Obsah. 5 Diferenciál (Totální)diferenciálprvníhořádu Taylorůvvzorec Diferenciályvyššíchřádů Taylorovavěta...
|
|
- Hana Bartošová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Obsah 4 Parciální derivace funkce dvou proměnných Parciálníderivaceprvníhořádu Derivacevesměru(směrovéderivace) Parciálníderivacevyššíchřádů Derivacesloženéfunkce Diferenciál (Totální)diferenciálprvníhořádu Taylorůvvzorec Diferenciályvyššíchřádů Taylorovavěta
2 4 Parciální derivace funkce dvou proměnných Derivaci funkce jedné proměnné jsme definovali pomocí limity. Protože pojem limita funkce dvou proměnných je komplikovanější než u funkcí jedné proměnné, bude tomu tak i s derivací. U funkcí více proměnných tak nehovoříme pouze o derivaci, ale o tzv. parciálních(částečných) nebo směrových derivacích. 4.1 Parciální derivace prvního řádu Definice4.1 Nechť fjefunkcedvouproměnnýchdefinovanánamnožině D f R 2 anechťbod(x 0,y 0 ) jevnitřnímbodem D f. a) Dosadíme-liza ypevnouhodnotu y 0,dostanemefunkcijednéproměnné ϕ(x)=f(x,y 0 ).Má-li funkce ϕderivacivbodě x 0,tzn.existuje-lilimita ϕ(x) ϕ(x 0 ) f(x,y 0 ) f(x 0,y 0 ) lim = lim, x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 říkáme,žefunkce fmávbodě(x 0,y 0 )parciálníderivacipodleproměnné x.značíme f x (x 0,y 0 ) nebo f x (x 0,y 0 ). b)dosadíme-liza xpevnouhodnotu x 0,dostanemefunkcijednéproměnné ψ(y)=f(x 0,y).Má-li funkce ψderivacivbodě y 0,tzn.existuje-lilimita ψ(y) ψ(y 0 ) f(x 0,y) f(x 0,y 0 ) lim = lim, y y 0 y y 0 y y 0 y y 0 říkáme,žefunkce fmávbodě(x 0,y 0 )parciálníderivacipodleproměnné y.značíme f y (x 0,y 0 ) nebo f y (x 0,y 0 ). Geometrická interpretace parciálních derivací prvního řádu A=(x 0,y 0 ), f(a)=f(x 0,y 0 )=ϕ(x 0 ) Položme ϕ(x) = f(x,y 0 ) (tzv. zúžení funkce f).funkce ϕ(x)jedanáprůsečnicí grafufunkce f(x,y)aroviny y= y 0. V bodě T = (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) = (x 0,y 0,ϕ(x 0 ))vedemetečnu t x kekřivce ϕ(x)vrovině y= y 0. Nechť αjeúhel,kterýsvírátatotečnas kladným směrem osy x. Přitom směrnice tečnyjetg αajerovnaparciálníderivaci funkce fpodleproměnné x,tj. tgα= f x (x 0,y 0 ) Geometricky,úhel αudávásklonplochy f(x,y)vbodě(x 0,y 0 )vesměruosy x. 2
3 A=(x 0,y 0 ), f(a)=f(x 0,y 0 )=ψ(y 0 ) Položme ψ(x) = f(x 0,y) (tzv. zúžení funkce f).funkce ψ(x)jedanáprůsečnicí grafufunkce f(x,y)aroviny x=x 0. V bodě T = (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) = (x 0,y 0,ψ(y 0 ))vedemetečnu t y kekřivce ψ(y)vrovině x=x 0. Nechť βjeúhel,kterýsvírátatotečnas kladným směrem osy y. Přitom směrnice tečnyjetg βajerovnaparciálníderivaci funkce fpodleproměnné y,tj. tgβ= f y (x 0,y 0 ) Geometricky, úhel β udává sklon plochy f(x,y)vbodě(x 0,y 0 )vesměruosy y. Parciálníderivace f x a f y funkcedvouproměnnýchjsouvlastnědefinoványjako obvyklé derivace jistých funkcí jedné proměnné, platí pro jejich výpočet stejná pravidla: Věta4.1 Nechťfunkce f a gmajívbodě(x 0,y 0 )parciálníderivacipodleproměnné x.potomtaké funkce f ± g, f ga f g (pro g(x 0,y 0 ) 0)majívbodě(x 0,y 0 )parciálníderivacipodle xaplatí x (f ± g)(x 0,y 0 )= x f(x 0,y 0 ) ± x g(x 0,y 0 ) x (f g)(x 0,y 0 )= x f(x 0,y 