Matematika I Podprostory prostoru V n

Transkript

1 Matematika I Podprostory prostoru V n RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky

2 Co u¾ známe? vektory - základní operace (sèítání, odèítání, násobení reálným èíslem, skalární souèin, norma vektoru) matice - základní operace (sèítání, odèítání, násobení reálným èíslem, souèin matic) vektorový prostor lineární závislost/nezávislost hodnost souboru vektorù/matice

3 Lineární obal Def. Nech» S je neprázdný soubor vektorù z prostoru V n. Lineárním obalem tohoto souboru (znaèíme S ) nazveme mno¾inu v¹ech lineárních kombinací souboru S. poznámka: Souèástí lineárního obalu skupiny (souboru) vektorù je v¾dy o jako výsledek jejich triviální lineární kombinace. Otázka: Jak efektivnì rozpoznat, zda vektor patøí do obalu daného souboru?

4 Lineární obal a hodnost Vìta. Je-li v V n a S soubor vektorù z V n, pak v S, právì kdy¾ hodnost souboru S se po pøidání vektoru v nezmìní. ukázka: v = (1, 0, 2), S : (1, 1, 0), (3, 2, 1), (2, 0, 0)

5 Podprostor vektorového prostoru Def. Mno¾ina vektorù P z prostoru V n se nazývá podprostorem prostoru V n, jestli¾e platí P = P. speciální pøípad podprostorù: V¹echny lineární obaly souborù a mno¾in jsou podprostory V n, triviální podprostor obsahující pouze nulový vektor o

6 Vlastnosti podprostoru Vìta. Neprázdná mno¾ina vektorù V kdy¾ splòuje následující podmínky: je podprostorem, právì (a) jestli¾e v 1, v 2 V, pak v 1 + v 2 V, (b) jestli¾e v 1 V, pak pro ka¾dé r R platí: r v 1 V. Podprostor je uzavøený vzhledem k operaci sèítání a násobení reálným èíslem.

7 Vlastnosti podprostoru ukázky podprostorù: ukázka 1. mno¾ina v¹ech 5-slo¾kových vektorù, jejich¾ tøetí slo¾ka je nulová... podprostor prostoru V 5 v 1 = (v 11, v 12, 0, v 14, v 15 ), v 2 = (v 21, v 22, 0, v 24, v 25 ) v 1 + v 2 = (v 11 + v 21, v 12 + v 22, 0, v 14 + v 24, v 15 + v 25 ) r v 1 = (rv 11, rv 12, 0, rv 14, rv 15 ), r R

8 Vlastnosti podprostoru ukázka 2. Mno¾ina v¹ech vektorù kolmých k vektoru s = ( 4, 1, 3, 7) jsou-li vektory v 1, v 2 kolmé na s, pak: ( v 1 + v 2 ) s = v 1 s + v 2 s = = 0 r(v 1 s) = (r v 1 ) s

9 Generátory podprostoru, báze Vìta. Je-li P = S, pak S nazýváme souborem generátorù tohoto podprostoru P. Nezávislý soubor generátorù nazýváme bází. Pro ka¾dé dva soubory vektorù je S 1 S 2, právì kdy¾ S 1 = S 2, tj. v¹echny soubory generátorù daného podprostoru P mají stejnou hodnost, kterou nazýváme dimenzí podprostoru P a znaèíme dimp. Triviální prostor má dimenzi 0. V¹echny báze netriviálního prostoru P mají stejný poèet vektorù rovný dimp.

10 Souøadnice vektoru v bázi Denice a vìta. Nech» soubor B : b 1, b 2,..., b k generuje netriviální podprostor P. (a) Je-li soubor B závislý, pak libovolný vektor v P je mo¾no vyjádøit nekoneènì mnoha zpùsoby jako lineární kombinaci vektorù b 1, b 2,..., b k. (b) Je-li soubor B nezávislý, tj. báze, pak libovolný vektor v P je mo¾no vyjádøit jediným zpùsobem jako lineární kombinaci v = c 1 b 1 + c 2 b c k b k a koecienty c 1, c 2,..., c k nazýváme (v tomto pevném poøadí) souøadnicemi vektoru v v bázi B.

11 Kanonická báze Denice a vìta. Dimenze celého vektorového prostoru V n je rovna n, tj. ka¾dá báze prostoru V n je nezávislý soubor slo¾ený z n jeho vektorù. Kanonickou bází prostoru V n nazýváme bázi tvoøenou základními jednotkovými vektory: K n : (1, 0, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0), (0, 0, 0,..., 1) neboli K n : e 1, e 2,..., e n. Je-li v = (v 1, v 2,..., v n ) V n, pak souøadnice vektoru v v kanonické bázi K n jsou toto¾né s jeho slo¾kami.

12 Prùnik podprostorù Vìta o prùniku podprostorù. Jsou-li P 1, P 2 podprostory prostoru V n, potom mno¾inový prùnik P 1 P 2 je té¾ podprostorem prostoru V n. ukázka: Mìjme tøi podprostory prostoru V 3 : P 1... v¹echny vektory, jejich¾ tøetí slo¾ka je nulová, tj. (v 1, v 2, 0) P 2... v¹echny vektory, jejich¾ druhá i tøetí slo¾ka je nulová, tj. (v 1, 0, 0) P 3... v¹echny vektory, jejich¾ první slo¾ka je nulová, tj. (0, v 2, v 3 ) P 1 P 2 = P 1 P 2 P 3 = { o}... triviální podprostor

13 Ortogonální doplnìk Denice a vìta. Je-li S soubor vektorù (resp. V mno¾ina vektorù) v prostoru V n, pak mno¾ina v¹ech vektorù kolmých ke v¹em vektorùm souboru S (resp. mno¾iny V ) je podprostorem prostoru V n. Oznaèujeme jej S (resp. V ) a nazýváme ortogonálním doplòkem souboru S (resp. mno¾iny V ). Pro ka¾dý podprostor P prostoru V n platí: dimp + dimp = n.