teorie elektronických obvodů Jiří Petržela citlivostní a toleranční analýza

Transkript

1 Jiří Petržela citlivostní a toleranční analýza

2 motivace pasivní prvky obvodů jsou prodávány v sortimentních řadách hodnotu konkrétního prvku neznáme, zjistíme měřením s jistotou známe pouze interval, ve kterém se příslušná hodnota nachází parametry prvků se mění s časem

3 libovolná obvodová funkce nebo vlastnost závisí obecně na parametrech (prvcích) obvodu těmito parametry mohou být například základní parametry prvků, L, C, admitanční parametry tranzistoru nebo parazitní vlastnosti operačního zesilovače, atd. obvodovou funkcí může být přenos dvojbranu na nějakém konkrétním kmitočtu, střední kmitočet filtru, modul impedance dvojpólu, atd.

4 pro správný návrh obvodu je třeba vědět jak mohou odchylky jednotlivých parametrů obvodu ovlivnit nějakou jeho sledovanou obvodovou funkci toleranční analýza jak velké tolerance prvků jsou přípustné, aby některá obvodová funkce splňovala určité požadavky toleranční syntéza

5 v praxi je často potřeba zajistit co nejmenší citlivost obvodu na hodnotách prvků potom lze použít levnější součástky s menší tolerancí pro složitější obvody přesnou toleranční analýzu nebo syntézu nemusí být možné provést při toleranční analýze a syntéze jsme odkázáni na výpočetní techniku

6 principy činnosti jednotlivých analýz citlivostní analýza umožňuje zjistit, jak silně závisí nějaká vlastnost obvodu na jeho parametru worst case stanoví nejhorší možnou kombinaci obvodových prvků vzhledem k odchylce sledované vlastnosti od nominální hodnoty Monte Carlo umožňuje určit statistické parametry sledované vlastnosti obvodu (včetně výtěžnosti), a to pomocí náhodného generování odchylek parametrů

7 omezení použitelnosti jednotlivých analýz citlivostní analýza dává platné výsledky jen pro malé odchylky parametrů obvodu (parciální derivace) omezení analýzy nejhoršího případu spočívá v tom, že sledovaná skalární charakteristika musí záviset monotónně na všech parametrech výpočetní náročnost analýzy Monte Carlo roste s množstvím generací náhodných parametrů a dobou AC, DC nebo časové simulace

8 citlivostní analýza charakteristika obvodu Ψ závisí na jeho parametru Ψ =ψ ( ) absolutní citlivost je definována jako S Ψ = dψ = d lim Δ Δψ Δ relativní citlivost je definována jako Sr Ψ = ψ dψ d Δψ ψ Δψ Sr Ψ S Ψ Δ ( 0) ( 0) Δ

9 semirelativní citlivost je definována vzorcem ( 0) Ψ dψ Ssr = Δψ Ssr 00 d Ψ Δ ( ) 00 0 v případě více proměnných definujeme vektor citlivostí = ( ) ψ... r S =... r víceparametrická citlivost Ψ Ψ změna sledované funkce Ψ vyvolaná změnou všech parametrů se určí jako součet všech příspěvků Ψ

10 = Δ = Δ + + Δ ΔΨ r i i i r r S... ψ ψ a pro relativní víceparametrickou citlivost ( ) ( ) ( ) = Δ = Δ + + Δ ΔΨ r i i i r r r Sr ψ ψ ψ pro absolutní víceparametrickou citlivost tedy platí nejhorší případ nastane, když se jednotlivé odchylky sečtou se stejným znaménkem, tedy ( ) ( ) ( ) ( ) max 0 max 0 max Δ + + Δ + Δ ΔΨ r r r r r Sr Sr Sr ψ ψ ψ ψ teorie elektronických obvodů

11 Fig. : K odvození absolutní citlivosti sledované funkce.

12 tolerance prvků lze vyjádřit ve tvaru Δi i tol potom pro různé tolerance obvodových prvků platí r ΔΨ ( ) = Sr 0 i tol ψ max jsou-li všechny tolerance prvků stejné dostáváme tzv. worst case multiparameter sensitivity WCMS = i= r i= i Sr i i