0 ) g(x 0,y 0 )+f(x 0,y 0 ) x g(x 0,y 0 ) ( ) f x (x 0,y 0 )= f(x 0,y 0 ) g(x 0,y 0 ) f(x 0,y 0 ) x g(x 0,y 0 ) x g g 2 (x 0,y 0 ) (poslednírovnostpro g(x 0,y 0 ) 0).Proparciálníderivacepodleproměnné yplatíanalogickévztahy. Prakticky při počítání parciálních derivací postupujeme tak, že např. při výpočtu parciální derivace podle x považujeme proměnnou y za konstantu a derivujeme danou funkci podle x, tj. vlastně opět počítáme derivaci funkce jedné proměnné. Tím pádem používáme stejná pravidla a vzorce jako v případě funkcí jedné proměnné. Poznámka:Ufunkcíjednéproměnnéplatí,žepokudmáfunkcevbodě x 0 vlastníderivaci,jevtomto bodě spojitá. U funkcí dvou proměnných analogická věta ale neplatí, tzn. že má-li funkce dvou proměnnýchvlastníoběparciálníderivacevbodě(x 0,y 0 ),nemusíbýtvtomtoboděspojitá.důvodemjeto,že parciální derivace dávají informaci o chování funkce pouze ve směrech rovnoběžných se souřadnicovými osami; v jiných směrech se funkce může chovat velmi divoce. Definice4.2 Nechťfunkce f jedefinovanánamnožině D f R 2 anechť D fx, D fx D f je množinavšechbodů(x,y) D f,vnichžexistujevlastníparciálníderivace f x (x,y).funkcedvou proměnnýchdefinovanána D fx předpisem(x,y) f x (x,y)senazýváparciálníderivacefunkce f podleproměnné xaznačíse f xnebo f x. Nechťfunkce f jedefinovanánamnožině D f R 2 anechť D fy, D fy D f jemnožina všechbodů(x,y) D f,vnichžexistujevlastníparciálníderivace f y (x,y).funkcedvouproměnných 3
4 definovanána D fy předpisem(x,y) f y (x,y)senazýváparciálníderivacefunkce fpodleproměnné yaznačíse f y f nebo y. 4.2 Derivace ve směru(směrové derivace) Uvažujmefunkci f(x,y)abod A=(x 0,y 0 ),kterýjevnitřnímbodemd f. Bodem A veďme orientovanou přímku lvesměru,vněmžchceme počítat derivaci (přitom přímka l není rovnoběžná ani s jednou ze souřadnicových os). Tuto přímku l (ležící v rovině (xy)) můžeme považovat za průsečnici roviny(xy) aroviny ρ,kterájekolmánarovinu (xy). Průsečnicíroviny ρaplochy f(x,y) je prostorová křivka ψ. V bodě T = (x 0,y 0,f(x 0,y 0 )) sestrojíme tečnu tkekřivce ψvrovině ρ. Kladný směr přímky l a tečna t svírajíúhel ϕ.tangensúhlu ϕ(tj. směrnice tečny t) je pak derivace funkce fvbodě(x 0,y 0 )vesměru l, tj. tgϕ= f l (x 0,y 0 ) Geometricky,úhel ϕudávásklonplochy f(x,y)vbodě(x 0,y 0 )v(kladném)směrupřímky l. Definice4.3 Nechťjefunkce f definovanánanějakémokolíbodu(x 0,y 0 )anechť ljeorientovaná přímkajdoucíbodem(x 0,y 0 ).Nechť(x,y)jelibovolnýbodpřímky l.symbolem d((x,y),(x 0,y 0 )) označmeorientovanouvzdálenostbodů(x,y)a(x 0,y 0 ),konkrétně d((x,y),(x 0,y 0 ))= (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2... orientace přímky l d((x,y),(x 0,y 0 )) = (x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2... směru orientace přímky l jdeme-lizbodu(x 0,y 0 )do(x,y)vesměru jdeme-li z bodu (x 0,y 0 ) do (x,y) proti Existuje-lilimita(kde(x,y)sek(x 0,y 0 )blížípouzepopřímce l) f(x,y) f(x 0,y 0 ) lim (x,y) (x 0,y 0 );(x,y) l d((x,y),(x 0,y 0 )), pakříkáme,žefunkce fmávbodě(x 0,y 0 )derivacivesměru latutoderivaciznačímejako f l (x 0,y 0 ). Věta4.2(výpočetderivacevesměru) Nechť fjedefinovánananějakémokolíbodu(x 0,y 0 ) D f a nechť má na tomto okolí spojité parciální derivace prvního řádu. Nechť l je orientovaná přímka jdoucí bodem(x 0,y 0 )(vrovině(xy))aαjeúhel,kterýsvírápřímka lskladnýmsměremosy x.potomplatí f l (x 0,y 0 )= f x (x 0,y 0 ) cos α+ f y (x 0,y 0 ) sin α 4
