Technická kybernetika. Regulační obvod. Obsah

Transkript

1 Akdemický rok 6/7 Připrvil: Rdim Frn echnická kybernetik Anlogové číslicové regulátory Stbilit spojitých lineárních systémů Obsh Zákldní přenosy regulčního obvodu. Anlogové regulátory. Číslicové regulátory. Stbilit spojitých lineárních systémů. Hurwitzovo kritérium stbility. Nyquistovo kritérium kvlity. Regulční obvod Je uvžován poměrně obecný regulční obvod, kde G R ( je přenos regulátoru, G S ( přenos regulovné soustvy, G MČ ( přenos měřicího členu, G P ( přenos, přes který n regulční obvod působí poruchová veličin s obrzem V(, W( obrz žádné veličiny, E( obrz regulční odchylky, U( obrz kční veličiny, Y( obrz regulovné veličiny. Ws () Vs () GP Es () Us () Ys () G MČ Měřicí člen s přenosem G MČ ( musí měřit přesně rychle, proto ve většině prktických přípdů lze předpokládt, že G MČ

2 4 Regulční obvod Přenos G P ( umožňuje umístit působení poruchové veličiny V( do libovolného míst regulčního obvodu. Dv nejdůležitější přípdy, kdy poruchová veličin V( působí n vstupu, resp. n výstupu regulovné soustvy G S ( pro jsou: Ws () G = G P S Vs () Es () Ys () Ws () G s P( ) = Vs () Es () Ys () Pokud poruchové veličiny nelze měřit ni jink přesněji specifikovt, pk je vhodné je gregovt do jediné poruchové veličiny V( umístit ji do nejméně příznivého míst v regulčním obvodě. V přípdě integrční regulovné soustvy je to její vstup v přípdě proporcionální regulovné soustvy její výstup. 5 Cíl regulce y( w( ˆ Y( W( pro regulovnou veličinu pltí Y G W G V wy vy kde je přenos řízení přenos poruchy GP Gwy Gvy [ Gwy ] GP Pro dosžení cíle regulce poždujeme: G vy G wy 6 Cíl regulce e( ˆ E( pro regulční odchylku pltí E Gwe( W Gve V kde je odchylkový přenos řízení odchylkový přenos poruchy Gwe Gwy Gve GP [ Gwy ] GP Pro dosžení cíle regulce poždujeme: G we G ve

3 7 Cíl regulce pro kmitočtový přenos řízení lze psát ( j) ( j) Gwy ( j) ( j) ( j) ( j) ( j) je zřejmé, že pltí ( j) ( j) Gwy ( j) Gwy ( j) ( j) G ( j) G wy wy bude-li zjištěn dosttečně vysoká hodnot modulu kmitočtového přenosu regulátoru pk bude splněn s dosttečnou přesností podmínk Gwy AR ( ) mod ( j) ( j) pro nesingulární G P ( i podmínk Gvy 8 Cíl regulce Vysoké hodnoty modulů A R (ω) nebo A o (ω) musí být zjištěny v rozshu prcovních úhlových kmitočtů při součsném zbezpečení stbility poždovné kvlity regulčního pochodu. oho lze dosáhnout vhodně zvoleným regulátorem jeho následným správným seřízením. Průmyslové regulátory se vyrábějí v různých verzích modifikcích, proto budou uvedeny pouze zákldní struktury modifikce běžně používných konvenčních regulátorů. 9 Anlogové (spojité) konvenční regulátory jsou relizovány jko kombince zákldních třech činností (složek): proporcionální P, integrční I, derivční D. Regulátor u něhož vystupují všechny tři činnosti se nzývá proporcionálně integrčně derivční regulátor nebo zkráceně regulátor typu PID jeho vlstnosti v čsové oblsti mohou být popsány vzthem t t de( d e( u( re( r e( )d r k P e( e( )d D dt I dt P I D kde jsou: r, r r váhy proporcionální, integrční derivční složky regulátoru, k P zesílení regulátoru, I D integrční derivční čsová konstnt regulátoru předstvují tři stvitelné prmetry regulátoru. 3