13 aplikace některého z posledních dvou vztahů vede k velmi pesimistickým výsledkům v reálných obvodech jsou prvky náhodné nekorelované veličiny, které se sčítají v kvadrátu Δψ ψ Δ + Δ ψ ψ ψ r Sr... 0 Sr Sr max max r max ( ) ( 0) ( 0) r ( 0) + + Δ pro odchylku sledované funkce od nominální hodnoty potom platí méně radikální vzorec Δψ ψ ( ) ( ) Sr i tol 0 i rand r i=

14 odkud pro stejné tolerance všech prvků dostáváme tzv. multiparameter statistical sensitivity MSS = r některé obecné vlastnosti relativních citlivostí Sr kf = Sr F i= Sr Sr i F = Sr F Sr F n = n Sr F Sr F F... F n = n i= Sr Fi

15 citlivost kmitočtových charakteristik citlivost modulu je dána reálnou složkou komplexní citlivosti citlivost argumentu je jednoznačně určena imaginární složkou komplexní citlivosti F ( jω ) ( F ( jω )) ϕ ( jω ) ( F ( jω ) S ) = e S S = Im S ϕ jω ( )

16 Fig. : Výsledky citlivostní analýzy v modulu pokročilých analýz v Pspice.

17 invariance citlivostí pro impedanční funkci obvodů LC platí MS Z i ( s) Z ( s ) Z ( s) + MS L j + MS D k = D = pro přenosovou funkci napětí nebo proudu platí MS K i ( s) K ( s) K ( s) + MS L j + MS D k = 0 D = citlivostní invarianty kmitočtových charakteristik K ω ( ω ) K ( ω ) K ( ω ) S = MS = i MS C k k k C k C k

18 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = = n k j m j j n m n k k k m j j j p s z s b a s b s a D s s N s F ,,, citlivost obvodové funkce obvodovou funkci lze vždy vyjádřit v podobě výslednou citlivost lze určit z dílčích citlivostí D N F S S S = teorie elektronických obvodů

19 citlivost závisí na tvaru obvodové funkce na složení jednotlivých koeficientů obvodové funkce a jejich konkrétní realizaci na struktuře zapojení obecně

20 metody snížení citlivosti obvodové funkce nalezení hodnot takových, aby měly co nejmenší vliv na danou obvodovou funkci F(), respektive na složení jednotlivých koeficientů F() nalezení takové realizace obvodu, aby hodnoty měly minimální vliv na obvodovou funkci F()

21 výpočet citlivostí pro jednoduchý odporový dělič na obrázku přenos dvojbranu naprázdno je dán známým vztahem () K s = + absolutní citlivosti přenosu na hodnoty obou rezistorů S K dk = d = ( ) + d ( + ) S K = dk = Fig. 3: Obvodové zapojení odporového děliče.

22 relativní citlivosti potom budou mít tvar d dk K Sr d dk K Sr K K + = = + = = hodnota WCMS bude ( ) ( ) max 0 max 0 Δ + + Δ + = WCMS hodnota MSS bude ( ) ( ) max 0 max 0 Δ + + Δ + = MSS

23 Fig. 4: Skript pro výpočet citlivostí v programu Mathcad.

24 Fig. 5: Skript pro konstrukci histogramu v programu Mathcad.

25 citlivostní analýza v programu Pspice funguje spolu s analýzou pracovního bodu (bias point) Fig. 6: Testovací obvod a nastavení citlivostní analýzy v programu Pspice.