5 4.3 Parciální derivace vyšších řádů Parciálníderivace f x a f y jsouopětfunkcedvouproměnných(xay),takžemůžemedálepočítat jejich parciální derivace. Tak dostaneme parciální derivace druhého řádu: Definice4.4 Nechť(x 0,y 0 ) D fx.existuje-liparciálníderivacefunkce f xpodleproměnné xvbodě (x 0,y 0 ),nazávámetutoderivaciparciálníderivacídruhéhořádupodleproměnné xvbodě(x 0,y 0 )a značímeji f xx(x 0,y 0 )nebo 2 f (x x 2 0,y 0 ). Existuje-liparciálníderivacefunkce f x podleproměnné yvbodě(x 0,y 0 ),nazývámetutoderivaci smíšenouparciálníderivacídruhéhořádupodleproměnných xay(vtomtopořadí)vbodě(x 0,y 0 )a značímeji f xy (x 0,y 0 )nebo 2 f x y (x 0,y 0 ). Obdobnědefinujemeparciálníderivacedruhéhořádu f yya f yx Analogicky jako u parciálních derivací prvního řádu zavádíme pojem parciální derivace druhého řádu na množině. To nám pak umožňuje definovat parciální derivace třetího řádu atd. Funkcedvouproměnnýchmácelkem4=2 2 parciálníderivacedruhéhořádu,8=2 3 parciálních derivacítřetíhořádu,obecně2 n parciálníchderivací n-téhořádu. Příslušnou derivaci vyššího řádu dostaneme prakticky postupným derivovaním dané funkce podle x nebo y v pořadí, v jakém jsou uvedeny v symbolickém zápisu počítané derivace. V případě smíšených derivací(tj. u derivací, kdy derivujeme podle více proměnných) navíc obecně záleží na tom, v jakém pořadípodlejednotlivýchproměnnýchderivujeme,tj.např.derivace f xxy a f xyx jsouobecněrůzné. Věta 4.3(O záměnnosti smíšených parciálních derivací; Schwarzova) Nechť má funkce f spojitésmíšenéparciálníderivacedruhéhořádu f xya f yxvbodě(x 0,y 0 ).Potomplatí f xy(x 0,y 0 )=f yx(x 0,y 0 ). Důsledek1Jsou-lifunkce f xy a f yx spojité,pakjsousirovny(naprůnikusvýchdefiničníchoborů). Důsledek 2 Má-li funkce spojité smíšené parciální derivace podle obou(všech) proměnných až do n-tého řádu včetně, záleží při výpočtu derivací řádu menšího nebo rovného n pouze na tom, kolikrát derivujeme podle jednotlivých proměnných a nikoli na tom, v jakém pořadí. 4.4 Derivace složené funkce Derivace složených funkcí můžeme počítat přímo podle výše uvedených pravidel pro derivování. Pokud však jednu z dílčích funkcí, z nichž je výsledná funkce utvořena neznáme, musíme použít následující větu, tj. derivovat pouze formálně. Věta4.4 Nechťfunkce u = u(x,y)av=v(x,y)majívbodě(x 0,y 0 )parciální derivaceprvního řádu. Označme u 0 = u(x 0,y 0 ) a v 0 = v(x 0,y 0 ). Nechťmá funkce z = f(u,v) diferencovatelná v bodě(u 0,v 0 )spojitéparciální derivaceprvního řádu podleproměnných uav.paksložená funkce F(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))mávbodě(x 0,y 0 )parciálníderivaceprvníhořádupodleproměnných xa yaplatí: F x (x 0,x 0 )= f u (u 0,v 0 ) u x (x 0,y 0 )+ f v (u 0,v 0 ) v x (x 0,y 0 ) Zkráceně pak lze psát F y (x 0,x 0 )= f u (u 0,v 0 ) u y (x 0,y 0 )+ f v (u 0,v 0 ) v y (x 0,y 0 ) F x= f u u x+ f v v x a F y= f u u y+ f v v y Parciální derivace vyšších řádů získáme postupným derivováním a využíváním výše uvedeného pravidla. 5