4 Stvitelné prmetry regulátoru Úkolem seřízení regulátoru je zjištění poždvků n kvlitu regulčního pochodu vhodnou volbou hodnot jeho stvitelných prmetrů pro konkrétní regulovnou soustvu. Mezi stvitelnými prmetry regulátoru pltí převodní vzthy r k P, r k P, I r k PD, k r, r r I, D r r P Protože váh proporcionální složky r je identická se zesílením k P, proto se i pro ni používá čsto název zesílení regulátoru. Rozměr váhy proporcionální složky r zesílení regulátoru k P je dán podílem rozměru kční veličiny u( rozměru regulční odchylky e(. Čsové konstnty I D mjí rozměr čsu. Rozměr váhy integrční složky r je dán podílem rozměru proporcionální složky r rozměru čsu, rozměr váhy derivční složky je dán násobkem rozměru váhy proporcionální složky r rozměru čsu. Regulátor typu PID Použitím Lplceovy trnsformce z předpokldu nulových počátečních podmínek získáme přenos regulátoru typu PID U r r r s kp Ds E( s I s Integrční složk (I) zjišťuje vysokou hodnotu modulu kmitočtového přenosu regulátoru PID při nízkých úhlových kmitočtech především v ustálených stvech (ω = ), derivční složk (D) při vysokých úhlových kmitočtech proporcionální složk (P) v celém prcovním pásmu úhlových kmitočtů, le především pro střední úhlové kmitočty. Vhodnou volbou jednotlivých složek P, I D, tj. vhodnou volbou hodnot stvitelných prmetrů regulátoru r, r r, příp. k P, I D lze dosáhnout vysoké hodnoty modulu kmitočtového přenosu regulátoru nebo modulu kmitočtového přenosu otevřeného regulčního obvodu, tím i splnění cíle regulce. Regulátor typu PID A R () kp kp I j I r r j I kpd j kpd r j r D P kp k P r r ω 4

5 3 Konvenční nlogové regulátory yp Přenos ( P k P I I s 3 PI k P I s 4 PD k P Ds 5 PID kp Ds I s 6 PIDi k P D s Regulátor PID s interkcí Is Sériové zpojení PI PD regulátoru 4 Číslicové regulátory Blokové schém regulčního obvodu s číslicovým regulátorem w(k) e(k) u(k) u ( ČR Č/A S v( y( y(k) A/Č Kompktní ČR 5 Číslicové regulátory číslicový (diskrétní) regulátor typu PSD (proporcionálně sumčně diferenční) k D u( k) k P e( k) e( i ) e ( k) e[( k ) ] I i k K Pe( k) K S ( ) ( ) [( ) ], e i K D e k e k i P D S kde je: K P váh proporcionální složky, K S váh sumční složky, K D váh diferenční složky, vzorkovcí period, k diskrétní čs. Pro stvitelné prmetry číslicového regulátoru PSD pltí D K P kp, K S kp, K D kp I kp K P, K P I, K D D K S K P 5

6 6 Číslicové regulátory Přírůstkové lgoritmy I PS PSD u( k) u( k ) e( k) I u( k) u( k ) k p e( k) e( k ) e( k) I ( k ) g e( k) g e( k ) g e( k u k) u ) ( g k D p D g k p I D g k p 7 Číslicové regulátory u(k ) u ( u( t ) u( t ) u( 4 3 Z průběhu vyplývá, že tvrovná kční veličin u ( pro mlou hodnotu vzorkovcí periody může být nhrzen spojitou kční veličinou u( zpožděnou o polovinu vzorkovcí periody, tj. u(t /). 8 Číslicové regulátory Náhrdní blokové schém regulčního obvodu s číslicovým regulátorem V ( W ( ( s e ( Y ( 6