26 Fig. 7: Výsledky citlivostní analýzy v programu Pspice.

27 analýza nejnepříznivějšího případu (worst case) v případě monotónní závislosti studované veličiny na parametrech je nejhorší případ dán krajními hodnotami těchto parametrů v případě existence lokálního extrému je problém pro větší obvody neřešitelný

28 použití v programu Pspice, postup nastavit tolerance nastavit směr Hi nebo Lo řešení nalezneme ve výstupním souboru

29 Fig. 8: Nastavení analýzy worst case v programu Pspice.

30 aplikace analýzy worst case nejhorší případ je vždy stanoven vzhledem k nějaké skalární míře (numerické hodnotě), například střednímu kmitočtu, přenosu v propustném pásmu nebo činiteli jakosti touto analýzou nelze stanovit toleranční obal filtru v praktických úlohách se nabízí srovnání mezí sledované obvodové funkce získané analýzou worst case s maximálním rozptylem stejné obvodové funkce získané analýzou Monte-Carlo pro velké množství běhů

31 praktický příklad výsledků analýzy worst case, konkrétně získání horní meze blíže nespecifikované obvodové funkce Fig. 9: Worst case analýza obvodu se třemi rezistory.

32 Fig. 0: Toleranční analýza. Fig. : Toleranční syntéza.

33 při řešení většiny praktických úloh je zapotřebí přejít na přibližné numerické metody vlastnosti prvků stejného typu se liší díky výrobnímu rozptylu hodnotu prvku dopředu neznáme a má pro nás náhodný charakter pro nekonečný soubor hodnot přejde histogram v rozložení hustoty pravděpodobnosti

34 Fig. : Jako příklad lze uvést měření velké série rezistorů.

35 vlastnosti hustoty pravděpodobnosti ( x) 0 p( x) dx = P{ a x b} p( x) p = hustota pravděpodobnosti pro normální rozložení p ( x) exp σ π ( x μ) = σ b a dx Fig. 3: Bimodální rovnoměrné, oříznuté Gaussovo a bimodální trojúhelníkové.

36 volba rozložení hustoty pravděpodobnosti v případě Gaussova rozložení se uplatňuje mnoho faktorů s malým vlivem, typické pro prvky integrovaných obvodů Gaussovo rozložení je vhodné i pro simulaci výroby pasivních prvků bez následného měření a roztřídění převládá-li při výrobě jeden faktor použijeme rovnoměrné rozložení hustoty pravděpodobnosti

37 volba rozložení hustoty pravděpodobnosti při třídění dochází k přeřazování pasivních (i jiných) prvků do vyšších tříd přesnosti, což vede na využití oříznutého Gaussova rozložení pracujeme-li s nižší třídou přesnosti obvodových prvků, vystihneme tento fakt bimodálními typy rozložení hustoty pravděpodobnosti

38 statistická metoda (Monte Carlo) jedná se o simulaci výrobního procesu příslušná analýza se opakuje s náhodně zvolenými hodnotami parametrů prvků větší počet opakování analýz vede k věrohodnějším výsledkům metoda Monte Carlo je vhodná pro libovolný obvod

39 statistická metoda (Monte Carlo) vyhodnocení výsledků se provádí numericky statistickými metodami metoda je velmi výpočetně náročná, její přesnost je většinou mezi 5% až 0%

40 vyhodnocení výsledků metody Monte Carlo je vždy pro konečný počet realizací μ = N N yi s = N i= N i= 0 použití v programu Pspice ( y ) i y nastavit tolerance (pasivní prvky, L, C přímo ve schématu a polovodiče v editoru) nekorelovaná náhodná čísla pomocí DEV, možnost zavedení tolerancí LOT (integrované Darlingtonovo zapojení, integrované proudové zrcadlo, atd.)

41 Monte-Carlo pracuje vždy s jednou ze základních analýz, tedy AC, DC nebo časovou AC analýza Fig. 4: Nastavení analýzy Monte-Carlo v programu Pspice.

42 variace parametrů u diskrétních prvků a v integrovaných obvodech je obecně různá v obvodovém simulátoru Pspice se výsledky statistické metody zpracovávají v postprocesoru Fig. 5: Generace nekorelovaných a korelovaných hodnot obvodových prvků.