6 5 Diferenciál 5.1 (Totální) diferenciál prvního řádu Stejně jako u funkce jedné proměnné je i u funkcí více proměnných často vhodné nahrazovat přírůstek funkce pomocí diferenciálu, tj. pomocí přírůstku na tečně, resp. na tečné rovině. Přibližnou hodnotu f(x) pak dostaneme ve tvaru Uvažujme funkci dvou proměnných f(x,y)definovanounaoblasti M D f,kterámávbodě (x 0,y 0 ) Mspojitéprvníparciální derivace. Nechť X =(x,y)jelibovolný bod z M, který je blízko bodu A=(x 0,y 0 ). Hodnotu f(x) lze pak přibližně určit, pokud známe hodnoty f(a), f x(a)af y(a). Hodnoty f x (A) a f y (A) jsou směrnice tečen ve směru souřadnicových os a těmito tečnami je jednoznačně určena tečnárovina τvbodě A. Bod P 1 (X,z) leží v tečné rovině τ,bod P 2 (X,f(A))ležív rovině ρ:z= f(a). f(x) f(a)+f x(a) (x x 0 )+f y(a) (y y 0 ) (:= F) Hodnotu f(x)taknahradímetřetísouřadnicíbodu P 1,kterýležívtečnérovině.Rozdílmezitouto přibližnouhodnotou Fafunkčníhodnotou f(a)(tj.naobrázkuvzdálenostbodů P 1 a P 2 )nazýváme diferenciálemfunkce f(x,y)vbodě A=(x 0,y 0 )probod X=(x,y)aoznačímehodf(A,X). Definice5.1 Nechťjefunkce f definovanánanějakémokolíbodu(x 0,y 0 ) D f.existují-lireálné konstanty a, b takové, že f(x 0 + dx,y 0 + dy) f(x 0,y 0 ) (a dx+b dy) lim =0, (dx,dy) (0,0) dx 2 + dy 2 říkáme,žefunkce fjevbodě(x 0,y 0 )diferencovatelná.lineárnífunkce a dy+b dydvouproměnných dxadysenazývá(totální)diferenciálfunkce fvbodě(x 0,y 0 )aznačíse df(x 0,y 0 ). Věta5.1 Je-lifunkce fdiferencovatelnávbodě(x 0,y 0 ),pakjevtomtoboděspojitá. Věta5.2 Je-lifunkce f diferencovatelná vbodě(x 0,y 0 ),pakmávtomto boděparciální derivace prvníhořáduaplatí a=f x (x 0,y 0 )ab=f y (x 0,y 0 ),tj. df(x 0,y 0 )=f x (x 0,y 0 ) dx+f y (x 0,y 0 ) dy. Poznámka:Je-lifunkcediferencovatelnávkaždémboděmnožiny M D f,mávkaždémbodětéto množiny diferenciál, který je funkcí čtyř proměnných: x, y, dx a dy. Věta5.3 Má-lifunkce fvbodě(x 0,y 0 )spojitéparciálníderivace f xa f y,pakjevtomtobodědiferencovatelná. 6
7 Věta5.4 Tečnárovina τ plochy z=f(x,y)vbodě T =(x 0,y 0,f(x 0,y 0 )),kteránenírovnoběžnás osou zexistujeprávětehdy,kdyžjefunkce fdiferencovatelnávbodě(x 0,y 0 ).Rovnicetečnérovinyv bodě Tjepakdánavztahem τ : z(x,y)=f(x 0,y 0 )+f x (x 0,y 0 ) (x x 0 )+f y (x 0,y 0 ) (y y 0 ). Diferenciál funkce se používá mj. k přibližným výpočtů hodnot funkce dvou proměnných, kdy skutečný přírůstek funkce je nahrazen přibližným přírůstkem, tj. diferenciálem(přírůstkem na tečné rovině): f(x 0 + dx,y 0 + dy) f(x }{{} 0,y 0 )+f x(x 0,y 0 ) dx+f y(x 0,y 0 ) dy }{{} skutečná hodnota } df(x 0,y 0 )(přibližnýpřírůstek) {{ } přibližná hodnota 5.2 Taylorův vzorec Stejně jako u funkcí jedné proměnné nám často ani u funkcí dvou proměnných nestačí její nahrazení funkcí lineární, tj. tečnou, resp. tečnou rovinou. Hledáme proto funkci složitější (polynom stupně n >1),kterýmásfunkcí fvdanémboděstejnoufunkčníhodnotuatakéhodnotyvšechparciálních derivací až do řádu n včetně. Pro snadnější zápis Taylorova polynomu zavedeme