7 9 Volb vzorkovcí periody Pro volbu vzorkovcí periody neexistují jednoznčná prvidl doporučení. Pro orientční hrubou volbu lze použít následující doporučení. Vzorkovcí period Proces ( 5) μs přesné řízení modelování, elektrické systémy; energetické systémy; přesné řídicí roboty (,5 ) ms stbilizce výkonových systémů, letové simulátory, trenžéry ( ) ms zprcování obrzů, virtuální relit, umělé vidění (,5 ) s monitorování řízení objektů; chemické procesy, elektrárny ( 3) s regulce průtoků ( 5) s regulce tlku (5 ) s regulce hldiny ( ) s regulce teploty strn Stbilit Stbilit (lineárního) regulčního obvodu je definován jko jeho schopnost ustálit všechny veličiny n konečných hodnotách, pokud se vstupní veličiny ustálí n konečných hodnotách. Vstupními veličinmi u regulčního obvodu jsou žádná veličin w( všechny poruchové veličiny, nejčstěji gregovné do jediné poruchové veličiny v(. Je zřejmé, že následující definice je ekvivlentní. Regulční obvod je stbilní, když omezeným vstupům odpovídjí omezené výstupy. Z obou definic vyplývá, že stbilit je chrkteristická vlstnost dného regulčního obvodu, která nezávisí n konkrétních vstupech ni n konkrétních výstupech. strn Stbilit Vzhledem k tomu, že regulční obvod plně popisuje rovnice Y Gwy W Gvy V nebo E Gwe( W Gve V je zřejmé, že stbilit musí být dán výrzem, který vystupuje ve všech zákldních přenosech, tj. přenosu řízení G wy ( přenosu poruchy G vy ( nebo odchylkovém přenosu řízení G we ( odchylkovém přenosu poruchy G ve (. Ze vzthů pro zákldní přenosy vyplývá, že tímto výrzem je jejich jmenovtel M o No M o N( Go No No No kde je G o ( přenos otevřeného (rozpojeného) regulčního obvodu (obecně je dán součinem všech přenosů ve smyčce), N o ( chrkteristický mnohočlen otevřeného regulčního obvodu (mnohočlen ve jmenovteli přenosu otevřeného regulčního obvodu), M o ( mnohočlen v čitteli přenosu otevřeného regulčního obvodu. 7

8 strn Stbilit Mnohočlen N No M o se nzývá chrkteristický mnohočlen regulčního obvodu po jeho přirovnání nule se obdrží chrkteristická rovnice regulčního obvodu N nutnou postčující podmínkou stbility řešení lineární diferenciální rovnice je, by kořeny s, s,..., s n jejího chrkteristického mnohočlenu (příp. její chrkteristické rovnice) měly zápornou reálnou část, tj. n N ns s n ( s ( s s ) ( s sn ) Re, pro i,, n si, Je tedy zřejmé, že podmínk zápornosti reálných částí kořenů chrkteristického mnohočlenu regulčního obvodu nebo ekvivlentně kořenů chrkteristické rovnice regulčního obvodu je nutnou postčující podmínkou (symptotické) stbility dného regulčního obvodu. strn 3 Stbilit Dále je třeb si uvědomit, že kořeny s, s,..., s n jsou součsně póly všech zákldních přenosů (tj. přenosu řízení poruchy odchylkových přenosů řízení poruchy, tedy jsou to póly celého regulčního obvodu. oto nepltí pro nuly zákldních přenosů. Póly regulčního obvodu jsou pro dynmické vlstnosti regulčního obvodu zásdní. Im s Re strn 4 Hurwitzovo kritérium stbility Hurwitzovo kritérium stbility je lgebrické kritérium, proto není vhodné pro regulční obvody s doprvním zpožděním (exponenciální funkce není lgebrická). Může všk být použito pro přibližné ověření stbility v přípdě, že doprvní zpoždění se zstoupí jeho proximcí ve tvru rcionální lomené funkce. Hurwitzovo kritérium stbility může být formulováno ve tvru: Lineární regulční obvod s chrkteristickým mnohočlenem Adolf Hurwitz * Hildesheim, Germny Zürich, Switzerlnd N n ns s bude (symptoticky) stbilní tehdy jen tehdy, když: ) všechny koeficienty,,..., n existují jsou kldné (je to nutná podmínk stbility zformulován slovenským technikem A. Stodolou), Aurel Stodol * Liptovský Mikuláš, Slovki Zürich, Switzerlnd 8