43 diskrétní prvky nekorelované hodnoty prvků, pro modelování stačí jednoduchý generátor náhodných čísel integrované obvody pracujeme s korelovanými hodnotami prvků, pro modelování stačí generátor náhodných čísel v integrovaných obvodech jsou prvky umístěny blízko sebe, mají matching

44 koeficient korelace je definován předpisem ρ XY N N i= = ( x x)( y y) i ρ X ρ Y i takže koeficient korelace může nabývat hodnot z intervalu ρ přičemž levá mez značí zcela nepřímou souvislost a pravá mez naopak označuje zcela přímou souvislost mezi dvěma čísly (obecně jevy) čitatel v definičním vztahu se označuje jako kovariance XY

45 obvodový simulátor Pspice umožňuje uživateli výběr mezi normálním a rovnoměrným rozdělením hustoty pravděpodobnosti jako příklad na využití analýzy Monte-Carlo lze uvést simulaci zpětnovazebního článku Wienova oscilátoru základním typem analýzy je zde střídavá analýza Fig. 6: Wienův článek, pásmová propust používaná v oscilátorech.

46 Fig. 7: Sledovanou funkcí Wienova článku je střední kmitočet.

47 Fig. 8: Postprocesing v Pspice toleranční analýzy Wienova článku.

48 Fig. 9: Analýza Monte Carlo, rovnoměrné rozložení pravděpodobnosti.

49 Fig. 0: Analýza Monte Carlo, normální rozložení pravděpodobnosti.

50 Fig. : Analýza a vyhodnocení metody Monte-Carlo v programu Mathcad.

51 výtěžnost obvodu hodnoty prvků a tím i charakteristiky obvodu jsou do jisté míry náhodné veličiny výtěžnost obvodu je statistická míra, která reprezentuje procento realizací, které vyhovují oblasti A při návrhu obvodu je potřeba přihlédnout k ekonomickým a výrobním hlediskům

52 metody zvyšování výtěžnosti obvodu středování návrhu umožňuje použít nejvyšší možné tolerance prvků při zachování dané výtěžnosti nebo maximalizovat výtěžnost pro dané tolerance snížením rozptylu obvodových prvků je třeba použít součástky z vyšší třídy přesnosti zvyšuje se cena výsledného zařízení

53 pro nesymetrické rozložení není návrhový střed stejný jako nominální hodnoty parametrů obvodu Fig. : Definice výtěžnosti obvodu pro dvojrozměrný případ.

54 jednoduchý příklad na toleranční analýzu studovaným obvodem je nezatížený dělič proudu složený ze dvou lineárních rezistorů s vodivostmi G a G zkoumanými obvodovými funkcemi je výstupní proud tekoucí vodivostí G a celková vstupní vodivost děliče vstupní proud do děliče je 0mA a meze pro obě sledované obvodové funkce jsou i (.5mA, 5.5mA) G ( 80mS, ms) out 4 vstup 0 vyhovuje G =G =30mS nebo G =0mS, G =40mS zadání?

55 případ G =G =30mS nevyhovuje intervalu pro G vstup případ G=0mS a G=40mS nevyhovuje ničemu Fig. 3: Příklad na toleranční analýzu implementovaný v programu Mathcad.

56 Fig. 4: uční řešení příkladu na toleranční analýzu odporového děliče.

57 jednoduchý příklad na toleranční syntézu studovaným obvodem je nezatížený dělič napětí složený ze dvou lineárních rezistorů stejných hodnot zkoumanými obvodovými funkcemi je přenos napětí a vstupní impedance, definovány jsou známými vztahy K = vstup + + Z = úkolem je zjistit maximální tolerance obou rezistorů tak, aby tyto obvodové funkce splňovaly požadavky ( 0.49, 0.5) Z (.8k Ω,. kω) K vstup

58 nominální hodnoty rovnoměrné rozložení obvodové funkce Fig. 5: Příklad na toleranční syntézu odporového děliče v Mathcadu.

59 Fig. 6: Výsledky příkladu na toleranční syntézu v Mathcadu.

60 Fig. 7: uční řešení příkladu na toleranční syntézu odporového děliče.

61 děkuji za pozornost otázky?