totální diferenciály vyšších řádů Diferenciály vyšších řádů Má-lifunkce f definoványdruhéparciálníderivacenanějakémokolíbodu(x 0,y 0 )ajsou-lityto parciálníderivacevbodě(x 0,y 0 )spojité,lzeuvažovattotálnídiferenciáldruhéhořádu d(df)=d 2 fv bodě(x 0,y 0 ),kde d 2 f(x 0,y 0 )=d ( f x(x 0,y 0 ) dx+f y(x 0,y 0 ) dy ) = = f xx(x 0,y 0 ) dx 2 + f xy(x 0,y 0 ) dx dy+ f yx(x 0,y 0 ) dy dx+f yy(x 0,y 0 ) dy 2. Jsou-linavícsmíšenéparciálníderivacespojiténanějakémokolíbodu(x 0,y 0 ),potomlzepsát d 2 f(x 0,y 0 )=f xx(x 0,y 0 ) dx 2 +2f xy(x 0,y 0 ) cdotdx dy+ f yy(x 0,y 0 ) dy 2. Existují-liparciálníderivace n-téhořádufunkce fajsou-lispojiténanějakémokolíbodu(x 0,y 0 ), potomexistujetotálnídiferenciál n-téhořáduvbodě(x 0,y 0 ),kterýlzesymbolickyzapsatvetvaru ( f d n f(x 0,y 0 )= x (x 0,y 0 ) dx+ f ) n y (x 0,y 0 ) dy přičemž provedeme-li umocnění podle binomické věty, mocniny u parciálních derivací považujeme za jejich řád, tj. například d 3 f(x 0,y 0 )= ( f x (x 0,y 0 ) dx+ f ) 3 y (x 0,y 0 ) dy = 3 f x 3(x 0,y 0 )dx f x 2 y (x 0,y 0 )dx 2 dy+3 3 f x y 2(x 0,y 0 )dxdy f y 3(x 0,y 0 )dy 3 7
8 5.2.2 Taylorova věta Věta5.5(Taylorovavěta) Nechťmáfunkce fnanějakémokolíbodu(x 0,y 0 )spojitéparciálníderivaceaždořádu n+1včetně.pakprokaždýbod(x,y)=(x 0 + h,y 0 + k)ztohotookolí(kde hak jsou reálná čísla) platí Taylorův vzorec kde f(x,y)=t n (x,y)+r n (x,y) T n (x,y)=f(x 0,y 0 )+ ( f x(x 0,y 0 )h+f y(x 0,y 0 )k ) + 1 2! n! ( n f dx n(x 0,y 0 )h n + jetaylorůvpolynomar n zbytekvtaylorověvzorci. ( f xx(x 0,y 0 )h 2 +2f xy(x 0,y 0 )hk+ f yy(x 0,y 0 )k 2) + ( ) n n ) f 1 dx n 1 dy (x 0,y 0 )h n 1 k+ + n f dy n(x 0,y 0 )k n Označíme-li h=dxak=dy,lzetaylorůvvzorecpsátvetvaru f(x 0 + dx,y 0 + dy)=f(x 0,y 0 )+df(x 0,y 0 )+ 1 2! d2 f(x 0,y 0 )+ + 1 n! dn f(x 0,y 0 )+R n (x 0 + dx,y 0 + dy) nebo také jako f(x 0 + dx,y 0 + dy) f(x }{{} 0,y 0 )+df(x 0,y 0 )+ 1 2! d2 f(x 0,y 0 )+ + 1 n! dn f(x 0,y 0 ) }{{} skutečná hodnota přibližný přírůstek }{{} přibližná hodnota To znamená, že pomocí příslušného Taylorova polynomu můžeme opět počítat přibližnou hodnotu zadané funkce. 8
1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Více4. Diferenciál a Taylorova věta
4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce
Více1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceMatematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceHelena R ˇ ı hova (CˇVUT) Limita funkce vı ce promeˇnny ch 26. za rˇı / 16
Limita funkce více proměnných Helena Říhová FBMI 26. září 2010 Helena Říhová (ČVUT) Limita funkce více proměnných 26. září 2010 1 / 16 Obsah 1 Limita Definice limity Parciální derivace Tečná rovina, totální
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru
VíceDiferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceFunkce více proměnných. April 29, 2016
Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy
VíceI. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceV. Riemannův(dvojný) integrál
V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceMatematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných
Matematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Ostrava 8 Obsah Funkce dvou proměnných.
VíceKapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Vícehttp://user.mendelu.cz/marik, kde je dostupný ve formě vhodné pro tisk i ve formě vhodné pro prohlížení na obrazovce a z adresy http://is.mendelu.
Inženýrská matematika Robert Mařík Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg.
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Vícey = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceM. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková
VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceKristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceNumerické metody a statistika
Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu
VíceDefiniční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.
vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více1 Funkce více proměnných
1 Funkce více proměnných Je-li n + 1 proměnných veličin obsaženo v nějaké rovnici, můžeme kteroukoliv z nich pokládat za funkci ostatních n nezávisle proměnných. Takové funkce mají podobné vlastnosti jako
VíceMATEMATIKA I REÁLNÁ FUNKCE DVOU A VÍCE PROMĚNNÝCH I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M09, GA04 M03
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA01 M09, GA04 M03 REÁLNÁ FUNKCE DVOU A VÍCE PROMĚNNÝCH I STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 1 0 Typeset
VíceDefiniční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.
vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
Vícemá spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,
4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VíceDerivace úvod. Jak zjistit míru změny?
Derivace úvod P ČEZ Jak zjistit míru změny? Derivace nám dá odpověď jestli je funkce: rostoucí/klesající konkávní/konvení jak moc je strmá jak moc roste kde má maimum/minimum 1000 700 P ČEZ P ČEZ 3% 4%
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceMichal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky
Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5
Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt
VíceNapište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z
Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceII.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.
II.7.* Derivace složené funkce Necht jsou dán diferencovatelné funkce z = f(,), = (u,v), = (u,v). Pak u = u + u, v = v + v. Vpočítejte derivace daných diferencovatelných funkcí. Příklad 0. Jsou dán diferencovatelné
Více+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceMatematika 2. Prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc. RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY
Matematika 2 Prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc. RNDr. Zdeněk Svoboda, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika 2 1 Obsah 1 Funkce více proměnných 3 1.1 Definice a základní pojmy...........................
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 27 Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 2
PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
Více