9 strn 5 Hurwitzovo kritérium stbility b) hlvní rohové minory (subdeterminnty) Hurwitzovy mtice n n H n3 n n n5 n4 n3, n n3 H n, H,, H n H n n jsou kldné. strn 6 Hurwitzovo kritérium stbility Protože pltí H = n, H n = H n, stčí kontrolovt kldnost pouze H, H 3,..., H n. Nulovost některého z Hurwitzových subdeterminntů oznčuje mez stbility. k npř. bude-li =, pk jeden pól je nulový (počátek souřdnic v komplexní rovině. ento přípd chrkterizuje nekmitvou mez stbility. Když H n =, pk dv póly jsou ryze imginární (póly leží n imginární ose souměrně podle počátku souřdnic v komplexní rovině. V tomto přípdě jde o kmitvou mez stbility. strn 7 Nyquistovo kritérium stbility Nyquistovo kritérium stbility je kmitočtové, n rozdíl od Hurwitzov Michjlovov kritéri vychází z vlstností otevřeného regulčního obvodu je vhodné i pro regulční obvody s doprvním zpožděním. Může být dokonce rozšířeno i n některé nelineární regulční obvody. Hrry heodor Nyquist * , Stor Kil, Sweden Hrligen, exs, USA Ws () et () Es () t G S () s Vs () Ys () yt () t G (j ) o G o k Regulční obvod n kmitvé mezi stbility 9

10 strn 8 Nyquistovo kritérium stbility Obrázek vyjdřuje tu skutečnost, že je-li lineární regulční obvod n kmitvé mezi stbility, pk mplitudofázová kmitočtová chrkteristik stbilního otevřeného regulčního obvodu prochází bodem n záporné reálné poloose. Bod n záporné reálné poloose se nzývá kritický bod. kritický bod Im Go(jω) q = ω = ω = stbilní n mezi stbility nestbilní - Re strn 9 Nyquistovo kritérium stbility Nyní lze již zformulovt Nyquistovo kritérium stbility: Lineární regulční obvod je (symptoticky) stbilní tehdy jen tehdy, když mplitudofázová kmitočtová chrkteristik stbilního otevřeného regulčního obvodu G o (jω) pro ω neobklopuje kritický bod n záporné reálné poloose. Integrční členy vystupující v hlvní zpětnovzební větvi, tj. ve smyčce, se z hledisk Nyquistov kritéri stbility nepovžují z nestbilní (jsou to v podsttě neutrální členy). Jejich počet se oznčuje písmenem q nzývá se stupeň sttismu regulčního obvodu (typ regulčního obvodu). V tomto přípdě pro rozhodnutí o tom, zd mplitudofázová kmitočtová chrkteristik otevřeného regulčního obvodu G o (jω) obklopuje či neobklopuje kritický bod, je třeb tuto chrkteristiku spojit s kldnou reálnou poloosou kružnicí o nekonečně velikém poloměru (ukázáno čárkovně), strn 3 Nyquistovo kritérium stbility Im Go(jω) q = ω - Stbilní regulční obvody ω = r r Re r q = ω Pokud mplitudofázová kmitočtová chrkteristik otevřeného regulčního obvodu G o (jω) má průběh ukázný pro q =, pk jde o podmíněnou stbilitu, kdy jk pokles, tk i vzrůst hodnoty A o (ω) pro fázi π může způsobit nestbilitu regulčního obvodu.