a + b = a b = 7b = 7 b = a b = a = a = 0 = a, + 5

6 = a = = b = Opět získáváme soustavu rovnic: = = Rovnice upravíme: = 0 / = / = 0 + = ( ) Z první rovnice vjádříme : =, dosadíme do druhé: + = = Zdá se, že řešením je dvojice čísel [ ; ], ale tato dvojice nevhovuje podmínce:. K = Pedagogická poznámka: Někteří studenti se potřebují ujistit, že je možné substituovat výraz, ve kterém se vsktují dvě neznámé. Další rozpak se objevují, kdž při návratu k původním proměnným vznikne opět soustava rovnic. Př. 7: Petáková: strana 7/cvičení 4 c) d) strana 7/cvičení 5 b) strana 7/cvičení 6 a) b) strana 7/cvičení 7 b) c) d) Shrnutí: Substituci můžeme používat i při řešení soustav rovnic k nahrazení jedné nebo více neznámých. 6